基础班讲义

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峡陶
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1 年考研数学基础班讲义高等数学第一章函数极限连续一函数函数的概念 : 函数的性态 : 单调性奇偶性周期性有界性有界性 : 定义 : M >, I, M ; 复合函数与反函数函数的复合, 求反函数 4 基本的初等函数与初等函数基本初等函数 : 将幂函数, 指数, 对数, 三角, 反三角统称为基本初等函数了解它们定义域, 性质, 图形. 初等函数 : 由基本初等函数经过有限次的加减乘除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型 : 函数有界性单调性周期性及奇偶性的判定 ; 复合函数 ; 例 cos si e < < + 是 A 有界函数. B 单调函数. C 周期函数 D 偶函数. 例已知 si, [ ], ϕ 则 ϕ 的定义域为.

域, 性质, 图形. 初等函数 : 由基本初等函数经过有限次的加减乘除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.

2 解 : rcsi ; [, ]. 例设,,, <, 则 g +, >,, g [ ]. +, <, 解 g[ ] +,. 二极限极限概念数列极限 : lim A : ε >, N >, 当 > N 时, 恒有 A < ε. 函数极限 : lim A: ε >, X >, 当 > X 时, 恒有类似的定义 A < ε. lim A, lim A + lim A lim lim + A lim A : ε >, δ >, 当 < < δ 时, 恒有 A < ε 左极限 : lim 右极限 : lim + 或 + 或 + lim A lim + lim A 几个值得注意的极限 : + lim e,lim rct, lim e, lim rct, lim. 极限性质有界性收敛数列必有界 ; 有理运算性质若 lim A, lim g B. 那么 : lim[ ± g ] lim ± lim g A ± B

3 lim[ g ] lim lim g A B lim lim g lim g A B B 两个常用的结论 : lim 存在, lim g lim ; g 保号性设 lim lim A,lim lim g ; g A 如果 A >, 则存在 δ >, 当 U, δ 时, >. o 如果当 U, δ 时,, 那么 A. 4 极限值与无穷小之间的关系 ; lim A A + α. 其中 lim α. 极限存在准则夹逼准则 : 若存在 N, 当 > N 时, lim. 单调有界准则 : 单调有界数列必有极限 4 常用的基本极限 o z, 且 lim lim z, 则 si lim, lim + e, lim + e l + e lim, lim, lim l + lim α α, lim. 5 无穷小量与无穷大量无穷小量的概念 : 若 lim, 则称为时的无穷小量.

4 无穷小的比较 : 设 lim α, limβ, 且 β. α 高阶 : 若 lim ; 记为 α ο β ; β α 同阶 : 若 lim C ; β α 等价 : 若 lim ; 记为 α ~ β ; β α 4 无穷小的阶 : 若 lim C, 称 α 是 β 的 k 阶无穷小. k [ β ] 常用的等价无穷小 : 当时, ~ si ~ t ~ rcsi ~ rct ~ l + ~ e ; cos ~, + α ~ α, ~ l,, 4 等价无穷小代换 α 若 α ~ α, β ~ β, 且 lim 存在, β 则 α α lim lim β β 5 无穷小的性质 : 有限个无穷小的和仍是无穷小. 有限个无穷小的积仍是无穷小. 无穷小量与有界量的积仍是无穷小. 6 无穷大量的概念 : 若 lim, 称为时的无穷大量 ; 7 无穷大量与无界变量的关系 : 无穷大量无界变量 8 无穷大量与无穷小量的关系 : 无穷大量的倒数是无穷小量 ; 无穷小量恒不为零的倒数是无穷大量 ; 4

k [ β ] 常用的等价无穷小 : 当时, ~ si ~ t ~ rcsi ~ rct ~ l + ~ e ; cos ~, + α ~ α, ~ l,, 4 等价无穷小代换 α 若 α ~ α, β ~ β, 且 lim 存在, β 则 α α lim lim β β

