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1 自动控制原理浙江大学控制学院 6 Principle of Automatic Control 第八章 CHAPER 8 线性定常系统的状态空间分析法 By Hui Wang 浙江大学控制科学与工程学院
2 提纲 Outline of Chapter 8 回顾与简介 状态空间模型及求解 能控性和能观性 线性变换和标准型 系统的状态反馈 系统的状态观测.. 自动控制原理浙江大学控制学院 6
3 能控性和能观性 物理概念 能控性定义与判定 能观性定义与判定 能控性 & 能观性与传递函数 离散系统能控性与能观性 对偶原理 自动控制原理浙江大学控制学院 6 3
4 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性定义 一个完全状态能控的系统是对于任意初始时刻 t, 每个状态都可以在有限的时间内 t f >t, 由无约束的容许控制向量 ut, 将初始状态 t 转移到任意最终状态 t f 也就是说输入 ut 在幅值上没有限制. 从定义中可以看出, 状态方程中输入 ut 影响每一个状态变量. 由状态方程的解可以得到 t Φ t t t Φ t B u d t t 4
5 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性定义 考虑线性连续时间系统 : t A t Bu t n n n 式中 : t R, A R 且初始条件为 t t 如果是单输入系统 : n ut R, B R, B可写作 b 如果是多输入系统 : u t R r, B R n r 如果施加一个无约束的控制信号 ut, 在有限的时间间隔 内, 使初始状态转移到任一终止状态, 则称由式 描述的系统在 t t 时是状态能控的 如果每一个状态都能控, 则称该系统为状态 完全能控的, 简称系统能控 t t t f 5
6 自动控制原理浙江大学控制学院 6 6 如何来判定一个系统是完全能控的? 对于 d B t t t t t t t u Φ Φ 设 t, 以及终态向量 t f = d B e e f f f t t t u A A d B e f t r r n n n n ] [ u A 或对于线性系统, 问题等效于求解 n 个代数方程 若有解, 即意味着可以找到 u 使得任意的 在有限的时间内到达原点, 也即系统为能控的 否则系统为不能控?? 关键!? 能控性和能观性 : 能控性判定
7 自动控制原理浙江大学控制学院 6 a a a f n n n 凯莱 - 哈密顿定理 : 若 n 阶矩阵 A 的特征多项式为则 : I a A a A a A A f n n n 推论 : 矩阵 A 的 m 次幂可表示为 A 的 n- 阶多项式 d B e f t u A d B A f t n u d B A f t n u Power function 幂函数? 推论 : 矩阵指数 e At 可表示为 A 的 n- 阶多项式 n m A A m n n At e t A 能控性和能观性 : 能控性判定 d B e f t r r n n n n ] [ u A 7
8 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定 凯莱 - 哈密顿定理 : 若 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 n n n f a a a 则 : f A A a A a A a I 推论 : 矩阵 A 的 m 次幂 m>=n 可表示为 A 的 n- 阶多项式 假设 推论 : 当 n n n n n m n时, 成立 A an A a A ai n i m i n时成立, 即 A b A m i 时, 有 A A b A b A b I i n n b A b A b A n n n n bn an A a A ai b A b A c A 矩阵指数 e 可表示为 A的 n 阶多项式 3 3 n A A A e I A A! 3! n m A A, m n A 8
9 能控性和能观性 : 能控性判定 对于矩阵 Y, rany t f 下列说法等价 A e Bu d r t n f A Bu d 在 Y的所有列向量中, 最多可找出 r个线性无关 独立 的向量 n t f A Bu d n t f n 线性方程组 B AB AB A Bu d 有解的充要条件是 t n f n 记 u d, 则 A B n B AB A B n n ran B AB A B ran B AB A B n n R 都有,,, n 满足上面方程组的充要条件是 ran n B AB A B n 自动控制原理浙江大学控制学院 6 9
10 自动控制原理浙江大学控制学院 6 对于 r 维输入 ut, 上式中的被积函数可以表示为 t d f u 则初始状态可以表示为 n n n B A AB B B A 按照状态完全能控的定义, 每个模态必须直接受输入 ut 的影响. 那么这个条件是什么? t i i e v C Q 能控性判别矩阵是否找得到 u, 也即上述 n 个线性方程解是否有解? 其条件即为状态完全能控的条件 能控性和能观性 : 能控性判定 f n t A B d u
11 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定 能控性条件 若一个系统是完全能控的, 则能控性矩阵 Q C 具有如下特性 Ran QC Ran 对于单输入系统来说, 矩阵 B 是一个向量, 可写为 b, 方程 Q C 的维数为 nn. 多输入系统的 Q C 的维数? 能控标准型 n B AB A B n * -- 这是一个系统完全能控的充分必要条件. 根据完全能控的条件, 若一个 SISO 系统是能控标准型, 也就是 说系统矩阵 A 具有相伴型 友矩阵, 并且控制向量 b=[ ], 那么能控性矩阵 Q C 是满秩 n 的, 没有必要进行能控性验证. 换句话说, 若一个系统是能控的, 则它总能够转化为能控标准型.
