NLGS.s10

Transcription

1 社 心 版 中 出 学 出版 cn 科 术 k. 技 boo 教.a 职 ww w

2 全国高等农林院校面向 世纪规划教材 高等数学 李任波丁琨主编 北京

3 内容简介 本书是根据教育部高等农林院校本科高等数学 ( 少学时 ) 教学基本要求 ( 试行 ) 编写的, 既有编者多年直接从事一线教学的经验, 又结合了西部高等农林院校本科教学的特点, 具有较强的针对性. 本书内容为 : 函数与极限 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用 多元函数微分法及重积分初步 无穷级数和微分方程初步. 本书适当降低理论深度, 着重基本技能的训练, 突出微积分中基本理论理解和运算方法的掌握和应用, 叙述简洁, 深入浅出. 本书可作为综合性大学 林业类院校 农业类院校及其相关专业本科少学时的高等数学教材, 专科相关专业教材, 还可供数学教师 科技工作者及数学爱好者阅读. 同时, 可作为高等农林类硕士研究生招生高等数学统一考试的一本重要参考书. 图书在版编目 (CIP) 数据高等数学 / 李任波, 丁琨主编. 北京 : 科学出版社, 00 ( 全国高等农林院校面向 世纪规划教材 ) ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 08 唱 Ⅰ 畅 高 Ⅱ 畅 李 丁 Ⅲ 畅 高等数学高等学校教材 Ⅳ 畅 O3 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (00) 第 904 号 责任编辑 : 王彦 / 责任校对 : 柏连海责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 科学出版社发行各地新华书店经销 倡 00 年 7 月第一版开本 : /6 00 年 7 月第一次印刷印张 : 4 3/4 印数 : 字数 : 定价 : 5 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙枛 ) 销售部电话 00 唱 编辑部电话 00 唱 唱 808 版权所有, 侵权必究 举报电话 : 00 唱 ; 00 唱 ; 科学出版社职教技术出版中心

4 编者名单主编李任波丁琨副主编张健王清晖刘琳编者 ( 按姓氏拼音排序 ) 陈焱丁琨和亚珺李任波刘琳赖巧玲林敏任丽洁唐伟王清晖谢爽张健张元铎张中旭

5 前 言 本书为全国高等农林院校面向 世纪规划教材, 在编写过程中, 我们关注的是数学基础知识的掌握及基本技能的训练, 注重多用图形 表格 例子, 便于学生阅读和理解. 力求重点突出, 简明扼要, 避免出现大篇幅的文字表述. 尽量减少太过复杂的数学计算, 多选用有代表意义的题型, 同时注意归纳总结, 适当降低理论深度, 着重基础, 并力求做好数学知识与相关专业的联系, 在应用题的选取上尽量选用与生物 林学 管理有关的例子. 并且编写了对应的枟高等数学学习指导枠一书, 其中配有习题及解答, 此书有助于学生理解和巩固所学知识, 拓宽学生的解题思路, 扎实数学基础, 使学生牢固掌握所学知识. 本书的编写内容为 : 函数与极限 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用 多元函数微分法及重积分初步 无穷级数和微分方程初步. 通过学习, 可以加强学生数学思想和数学方法的培养, 提高分析问题和解决问题的能力, 满足学生后续专业课学习的需要, 为将来的进一步发展做好准备. 本书由李任波 丁琨任主编, 第 章由陈焱 林敏编写, 第 章由赖巧玲 林敏编写, 第 3 章由张元铎 张健编写, 第 4 章由谢爽 丁琨和亚珺编写, 第 5 章由张中旭 丁琨编写, 第 6 章由任丽洁 张健 李任波编写, 第 7 章由刘琳 唐伟编写, 第 8 章由 王清辉 李任波编写. 本书是西南林业大学重点建设课程 高等数学 的研究成果. 本书在编写过程中, 参阅了大量的同类书, 并得到了西南林业大学教务处, 教育改革和发展研究中心 科技 处等部门的大力支持, 在此一并致谢! 由于编者水平有限, 书中难免存在不妥之处, 衷心希望广大读者批评指正. 编者 科学出版社职教技术出版中心 00 年 月 9 日

