第二章导数与微分

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婷孔疑濮
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1 第二章导数与微分微分学是微积分的重要组成部分, 它的基本概念是导数和微分本章主要介绍导数的概念基本的求导公式与运算法则以及与导数密切相关的微分概念第一节导数概念在实际生活中, 经常需要了解函数相对于自变量变化而变化的快慢问题, 即函数的变化率导数就是描述变化率的一个重要的数学概念牛顿从求变速直线运动瞬时速度出发, 莱布尼兹从求曲线上一点的切线出发, 分别给出了导数的概念. 一变化率先介绍三个引例 : 切线问题速度问题和产品总成本问题. 平面曲线上切线的斜率设平面曲线 f ( ), 点 M (, ) 是曲线上的一定点, MT 是曲线上点 M 处的切线, 在曲线上 M 点附近任取一个动点 M (, ), 作割线 MM, 如图 - 可知割线 MM 的斜率为 k MM ta 图 - f ( ) f ( ) 当 M 点沿曲线趋于 M 点时, 即时, 此时割线的极限位置就是切线 MT, 于是切线 MT 的斜率为 k ta lim MT lim f ( ) f ( )

2 . 变速直线运动的瞬时速度设物体作直线运动, 已知路程 s 与时间 t 的函数关系式为 s f () t, 现求物体在时刻 t 的瞬时速度如果物体作匀速直线运动, 那么物体所经过的路程与所花的时间成正比, 此时, 速度 = 路程时间 ; 如果物体不是作匀速运动, 那么在运动的不同时间间隔内, 路程时间会有不同的值, 这时比值路程时间就不能作为物体在时刻 t 的瞬时速度下面讨论如何求物体在时刻 t 的瞬时速度考虑从时刻 t 到 t s f ( t t) f ( t ) 于是在 s f () t t 这样一个时间间隔, 相应的路程 s 的改变量为这段时间区间 t, t t s vt () t f ( t t) f ( t) t 当 t 时, 平均速度 vt 的极限值就是物体在时刻 t 的瞬时速度 vt. 产品总成本的变化率 f ( t t) f ( t) Vt ( ) lim t t 上的平均速度为, 即 s, 即设某产品的总成本 C 是产量 q 的函数, 即 C f ( q) 当产量由 q 变到 q q时, 总成本相应的改变量为 C f ( q q) f ( q ) 于是, 当产量由 q 变到 q q时, 总成本的平均变化率为 C q f ( q q) f ( q) q 当 q 时, 如果极限 C lim lim q q q f ( q q) f ( q) q 存在, 则称此极限是产量为 q 时总成本的变化率以上三个例子虽然反映的具体问题不同, 分别属于几何问题力学问题和经济问题, 但它们的数学模式是一样的, 都是归结为计算函数改变量与自变量改变量之比在自变量改变量趋于

3 零时的极限, 即形如 f ( ) f ( ) lim 这种形式极限问题在自然科学和工程技术领域中, 有很多例子都可归结为这种数学形式, 例如求化学反应的速度质量分布不均匀细棒的密度人口增长率能源消耗率电流强度角速度线密度等等问题可见上述极限有着普遍的意义二导数的定义定义. 设函数 f ( ) 在点的某邻域内有定义, 当自变量从改变到 ( 点仍在该领域内 ) 时, 函数 ( ) f 取得相应改变量为 f ( ) f ( ) ; 如果当时, 比值的极限存在, 即 lim lim f f 存在, 则称此极限值为函数 f( ) 在点处的导数, 记为 f '( ), 即 f( ) lim f ( ) f 此时, 也称函数 f( ) 在点处可导也可记作义式也可取不同的形式, 常见的有 ( ) 若上述 lim f f d, d f ( h) f f( ) lim h h f ( ) f f( ) lim 或 df d ( ) 上述的导数的定这个极限不存在, 则称函数 f( ) 在处不可导特别地, 如果当上述极限为无穷大时, 为方便起见, 也往往说函数 f ( ) 在点处的导数为无穷大可记为 f '( ) 由导数定义可知, 上面介绍的两个引例可叙述如下 :

4 () 曲线 f ( ) 在点 M (, ) 处切线的斜率 k 是函数 f ( ) 在点处的导数, 即 k f ( ) () 作变速直线运动的物体在时刻 t 的瞬时速度 vt ( ) 就是路程函数 s f () t 在点 t 处的导数, 即 v( t) f ( t) 例求函数在处的导数. f ( ) f ( ) 解 : f ' ( ) lim ( ) ( ) lim lim lim lim( ). ( ) ( ) 例设 f ( ) A, 求 lim f f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 解 : 原式 = lim ( 为常数 ) f ( ) f ( ) f [ ( )] f ( ) lim ( )lim f ( ) f ( ) 注 : 导数概念是函数变化率这一概念的精确描述, 它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义, 纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质 : 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率, 而导数则是函数在点处的变化率, 它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 定义. 若函数 f ( ) 在区间 ( ab, ) 内的每一点处都可导, 则称函数 f( ) 在区间 ( ab, ) 内可导, 这时对于任一个 ( a, b), 都对应着函数 f( ) 的一个确定的导数值, 这样就构 4