5 常考题型 : 求极限 ; 无穷小量阶的比较 ; 求极限 : 方法有理运算 si + cos 例 lim. + cos + 例 lim. + 方法基本极限例 lim + + c 方法等价无穷小代换 si t e e 例 lim. l + + 例 lim. + 方法 4 夹逼原理例例, 其中 >, >, c >. c lim + + L lim 例 lim + + L + m. 其中 i >, i,, Lm m i 方法 5 单调有界准则例设 >, >,,, L. + +, 求极限 lim. 5

6 无穷小量阶的比较例当时, α k 与 β + rcsi cos 是等价无穷小, 则 k. 4 例设当时 cos l + 是比 si 高阶的无穷小, 而 si 是比 e 高阶的无穷小, 则正整数等于 B A. B. C. D4. 三连续连续的定义 : 若 lim, 则称在处连续左右连续定义 : 若 lim, 则称在处左连续若 lim, 则称在处右连续 + 连续左连续且右连续间断点第一类间断点 : 左, 右极限均存在的间断点可去间断点 : 左极限右极限跳跃间断点 : 左极限右极限第二类间断点 : 左右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点 : 时, 振荡间断点 : 时, 振荡连续函数性质连续函数的和差积商分母不为零及复合仍为连续函数 ; 基本初等函数在其定义域内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续 ; 6

限均存在的间断点可去间断点 : 左极限右极限跳跃间断点 : 左极限右极限第二类间断点 : 左右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点 : 时, http://z.5d6d.

7 有界性 : 若在 [, ] 上连续, 则在 [, ] 上有界 4 最值性 : 若在 [, ] 连续, 则在 [, ] 上必有最大值和最小值 5 介值性 : 若在 [, ] 连续, 则在 [, ] 上可取到介于它在 [, ] 上最小值与最大值之间的一切值. 6 零点定理 : 若在 [, ] 连续, 且 <, 则必 ξ,, 使 ξ 常考题型讨论函数的连续性及间断点的类型 ; 有关闭区间上连续函数性质的证明题 ;. / cos,, 例已知在处连续, 则.. e, 例讨论的连续性并指出间断点类型. e + l si 例函数的可去间断点的个数为 A B C D 例 4 设在 [, ] 上连续, < c < d <. 试证对任意的正数 p, q, 至少存在一个 ξ [ c, d], 使 p c + q d p + q ξ. 第二章一元函数微分学一导数与微分导数概念 : + Δ lim Δ Δ lim ; 7

6 零点定理 : 若在 [, ] 连续, 且 <, 则必 ξ,, 使 ξ 常考题型讨论函数的连续性及间断点的类型 ; 有关闭区间上连续函数性质的证明题 ;. / cos,, 例已知在处连续, 则.

8 左导数 : 右导数 : + + Δ lim ; Δ + Δ lim ; + Δ 可导左右导数都存在且相等微分的概念 : Δ Δ 若 Δ + Δ AΔ + ο Δ, 则称在处可微 d Δ d 导数与微分的几何意义 : 会求切线, 法线方程. 4 连续, 可导, 可微之间的关系 5 求导公式 6 求导法则有理运算法则 : 复合函数求导法 : 隐函数求导法 : 4 参数方程求导法 : 5 对数求导法 : 常考题型 6 高阶导数 : π si si + ; u ± v u ± v ; 4 uv. 导数定义 ; cos cos + ; π k k k Cu v k 复合函数隐函数参数方程求导 ;. 高阶导数 ; 例设函数在处可导, 且, 则 lim 8