6 目 录 前言 第 章函数与极限 畅 函数 畅 畅 集合 区间与邻域 畅 畅 函数 3 畅 数列的极限 6 畅 畅 数列极限的定义 6 畅 畅 收敛数列的性质 9 畅 3 函数的极限 0 畅 3 畅 函数极限的定义 0 畅 3 畅 函数极限的性质 5 畅 4 无穷小与无穷大 5 畅 4 畅 无穷小 5 畅 4 畅 无穷小的运算性质 6 畅 4 畅 3 无穷大 7 畅 5 极限运算法则 9 畅 6 极限存在准则两个重要极限 畅 6 畅 夹逼准则第一重要极限 畅 6 畅 单调有界收敛准则第二重要极限 5 畅 6 畅 3 连续复利 7 畅 7 无穷小的比较 8 畅 8 函数的连续性 30 畅 8 畅 函数的连续性 30 畅 8 畅 函数的间断点 3 畅 9 连续函数的运算与初等函数的连续性 35 畅 9 畅 连续函数的和 差 积 商的连续性 35 畅 9 畅 反函数的连续性 35 畅 9 畅 3 复合函数的连续性 36 畅 9 畅 4 初等函数的连续性 37 畅 0 闭区间上连续函数的性质 38 畅 0 畅 最大值和最小值定理 38 畅 0 畅 零点定理与介值定理 39 习题一 40

7 iv 高等数学 第 章导数与微分 44 畅 导数概念 44 畅 畅 引例 44 畅 畅 导数的定义 45 畅 畅 3 利用定义求导数 46 畅 畅 4 导数的几何意义 48 畅 畅 5 函数的可导性与连续性之间的关系 50 畅 函数的求导法则 50 畅 3 反函数和复合函数的求导法则 5 畅 3 畅 反函数的导数 5 畅 3 畅 复合函数的导数 54 畅 4 高阶导数 56 畅 4 畅 高阶导数的定义 56 畅 4 畅 举例 57 畅 4 畅 3 高阶导数在林业上的应用 58 畅 5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 58 畅 5 畅 隐函数的导数 58 畅 5 畅 由参数方程所确定的函数的导数 6 畅 6 函数的微分 6 畅 6 畅 微分的定义 6 畅 6 畅 微分的几何意义 64 畅 6 畅 3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 64 畅 7 微分的应用 66 习题二 68 第 3 章微分中值定理与导数的应用 7 3 畅 中值定理 7 科学出版社职教技术出版中心 3 畅 畅 罗尔定理 7 3 畅 畅 拉格朗日中值定理 73 3 畅 畅 3 柯西中值定理 74 3 畅 络必达法则 75 3 畅 畅 0 型未定式 畅 畅 其他类型的未定式 ( ) 77 3 畅 3 泰勒中值定理 78 3 畅 4 函数的单调性与曲线的凹凸性 8 3 畅 4 畅 函数单调性的判定法 8 3 畅 4 畅 曲线的凹凸性 84 3 畅 5 函数的极值和最大 最小值 85

8 目录 v 3 畅 5 畅 函数的极值 85 3 畅 5 畅 函数的最大 最小值 89 3 畅 6 函数图形的描绘 9 习题三 93 第 4 章不定积分 95 4 畅 不定积分的概念与性质 95 4 畅 畅 原函数与不定积分的概念 95 4 畅 畅 不定积分的几何意义 97 4 畅 畅 3 基本积分表 97 4 畅 畅 4 不定积分的性质 98 4 畅 换元积分法 99 4 畅 畅 第一类换元法 99 4 畅 畅 第二类换元法 03 4 畅 3 分部积分法 06 4 畅 4 有理函数的不定积分 08 4 畅 4 畅 有理函数的不定积分 08 4 畅 4 畅 三角有理函数的积分 3 4 畅 4 畅 3 无理函数的积分 4 习题四 5 第 5 章定积分及其应用 8 5 畅 定积分的概念 8 5 畅 畅 两个实际问题 8 5 畅 畅 定积分的定义 0 5 畅 定积分的性质 5 畅 3 微积分基本公式 5 5 畅 3 畅 积分上限函数及导数 5 5 畅 3 畅 牛顿莱布尼茨公式 6 5 畅 4 定积分的换元法及分部积分法 8 5 畅 4 畅 定积分的换元法 8 5 畅 4 畅 定积分的分部积分法 30 5 畅 5 定积分在几何上的应用 3 5 畅 5 畅 定积分的元素法 33 5 畅 5 畅 平面图形的面积 33 5 畅 5 畅 3 体积 36 5 畅 5 畅 4 平面曲线的弧长 37 5 畅 5 畅 5 定积分在几何上的应用 40 5 畅 6 反常积分 49 5 畅 6 畅 无穷限反常积分 49

