7. 系统函数与系统特性一连续时间系统函数与系统特性系统函数的零点极点及系统的固有频率线性系统的系统函数, 是以多项式之比的形式出现的, 即 m bm b b b N n a a a a D n m m 0 n n 0

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1 本章要点 : 第七章系统函数系统函数与系统特性系统的稳定性信号流图系统模拟

2 7. 系统函数与系统特性一连续时间系统函数与系统特性系统函数的零点极点及系统的固有频率线性系统的系统函数, 是以多项式之比的形式出现的, 即 m bm b b b N n a a a a D n m m 0 n n 0

3 7. 系统函数与系统特性系统函数分母多项式 D=0 的根称为系统函数的极点, 而系统函数分子多项式 N=0 的根称为系统函数的零点, 极点使系统函数取值为无穷大, 而零点使系统函数取值为零 N 和 D 都可以分解成线性因子的乘积, 即 b z z z D a p p p m m n n 0 m j n i z j z i

4 7. 系统函数与系统特性把系统函数的零点与极点表示在平面上的图形, 叫做系统函数的零极点图其中零点用 o 表示极点用表示若为 n 重极点或零点, 则注以 n 例如某系统的系统函数为 3 j j 它表明系统在原点处有二重零点, 在 =-3 处有一个零点 ; 而在 =-,=- - j 处各有一个极点, 该系统函数的零极点图如图 7. 所示

5 7. 系统函数与系统特性 j j j 系统函数的零点极点图

6 7. 系统函数与系统特性研究系统函数的零极点有下列几个方面的意义 : 从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率, 进而了解系统冲激响应的模式, 也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型, 衰减振荡型, 等幅振荡型, 还是几者的组合, 从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定从系统的零极点分布可以求得系统的频率响应特性, 从而可以分析系统的正弦稳态响应特性系统的时域频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零极点分布表现出来我们先来讨论系统的固有频率与极点的关系

7 从第二章连续系统的时域分析可知, 求解系统的零输入响应 y x t, 首先应将 n 阶系统方程式写成齐次常微分方程 y t a y t a y t a y t 0 n n n 0 其特征方程式为 n n p an p a pa0 0 若上式具有 n 个不等的单实根 λ,λ,,λ n, 则系统的零输入响应为 n i yx t cie i t

8 7. 系统函数与系统特性例 : 已知系统的数学模型为 y t+5y t+4yt=f t+ft t+ft 激励 ft=e -t εt, 初始状态 y0 - =,y 0 - = 试求 y f t,y x t,y 固 t,y 强 t 及 yt 解系统的特征方程为 p +5p+4=0 特征根即系统的固有频率为 p =,p =-4 于是设解得 B yx0 A B 3 yx 0 A 4B 5 A 3

9 7. 系统函数与系统特性 5 y t e e t 3 3 t 4t x, 0 在零状态下对系统方程取拉氏变换, 可以求出 Y Y Y F F 5 4 Y F F L[ f t]

10 7. 系统函数与系统特性 F L[ f t] 于是 Y f F 4 4 所以 t 4t Y f t L[ Y f ] e e u t 可以得到 5 7 y t Y t y t e e e t 3 6 其中, 固有响应 5 t 7 4t y t e e, t 强制响应为 t y t e, t 0 t t 4t f x, 0

11 7. 系统函数与系统特性系统函数的极点分布与冲激响应的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波形, 如图 7. 所示由以上讨论可得如下结论 : LTI 连续系统的冲激响应的函数形式由的极点确定若的极点位于左半平面, 则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡, 当 t 时, 它们趋于零, 系统属于稳定系统若的极点位于右半平面, 则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡, 当 t 时, 它们趋于无限大, 系统属于不稳定系统

12 7. 系统函数与系统特性 j t t t 0 t t t 的极点与所对应的响应函数

13 7. 系统函数与系统特性 3 若的单极点位于虚轴包括原点, 则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数, 系统属于临界稳定系统 4 若位于虚轴包括原点的极点为 n 重极点 n, 则冲激响应的模式呈增长形式, 系统也属于不稳定系统

