复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.

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宸伏
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1 第六章特征值 Eigenvalue

2 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.

3 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基 ξ1, ξ2... ξ n, 则有记为 ϕ( ξ ) = a ξ + a ξ a ξ n1 ϕ( ξ ) = a ξ + a ξ a ξ n2 ϕ( ξ ) = a ξ + a ξ a ξ n 1n 1 2n 2 nn n 1 2 n = 1 2 n A, 这里 ϕ( ξ, ξ... ξ ) ( ξ, ξ... ξ ) A a11 a12 a 1 n a a a an1 an2 a nn n = 称为线性变换 ϕ 在给定基下的表示矩阵. n n

4 复习 : 线性变换与矩阵 _3 线性变换在不同基下的矩阵表示设 V 是数域 K 上的 n 维向量空间, ϕ 是 V 上的线性变换, 若 V 有两组基 : ξ1, ξ 2,, ξ n和 η1, η2,, η n, 已知从第一组基到第二组基的过渡矩阵是 P, 即 ( η η η ) = ( ξ ξ ξ ),,,,,,. 1 2 n 1 2 n P 假定在第一组基下的表示矩阵为 A, 在第二组基下的表示矩阵为 B, 则 1 B = P AP.

5 复习 : 线性变换与矩阵 _4 线性变换与表示矩阵的关系设 V 是 n 维线性空间, ξ1, ξ 2,, ξ n 是 V 的一组基, L(V) 是 V 的全体线性变换构成的代数, 则存在代数同构满足 : L ( V ) K n θ n ϕ A ϕ( ξ, ξ,..., ξ ) = ( ξ, ξ,..., ξ ) 1 2 n 1 2 n A

6 复习 : 线性变换与矩阵 _5 交换图 n n n 1 n 1 设 A K, 则 A 导出线性变换 A:K K, x Ax, 则有下图所示的交换图, 即 η ϕ = A η 且 , η (Im ϕ) = Im A, η (Ker ϕ ) = Ker A. η ϕ V V 1 2 K K η n 1 A n 1

7 复习 : 线性变换与矩阵 _6 不变子空间 V 的不变子空间 U 称为线性变换 ϕ 的不变子空间, 如果 ϕ (U ) U. 不变子空间与块上三角矩阵的关系 ϕ 1 2 设 U 是 V 上线性变换的不变子空间, 且设 U 的基为 ξ, ξ,, ξ r, 将 ξ1, ξ2,, ξ r, 扩充为 V 的一组基 : ξ1, ξ2,, ξr, ξr + 1,..., ξ n, 则 ϕ 在该基下的矩阵具有如下形状 : a a a a a a a a 0 0 a a 0 0 an, r + 1 a 11 1r 1, r n r1 rr r, r + 1 rn r + 1, r + 1 r + 1, n nn

8 复习 : 线性变换与矩阵 _7 不变子空间直和分解 ϕ 设是数域 K 上向量空间 V 的线性变换, V 1,V 2, V m 是的不变子空间, 且 V = V1 V2 V m, 若将 V i 的基拼凑成 V 的一组基 { ξ1, ξ2,, ξ n }, 则在 V 的这组基下 ϕ 的表示矩阵具有下列分块对角阵的形状 : A 11 A 22 A mm ϕ

9 6.1 目的与要求掌握特征值与特征向量特征子空间特征多项式的概念 ; 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩阵并应用于讨论问题 ; 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法 ; 注意矩阵与线性变换的对应结论 ; 注意特征值的概念与数域有关.

10 特征值和特征向量 _1 定义 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换, 若存在 λ K,0 α V, 使得 ϕ( α ) = λα, 则称 λ 是线性变换 ϕ 的一个特征值, α 为 ϕ 的属于特征值 λ 的特征向量. α 注 1: 设是 ϕ 的属于特征值 λ 的特征向量, 则 α 不是 ϕ 的属于另一个特征值 µ 的特征向量. 注 2: 属于不同特征值的特征向量必线性无关.