12 能控性和能观性 : 能控性判定 对角标准型 若系统没有重复的极点 i j A B u 设 =z 对角化 模态的能控性判别矩阵 z A z Bu z B ' u 其中 为对角标准型, 其模态是解耦的, 即每个状态 z i 代表一个模态, 并且可以受输入 ut 的直接影响 仅当 B = - B 没有元素都为 的行. 对于没有重复极点的系统, 总是可以将其转换为对角标准型, 因此, 当 B = - B 没有全为零的行时, 系统是完全能控的. 对于具有重复极点的系统? 请查阅参考文献 自行总结 自动控制原理浙江大学控制学院 6
13 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定 对角标准型当矩阵对 A,B 不完全能控, 则可以通过变换状态方程使系统矩阵为对角型, 从而确定不能控部分 控制矩阵 B = - B 中出现零行表明对应的模态 mode 是不能控的 PBH 检验法 PBH 秩判据 : 线性定常连续系统完全能控的充分必要条件是 : 对 矩阵 A 的所有特征值 λ i i=,,n, 有 I A B n ran i 或, ran si A B n s 复数域 S 3
14 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定 PBH 检验法 {A,B} 能控的充分必要条件是不存在与 B 的所有列正交的 A 的 左特征向量 p, 即 p p B A p p 证 : 必要性 : 反设存在一个向量 使得 A i B n 则就有 B AB B A B n 从而得到 B AB A B M c 这意味着 ra n M c n i 即系统不完全能控 从而与已知条件相矛盾, 故反设条件不成立, 也即只有零解 对充分性的证明按与上相反思路进行, 请自证, 此略 因为 意味着 Qc 行线性相关 4
15 能控性和能观性 : 能控性判定举例 例 : 证明能控标准型是完全能控的 A a a a a n b 用 PBH秩判据 II s s ransi A b ran n a a a s an 因此, 系统完全能控 自动控制原理浙江大学控制学院 6 ran si A B n, s 复数域 S 5
16 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定举例 例 8-3- 系统可以表示为 u 求解 : 系统是否能控? 解 : 能控性矩阵的秩可以表示为 Ran QC Ran b Ab Ran det Qc det[ B AB] 因此系统是不完全能控的. 6
17 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定举例 例 8-3- 系统表示为 u 求解 : 系统是否能控? 解 : 能控性矩阵的秩可以表示为 Ran QC Ran b Ab Ran det Qc det[ B AB] 因此系统是完全能控的. 7
18 自动控制原理浙江大学控制学院 6 8 解 : 能控性矩阵的秩可以表示为 C Ran Q Ran Ran B AB A B 因此系统是不能控的. 例 系统可以表示为 u u 求解 : 系统是否能控. 能控性和能观性 : 能控性判定举例
19 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定举例 例 : 考虑如图所示电路系统 P476, 有两种条件 : L i L 图中 : = i L, = u c, y= Let : R R R ; R R R u i i R R R 3 u C C R4 根据电路原理 RR R 3 R 4 R R 3 L R R L R R R R 4 C R R 34 C R R L u i L i L =, u C =, y= u C A RR L R R C R R3R R34 R4 R 34 4 R R3 L R R34 C R R34 b L 9
20 能控性和能观性 : 能控性判定举例 例 8-3-4: 考虑如图所示电路系统, 有两种条件 : L u R 3 i L i L i i R R u C C i L =, u C =, y= u C A RR L R R C R Ran Q C R3R R34 R4 R Ran R R3 L R R 34 b L C R R 34 RR RR 3 4 L R R 34 Ran L R4 R R4 LC R34 R 若 R Let : R R R ; R R R b Ab R 4 R R 3 Ran Q n C R R 4 34 R R 自动控制原理浙江大学控制学院 6 系统完全能控
21 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控性判定举例 例 8-3-4: 考虑如图所示电路系统, 有两种条件 : Let : R R R ; R R R u L i L i i R R R 3 u C C R4 A RanQ RR L R R C R C Ran L R3R R34 R4 R 34 Ran 4 b R LC R R R3 L R R34 C R R34 Ab RR RR L R R 4 R R 34 b L i L i L =, u C =, y= u C 若 R R 4 R R 3 Ran QC n R R 4 34 R R 系统不能控
22 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 输出能控性判定 输出能控性, 其实它是与状态能控性完全无关, 仅是当需要控制输出量时, 借用了状态能控性的概念 输出能控性定义 : 在有限的时间间隔 t [t, t f ], 存在无约束的分段连续控制函数 ut, 能使任意初始输出 yt 转移至任意最终输出 yt f, 则称该系统是输出完全能控的, 简称输出能控 输出能控性矩阵 : n S CB C A B CA B D 输出能控的充要条件 设输出变量数为 q: o R a n S o R a n n CB C A B CA B D q
23 能控性和能观性 物理概念 能控性定义与判定 能观性定义与判定 能控性 & 能观性与传递函数 离散系统能控性与能观性 对偶原理 自动控制原理浙江大学控制学院 6 3
24 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性定义 一个完全能观的系统是指, 存在有限的时刻 t f t t, 系统的输 出能唯一的确定每个状态的初始值 t. 这就意味着每个状态 t 都会影响输出 yt: y t C t C Φ t t t C Φ t B u t t d 其中初始状态 t 是以前控制输入对系统的影响结果. A 考虑零输入时的状态空间表达式 y C 式中 : n m nn R, y R, A R, C R 如果每一个状态 都可通过在有限时间间隔 t t t 内, 由 观测值确定, 则称系统为状态完全能观测的, 常简称能观的 mn t 4
25 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定 在下面讨论完全能观测性条件时, 可以只考虑零输入系统 这是因为, 若采用如下状态空间表达式 A Bu y C Du 则 从而 t At A t o t e e Bu d t At A t o y t Ce C e Bu d Du 由于矩阵 A B C 和 D 均为已知,ut 也已知, 所以上式右端的 最后两项为已知, 因而它们可以合并至被量测值 yt 中 因此, 为研 究能观性的充要条件, 只考虑零输入系统就可以了 5
26 能控性和能观性 : 能观性判定 只考虑零输入系统, 将其重写为 A; y C 易知, 其输出向量为 At y t Ce 将 At e 因而 或 写为 A 的有限项的形式, 即 n y t t CA e At n t A y n t t C t CA n t CA 显然, 如果系统是能观测的, 那么在 自动控制原理浙江大学控制学院 6 时间间隔内, 由输出 yt, 就可由上式唯一地确定出 输出 yt 必须受到每个状态变量 i t 的 影响 这就必须对 CA 有限制 可以证明, 这就要求 n nm 维能观测 性矩阵 t t t RanQO Ran n C A C A C n 6
27 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定 可以看出, 当能观性矩阵 Q O 满足下列条件时系统完全能观, 故有能观性条件 或 Ran QO Ran n C A C A C n C CA Ran QO Ran n n CA 这是能观性的充分必要条件对于单输入单输出系统, 矩阵 C 是一维行向量, 可以表示为 c, 且能观性矩阵的维数为 n n. 7
28 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定 能观性条件或 Ran Q O Ran C CA n CA Ran QO Ran n n C A C A C n 根据完全能观性条件, 若 SISO 系统是能观标准型形式, 也就是说, 系统矩阵 A 是相伴阵 友矩阵 的转置, 且观测行矩阵 c=[ ], 那么能观性矩阵 Q o 满秩 ranq o = n, 不需要进行能观性判定. 换句话说, 若系统完全能观测, 则可将其转换为能观标准型. 8