5 成了一个新的函数, 称此函数为 f ( ) 的导函数, 简称导数, 记作 f '( ), 即 f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) f( ) lim ( 或 f( ) lim ) h h 也可记作, d d, df ( ) d 函数 ( ) ( ) ( ) lim f f f 在点处的导数 f '( ) 就是导函数 f '( ) 在点处的值, 即 f f ( ) ( ) 例求函数 f ( ) 解 c ( c 为常数 ) 的导数 f ( h) f ( ) c c f( ) lim lim, h h h h 即 ( c) 这就是说, 常数的导数等于零例 4 求幂函数解当是正整数时, 利用二项式定理将 ( ( 是任意实数 ) 的导数 ) ( ) lim lim 展开有 ( )! 代入上式, 于是得 ( )! 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 事实上, 对任意实数, 都有 lim[ ( ) ] ( ), 成立, 这公式将在以后讨论这是幂函数的导数公式利用这个公式, 可以很方便地求出幂函数的导数, 例如 : 当时, ( ) 的导数为 5

6 ( ), 即 ( ) ; 当时, ( ) 导数为 ( ) ( ), 即例 5 求函数 f ( ) a ( a, a ) 的导数. 解 f ( h) f ( ) a f( ) lim = lim h h h h a h 即 f ( ) a l a. h a a lim a l a. h h 这就是指数函数的导数公式. 特殊地, 当 a ( e ) e. e时, 因为 l e, 所以有上式表明, 以 e 为底的指数函数的导数等于它本身, 这是以 e 为底的指数函数的一个重要特性. h a 在上面的求解过程中, 使用了 lim l a 这个结果. 事实上, 当 h 时, h h h a hl a. 例 6 求对数函数 log a ( a 且 a ) 的导数 log a( ) log a 解 : lim lim log ( ) lim a lim log a( ) 6

7 log e a l a 即 (log a ). l a 这就是对数函数的导数公式. 特别地, 当 a e时, 由上式得自然对数函数的导数公式 : (l ). 例 7 求 si 的导数 si( ) si 解 : lim lim cos( )si lim si lim cos( ) cos 即 (si ) cos 这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数用类似的方法, 可求得就是说, 余弦函数的导数是负的正弦函数 (cos ) si 下面介绍一下函数在一点处导数的几何意义 : 由引例可知, 函数 f ( ) 在点 M (, ) 处的导数 f ( ) 在几何上就表示了曲线 f ( ) 在点 (, f ( )) 处的切线的斜率于是应用直线的点斜式方程, 可知曲线 f ( ) 在点 M (, ) 处的切线方程为 : f ( )( ) 过切点 M (, ) 且与切线垂直的直线称为曲线 f ( ) 在点 M (, ) 处的法线如果 f( ), 法线的斜率为 f ( ), 从而法线方程为 : 7

8 ( ) f ( ) 例 8 求 cos 在点, 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. ' 解 : 切线斜率 si si, 故在, 处, 切线方程为 : ( ); 法线斜率 :- (/ ) 法线方程 : ( ) 求函数 f ( ) 在点处的导数时, 的方式是任意的, 可从点的左右侧趋近于, 很自然有以下左右导数的定义定义. 如果极限数, 证作 f ( ), 即 lim f ( ) f ( ) 存在, 则称此极限值为 f( ) 在点处的左导如果极限即 lim f ( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) 存在, 则称此极限值为 f( ) lim 函数 f( ) 在点处左右导数的也可以表示为 f 在点 f ( ) f ( ) 处的右导数, 记 f ( ), f( ) lim f ( ) f ( ) f( ) lim f ( ) f ( ) 8

