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1 第 3 章电阻电路的一般分析方法本章重点电路的图树树支连支单连支回路独立回路的概念掌握网孔电流法回路电流法节点电压法等分析方法, 求解较复杂电路含有受控源及无伴电源电路的分析计算本章难点根据电路的图树, 用回路电流法列写方程支路电流法网孔电流法回路电流法在电路含有无伴电流源及无伴受控电流源的分析支路电流法节点电压法在电路含有无伴电压源及无伴受控电压源的分析本章学习复杂电阻电路的分析计算电阻电路的分析是以电路中电压或电流为未知量, 根据元件的 VCR 关系 (VCR 定律 ) 和基尔霍夫电压定律 (KVL 定律 ) 基尔霍夫电流定律 (KCL 定律 ) 为理论依据, 建立方程组, 求解未知量, 从而得到电路中未知电压或电流, 并求电路中元件的功率方法有 : 支路电流法网孔电流法回路电流法节点电压法等分析方法, 其中后三种方法较简便, 要重点掌握 3. 电路的图本节介绍一些图论的初步知识图论是数学领域中的一个重要分支, 其在电路中的应用称为网络图论在电路分析中, 以图论为数学工具选择电路的独立变量, 列出电路的独立方程进而求解网络图论用于结构较复杂的电路分析, 也为利用计算机设计计算分析大规模电路奠定了基础 3.. 图的概念在数学图论知识中, 图是由点和边构成的应用于电路上, 对于任何一个电路, 其电路图是由节点和支路构成的, 如果不考虑元件本身的性质, 只考虑元件之间的连接关系, 而用线段和点表示, 就组成了电路的图将电路中每一元件或一些元件的某种简单组合 ( 串并联 ) 用一条线段 ( 长短曲直均可 ) 来代替, 这条线段称为支路每一条支路的端点称为节点, 节点允许是孤立的由支路和点构成的集合, 或者说由线段和点组成的图形, 称为该电路的拓扑图, 简

2 称图通过电路的结构及其连接性质对电路进行分析和研究称为网络图论电路的图中支路和节点与电路图中的支路和节点是有区别的图中的支路是一个抽象线段, 各支路端点为节点, 它可以是两条及以上支路的交汇点, 也可以是一个孤立的节点, 任何一条支路必须终止在节点上, 若支路移去, 允许有孤立节点存在 ; 反之移去一个节点, 必将与该节点连接的全部支路同时移去, 无节点则无支路电路图中的支路由具体元件和导线连接而成, 是一个实体, 节点是两条或两条以上支路的交汇点, 支路连于两节点之间, 无支路则无节点电路的图相同, 但电路图未必相同, 因为每个支路上元件的性质不同若图中的支路按电流 ( 或电压 ) 正方向标示在线段上, 这样的图称为有向图, 即赋予支路方向的图称为有向图, 未赋予支路方向的图称为无向图图的画法如下 : 激励源可作为一个支路处理, 用一根线段 ( 弧线或曲线 ) 表示 ;2 激励源与电阻串联 ( 或并联 ) 组成一个复合支路, 可用一根线段表示 ; 3 受控源同独立源处理 ;4 一个或若干个无源元件串 ( 并 ) 联构成一条支路 ;5 支路用,2,3 表示, 节点用,2,3 表示如图 3. 所示, 其中 (a) 为电路图,(b) (c) (d) 为电路的图,(d) 为有向图 (a) (b) (c) 图 3. 电路的图 (d) 57 第3 章电阻电路的一般分析方法

3 58 电路简明教程3..2 KCL 和 KVL 方程的独立方程个数由 KCL 定律和 KVL 定律列写方程时, 与支路的元件性质无关本节讨论如何利用电路的图列出 KCL 和 KVL 方程, 并讨论方程的独立性 ()KCL 方程的独立性讨论图 3.2 所示为一个电路的图, 由 KCL 定律列出等节点的 KCL 方程如下 : KCL 方程的独立方程数图 3.2 KCL 方程的独立方程数讨论 i + i2 + i4 = 0 i2 + i3 + i5 = 0 i i3 + i6 = 0 i4 i5 i6 = 0 将上述 4 个方程相加, 等号两边均为零, 说明 4 个方程并非都是独立方程, 而将其中任何 3 个方程相加, 必得第 4 个 KCL 方程, 说明其中有三个方程是独立的, 有一个是非独立的对于图 3.2, 每个支路均连于两个节点之间, 从一个节点流出为正, 流入另一节点为负,4 个 KCL 方程列出后, 每个支路电流均出现两次, 一次为正, 一次为负所以将 4 个方程相加为零任意前三个节点的 KCL 方程中 ( 如节点 2 4), 除与第四个节点 ( 如节点 3) 相连的电流只出现一次以外, 其余电流均出现两次, 一次为正, 一次为负, 将前三个方程相加, 出现过一正一负的电流均相互抵消, 只留下与第四个节点相连的支路电流, 那么它即为第四个节点的电流方程, 故它是非独立的, 前三个方程是独立的推广到 n 个节点的电路, n 个 KCL 方程是独立的, 第 n 个方程为非独立的, 对应独立 KCL 方程的节点称为独立节点, 所以 n 个节点电路有 n 个是独立节点,