9 vi 高等数学 5 畅 6 畅 无界函数反常积分 5 习题五 5 第 6 章多元函数微分法及重积分初步 55 6 畅 多元函数的基本概念 55 6 畅 畅 区域 55 6 畅 畅 多元函数的概念 56 6 畅 畅 3 多元函数的极限 57 6 畅 畅 4 多元函数的连续性 58 6 畅 偏导数与全微分 59 6 畅 畅 偏导数的定义及其计算方法 59 6 畅 畅 高阶偏导数 6 6 畅 畅 3 全微分 63 6 畅 3 多元复合函数的求导法则 66 6 畅 4 隐函数的求导公式 70 6 畅 5 多元函数的极值及其求法 7 6 畅 5 畅 二元函数的极值 7 6 畅 5 畅 二元函数的最值 74 6 畅 5 畅 3 条件极值 75 6 畅 6 二重积分 77 6 畅 6 畅 二重积分的概念与性质 77 6 畅 6 畅 二重积分的计算 80 习题六 85 第 7 章无穷级数 88 7 畅 常数项级数的概念与性质 88 7 畅 畅 概念 88 7 畅 畅 常数项级数的基本性质 90 7 畅 畅 3 级数收敛的必要条件 90 科学出版社职教技术出版中心 7 畅 常数项级数的审敛法 90 7 畅 畅 正项级数及审敛法 90 7 畅 畅 交错级数及审敛法 93 7 畅 畅 3 绝对收敛与条件收敛 94 7 畅 3 幂级数 95 7 畅 3 畅 函数项级数 95 7 畅 3 畅 幂级数及其收敛域 96 7 畅 3 畅 3 幂级数的运算 98 7 畅 4 函数展开成幂级数 99 7 畅 4 畅 泰勒级数 99 7 畅 4 畅 函数展成幂级数 00

10 目录 vii 7 畅 5 幂级数在近似计算中的应用 0 习题七 03 第 8 章微分方程初步 05 8 畅 微分方程的基本概念 05 8 畅 可分离变量的微分方程 06 8 畅 3 齐次方程 08 8 畅 4 一阶线性微分方程 09 8 畅 5 可降阶的高阶微分方程 8 畅 6 二阶常系数齐次线性微分方程 5 8 畅 7 二阶常系数非齐次线性微分方程 7 习题八 0

11 第 章函数与极限 初等数学的研究对象基本上是不变的量 ( 称为常量 ), 而高等数学的研究对象则是变动的量 ( 称为变量 ). 函数关系就是变量之间的依赖关系, 极限方法是研究变量的一种基本方法. 本章将介绍函数 极限和函数的连续性等基本概念, 以及它们的一些性质. 畅 函数 畅 畅 集合 区间与邻域 畅集合集合 ( 简称集 ) 是指具有特定性质的一些事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素 ( 简称元 ). 通常用大写拉丁字母 A,B,C, 表示集合, 用小写拉丁字母 a,b,c, 表示集合的元素, 如果 a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于 A, 记作 a A ; 如果 a 不是集合 A 的元素, 就说 a 不属于 A, 记作 a 臭 A. 由有限个元素组成的集合称为有限集 ; 由无穷多个元素组成的集合称为无限集. 集合的表示方法通常有列举法和描述法 : 列举法, 是把集合的全体元素一一列举出来表示, 例如, 由元素 a,a,,an 组成的 集合 A, 可表示成 A a,a,,an. 描述法, 若集合 A 是由具有某种性质 P 的元素 的全体组成, 就可表示成 A 具有性质 P. 例如, 平面上坐标满足方程 + y 的点 (,y) 所组成的集合 A 可记为 A (,y) + y. 习惯上, 全体自然数的集合记作 N, 全体整数的集合记作 Z, 全体有理数的集合记作 Q, 全体实数的集合记作 R, 有时我们在表示数集的字母右上角添加 +, - 等上标, 表 示该数集的特定子集. 以实数集 R 为例,R + 表示全体正实数之集,R - 表示全体负实数之 集. 其他数集的记号可类似得到. 科学出版社职教技术出版中心 设 A,B 是两个集合, 如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记作 A 炒 B( 读作 A 包含于 B) 或 B 车 A( 读作 B 包含 A). 例如有 N 炒 Z 炒 Q 炒 R. 如果 A 炒 B 且 B 炒 A, 就称集合 A 与 B 相等, 记作 A B. 不含任何元素的集合称为空集. 例如 R 且 + 0.