9 函数在一点处的左右导数与函数在该点处的导数间有如下关系 : 定理. 函数 f( ) 在点处可导的充要条件是 f( ) 在处的左右导数存在且相等即 ( ) 的充要条件是 f A f ( ) f ( ) A 如果函数 f( ) 在开区间 ( ab, ) 内可导, 且 f ( a) 与 f ( b) 存在, 则 f( ) 在 [ ab, ] 上可导例 9 求函数 f ( ) 在处的导数 f ( h) f () h h 解 lim lim lim h h h h h h 当 h 时, h h, 故 f h () lim ; h h 当 h 时, h h, 故 f h () lim h h 由于 f () f (), 所以, 函数 f ( ) 在处不可导 si, ' 例函数 f ( ), 求 f., 解 : 当时, ' f ( ) f () si f() lim lim ' f ( ) f () f() lim lim 由 f ' () ' ' () f f 知 cos, ' 故 f,,, 即 f ' cos,., 例设, f( ), 试判断 f( ) 在处是否可导?, 解 : f () lim f ( ) f () lim lim, f ( ) f () f () lim lim, 因为 f() f(), 所以 f( ) 在处不可导 9

10 从上面几个例子可以看出, 对于分段函数分段点处的导数, 可以按导数的定义先求 f ( ) 与 f ( ), 然后判别 f ( ) 是否存在三函数可导与连续的关系定理. 若函数 f () 在点处可导, 则函数 f ( ) 在点处连续证由于 f () 在处可导, 即有 f ( ) f ( ) lim lim f( ) 于是 lim lim( ) lim lim f( ). 这就证明了函数 f () 在点处连续这个定理的逆命题不成立, 即如果函数在点处连续, 但它在处不一定可导例如,, 它在时连续, 但不可导可见, 函数在点处连续是函数在点处可导的必要条件 si, 例讨论 f( ) 在处的连续性与可导性., 解 : 因为 lim f ( ) lim si f () 所以函数在处连续又由 f ' si f ( ) f () () lim lim lim si 所以函数在处可导例设试确定 a b 的值, 使 f () 在处不但连续而且也可导解要使 f () 在处连续, 必须有 lim f ( ) f () lim f ( ) lim( a b) b lim f ( ) lim( a b f ( ) si f () b ( ) (>) si )

11 因此得出 b 要使 f () 在点处也可导, 必须 f ( ) f () f f 因此得出 a f ( ) f () lim a lim lim( a) a f ( ) f () () lim si lim 所以, 当 a, b 时, 函数 f () 在处连续且可导根据定理. 可知 : 如果已经知道函数在某点处不连续, 则立即可得出函数在该点不可导的结论了例 4 设函数, f 问 a,b 取何值时, a b,, 解 : f ( ) lim f ( ) lim ; f ( ) lim f ( ) lim ( a b) a b f 在连续且可导. 要使 f 在连续, 必须有 f( ) f( ), 这时有 ab ' f ( ) f () 又 f() lim lim ' f ( ) f () a b a a f() lim lim lim a ' ' 要使可导, 必须有 f () f (), 这时有 a, 再由 ab 有 b f 在故当 a, b 时, lim( si ) f 在连续且可导. 在微积分理论尚不完善的时候, 人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 87 年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子 ( 如第十一章第一节的 Koch 雪花曲线描述的函数 ), 这与人们基于直观的普遍认识大相径庭, 从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维, 大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.

12 第二节基本的导数公式与运算法则求函数的变化率导数, 是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 导数的定义不仅阐明了导数概念的实质, 也给出了求函数 f () 导数的方法在上节中, 我们已经由此得到了几个函数的导数公式, 但如果对每一个函数, 都直接用定义去求它的导数, 那将是非常困难的, 所以需要找到一些基本的导数公式与运算法则, 借助它们来解决导数的计算从微积分诞生之日起, 数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则公式, 特别是所采用的符号, 大体上是由莱布尼茨完成的. 一函数和差积商的求导法则定理. 若函数 u () 与 v () 在处可导, 则函数 u( ) v( ) 在点处也可导, 且有 u( ) v( ) u( ) v( ) 证当自变量有改变量时, 函数 u () 与 v () 就分别取得改变量 u 与 v, 于是函数的改变量为 ( u u) ( v v) ( u v) u v 已知 u () 与 v () 在点处可导, 则 u v lim u( ) lim v( ) v 因此 u v lim lim u v lim lim u( ) v( ) 即 u( ) v( ) u ( ) v ( ) 这个结果可推广到任意有限个可导函数, 即 u u u u u u k k 例设 si l, 求解 (si ) ( ) (l ) () cos l cos l 定理.4 若函数 u () 与 v () 在点处可导, 则函数 u( ) v( ) 在点处也可导, 且

