常微分方程

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罕峰仁
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1 第四章常系数线性微分方程 Constant Coefficients Linear ODE 4. 常系数齐次线性微分方程的解法 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 4.3 常系数线性微分方程的其他解法 4.4 Jordan 标准形法与 Sylvester 法习题

2 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法本讲要求. 掌握 Euler 指数函数法 2. 深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值其基本解组的不同表达形式重点 : 基本解组的计算

3 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法一 Euler 指数函数法特征方程与特征值的定义我们首先考虑下面的线性微分方程其中 a a2 an ( n ) ( n ) n n (4..) x t + a x t + + a x t + a x t = f t 都是常数. 引入微分算子 D d dt = 的记号且 n n D = DD D = D D D = D D 则方程 (4..) 可以简化为算子形式 P( D) x= f ( t) 其中 n 次算子多项式 n n P D = D + ad + + a D+ a n n 常系数齐次线性微分方程 ( n ) ( n ) n n (4..2) x t + a x t + + a x t + a x t = 0

4 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法针对齐次线性微分方程 (4..2) 的特殊结构在求其通解时我们 t 采用经典的 Euler 待定指数函数法即寻求形如 x( t) = e λ 的解并将其带入到 (4..2) 中得从而转化成多项式方程 n n λt λt = ( λ ) = 0. P D e P e P λ = λ + aλ + + a λ+ a = (4..3) n n 0 的求根问题该多项式称为特征多项式 (4..3) 称为特征方程它 t 的根称为特征根相应于指数形式的解 x( t) = e λ 称为特征解. 我们的想法是求出所有的特征解并设法用它们来表示齐次方程 (4..2) 的所有解.

5 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法二有关定理与结论定理 4. 设 (4..3) 有 n 个互异的根 2 本解组 2 n e e e λ λ λ. λ λ λ n 定理 4.2 设 (4..3) 只有 r 个互异的根 2 即 n+ n2 + + n = n 则 r λ λ λ n e te t e e te t e 则齐次方程 (4..2) 有基其重数分别为 2 λt λt n λt λ t λ t n λ t r r r r n n n r 构成齐次方程 (4..2) 的基本解组. 证明思路 : 主要分为两个步骤来证明这个定理. λit λit ni λit 第一步证明对任意的 i ( i r) e te t e 为线性无关的解. 为此我们 λ λ 首先证明 P D t e = e P t + lp t + + P 其中 k = 2 n i. k t t k k k λ λ λ ( ) (4..4) λt λt n λt λrt λrt nr λrt 第二步证明 e te t e e te t e 构成齐次方程 (4..2) 解空间的一组基. 因为它们的总数是 n 个故只需证明这 n 个函数是线性无关的. 利用反证法证明.

6 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法三例题例 : 求解微分方程 ( 4) 例 2: 求解微分方程 ( 6) ( 5) ( 4) x 4x + 5x 2x = 0. x x + x + 2x= 0. 例 3: 求解例 2 微分方程中实的基本解组. 例 4: 求解微分方程 2 例 5: 求解微分方程 t x 2tx 4x = d y dy x + 5x + 5y = 0. 2 dx dx 作业 :p82-(-8)

7 第十二讲 : 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法. 了解算子的相关性质本讲要求 2. 掌握算子解法重点 : 掌握算子解法

8 第十二讲 : 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法一算子定义及有关性质首先考虑常系数非齐次线性微分方程 (4..) 按照算子形式写法记 n n n 次算子多项式 P( D) = D + ad + + a D+ a n 进一步形式地把 P( D ) 的逆算子形式记为 n P D 则我们只需求出 = f ( t) P( D) (4.2.) x t 注 : 对于 (4.2.) 的逆算子 P D 注意到一个简单的情形是 D 它对一个可 f t D 积函数 f ( t ) 的作用结果是不定积分 f ( t) dt 显然这是一个不唯一的结果它们之间相差一个常数. 这里我们并不顾及这个差异每次计算只需选择方便简单的一个特解. 在这种方法中的大部分等号都是在这种意义下成立的.