12 高等数学是空集, 因为满足条件 + 0 的实数是不存在的. 空集记作碬, 且规定空集碬是任何集合 A 的子集, 即碬炒 A. 畅区间在数轴上, 区间是指介于某两点之间的线段上点的全体 ( 表 唱 ). 表 唱 区间的名称区间满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示 闭区间 a b [ a,b] 开区间 a < < b ( a,b) 半开区间 a < b 或 a < b ( a,b] 或 [ a,b) 以上所述的都是有限区间, 除此之外, 还有无限区间 : [ a,+ ) : 表示不小于 a 的实数的全体, 也可记为 :a < + ; ( -,b) : 表示小于 b 的实数的全体, 也可记为 :- < < b ; ( -,+ ) : 表示全体实数, 也可记为 :- < < +. 注 : 其中 - 和 +, 分别读作 负无穷大 和 正无穷大, 它们不是数, 仅仅是记号. 这些区间在数轴上表现的长度为无限的半直线 ( 图 唱 ). 图 唱 3 畅邻域 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域, 记作 U( a). 设 δ 是任一正数, 则开区间 ( a - δ,a + δ) 称为点 a 的 δ 邻域, 记作 U( a,δ), 即 U( a,δ) a - δ < < a + δ - a < δ. 点 a 称为 U( a,δ) 的中心,δ 称为 U( a,δ) 的半径 ( 图 唱 ). δ), 即 礋若把邻域 U( a,δ) 的中心 a 去掉, 所得到的邻域称为点 a 的去心 δ 邻域, 记作 U( a,

13 第 章函数与极限 3 图 唱 礋 U( a,δ) 0 < - a < δ 这里 0 < - a 表示 a. 畅 畅 函数 畅函数概念 定义 畅 设 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集. 如果按照某个法则 f, 对于每个数 D, 变量 y 都有唯一确定的值和它相对应, 则称 y 是 的函数, 记作 y f( ), D, 其中 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域, 记作 D f, 即 D f D. 与自变量 对应的因变量的值称为函数 f 在点 处的函数值. 当 取遍定义域 D 的所有数值时, 对应的全体函数值组成的集合称为函数 f 的值域, 记作 R f 或 f ( D), 即 R f f( D) y y f( ), D. 函数的两要素 : 定义域和对应法则. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数定义域通常按以下两种情形来确定 : 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景 中变量的实际意义确定 ; 另一种是对抽象地用算式表达的函数, 我们约定 : 函数的定义域 是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域. 例如函数 y - 的定义域是闭区间 [ -,], 函数 y 的定义域是开区间 ( -,). - 表示函数的主要方法有三种 : 表格法 图形法 解析法 ( 公式法 ). 例 畅 常数函数 y 的定义域 D ( -,+ ), 值域 R {}, 它的图形是一条 平行于 轴的直线 ( 图 唱 3). 例 畅 绝对值函数 科学出版社职教技术出版中心 图 唱 3 图 唱 4

14 4 高等数学 y f( ), 0, -, < 0 的定义域 D ( -,+ ), 值域 R [0,+ ), 它的图形如图 唱 4 所示. 例 畅 3 函数 y sgn, > 0 ; 0, 0 ; 称为符号函数, 它的定义域 D ( -,+ ), 值 -, < 0 域 R { -,0,}, 它的图形如图 唱 5 所示. 对于任何实数, 下列关系成立 : sgn. 4 5 例 畅 4 设 为任一实数. 不超过 的最大整数称为 的整数部分, 记作 [ ]. 例如 0,[π] 3,[],[ - 4 畅 3] - 5. 把 看作变量, 则函数 y [ ] 的定义域 D ( -,+ ), 值域 R Z. 它的图形如图 唱 6 所示, 该图形称为阶梯曲线, 在 的整数值 处, 图形发生跳跃, 跃度为, 这种函数称为取整函数. 图 唱 5 图 唱 6 从例 畅 例 畅 3 和例 畅 4 可以看到, 有些函数在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示, 这种函数称为分段函数. 畅函数的特性 () 函数的有界性. 设函数 f( ) 的定义域为 D, 数集 X 炒 D, 如果存在正数 M, 使得对任一 X, 都有 f( ) M, 则称函数 f( ) 在 X 上有界 ; 如果这样的 M 不存在, 就称函数 f ( ) 在 X 上无界, 正数 M 称为函数 f ( ) 的界. 函数有界的定义也可以表述为 : 如果存在常数 M 和 M, 使得对任一 X, 都有 M f( ) M, 就称 f( ) 在 X 上有界, 并分别称 M 和 M 为 f( ) 在 X 上的一个下界和一个上界. 例如, 函数 y cos 在 ( -,+ ) 内有界, 因为对任何实数, 恒有 cos, 这里 M ( 也可取大于 的任何数作为 M 而使 cos M 成立 ).