29 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定 对角标准型当系统没有重复极点时, 采用对角化方法, A B u y C 令 =z 对角化 z z B ' u 模态的能观性判别矩阵 y C C z C z 其中矩阵 是对角标准型, 若 C =C 的某一列全为零, 则对应的这个模态与任何输出都没有关系, 系统不能观测. 对于没有重复极点的系统, 总可以将其转换为对角标准型, 则当 C 没有全为零的列, 则系统能观测. 对于具有重复极点的系统, 参见相关参考文献 9
30 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定 对角标准型 当矩阵对 A, C 不完全能观测时, 可以通过转换状态和输出方 程, 使系统矩阵是对角标准型, 从而获得不能观的模态. C =C 全为零的列表明相应的状态是不能观测的 3
31 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定 PBH 检验法 PBH 检验法 :{C,A} 能观的充分必要条件是不存在与 C 的所有行正交的 A 的特征向量, 即 Ap p Cp p 证明方法此略 请自己证明 PBH 秩判据 :{C,A} 能观的充分必要条件是对所有的 s ran C si-a n 证明此略 可参见郑大钟 线性系统理论 一书 3
32 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能观性判定举例 例 系统表示为 判断 : 系统是否能控和能观? y u 解 : 能控性矩阵 & 能观性矩阵为 RanQC Ran C Ran QO Ran Ran CA 因此系统是完全能控和能观. 3
33 自动控制原理浙江大学控制学院 6 33 因此系统是完全能控的. 解 : C Ran Q Ran Ran b Ab A b 例 系统表示为判断 : 系统是否能控和能观? 5 4,, 6 6, 3 C B A 注意 : det C Ran Q 3 能控性和能观性 : 能观性判定举例
34 自动控制原理浙江大学控制学院 6 34 因此系统不完全能观. Solution: O 4 5 Ran Q Ran Ran C CA CA 注意 : det O Ran Q 能控性和能观性 : 能观性判定举例例 系统表示为判断 : 系统是否能控和能观? 5 4,, 6 6, 3 C B A
35 能控性和能观性 物理概念 能控性定义与判定 能观性定义与判定 能控性 & 能观性与传递函数 离散系统能控性与能观性 对偶原理 Allelomorph principium 自动控制原理浙江大学控制学院 6 35
36 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数 SISO 系统状态完全能控 能观的条件也可用传递函数描述 : 状态完全能控能观的充要条件是在其传递函数中不出现相消现象 如果发生相消, 那么在被消去的状态中, 可能出现下列三种情况或之一 : 系统不能控不能观 ; 系统不能控 ; 3 系统不能观 所以, 对于已知的 SISO 系统, 可以根据传递函数判别系统是否完全能控能观 36
37 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数 如图所示, 只有子系统 S CO 满足传递函数的定义 Y s G s U s u S O S CO y 因此, 对于一个完全能控能观 SISO 系统, 传递函数中没有零极点对消情况. S C S u Fig. 一个系统的四种可能的子系统 37 自动控制原理浙江大学控制学院 6
38 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数 描述一个 SISO 动态系统的状态方程不是惟一的, 即实现问题 A bu y c G s c si A b c adj si d et si A A b N D s s n 阶多项式 SISO 系统实现 {A,b, c} 称为 Gs 的最小实现, 当且仅当 Ns 与 Ds 无公因子 Gs 的 n 阶实现 {A,b, c} 能控能观的充要条件是 Gs=Ns/Ds 无公因子, 即无零极点对消现象 38 自动控制原理浙江大学控制学院 6
39 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数 实现问题 : 已知传递函数模型 Gs, 求一个状态空间模型 t A t bu t y t c t du t 使 c si A b d G s 最小实现问题 : 已知传递函数模型 Gs, 求一个完全能控 完全能观的状态空间模型 t A t bu t y t c t du t 使 c si A b d G s 在实现问题中, 状态空间模型的阶数大于或等于传递函数模型的阶数在最小实现问题中, 状态空间模型的阶数等于传递函数模型的阶数 39
40 自动控制原理浙江大学控制学院 6 4 例 系统表示为判断 : 系统是否能控和能观. 5 4,, 6 6, 3 C B A 3 y 3 u y 5 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例
41 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 例 系统表示为 3, A 6, 6 B, C 4 5 判断 : 系统是否能控和能观. 解 : 方程为能控标准型, 肯定能控! 再从传递函数的观点 X s si U s A B s s 3 4 自动控制原理浙江大学控制学院 6 s s s X s Ys X s X3 s U s s s s 3 以及 s s X s X s X s Y s Y s X s s s 4 U s X s U s s s s 3 Y s U s C si A B s 因此, 系统是完全能 s s 4 s s 3 控但不能观测的.
42 自动控制原理浙江大学控制学院 6 4 解 : 若系统表示为能观标准型形式那么, 如果如上述实现, 则系统是不能控但是能观的. 例 系统表示为判断 : 系统是否能控和能观. 3 4 s s s s s s U s Y ; y u 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例
43 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 例 系统表示为 Y s s.5 U s s.5 s 请判断 : 系统是否能控和能观. 解 : 注意到传递函数分子与分母出现对消因子 s+.5, 只有 = 对应模态是能控能观的. 如果系统状态方程为 : y.5.5 u Ran QC Ran b Ab Ran c Ran QO Ran Ran ca 如果如上述实现, 则系统是不能控但是能观的. 43
44 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 例 系统表示为 Y s s.5 U s s.5 s 请判断 : 系统是否能控和能观. 解 : 若系统的状态方程为 能控标准型 :.5.5 u y.5 则系统是能控的. c.5 Ran QO Ran Ran ca.5 如果如上述实现, 则系统是能控但是不能观的. 44
45 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 例 系统表示为 Y s s.5 U s s.5 s 请判断 : 系统是否能控和能观. 解 : 若系统状态方程为 能观标准型 : u y 则系统是能观测的..5.5 Ran QC Ran b Ab Ran 如果如上述实现, 则系统是不能控但是能观的. 45
46 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 例 系统表示为 Y s s.5 U s s.5 s 请判断 : 系统是否能控和能观. 解 : 若系统状态方程为 对角标准型.5 u y 如果如上述实现, 则系统是不能控且不能观的. 可以直接获得 46
47 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 例 系统表示为 u y 试求 : 特征值 ; 传递函数 Ys/Us; 3 系统是否可控和 / 或可观测 ; 4 将状态方程转换为对角标准型的转换矩阵 ; 5 绘制基于对角标准型的系统仿真图. s 解 : si-a s s 特征值 : =- =-. s s s - si - A s s s 47
48 自动控制原理浙江大学控制学院 6 解 : sb s s s s s s s s c s G 注意有零极点对消因子 s+, 只有模态 =- 是可控可观测的. 3 Ab b RanM c Ran 因此系统是不完全可控但可观测的. ca c RanM o Ran 48 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例