11 特征值和特征向量 _2 定义 : 设 λ 是 ϕ 的一个特征值, 则 V = { V ( ) = } λ α ϕ α λα 是 V 的子空间, 且是称为 ϕ 子空间, 称为 ϕ 的属于特征值 λ 的特征子空间. 注 : 设 α 是 ϕ 的关于 λ 的特征向量, β 是 ϕ 的关于 μ 特征向量, λ μ, 则 α+β 不是 ϕ 的特征向量.

12 特征值和特征向量 _3 定义 : 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵, 若存在 λ K, X K n 1 1, 且 X 0, 使得 AX =λx. 则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值, X 为 A 的属于特征值 λ 的特征向量. 定义 : 设 λ 是 A 的一个特征值, 则 V λ = {X K{ n 1 AX = λx } 称为 A 的属于特征值 λ 的特征子空间.

13 特征值和特征向量 _4 注 : 设 ϕ L (V), ϕ 在 V 的一组基 ξ 下的矩 1, ξ 2,..., ξ n 阵是 A, α V, α 在 ξ1, ξ 2,..., ξ n 下的坐标向量是 X. 则有 λα = λ( ξ1, ξ 2,..., ξn ) X = ( ξ1, ξ 2,..., ξn ) λ X ϕ( α ) = ϕ(( ξ1, ξ2,..., ξ n ) X ) = ϕ( ξ1, ξ 2,..., ξ n ) X = ( ξ, ξ,..., ξ ) AX 所以 1 2 ϕ( α ) = λα AX = λ X. n

14 特征值与特征向量 _5( 定义 : 设 A=( =(a ij ) n n, λ I A = n _5( 特征多项式 ) λ a a a n a λ a a n a a λ a n1 n2 nn 称为 A 的特征多项式, 记为 f A (λ). 注 : 矩阵 A 在 K 上的特征值必是 A 的特征多项式在 K 上的根, 反之亦然.

15 特征值与特征向量 _6( _6( 特征多项式 ) 命题 : f A( λ) = f A ( λ ) 命题 : 相似矩阵具有相同的特征多项式. 反之未必例 1 与不相似注 1: 设 ϕ L (V), 在 V 的某组基下表示矩阵为 A, 定义 fϕ ( λ) = f A ( λ ). ( 合理 ) 注 2: 若 A 相似于三角阵 U, 则 U 的对角元即为 A 的特征值.

16 特征值与特征向量 _7( _7( 特征多项式 ) 注 3: 令 f A (λ)) = =λ n + a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+ a n. 设 f A (λ)) = ( (λ-λ 1 )(λ-λ 2 ) (λ-λ n ), 则即 a 1 =-(λ 1 +λ λ n ) =- = (a 11 +a a nn =-tr tr(a) a n = (-1)( n A = (-1)( n λ 1 λ 2 λ n. λ 1 +λ λ n = tr(a) λ 1 λ 2 λ n = A.. nn )

17 特征值与特征向量 _8( _8( 特征多项式 ) 定理 : 设 A = ( a ), 的特征多项式 ij n n A n n 1 ( λ) λ λ 1λ... 1 λ 则 f = I A = + b + + b + b b A n n k k = ( 1) 1 i < i <... < i n 1 2 其中 1 k n, 1 1 < 2 <... < k n 中整数 i, i,..., i 1 2 k 求和. k i i i n a a... a i i i i i i a a... a i i i i i i a a... a i i i i i i k 1 k 2 k k 表示对所有可能的 1 至 k k

18 特征值与特征向量 _9 求特征值和特征向量的方法 : 1. 计算 A 的特征多项式 f A (λ)) = λi n -A ; 2. 求 f A (λ) 的所有根, 在 K 中是特征值 ; λ 0 ( λ I A) X = 0 3. 对每个特征值 0, 求齐次线性方程组 n 的基础解系, 即 λ 0 的特征子空间 V λ0 的基, X 1, X 2,, X s. 则 k 1 X 1 + k 2 X k s X s, 即是对应于特征值 λ 0 的全部特征向量, 其中 k i 为 K 上不全为零不全为零的数.

19 例 2: 求例 3: 求 1 例 4: 在有理数域上求 a b d 例子的特征值与特征向量, 其中 a d, b 0, a 1, d 的特征值与特征向量的特征值.