13 有 u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) 证当自变量有改变量时, 函数 u () 与 v () 就分别取得改变量 u 与 v, 于是函数 u( ) v( ) 的改变量为 ( u u)( v v) u v u v uv u v 于是 lim u v u lim( v u v) 已知 u () 与 v () 在点处可导, 则 u v lim u( ) lim v( ) 又由于可导必连续, 于是当时, v 因此 u( ) v( ) u( ) v( ) 即 u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) 特别地, 当 u( ) c (C 为常数 ) 时, 有 ( cv) cv 这表明了常数因子可移到导数符号的外面 ( u 乘积的导数法则可推广到任意有限个可导函数, 即 u uk ) u u uk uu uk u u 例求 5 7 的导数. 解 : ' u ' ( 5 7) = ( ) ' (5 ) ' ( ) ' (7) ' 例求 4cos si 的导数. 解 : ' ( 4cos si ) ' 4si 5 6 定理.5 若函数 u () 与 v () 在点处可导, 且 v ( ) k u ( ), 则函数在点处也可 v ( ) 导且有 u( ) u( ) v( ) u( ) v( ) v( ) v ( ) 证当自变量有改变量时, 函数 u () 与 v () 分别取得改变量 u 与 v, 于是函数

14 u ( ) 的改变量为 v ( ) u u u vu uv v v v ( v v) v 于是 u v v u v v v lim lim ( ) 已知 u () 与 v () 在点处可导, 则 u v lim u( ), lim v( ) 又由于可导必连续, 于是当时, v, uv uv 所以 v u( ) u( ) v( ) u( ) v( ) 即 v( ) v ( ) 特别地, 当 u ( ) 时, 则有成立. v( ) v v ( ) ( ) 例 4 求正切函数 ta 的导数 si 解 (ta ) ( ) cos (si ) cos si (cos ) (cos ) cos cos si ( si ) cos sec cos 类似地可求得 (cot ) si csc. 4

15 例 5 求正割函数 sec 的导数解 (sec) ( ) cos (cos ) cos si sec ta cos 类似地可求得 (csc ) csc cot 二反函数的求导法则定理.6 设函数 () 在某一区间内单调可导, 且 ( ), 则它的反函数 f () 在对应区间内也单调可导, 且有, f ( ) ( ) 证由于 () 在某一区间内单调, 可知它的反函数 f () 在其对应区间内也单调, 于是当时, f ( ) f ( ), 因此又由于 () 在某一区间内可导, 显然连续, 于是其反函数 f () 在对应区间内也连续, 即有时,, 又由 ( ), 从而有 f( ) lim lim lim ( ). 即 f( ). ( ) 简单说就是 : 反函数的导数等于已知函数导数的倒数例 6 求反正弦函数 arcsi 的导数解设 si 为已知函数, 则 arcsi 是它的反函数由于 si 在, 内单调可导, 且 (si ) cos, 因此 arcsi 在 (, ) 内单调可导, 且有 5

16 (arcsi ) (si ) cos si 即 (arcsi ). 类似地可得 (arccos ). 例 7 求反正切函数 arcta 的导数解设 ta 是已知函数, 则 arcta 是它的反函数, 由于 ta 在, 内单调可导, 且 (ta ) sec, 因此 arcta 在 (, ) 内也可导, 且有 (arcta ) (ta ) sec ta 即 (arcta ) 类似可得三复合函数的求导法则定理.7 设函数 f (u) 与 u () ( arc cot ). 构成了复合函数 f () 可导, f (u) 在对应点 u 处可导, 则复合函数在点处也可导, 且有 f ( ) f ( u) ( ), 若 u () 在点或记为 d d du d du d 证设取得改变量, 此时 u 取得相应的改变量 u, 从而取得相应改变量 6

17 由于函数 f u 在点 u 处可导, 即有 lim f( u) u u f (u) 因此 u, 其中 lim 两边同乘以 u ( 当 u 时 ), 得到 f ( u) u u 因为 u 是中间变量, 所以 u 可能为零, 但当 u 时显然 = ( u u) f ( u), 而上式右边不论为任何确定数时也为零, 为确定起见, 不妨规定当 u 时,, 这样不论 u 是否为零上式都成立现用同除上式两边, 得到 u u f ( u) u 再令, 这时 u ( 也可能取零 ), 从而及 () 于是可得 lim f ( u) ( ) 即复合函数 f () 可导, 且 f ( ) f ( u) ( ) 也就是说, 复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数复合函数的求导法则可以推广到任意有限个函数构成的复合函数, 例如设 f (u), u ( v), v ( ) 构成复合函数, 且它们都可导, 则 f () 也可导, 且 d d du dv d du dv d f ( u) ( v) ( ). u 例 8 求函数 e si 的导数. 解 : ( e ) e (si ) e cos ( ) si e cos 例 9 求幂函数 (µ 为任意实数 ) 的导数解 si si si ' ' ' ' e l u 可看作由 e, u l 复合而成, 于是 d d d du e du d u e l 7