15 第 章函数与极限 5 使 又如, 函数 y 在开区间 (0,) 内无界, 但在开区间 (,) 内有界, 例如可取 M 对一切 (,) 都成立. 易证, 函数 f( ) 在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界. () 函数的单调性. 设函数 f( ) 的定义域为 D, 区间 I 炒 D. 如果对于区间 I 上任意两点 及, 当 < 时, 恒有 f( ) < f( ), 则称函数 f( ) 在区间 I 内是单调增加的 ; 如果对于区间 I 上 任意两点 及, 当 < 时, 恒有 f( ) > f( ), 则称函数 f( ) 在区间 I 内是单调 减少的. 例如, 函数 f( ) 在区间 [0,+ ) 上是单调增加的, 在区间 ( -,0] 上是单调减 少的 ; 在区间 ( -,+ ) 内不是单调的. (3) 函数的奇偶性. 设函数 f( ) 的定义域 D 关于原点对称. 如果对于任一 D, 有 f( - ) f ( ), 则 称 f( ) 为偶函数 ; 如果对于任一 D, 有 f( - ) - f( ), 则称 f( ) 为奇函数. 函数. D, 且 例如 f( ) 是偶函数,f ( ) 是奇函数,f ( ) 奇函数的图形是关于原点对称的 ; 偶函数的图形是关于 y 轴对称的. (4) 函数的周期性. + 既非奇函数, 也非偶 设函数 f ( ) 的定义域为 D, 如果存在一个正数 T, 使得对任一 D 有 ( ± T) f( + T) f( ) 恒成立, 则称 f( ) 为周期函数,T 称为 f ( ) 的周期, 通常我们说周期函数的周期是指最 小正周期. 例如, 函数 sin,cos 都是以 π 为周期的周期函数 ; 函数 tan,cot 都是以 π 为周期 的周期函数. 在每个长度为 T 的区间上, 周期函数具有相同的形状. 3 畅反函数与复合函数 () 反函数. 设函数 y f( ) 的定义域是 D, 值域是 R. 如果对于每一个 y R, 都有唯一的 D 适合关系 f ( ) y, 所得到的一个以 y 为自变量, 以 为因变量的新函数, 称为 y f( ) 的反函数, 记作 该函数的定义域为 R, 值域为 D. f - ( y), 在函数 f - ( y) 中, 字母 y 表示自变量, 字母 表示因变量, 但习惯上一般用 表 示自变量, 用 y 表示因变量, 因此我们常常对调函数式 f - ( y) 中的字母,y, 把它改 写成 y f - ( ). 今后提到反函数, 就是指这种经过改写后的反函数. 科学出版社职教技术出版中心

16 6 高等数学 例如, 函数 y +, R 的反函数是 y -,y R, 但通常写作 y -, R. 可以证明, 函数 y f( ) 与其反函数 y f - ( ) 的图形关于直线 y 对称, 单调函数存在反函数, 且反函数仍为单调函数. () 复合函数. 设 y u,u +, 用 + 代替第一式中的 u, 得 y +, 称函数 y + 是由 y u 和 u + 复合而成的复合函数. 一般地, 设函数 y f ( u) 的定义域为 D ; 函数 u g( ) 在 D 上有定义, 且 D g( D) 碬, 则称函数 y f[ g( )], D 为由函数 u g( ) 和函数 y f( u) 构成的复合函数. 其中 为自变量,y 为因变量,u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 f 礋 g, 即 ( f 礋 g)( ) f[ g( )]. 不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数. 例如,y f( u) arcsin u 的定义域为 [ -,], u g( ) - 在 D -,- 3 ], 则 g 与 f 可构成复合函数 3, 上有定义, 且 g( D) 炒 [ -, y arcsin -, D ; 但函数 y arcsin u 和函数 u + 不能构成复合函数, 因为 y arcsin u 的定义域为 [ -,], 而 u +,D g( D) 碬, 因此这两个函数不能复合成复合函数. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成, 例如 y ln u,u v,v sin, 可得复 合函数 y lnsin, 这里 u 及 v 都是中间变量. 4 畅初等函数 下列五类函数统称为基本初等函数 : 幂函数 y μ ( μ R 是常数 ) ; 指数函数 y a ( a 是常数,a > 0,a ) ; 对数函数 y loga ( a 是常数,a > 0,a ) ; 三角函数 y sin,y cos,y tan,y cot ; 反三角函数 y arcsin,y arccos,y arctan,y arccot. 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如 y lntan, y cot, y 等都是初等函数. 在本书中所讨论的函数绝大多数都是初等函数. 畅 畅 数列极限的定义 畅 数列的极限 极限是研究变量变化趋势的基本工具, 高等数学中许多基本概念, 例如连续 导数 定

