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降议杆习
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1 第三章一元函数积分学 3. 不定积分的概念 3. 不定积分的计算方法 3.3 定积分概念及性质 3.4 积分学基本公式 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法 3.7 定积分的应用

2 3. 不定积分的概念 3.. 原函数与不定积分的概念 3.. 不定积分的性质与基本积分公式

3 3.. 原函数与不定积分的概念定义 3. 设 f 使得对在区间 I内的一个原函数例 sin cos ln > 0 ln 是区间 I内的函数, 若存在函数 F, df 是 I, 恒有 F' f 或 f d, 则称 F 是 f sin 是 cos 的原函数. 在区间 0, + 内的原函数. 注 : 原函数不唯一, 但不同的原函数之间只差一个常数. 3

4 定理 3. 若 F 是 f 在区间 I内的一个原函数, 则集合 { F + C C为任意常数 } 是由 f 的原函数全体构成的集合, 其中 F + C 称为 f 的原函数的一般表达式如 sin cos 的原函数的一般表达式为 + C C为任意常数 ln 在 0, + 的原函数的一般表达式为 + C C为任意常数 4

5 3. 不定积分的定义 I F + 数定义若 F 是 f 在区间内的一个原函数, 则 f 即的原函数的一般表达式 C C为任意常数 f 在区间 I 内的不定积分, 记为 f d F + C 积被被分积积积号函表分达变式量称为 f d. 注 : 求不定积分即为求原函数, 不定积分和原函数是计算定积分重积分与解微分方程的基础, 故很重要. 任意常数5

6 + 例求. d 解

7 f d F + C 函数 f 的原函数 F 的图形称为 f 的一条积分曲线, 将其沿 y 轴任意平行移动, 可得 f 的无穷多条积分曲线, 称为的积分曲线族 F + C 几何意义 : 一个积分曲线族 f 若求通过点 0, y0 称为初始条件的积分曲线, 由初始条件可确定积分常数的值 C 7

8 3.. 不定积分的性质与基本积分公式. 基本性质 [ f ± g ] d f d ± g d; kf d k f d. k 是常数, k 0 3 d d [ f d] f, d [ f d] f d F df F 4 d F + C, + C 8

9 结论 : 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 ; 检验积分结果是否正确, 可对结果求导, 看是否等于被积函数 ; 例求积分 3 d. 解原式 9

10 . 基本积分公式实例 µ + µ + µ µ+ µ d + µ + µ C. 启示能否根据求导公式得出积分公式? 0

11 基本积分公式 kd k + C k是常数 ; µ + µ d + C µ + µ ; 3 d ln + C ; 若对注 : 求 4 d + C 0, ; ln 5 e d e + C; 6 d rctn + C; + 7 d rcsin + C; µ d时, µ 无特殊的说明, 则需讨论 µ - 和 µ - 两种情况求

12 cos + C; 8 sin d 9 cos d sin + C; d 0 d cos sec tn + C; d d sin csc cot + C; sec tn d sec + C; 3 csc cot d csc + C.

13 例 3 求积分 d. 解原式例 4 求积分 + d. cos 解原式 3

14 例 5 求积分 d sin cos 解原式说明 : 求不定积分时, 先将被积函数化简或运算, 再利用不定积分的性质和基本积分公式来求 4

15 3. 不定积分的计算方法 3.. 换元换元法 3.. 分部积分法 5

16 3.. 换元换元法第一类换元法问题 cos d sin + C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 t d dt, cosd cos tdt sin t + C sin + C. 6

17 在一般情况下 : 设 F u f u, 则 f u du F u + C. 如果 u ϕ 可导 F[ ϕ ]' f [ ϕ ] ϕ f [ ϕ ] ϕ d F[ ϕ ] + C [ u du] u f ϕ 由此可得换元法定理 7

18 定理 3. f 具有原函数 F u, 设 u 则有换元公式 u ϕ 可导, f [ ϕ ] ϕ d f u du] ϕ F ϕ [ u + C 第一类换元公式凑微分法说明使用此公式的关键在于将 g d 化为 f [ ϕ ] ϕ d f [ ϕ ] dϕ. 观察重点不同, 所得结论不同. 8