18 因此所以 ( )' 例已知 ta[l( )], 求解 ta u, u lv, v, 则有 d du sec u,, du dv v dv d sec l( ) 为了书写的简便, 中间变量不必写出, 只须直接根据复合函数的求导法则, 即由表及里遂层求出导数再连乘就可以得到结论例设 larcta, 求解 ' (l arcta ) (arcta ) arcta 例求函数 l cos( e ) 的导数. 解 : ' ' ' (l cos( e )) [cos( e )] cos( e ) 例解 : d d sec sec 设 arcta arcta ( u v l( ) si( e ) e e ta( e ) cos( e ) si cos, 求 d. d 4 ' ' ( si cos ) si cos si si cos ( ) ( ) ( ) ( ) ) arcta 8

19 d si cos ( ) d 求例 4 设 l a 解 ( a ) a ( ( a a a ( ) a a a ) ) 于是 a 例 5 已知 f( ) 可导, 求函数解 : 例 6 求导数 : 解 : ' ' ' [ f ( )] f ( ) f ( ) 的导数. (si ) (cos ) 且 f f ' ' [ f (si ) f (cos )] f 可导. ' ' si cos f (si ) cos si f (cos ) ' ' si [ f (si ) f (cos )] 为了便于记忆和使用, 我们列出一切基本初等函数的求导公式与导数运算法则如下 : () ( c ) (c 为常数 ) () ( ) ( 是实数 ) () ( a ) a l a ( e ) e (4) (loga ) (l ) la (5) (si ) cos (6) (cos ) si (7) (ta ) sec cos (8) (cot ) csc si (9) (sec) sec ta () (csc) csc cot () (arcsi ) 9

20 () ( arcco ) () (arcta) (4) ( arccot ) (5) ( u v) u v (6) ( u v) uv u v, ( cu) cu (c 为常数 ) u uv uv (7) ( ) (v ) v v d 8) f ( u) ( ), 其中 f ( u), u ( ) d 第三节高阶导数定义. 如果函数 f () 的导数 f () 在点处可导, 即 f ( ) f ( ) ( f ( )) lim 存在, 则称 ( f ( ) ) 为函数 f () 在点处的二阶导数, 记为 ( d d f ( ) f ),, 或. d d 类似地, 二阶导数的导数称为三阶导数, 记为一般地, () ( ) ( ) d f ( ),, 或 d 导数. d d f ( ( ),,, 或 ) f. d d f 的阶导数的导数称为 f () 的阶导数, 记为 d f ( ). d 注 : 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f () 称为零阶导数 ; f () 例设解 : a b c, 求. ' a b 称为一阶 a 例证明 : 函数满足关系式. 证 '

21 ( ) ( ) 于是. 例求次多项式 a a + a a 的各阶导数解 a a( ) + a 是 - 次多项式 a ( ) a( )( ) + + a 是 - 次多项式 ( ) ( ) ( ) 依此类推, 易知阶导数 a! 是一个常数. 于是 = 即一个次多项式的一切高于阶的导数都是零. 例 4 设 l( ), 求解 ( )( )( ) ( ) ( )! ( ) ( ) o () 同理可得 ( ) (cos) cos( ) ( ) 求阶导数时, 一般总是逐次求导数, 再从中找出规律但求 [ u( ) v( )] 时, 运用公式可使运算简便 ( ) ( )( ) 例 5 求 si 的阶导数解 cos si( ) si si( ) cos si( ) ( ) si( ) 若 u () 与 v () 都有阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( u v) u v c u v c u v

22 k ( k ) ( k ) c u v + u () v 这个公式称为莱布尼兹公式, 用数学归纳法不难证得例 6 设 e 解于是有令 u, 求 () ( ) e, v( ) u ( ) e, v ( ) u ( ) e u ( ) e,, v( ) 6 v ( ) 6 () () u ( ) e, v( ) (4) (5) 由于 v v = 据莱布尼兹公式, 有 () u 46 () 9 e e v c 7 ( e u (9) 6 9 v c 9 e u (8) v c u ) (7) 8 v e 6 第四节隐函数与参数式函数的导数一隐函数的导数两个变量之间的对应关系如果由表达式 f () 给出, 这种形式的函数叫做显函数, 两个变量之间的对应关系如果由一个方程 F (, ) = 所确定, 这种形式的函数叫做隐函数也就是说, 如果在方程 F (, ) = 中, 当取某区间内的任一确定值时, 相应地总有满足方程的唯一的值存在, 那未就称方程 F (, ) = 在该区间上确定了是的一个隐函数可以利用复合函数求导法则来求出隐函数的导数例如, 由方程 e 确定了是的一个隐函数, 为了求对的导数, 我们将方程两边对求导, 则有 e 即得到 : e 由此可见, 隐函数的求导办法是 : 在方程两边同时对自变量求导 ( 注意是的函数 ), 即可得到一个含的方程, 从中解出, 即为所求隐函数的导数在隐函数导数的结果中, 既含有自变量, 又含有因变量, 通常不能也无须求得只含自变量的表达式例求方程 e e 所确定的隐函数 f ( ) 的导数