9 第十二讲 : 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法逆算子 P( D ) 具有下列基本性质 : D 性质 f ( t n ) = f ( τ)( d τ) n 即 n 次累次积分. 性质 2 P( D) 的作用是线性的即 α f t + β f 2 t = α f( t) + β f2 t P D P D P D { } 性质 3 如果 P( D) P( D) P ( D) = 则 2 = = P D P D P D P D P D 2 2

10 第十二讲 : 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法二算子解法定理 4.3. 解析展开法或解析相除法 : 对 k 次多项式 fk ( t ) 如果 P( x) 解析且可以展开成其中 Qk ( x ) 是 k 次多项式而 2. 代换法 : 如果 P ( λ ) 0 λt 3. 二项式法 : k Qk x Hk x P x = + H x 为 P D 那么 k + 次以上的所有高次项则 = f t Q D f t k k k λt e = P D P( λ ) λt e v t = e v t P D P D ( + λ ). e λt. 在 x = 0 处

11 第十二讲 : 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法三例题 r 例 : Dx= 其中 r 为正整数. 例 2:( D) x= f ( t) 其中 fk ( t ) 为 k 次多项式. k 例 3: r t D λ Q( D) x= e λ 其中 Q( λ ) 0. 例 4: 2 2 D D+ x= t t 2 例 5: 2 3 cos. t e D + 3D+ 2 x= e. 作业 :p83-2(-3) 3 思考题 : y( x ) 是四阶齐次线性微分方程系数是实常数已知 y( x ) 的 3 一个解是 xe x 求其通解并确定该方程.

12 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法. 掌握比较系数法本讲要求 2. 了解比较系数法相关理论推导重点 : 比较系数法

13 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法一比较系数法的有关理论推导类型考虑常系数非齐次线性微分方程 ( n [ ] ) ( n ) (4.3.) L x = x t + a x t + + a x t + a x t = f t n m m t 设 f ( t) = ( bt 0 + bt + bm t bm) e λ + 其中 λ 以及 bi ( i = 0 m) 为实常数则方程 (4.3.) 有形如 ( 0 m m) * k m m t x = t Bt + Bt + B t+ B e λ n n 的特解其中 k 为 (4.3.) 对应特征方程 n F λ = λ + aλ + + a λ+ a = n n 0 的特征根 λ 的重数即 λ 为单根时对应 k = λ 不是特征根时对应 k = 0. 而 i ( = 0 m) 是待定的常数可以通过比较系数来确定. B i

14 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法 m m 情形如果 λ = 0 此时 f ( t) = ( bt + bt + bm t+ bm) 下面再分两种情形讨论 : () λ = 0 不是特征根即 0 0. F λ 因而 0 x = Bt + Bt + B t+ B * m m 0 m a 此时取 k = 0 并将代入方程 (4.3.) 中并比较 t 的同次幂的次数得到常数 Bi ( i 0 m) 须满足的方程 Ba 0 n = b0 Ba n + mb0an = b B2an + ( m ) Ba n + m( m ) B0an 2 = b2 Ba m n + = bm n m = 必 (4.3.2) 注意到 an 0 这些待定系数 Bi ( i = 0 m) 可以从方程组 (4.3.2) 唯一地确定出来.

15 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法 (2) λ = 0 是 k 重特征根的情形即 ( k 令 y x ) 是 a = a = = a = 0 a 0. n n n k+ n k ( ) ( k ) ( k 而 ) F 0 = F 0 = = F 0 = 0 此时方程 (4..) 变为 n n k = 则方程 (4.3.3) 转化为 a 0 可知 λ = 0 n k F 0 0 也就 ( ) n k (4.3.3) x t + ax t + + a x t = f t ( n k) ( n k ) y + ay + + a y= f t n k 已不是其特征根因此根据 () 可知 (4.3.3) 有特解 k * * d x m m y = = Ct k 0 + Ct + Cm t+ C dt m 对于次方程由于 * 这表明 x 是 t 的 m+ k 次多项式其中 t 的幂次不超过 k 的项带有任意常数. 特别地取这些任意常数均为零而得到 (4.3.3) 一个简单的特解 ( 0 m m) * k m m y = t Dt + Dt + D t+ D 其中 Di ( i = 0 m) 是已经确定了的常数.

