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1 7-8 年度第一学期 5 5 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 5 室 E-mil: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院

2 第三章数值微分和数值积分

3 数值微分函数 f( x) 未知或非常复杂的情形下, 如何求导数? 导数的逼近 : 差商 f '( x) lim h lim h lim h 截断误差步长的选取 f( x+ h) f( x) h f( x) f( x h) h f( x+ h) f( x h) h

4 数值微分向前差商截断误差 f ( x + h) f ( x) f '( x) h Rx ( ) f'( x) f( x + h) f( x) h h f! Oh ( ) ''( ξ ) y o x x + h x 4

5 数值微分向后差商截断误差 f '( x ) Rx ( ) f'( x) f( x) f( x h) h f( x) f( x h) h h f ''( ξ )! Oh ( ) y o x h x x 5

6 数值微分中心差商截断误差 f f( x + h) f( x h) '( x) h Rx ( ) f( x) ' h f! Oh ( ) () f( x + h) f( x h) h ( ξ ) y o x h x x + h x 6

7 数值微分如何设定步长? 理论估计 () 截断误差 : h mx f ( x) /6 hm/ 6 舍入误差 : e/ h 事后估计设 Dhx (, ), Dh ( /, x ) 分别是取步长 hh, /的差商计算公式 f ' ( x), 对于给定的误差界 ε, 则当 Dhx (, ) Dh ( /, x) < ε 时, 步长 h就是合适的步长 h h e M 7

8 数值微分插值型数值微分对于给定 f( x ) 的函数表, 建立插值函数 Lx ( ), 用插值函数 Lx ( ) 的导数近似函数 f( x) 的导数 f( x) L ( x) f( x ) l ( x), i i i ' ' ' i i i f ( x) L ( x) f( x ) l ( x), ' ' ' j, ( j) ( j) ( i) i( j). i x x f x L x f x l x 误差估计公式 ( + ) d f ( ξ ) Rx ( ) ( x xi ), dx ( )! + i ( + ) f ( ξ ) Rx ( ) ( x x). j j i ( + )! i j 8

9 数值微分数值微分的三点公式 { } i i i 给定 (, ( )), 并有 x x x x h, 则 x f x ( x x)( x x) ( x x)( x x) ( x x)( x x) L( x) f( x ) + f( x ) + f( x ), h h h ( x x+ x x) ( x x + x x) ( x x + x x) L' ( x) f( x ) + f( x ) + f( x ), h h h h f '( x) L' ( x) ( f( x) + 4 f( x) f( x) ) + f '''( ξ ), h h f '( x) L' ( x) ( f( x) + f( x) ) f '''( ξ ), h 6 h f '( x) L' ( x) ( f( x) 4 f( x) + f( x) ) + f '''( ξ ) h 类似可得数值微分的五点公式用其它插值函数方法类似, 如三次样条函数插值 9

10 数值积分 Newto-Leiiz 公式,Gree 公式,Guss 公式, Stokes 公式很多积分无解析解, 必须使用数值方式求解从积分的定义出发 I( f) f( x) d x lim f( xi) x α f( x ) I ( f) i 求积节点求积系数 i i { x i } { α i } i x i i

11 数值积分代数精度 : 衡量数值积分公式优劣的重要指标之一设 [, ] 上以 x, i,,, 为积分节点的数值积分公式为若 I ( ) f 满足则称具有阶代数精度性质 : 当次的多项式 I ( f) α f( x ), i i i k ( + k ) ( + ), i i i I ( x ) I( x ), i,, k; I x I x I ( ) f k 具有阶代数精度时, 对任意不高于 ( ), 有 I ( ) f k k px I ( p) I( p)

12 数值积分插值型数值积分思想 : 用插值函数, 譬如 Lgrge 插值函数, 代替被积函数, 进行积分其中 α l ( x ) dx 误差估计公式代数精度 ( ) I( f ) I ( f ) L ( x) dx l ( x) f ( x ) dx l ( x) dx f ( x ) i i i i i i i i i α f( x ) i i ( + f ) ( ξx ) E( f ) I( f ) I( f ) R( x) dx ω ( x) dx ( + )! 次插值多项式形式的数值积分公式至少有阶代数精度

13 数值积分 Newto-Cotes 积分 : 取等距节点设节点步长其中性质 : h, xi + ih, i,,, 有 x + th t( t ) ( t i+ )( t i ) ( t ) i li( x) dx hdt i i!( i)!( ) i i ( ) h t( t ) ( t i + )( t i ) ( t ) dt i!( i)! ( ) C ( ) Ci C ( ) i ( ) i 为仅依赖于的常量, 可事先计算