20 特征值与特征向量 _10 定理 : 任一复方阵必复相似于一个上三角阵. 注 1: 若数域 K 上的 n 阶方阵的特征值全在 K 中, 则存在 K 上可逆阵 P, 使 P -1 AP 是上三角矩阵. 注 2: 一般 K 上矩阵未必相似于 K 上上三角阵. 注 3: 在同构意义下, 定理为定理 : 设 ϕ 是 C 上 n 维空间 V 上的线性变换, 则存在 V 的一组基, 使 ϕ 在其下的矩阵是上三角阵, 这时主对角线上元素就是的所有特征值. ϕ

21 例子 n n 例 5: 设 A K, g( x) K[ x ], (1) 若 λ 是 A 的特征值, 则 g ( λ ) 是 g( A ) 的特征值. (2) 若 λ, λ,..., λ 是 A 的全部特征值, 则 g ( λ ), 1 2 n 1 g( λ ),..., g ( λ ) 2 n 是 g( A ) 的全部特征值. n n 例 6: 设 A K, A 0, A 的特征值为 λ1, λ2,..., λ n. (1) λ 0,1 i n ; i (2) λ , λ 2,..., λ 1 n 是 A 的全部特征值 ; * (3) A λ1, A λ2,..., A λ n 是 A 的全部特征值.

22 作业作业 : p235 1(3), 3, 4, 5, 6, 10(1) p , 11 思考 : p235 7, 8 p249 1, 2, 10 选做 : p236 10(2) p249 4, 5

23 复习 A 的特征值即 A 的特征多项式的根 ; A 的所有特征值的和 A 的迹 ; A 的所有特征值的乘积等于 A 的行列式 ; 相似矩阵有相同的特征多项式 ; 相似矩阵有相同的特征值 ; 任意矩阵必相似一个上三角阵, 且该上三角阵的对角元即该矩阵的特征值

24 例子例 7: 设 n 阶方阵 A 适合多项式 g( x ), 即 g( A ) = 0. 则 A 的特征值 λ 也适合 g( x ), 即 g ( λ ) = 0. 例 8: 设 A, B 为 n 阶方阵, 则 f AB( λ ) = f BA ( λ ). m n n m 例 9: 设 A K, B K, 且 m n. 求证 : (1) m λ I AB = λ n λ I BA ; (2) tr( AB) = tr( BA ); (3) 设 B1, B2,..., B m 是 m 个同阶矩阵 A1, A2,..., A m 的任何循环排列, 则 A1 A... 2 A 与 B m 1B... 2 B m 有相同多项式, 因而有相同特征值和迹.

25 例子 1 n 例 10: 设 α = ( a, a,..., a ) R, 且 αα = 1, 求 I n α α 的特征值. 例 11: 设实矩阵 I n -A 的特征值的模长都小于 1, 求证 : 0< A <2 <2 n. 例 12: 设 A 是 n 阶方阵, 秩等于 n-1, 试求 A * 的所有特征值. A A = A 2 1 例 13: 设, 则 n f ( λ) = f ( λ) f ( λ ). A A A 1 2

26 6.2 目的与要求掌握矩阵 ( 线性变换 ) 可对角化的定义 ; 理解和计算特征值的代数重数和几何重数 ; 掌握可对角化的等价命题 ; 能判断一个矩阵是否可对角化, 在可对角化时将其对角化.

27 复习 : 直和等价命题 _2 个子空间设 V 1, V 2 是线性空间 V 的子空间, 则下列命题等价 : 1) 和 V 1 + V 2 是直和 2) 记 V 0 = V 1 +V 2, 则 0 向量的分解唯一 3) 记 V 0 = V 1 +V 2, 则任一向量的分解唯一 4) V 1, V 2 的基可凑成 V 1 + V 2 的基 5) dim (V 1 + V 2 ) = dim(v 1 ) + dim(v 2 )

28 复习 : 直和等价命题 _ 多个子空间设 V 1,V 2,,V s 是线性空间 V 的子空间, 则下列命题等价 : 1) 和 V 1 +V 2 + +V +V s 是直和 2) 记 V 0 = V 1 +V 2 + +V +V s, 则 α V 0, 存在唯一 α V, i = 1,2,..., s, 使得 α = α + α + + α i i 1 2 s 3) 对任意的 i, 都有 V i ( ( V 1 +V 2 + +V +V i 1 ) = 0 4) dim (V 1 +V 2 + +V +V s ) = dim(v 1 )+dim(v 2 )+ +dim(v s )

29 ϕ 对角化问题 _1 定义 : 设是数域 K 上 n 维空间 V 的线性变换, ϕ是可对角化可对角化的, 如果存在 V 的一组基, 使得 ϕ 在此基下的矩阵是对角阵. 定义 : 设 A 是数域 K 上 n 阶方阵, 称 A 是可对角化的, 如果存在可逆阵 P, 使得 P -1 AP 为对角阵.