19 例求 sin d. 解一原式二原式三原式 9

20 例求 f ' f d 解原式 50 d 例 3 求 5. 解 + 一般地 f + b d f + b d + b 0 0

21 + ln 例 4 求 d. 解原式一般地 f ln d f ln d ln

22 + 例 5 求 d 0. 解原式例 6 求 + e d. 解小结 : 例 -6 应用凑微分可直接观察到

23 3 常用的三角函数关系式. 积化和差公式 :. 倍角公式 ] cos [cos cos cos ] cos [cos sin sin ] sin [sin cos sin β α β α β α β α β α β α β α β α β α cos cos ; cos sin ; sin cos sin + 3. 平方公式. cot csc ; tn sec ; cos sin + + +

24 d + e 例 7 求. 解一原式二原式 4

25 例 8 求 d. 解原式小结 : 例 7-8 被积函数经过适当的变形如加减项或根式有理化, 再应用凑微分 5

26 例 9 求 + cos d. 解原式 d 类似可求 + sin 6

27 例 0 求 csc d. 解原式类似可求 sec d. 7

28 例求 5 sin cos d. 解原式 sin m cos n+ d sin m sin n d sin m, n Z + 8

29 例求解原式 sin cos 4 d 注 : 对 sin sin m cos n cos,cos d m, n Z +, 利用倍角公式 + cos 降幂计算 9

30 小结 : 例 9- 是三角函数求积分, 常应用三角函数中的关系式来变形再用凑微分来求此类变形通常较灵活多变, 有一定的难度例 3 求解 4 rcsin d. 原式 30

31 第二类换元法 5 问题? d 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 sin t d costdt, 5 5 d sin t sin t costdt 5 sin t cos tdt 应用凑微分即可求出结果 3

32 定理 3.3 设 ψ 是 ψ t 其中的反函数. 证设 Φ t 为 f [ ψ t] ψ t 的原函数, 令 F Φ ψ 则 f ψ t 是单调的可导的函数, 且 ψ ' t 又设 f [ ψ t] ψ ' t 具有原函数, 则有换元公式 d [ f [ ψ t] ψ ' t dt] t ψ dφ dt F f [ ψ t] ψ t, dt d ψ t f [ ψ t] f. F 为说明 f 的原函数, f d F + C Φ[ ψ ] + C, [ ] f [ ψ t] ψ t dt t ψ f d 3 第二类积分换元公式 0.

33 例 4 求 d > + 0. 解 + t 注用换元法得到的结果, 必须代回原变量 33

34 例 5 求解法一 : d > 0. t 34

35 例 6 求 3 4 d. 解原式 t 35

36 注以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下 : 当被积函数中含有 π 可令 sin t t, 原式 cos t; π + 可令 tn t t, 原式 sec t; π 可令 csc t0 t, 原式 cot t 3 ; 36

37 注积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的, 需根据被积函数的情况来定. 例 7 求解 + d. e 37

38 例 A B +, 3 38

39 例 9 求积分 + d + + 解原式 39

40 注当被积函数含有两种或两种以上的根式 k l n,, 时, 可采用令 t 其中 n为各根指数的最小公倍数 + 例 0 求. 解 d 3 40

41 问题 e d? 3.. 分部积分法解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 定理 3.4 设函数 u 则有分部积分公式 ln d? u 和 v v 具有连续导数, u v d u v u v d 或 udv uv vdu 证明由两个函数的乘积求导公式 : [ u v ]' u' v + u v' 4

42 4 对上式两端求不定积分得式 ' ]' [ ' v u v u v u 移项可得说明 d v u v u d v u 不易求易求易求比使和注 : 分部积分的关键是如何选择 d v u d v u v u ' ', 分部积分法

43 例求积分 cos d. 解一解二 43

44 44 0 cos 0 sin 0. ; P u d P d P d e P u v v u n n n n 取形如常见的题型 : 求导简单的选为积分更容易的选为的原则是 : 和选 β β β β λ λ 是 n 次多项式 P n ' rctn rcsin ln. P v d P d P Z m d P n n n m n + 取形如

45 例求积分 ln d. 解例 3 求积分 rctn d. 解原式 45

46 例 4 解求积分 e d. 46

47 例 5 求积分 e sin d. 解 47

48 3.3 定积分的概念和性质 3.3. 定积分的定义 3.3. 定积分的性质 48

49 3.3. 定积分的定义问题的提出实例求曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线 y f 0 轴与两条直线 b所围成. f y o y f S? b 49

50 用矩形面积近似曲边梯形面积 y y o b o b 四个小矩形九个小矩形显然, 小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边梯形面积. 问题 : 如何利用矩形面积得到曲边梯形的面积? 具体做法如下 : 50