14 数值积分梯形积分 : 取性质 : 具有一阶代数精度误差估计公式 () () C ( t ) dt, C tdt I( f) ( ) f( ) + f( ) f ''( ξ ) ''( ) x f η E( f ) ( x )( x ) dx ( )( )!! x x dx ( ) f''( ξ), ξ [, ] 4

数值积分 Simpso 积分 : 取 () () 4 () C ( )( ), ( ), ( ) 4 t t dt C t t dt C t t dt 6 6 4 6 4 I( f) ( ) f( ) f( + + ) + f( ) 6 6 6 性质 : 具有三阶代数精度

15 数值积分 Simpso 积分 : 取 () () 4 () C ( )( ), ( ), ( ) 4 t t dt C t t dt C t t dt I( f) ( ) f( ) f( + + ) + f( ) 性质 : 具有三阶代数精度误差估计公式 E ( f) I( f) I ( f) I( f) I( P) + I ( P) I ( f) (4) f ( ξx ) + ( x ) x ( x ) dx 4! (4) 5 ( ξ ) + ( ) (4) ( x ) x ( x ) dx f ( ξ ) f 4! 88 5

16 数值积分 Newto-Cotes 积分的误差估计公式 + 当为奇数时, f C [, ] ( + ) f ( ξ ) E( f) I( f) I( f) ( x x)( x x) ( x x) d ( + )! + 当为偶数时, f C [, ] ( + ) f ( ξ ) E( f) I( f) I( f) x( x x)( x x) ( x x) d ( + )! 对于 Newto-Cotes 积分, 奇数有阶代数精度, 偶数有 +阶精度 6

17 数值积分 Newto-Cotes 积分系数表其中 h 7

18 复化数值积分高阶 Newto-Cotes 积分 : 数值不稳定解决方法 : 将积分区间分割为若干小区间, 在每个小区间上进行数值积分 ( 类似于分段插值的思想 ) 复化梯形积分 : 取等距节点 x x i+ i h h f( x) d x ( f( xi) + f( xi+ )) f ''( ξi) 收敛性 : h, xi + ih, i,, h h h I( f) ( f( xi) + f( xi+ )) f ''( ξi) h f( ) f( xi) f( ) f ''( ξi) i + + i i i i '' ξ ξ T( f) h f( ) + f( x ) + f( ) ( ) E( f) f ( ), Oh ( ) 或 O( ) 8

复化数值积分复化 Simpso 积分 : 把积分区间分成偶数 m等分, 取等距节点 h, xi + ih, i,, 5 xi+ h ( h) (4) f( x) d x ( f( xi) + 4 f( xi+ ) + f( xi+ )) f ( ξi) xi 6 88 5 h ( h) (4) I( f) ( f( xi) + f( xi+ ) + f( xi+ )) f (

19 复化数值积分复化 Simpso 积分 : 把积分区间分成偶数 m等分, 取等距节点 h, xi + ih, i,, 5 xi+ h ( h) (4) f( x) d x ( f( xi) + 4 f( xi+ ) + f( xi+ )) f ( ξi) xi h ( h) (4) I( f) ( f( xi) + f( xi+ ) + f( xi+ )) f ( ξi) i 6 88 h ( h) f f x f x f f m m h S( f) f( ) 4 f( xi ) f( xi) f( ) i i 5 ( ) (4) E( f) f ( ξ), ξ Oh ( ) 或 O( ) 4 收敛性 : m m m 5 (4) ( ) 4 ( i+ ) ( i) ( ) ( ξi) i i i 9

20 复化数值积分定义 : 若一个数值积分公式满足则称该公式是 p阶收敛的性质 : 例 : 计算 R[ f] lim C <, C, h p h T Oh S Oh C Oh 4 6 ( ), ( ), ( ) 4 π + x 7 T8 f() f( xk ) f() k dx S4 f() 4 f( xk) f( xk) f() odd eve 运算量基本相同

21 复化数值积分误差估计和控制先验估计 : 截断误差公式事后估计 : 递推关系自动误差控制 : 依据事后误差估计, 采取自适应的方式加密积分区间, 使得在变化剧烈的地方取稠密的格点, 而变化缓慢的地方取稀疏的格点