17 第 章函数与极限 7 积分 无穷级数等都是建立在极限的基础上, 极限方法又是研究函数的一种最基本方法. 畅数列 如果按照某一法则, 对每个 n N +, 对应着一个确定的实数 n, 这些实数 n 按照下 标 n 从小到大排列得到的一个序列 称为数列, 简记为数列 { n }.,,3,,n, 数列中的每一个数叫做数列的项, 第 n 项 n 叫做数列的一般项. 例如 :,4,8,, n, ; n 0,, 3,,n - n, ; n - n, -,,,( - ) n+, ; ( - ) n+,,4 3,,n + ( - ) n- n, ; n + ( - ) n- n 在几何上, 数列 { n} 可看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点,,3,, n, ( 图 唱 7). 图 唱 7 数列 { n} 还可看作自变量为正整数 n 的函数 :n f ( n),n N +. 当自变量 n 依次取,,3, 一切正整数时, 对应的函数值就排列成数列 { n}. 畅数列的极限 对数列 { n }, 如果当 n 无限增大时 ( 即 n 时 ), 对应的 n f( n) 无限接近于某个确 定的常数 a, 那么常数 a 就称为数列 n 的极限 ; 如果这样的常数不存在, 则称数列 n 没 有极限. 就数列 { n } n + ( - ) n - n 来说, 因为 n - ( - ) n- n n, 易见, 当 n 越来越大时, n 越来越小, 从而 n 就越来越接近. 因为只要 n 足够大, n - n 可以小于任意给定的正数, 所以说, 当 n 无限增大时,n 无限接近于. 定义 畅 设 { n} 为一数列, 如果存在常数 a, 对于任意给定的正数 ε( 不论它多么 小 ), 总存在正整数 N, 使得当 n > N 时, 不等式 n - a < ε 都成立, 那么就称常数 a 是数列 { n } 的极限, 或者称数列 { n} 收敛于 a, 记为 a, n n 科学出版社职教技术出版中心

18 8 高等数学 或 n a( n ). 如果不存在这样的常数 a, 就说数列 { n } 没有极限, 或者说数列 { n } 是发散的. 习惯 上也说 n n 不存在. 上述定义中 对于任意给定的正数 ε n - a < ε 表达了 n 与 a 无限接近的意思. 此外, 定义中的正整数 N 是与任意给定的正数 ε 有关的,N N(ε). n n a 的几何解释 : 将常数 a 及数列,,3,,n, 表示在数轴上, 再在数轴上作点 a 的 ε 邻域 U( a,ε)( 图 唱 8). 图 唱 8 N + 之外. 存在. 数列 { n} 的极限为 a 在几何上表示为 : 当 n > N 时, 所有的点 n 即无限多个点 N +,, 都落在开区间 ( a - ε,a + ε) 内, 而只有有限个点 ( 至多只有 N 个 ) 落在此区间 为了表达方便, 引入记号 橙 表示 对于任意给定的 或 对于每一个, 记号 愁 表示 注意数列极限的定义并未直接给出求极限的方法, 只给出了论证数列 { n } 的极限 为 a 的方法, 常称为 ε- N 论证法. 只须 例 畅 5 证明数列 { n} 证 : 橙 ε> 0, 要使 n - 即 n > ε, 取 N 即 只须 ε n + ( - ) n - n n + ( - ) n - n n + ( - ) n- n, 则当 n > N 时, 就有 n + ( - ) n- n n n + ( - ) n- n 的极限是. < ε 成立, - n < ε - < ε,. 例 畅 6 设 q <, 证明等比数列,q,q,,q n -, 的极限是 0. 证 : 橙 ε> 0( 不妨设 ε< ), 要使 n - 0 q n < ε 成立, q n- - 0 q n- q n- < ε