23 解方程两边分别对求导数, 注意 ( ). 方程左边对求导得 d d d ( e e ) e d d d 方程右边对求导得 () 由于等式两边对的导数相等, 所以 d d e d d d 从而,( e ). d e 例已知方程 e 确定了隐函数 f (), 求曲线 f () 上点 (,) 处的切线方程即有解方程两边对求导, 得 e e e e 可见在点 (,) 处的切线斜率为 e k 切 e e 因此, 所求的切线为 e( ) 即 e 例求由下列方程所确定的函数的二阶导数. si 解 : 应用隐函数的求导方法得 cos 于是 cos 上式两边再对求导, 得二对数求导法形如 u( ) v( ) (,) si 4si ( cos ) ( cos ) 的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数, 对于这类函数, 可以先在函数两边取对数, 然后在等式两边同时对自变量求导, 最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法..

24 例 5 设 si ( ), 求. 解 : 这函数是幂指函数, 为了求这函数的导数, 可以先在两边取对数, 得 l si l 上式两边对求导, 有 cos l si 于是, (cos l si ) si (cos l si ) ( )( ) 例 6 设, 求. ( )( 4) 解 : 先在两边取对数 ( 假定 4 ), 得 l [l( ) l( ) l( ) l( 4)] 上式两边对求导, 有 ( ) 4 于是 ( ) 4 ( )( ) 当时, ( )(4 ) 当时, 三参数式函数的导数 ( )( ) ( )(4 ) 一般地, 设 t 为参数, 则 () t, t [ ] () t 表示平面上一条曲线, 当 (t) 满足一定条件时, 上式就确定与之间的函数关系, 这种函数称为由参数方程确定的函数, 即参数式函数 d 下面寻求直接由参数方程求的方法 d 设 ( t), ( t) 都可导, 且 ( t), 于是根据复合函数及反函数的求导, 有即 d d d d d d d ( t) 或 ( t) d d d ( t) ( t) d d 4

25 这就是参数式函数的导数公式 a( t sit) 例 7 求由参数方程确定的函数 () 的导数 a( cost) 解 d d a sit d d a( cost) t t si cos t cos t si l( t ) 例 8 求由参数方程 t arctat d 所确定的函数的二阶导数 d d d 解 t t d d t t d d d d t d t ( ) ( ) ( ) d d d d d d t ( ) t d t 4t t 例 9 如果不计空气的阻力, 则抛射体的运动轨迹的参数方程为 vt, vt gt, 求时刻 t 抛射体的运动速度的大小和方向. d 解 : 先求速度的大小 : 由于速度的水平分量为 v, d 铅直分量为 v gt, 所以抛射体运动速度的大小为 d d v ( ) ( ) v ( v gt) 再求速度的方向, 也就是轨迹的切线方向. 设是切线的倾角, 则根据导数的几何意义, 得 5

26 d d v gt ta d d v v v 所以, 在抛射体刚射出时 ( 即 t ), ta t ; 当 t 时, ta v t v g g 方向是水平的, 即抛射体达到最高点四极坐标表示的曲线的切线设曲线的极坐标方程为利用直角坐标与极坐标的关系 r r( ). r cos, r si, 可写出其参数方程为 r( )si, r( )si 其中参数为极角. 按参数方程的求导法则, 可得到曲线 r r( ) 的切线斜率为 d r( )si r( )cos. d r( )cos r( )si, 这时, 运动四相关变化率 d d 设 () t 及 () t 都是可导函数, 变量与间存在某种关系, 从而两个变化率与间也存在一定的关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 相关变化率问题解法 : 先找出相关变量的关系式, 然后对第三个变量 t 求导, 得出相关变化率之间的关系式, 从已知的一个变化率去求另一个变化率. 例. 一气球从离开观察员 5 m 处离地面铅直上升, 其速率为 4m/mi( 分 ), 当气球高度为 5 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解 : 设气球上升 t 分后其高度为 h, 仰角为, 则 h ta 5 两边对 t 求导可得 dh 已知 4 m mi d t, h = 5m 时, ta d dh sec d t 5 d t, sec, 因此 d 4.4 ( 弧度 / 分 ). d t 5 6