30 对角化问题 _2 ϕ 注 1: 若在某组基下的表示矩阵是对角阵, 则对角元在不考虑排列顺序的条件下是唯一确定的, 他们恰是 ϕ 的所有特征值. 注 1 : 若 A 是 K 上可对角化矩阵, 即存在 K 上 n n 1 可逆阵 P K, 使得 P AP 为对角阵, 则该对角阵的对角元恰好为 A 的特征值.

31 对角化问题 _2 注 2: 若 ϕ 在某组基 ξ1, ξ2,..., ξ n 下的表示矩阵是对角阵, 则 ξ 恰是 ϕ i ( 属于第 i 个对角元 ) 的特征向量. 注 2 : 若 A 是 K 上可对角化矩阵, 即存在 K 上 n n 1 可逆阵 P K, 使得 P AP 为对角阵, 则 P 的列向量恰好为 A 的特征向量. 注 3: : ϕ ( 或 A) 在 C 可对角化, 未必在 K 上可对角化. 因 ϕ ( 或 A) 在 K 上可能没有 n 个特征值.

32 对角化问题 _3 命题 : 设 λ λ 1, 2,..., λ k 是数域 K 上 n 维线性空间 V 上线性变换 ϕ 的不同特征值, V 是 ϕ λ 属于特征值 λ 的特征 i i 子空间, 则 V + V + + V = V V V. λ λ λ λ λ λ 1 2 k 1 2 n n 命题 : 设 A λ1 λ2 λ k 值, V λ 是 A 的属于特征值 λ K,,,..., K 是 A 的互异特征的属于特征值的特征子空间, 则 i i V + V + + V = V V V. λ λ λ λ λ λ 1 2 k 1 2 k k

33 对角化问题 _4 ϕ 推论 : 线性变换属于不同特征值的特征向量必线性无关. 推论 : 矩阵 A 属于不同特征值的特征向量必线性无关. 推论 : 线性变换 ϕ 有 n 个不同特征值, 则必存在 V 的某组基, 使 ϕ 在其下的表示矩阵为对角阵 ( ϕ 必可对角化 ). 反之未必. 推论 : 矩阵 A 在 K 上有 n 个不同特征值, 则必存 1 在可逆矩阵 P, 使 P AP 为对角阵 (A 必可对角化 ). 反之未必.

34 对角化问题 _5 命题 : 设 ϕ 是 n 维线性空间 V 的线性变换, λ 是的特征值. 设 λ 是 ϕ 的特征多项式的 m 重根 (λ 的代数重数代数重数为 m), λ 的特征子空间 V λ 的维数为 t (λ 的几何重数 ), 则有 t m. 命题 : 设 A 是 n 阶方阵, 是 A 的特征值. 设 λ 是 A 的特征多项式的 m 重根 (λ 的代数重数代数重数为 m), λ 的特征子空间 V λ 的维数为 t (λ 的几何重数 ), 则有 t m.

35 对角化问题 _6 ϕ 定理 : 设是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换, 则下列命题等价 (1). 在 K 上可对角化 ; ϕ ϕ (2). 在 K 上有 n 个线性无关的特征向量 ; (3). V = V 这里是在 K λ V 1 λ V 2 λ. λ s 1, λ2,, λ s 上的全部互异特征值 ; (4). s dim V n. 这里是在 K 上的全 i = 1 λ = i λ1, λ2,, λ ϕ s 部互异特征值 ; (5). ϕ 的所有特征根在 K 上并且任意特征值的代数重数等于几何重数. ϕ