49 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 能控能观性与传递函数举例 解 : 4 对角化矩阵 ; z z u y z 5 独立状态变量和输出方程 z z y z z z z u =- 是一个输入解耦零点, 且系统是不能控的. u S o z z s s S co z z y 对角标准型的优点是所 有模态是完全解耦的. 49
50 能控性和能观性 物理概念 能控性定义与判定 能观性定义与判定 能控性 & 能观性与传递函数 离散系统能控性与能观性 对偶原理 自动控制原理浙江大学控制学院 6 5
51 能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 考虑离散系统 : G H u y C Du 离散系统状态能控性的定义 : 在有限时间间隔内,t [, n], 存在无约束的阶梯控制序列 u, u,., un-, 能使系统从任意初态 转移至任意终态 n, 则称该系统是状态完全能控的, 简称是能控的 离散系统状态能控性判别条件 : Ran QC Ran n H GH G H n 自动控制原理浙江大学控制学院 6 5
52 能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 考虑离散系统 : G H u y C Du 离散系统能观性的定义 : 已知输入向量序列 u, u,., un- 及有限采样时间内测量到的输出向量序列 y, y,., yn-, 能惟一确定任意初始状态向量, 则称该系统是状态完全能观的, 简称是能观的 能观性反映的是由输出确定状态 的能力 离散系统状态能观性判别条件 : 或 C CG Ran QO Ran n n CG n Ran QO Ran C G C G C n 自动控制原理浙江大学控制学院 6 5
53 自动控制原理浙江大学控制学院 6 对于 C, 系统是能观的. 判断 : 系统对于 C 是否能观? 4 3 M o c G c G c o 3 detm det 4 3 当 t= y 当 t=+ 3 y 当 t=+ 3 4 y 3 步之后, 所有 能观. 例 系统表示为 Hu G, i C y i,,, 3 C C H G 其中能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 53
54 能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 例 系统表示为 G Hu y C i i, 其中 判断 : 系统对于 C 是否能观? G 3, H, C C, RanQ o C G C G C Ran 3 因此, 对于 C, 系统是不能观的. 当 t= y 3 当 t=+ y y 当 t=+ 3 步之后, 仍然不能观. 3 3 自动控制原理浙江大学控制学院 6 54
55 能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 连续状态方程离散化后的能控性与能观性 如果采样周期 选择得不妥当的话, 一个能控的连续系统离散化后不一定能保持其能控性 ; 同样, 一个能观的连续系统离散化后也不一定能保持其能观性 例 8-3- 系统表示为 u 分析采样周期的选择对系统能控性的影响. 原系统显然能控 离散化状态方程 s G L [ si A] L sin cos s sin cos H cos G bd sin 55 自动控制原理浙江大学控制学院 6
56 能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 例 8-3- 系统表示为 u 离散化状态方程 : G H u cos sin cos sin sin cos u Q c cos cos cos sin H GH sin sin cos sin 当 :,,,, 能控性矩阵为零阵, 系统不能控 当 :,,,, 能控性矩阵秩为, 系统不能控 自动控制原理浙江大学控制学院 6 56
57 自动控制原理浙江大学控制学院 6 例 8-3- 系统表示为, y u o cos Q sin c G c 系统不能观 分析采样周期的选择对系统能观性的影响. o RanQ,,, y 离散化状态方程 : sin cos cos sin sin cos u H G u 原系统显然能观能控性和能观性 : 离散系统的能控性与能观性 57
58 能控性和能观性 物理概念 能控性定义与判定 能观性定义与判定 能控性 & 能观性与传递函数 离散系统能控性与能观性 对偶原理 自动控制原理浙江大学控制学院 6 58
59 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 对偶原理 对偶原理 ---- 由 R.E.Kalman 提出从能控性判别矩阵 Qc 与能观性判别矩阵 Qo 看出, 它们有明显的相似性 -- 存在某种转置关系 -- 数学意义上说 : 能控性与能观性之间存在对偶关系 A Bu 考虑由下述状态空间表达式描述的系统 S : y C 式中 n r m nn nr R, u R, y R, A R, B R, C R 再考虑由下述状态空间表达式定义的对偶系统 S : 式中 z R, v R, w R, A R, C R, B R n m r nn nm rn mn z A z C v w B z 对偶原理 : 当且仅当系统 S 状态能观 状态能控 时, 系统 S 才是状态能控 状态能观 的 59
60 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 对偶原理 系统 S A y C Bu u S B s C y A w S B z s A C v 对偶系统 S : z A z C v w B z 对偶的含义 : 输入端与输出端互换, 信号传递反向, 信号引出点与信号综合点互换, 以及对应矩阵的转置 6
61 自动控制原理浙江大学控制学院 6 能控性和能观性 : 对偶原理 对偶原理的验证 分别写出系统 S 和 S 的状态能控和能观的充要条件 系统 S 状态能控的充要条件是 n nr 维能控性矩阵 Q B AB A B c n [ ] 的秩为 n 系统 S 状态能观测的充要条件是 n nm 维能观性矩阵 Q C A C A C o n [ ] 的秩为 n 系统 S 状态能控的充要条件是 n nm 维能控性矩阵 Q C A C A C c n [ ] 的秩为 n 系统 S 状态能观测的充要条件是 n nr 维能观性矩阵 Q B AB A B o n [ ] 的秩为 n 6
62 能控性和能观性 : 对偶原理 对偶原理的验证 对比上述这些条件, 可以很明显地看出对偶原理的正确性 利用 此原理, 一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检 检和判断 简单地说, 对偶性有如下关系 : A A, B C, C B 例 : 试用对偶原理判定如下系统的能控性 t t bu t 3 解 : 对偶系统 t t 3 y t t 自动控制原理浙江大学控制学院 6 对偶系统能观判别 c ran ran ca 4 对偶系统完全能观, 所以原系统完全能控 6
63 能控性和能观性 物理概念 能控性定义与判定 能观性定义与判定 能控性 & 能观性与传递函数 离散系统能控性与能观性 对偶原理 自动控制原理浙江大学控制学院 6 63
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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第二章线性定常系统的能控性 马树萍 2. 能控性定义 2.- 问题的提出 能控性所要研究的问题 : 线性定常系统的运动特性在初始状态已知的条件下, 完全取决于系统的控制输入 能否通过系统的输入来影响系统的状态, 这就是系统的能控性所要研究的内容 如果系统的每个状态变量的运动都可由输入来影响和控制, 而由任意始点到达原点, 就称系统是能控的, 或者是状态能控的 否则就称系统是不完全能控的 2 2.-
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
<4D F736F F F696E74202D20B5DAB0CBD5C220D7B4CCACBFD5BCE4B7D6CEF6205BD6BBB6C15D205BBCE6C8DDC4A3CABD5D>
第八章 状态空间分析法 回顾和复习 系统建模 第 章 系统分析时域分析 第 3 章 频域分析 第 5 章 根轨迹分析 第 4 章 3 系统综合 第 6 章 第 7 章 经典控制理论 经典控制理论的特点 a. 特点 研究对象 单输入 单输出线单输出线 定常系统 解决方法 频率法 根轨迹法根轨迹法 传递函数传递函数 数学工具 常微分方程 差分方程差分方程 拉氏变换 Z 变换 b. 局限 不能应用于时变系统