4 连续, 可导, 可微之间的关系 5 求导公式 6 求导法则有理运算法则 : 复合函数求导法 : 隐函数求导法 : 4 参数方程求导法 : 5 对数

9 A. B. C. D 例设在的某个邻域内有定义, 则在处可导的一个充分条件是 A lim h[ + ] 存在 ; B lim [ + ] 存在 ; h + h + h h h C lim 存在 ; D lim 存在 ; h h h h 例设 F g, 其中可导, 且, g 有界, 求 F 例 4 已知函数由方程 e 确定, 则. [] l + t d d 例 5 已知求, rctt, d d. 例 6 设 e, 求. 例 7 设函数!, 则二. 微分中值定理罗尔定理若在 [, ] 连续, 在, 内可导, 且, 则至少 ξ, 拉格朗日定理 ξ. 使若在 [, ] 连续,, 可导, 则至少存在一个 ξ,, 使柯西定理 ξ. 9

lim 存在 ; D lim 存在 ; h h h h 例设 F g, 其中可导, 且, g 有界, 求 F 例 4 已知函数由方程 e + 6 + 确定, 则.

10 若, g 在 [, ] 连续, 在, 内可导, 且 g, 那则至少存在一个 ξ,, 使 g g 4 泰勒公式 ξ. g ξ 定理拉格朗日余项设在的邻域 I 内 + 阶可导, 那么对 I, 至少存在一个 ξ 使 L + + R!! + ξ + 其中 R, ξ 在与之间. +! 定理皮亚诺余项设在点阶可导, 那么 L + + R!! 其中 R ο, 常考题型中值定理证明题例设在区间 [, ] 上连续, 在, 上二阶可导, 且 c < c <, 证明存在 ξ,, 使 ξ. 例设在 [, ] 上二阶可导,, 且存在 c, 使 c <. 试证 : ξ, η,, ξ <, η >. 三导数应用

11 洛必达法则 : 若 lim lim g ; 在点的某去心邻域内可导, 且 g ; g lim A g 或 ; 则 lim lim. g g 单调性若在 [, ] 上 >, 则在 [, ] 上单调增 ; 若在 [, ] 上 <, 则在 [, ] 上单调减 ; 极值与最值极值 : 极值的必要条件 : ; 极值的充分条件 : 若, 在两侧变号, 则在处取得极值 ; 若,, 则在处取得极值 ; 最值 : 求连续函数在 [, ] 上的最值 ; 应用题 4 曲线的凹向与拐点凹向 : 定义 : 判定 : 若在区间 I 上 > <, 则曲线在 I 上是凹凸的拐点 : 定义 :

12 判定 : 5 渐近线水平, 垂直, 斜渐近线. 若 lim A 或 lim A, 或 lim A 那么 A是曲线水平渐近线. + 若 lim, 那么是曲线的垂直渐近线. 若 lim 且 lim, 那么 + 是曲线的斜渐近线. 6 曲率与曲率半径 : 数三不要求曲率 K + 直角 ; K 参数. / + 曲率半径 R K 常考题型. 洛比达法则求极限 ;. 求函数的极值和最值, 确定曲线的凹向和拐点 ;. 求渐近线 ; 4. 方程的根 ; 5. 不等式的证明 ; π 例 lim t. si cos 例 lim. 4 π e 例二阶可导,, lim 求例 4 已知在的某个邻域内连续, 且,lim, 则在点 cos

13 处 A 不可导. B 可导, 且. C 取得极大值. D 取得极小值. 例 5 在半径为 R 的球中内接一直圆锥, 试求圆锥的最大体积. π R 8 例 6 曲线 + l + e 渐近线的条数为 A. B. C. D. [ ] l + 例 7 利用导数证明 : 当 >, 时 >. l + 例 8 求证 : 方程 + p + qcos 恰有一个实根, 其中 p, q 为常数, 且 < q <. 例 9 设 + + L +, 求证 : 方程 + + L + 在, 内至少有一个实根. 一不定积分第三章一元函数积分学两个概念 : 原函数 : F 基本积分公式 : 三种主要积分法不定积分 : d F + C 第一类换元法凑微分法若 udu F u + C, 则 ϕ ϕ d F ϕ + C 第二类换元法 : d ϕ t ϕ t ϕ t dt F t + C F ϕ + C i, si t cost ii +, tt iii, sect

例 9 设 + + L +, 求证 : 方程 + + L + 在, 内至少有一个实根.