4 可列写 n 个独立的 KCL 方程注意这 n 个节点是任意选择的, 独立与非独立都是相对而言的列写 KCL 独立方程的方法 : 画出电路的有向图 G;2 选择 n 个独立节点 ; 3 列写 n 个 KCL 方程 (2) 关于 KVL 方程的独立性讨论对应独立的 KVL 方程的回路称为独立回路, 它与支路的方向无关, 故可由无向图来描述为讨论独立性, 将给出路径连通图 G 回路树树支单连支单连支回路等概念如图 3.3 所示电路对于图 3.3(a), 从图 G 的某一点出发, 沿着一个或一些支路移动, 到达另一节点或回到原出发点, 这样一条或多条支路构成了一条路径 (a) (b) (c) 图 3.3 KVL 方程的独立方程数讨论 (d) 如果对于图 G 来说, 任意两个节点之间至少有一条路径就称图 G 为连通图从图 G 的某一节点出发, 沿着一些支路和节点移动, 最后又回到原出发点, 形成闭合路径, 该路径称为回路, 回路中除起点和终点重合外, 其他节点不出现重复, 59 第3 章电阻电路的一般分析方法

5 60 电路简明教程如图 3.3(a) 中支路 (2,3,),(,4,6),(,3,5,4),(2,3,6,4) 等构成回路 n 个节点 (n=4) 总共有 2 n (6) 个不同的回路, 但独立回路数远少于总回路数为确定一组独立回路, 引入树的概念树 T 包含连通图 G 中的全部节点和部分支路, 但不包含回路, 而树 T 本身是连通的对于图 3.3(a) 的连通图, 图 3.3(b) (c) (d) 画出了几种树, 一个连通图中共有树的种类 2 n 个一个树 T 包含的支路称为这个树的树支, 连通图 G 中不属于这个树 T 的支路称为连支由一个连支和树 T 中的若干树支构成一个回路, 称为单连支回路, 又称基本回路, 每个单连支回路仅含一个连支, 且这一连支不会出现在其他单连支回路中, 故单连支回路是独立回路, 由 l 个连支分别与树 T 构成 l 个单连支回路由全部连支和这个树 T 形成的基本回路构成单连支回路组, 故基本回路数等于连支数, 等于独立回路数可以证明, 连支数 l = 独立回路数 = 基本回路数 =KVL 独立方程的个数因为每个单连支回路中都包含一条也仅包含一条连支, 是其他连支回路所没有的, 故每出现一个新的基本回路, 就出现一个新的连支电流, 该连支电流就是独立的, 因而由每个基本回路所建立的关于该连支电流的 KVL 方程也是独立的可以证明, 树支数 = 独立节点数 n =KCL 独立方程的个数这是因为, 对于 n 个节点的电路, 除了第一个树支连于两节点之间, 以后每增加一个节点均出现一个新的树支, 且仅出现一个树支, 因为凡接有支路 ( 树支 ) 的节点之间不能再有支路连接, 否则构成回路, 违背树的定义, 增至第 n 个节点时, 树支数为 n 个, 由于每增加一个新节点就出现一个新树支, 因而该节点的 KCL 方程又出现了一个新的支路电流, 是其他 KCL 方程中没有出现过的电流, 故该节点是独立节点, 对应的 KCL 方程也是独立的, 如图 3.4 所示图 3.4 KCL 独立方程个数由上分析可知, 一个具有 n 个节点 b 条支路的电路, 其连通图 G 的树支数为 n 个, 等于 KCL 独立方程的个数图 G 的连支数为 l 个, 等于 KVL 独立方程的个数, 故独立回路数 l = b ( n ) 电路图有平面图和立体图之分若一个电路画在平面上, 各条支路不会出现交叉但不相连的情况, 这样的图称为平面图平面电路任一不包含支路的闭合回路称为网孔, 如图 3.3(a) 所示共有 3 个网孔网孔必定是回路, 但回路不一定是网孔

6 可以证明 : 网孔数 = 独立回路数 l = KVL 独立方程的个数列写 KVL 独立方程的方法 : 画出电路的图 G;2 任意选一种树 T;3 确定单连支回路组 l;4 由单连支回路组列写 KVL 方程例如图 3.5, 图 (a) 是某电路的图, 图 (b) 实线部分是所选择的树 T(,4, 5), 则 2,3,6 为连支,l = 3, 图 (c) (d) (e) 分别为各单连支回路, 共 3 个, 由此列写出 3 个独立 KVL 方程 (a) (b) (c) (d) (e) 3.2 支路电流法图 3.5 独立的 KVL 方程 u+ u3 + u5 = 0 u u2 + u4 + u5 = 0 u4 u5 + u6 = 0 支路电流法以支路电流为未知量, 通过元件 VCR 关系用支路电流表示支路电 6 第3 章电阻电路的一般分析方法

7 62 电路简明教程压, 列写 n- 个 KCL 独立电流方程及 l = b-(n-) 个 KVL 独立电压方程, 然后联立求解 b 个支路电流共列 b 个方程, 支路电流数与独立方程个数相等, 故可求解各支路电流支路电流法又称 b 法已知元件参数及电源, 求解各支路电流以图 3.6(a) 所示电路为例说明支路电流法 (a) (b) 图 3.6 支路电流法步骤如下 :() 确定各支路电流 I ~ I 6, 参考方向如图所示 (2) 确定独立 KCL 方程个数独立节点数 (n-) = 4- = 3 个确定独立 KVL 方程个数独立回路数为 l = b- ( n-) = 3 个 (3) 选择独立节点 2 3, 由 KCL 定律 I = 0, 列写 (n-) 个 KCL 方程如下 : I+ I2 + I4 = 0 I + I + I = I + I I = (4) 由 KVL 定律 IR = US, 选取回路绕行方向, 列写 l 个 KVL 方程如下 :