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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1.1 现代控制理论 一 课程基本情况 课程编号 32040120 开课学期 秋 春 学分 2.5 课程名称 ( 中文 ) 现代控制理论 ( 英文 )Modern Control Theory 课程类别 必修 限选 任选 1 年级 2 年级 3 年级 4 年级 课程学时 课内总学时 课内学时分配 课外学时分配 及其分配 46 课堂讲课 42 课后复习 26 自学交流 0 课外自学 8 课堂讨论 0
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
Microsoft PowerPoint - Chapter II 5.6 Linearization and other model form
Principle o Automatic Control System Representation 浙江大学控制科学与工程学系 状态空间模型 negative eedback A Bu A By y C Du y C Dy u r y rt () u () t y( t) yt () ( A, B, C, D ) y () t ( A, B, C, D ) u () t y CD( r y) CD(
ϕ ϕ R V = 2 2 314 6378 1668 0 T =. 24 = 2 R cos32 33931 V = = = 1413. 68 32 T 24 2 R cos90 V = = 0 90 T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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Principl of tomtic Control ----Digitl Control Sstms Chn Song & Qinmin Yng 浙江大学控制科学与工程学系 自动控制原理浙江大学控制系 5 Otlin of Chptr VII Smpling -rnsform horm h Modl of th Discrt Sstm nlsis nd Snthsis in h -Domin Dirct
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现代控制理论 长安大学 现代控制理论 教学组 主讲人 : 闫茂德 联系方式 :9-8334364;36987 电子邮件 :mdy@chd.edu.c 控制系统的分析和综合是自动控制理论研究的两大课题 前者主要讨论了系统响应 能控性 能观性和稳定性等 后者的任务在于设计能提高系统性能的控制器, 以保证系统的各项性能指标要求都得到满足 5- 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 经典控制理论 采用输出反馈
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第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域在 V 上定义了一种加法运算 +, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α + β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素
2003年
00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
就称之为该系统的状态矢量 状态空间 : 状态矢量所在的空间称为状态空间 状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间的维数, 也是系统的阶数 状态轨迹 : 在状态空间中状态矢量端点随时间变化而在状态空间中描出的路径或轨迹称为状态轨迹 状态轨迹形象地表明了系统状态随时间的变化规律 对于三维以上的状态矢量
第八章 系统的状态变量分析 主要内容 : 本章介绍状态 状态变量的概念以及描述方法, 并分别给出连续和离散时间系统状态方 程和输出方程的建立和求解方法, 重点论述了其变换域求解方法 重点 : 1. 状态变量与状态方程的基本概念 2. 连续时间系统和离散时间系统状态方程和输出方程的建立与求解变换域的求解 方法 8.1 系统的状态变量分析 状态 : 对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量, 被称为状态变量,
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財 政 經 濟 篇 行 政 規 則 行 政 院 金 融 監 督 管 理 委 員 會 令 中 華 民 國 99 年 10 月 25 日 金 管 銀 法 字 第 09910003990 銀 行 辦 理 結 構 型 商 品 所 收 本 金 性 質 及 會 計 處 理 之 相 關 事 項 規 定 如 下 : 一 結 構 型 商 品 所 收 之 本 金 不 視 為 存 款, 該 本 金 於 計 算 銀 行 法
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
S = V 2 Sin2 H = V 2 Sin2 0 0 g 2g 2mh 2mh F = 2 F t = t t V = 2h t 2 2 2 V0 Sin cos + V0 Cos V 0 Sin 2 + gh L = + C*cos + dcos g 2 2 2 V0 Sin Cos + V0 Cos V0 Sin + 2gH L2 = g GH Cos2 = V 2 + gh 0 2 2
目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献
杨忠鹏 1 王海明 1 张金辉 1 吴秀清 1,2 1. 莆田学院数学系 2. 中南大学数学院 2009 年 5 月 16 日 目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献 一 引言 V P 为数域 P 上的线性空间, 而 L( V ( P)) { σ σ V } 设 ( ) 为恒等变换 = 为上的线性变换,ε 现行的教材上线性空间求其上的线性变换的定义是对一般空间给出
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
種 類 左 淋 巴 總 管 ( 胸 管 ) 右 淋 巴 總 管 血 管 連 接 連 接 左 鎖 骨 下 靜 脈 連 接 右 鎖 骨 下 靜 脈 淋 巴 收 集 範 圍 左 上 半 身 及 下 半 身 淋 巴 液 右 上 半 身 淋 巴 液 長 度 很 長 很 短 (3) 循 環 路 徑 : (4)
( 一 ) 淋 巴 系 統 與 循 環 A 淋 巴 系 統 的 功 能 : (1) 包 括 淋 巴 淋 巴 管 淋 巴 組 織 淋 巴 器 官 (2) 回 收 組 織 液 : 有 組 織 液 送 回 血 液, 以 維 持 血 液 成 分 恆 定 (3) 運 送 脂 溶 性 養 分 : 運 送 小 腸 乳 靡 管 吸 收 的 脂 溶 性 養 分 回 血 液 (4) 產 生 免 疫 反 應 : 具 有
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自动控制原理 Principle of Automatic Control 浙江大学控制科学与工程学系 自动控制原理浙江大学控制系 05 第二章 CHAPTER 连续时间控制系统的数学模型 Mathematical Model of Continuou -time Control Sytem 自动控制原理浙江大学控制系 05 Deired output - Actuating ignal Error
(Microsoft Word - 103\300\347\267~\266\265\245\330\245N\275X)
A 大 農 林 漁 牧 業 一 分 說 明 1. 獸 醫 業 非 屬 公 司 法 商 業 登 記 法 所 管 轄, 不 納 入 本 大 2. 各 依 性 質 包 括 其 從 事 業 務 產 品 之 批 發 零 售 二 分 示 意 圖 大 中 小 A A1 農 業 A101 農 藝 及 園 藝 A101011 種 苗 業 業 A101020 農 作 物 栽 培 業 A101030 特 用 作 物 栽
习题一
. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc
Homework7 答案 1. 均匀磁场中的中性自旋 1/2 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向 (θ, φ) 的单位矢量,σ n = n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n = 1 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与
