§3 函数的极限

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琼彭
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1 教案函数的极限教学内容极限理论是微积分学的基础, 极限的概念与思想方法始终贯穿于微积分之中, 是研究函数变化特征的一个重要工具对于自变量的变化过程中相应函数值变化趋势的讨论, 引出了函数极限的概念由于自变量变化过程不同, 函数的极限表现为不同的形式, 而数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无穷大时的极限在这节中主要讲解以下几方面的内容 : () 自变量分别趋于有限值和趋于无限时, 函数的极限的概念单侧极限的概念 ; () 函数极限的性质, 函数极限的计算 ; () 函数极限与数列极限的关系 ; si () 两个重要极限 : 和教学思路和要求 () 极限的概念的理解是一元微分学学习中的一个难点, 学生们往往对极限的严格定义以及如何利用该定义来说明问题感到无所适从, 更谈不上如何去灵活运用继数列极限之后, 这部分内容还是要进一步引导学生理解极限概念的深刻含义, 看清它的本质, 掌握运用他们处理问题的能力 ; () 极限的概念极限的性质函数极限与数列极限的关系以及两个重要极限是本节内容的重点 ; () 要使学生理解函数极限与数列极限的关系, 并能运用它说明某些函数极限不存在 ; () 运用极限的性质, 计算一些函数的极限, 加深对这些性质的理解 ; (5) 利用两个重要极限 si 和限的技巧也是一个必须要掌握的内容教学安排一. 自变量趋于有限值时函数的极限来处理其他相关极首先考虑自变量趋向的过程中函数值的变化趋势设函数 f 在附近有定义, 如果在趋于的过程中, 函数值 f () 无限地接近于常数 A, 即 f ( ) A 趋于, 就称 A 是 f () 当时的极限, 它的精确数学描述如以下定义定义.. 如果对任意给定的, 总存在, 使得时成立 f ( ) A, 则称 f () 在时以 A 为极限, 记作 f ( ) A

2 注意, 这个定义中对的要求是, 其中表示研究时 f () 的极限与函数 f 在处的状况无关因为我们关心的是无限地趋于时 f () 的变化趋势, 这个趋势与函数 f 在点有无定义毫无关系例如, f ( ) 在 = 处无定义, 而 g() = + 与 f () 仅在 = 处不相等显然, 当时函数 f 与 g 的变化趋势是相同的, 它们都以为极限 f ( ) A 有十分直观的几何解释 : 对任意给定的正数, 作一个介于直线 A 与 A 之间的条形区域相应于这个区域, 存在以为中心的区间 (, ), 函数 f 的图象上, 横坐标位于该区间但又非的点, 将落在上述条形区域中 ( 见图..) 讨论与极限有关的问题时, 还经常使用邻域的术语设, 称以 a 为中心的开区间 ( a, a ) 为 a 的邻域, 记作 O ( a, ) 这样, f ( ) A 可叙述为 : 对 A 的任何邻域, 存在的某邻域, 当属于该邻域且非时, f () 落在 A 的邻域中, 亦即对任意给定的, 存在, 当 O(, ) 且时, f ( ) O( A, ) 例.. 验证 si ( 图..) 证对于任意给定的, 为使 si, 只要取, 则当时, 便成立因此, si si si 图.. 图..

3 函数极限的概念也可以用数列极限的形式表述定理.. f ( ) A 的充分必要条件是对任何收敛于的数列 { }, 其中 ( =,, ), 均有 f ) = A ( 这个定理的证明从略例.. 证明时 si 无极限 ( 图..) 证取数列, 显然,,, 且但是由上一定理可知, 如果时 si 二. 极限的性质并无极限 si, 时 si ( ), =, si 存在极限, 则上述两个极限应该相等, 所以关于函数极限, 也有类似于数列极限的四则运算法则定理.. 若 f () 与 g () 均存在, 则 f ( ) g( ) f ( ) g( ) ) g( ) g( f ( ) f ( ), f () f () g () ; g () ; 最后一个关系式要求 g ( ) 证设 A = f (),B = g () 由定理.., 对任何收敛于的数列 { }, ( =,, ), 均有 f ( ) A, g( ) B 利用数列极限的性质, 得到 ( ) g( 再次利用定理.., 可知 g () f ) = f ( ) g( ) 类似地可以证得另外两式 = A B f ( ) g( ) 存在, 且等于 A B, 即特别地, 在定理.. 的条件下, 对任意的实数,, 均有 f ()

4 例.. 设有次多项式求 ( ) 求 P f ( ) g( ) f ( ) g( ) () P 注是求和符号解由定理.. 可知 = a i i i a i i = a P () ( a a a, i a i i i = ( a ) i i i ) ai P ( ) i 例.. 设 p (), q m () 分别为次和 m 次多项式, q m ( ) p ( ) ) qm ( 解由定理.. 和上例可知 p ( ) p ( ) p = q ( ) q ) qm ( m m ( ( i ) ) 函数极限也具有重要的夹逼性质定理.. 设对某个 r, 当 r 时成立 f ( ) g( ) h( ), 且 f () = h( ) A, 则 g( ) A 证任取 { }, 使得 r,,,, 且, 由条件及定理.. 可知, f ( ) h( ) A又 f ( ) g( ) h( A { ), 由定理..7 可知 g( ), 根据 } 的任意性, 再次应用定理.. 即得 g() = A si 例..5 证明 cos 和证作单位圆周在第一象限的一部分, 如图.. 所示设圆心角 COA 的弧度数为 ( ) 显然, OAC 的面积扇形 OAC 的面积 OAB 的面积, 此即 si ta 由此得到图..