22 复化数值积分递推关系 :( 复化梯形公式 ) 对区间 [, ] 进行等分, 对每个区间 [ xi, x i + ] 进行细分, 中点为 x i + /, 则有其中 + i + i T ( f) h f( ) f( x ) f( ) 递推关系 :( 复化 Simpso 公式 ) h h h T ( f) ( ) ( ) ( ) ( / ) f + f xi + f i i + f x + i [ T ( f ) + H ( f )] H( f) h f( xi+ / ) i S( f) [ S( f) + 4 H( f) H( f)] 6

23 复化数值积分后验误差估计 : ( 复化梯形公式 ) ( ) I f T f h f ξ ( ) ( ) ''( ) ( ) h I( f) T ( f) f ''( η) 因此任给 ε >, 要使得 I( f) T ( f) < ε, 只需要 T ( f) T ( f) < ε 后验误差估计 :( 复化 Simpso 公式 ) I( f ) S ( f ) 5 ( S ( f ) S ( )) f I( f) T( f) T( f) T( f) f ''( η) f ''( ξ) ( )

24 复化数值积分自适应复化 Simpso 积分算法 4

25 复化数值积分外推算法 : 在不显著增加计算量的前提下提高数值计算结果精度的技巧, 是数值计算方法典型的技巧 Romerg 积分公式 I( f) T( f) ( T( f) T( f) ) I( f) T ( ) ( ( ) ( )) 4 f + T f T f T( f) T( f) S( f) 效果 : 利用外推技巧, 将梯形积分求积公式组合成 4 Simpso 求积公式, 截断误差由 Oh ( ) 降低到 Oh ( ) 类似地有 I( f) S ( ) ( ( ) ( )) 6 f + S f S f S( f) S( f) C( f) I( f) C ( ) ( ( ) ( )) 64 f + C f C f C( f) C( f) R( f)

26 复化数值积分 (Richrdso Extrpoltio) 若有数值逼近格式具有 ( m) m m+ ( m) m 形式 I( f) I ( h) + Cmh + Cm+ h + I ( h) + O( h ), 即为 m 阶公式, 则 ( m) h ( m) ( ) ( ) ( m ) h ( m) h I I h + m+ I ( ) I ( ) + + Oh ( ) m Romerg 积分计算公式 R R R R + j k k 4 k, j k, j k, j k, j,,,,,, j ( 收敛性 ) 若 f( x) C [, ] 及, 则对任意固定的 lim R(, m) f ( x) dx lim R(, ) f ( x) dx m 6

27 复化数值积分 Romerg 积分算法 7

28 重积分的计算重积分 : 化为累次积分进行计算积分区域逼近 : 非矩形区域可用一系列矩形区域进行逼近矩形区域上的二重积分 : 若 c d f ( x, y) dydx c d f ( x, y) dy dx f( x) C([, ] [ cd, ]) d c f ( x, y) dx dy, 则 8

29 重积分的计算二重积分的复化梯形公式 cd m h, k d c m f( x, yj) d x f( x, yj) d x h f( x, yj) f( xi, yj) f( xm, yj) + + 将区间 [, ] 和 [, ] 分别进行和等分, 记 m j j j i c d m h f( x, yj) + f( xm, yj) + h f( xi, yj) j j i f( x, y) d yd x h { k f( x, y) + f( x, y) + f( xm, y) + f( xm, y) 4 j i i, j i j 误差估计公式 : ( ) m m m + f( xi, y) + f( xi, y) + f( x, yj) + f( xm, yj) + f( xi, yj)} i i j j j i m hk c f ( x, y ) E ( d c)( ) f ) h f ( η, µ ) + k f ( η, µ ) x y ( 角点 : /4, 内部边界点 : /, 内部点 : 9

30 重积分的计算二重积分的复化 Simpso 公式其中 c ω 误差估计公式 E d m f ( x, y) dydx hk ω f ( x, y ) i j i, j i j m i, j i j u v, U { u, u,, u },,,,,,,, T {,,, },,,,,,, V v v v 4 4 ( d c)( ) 4 4 f ) h f ( η, µ ) + k f ( η, µ ) 4 8 x y ( 4 T

31 Guss 型积分对于 Newto-Cotes 积分, 奇数有阶代数精度, 偶数有阶精度如果放弃等距节点的要求, 是否能建立更有高精度的公式? 例 : 取区间, 考虑两点数值积分格式, 将积分点视为未知量, 则有不难验证数值积分公式具有三阶代数精度 + [,] dx x x x dx x x x xdx x x dx x x ) ( ) ( f f fdx +