Homework7 答案. 均匀磁场中的中性自旋 / 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向, 的单位矢量,σ n n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与相应几率 请问要经过多长时间才能回到初态? 解 : 设哈密顿量为 H µ s B e h m σ B ec e hb ψ m σ ec
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第 三 章 统 计 整 理 复 习 提 要 本 章 介 绍 了 统 计 整 理 在 统 计 活 动 中 的 作 用, 统 计 整 理 的 内 容 和 统 计 资 料 审 核 与 汇 总 的 技 术, 重 点 阐 述 了 统 计 分 组 的 理 论 与 方 法 变 量 数 列 的 编 制 统 计 表 的 构 成 和 制 表 规 范, 简 要 介 绍 了 统 计 图 的 基 本 内 容 复 习 中 要
B = F Il 1 = 1 1 φ φ φ B = k I r F Il F k I 2 = l r 2 10 = k 1 1-7 2 1 k = 2 10-7 2 B = ng Il. l U 1 2 mv = qu 2 v = 2qU m = 2 19 3 16. 10 13. 10 / 27 167. 10 5 = 5.0 10 /. r = m ν 1 qb r = m ν qb
例15
cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
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5. 5 状态观测器设计 5.5. 观测器问题的提法 观测器问题的引入是为解决状态的重构问题, 是实现反馈控制的需要 观测器分为 : 状态观测器 全维 降维, 函数观测器 定义 状态观测器 对于线性时不变观测系统, 构造与其具有相同属性的一个系统 ˆ, 利用 中可直接测量的输出 和输入 作为 ˆ 的输入, 并使 ˆ 状态 ˆ 在一定指标下等价于 状态, 即有 lim t ˆ t 分为 : 全维观测器降维观测器
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第八章状态空间模型分析与设计 吴俊 jwu@ii.zju.edu. 内容 回顾与简介状态空间模型及求解可控性和可观性线性变换和标准型 SISO 系统状态反馈状态反馈 : 稳态误差分析 SISO 系统状态观测器.. 内容 SISO 系统状态反馈 基本概念 通过状态反馈从开环到闭环 闭环线性系统的可控性与可观测性 状态变量反馈设计 直接法 相变量法 可控标准型法 物理变量法 状态反馈的一般特性 采用相变量
试卷
( 试 题 中 凡 主 观 题 答 案 意 思 对 即 可, 若 与 答 案 不 同 而 言 之 成 理, 亦 可 酌 情 给 分 ) 一 ~ 二 (45 分 ) 1.B( 原 文 并 未 说 网 络 社 会 生 态 系 统 的 核 心 与 现 实 社 会 生 态 系 统 的 核 心 不 同 ) 2.D( 服 务 网 络 收 集 到 的 数 据 要 和 关 系 网 络 的 数 据 整 合 在 一 起,
建协质（2005）20号
中 国 建 筑 业 协 会 工 程 建 设 质 量 管 理 分 会 文 件 建 协 质 [2013]34 号 关 于 公 布 第 四 十 五 期 全 国 工 程 建 设 质 量 管 理 小 组 活 动 诊 断 师 名 单 的 通 知 各 省 自 治 区 直 辖 市 建 筑 业 协 会 ( 联 合 会 施 工 行 业 协 会 ) 工 程 建 设 质 量 管 理 协 会, 有 关 行 业 建 设 协 会,
94 (( )) 1 2 3 4 5 7 9 11 12 13 14 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 34 ( ) () (/ ) (/ ) (/ 100) 256 5,034 209,647 710,954 360,925 350,029 4,047.66 3.39 103.11 256 5,034 214,574 717,811 363,149
一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +
* 8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分. 一 无界区域上的二重积分二 无界函数的二重积分 返回 一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E =
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
常州市建设工程招标公告
常 州 市 建 设 工 程 招 标 公 告 一 招 标 条 件 长 荡 湖 水 厂 及 配 套 管 网 项 目 ( 项 目 名 称 ) 长 荡 湖 水 厂 新 建 工 程 ( 标 段 名 称 ) 已 由 江 苏 省 发 展 和 改 革 委 员 会 ( 项 目 审 批 核 准 或 备 案 机 关 名 称 ) 以 省 发 展 改 革 委 关 于 金 坛 市 城 乡 水 务 有 限 公 司 长 荡 湖 水
1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) ()
(39mm E-Mail ( )( ), : : 1 1 ( ) 2 2 ( ) 29mm) WSK ( 1 2 / 3 1 A4 2 1 3 (2-1) 2-1 4 (2-2) 2-2 5 A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A4 10 11 ( () 4 A4, 5 6 7 8 A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () 1 2 (2-1) 3 (2-2) 4 5 6 7 (8 ) 9
线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,A 是 V 内一个线性变换 我们需要解决下面两个问题 : 决定 K 内所有 A 的特征值 λ 对于属于特征值 λ 的特征子空间 V λ, 找出它的一组基 我
矩阵对角化和 标准形 曾焰 版本, 最后修改于 摘要 蓝以中 关于矩阵对角化和 标准形的相关内容的摘要笔记 目录 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 实对称矩阵的对角化 矩阵的 标准形 幂零线性变换的 标准形 一般线性变换的 标准形 最小多项式 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法
4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2
: / ( 6 (2003 8 : ( 1 ( ( / / (,, ( ( - ( - (39mm 29mm 2 ( 1 2 3-6 3 6-24 6-48 12-24 8-12 WSK / WSK WSK 1 4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2 9 5 ( 10 3 11 / (600 4 5 AA 710 AB 720 730
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
當 地 情 形 還 不 熟 悉 4 得 勝 的 歡 似 虎 : 形 容 因 勝 利 而 得 意 忘 形 5 不 吃 無 工 之 食 : 比 喻 人 不 能 無 緣 無 故 接 受 優 待 或 贈 與 4. 請 根 據 文 意, 在 中 填 入 正 確 的 成 語 代 號 ( 甲 ) 優 游 自 在
國 二 國 文 範 圍 :B3: 第 二 課 美 猴 王 一 國 字 及 注 音 1. 拱 ㄈㄨˊ 無 違 : 2. 拍 手 稱 ㄧㄤˊ : 3. 詼 ㄒㄧㄝˊ 風 趣 : 4. ㄔㄢˊ 鬥 : 5. 搔 癢 : 6. ㄓㄤ 頭 鼠 目 : 7. 玩 ㄕㄨㄚˇ : 8. 石 竅 : 9. 採 花 ㄇㄧˋ 果 : 10. 長 途 ㄅㄚˊ 涉 : 11. 喜 不 自 勝 : 12. 進 ㄓㄨˋ 水 簾
提纲提纲 1 系统及其性质系统的描述系统的性质 2 时域法分析线性时不变因果系统线性时不变系统的单位冲激响应线性时不变系统的时域法分析 Ji Xiang ( 系统系 ) 第四章信号处理基础 May 8, / 42
第四章信号处理基础项基 Department of System Science and Engineering Zhejiang University Email: jxiang@zjueducn http://personzjueducn/jxiang May 8, 2018 Ji Xiang ( 系统系 ) 第四章信号处理基础 May 8, 2018 1 / 42 提纲提纲 1 系统及其性质系统的描述系统的性质