19 第 章函数与极限 9 取自然对数, 得 ( n - )ln q < lnε, 又因为 q <,ln q < 0, 所以 n > + lnε ln q. 取 N + lnε ln q, 则当 n > N 时, 就有 q n- - 0 < ε, 即 n qn- 0. 畅 畅 收敛数列的性质 定理 畅 ( 极限的唯一性 ) 如果数列 { n} 收敛, 那么它的极限唯一. 证 : 用反证法. 假设 n n a, n n b, 且 a < b, 取 ε b - a 因为 n n a, 故愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 n - a < b - a.. 同理, 因为 n n b, 故 愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 n - b < b - a 成立. 取 N ma { N,N }, 则当 n > N 时, n - a < b - a n - b < b - a 可得 n 与 n - b < b - a 会同时成立. 但由 n - a < b - a 可得 n > a + b, 这是不可能的. 此矛盾证明了本定理的结论. 例 畅 7 证明数列 n ( - ) n + ( n,, ) 是发散的. < a + b, 由 证 : 如果此数列收敛, 则极限必唯一. 设 n n a, 对于 ε, 愁 N > 0, 当 n > N 时, n - a < 成立, 即当 n > N 时,n a -,a +, 区间长度为. 而 n 无休止地反 复取,- 两个数, 不能同时位于长度为 的区间内, 矛盾. 因此, 该数列是发散的. 定义 畅 3 对于数列 n, 如果存在正数 M, 使得对于一切 n, 都满足不等式 n M, 则称数列 { n} 是有界的 ; 如果这样的 M 不存在, 就说数列 { n} 是无界的. 例如, 数列 n n + n + ( n,, ) 是有界的, 因为可取 M, 使 对一切正整数 n 都成立. n + n + 数列 n 3 n ( n,, ) 是无界的, 因为当 n 无限增加时,3 n 可超过任何正数. 几何上, 若数列 { n} 有界, 则存在 M > 0, 使得数轴上对应于有界数列的点 n 都落在 闭区间 - M,M 上. 定理 畅 ( 收敛数列的有界性 ) 如果数列 n 收敛, 那么数列 n 一定有界. 科学出版社职教技术出版中心

20 0 高等数学 证 : 因为数列 n 收敛, 设 n a. 则对于 ε, 愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 n 成立. 于是, 当 n > N 时, n - a < n ( n - a) + a n - a + a < + a. 取 M ma,,, N, + a, 则对一切 n N +, 皆有 n M. 故数列 n 有界. 如果数列 n 无界, 那么数列 n 一定发散. 但是, 如果数列 n 有界, 不能断定数 列 n 一定收敛. 例如, 数列 n ( - ) n + 有界 ( n ), 但例 畅 7 已经证明了这数列 是发散的. 所以, 数列有界是数列收敛的必要条件, 但不是充分条件. 定理 畅 3( 收敛数列的保号性 ) 若 n n a, 且 a > 0( 或 a < 0), 那么存在正整数 N > 0, 当 n > N 时, 都有 n > 0( 或 n < 0). 证明 : 就 a > 0 的情形证明. 根据数列极限的定义, 对 ε a > 0, 愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 即 同理可证 a < 0 的情形. n - a < a, n > a - a a > 0 推论如果数列 n 从某项起有 n 0( 或 n 0), 且 n a, 那么 a 0( 或 a 0). n 证明 : 设数列 n 从第 N 项起, 即当 n > N 时有 n 0. 用反证法 : 若 n n a < 0, 则由定理 畅 3 知, 愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 n < 0. 取 N ma{ N,N }, 当 n > N 时, 按假定有 n 0, 按定理 畅 3 有 n < 0, 矛盾. 故必有 a 0. 同理可证数列 { n} 从某项起有 n 0 的情形. 畅 3 函数的极限 畅 3 畅 函数极限的定义函数极限是指 : 在自变量的某个变化过程中, 如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限. 显然, 这个极限是与自变量的变化过程密切相关的, 自变量的变化过程不同, 函数的极限就有不同的表现形式. 本节分以下两种情形来讨论 : () 自变量趋于有限值时函数的极限 ; () 自变量趋于无穷大时函数的极限. 畅自变量趋于有限值时函数的极限考虑自变量 的变化过程为 0. 如果在 0 的过程中, 对应的函数值 f( ) 无 限接近于确定的数值 A, 就说 A 是函数 f ( ) 当 0 时的极限. 假定函数 f( ) 在点 0

21 第 章函数与极限 的某个去心邻域内是有定义的. 来表达 ; 在 0 的过程中, 对应的函数值 f( ) 无限接近于 A, 可用 f( ) - A < ε( 这里 ε 是任意给定的正数 ) 而 充分接近于 0 ( 即 0 ) 可表达为 0 < - 0 < δ( 这里 δ 为某个正数 ). 通过上述分析, 给出当 0 时函数极限的定义如下 : 定义 畅 4 设函数 f( ) 在点 0 的某个去心邻域内有定义. 如果存在常数 A, 使得对 于任意给定的正数 ε( 不论它多么小 ), 总存在正数 δ, 使当 满足不等式 0 < - 0 < δ 时, 对应的函数值 f( ) 都满足不等式 f( ) - A < ε, 那么常数 A 就叫做函数 f ( ) 当 0 时的极限, 记作 如果这样的常数不存在, 则称 0 f( ) A 或 f ( ) A ( 0 ), 0 时 f( ) 没有极限, 或称极限 0 f( ) 不存在. 定义中 0 < - 0 表示 0, 所以 0 时 f( ) 有没有极限, 与 f( ) 在点 0 是 否有定义并无关系. f( ) A 的几何解释 : 0 橙 ε > 0, 作平行于 轴的两条直线 y A + ε 和 y A - ε, 介于这两条直线之间是一横 礋条区域. 根据定义, 对于给定的 ε, 愁 U( 0,δ), 当 y f ( ) 的图形上的点的横坐标 落在 礋 U( 0,δ) 内时, 这些点的纵坐标 f( ) 满足不等式 即 f( ) - A < ε, A - ε < f( ) < A + ε, 从而这些点落在上面所作的横条区域内 ( 图 唱 9). 例 畅 8 证明 0 c c, 其中 c 为常数. 证明 : 橙 ε> 0, 要使 f( ) - A < ε, 即 可任取 δ > 0, 则当 0 < - 0 < δ 时, 总有 成立. 所以 0 c c. 例 畅 9 证明 0 0. 证明 : 橙 ε> 0, 要使 f( ) - A < ε, 即 取 δ ε, 则当 0 < - 0 < δ 时, 总有 c - c 0 < ε, f( ) - A c - c 0 < ε - 0 < ε. f( ) - A - 0 < ε 科学出版社职教技术出版中心