14 7. 系统函数与系统特性 3 系统函数的零极点分布与系统频响特性系统的频率特性 jω, 其模 jω 是随 ω 变化的函数称为系统的幅频特性, 相角 φω 称为系统的相频特性如前所述, 系统在频率为 ω 0 的正弦信号激励下的稳态响应仍为同频率的正弦信号, 但幅度乘以 jω 0, 相位附加 φω 0, j ω 0 和 φω 0 分别是 jω 和 φω 在 ω 0 点之值

15 7. 系统函数与系统特性当正弦激励信号的频率 ω 改变时, 稳态响应的幅度和相位将分别随着 jω 和 φω 变化,jω 反映了系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况, 故又称系统的频响特性若的极点均位于左半平面, 令 =jω, 也就是在平面上令沿虚轴变化, 则有 =jω=j =jω, 即为系统的频响特性根据在平面的零极点分布情况可以绘制出频响特性曲线, 包括幅频特性 jω 曲线和相频特性 φω 曲线, 下面介绍这种方法

16 7. 系统函数与系统特性 j 0 图 7.3 中画出了由零点 z j 和极点 p i 与虚轴上某点 jω 连接构成的零点矢量 jω-z j 和极点矢量 jω-p i 图中 N j M i 分别表示矢量的模,θ j φ i 分别表示矢量的相角, 即 j n i 0 m m j n i z j p j j z j j p j

17 7. 系统函数与系统特性 j M i j p i i N j 0 z j j 零点矢量和极点矢量

18 7. 系统函数与系统特性 j z N e j j p M e i j i j j j j j 0N0N N M M M 0 j e m m j e j[ ] m m j m 0 m j n i m N N j j i j i i

19 7. 系统函数与系统特性当 ω 自 - 沿虚轴运动并趋于 + 时, 各零点矢量和极点矢量的模和相角都随之改变, 于是得出系统的幅频特性和相频特性曲线物理可实现系统的频响特性具有幅频特性偶对称, 相频特性奇对称的特点, 因此绘制频响曲线时仅给出 ω 从 0 即可为了便于理解, 在应用这种方法作频响特性之前, 我们举例说明如何由平面零极点分布用几何法确定频响特性曲线上一个特定点的数值

20 7. 系统函数与系统特性例 : 已知系统函数 3 试求 ω= 时的 j 和 φ 解将的分母多项式进行因式分解, 得 3 p, p,3 j

21 7. 系统函数与系统特性图中分别给出各极点与 j 点构成的各极点矢量, 由几何关系求得 M j j 3 j M M j 3

22 7. 系统函数与系统特性 M M M o arctan[ ] arctan[ ] 75 o o

23 7. 系统函数与系统特性由式 7 0 和 7 可得 j M M M o 3 例 3: RC 高通滤波器如图 7.5 所示, 试分析其频响特性解 : RC 高通滤波器的系统函数为 U R U R C RC

24 7. 系统函数与系统特性 j + C + M N u t R u t p - - RC z 0 从零极点分布确定频响特性

25 7. 系统函数与系统特性 j j j j RC j 零点矢量为 j z Ne j, 极点矢量为 j p Me, 于是 N M j j e j e j N j, M

26 7. 系统函数与系统特性 j RC RC RC 高通滤波器的频响特性

27 7. 系统函数与系统特性例 4: 图电路中, 若输入激励为电流 it, 输出响应为电压 εt 试分析其频响特性零点 R L U C I R L C C Z R L R L LC R 0 L + - ut it C R L

28 7. 系统函数与系统特性 p R R L LC 0L 0, LC R, 0[ ] 当 R 很小实际是电感 L 的内阻,θ 时, 极点 p [ j 0 0, 0 0

29 7. 系统函数与系统特性 j p j 0 z 0 0 p - j 零极点分布

30 7. 系统函数与系统特性 j RC R 例 7.5 的频响特性

31 7. 系统函数与系统特性一般情况下, 可以认为, 若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭极点 p, =-σ i ±jω i,σ i <<ω i, 则在 ω=ω i 附近处, 幅频特性出现峰值, 相频特性迅速减小若系统函数有一对非常靠近虚轴的共轭零点 z, =-σ j ±jω j,σ j <<ω j, 则在 ω=ω j 附近处, 幅频特性出现谷值, 相频特性迅速上升