1 2 3 1950 1973 1950 3.10 3.26 4.1 4.13 4.21 4.29 1951 3.12 3.28 4.6 4.15 5.4 1952 3.16 4.1 4.4 4.18 4.14 5.6 5.10 5.12 1953 3.10 3.24 4.5 4.15 4.23 4.26 5.9 5.19 1954 3.13 3.29 4.5 4.19 4.29
立 法 會 CB(2)2170/14-15(01) 號 文 件 關 愛 基 金 援 助 項 目 再 次 推 出 非 公 屋 非 綜 援 的 低 收 入 住 戶 一 次 過 生 活 津 貼 成 效 檢 討 報 告 背 景 關 愛 基 金 ( 基 金 ) 於 2015 年 1 月 2 日 起 再 次 推 出 非 公 屋 非 綜 援 的 低 收 入 住 戶 一 次 過 生 活 津 貼 項 目 ( 再 推
学习指导（四）：欧氏空间
一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内
目 录
本 科 计 划 (2015) 东 北 师 范 大 教 务 处 编 印 东 北 师 范 大 本 科 计 划 目 录 东 北 师 范 大 本 科 专 设 置... 1 东 北 师 范 大 关 于 订 本 科 计 划 的 指 导 性 意 见... 3 关 于 订 本 科 计 划 的 具 体 要 求 和 说 明... 8 东 北 师 范 大 通 识 教 育 必 目 录... 10 东 北 师 范 大 通 识
二零零七年十月十五日會議
二 零 零 七 年 十 月 十 五 日 會 議 討 論 文 件 立 法 會 CB(1)21/07-08(01) 號 文 件 立 法 會 公 務 員 及 資 助 機 構 員 工 事 務 委 員 會 公 務 員 事 務 局 的 政 策 措 施 目 的 二 零 零 七 至 零 八 年 施 政 報 告 和 施 政 綱 領 載 列 政 府 的 新 措 施 和 各 項 持 續 推 行 的 措 施 本 文 件 詳
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
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1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, 2 180 ;,, 3 180 ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) 180 1 1, : ( ),.,, 2, (, ) 1 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) :
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CB(4)270/14-15(03) 二 零 一 四 年 十 二 月 二 十 三 日 會 議 討 論 文 件 立 法 會 交 通 事 務 委 員 會 建 議 在 運 輸 署 開 設 一 個 常 額 總 機 電 工 程 師 職 位 和 一 個 常 額 首 席 行 政 主 任 職 位 目 的 本 文 件 就 在 運 輸 署 由 二 零 一 五 年 四 月 一 日 起 開 設 兩 個 常 額 首 長 級
CO 2 3 HCO 3 F1 10 i= 1 10 F1 i= !""# $!""%!"&" #
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第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
J = m i r 2 i i ϕ 1 = Rg R 2πR R T = = 2π = 84. 4 min ( 1) g 1 T = 2π m / k k T = 2π m/ k = 2π R / g = 84. 4min ( 2) T = 2π l / g ( 3) / 0 20 40 60 80 100 120 /Pa 600.66 2338.1
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8- 试求下列函数的 变换 t t t t t 解 t 由移位定理 : t t 8- 试分别用部分分式法 幂级数法和反演积分法求下列函数的 反变换 解 部分分式法 幂级数法 : 用长除法可得 7 δ δ 7 δ Λ * t t t t 反演积分法 [ ] R R [ ] * t δ t 部分分式法 t t t * t δ t δ t 幂级数法 : 用长除法可得 7 9 Λ * t t t 7 t 9
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
() ( ) ( : ) : : : ( CIP ) : ( ) /. :, 00. 7 ISBN 7-8008 - 958-8... :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : 00 7 00 7 : 78709 / 6 : 7 ( ) : 408 () : 000 : ISBN 7-8008 - 958-8/ G89 : 9 98. 00
一、單選題 (50題 每題1分 共50分)
國 立 基 隆 高 級 中 學 97 年 度 第 學 期 第 一 次 期 中 考 二 年 級 生 物 試 題 卷 請 用 電 腻 卡 作 答 命 題 教 師 : 周 以 欣 一 單 選 題 : 每 題 分 共 54 分 0. 從 左 側 頭 頸 胸 及 腹 部 下 肢 來 的 淋 巴 最 先 匯 入 下 列 何 處? (A) 胸 管 (B) 右 淋 巴 總 管 (C) 左 鎖 骨 下 靜 脈 (D)
精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
数字信号处理 第五章06 IIR数字滤波器-频率变换2.ppt [兼容模式]
![数字信号处理 第五章06 IIR数字滤波器-频率变换2.ppt [兼容模式]](/thumbs/103/160241551.jpg "数字信号处理 第五章06 IIR数字滤波器-频率变换2.ppt [兼容模式]")
数字信号处理 周治国 05. 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器的频率变换 数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器 模拟原型 模拟 - 模拟频带变换 模拟带通带阻高通 数字化 数字带通带阻高通
:13: 年第 1 期!"#$%&' ]= F7 P 4, K, T T F W J NJ K Y2 CW C S = S U 7
![:13: 年第 1 期!#$%&' ]= F7 P 4, K, T T F W J NJ K Y2 CW C S = S U 7](/thumbs/96/127194360.jpg ":13: 年第 1 期!#$%&' ]= F7 P 4, K, T T F W J NJ K Y2 CW C S = S U 7")
2017-12-21 16:13:44 http://kns.cnki.net/kcms/detail/32.1317.f.20171221.1609.020.html 2018 年第 1 期!"#$%&' ]= F7 P 4, K,T T F WJ NJ KY2 CW C S = S U 78 C K G C 78 WK Sb; \ 7*" ()*KK7878 F +,-./ 01 0/ *+./.QR
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
中国帝王私生活未解之谜（三）.doc
() ...1...7...13...23...31...35...40...45...50...58...65...71...80...90...98... 108... 116... 126... 130 I ... 137... 144... 149... 156... 161... 167... 177... 186... 192 II 1 (540 604 ) 581 604 ( ) (
Solutions to Exercises in "Discrete Mathematics Tutorial"
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5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