8 ( 本电路选取网孔为独立回路, 且绕行方向均设为顺时针方向 ) I R + I R + I R = u u S S4 I R I R I R = u + u S2 S4 I3R3 I5R5 + I6R6 = u S 3 6 联立 ~6 求出支路电流 I ~ I 6 如果以支路电压为未知数, 通过 VCR 关系以支路电压表示支路电流, 列写 (n-) 个 KCL 方程及 l = b - (n-) 个 KVL 方程, 然后联立求解 b 个方程组的方法称为支路电压法 ( 又称 b 法 ) 电压源若没有串联电阻, 该电压源称为无伴电压源 ; 电流源若没有并联电阻, 该电流源称为无伴电流源若电路中含有无伴电流源, 在列写 KVL 方程时, 设该电流源电压为未知量, 增加一个新未知量, 则要增加一个新方程, 即建立该支路电流等于电流源的关系式, 未知量变为 b+ 个, 方程也为 b+ 个, 仍然可以求解支路电流法简单, 但求解方程组较麻烦, 当电路复杂支路数多时, 需采用其他简便方法例 3- 电路如图 3.7 所示, R = R 2 = 0Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = R 5 = 8Ω, R 6 = 2Ω, u S 3 = 20V, u S 6 = 40V 用支路电流法求解电流 I 5 图 3.7 例 3- 的图解 : 各支路电流参考方向如图 3.7 所示支路 b = 6, 独立节点 n-=3 个, 独立回路 l =6-3=3 个需列写 3 个 KCL 方程及 3 个 KVL 方程选取独立节点 2 3, 如图 3.8 所示, 由 KCL 定律 : I + I I = I2 I3 + I4 = 0 I4 + I5 + I6 = 0 选取网孔 2 3 绕行方向, 由 KVL 定律 : IR I2R2 + I3R3 = u S 第3 章电阻电路的一般分析方法

9 64 电路简明教程I3R3 + I4R4 + I5R5 = u S 3 I2R2 + I4R4 + I6R6 = u S 6 联立方程 ~6, 代入数据求解 I 5 = 0.96A 3.3 网孔电流法 5 6 网孔电流法以网孔电流为未知数, 由 KVL 定律列写 l = b-(n-) 个关于网孔电流的独立方程, 然后联立求解网孔电流, 并由此求出各支路电流的方法比支路电流法少 n- 个方程, 从而简化分析计算适用于平面电路节点多网孔少的情况 3.3. 网孔电流的概念已知电路元件及参数, 求解各支路电流或电压, 电路如图 3.8(a) 所示, 如果用支路电流法求解, 回路选顺时针绕向 (a) (b) (c) 图 3.8 网孔电流法由 KCL 定律对节点 : I+ I2 + I3 = 0 (3-)

10 由 KVL 定律对回路 : I R + I R = u u (3-2) 对回路 2: 2 2 S S2 I R + I R = u u (3-3) S2 S3 由 (3-) 得 : I 2 = I I 3, 代入 (3-2) (3-3) 得 : IR + ( I I3) R2 = us us2 ( I I3) R2 + I3R3 = us2 us3 整理 : I ( R + R ) R I = u u S S2 IR 2 + ( R2 + R3) I3 = us2 us3 (3-4) (3-4) 式可以这样考虑, 假设网孔流过电流 Im = I, 网孔 2 流过电流 Im2 = I3, 则支路流过电流 I m, 支路 3 流过电流 I m2, 支路 2 流过电流为 Im Im2, 式 (3-4) 由式 (3-) 代入 (3-2) (3-3) 得到, 故 (3-4) 中 KCL 定律自行满足网孔电流方程独立性讨论从图论的观点分析, 如图 3.8 所示由上面分析可知 : 设连通图如图 3.8(b) 所示, 选 2 为树支, 则 3 为连支, 连支流过的电流即为网孔电流, 而树支流过的电流为网孔电流的代数和, 因而在列写 l 个 KVL 方程时 KCL 方程已自行满足 ; 2 网孔是独立的, 是单连支回路, 故网孔电流方程也为独立方程, 网孔数 = 独立回路数 l, 故可由网孔电流方程求解电路各支路电流为 : 非公共支路电流即为网孔电流 ( 该支路设为连支电流 ), 公共支路电流是相邻网孔电流在该支路上的代数和 ( 该支路设为树支电流 ), 所有支路电流均可由网孔电流求出网孔电流方程的一般形式令 I = I m, I 3 = I m2, 将 I m I m2 代入式 (3-4) 可写为 : ( R+ R2) Im R2Im2 = us us2 RI 2 m + ( R2 + R3) Im2 = us2 us3 (3-5) 从式 (3-5) 可以看出, 在列写 l 个 KVL 方程时,KCL 方程已自行满足联立求解 I m I m2, 然后求出 I I 2 I 3 称 R = R + R2 为网孔的自电阻, R 2 = R 2 为网孔 2 对网孔的互电阻, R2 = R2 为网孔对网孔 2 的互电阻, R 22 = R 2 + R 3 为网孔 2 的自电阻, 式 (3-5) 可写为 : RIm + R2Im2 = us R2Im + R22Im2 = us22 65 第3 章电阻电路的一般分析方法

