Homework7 答案 1. 均匀磁场中的中性自旋 1/2 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向 (θ, φ) 的单位矢量,σ n = n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n = 1 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与

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丸软薛
4 years ago
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1 Homework7 答案. 均匀磁场中的中性自旋 / 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向, 的单位矢量,σ n n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与相应几率请问要经过多长时间才能回到初态? 解 : 设哈密顿量为 H µ s B e h m σ B ec e hb ψ m σ ec x hωσ x, ω cos e i sin ei 哈密顿量相应的本征值和本征矢为 E hω, ψ E hω, ψ eb m ec,σ n 的本征态为 3 初始态 ψ 是 ψ, ψ 的叠加态 ψ aψ + bψ, 其中 a + b 利用本征态矢正交性得 a ψ ψ cos e i sin ei cos e i + sin b ψ ψ ei cos e i sin ei cos e i sin ei 4 5 得到 ψ cos e i + sin ei ψ + cos e i sin ei ψ, 由此我们可以求出 t 时刻的波函数为 ψt cos e i + sin cos e i + sin ei ei e ī h Et ψ + cos e i sin e iωt ψ + cos e i sin ei ei e ī h Et ψ e iωt ψ

2 cosωtcos e i isinωtsin ei cosωtsin ei isinωtcos e i 6 我们也可以直接根据初态得到 ψt ψt e ī h Ĥt ψ e iωtσx ψ cosωt isinωtσ x ψ cosωt isinωt cos e i isinωt cosωt sin ei cosωtcos e i isinωtsin ei cosωtsin ei isinωtcos e i 7 计算 S x, S y, S z 的测量值与相应几率 : 方法一 : 把 ψt 按力学量的本征矢展开 ψt atψ y + btψ y, 其中 a + b S y 的本征值和本征矢为 S y h, ψ y i S y h, ψ y i 8 9 S z 的本征值和本征矢为 S z h, ψ z S z h, ψ z 利用本征态矢正交性得 a y t ψ y ψt i cosωtcos e i isinωtsin ei cosωtsin ei isinωtcos e i cosωt sinωtcos e i icosωt + sinωtsin b y t ψ y ψt i cosωtcos e i isinωtsin ei cosωtsin ei isinωtcos e i cosωt sinωtcos e i + icosωt + sinωtsin a z t ψ z ψt ei ei 3

3 cosωtcos e i isinωtsin ei cosωtsin ei isinωtcos e i cosωtcos e i isinωtsin b z t ψ z ψt ei cosωtcos e i isinωtsin ei cosωtsin ei isinωtcos e i cosωtsin ei isinωtcos 得到 t 时刻 S x, S y, S z 测量值和相应几率为 e i 4 5 S y+, P y+ a y t sinωtcos + cosωtsinsin S y, P y b y t + sinωtcos cosωtsinsin < S y > t S y+ P y+ + S y P y h sinωtcos + sinsincosωt 6 S z+, P z+ a z t cosωtcos + sinωtsinsin S z, P z b z t + cosωtcos sinωtsinsin < S z > t S z+ P z+ + S z P z h cosωtcos + sinωtsinsin 7 S x+, P x+ a + sincos S x, P x b sincos < S x > t S x+ P x+ + S x P x h sincos 8 注意经典物理图像 : 期望值描述自旋矢量绕 x 进动, 所以 < S x > 不变,< S y >, < S z > 转动方法二 : 在 Heisenberg picture 下计算 < S x t >, < S y t, < S z t >. σ x t e ī h Ht σ x e ī h Ht e iωtσx σ x e iωtσx cosωt + isinωtσ x σ x cosωt isinωtσ x cosωt isinωt cosωt isinωt isinωt cosωt isinωt cosωt isinωt isinωt < S x t > h < σ xt > 9 3

4 ψ σtψ h sincos σ y t e ī h Ht σ x e ī h Ht e iωtσx σ x e iωtσx cosωt + isinωtσ x σ x cosωt isinωtσ x cosωt isinωt i cosωt isinωt isinωt cosωt i isinωt cosωt sinωt icosωt icosωt sinωt < S y t > h < σ yt > ψ σ y tψ h sinωtcos + sinsincosωt σ z t e ī h Ht σ x e ī h Ht e iωtσx σ x e iωtσx cosωt + isinωtσ x σ x cosωt isinωtσ x cosωt isinωt cosωt isinωt isinωt cosωt isinωt cosωt cosωt isinωt isinωt cosωt < S z t > h < σ zt > ψ σ z tψ 3 h cosωtcos + sinωtsinsin 4 解得 < S x t >, < S y t >, < S z t > 我们可求得相应测量值的几率如果不考虑相位因子, 系统需要经过 t π ω 才能回到初态. 实际上当 t π ω 才是完全意义上的初态. 已知 Q 表象的本征矢为 q >, q >, q 3 > 哈密顿量矩阵为 H 5 求解 H 的本征方程, 给出本征值和本征矢 ψ > 6 4