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08-09 年度第一学期 0050 00503 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 05 室 E-mail: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院 http://math.ustc.edu.c/ 第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 特征值与特征向量 在实际工程计算中, 经常会遇到特征值和特征向量的计算, 如 : 机械 结构或电磁振动中的固有值问题 ; 物理学中的各种临界值等
d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt
AL O 2SiO 2H O AL O 2SiO + 2H O CaCO3 + CaO CO2 CaSO4 + CaO SO3 CaSO3 + CaO SO2 2AL O + 6SiO 3AL O 2SiO + 4SiO
AL Si O OH 4 2 2 5 K AL Si O 2 3 8 2 3 8 2 3 8 Na AL Si O Ca AL Si O AL O 2SiO 2H O AL O 2SiO + 2H O 2 3 2 2 2 3 2 2 CaCO3 + CaO CO2 CaSO4 + CaO SO3 CaSO3 + CaO SO2 2AL O + 6SiO 3AL O 2SiO + 4SiO 2 3 2
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F = k Q Q r F = k Q = k Q r r Q Q = Fr k = C 0 5 C 9 0 5 Q 0 3 n = = 9 = 65. 0 e 6. 0 4 3 A B 7 7 9 6 C D 7 7 F = k q 7q = k 7q r r q + 7q = 4q F = k 4q 4q = k 6q r r F = 6 F 7 7q q = 3q s c = t s c =
!" # $% & ( ) * # +, -. / # 01 23. # )* 4. 56 7 # 23 -. / 89 :; # ? / # -. -.@A -. #/ 89 > :; 23 # B? -. # )* / # CDE -. # :; 23 89 4. !" #$% &&#$ () *+ (,-. /0 1 2 30 456 78 9:; CD EF
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f e L/ b I I P AD c b b P 131 132 133 b 134 W b b W 135 e d b AB b F F f f E E E E E G G G G G G E G E A B C D ABCD A B A B C D AB AB ABC D A BD C A B C D D D D E E E D b ED ED b ED b G E b b b b b
5. 10(1) 10(2) A-1 17(2) 7. A-2 18A B
立法會 CB(2)520/05-06(01) 號文件 2005 ( )( ) 20051031 2005 10 31 2005 ( )( ) ( ) 10(2) 2. 10(2) 10(2) 3 1969 ) 1985 4. 1953 1969 1969 5. 10(1) 10(2) 6. 1953 A-1 17(2) 7. A-2 18A B 2005 11-2 - A-1 1953 17(2)
非线性系统控制理论
AIsdo 985 5 6 Fobeus Albeo Isdo Nolea Cool Ssems Spe-Vela 989 He Njmeje Aja Va de Sca Nolea Damcal Cool Ssems Spe-Vela 99 988 4 99 5 99 6J-JESloe 99 7 988 4 6 5 8 6 8 7 8 9 4 9 9 9 4 5 6 7 Dsbuos 8 Fobeus
第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条
![第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条](/thumbs/91/105979404.jpg "第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条")
东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) 第 31 卷第 5 期 Vol 31 No 5 2001 年 9 月 Sept.2001 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 方彩云 ( 南京师范大学数学系, 南京 210097) 摘要 : 应用值分布理论研究了涉及极点重数的亚纯函数的唯一性问题. 得到了下述结论
1979 904 1992 16O 161 160 161 1991 21 159
(3) 01 1979 904 1992 16O 161 160 161 1991 21 159 1985 G.H. 1983 32 36 474 G.H. 1983 10 .F. 1990 6 1990 343 117 118 119 342 156 1992 184 1985 1254 1255 [ ] 1982 155 [ ] 1982 162 [
上海政法学院
上 海 政 法 学 院 206 年 度 学 校 规 划 经 费 各 平 台 拟 立 项 项 目 公 示 名 单 项 目 类 别 教 育 教 学 改 革 平 台 ( 教 务 处 ) 三 级 项 目 名 称 ( 额 度 / 平 台 管 理 责 任 人 ) 卓 越 法 律 人 才 培 养 基 地 建 设 (40 万 ) 大 学 生 创 新 创 业 训 练 (30 万 ) 应 用 型 本 科 专 业 综 合
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
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伏 牛 山 自 在 禪 師 與 馬 祖 道 一 洪 州 宗 禪 學 思 想 的 發 展 台 灣 高 苑 科 技 大 學 黃 連 忠 撰 目 錄 一 前 言 二 從 六 祖 惠 能 到 洪 州 宗 伏 牛 山 自 在 禪 師 的 傳 承 法 系 南 宗 禪 傳 法 世 系 的 六 祖 與 七 祖 之 爭 宗 密 對 洪 州 宗 禪 史 與 禪 法 的 判 釋 與 批 評 伏 牛 山 自 在 禪 師 的
1 3 6 10 14 16 22 28 30, 32 35 42 46 52 62 65 68 74 81 85 89 96 101 104 110 114 122 123 127 132 135 138 144 148 151 155 157 159 160 162 164 167 175 177 183 187 189 192 194 197 200 202 204 206 208 210 213
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105 年 指 考 趨 勢 預 測 歷 史 考 歷 科 史 科 文 / 朱 詩 堯 老 文 師 / 朱 詩 堯 老 師 1 前 言 大 考 中 心 根 據 101 課 綱, 將 指 考 歷 史 科 測 驗 分 為 四 項 可 相 互 依 存 的 指 標 : 基 礎 知 識 文 本 閱 讀 歷 史 解 釋 資 料 證 據, 每 項 指 標 又 將 記 憶 閱 讀 分 析 推 證 等 能 力 納 入 一
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T = l g = a - b a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ SiO SiO 65% SiO 52% SiO 52 45% SiO 45% 20 45% 10% 50% 95% 2.5 2.7 2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.5 S0=1.94
2016 年 地 质 工 程 系 教 学 工 作 安 排 2016 学 年 我 系 将 在 总 结 过 去 工 作 的 基 础 上, 结 合 今 年 学 院 以 抓 质 量 强 内 涵 促 改 革 调 结 构 建 品 牌 细 管 理 重 过 程 为 宗 旨, 以 规 范 管 理 深 化 内 涵 为
2016 年 地 质 工 程 系 教 学 工 作 安 排 2016 年 教 学 工 作 安 排 2015 2016 学 年 第 二 学 期 教 学 工 作 计 划 二 O 一 六 年 三 月 十 日 2016 年 地 质 工 程 系 教 学 工 作 安 排 2016 学 年 我 系 将 在 总 结 过 去 工 作 的 基 础 上, 结 合 今 年 学 院 以 抓 质 量 强 内 涵 促 改 革 调