14 分部积分法 uv p e e α α d, cosβd, 4 三类常见可积函数积分有理函数积分 R d udv vdu 适用两类不同函数相乘 α p siαd, p cosα, e si βd p l d, p rc t d, p rcsi d, 部分分式法一般方法 ; 简单方法凑微分绛幂 ; 三角有理式积分 Rsi,cos d 万能代换一般方法令 t t 简单方法三角变形, 换元, 分部 + 简单无理函数积分 R, d c + d 令常考题型 + c + d t 求不定积分换元分部 d 例. e,, 例设则 cos, <, d. 例计算 d >. rcte 例 4 计算 I d. e 4

积分 Rsi,cos d 万能代换一般方法令 t t 简单方法三角变形, 换元, 分部 + 简单无理函数积分 R, d c + d 令常考题型

15 例 5 计算. si si + d 二. 定积分定义 Δ Δ k k k lim d ξ λ 可积性必要条件 : 有界 ; 充分条件 : 连续或仅有有限个第一类间断点 ; 计算 d F F 换元法分部积分法 4 利用奇偶性, 周期性 5 利用公式 π π π π π d si d si 奇, 偶, d cos d si π 4 变上限积分 t t d 定理 : 设上连续, 则在上可导且 ], [ 在 t t d ], [. d t t 变上限求导的三个类型 : t t t t t t d, d, d ψ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ψ 5

16 5 性质不等式 : 若 g, 则 d g d. 若在 [, ] 上连续, 则 m d M. d d. 中值定理 : 若在 [, ] 上连续, 则 d c < c < 若, g 在 [, ] 上连续, g 不变号, 则常考题型定积分计算 ; 变上限积分 ; 定积分定义求极限 ; g d c g d c 例 d. π 4 π 例 π + si cos d. π 8 例计算 rcsi d. si t 例 4 设 dt, 计算 π t π 例 5 设, 求 t dt. d. d 例 6 设连续, 则 t t dt d π 8 6

17 A B C D 例 7 求极限 lim [ ] 三. 反常积分 L. + 无限区间 ; d lim d. 常用结论 : A + d lim d. A A A 若 + d 和都收敛, 则称收敛 d + d + P > 收敛 d;, > P P 发散无界函数 : 设为的无界点, d lim + 常用结论 : 常考题型反常积分计算 ; P 例下列结论中正确的是 A C dt + + d + + P < d P 收敛发散 d 与都收敛 + B dt 发散, + d 收敛 D d ε + + ε d d 与都发散. + 收敛, + d 发散 d 例 [ π ] 例计算 + d π I. + e + e 4e 7

考题型反常积分计算 ; P 例下列结论中正确的是 A C dt + + d + + P < d P 收敛发散 d 与都收敛 + B dt + + +

18 四. 定积分应用一几何应用 ;. 平面域的面积 : 直角 ; 极坐标 ; 参数方程. 体积 : 已知横截面面积的体积 V S d 旋转体的体积 V π d ; V π d. 曲线弧长数三不要求 C :,. s + d t C : α t β. s dt t β + α C : ρ ρ θ, α θ β. s ρ + ρ dθ 4. 旋转体表面积数三不要求 S π + d 二物理应用数三不要求. 压力 ;. 变力做功 ;. 引力常考题型平面域面积和旋转体体积的计算例过坐标原点作曲线 l 的切线, 该切线与曲线 l 及轴围成平面图形 D. 求 D 的面积 A ; e [ ] 求 D 绕直线 e 旋转一周所得旋转体的体积 V. π [ 5e e + ] 6 β α 第四章多元函数微分学一重极限连续偏导数全微分概念, 理论 8

旋转体表面积数三不要求 S π + d 二物理应用数三不要求. 压力 ;. 变力做功 ;.