11 66 电路简明教程网孔电流方程的一般形式为 : R Im + R Im + L+ R mimm = us R Im + R Im + L+ R mimm = us LL R I + R 2I 2 + L+ R I = u m m m m mm mm S mm (3-6) 共 m 个网孔电流方程式 (3-6) 可表述为 : 本网孔电流自电阻 + 相邻网孔电流互电阻 = 本网孔中所有电源电压的代数和其中 : 当两个网孔电流在互电阻中流过的方向相同时, 互电阻为正 ; 反之为负电源电压与绕行方向相反为正 ; 相同为负自电阻均为正值, 网孔电流方向即为电压绕行方向, 所以自电阻均为正 ; 互电阻是正还是负, 要看相邻网孔电流在互电阻上流向与本网孔电流是否相同, 若相同, 则为正, 因电压顺网孔电流方向为正 ; 反之为负若选网孔电流均为顺时针 ( 或逆时针 ), 则所有互电阻均为负值网孔法步骤 () 确定各支路电流参考方向设网孔电流方向, 网孔数共为 l = b ( n ) 个 (2) 列写网孔电流方程 (3) 解方程求出网孔电流 (4) 由网孔电流求出各支路电流非公共支路 ( 单连支 ) 电流 = 网孔电流, 公共支路 ( 树支 ) 电流为各网孔电流的代数和其中与该支路电流方向一致的网孔电流取 +, 反之取注意 : 当电路中存在电流源与电阻的并联组合时, 可以先将其等效变换为电压源与电阻的串联组合, 然后再按上述方法写方程 ;2 若电阻与电流源串联, 该电流源为无伴电流源, 处理方法见后 ;3 平面电路一般选网孔为独立回路, 无需再通过确定树来选择独立回路, 可以简化分析 ;4 以后列写回路电流方程时, 无需再做上面推导, 可按一般形式直接列写特别地, 无伴电流源及无伴受控电流源, 其端电压为未知量, 列写方程时增加一个未知量, 就需要建立一个新方程, 即建立电流源所在支路电流与网孔电流的关系式, 使方程数等于未知量个数, 从而才能求解方程电路中若不含无伴电流源及受控源, 则网孔电流方程组的系数行列式是一个对称矩阵, 由此可以检验方程是否正确例 3-2 电路如图 3.9 所示, R = R 2 = 0Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = R 5 = 8Ω, R 6 = 2Ω, us3 = 20V, us6 = 40V, 用网孔法求解电流 I 5 解 : 选网孔电流为 I m I m2 I m3, 方向如图 3.9 所示由网孔电流法列方程如下 :

12 代入数据, 解得 : m A 则 I5 = I m 3 = 0.96A ( R+ R2 + R3) Im R2Im2 R3Im3 = us3 R I + ( R + R + R ) I R I = u RI RI + ( R + R + R) I = u I = 2 m m2 4 m3 S6 3 m 4 m m3 S3 图 3.9 例 3-2 的图 3.4 回路电流法回路电流法是以回路电流为未知数, 列写一组 l = b ( n ) 个独立的 KVL 方程, 然后求解电路的方法适用于平面或非平面电路, 比支路电流法少列 n- 个 KCL 方程 3.4. 回路电流的概念上节网孔电流法假设网孔流过电流列写关于网孔电流的 KVL 方程, 由于网孔是独立回路, 所以网孔电流是独立变量, 列写的网孔电流方程也是独立的, 从而可以求解网孔电流本节假设每个回路中流过电流, 为使方程是独立方程, 所选回路为单连支回路, 假设该回路中流过的电流为回路电流, 则连支电流即为回路电流关于回路电流方程独立性的讨论由于单连支回路是独立回路, 每个连支电流也是独立变量, 不受其他回路电流即单连支回路电流制约, 由连支回路组列写的关于连支电流即回路电流的 KVL 方程组也是独立方程组由图论知, 对于 n 个节点 b 条支路的电路其连支数 l = 独立回路数 = b ( n ) 个, 连支流过回路电流, 树支电流是流过该树支的所有回路电流即单连支电流的代数和, 可由连支电流求出, 故体现了 KCL 定律的制约关系, 是非独立电流, 共 67 第3 章电阻电路的一般分析方法

13 68 电路简明教程有 n- 个由此所有支路电流可由 l 个回路电流表示, 列回路电流方程时, 因可以用回路电流表示树支电流, 已满足 KCL 方程, 故只需列 l 个 KVL 方程即可回路电流方程的一般形式电路如图 3.0(a) 所示,3.0(b) 为该电路的图, 选为树支, 5 6 为连支, i l i l 2 i l3 为连支电流, 如图 3.0(c) (d) (e) (f) 所示 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 图 3.0 回路电流法则连支电流 I = I l, I 5 = I l3, I 6 = I l 2, 树支电流 I2 = Il+ Il2, I3 = Il+ Il2 Il3, I 4 = I l2 + I l3 树选择的不同, 则树支数和连支数也各不相同, 而计算结果树支电流和连支电流也不一定相同, 但各支路电流是一样的由 KVL 定律, 对于回路回路 2 回路 3 列写方程如下 : ( R+ R2 + R3) Il ( R2 + R3) Il2 + R3Il3 = us3 ( R2 + R3) Il + ( R2 + R3 + R4 + R6) Il2 ( R3 + R4) Il3 = us6 us3 (3-7) RI 3 l ( R3 + R4) Il2 + ( R3 + R4 + R5) Il3 = us3 求解 l I I l 2 I l3, 即可求出 I ~ I 6支路电流