32 7. 系统函数与系统特性 j z p M N 0 M N p z 全通系统的零极点分布

33 7. 系统的稳定性二系统的因果性和稳定性系统的因果性设 et 为激励信号,ht, 为系统冲击响应, 则因果性限制对输入 : et 0, t<0; 保证 t=0, 系统为零状态对系统 :ht ht 0, t<0, 保证系统响应只存在 t>0

34 7. 系统的稳定性系统的稳定性时域 :t :,ht 是增长, 有限, 消失? 频域 : 用的 p i 位置判断 : 稳定系统 : 全部 p i 在 - 左半平面 σ<0, 满足 t,ht=0; 不稳定系统 : p i 在 - 右半平面 σ>0, 或虚轴上有二阶以上极点 t,ht ht ; 3 临界稳定系统 : 只有一阶 p i 在虚轴上, t,ht ht h 0 0 0, 或等幅振荡 ;

35 7. 系统的稳定性结论 ⑴ ht 和只与系统参数有关, 能表征系统特性稳定性是系统特性之一, 所以 ht 和能反映系统的稳定性 ; ⑵ 系统稳定性与激励信号形式无关

36 7.3 信号流图一系统的信号流图信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关系的一种表示方法, 实际上也是一种模拟图形, 可见由一些标明方向的线段和点连接起来组成的图形就是信号流图, 简称流图

37 7.3 信号流图 F a Y F b Y F + - B 3 Y F Y c - 3 d 方框图与相应的信号流图

38 7.3 信号流图利用方框图子系统组合分析线性系统的方法可使求解过程简化为进一步简化各种方框图子系统组合方法, 出现了线性系统的信号流图表示与分析方法系统的信号流图表示实际上是用一些点和支路来描述系统

39 7.3 信号流图信号流图是一种由点和线构成的图形, 并用以下名称来描述系统特性节点 : 节点是用来表示信号或系统变量变换变量的支路 : 支路是连接两节点的定向线段支路系统函数 : 连接该支路节点信号之间的系统函数, 用符号表示, 简写成

40 7.3 信号流图源点 : 只含有出支路的节点, 叫做源点源点表示输入信号即系统的激励, 用符号 F 表示, 简写为 F 沟点 : 只有入支路的节点, 叫做沟点沟点表示输出信号即系统的响应用符号 Y 表示, 简写为 Y 内节点 : 既有入支路, 又有出支路的节点叫做内节点用符号 X 表示, 简写为 X 若仅有一条出支路的内节点称为和点, 仅有一条入支路的内节点称为分点

41 7.3 信号流图. 信号流图中的术语结点转移函数 3 支路 4 输入结点或原点 5 输出结点或阱点 6 混合结点 7 通路 8 开通路 9 闭通路 0 环路增益不接触环路前向通路 3 前向通路增益

42 7.3 信号流图. 信号流图的性质信号只能沿着支路上的箭头方向通过结点可以把所有输入支路的信号叠加, 并把总和信号传送到所有输出支路 3 具有输入和输出支路的混合结点, 通过增加一个具有单位输出的支路, 可把它变成输出结点来处理 4 给定系统, 信号流图形式并不是唯一的 5 流图转置以后, 其转移函数不便

43 7.3 信号流图 X X X = X a X X 3 X 4 X 4 = X + X + X 3 3 X 3 b X 3 X X X 3 c X = X X = X X 3 = X 3 X X X X 4 6 X 5 X 6 X 4 = X + X + X 3 3 X 5 = X 4 5 X 6 = X 4 6 d 信号流图的规则

44 7.3 信号流图 3. 流图简化的基本规则两条增益分别为 a 和 b 的支路相串联, 可合并为一条增益为 a b 的支路, 同时消去中间的结点两条增益分别为 a 和 b 的支路相并联, 可合并为一条增益为 a+b 的支路 3 一条 x x x 3 的通路, 如果 x x 的支路的增益为 a,x x 3 的增益为 c,, 在 x 处有增益为 b 的自环, 则可化简增益为 ac/-b -b 的支路, 同时消去结点 x