19 重极限 lim, A,, 是以任意方式连续 lim,, 偏导数 + Δ,, d 定义 :, lim, Δ Δ d, + Δ, d, lim, Δ Δ d 例设, + + rct, 求,,,. + 几何意义 : 4 全微分定义 : 若 Δ z + Δ, + Δ, AΔ + BΔ + o 判定 : ρ 必要条件 :, 与, 都存在 ; 充分条件 :, 和, 在, 连续 ; 用定义判定 :, 与, 是否都存在? [, Δ +, Δ] Δz lim Δ Δ Δ + Δ 是否为零? 计算 : 若, 可微, 则 dz d + d 5 连续可导可微的关系 9

20 一元函数多元函数连续可导连续可导可微可微常考题型连续可导可微的判定及其之间的关系,,, 例二元函数, +, 在点, 处,,, 偏导数连续 A 连续偏导数存在 ; B 连续偏导数不存在 ; C 不连续偏导数存在 ; D 不连续偏导数不存在. 例二元函数, 在点, 处两个偏导数,,, 存在, 是, 在该点连续的 A 充分条件而非必要条件 ; B 必要条件而非充分条件 ; C 充分必要条件 ; D 既非充分条件又非必要条件例设, e, 则函数在原点处偏导数存在的情况是 A,,, 都存在 ; B, 不存在,, 存在 ; C, 存在,, 不存在 ; D,,, 都不存在. 二偏导数与全微分的计算

例二元函数, 在点, 处两个偏导数,,, 存在, 是, 在该点连续的 A 充分条件而非必要条件 ; B 必要条件而非充分条件 ; C 充分必要条件 ; D 既非

21 复合函数求导法设 u u,, v v, 可导, z u, v 在相应点有连续一阶偏导数, 则 z u v + u v z u v + u v 全微分形式不变性 u z v 设 z u, v, u u,, v v, 都有连续一阶偏导数. 则 z z z z dz d + d, dz du + dv u v 隐函数求导法由一个方程所确定的隐函数方法 : 设 F,, z 有连续一阶偏导数, F z, z z, 由 F,, z 所确定. z F 公式 :, F 等式两边求导 F + F z z z F ; F z z, 利用微分形式不变性 : F d + 由方程组所确定的隐函数 F + F z z. F d + F z dz F,, u, v 设 u u,, v v, 由所确定 G,, u, v 方法 : 等式两边求导 u v F + Fu + Fv u v G + G + G u v

22 微分形式不变性 F d + Fd + Fu du + Fv dv G d + G d + G du + G u vdv 常考题型. 复合函数偏导数和全微分的计算. 隐函数偏导数和全微分的计算 z 例设 z + e, 则., + 例设, e + + l +,, 则 dz,. [ + l ] [ ed + e + d] 例由方程 e + z + z l + + z 所确定的函数 z z, 在点,, 处的全微分 dz. u u u 例 4 已知 u + e u, 求,,. + e ; + e [ d + d] ; + e e + e [ u u u u 例 5 设,, z e z, 其中 z z, 是由 + + z + z 确定的隐函数, 则,,. u ] z 例 6 设 u, v 为二元可微函数, z,, 则. [ ] [ + l ]

23 z z 例 7 设 + z ϕ, 其中 ϕ 为可微函数, 则. z z ϕ zϕ [ ] z z ϕ 例 8 设 u,, z 有连续偏导数, 和 z z 分别由方程 e 和 du e z z 所确定, 求. d z [ + + ] z z z 例 9 已知 z u, v, u +, v, 且 u, v 的二阶偏导数都连续, 求. [ ] 三极值与最值无条件极值. 定义 : 极大 :,, ; 极小 :,, ; 极值的必要条件,,, 极值的充分条件极值点 ; 驻点设,, 且,. 当 AC B > 时, 有极值, A > A < 极小值极大值 ;. 当 AC B < 时, 无极值. 当 AC B 时, 不一定一般用定义判定.