27 例有一长为 5 米的梯子, 贴在铅直的墙上, 设其下端以米 / 秒的速率离开墙角滑动, 问其下端离开墙角.4 米时, 上端下滑的速率. 解 : 建立坐标系如图设在时刻 t, 梯子上端坐标为 (, t ( )) 下端坐标为 ( t ( ),), 故有关系式两边对 t 求导, 得 d 已知, 当.4 t t ( ) ( ) 5. d d. 时, 4.8 代入上式得 d , 所以 d , 这时梯子上端下滑的速率是.875 米 / 秒. 例将水注入深为 8 米上顶直径为 8 米的正圆锥形容器中, 其速率为每分钟 4 立方米, 问当水深 5 米时, 其水面上升的速率时多少? 解 : 设注水 t 分钟后, 水深为 h h() t 米, 此时水面的直径也是 ht () 米, 则水的体积 7

28 上式两端对 t 求导, 得 dv 已知 4, 当水深 h 5 ht ( ) ( ) ( ) ( ) v t h t h t dv 4 米时, 由上式得 dh h. dh 6 5 ( 米 / 分 ), 6 即水面上升的速率每分钟米. 5 例 4 落在平静水面上的石头, 产生同心圆形波纹, 若最外一圈半径的增大率总是 6m s ( 秒 ), 问秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少? 解设最外圈波纹半径为 r, 扰动水面面积为 S, 则 ds dr 两边同时对 t 求导, 得 π r 从而 ds t dr πr t πr t 6 πr t, S πr dr 又 6 为常数, 故 r 6t, 于是 ds r, 故有 π 44π( m ) t s t. 因此, 秒末受到扰动的水面面积的增大率为 44π( s ) m. 例 5 有一边长为的正方形, 其边长以每秒厘米的速度增长, 问当边长为米时, 此时正方形面积的增长速度是多少? 解 : 设正方形面积为 A, 有 A 显然, A 与都是时间 t 的函数, 上式两边对 t 求导数, 得 ds d d 因为 =.( 米 / 秒 ), 故所求的正方形面积的增长速度是 ds.=.8( 米 / 秒 ) 8

29 第五节函数的微分一微分的概念微分是高等数学中的一个重要概念, 它与函数的导数有着密切的关系在理论研究和实际应用中, 常常会遇到这样的问题 : 当自变量有微小变化时, 求函数 f () 的微小改变量 f ( ) f ( ). 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了, 然而, 对于较复杂的函数 f () f ( ) f ( ), 差值却是一个更复杂的表达式, 不易求出其值. 一个想法是 : 我们设法将表示成的线性函数, 即线性化, 从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型. 设函数 f () 在点处有导数 f (), 即有于是由极限与无穷小的关系可得以乘上式两边, 得到 f ( ) lim lim f ( ) f ( ) f (), 其中 lim f ( ) 当时, 这一项是比高阶的无穷小, 于是上式可写为 f ( ) ( ) 可见, 当自变量的改变量时, 函数值的改变量可以表示成两部分的和, 第一部分是 f ( ), 第二部分是一个比高阶的无穷小下面给出微分的定义定义.4 设函数 f () 在某区间内有定义, 及在这区间内, 如果函数的增量 f ( ) f ( ) 可表示为 A o( ) 其中 A 是与无关的常数, 则称函数 f () 在点可微, 或简称函数可微, 并且称 A 为函数 f () 在点处相应于自变量改变量的微分, 记作 d, 即 d A 定理 5.( 函数可微的条件 ) 函数 f () 在点可微的充分必要条件是函数 f () 在点可导, 且当 f () 在点可微时, 其微分一定是 : d f ( ). 请读者自行证明该定理. 9

30 因为函数的导数恒等于, 所以此函数的微分 d ( ), 也就是说自变量的微分与自变量的改变量相等, 于是函数 f () 在点处的微分 d 又可写为 d f ( ) d d 于是 f( ). 即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 导数又称为微商. 记 d d 号作为一个整体用来表示导数. 可见, 对于一元函数, 函数可导与函数可微是等价的 d 二微分的运算由基本初等函数的导数公式, 可以直接写出基本初等函数的微分公式为了便于对照, 列表于下 : 导数公式微分公式 ' ( ) d( ) d ' (si ) cos d(si ) cos d ' (cos ) si d(cos ) si d (ta ) sec ' d(ta ) sec d ' (cot ) csc d(cot ) csc d ' (sec ) sec ta d(sec ) sec ta d ' (csc ) csc cot d(csc ) csc cot d ' ( ) l a a a d( a ) a l ad ' ( e ) e d( e ) e d ' (log a ) d(log a ) d l a l a ' (l ) d(l ) d ' (arcsi ) d(arcsi ) d ' (arccos ) d(arccos ) d ' (arcta ) d(arcta ) d ' (arc co t ) d(arc co t ) d 函数的和差积商的微分法则由函数的和差积商的求导法则, 可推得相应得微分法则为了便于对照, 列成下表 ( 表中 u u( ), v v( ) 都可导 ) 函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的微分法则