32 Guss 型积分定理 : 设 I( f ) f ( x) dx关于积分节点 x 的数值积, x,, x 分公式为 I( f) f( x), 则 I( f) 的代数精度不超过阶证明 : 取多项式易知 i i i 及 I( px ( )) > I( px ( )) 故数值积分公式 p( x) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ω ( x) 的代数精度不可能达到阶 I ( ) f 如何构造最高阶 ( ) 精度的公式? Guss 型积分 : 取一组特殊的积分节点 ( 正交函数的零点 )

33 Guss 型积分定义 : 给定一般形式的积分和内积 I( f) W( x) f( x) d, xw( x), < f, g > W ( x) f ( x) g( x) dx 其中 W( x ) 为权函数. 若 < f, g >, 则称函数 f 与 g正交如何将线性函数空间的一组基变为一组正交基? 利用 Schmidt 正交化过程 : g( x) f( x) ( f( x), gi( x)) g( x) f( x) gi( x) i ( gi( x), gi( x))

( x), 利用多项式带余除法得 px ( ) sxp ( ) ( x) + rx ( ), sx ( ), rx ( ) P ( x), p( x) W ( x) dx [ s( x) p ( x) + r( x)] W ( x) dx

34 Guss 型积分定理 : 以次正交多项式的个零点为积分的数值积分公式有阶代数精度证明 : 设次正交多项式 p ( x ) 的个零点为 x, x,, x, 记 ( ) G( f ) L( x) W ( x) dx li( x) W ( x) dx f ( xi) αi f ( xi), i i 则有对于任意的故 E( f ) I( f ) G ( f ) f [ x, x,, x, x] ω ( x) W ( x) dx 因此收敛性 : 若 px ( ) P ( x), 利用多项式带余除法得 px ( ) sxp ( ) ( x) + rx ( ), sx ( ), rx ( ) P ( x), p( x) W ( x) dx [ s( x) p ( x) + r( x)] W ( x) dx r( x) W ( x) dx., 则 E( p) I( p) G ( p) I() r G () r E() r lim G ( f) I( f) f( x) C [, ] 仅理论上可行, 因为求次正交多项式的所有零点是非常困难的! 4

35 Guss 型积分 Guss 型求积公式的构造方法求出区间 [, ] 上权函数为 W( x ) 的正交多项式 p( x) ; 求出 p ( x ) 的个零点 x, x,, x 即为 Guss 积分点 ; 计算积分系数 ; 例 : 求积分 α i x f ( x) dx p ( x ) ( x, p ( x)) p( x) x p ( x) ( p ( x), p ( x)) 的两点 Guss 积分公式 ( x, p ( x)) ( x, p ( x)) p ( x) x p ( x) p ( x) ( p( x), p( x)) ( p( x), p( x)) 4 5 x dx x dx x x x 4 x dx x dx 5 5

36 Guss 型积分的两个零点为 p ( x) 积分系数为故两点 Guss 积分公式为 x, x, 5 5 x x A x l ( ) x dx x dx x x x x A x l ( x) dx x dx x x x f ( x) dx [ ( f 5) + f ( 5)] 6

37 Guss 型积分几种 Guss 型求积公式 Guss-Legedre 求积公式 : 区间 Guss-Lguerre 求积公式 : 区间 Guss-Hermite 求积公式 : 区间一般区间上的积分误差估计公式 : 若 [, ] [,], W( x) [, ] [, + ), W( x) e x [, ] (, + ), W( x) e x + ( + ) + ( ) t f ( x) dx f ( + t) dt ( x ) f ( x) dx A i + f ( + i x i ) f x C ( ) [, ], 则 ( ) f ( ξ ) E( f ) I( f ) G( f ) ω ( x) W ( x) dx, ξ ( )! < < 7

38 Guss 型积分 Guss-Legedre 积分节点与系数表 x k A k x k A k ± ± ± ± ± ±.8666 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±

39 Guss 型积分 Guss-Lguerre 积分节点与系数表 x k A k x k A k

40 Guss 型积分 Guss-Hermite 积分节点与系数表 x k A k x k A k ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±

第四章数值积分与数值微分

第四章数值积分与数值微分 Newto Cotes Romerg Guss 5 -- . Newto-Leieize d F F, -- I I. d d A A R[ ] I I R[ R[],,, L,,, L A A ] -- . d A m m m m -- -- 5 m m,,,, L m m m m A d L L m m d d d L m m A A A L d d M m d A A A -- 6 m m A