5 写出在 H 表象下的表示计算 < H > 你能用几种方法求? 3 如果初态为 ψ >, 写出之后任意时刻 t 的态矢量 4 写出从 Q 表象到 H 表象的变换矩阵解 : 设 H 的本征值和本征矢为 E λ, > a b c 7 代入 Schrodinger 方程中得到解得 a b c λ E, > E, > a b c E 3, 3 > 把 ψ > 按力学量的本征矢展开 ψ > c > +c > +c 3 3 >, 其中 c + c + c 3, 利用本征态矢正交性得 c < ψ > c < ψ > 有两种方法计算 < H >, 一是在 H 表象下计算 : 二是在 Q 表象下计算 : c 3 < 3 ψ > ψ > > + > 3 > 3 < H > E + E + E 3 < H > < ψ H ψ > 33 5

6 34 3 方法一, 在 H 表象下直接求解 : ψt > e iet > + e iet > e ie3t 3 > e it > + e it > eit 3 > e it isint 35 cost 方法二, 计算 ψt > e iht ψ >, H 可写为 H σx 36 其中 σ x 因为 H n n σ n 37 所以有 ψt > e iht ψ > e it e it e iσxt cost iσ x sint e it cost isint isint cost e it isint cost 38 6

7 4 H 本征矢的列排列即为 Q 表象到 H 表象的变换矩阵 S 39 大家可以尝试证明一下 3. 中微子振荡问题去年获得诺贝尔奖假设中微子有两个态 >, >, 代表两种中微子哈密顿量可以写为 H h >< + g >< + g >< + h >< 如果中微子初态是 >, 那么 t 时刻它是什么状态? 解 : 设 t 时刻状态为 ψt > 方法一 : 将初态按 H 的本征矢展开. H 的本征值和本征矢为 E h + g, > E h g, > 初态可以为写为 H 本征矢的叠加态, > a ψ > +b ψ >, 其中 a < ψ > b < ψ > 则 ψt > e iet > e iet > e ih+gt > e ih gt > e iht isingt e iht cosgt 4 即处于两种中微子的叠加态, 测量会以一定几率发现粒子是两种中微子之一方法二需要后面学到的态演化知识 : H 以 >, > 为基矢的矩阵表示为 H h g g h hi + gσ x 4 将 e ī h Ht 作用在初态上, 得到 h ψt > e iht > e iht e igtσx > 7

8 e iht cosgt isingtσ x > e iht cosgt > e iht isingt > e iht isingt e iht cosgt 4 4. 写出动量表象中一维谐振子的定态薛定谔方程, 与位置表象的方程比较, 得出基态和第一激发态的动量表象波函数解 : 设动量表象波函数为 ϕp, ˆx 在动量表象中的表示为 i h d dp, 则 V ˆx mωˆx m h ω d dp ˆp m p m Ĥ ˆp m + V ˆx m h ω d dp + p m 43 写出动量表象中一维谐振子的定态薛定谔方程为对比坐标表象方程 m h ω Ĥϕp Eϕp d dp + p ϕp Eϕp 44 m 引入 p m ω p, d h m dx + mω x ψx Eψx 45 可以直接根据 ψ x 写出 p, 再把 p 写回 p: d h mω + m dp p p Ep 46 ϕ p β e β p π β m hω 47 ϕ p β pe β p π 5. 利用坐标算符的本征方程 ˆx x x x 得到其波函数本征方程和本征波函数 8

9 解 : 以左矢 x 跟本征方程作内积, x ˆx x x x x 48 得到 x x x x x x 49 利用基矢的正交归一性 xδx x x δx x 5 δx x 就是本征波函数, 上式就是波函数形式的本征方程. 9

Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p 2 E = 2m + k x ν (1) 考虑 x ν x 2 ν/2 V (x) = k x ν 是偶函数

Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p