36 对角化问题 _7 判断 A 是否可对角化和求可逆阵 P 的方法 : 1. 求 f 的全部互异特征值及代数重数 A ( λ ) λ i, mi,1 i s ; 2. 求 V λ 的一组基 ξ i i1, ξi 2,..., ξ it,1 i s ; i 3. 若有某 t, 则 A 不可对角化 ; 若所有则 A i < m i ti = m i, 可对角化. 4. 令 P = ( ξi1,..., ξit,..., ξ 1,..., ), 则 i s ξ st s λ 1 I t 1 注 1: 因为特征向量 λ 1 2 I t 2 P AP =. 不唯一, 故 P 不唯一注 2: 注意列向量与 λ si t s 特征值的对应关系.

37 例子例 1: 判断 A 是否相似对角阵, 若是, 求出可 1 逆阵 P, 使 P AP 是对角阵. 例 2: 计算 (1) A = (2) A = A, 其中 1 0 A =. 1 2 例 3: 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,1,2, 对应特征向量依次为 (2,1,0),( 1,0,1),(0,1,1), 求矩阵 A.

38 例子例 4: 求证 : (1) 若矩阵 A 适合 A 2 =I, 则 A 必可对角化 ; (2) 若矩阵 A 适合 A 2 =A, 则 A 必可对角化 ; (3) 若 A 是非零阵且 A 2 =0, 则 A 必不可对角化 ; (4) 若实矩阵 A 适合 A 2 +A+I=0, 则 A 在实数域上必不可对角化.

39 作业作业 : p241 4, 5, 10(2)(3)(4), 11 p249 7, 8 思考 : p241 7, 8, 12 选做 : p251 17, 18 挑战 : p250 15

40 6.3 目的与要求理解极小多项式的含义 ; 了解极小多项式的存在性唯一性 ; 掌握极小多项式的性质 ; 熟练掌握 Cayley Hamilton 定理.

41 复习 dimv=m, 则 V 上任意 m+1 个向量必线性相关 ; A K n n, x 1, x 2,, x n 是 n 个线性无关列向量, 若 Ax i = 0, 1 i n, 则 A = 0. 设 f(x)g(x) 0, 则若 f(x) g(x) 且 g(x) f(x), 则必存在 c 0, 使得 f(x) = cg(x). v(x) = [ f(x), g(x)]( 最小公倍式 ) 是指 : v(x) 是首一多项式 ; f(x) v(x), 且 g(x) v(x); 若 f(x) h(x), 且 g(x) h(x), 则 v(x) h(x).

42 极小多项式 _1 定义 : 设 A K,0 f ( x) = a x + a x a K[ x ]. 若成立 n n s s 1 s s 1 0 s f ( A) = a A + a A a I = 0, s 则称 A 适合多项式 f (x), 或称 f (x) 是 A 的零化多项式. 1 1, s 1 s 例 1: 设 A = 则 f ( x) = x 2x + 1 是 A 的零 0 1 化多项式.

43 极小多项式 _2 命题 : 对数域 K 上的 n 阶方阵 A, 总存在 K 上多项式 f (x), 使得 f (A)) = 0. 注 : 矩阵的零化多项式不唯一. 如上面例 1 中, f(x)= )=x 3 x 2 x+1 也是 A 的零化多项式. 定义 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性 s s 1 变换. 设 f x = as x + as 1x + + a0 x s s 1 若成立 f ( ϕ ) = asϕ + as 1ϕ a0id V = 0, 则称 ϕ 适合多项式 f (x), 或称 f (x) 是 ϕ 的零化多项式. 0 ( )... K[ ]..

44 极小多项式 _3 注 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换, ξ1, ξ2,..., ξ n 是 V 的一组基, ϕ 在该基下的表示矩阵为 A, 即 ϕ( ξ, ξ,..., ξ ) = ( ξ, ξ,..., ξ ). 1 2 n 1 2 n A 设 f ( x) K[ x ], 则 f(x) 是 A 的零化多项式 f(x) 是 ϕ 的零化多项式. 命题 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换. 则存在 f ( x) K[ x ], 使得 f ( ϕ ) = 0.

