例.. 计算解显然, 而对, 有 si d, 其中为非负整数 si d, si d cos si d si si d si cos ( ) ( ) si ( si )( ) ( ) d si cosd 由此, 可得递推关系, 结合和的结果, 可得时, ( )( ), 为偶数, ( ) (

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虢李
5 years ago
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1 教案定积分的计算教学内容由 Newto-Leiiz 公式知道, 函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取值之差, 因而为求定积分似应先算出相应的不定积分但定积分计算的目标毕竟并非原函数而是积分的值, 所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则定积分计算是微积分中的基本技术, 是学生必须掌握的技能本节主要讲解以下几方面的内容 : () 定积分的分部积分法 ; () 定积分的换元积分法 ; () 定积分的常用计算技巧 ; () 定积分的近似计算 ( 数值积分法 ) 教学思路和要求 () 定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合 Newto-Leiiz 公式得出 ; () 定积分的计算有着许多特有的技巧, 特别是在处理奇偶函数周期函数和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时, 常有一些简便的方法, 需特别指出, 注意引导学生发挥主动意识, 举一反三 ; () 注意在讲授数值积分时强调背景思想, 并指出误差估计教学安排一. 分部积分法或定理.. 设函数 u, v 在 [, ] 上具有连续导数, 则 ) v( ) d u( ) v( ) v( ) u u ( ( ) d, u ( ) dv( ) u( ) v( ) v( ) du( ) 只要把 Newto-Leiiz 公式和不定积分的分部积分法相结合, 便可得上述定积分的分部积分公式例.. 求由曲线 si ( ) 和轴围成的区域的面积 A 解由定积分的几何意义知, A si d d cos cos cosd si

2 例.. 计算解显然, 而对, 有 si d, 其中为非负整数 si d, si d cos si d si si d si cos ( ) ( ) si ( si )( ) ( ) d si cosd 由此, 可得递推关系, 结合和的结果, 可得时, ( )( ), 为偶数, ( ) ( )( ), 为奇数. ( ) 二. 换元积分法从不定积分的换元法转换到定积分的换元法, 要特别注意积分上下限的对应关系定理.. 设 f 是 [, ] 上的连续函数, 是定义于和间的具有连续导数的函数, 其值域包含于 [, ], 且 ( ), () 则 f ) d f [ ( t)] ( ( t) dt 证因为函数 f 连续, 故存在原函数, 设 F f, 于是 d F[ ( t)] f [ ( t)] ( t), dt 即 F[ ( t)] 是 f [ ( t)] ( t) 的原函数由 Newto-Leiiz 公式, 可得和 f ( ) d F( ) F( ) f [ ( t)] ( t) dt F[ ( )] F[ ( )] F( ) F( ) 所以上述两个积分相等例.. 求半径为 r 的圆的面积解设圆的中心在原点由对称性, 只须求出它在第一象限部分的面积圆周在第一象限部分的方程为

3 r r, r 因此, 相应的面积为 r d 为计算这个积分, 作变量代换 r si t, t [, / ], 于是, d r cos tdt 变量对应的积分区间 [,] 转换为变量 t 对应的积分区间 [, / ], 且 t 时, ; t 时 r 这样 r r r d r t si t 所以, 整个圆的面积 A r cos tdt r 例.. 计算 d 解令 t, 于是 t, d tdt, 且时 t ; 时, t 于是 t d tdt t dt ( t rctt) t 例.. 计算 cos d, 其中是非负整数解作变量代换 t, 于是 tdt si 右端积分的值见例.. 要补充说明的是, 如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法, 因为运算过程往往不另行写出中间变量, 从而也毋须引入中间变量的变化区间这就是说 : 如果 f ( u) du F( u) c, 函数 g 在 [, ] 上连续可微, 则例.. 计算 cos f [ g( )] g( ) d F[ g( )] si d 解 cos sid cos cosd cos 易知上面的运算实际上是通过变换 u cos 把原积分化为 u 的积分如果在这里把关于的积分改写关于 u 的积分, 那么必须注意 : 原来 si cos 关于在 [, / ] 上的积分换元后相应的是 u 关于 u 从到的积分, 即

4 cos si d u du 例..7 计算 d 解一作变量代换 sect, 则 d sect t tdt, 且当时, t ; 当时, t, 于是 sec t t t d dt sec ( t ) dt t t 这个积分也可以用凑微分的方法计算解二 d d rcsi l 例..8 计算 e d 解作变量代换 u e, 即 u l( u ), 则 d du, 且当 u 时, u ; 当 l 时, u, 于是 l u e d u du u u du u l u l( ) u 下面例..9 和例.. 的几何意义是明显的, 它们往往可以用来简化积分的计算例..9 设, f 是 [, ] 上的连续函数, 则 () 当 f 是奇函数时, () 当 f 是偶函数时 f ( ) d ; f ( ) d f ( ) d 证设 f 是奇函数, 即 f ( ) f ( ), [, ] 于是对上式右端第一个积分作换元 t, 则有 f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( t)( dt) f ( t) dt,

5 所以 f ( ) d 类似地可以讨论偶函数的情况于是例.. 计算解由于 si ( cos si ) d cos si 是奇函数, si 是偶函数, 因此 cos si d, si d si d si ( cos si si ) d 证毕 ( cos ) d si. 例..9 的结论实际上蕴含于以下更一般的结论中 : 对于 [, ] 上任何连续函数 f, 总有 f ( ) d [ f ( ) f ( )] d 利用这个关系式, 有时也可简化积分计算例.. 计算 d si 解 d d si si si( ) t d si 例.. 设 f 是以为周期的连续函数, 证明 : 对任何实数, 成立着证显然 f ) d ( f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d 对最后一个积分作换元 t, 得因此 si f ( ) d f ( t ) dt f ( t) dt f ( ) d f ( ) d f ( t) dt f ( ) d f ( ) d f ( ) d 例.. 计算 d 解先计算不定积分当或时, 有 d 证毕