16 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法情形 2 如果 λ 0 此时作变量变换 x = ze λt 将方程 (4.3.) 化为其中 A ( i 0 m) i ( ) n n m n + n = m (4.3.4) z Az A z Az bt b = 是常数. 并且 (4.3.) 的特征方程根对应于方程 (4.3.4) 的特征方程的零根并且重数也相同. 因此利用上面的结果就有如下结论 : 当 λ 不是 (4.3.) 的特征方程根时方程 (4.3.4) 有特解从而方程 (4.3.) 有特解 z = Bt + Bt + B t+ B * m m 0 m ( 0 m m) * m m t x = Bt + Bt + B t+ B e λ 而对于 λ 是 (4.3.) 的 k 重特征方程根的情形方程 (4.3) 有特解 * k m m z = t ( Bt 0 + Bt + Bm t+ Bm) 因此方程 (4.3.) 有特解 ( 0 m m) * k m m t x = t Bt + Bt + B t+ B e λ m

17 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法 t 类型 2 设 f ( t) = Am( t) cos βt+ Bl( t) sin βt e α 其中 αβ 为常数则 Am ( t ) 和 Bl ( t ) 分别是 t 的 m 次和 l 次多项式则方程 (4.3.) 形如二比较系数法应用及例题 t n cos β n sin β (4.3.5) * k x = t P t t+ Q t t e α 的特解这里 k 为 (4.3.) 的特征方程根 Q ( t ) 的系数待定其中 n= { ml} n max. 注 : 当 (4.3.) 的特征方程的特征根 α + iβ的重数而 n 次多项式 P ( t ) 和 λ α iβ ( α+ iβ ) t + ( α iβ ) t Am t ibl t Am t ibl t f ( t) = e + e 2 2 = + 为复数时则进一步类似于类型的讨论过程可得方程 (4.3.) 的特解 (4.3.5). 2 例 : 求微分方程 x x x e t = 的通解. 例 2: 求微分方程 y + 3y + 3y + y = e x ( x 5) 的通解. n

18 第十三讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之比较系数法例 3: 求微分方程 y + 4y + 4y = cos 2x的通解. 注 2: 对于类型 (2) 的特殊类型 f ( x) = Am ( t)cos 2x或 f ( x) = Bl ( t)sin 2 x 可令特解形式 x * = t k A ( i ) t m t e α+ β 或 * k ( i ) t x = tbl te α+ β 其中 k 为 (4.0) 的特征方程根 α + iβ的重数然后代入原方程比较系数可求得 Am ( t ) 或 Bl ( t ) 最后求出它的实部 Re{ x * } 或 Im{ x * } 即为原方程通解. 作业 :p83-5(-7) 思考题 : 求方程 x + 4x= tsin 2t的通解已知它对应的齐次线性微分方程有基本解组 cos 2 tsin 2 t.

19 第十四讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之 Laplace 法. 了解 Laplace 变换的定义及其性质本讲要求 2. 掌握 Laplace 算子法重点 :Laplace 算子法的掌握难点 :Laplace 变换的有关性质

20 第十四讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之 Laplace 法一 Laplace 变换的定义及其性质 + st 由积分 F ( s) = e f ( t) dt 所定义的确定于复平面 Re s > σ 上的复变函数 F( s) 0 称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换其中 f ( t ) 于 t 0 有定义且满足不等式 f ( t) < Me σt 这里 M σ 为某两个正常数. 我们将称 f ( t ) 为原函数而 F( s ) 称为像函数. 注 3: 拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程 ( 组 ) 转换成复变数 s 的代数方程 ( 组 ). 通过一些代数运算一般地再利用拉普拉斯变换表即可求出微分方程 ( 组 ) 的解. 方法十分简单方便为工程技术工作者所普遍采用. 当然方法本身也有一定的局限性所考察微分方程的右端函数必须是原函数否则方法就不适用了.

21 第十四讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之 Laplace 法二 Laplace 算子法设给定微分方程 ( n) ( n ) 及初始条件其中 a a2 an n n (4.3.6) x + ax + + a x+ ax= f t ( n ) x 0 = x x 0 = x x 0 = x ( n ) 是常数而 f ( t ) 连续且满足原函数的条件. 注意如果 x( t ) 是方程 (4.3.6) 的任意解则 x( t ) ( k x ) ( t) k 2 n = 均是原函数. 记那么按原函数微分性质有 + st = F s L f t e f t dt + st = X s L X t e x t dt + st L x t e x t dt = sx s x 0 + st ( ) n n n 2 = L x t e x t dt s X s s x s x x n n n 及其各阶导数 ( )

22 第十四讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之 Laplace 法于是对方程 (4.3.6) 两端实行 Laplace 变换并利用线性性质可得即或 sx s s x s x x n n n ( n ) + a s X s s x s x x n n 2 n ( n 2) + + a sx s x + a X s = F s n 0 n n n ( s + as + + an s+ an) X( s) n n 2 = F( s) + ( s + as + + an ) x0 n 2 n 3 ( n ) + ( s + as + + an ) x + + x A( s) X ( s) = F( s) + B( s) 其中 A( s) B( s ) 和 F( s ) 都是已知多项式由此可知 X ( s) = A ( s) F( s) + B( s) 这就是方程 (4.3.6) 的满足所给初始条件的解 x( t ) 的像函数. 而 x( t ) 可直接通过查 Laplace 变换表或由反变换公式计算求得.