14 设 R = R + R2 + R3, R 2 = R 2 = ( R 2 + R 3 ), R 3 = R 3 = R 3, R 22 = R 2 + R 3 + R4 + R6, R 23 = R 32 = ( R 3 + R 4 ), R 33 = R 3 + R 4 + R 5, 其中 R R 22 R 33 称为自电阻, 其余为互电阻, 如 R2 = ( R2 + R3 ), 是相邻回路的电流流过回路 2 的互电阻 R2 + R3时产生的电压, 与回路 2 电流方向即 KVL 方程的绕行方向相反, 故为 - 号自电阻均为正的, 互电阻的正或负要看相邻回路电流在公共支路的电阻上产生的电压, 是否与本回路电流方向一致, 若一致则为 +, 反之为 - 说明回路电流方向代表了 KVL 方程的绕行方向从上式 (3-7) 可以看出 KCL 定律在其内自行满足对回路 2 有 : R2( Il+ Il2) + R3( Il2 Il3 Il) + R4( Il2 Il3) + R6Il2 = us6 us3 用支路电流法列写方程为 : RI + RI + RI + RI = u u S6 S3 与支路电流法比较, 在列写回路 2 的 KVL 方程时, 用到了 KCL 定律 I2 = Il+ Il2, I 3 = I l + I l2 I l3, I 4 = I l2 I l3, 故 KCL 方程在其中自行满足, 比支路电流法少列 n- 个 KCL 方程回路电流方程的一般形式为 : RIl + R2Il2 + L+ R lill = us R2Il + R22Il2 + L+ R2lIll = us22 (3-8) L RI l l + RI l2 l2 + L+ RI ll ll = usll 其中 R, R22, LRll 为自电阻, 分别为各回路所有电阻之和, R 2, R 3,L R l( l ) 为互电阻, 是该回路与相邻回路的公共支路上所有电阻之和, us, us 22, L usll 为回路,2, l 中所有电压源的代数和, 其中与回路电流方向相同的电压源电压取 -, 反之取 + 式 (3-8) 表述为 : 本回路自电阻本回路电流 + 互电阻相邻回路电流 = 本回路上所有电压源的代数和注意 : 若电路中有电流源和电阻的并联组合, 可经过等效变换为电压源和电阻的串联组合 ;2 若电阻与电流源串联, 该电流源为无伴电流源, 处理方法见后 ;3 以后列写回路电流方程时, 无需再做上面推导, 可按一般形式直接列写 ; 4 电路中若不含受控源及无伴电流源, 则回路电流方程组的系数行列式是一个对称矩阵, 由此可以检验方程是否正确回路电流法步骤 : () 确定各支路电流方向, 作电路的有向图 (2) 选择一种树, 确定连支树支及单连支回路组, 标示回路电流方向 ( 即连支电流方向 ) 69 第3 章电阻电路的一般分析方法

15 70 电路简明教程(3) 列写 l = b ( n ) 个回路电流方程 (4) 解方程, 求出 l 个回路电流 (5) 求各支路电流连支所在的支路电流等于该连支回路电流 ; 树支所在的支路电流等于流过该树支的所有回路电流代数和, 其中与树支方向一致者, 回路电流取 +, 反之取 - 特别地, 对于无伴电流源因其不能转换为电压源的形式处理, 可设其端电压作为一个变量列入方程, 并增加一个方程, 建立无伴电流源所在支路与回路电流的关系式也可采用简便方法 : 选无伴电流源所在支路为一连支, 尽量避免列写该连支所在回路的回路电流方程对于无伴受控电流源, 建立 CCCS 的控制量电流 ( 或 VCCS 的控制量电压 ) 与回路电流的关系式对于受控电压源用回路电流表示受控源电压, 将其作为电源列于 KVL 方程右边, 经整理后将回路电流写于方程左边对于平面电路尽量选取网孔作为回路要注意的是列写回路电流方程, 尽管未知量是电流, 但方程是以电压为量纲的例 3-3 电路如图 3.(a) 所示, I S = 5A, 为无伴电流源, 试用回路电流法列出电路的方程 (a) 图 3. 例 3-3 的图 (b) 解 : 各支路电流如图所示选为树支, 则 3 6 为连支, 各回路电流方向如图 3.2(b) 所示由回路电流法 : 对回路 0Il 0Il2 = 50 0IX () 对回路 2 0 Il+ ( ) Il2 20Il3 = 30 (2) Il2 = I X (3) I l3 = 5 (4) 联立 ()(2)(3)(4) 求解 I l I l 2 I l3 各支路电流 I = I l, I 2 = I l I l2, I 3 = I l 2, I 4 = I l I l3, I 5 = I l2 I l3,

16 I6 = I l 3 = 5A 上面分析中, 把元件电流源 I = 5A 所在支路选为一个连支, 避开列写连支 6 S 所在回路 3 的回路电流方程, 而受控电压源 0I X 用回路电流表示, 其作为电压源列于等式右边另一解法 : 也可设 5A 无伴电流源的电压为 u 0, 如图 3.(a) 所示, 树支和连支选择与上面相同列写方程如下 : 0Il 0Il2 = 50 0IX 0 Il + ( ) Il2 20Il3 = 30 20Il2 + 20Il3 = u0 + 0IX Il2 = I X Il3 = 节点电压法节点电压法是以节点电压为未知量, 列写 n 个独立节点的 KCL 方程, 然后求解电路的方法适用于平面及非平面电路节点少回路多的情况, 比支路电流法少列 l 个方程 3.5. 节点电压的概念我们知道电压与电位参考点的选取无关每一支路连于两个节点之间, 而支路电压即两节点电位之差, 若选其中某一节点电位为参考电位, 设为零电位, 则另一节点到该点的电位即为节点电位, 该节点电位也即支路电压大小故节点电位也称为节点电压所谓节点电压是指独立节点与参考点的电位之差所有支路电压均可通过 KVL 方程建立与节点电位的关系, 用节点电压表示, 进而可表示所有支路电流节点用,2,3 等表示, 节点电压用 u n u n2 u n3 u n4 等表示电路如图 3.2 所示, 设节点 4 为参考节点, u n 4 = 0, 则节点,2,3 为独立节点, 则有 : u = un un4 = un, u 2 = u n2 u n4 = u n2, u 3 = u n3 u n4 = u n3 由 KVL 方程 : u4 + u2 u = 0 u4 = u u2 = un un2 u2 + u3 + u5 = 0 u5 = u2 u3 = un2 un3 u + u3 + u6 = 0 u6 = u u3 = un un3 由上可知, 各支路电压 u ~ u 6均可由节点电压表示, 在此过程中,KVL 定律自行满足, 所有支路电压由节点电压表示列写 n- 个 KCL 方程时均用节点电压表示, 无需再列写 KVL 方程, 因此比支路电流法少列 l =b-(n-) 个方程 7 第3 章电阻电路的一般分析方法