45 极小多项式 _4 定义 : 若 n 阶方阵 A( 或 ϕ L (V)) 适合一个首项系数为 1 的多项式 m(x). 且 m (x) 是 A( 或 ϕ ) 所适合的多项式中次数最小者, 则称 m (x) 是 A ( 或 ϕ ) 的极小多项式. 记作 m A (x)) ( 或 mϕ ( x ) ). 命题 : n n (1) 设 A K,0 f ( x) K[ x ], 且 f (A)=0, 则 m(x) ) f(x).). (2) 任一 n 阶矩阵的极小多项式必唯一. (3) 相似的矩阵具有相同的极小多项式.

46 命题 : 设极小多项式 _5 A 1 A =, A, A A m ( x) = [ m ( x), m ( x )]. A A A 1 2 是方阵, 则引理 : 设 λ 0 是 A 的特征值, 则 ( x λ 0 ) ma ( x ). 推论 : 设 λ 是 A 的互异特征值, 是 1, λ2,..., λ s m A ( x ) A 的极小多项式, 则 ( x λ )( x λ )...( x λ ) m ( x ). 1 2 s A

47 极小多项式 _6 引理 : 若 A= = 2 2 n, 则 f A (A)=0. Cayley-Hamilton 定理 : 设 A 是数域 K 上 n 阶方阵, f A (x) 是 A 的特征多项式, 则 f A (A)) = 0. 推论 : m A (x)) f A (x). 推论 : 在不计重数的情况下, f A (x) 与 m A (x) 有相同的根. 推论 : 设 λ 1 a12 a 1 n 0 λ a 0 0 λ n ϕ L (V), f ϕ ( ϕ ) = 0. 则

48 例子例 2: 设 A 是 n 阶可逆阵, 求证存在 n 1 次多项式 g(x), 使得 A 1 = g(a). 例 3: 举例说明特征值相同的矩阵未必相似, 极小多项式相同的矩阵未必相似. 例 4: 设 A, B 是 n 阶方阵, f A (x), m A (x) 分别是 A 的特征多项式和极小多项式, m B (x) 是 B 的极小多项式. 若 (m A (x), m B (x))=1, 求证 : (f A (x), m B (x))=1.

49 例子例 5: 设 A, B 为 n 阶方阵, f A (x), m A (x) 分别为 A 的特征值和极小多项式, m B (x) 是 B 的极小多项式. 若 (m A (x), m B (x))=1, 求证 : f A (B) 是非异阵.

50 作业 : p246 2, 3, 7 作业补充 1: 若 A 可对角化, 则 A 的极小多项式其中为 A 的所有互异特征值. λ λ 1 2 补充 2: 设可逆矩阵 A 的极小多项式为求 A 1 及 A * 的极小多项式. 选做 : p246 8 m λ λ λ,,..., t ( ) = ( ), t A i= 1 i λ λ λ m λ m 1 1 m ( ) = + a + + a. A m

51 6.4 目的与要求了解关于矩阵特征值估计的第一圆盘定理和第二圆盘定理

52 特征值的估计 _1 第一圆盘定理设 A 是复矩阵, A = ( a ij ) n n. 则 A 的特征值在复平面上下列圆盘 ( 戈氏圆盘 ) 中 : z a ii a ij, 1 i n. 例 1 估计下列矩阵特征值的范围 : n j i

53 特征值的估计 _2 定义若一个戈氏圆盘与另一个戈氏圆盘相连, 则称这两个圆盘内的区域是连通连通的, 即所谓连通区域是指区域内任意两点可以用折线连接起来, 而这些折线都落在这个区域内. 第二圆盘定理设矩阵 A 的 n 个戈氏圆盘分成若干个连通区域, 若其中一个连通区域含有 k 个戈氏圆盘, 则有且只有 k 个特征值落在这个连通区域内 ( 若两个戈氏圆盘重合, 则需计重数 ; 又若特征值为重根, 则也计重数 ).

例子估计下列矩阵特征值的范围 : 1 0.1 0.2 1 0.1 3 0.2 1.1 0.1 0.1 4 0.2 1 0.2 0.

54 例子估计下列矩阵特征值的范围 : 例 2 估计下列矩阵特征值的范围

55 作业作业 : p249( 习题 ) 1, 2, 3 选做 : p249( 习题 ) 4 p250 13

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP:// 线性空间与线性映射知识回顾 1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,