23 第十四讲 : 4.3 常系数线性微分方程的其它解法之 Laplace 法三例题例 4: 求解初值问题例 5: 求解初值问题 y + y = sin 2 x y( 0) = 0 y ( 0) =. x + 3x + 3x + x= x( 0) = x ( 0) = x ( 0) = 0. 作业 :p83-6(-3) x 思考题 : 设二阶常系数线性微分方程 y + αy + βy = γe 的一个特解为 2x x y = e + ( + x) e 试确定常数 αβγ 并求该方程的通解.

24 第十五讲 : 4.4Jordan 标准形法与 Sylvester 法. 掌握 Jordan 标准形法本讲要求 2. 掌握 Sylvester 法重点 :Jordan 法与 Sylvester 法的掌握

25 第十五讲 : 4.4Jordan 标准形法与 Sylvester 法一 Jordan 标准形法对于矩阵 A 根据线性代数的知识存在可逆矩阵 T 使得 T AT J = 其中 J J J m n n 2 = J J k λk 0 0 λ k = 0 0 λ k nk nk k = 2 m代表 nk nk Jordan 块儿且满足 m k = n k = n. 因此根据矩阵指数的定义容易验证 exp ( exp ) 其中 Jt e e 0 At T Jt T T = = T Jmt 0 0 e Jt 2 2 nk t t t 2! ( nk )! t Jt= e t k= m 2! t 0 λkt exp 2 k 2

26 第十五讲 : 4.4Jordan 标准形法与 Sylvester 法二 Sylvester 法若 f ( λ ) 是 m( m> k) 次多项式 g ( λ ) 是方阵 A 的最小多项式它的次数为 k. 以 g ( λ ) 去除 f ( λ ) 即得 f ( λ) = g( λ) h( λ) + r( λ) 其中余式 r ( λ ) = 0 或有比 g ( λ ) 更低的次数. 因此 f ( A) = g( A) h( A) + r( A) = r( A) 由此可见次数高于 k 的任一多项式 ( 矩阵的一个多项式 ) 都可以化为次数不超过 m 的 A 的多项式 r( A ) 来计算. 换言之若 f ( A ) 是一个 m 次的矩阵多项式 2 f A = ai+ aa+ aa + + a A m> k m 0 2 m 而 r ( λ ) 是 A 的最小多项式其次数为 k 则有 2 k f( A) = r( A) = bi+ ba+ ba + + b A 0 2 k 即 f ( A ) 可以表示为一个关于 A 的次数不超过 m 的 A 的矩阵多项式 r( A ).

27 第十五讲 : 4.4Jordan 标准形法与 Sylvester 法定理 4.5 设 n 阶方阵 A 的最小多项式为 k 次多项式其中 λ λ2 λs 2 = ( ) ( ) ( ) n n n s 2 g λ λ λ λ λ λ λ s n 是 A 的所有互不相同的特征值且满足 ni = k. 又 f( z) = cz n 是关于 A 收敛的幂级数则矩阵函数 f ( A ) 可以表示成 A 的 k 次多项式 2 k f( A) = ai+ aa+ aa + + a A 系数 a0 a am 由下列方程组的解给出 0 2 k k k 2 2 a0 + aλi + a2λi + + ak λi = f λi a+ 2a2λi + + k ak λi = f λi k ni ( ni ( n! ) ) i an k k n i + + i + ak λi = f λi λ i = 2 s i s i= n= 0 (4.4.6)

28 第十五讲 : 4.4Jordan 标准形法与 Sylvester 法三例题例 : 利用 Jordan 标准形方法计算矩阵例 2: 利用 Sylvester 方法计算矩阵 2 4 A = A = 的矩阵指数. 的矩阵指数 exp At. 作业 :p84-(-2) 5(2 4) 思考题 : 求线性方程组 dx = 3 x y+ z dt dy = 2 x+ z dt dz = x y+ 2z dt 满足初值条件 ( 0 ) ( 0 ) ( 0) T T x y z = 的解.

29 第十六讲习题课一内容回顾二例题 ( 给出若干例题一题多解 ) 三学生练习题重点 : 各种解法的灵活使用作业 :p85-7(-3)

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y