17 72 电路简明教程(a) 图 3.2 节点电压法 (b) n 个节点电压方程独立性讨论前面已分析对于 b 条支路 n 个节点的电路,n- 个 KCL 方程是独立的, 由 n- 个节点电压根据 VCR 关系表示各支路电流, 所列 KCL 方程也是独立的, 而 l =b-(n-) 个支路电压是非独立的, 可由 n- 个节点电压 ( 支路电压 ) 求得, 而独立节点数恰好是 n- 个, 故可用独立的节点电压 ( 电位 ) 作为独立变量表示 b-(n-) 个支路电压节点电压方程的一般形式用 n 个 KCL 方程求解电流, 通过元件 VCR 关系式 ( 有源支路欧姆定律或无源支路欧姆定律 ), 用节点电压表示各支路电流, 然后代入 n 个 KCL 方程中, 则 n 个 KCL 方程就成为关于节点电压的方程由 VCR 关系可用节点电压表示各支路电流 Un I = R U 2 Un2 US2 I2 = = R2 R2 U n3 I3 = R3 U 4 Un Un2 I4 = = R4 R4 U5 Un2 Un3 I5 = = R5 R5 U + U U U + U I6 = = R R 6 S6 n3 n S6 6 6 由 KCL 定律, 对节点节点 2 节点 3 列写方程如下 : (3-9)

18 I+ I4 I6 = 0 I2 I4 + I5 = 0 I3 I5 + I6 = 0 将式 (3-9) 代入式 (3-0) 中, 得 : Un Un Un2 Un3 Un + US6 + = 0 R R4 R6 Un2 US2 Un Un2 Un2 Un3 + = 0 R2 R4 R5 Un3 Un2 Un3 Un3 Un + US6 + = 0 R3 R5 R6 整理得 : U S Un Un2 Un3 R R4 R = 6 R4 R6 R6 U U U U = R R R U U U U = R R R S 2 n n2 n3 R 4 2 R4 R5 5 2 S 6 n n2 n3 R R5 R 6 6 (3-0) (3-) (3-2) 写成电导形式 : ( G+ G4 + G6) Un GU 4 n2 GU 6 n3 = GU 6 S6 G4Un + ( G2 + G4 + G5) Un2 GU 5 n3 = G2US2 (3-3) GU 6 n GU 5 n2 + ( G3 + G5 + G6) Un3 = GU 6 S6 令 G = G + G4 + G6 G2 = G4 = G2 G3 = G6 = G3 G22 = G2 + G4 + G5 G23 = G5 = G32 G33 = G3 + G5 + G6 其中 G G 22 G 33 称为自电导, 等于连于本节点上所有电阻倒数之和 ; 其余为互电导, 是本节点与相邻节点的公共支路上电阻倒数之和自电导都是正的, 因为本节点对参考点为正电位, 连于本节点所有支路电流均向外流出, 互电导均是负的, 因为相邻节点对本节点的电位差使该支路电流流向本节点节点电压方程的一般形式为 : GU n + GU 2 n2 + L+ G( n ) Un ( n ) = IS LL (3-4) G( n ) Un + G( n 2)2Un2 + L+ G( n ) ( n ) Un ( n ) = IS ( n ) ( n ) 共列写 n 个节点电压方程式 (3-4) 表述为 : 本节点电压自电导 + 相邻节点电压互电导 = 汇于本节点所有电流源的代数和其中指向本节点的电流源为 +, 反之为 - 有伴电压源电压方向背离本 73 第3 章电阻电路的一般分析方法

19 74 电路简明教程节点者为 +, 反之为 - 注意 : 若电路中有电压源和电阻的串联组合, 可经过等效变换为电流源与电阻的并联组合 ;2 若电阻与电压源并联, 该电压源为无伴电压源, 处理方法见后 ;3 以后列写节点电压方程时, 无需再推导, 可按一般形式直接写出 4 尽管节点电压是未知量, 节点电压方程中方程式各量纲为电流 ;5 电路中不含受控源和无伴电压源, 则上述方程的系数行列式为对称矩阵弥尔曼定律 : 对于两个节点多个回路的电路 ( 如图 3.3 所示 ) 图 3.3 弥尔曼定律用节点电压法写出方程 : GU + GU + GU U NN = G + G + G + G a A b B c C a b c 式 (3-5) 称为弥尔曼定律其中 G0 =, Ga =, Gb =, Gc = R R R R 节点电压法的步骤 : 0 a b c () 确定各支路电流的参考方向 (2) 选取参考节点和 ( n ) 个独立节点, 并标号,2 (3) 列写 n 个节点电压方程 (4) 解方程求出节点电压 (5) 求各支路电压 0 (3-5) 最后可由 KCL 定律验证结果的正确性参考节点的选取是任意的, 余下的 n 个节点则是独立节点, 独立与非独立是相对而言的, 一般选公共支路交叉多的节点作为参考点, 可简化分析特别地, 无伴电压源因电压源支路没有串联电阻, 不能转换为电流源并联形式, 因此对于无伴电压源及无伴受控电压源的处理, 可增设一个新的未知电流变量, 同时增加一个新方程, 建立节点电压与无伴 ( 受控 ) 电压源的关系使方程数与未知量个数相同, 才能解出方程也可采用简便方法, 对于无伴电压源及无伴受控电压源, 尽量避免列写其所连节点的节点电压方程, 并增加一个新方程, 建立节点电压与无伴电压源的关系, 或建立节点电压与无伴受控电压源电压的关