6 d d d rct c 至此, 如果不假思索地应用 Newto-Leiiz 公式, 便得 d rct 结果显然是错误的因为在 [-,] 上恒取正值的连续函数的积分不可能为, 正确的计算如下 : 由于被积函数是偶函数, 由例..9 可知其积分值为 [,] 上积分值的倍, 所以这里 rct d rct. 是指 lim rct 这一解法的依据是因为 rct 是 (,) 上的连续函数, 且时极限存在, 以此极限值作为点函数值的补充定义, 就得到 [,] 上的连续函数, 自然可以应用 Newto-Leiiz 公式前一解法错误的原因在于 rct 在点间断, 所以并非被积函数在 [, ] 上的原函数如果读者仍然希望在 [, ] 上用 Newto-Leiiz 公式的话, 可以选用下面的原函数计算 : 三. 数值积分 rct, F( ), rct, [, ),, (, ]. Newto-Leiiz 公式远不足以解决定积分的计算问题一方面, 许多可积函数的原函数难以或者根本不能用初等函数表示 ; 另一方面, 大量的实际问题还需要对并无解析表达式的函数计算定积分各种数值积分方法提供了根据被积函数在积分区间某些点上的函数值近似计算其积分值的途径迅速发展的计算机技术则为扩大数值积分的应用范围并提高其精确度创造了条件我们知道定积分的几何意义是面积的计算各类数值积分方法实际上就源于对面积作近似计算的直观思考一. 梯形公式

7 为了直观地导出计算 f ( ) d的近似公式, 不妨先假设 f 是非负函数, 实际上其结论适用于任意值的可积函数把 [, ] 等分为个小区间, 即在 [, ] 间插入分点 ( 图..) i i, i,,, 显然, 每个小区间的长度为 f ( 对应于每个分点的函数值分别为,,, O i - i 以直线 i ( i,,, ) 把由直线,, 轴及 f () 围成的曲边形图.. 分割为个小曲边形在每个小区间, ] 上, 用连结, ) 和, ) 的直 [ i i ( i i ( i i 线段代替曲线段 f ()( i i ), 以小梯形面积作为原小曲边形面积的近似, 即 i f ( ) d ( i i )( i i ) ( i i ), i 于是, i f ( ) d f ( ) d ( i i ) i i i 整理后即得 f ( ) d ( ) 这就是近似计算定积分值的梯形公式若 f 在 [, ] 上连续, M m f ( ), 则以上近似公式的误差 E 有如下估计 ( 证明从略 ): [, ] M ( ) E 二. 抛物线公式 (Simpso 公式 ) 在梯形公式中, 对应于每个小区间, ], 替代曲边形顶部的曲线段是直 [ i i 线段, 即以一次函数替代 f ()由此设想, 如果以二次函数代替 f (), 即以抛物线段替代曲线段, 将能提高积分近似值的精确度为此, 在 [, ] 中插入分点 i i, i,,, 得到个小区间, ] ( i,,, ) 在每个 [ i i 小区间 [ i, i ] 上, 找一个在 i, i, i 处取值与 f 相同的二次函数 ( 图..), 设为 ( ) r,, ] g i [ i i 以抛物线 g () 代替 f (), 得到 i

8 以 i i i 为例计算右端积分, 得 g ( ) d ( i f ( ) d g ( ) d ) d i i ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ] 注意到, i i i,, 所以 g( ) d ( ) 一般地, 有 i gi ( ) d ( i i i ), i,,, i 将以上诸式两端分别相加, 并注意左边的和近似等于 f ( ) d, 所以 f ( ) d i i i i () 这就是近似计算定积分值的抛物线公式 ( 或 Simpso 公式 )若 f 在 [, ] 上连 () 续, M m f ( ), 则以上近似公式的误差 E 有如下估计 ( 证明从略 ): [, ] M ( ) E 8 例.. 用数值积分方法计算 d 解首先, 在 [,] 中取三个分点,, 由计算得到,, 由梯形公式得.77 由抛物线公式得 ( ).78 其次, 在 [,] 中取五个分点,,,, 由计算得,,,, 7 由梯形公式得

9 由抛物线公式得 [ ( ) ].789 由于 () ( ), ( ) 它的绝对值在 [,] 上的最大值为于是用梯形公式近似计算产生的误差不超过. 由于 () ( ), ( ) 它的绝对值在 [,] 上的最大值为于是用抛物线公式近似计算产生的误差不超过. 可见, 用抛物线公式的确已达到了相当高的精确度 8 实际上, 由 Newto-Leiiz 公式, 可得 d rct 四. 习题.() ( ) ( ) (7);.() () () (8);.() ( ) ( ) ( ); ;;7;9;;;;7

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f

例.. 计算 解显然, 而对, 有 si d, 其中 为非负整数 si d, si d cos si d si si d si cos ( ) ( ) si ( si )( ) ( ) d si cosd 由此, 可得递推关系, 结合 和 的结果, 可得 时, ( )( ), 为偶数, ( ) (

例.. 计算解显然, 而对, 有 si d, 其中为非负整数 si d, si d cos si d si si d si cos ( ) ( ) si ( si )( ) ( ) d si cosd 由此, 可得递推关系, 结合和的结果, 可得时, ( )( ), 为偶数, ( ) (