24 条件极值与拉格朗日乘数法函数, 在条件 ϕ, 下的条件极值. 令 F,, λ, + λϕ, 函数,, z 在条件 ϕ,, z, ψ,, z 下的条件极值. 令 F,, z, λ, μ,, z + λϕ,, z + μψ,, z. 最大最小值求连续函数, 在有界闭域 D 上的最大最小值. 求, 在 D 内部可能的极值点. 求, 在 D 的边界上的最大最小值. 比较常考题型. 求极值无条件条件 ;. 求连续函数, 在有界闭区域 D 上的最大最小值 ;. 最大最小值应用题. 例设可微函数, 在点, 取得极小值, 则下列结论正确的是 A B C, 在处的导数大于零., 在处的导数等于零. 在处的导数小于零. D, 在处的导数不存在. [B] 例设函数 z, 的全微分为 dz d + d, 则点, 4

25 A 不是, 的连续点. B 不是, 的极值点. C 是, 的极大值点. D 是, 的极小值点. [D] 例求二元函数, + 的极值. [, 无极值 ;, 极小值 ] 例 4 求二元函数, + + l 的极值. [, 极小值 ] e e 例 5 求函数 u z 在约束条件 + z 和 + + z 5下的最大值和最小值. [ 5, 5,5 最大值 5;,, 最小值 ] 例 6 求, + 在椭圆域 D {, + } 上的最大值与最小值 4 [ m ; mi ] 例 7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告, 根据统计资料, 销售收入 R 万元与电台广告费用万元及报纸广告费用万元之间的关系有如下经验公式 : R 在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略 ;.75,.5] [ 若提供的广告费用为.5 万元, 求相应的最优广告策略. [,.5] 第五章二重积分 5

26 d 定义, dσ lim ξk, ηk Δσ k D 几何意义 k 性质比较定理 : 若, g,, 则, dσ g, dσ. 估值定理 : 若, 在 D 上连续, 则 ms, dσ MS. 中值定理 : 若, 在 D 上连续, 则, dσ ξ, η S. 4 计算直角坐标 : 极坐标 : D D D D 适合用极坐标计算的被积函数 : +,, ; 适合用极坐标的积分域 : 利用对称性和奇偶性. 若积分域 D 关于轴对称,, 关于有奇偶性, 则 : D, dσ D, dσ,, 关于为偶函数关于为奇函数若积分域关于轴对称,, 关于有奇偶性, 则 D σ, d D, dσ, 关于为偶函数., 关于为奇函数... 4 利用变量对称性 : 常考题型若 D 关于对称, 则 D, dσ D, dσ.` 6

27 . 二重积分计算. 累次积分交换次序或计算例交换累次积分 d, d 的次序. 例设函数, 连续, 则 d, d + d, d 4 A, d. B d 4 d 4 C, d. D 例累次积分 A d d d π dθ siθ r cosθ, r siθ rdr 可以写成, d B d d C d, d D 例 4 积分例 5 积分 d e d 例 6 设 D {, + } d 的值等于. 4, d., d. + d 的值等于., 则 dd. D, d, d [ C ] [ A ] [ e 4 ] 6 [ ] 9 [ π ] 4 例 7 设 D 是 O 平面上以,-, 和 -,- 为顶点的三角形区域, D 是 D 在第一象限的部分, 则 + cos si dd等于 A D A cos si dd. B D D dd. 7

28 + C 4 cos si dd. D. D 例 8 计算二重积分 dd, 域. 其中是由直线 D 例 9 设区域 D {, +, } D,, 所围成的平面区, 计算二重积分 [ 9 ] + I d d. + + 例计算二重积分 D D [ π l ] + dσ, 其中 D {,, } π [ ] 4 8

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untitled 9 考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755\87885 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 :~8 小题每小题分共分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的