20 系式对于无伴受控电流源则要建立节点电压与受控电流源电流的关系式例 3-4 用节点电压法求图 3.4 电路中的电流 I 2 I 3 U n2 图 3.4 例 3-4 的图解 : 电路如图 3.4 所示选节点 3 为参考节点, 2 为独立节点, 设 U n 为节点电压由节点电压法, 写出节点电压方程如下 : + Un Un2 = Un + + Un2 = Un 2Un2 = 8 整理得 5Un + 5Un2 = Un Un2 24 解方程得 Un = V Un2 = V I3 = = A U 4 n I2 = = = A 经验证满足 2 节点 KCL 定律例 3-5 用节点电压法列写图 3.5 所示电路的方程解 : 电路如图 3.5 所示设 U n4 = 0, 选 2 3 为独立节点由节点电压法, 列写 2 3 节点方程如下 : Un Un2 Un3 = Un2 + Un3 = UX 8 8 UX = Un2 U n = 20 电压源 20V 为无伴电压源, 避开列写节点的 KVL 方程 75 第3 章电阻电路的一般分析方法

21 76 电路简明教程图 3.5 例 3-5 的图方法二 : 设 20V 电压源流过电流为 I 0, 列写,2,3 节点方程 Un Un2 = I Un + Un2 Un3 = Un2 + Un3 = UX 8 8 UX = Un2 U n = 20 u0 例 3-6 用节点电压法求图 3.6 所示电路的电压比值 u 图 3.6 例 3-6 的图解 : 用节点电压法设 U n3 = 0, 对节点列写节点电压方程

22 u + + u u u = R R R R R R 由运放器的性质 : i = i = 0 u = u + () + 对运放器 A 还有 : u = u = 0 u 式 () 可写为 : u0 u0 = (2) R R R R4 对运放器 A 2 有 : u = u = u = ur = u R + R 将式 (3) 代入 (2), 整理得 : u0 R2R3( R4 + R5) = u R ( R R + R R + R R ) 方法二 : 此题还可以用前面 (.7 节 ) 所学的方法求解 + 根据运放器的性质 : i = i = 0 u = u + (3) + 对运放器 A 还有 : u = u = 0 () 由 KCL 定律对节点列写方程 : u u u u0 u u0 = + (2) R R R 对运放器 A 2 有 : R u = u = u = u = u 4 0 R4 0 R4 + R5 将式 () (3) 代入 (2), 整理得 : u0 R2R3( R4 + R5) = u R ( R R + R R + R R ) (3) 章节回顾本章讨论线性时不变电阻电路的分析计算方法, 在列方程求解电路时, 知道如何列方程和列几个 KCL 方程及 KVL 方程合适. 本章学习有关图的知识为了求解电路中的电流和电压等未知量, 在列写电路方程时, 应用图的概念选择独立变量, 确定列写独立的 KCL 方程及 KVL 方程的个数若不考虑元件本身的特性, 只考虑电路的连接关系即拓扑关系, 用一些线段和点组成的图形称为图, 它反映了电路的结构及连接性质, 应用拓扑约束特性即 KVL 定律 KCL 定律, 建立方程组, 从而求解未知量, 要掌握支路节点图与电路中的支路节点电路图的区别, 掌握有向图连通图回路树树支连支单连支回路网孔平面电路的概念 77 第3 章电阻电路的一般分析方法