45 7.3 信号流图关于信号流图, 还有如下常用术语 : 节点 : 信号流图中表示信号的点称节点支路 : 连接两个节点的有向线段称为支路写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数 3 源点与汇点 : 5 开路 : 一条通路与它经过的任一节点只相遇一次, 该通路称开路 6 环回路 :: 如果通路的起点和终点为同一节点, 并且与经过的其余节点只相遇一次, 则该通路称为环或回路

46 7.3 信号流图 4. 连续系统的信号流图表示信号流图与方框图的对应关系

47 二梅森公式梅森公式的形式为 : i P i i r q r q p p n n m m j j L L L L L L,,, j L j n n m L m L, r q r q p p L L L,, 式中 : Δ 称为信号流图的特征行列式, 其中是所有不同回路的增益之和 ; 是所有两两不接触回路的增益乘积之和 : 是所有三个都互不接触回路的增益乘积之和 7.3 信号流图

48 7.3 信号流图续 i 表示由原点到汇点的第 i 条前向通路的标号 P i 是由原点到汇点的第 i 条前向通路增益 Δ i 称为第 i 条前向通路特征行列式的余因子, 它是与第 i 条前向通路不相接触的子图的特征行列式

49 7.3 信号流图例 5: 某线性连续系统的方框图表示如图 7-5a 所示画出系统的信号流图 F X X 3 Y F X 3 Y X a b a 方框图 ; b 信号流图

50 7.3 信号流图例 6: 某线性连续系统的方框图表示如图 7-6a 所示画出系统的信号流图 b b F X - X X 3 b Y a a 0 a b b F X X X 3 b 0 Y - a - a 0 b a 方框图 ; b 信号流图

51 7.3 信号流图解设左边加法器的输出为 X, 左边第一和第二个积分器的输出分别为 X 和 X 3, 则有 X F a X a 0 X 3 X X X 3 X Y b X b X b 0 X 3

52 7.3 信号流图例 7: 已知连续系统的信号流图如图所示求系统函数 G G 3 F 3 4 Y G G 4

53 解系统信号流图共有四个环, 环传输函数分别为系统信号流图共有四个环, 环传输函数分别为 G L G L G L G L G G L L G G L L 7.3 信号流图

54 系统信号流图中从系统信号流图中从系统信号流图中从系统信号流图中从系统信号流图中从系统信号流图中从 F F 到 Y Y 只有一条开路, 开只有一条开路, 开只有一条开路, 开只有一条开路, 开只有一条开路, 开只有一条开路, 开路传输函数路传输函数路传输函数路传输函数路传输函数路传输函数 P 和对应的剩余流图特征行列式分别为和对应的剩余流图特征行列式分别为和对应的剩余流图特征行列式分别为和对应的剩余流图特征行列式分别为和对应的剩余流图特征行列式分别为和对应的剩余流图特征行列式分别为 4 3 P 得到系统信号流图的特征行列式为得到系统信号流图的特征行列式为 ] [ ] [ G G G G G G G G L L L L L L L L 4 3 P 得到系统函数为得到系统函数为 7.3 信号流图

大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用

大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用大理大学 2019 年自命题科目考试大纲科目代码 :871 科目名称 : 信号与系统一目标要求信号与系统是大理大学电子与通信工程领域硕士专业学位研究生入学考试的自命题考试科目, 其目的是科学公平有效地测试考生掌握信号与系统的基本概念基本理论和基本分析方法的情况, 评价考生根据工程应用的需求建立信号与系统的数学模型, 通过时间域与变换域的数学算法, 分析系统性能, 求解输出信号的能力,

7. 系统函数与系统特性 一 连续时间系统函数与系统特性 系统函数的零点 极点及系统的固有频率线性系统的系统函数, 是以多项式之比的形式出现的, 即 m bm b b b N n a a a a D n m m 0 n n 0

7. 系统函数与系统特性一连续时间系统函数与系统特性系统函数的零点极点及系统的固有频率线性系统的系统函数, 是以多项式之比的形式出现的, 即 m bm b b b N n a a a a D n m m 0 n n 0