51 分割曲边梯形如图所示, 在区间 [, b] 内插入 n 个分点, < < < < <, 把区间 [, b] 分成过分点为 S 则有 S i i 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形, 记它们的面积 i,,, n, n i S i. 0 n n b n个小区间 [ 作 y轴的平行线, y o 近似代替以直代曲 i, i ], 长度为 i ξ i n b 在每个小区间 [ i, i ] 上任取一点 ξi, 用以 [ i, i ] 为底, f ξ 为高的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积, 则 i S i f ξ i,,, n i i i i i 5 i,,, n i ;

52 3 求和曲边梯形面积的近似值为 S 4 取极限 n n Si i i fξ } 趋近于零 i 当分割无限加细, 即小区间的最大长度 λ m{ i n i i λ 0 时, 曲边梯形面积为 S λ 0 n lim i fξ i i 5

53 定积分的定义定义 3.3 设函数 f 在 [, b] 上有定义, 在 [, b] 中任意插入 n 个分点 < < < < < b 把区间 [, b] i 一点 i 求和 0 n n 分成 n 个小区间, i,, n, i i ξ [ i n 小区间的长度为 ξ i i 作乘积 f i i S n i 记 λ m{ }, 令 λ 0, i n, f ξ i i ], i. 在各小区间上任取 ξ i,, 若不论对 [, b] 53

54 如何分割, 也不论在小区间, ] 上 ξ 取法如何, lim S 点 i b f d 被积分变量被积表达式积函数[ i i n 存在, 称这个极限为函数 f 在区间 [, b] 上的定积分, 记为积分上限积分下限 λ 0 n lim λ 0 lim λ 0 i f ξ i n f ξ i i i i [, b] 积分和积分区间 54

55 3 定积分的几何意义 b f 0, f d S 曲边梯形的面积 f < 0, b f d S 曲边梯形的面积的负值 S S S 3 S 4 b b f d S S+ S 3 S 4 55

56 例. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式 : 0 π d

57 3.3. 定积分的基本性质设下面性质中涉及的函数 f, g 在 [, b] 上均可积. 性质 b α [ αf ± βg ] d α, β是任意常数 b ± β f d b g d. 性质 b c f d f d + f d c b. 性质 3 如果在区间 [, b] 上 f g, b 则 f d g d. < b b 57

58 例比较积分值 0 d 和 0 3 d 的大小. 解例 3 比较积分值解 0 e d 和 0 d 的大小. 注意上下限的大小 58

59 性质 4: 设 M 及 m 分别是函数 f 在区间 [, b] 上的最大值及最小值, 证 m b b f d M. 则 b 此性质可用于估计积分值的大致范围 59

60 例 4 估计积分 π 3 + sin 0 3 d 的值. 解 60

61 性质 5 定积分中值定理证如果函数 f 在闭区间 [, b] 上连续, 则在积分区间 [, b] 上至少存在一个点 ξ, 使 b f d f ξ b. ξ b m b f d M b b m f d b b 积分中值公式 M 由闭区间上连续函数的介值定理知 6

62 在区间 ] [, b 上至少存在一个点 ξ, b 使 f ξ f d, b b 即 f d f ξ b. ξ b 积分中值公式的几何解释 : 在区间 y [, b] 个点 ξ, [, b f ξ 底边, y f o b ξ 上至少存在一使得以区间 ] 为以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f ξ 的一个矩形的面积 6

63 3.4 积分学基本公式一积分上限函数及其导数二牛顿莱布尼茨公式 63

64 一积分上限函数及其导数设函数 f 在区间 [, b] [, b] 上的一点, 考察定积分记如果上限在区间 [, b] F f t dt 上连续, 并且设为 f t dt 上任意变动, 则对于每一个取定的值, 定积分有一个对应值, 所以它在 [, b] 上定义了一个函数, : 积分上限函数积分上限变量, 在 t : 积分变量, 在 [, ] [, b] 上变化上变化变上限积分 64

65 积分上限函数的性质定理 3.5 如果 f 在 [, b] 上连续, 则积分上限函数 F f t dt 在 [, b] 上具有连续导数, 且它的导 d F' f t dt f 数是 d b 若 f 在 [, b] F f t dt 上连续, 则积分上限函数就是 f 在 [, b] 函数. 故定理 3.5 又称原函数存在定理上的一个原 d d b f t dt d d F[ b ] f [ b ] b 65

66 例求 t e cos lim 0 dt. 0 0 解 66

67 例求解 d d [ 0 cos t dt] 67

68 二牛顿莱布尼茨公式定理 3.6 微积分基本公式如果 F 是连续函数 f 在区间 [, b] 上的任 b 意一个原函数, 则 f d F b F. 例 3 求 cos sin. π 0 + d 解原式 68