23 78 电路简明教程电路中支路和节点与电路的图中的树支与连支关系 : b 条支路中, 树支数 (n-) 个, 从而确定独立 KCL 方程的个数 ; 连支 l 个, 确定独立 KVL 方程个数支路数 b = 树支数 (n-)+ 连支数 l 树支数 = 节点数 n- 连支数 l = 独立回路数 = 网孔数 =b-(n-) 2. 支路电流法和支路电压法是分析电路的基本方法, 设电路中支路数 b 为未知量个数, 根据 n- 个 KCL 方程组及 l =b-(n-) 个方程组联立求解电路, 是本章最简单的方法, 但当电路含多个支路时电路方程个数较多, 求解过程较麻烦, 因而不是最简便的方法 3. 网孔法需要列写 l =b-(n-) 个网孔电流方程, 比支路电流法少列 (n-) 个方程, 此方法在列方程时 KCL 定律自行满足, 因所有支路电流均可用网孔电流表示, 适用于回路少节点多的情况网孔法适用于平面电路, 采用网孔法求解电路时无需作电路的图, 直接用网孔法列 m 个网孔电流方程, 解方程后再用网孔电流求解各支路电流 4. 回路电流法适用于非平面或平面等任一种电路需要列写 l =b-(n-) 个回路电流方程, 比支路电流法少列 n- 个方程, 此方法在列回路电流方程时 KCL 定律自行满足因所有支路电流均可以用回路电流表示回路法在分析平面电路及非平面电路时, 要作出电路的图, 确定树树支, 由若干个树支和一个连支构成单连支回路, 从而确定单连支回路组, 由此列写 l 个方程求解电路, 要注意无伴电流源无伴受控电流源及受控电压源的处理方法 5. 节点电压法需列写 n- 个节点电压方程, 比支路电流法少列 l =b-(n-) 个方程, 因在用节点电压表示所有支路电流时 KVL 定律自行满足适用于节点少回路多的情况, 采用节点电压法时无需作电路的图, 解出节点电压后再求出各支路电压及电流 6. 无伴电源及无伴受控源的处理方法 : 用支路电流法网孔法及回路法分析电路时, 以 KVL 定律为基础列写, 当电路中含有无伴电流源及无伴受控电流源时, 因不能等效变换为电压源和电阻的串联形式, 需增设一个新的未知量电压表示其两端电压, 同时增加一个新的方程, 即建立该电流源电流与网孔电流或回路电流未知量的关系式 ; 或者设该支路为一连支, 避免列写该连支回路方程, 同时添加一个新的方程, 建立无伴受控电流源或无伴电流源与未知量网孔电流 ( 回路电流 ) 的关系式支路电流法节点电压法以 KCL 方程为基础列写, 当电路中含有无伴电压源及无伴受控电压源时, 因不能等效变换为电流源和电阻的并联形式, 需增设一个新的未知量电流表示通过其电源的电流, 同时增加一个新的方程, 即建立该电流与节点电压的关系式 ; 或者避免列写该电源所连节点的节点电压方程, 并添加一个新方程, 即建立无伴电压源或无伴受控电压源与未知量节点电压的关系

24 习题 3- 题 3- 图示电路标示了电流 ( 电压 ) 的参考方向, 画出该电路的图, 并求出支路数 b 节点数 n 和基本回路数 l, 指出 KCL KVL 独立方程数为多少? 题 3- 图 3-2 对题 3-2 图示电路画出 4 个不同的树, 树支数分别为多少? 题 3-2 图 3-3 对题 3-3 图示的非平面图, 设 () 选择支路 (,2,3,4) 为树 ;(2) 选择 (5,6,7,8) 为树, 问独立回路各为多少? 求其 ( 独立 ) 基本回路组题 3-3 图 79 第3 章电阻电路的一般分析方法

25 80 电路简明教程3-4 题 3-4 图示电路中, 已知 R = 2Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 20Ω, U = 0V, U S 2 = 20V, 求电流 i, 3 并计算 R 3 的电压和其吸收的功率 S 题 3-4 图 3-5 题 3-5 图示电路为晶体管放大器等效电路, 各电阻及 β 均为已知, 求电 i2 u2 流放大倍数 Ai i 和电压放大倍数 Au u 题 3-5 图 3-6 用支路电流法求题 3-6 图示电路中的电流 i x 题 3-6 图 3-7 用网孔法求题 3-4 电路 3-8 用网孔法列写题 3-8 图示电路中网孔电流方程 3-9 已知题 3-9 图示电路中, R = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = Ω, u = 20V, I S = 0A, I S 2 = 5A, 用网孔法求流过 R 3 的电流 I 3 S

26 题 3-8 图题 3-9 图 3-0 用网孔法列写题 3-0 图示电路的网孔电流方程题 3-0 图 3- 用网孔法求题 3- 图示电路电阻 R L 上的电流 I L 题 3- 图 3-2 已知 u S = 5V, R = R 2 = R 4 = R 5 = Ω, R 3 = 2Ω, μ = 2 用网孔法求题 3-2 图示电路中 u 3-3 用回路电流法求题用回路电流法求解题 3-4 图电路中的电流 I 与电压 u 题 3-5 图示电路, 其中 g = 0.s, 用网孔法求流过 8Ω 电阻的电流 8 第3 章电阻电路的一般分析方法

27 82 电路简明教程题 3-2 图题 3-4 图题 3-5 图 3-6 用回路电流法求解题 3-6 图示电路中电压 u 0 和电流 i 用回路电流法求题 3-7 图示电路中电压 u 0 题 3-6 图题 3-7 图

28 3-8 用回路法求题 3-8 图示电路 (a) 中 u X 及 (b) 中 I (a) 题 3-8 图 (b) 3-9 列出题 3-9 图示电路 (a) (b) 的节点电压方程 (a) (b) 题 3-9 图 3-20 用节点电压法求题用节点电压法求题求题 3-22 图示 (a) (b) 电路中电流 I 83 第3 章电阻电路的一般分析方法

29 84 电路简明教程(a) (b) 题 3-22 图 3-23 求题 3-23 图示电路中的电压 u 0 题 3-23 图 3-24 题 3-24 图示电路中, 若 i X = i, 求电阻 R X 的值 8 题 3-24 图

30 3-25 用节点法求题 3-25 图示电路中的电压 u 题 3-25 图 3-26 求题 3-26 图示电路 u 0 与 u u 2 u 3 的关系题 3-26 图 3-27 求题 3-27 图示电路 u 0 与 u S u S 2 的关系题 3-27 图 85 第3 章电阻电路的一般分析方法

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PowerPoint Presentation 电路基础 (Fundamentals of Electric Circuits, INF.5) 8 年月日教授 zwtang@fudan.edu.cn http://rfic.fudan.edu.cn/courses.htm 复旦大学 / 微电子学院 / 射频集成电路设计研究小组版权 8, 版权保留, 侵犯必究版权 8, 版权保留, 侵犯必究第三章电阻电路的分析电路的图支路电流法和支路电压法