31 ( u v) u v d u v du dv ' ' ' ( ) ' ' ( Cu) Cu d( Cu) Cdu ' ' ' ( uv) u v uv d( uv) vdu udv ' ' ' u u v uv v v u duv udv ( v ) d v v 例求函数当,. 时的微分. 解先求函数在任一点的微分 ' d f ( ) ( ) 再求函数当,. 时的微分 d..4.. 例求函数在和处的微分. 解函数在处的微分为 d ' ( ) ; 在处的微分为例求函数解, 当由改变到. 时的微分 d 与改变量 d ( ) 当,. 时, d. 4 (.).44 可见与 d 相差很小, 而当时, d 将更快趋向于零三微分的几何意义 ( v ) 设曲线 f () 在点 M (, ) 处的切线为 MT, 点 N (, ) 为曲线上点 M 的邻近点 ( 如图所示 ) 切线 MT 的斜率 k ta f ( ), 图 - 不难看出, PQ MQ ta f ( ) d,

32 因此, 函数 f () 的微分 d 在几何上表示了当自变量改变了时, 切线上相应点纵坐标的改变量图中 NQ, 它是当自变量改变了时, 曲线上相应点纵坐标的改变量四微分形式不变性设函数 f (u) 可导, 则 () 当 u 是自变量时, 函数的微分为 d f ( u) du () 当 u 是中间变量时, 即 f ( u), u ( ), 那末复合函数 f [ ( )] 的微分为 f ( u) du 由此可见, 对函数 f (u) 而言, 不论 u 是自变量还是中间变量, 函数的微分 d f ( u) du 形式相同, 称为一阶微分形式不变性例 4 si, 求 d 解法一 d d (si )d si cos d 解法二令 u, u si si cosd e 例 5 设, 求 d 解法一 d d e ( ) d ( e ) ( ) e ( ) 解法二 d si f [ ( ) d f ( u) ( ) d 由微分形式不变性, 得 d ( u ) du u du d si ( ) d ( ) e d ( ) e d d( ) ( ) de e d( ) ( )

33 解 : d ( ) e d e ( ) d d( ) ( ) ( ) d ( ) e d ( ) 例 6 求函数 si( ) 的微分. 解 : 把看成中间变量, 则 d d(si u) cos udu cos( ) d( ) cos( ) d cos( ) d 例 7 设 l ( ), 求 d. 解 : d l( ) d l( ) l( ) d l( ) d 例 8 已知, 求 d. d = ( ) 五微分在近似计算中的应用由微分的定义可知, 若函数 f () 在点处有导数, 那未当时, 有 d 于是可以用函数的微分来近似代替函数值的改变量, 即于是 f ( ) f ( ) f ( ) ( 当时 ) o o o 例 9 半径为厘米的金属圆片加热后, 半径增长了.5 厘米, 问面积大约增加了多少? 解设 S,R 分别表示金属圆片的面积与半径, 则 S R S ds ( R ) R RR 现以 R=cm, R =.5cm 代入得 S.5 ( cm 答 : 面积大约增加了平方厘米由近似式 f ( o ) f ( o ) f ( o ) ( 当时 ) 即可得到 f ( ) f ( ) f ( ) o 因此可以利用它计算某点处函数值的近似值例计算 si 的近似值. 解 : 把化为弧度, 得 o o )

34 6 6 由于所求的是正弦函数的值, 故设 f ( ) si. 此时 f ' ( ) cos. 如果取, 则 6 ' f ( ) si 与 f ( ) cos 都容易计算, 并且比较小, 所以有 : si si( ) si cos 例求 4 8 的近似值 ( 精确到.) 解 4 4 令 f ( ), 则 f ( ) 4 于是 4 8 f ( ) 8 f () f () 例计算.5 的近似值. 解 :.5.5 这里.5, 其值较小, 利用近似公式, 得在近似式 f ( ) f ( ) f ( ) 中, 如果令, 则有再令, 于是得到 o o o o o f ( ) f ( o ) f ( o )( o ) f ( ) f () f () 此式表明, 不论 f () 那么复杂, 只要 f () 存在, 那末在附近, 函数 f () 性函数来近似代替 ( ) 4 8 例试证, 当很小时, 有证令 f ( ), 于是 f ( ) ( ) f ( ), f ( ) 都可以用线 4

35 代入 f ( ) f () f (), 即得到类似地, 当很小时, 可得以下近似式 : si, ta, ( ) 等等 5

第五章　导数和微分

第五章　导数和微分第五章导数和微分一学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系

第二章 导数与微分

第二章导数与微分