5 si cos si( ) si 因为 cos( ) cos,, 所以上式对于也成立 si 如能证得 cos, 由上式及夹逼定理即得为此, 估计 cos, 有由例.. 可知 cos si,, 利用夹逼定理即得 ( cos ), 此即 cos 时 f() 的极限, 反映了当趋于时函数值变化过程最终的趋势, 它自然与 f 在附近的局部形态有关极限概念的重要性, 还在于由极限可以反过来推断函数的某些局部性质定理.. 如果 f () 存在, 则存在, 使得时, 函数 f 有界证设 f ( ) A, 则对于立 f ( ) A, 这就是说, 当时, 成立因此, f 在得, 存在, 使得当时成 A f ( ) A, 中有界定理..5 设时成立 f () = A, g() = B, 且 A B, 则存在, 使 f ( ) g( ) A B 证取, 由于 f() = A, 故存在, 使得时, f ( ) A ; 又由于 g() = B, 故存在, 使得时, g ( ) B 取 mi(, ), 则当时, A B f ( ) A B g( ) g(), 则推论.. 设 f () = A B, 则存在, 使得当时, f ( ) B 只要令 g() = B, 由上一定理即得推论.. 如果 f () 和 g () 均存在, 且当 r 时, f () f() g()

6 这只要利用定理..5 并使用反证法即得例..6 求极限 9 9 解由极限的四则运算法则得 9 9 ( )( 9 9 ( 9)(. 6 ) ) 9 9 ( 9)( ) 例..7 求极限解由极限的四则运算法则得 ( )( ) ( )( ). ta 例..8 求极限 si 解由极限的四则运算法则和得到 ta si si cos cos si 5 例..9 求极限 ta 解由例.. 与极限的四则运算法则得 cos 例.. 求极限 si 5 si 5 5 cos ta 5 si si 5 5 cos 5. 5 si 解由例.. 与极限的四则运算法则得 cos si si

7 三. 单侧极限函数 f 在某两侧变化趋势不一致的情况是经常发生的有时,f 原来就只定义于的一侧这就需要用单侧极限来刻划自变量从的一侧趋于时函数值的变化趋势定义.. 如果存在实数 A, 对于任意给定的, 存在, 使得当时成立 f ( ) A, 则称 A 为 f () 在处的左极限, 记作 f ( ) A 或 f ( ) A 类似地可以定义 f () 在处的右极限关于函数的极限与左右极限, 显然存在以下关系定理..6 f () = A 的充要条件是 f () = f (), 即 f ( ) f () = A 这就是说, 极限存在等价于左右极限同时存在且相等例..9 符号函数 sg 在 = 处, 显然有 sg( ), sg( ) 即左右极限均存在, 但不相等, 因此 sg( ) 并不存在关于函数的极限, 还有一类重要的情况, 即自变量趋于无限的情况四. 自变量趋于无限时的极限定义.. 如果对于任意给定的, 存在 X, 使得当 X 时成立 f ( ) A, 则称趋于无穷大时, f () 以 A 为极限, 记作 f () = A 例如, 当充分大时, 将与充分接近, 所以 = 很多场合中, 当趋于正负无穷大时, f () 的变化趋势未必一致, 这又需要借助以下概念描述定义.. 如果对于任意给定的, 存在 X, 使得当 X 时成立 f ( ) A, 则称趋于正无穷大时, f () 以 A 为极限, 记作 f () = A 类似地, 可以给出 f () 的定义. 关于以上几个概念, 显然有类似于定理..6 的以下关系定理..7 f () = A 的充要条件是 f () = f () = A 例.. 讨论 arcta 是否存在解由反正切函数的性质, 有 arcta,

8 arcta 根据定理..7, arcta 并不存在对于单侧极限和自变量趋于无限时的几类极限, 定理.. 定理.. 定理.. 及定理..5 的相应结论依然成立例.. 求极限解利用极限的四则运算法则得例.. 证明. 证首先证明对于任何正实数, 有, 因此, 当时, 有利用, 得到同样地, 由夹逼定理, 得到其次, 证明为此, 记于是当时,, 注意到 =, 所以

9 = 由于趋于时, 均以为极限, 所以注在上例中令, 则可得到 ( ) 例.. 求下列极限 : () ; () 解 () 利用, 得 u () 利用 t u tt u, 得例..5 放射物的放射速率与放射物的剩留量成正比设初始时刻 t 时, 放射物质量为 M, 试确定时刻 t 时放射物的质量 M (t) 随着时间流逝, 放射物质量不断减少, 放射速率也逐渐变小, 为便于讨论, 我们把时间区间, t 划分为个小时段 : t t t,,,,, t, t, 并近似地认为在每个小时段中放射物具有不变的放射速率 : t km, km,, km t, 其中 k 是比例常数这样, t t kt M M km M 类似地, 可得如此类推, 便得 t t M M kt kt M

10 kt M ( t ) M 上式左右两边存在误差的原因在于假设每个小时段中放射速率不变自然设想可以增大以提高精确度, 从而得到 M ( t) M kt = M kt kt = M kt = M kt 需要指出的是, 本例中先取近似值, 再通过极限过程求得精确解的方法, 体现了微积分的一种基本思想注严格地说, 上述几例推导中应用了幂函数的连续性, 这一点下节将会提到 kt kt kt 五. 习题.( ) (),,.( ) () (5) (6),.( ) () (6) (8),5,6,7.( ) () ( )

2-2

2-2 第二节函数极限主要内容 : 一函数极限的概念二无穷大量与无穷小量三极限的四则运算及两个重要极限一时 ( 自变量趋于有限数 ) ( ) f ( ), 把值 f( ) 列表 : 附近的自变量与它对应的函数.9.98.99.999.... f ()=+.9.98.99.999.... 当从的左右近旁越来越接近于时, 函数 f( ) 越来越接近于, 并且要多接近就会有多接近. 当无限变小时,