69 例 4 求 π 0 sin d. 解 69

70 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法 3.5. 定积分的换元积分法 3.5. 定积分的分部积分法 70

71 3.5. 定积分的换元积分法定理 3.7 假设 f 在 [, b] 上连续 ; 函数 ϕt 在 [ α, β ] 上有连续导数, 且导数保持定号 ; 3 当 t 在 α, β 之间变化时, ϕt 的值在 [, b] 上变化, 且 ϕ α ϕ β b, 则 b f d f [ ϕ t] ϕ t dt. β α 7

72 7 证 F b F d f b 又公式可得的一个原函数由牛顿 - 莱布尼茨是的一个原函数, 则为令上连续, 它的原函数存在, 在. ' ] [ ], [ t t f t F f F b f ϕ ϕ ϕ ' F b F F F t F dt t t f α ϕ β ϕ ϕ ϕ ϕ β α β α dt t t f d f b β α ϕ ϕ ] [

73 5 例计算 cos sin d. 解 π 0 73

74 注 : 应用换元公式时应注意 : 用 ϕt 积分限也相应的改变. 把变量换成新变量 t 时, ϕ 的一个原函数 Φ t 求出 f [ t] ϕ t 后, 不必像计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数, 而只要 Φ t 把新变量 t 的上下限分别代入 Φ t 然后相减就行了. 换元必换限 3 用凑微分法能求积分的, 可先求得原函数再用牛顿 - 莱布尼茨公式求 ; 也可直接用换元法来做. 74

75 例计算 π 3 5 sin sin d. 0 解 75

76 例 3 计算解 e 3 4 e ln d ln. 76

77 例 4 计算解 d. >

78 例 5 计算解 4 + d

79 例 6 当 f 在 [, ] 上连续, 且有证 f 为偶函数, 则 f d f d; 0 f 为奇函数, 则 f d 0. 79

80 例 7 计算 + + cos d. 解 80

81 3.5. 定积分的分部积分法定理 3.8 设函数 u b v 在区间 [ ] udv [ ] 导数, 则有证 u v uv, uv b, b 上具有连续 b vdu 定积分的分部积分公式 uv + b b uv d [ ] b uv u vd + uv d, b [ uv] vdu. b udv b b. [ uv], 8 b

82 例 8 解计算 π 4 d. 0 + cos 8

83 例 9 计算 rcsin. 解 0 d 83

84 3.7 定积分的应用 3.7. 平面图形的面积 3.7. 定积分在经济学的应用 84

85 平面图形的面积. ], [,, 所围成的平面图形面积上连续在轴及情形 : 由直线 b f f y b. ], [,, 所围成的平面图形面积上连续在及情形 : 由直线 b g f g y f y b 仅讨论用定积分计算在直角坐标系下的平面图形的面积. y 0 0 y b b f y f g f y d f S b d g f S b +

86 情形 3: 由直线 y c, ψ y ϕ y, ψ y 是 [ c, d] 上的连续函数所围成的平面图形的面积. S d ϕ y ψ y dy c 中定积分的上下限 y d, 曲线 d y + y y c y 0 ϕ y 及注 : 对于求由两曲线所围封闭图形的面积, 再求两曲线的交点的坐标, 其中的横坐标即为情形中定积分的上下限, 纵坐标为情形 3 ϕ y 应该先画草图, 根据图形特点选择积分变量, ψ y 86

87 例计算由两条抛物线 y 和 y 所围成的图形的面积. 解 y y 87

88 例计算由曲线和 y 6 3 y 所围成的图形的面积. 解 y 3 6 y 88

89 例 3 计算由曲线成的图形的面积. 解 y 和直线 y 4 y 4 所围 y 89

90 例 4 求椭圆 + b y 的面积. 解 90

91 3.7. 定积分在经济学中的应用. 由边际函数求总函数已知总成本函数 C 则边际成本函数 : MC 则总成本函数 : C q 总收益函数 : R q 总利润函数 : L q C q, 总收益函数 R 0 0 q q 0 dc dq q MRdq MR MCdq + C 0 MC dq C 0. R q. ; 边际收益函数 MR 9 C 0 C0 : 固定成本 dr dq

92 例 5 关于产量的利润最大化问题生产某产品的固定成本为 50万元, 边际成本与边际收益分别为单位 : 万元 / 单位 MC q 4q +, MR 00 q 试确定厂商的最大利润. 分析 : 若已知最大利润时的产量 q0, 代入总利润函数便可得最大利润解 9

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f