22 高等数学 图 唱 9 成立. 所以 0 0. 例 畅 0 证明 - -. 证明 : 函数在点 没有定义, 但是函数当 时的极限存在与否与它并无关系. 事实上, 橙 ε> 0, 要使 f( ) - A < ε, 即 约去非零因子 - 后, 化为 取 δ ε, 则当 0 < - < δ 时, 总有 < ε, < ε, 所以 f( ) - A < ε, - -. 定义 畅 5 若当自变量 从 0 的左侧 ( 或右侧 ) 趋于 0 时, 函数 f( ) 无限接近于确 定的数值 A, 则称 A 是函数 f ( ) 当 0 时的左极限 ( 或右极限 ), 记作 仿照定义 畅 4, 我们可得 f( ) A 或 f( - 0 ) A, f( ) A 或 f( + 0 ) A. 定义 畅 6 设函数 f( ) 在点 0 的某个去心邻域内有定义. 如果存在常数 A, 使得对 于任意给定的正数 ε( 不论它多么小 ), 总存在正数 δ, 使当 满足不等式 0 - δ < < 0 ( 或 0 < < 0 + δ) 时, 对应的函数值 f( ) 都满足不等式

23 第 章函数与极限 3 f( ) - A < ε, 那么常数 A 就叫做函数 f ( ) 当 0 时的左极限 ( 或右极限 ), 记作 相等, 即 易证, 函数 f( ) 当 0 f( ) A 或 f( - 0 ) A, f( ) A 或 f( + 0 ) A. 时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限都存在并且 f( - 0 ) f( + 0 ) 因此, 即使 f( - 0 ) 和 f( + 0 ) 都存在, 但若不相等, 则 0 f( ) 也不存在. 即 - 例 畅 设 f( ) 解 : 因为 f( ) + -, < 0 ; 0, 0 ; 求 f( ). +, > 0, - + f( ) ( - ) -, - f( ) ( + ), + f( ), 所以 f( ) 不存在 ( 图 唱 0). 畅自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 畅 7 设函数 f( ) 当 图 唱 0 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 A, 使得对于任 意给定的正数 ε( 不论它多么小 ), 总存在正整数 X, 使得当 满足不等式 > X 时, 对应 的函数值 f( ) 满足不等式 f( ) - A < ε, 那么常数 A 就叫做函数 f ( ) 当 时的极限, 记作 科学出版社职教技术出版中心

24 4 高等数学 f( ) A 或 f( ) A( 当 ), 如果这样的常数不存在, 那么称 时 f( ) 没有极限. 如果 > 0 且无限增大 ( 记作 + ), 只要把上述定义中的 > X 改为 > X, 就 可得 + f( ) A 的定义 ; 同样, 如果 < 0 而 无限增大 ( 记作 - ), 只要把上述 定义中的 > X 改为 < - X, 就可得 - f( ) A 的几何解释 : f( ) A 的定义. 作直线 y A - ε 和 y A + ε, 则总存在一个正数 X, 使当 < - X 或 > X 时, 函数 y f( ) 的图形位于此两直线之间 ( 图 唱 ). 图 唱 即 只须 易证, 函数 f( ) 当 时极限存在的充分必要条件是 - 例 畅 证明 证明 : 橙 ε> 0, 要使 f( ) - A < ε > ε, < ε, f( ) + f( ). 取 X ε, 则当 > X 时, 不等式 所以 - 0 < ε 成立. 0.

25 第 章函数与极限 5 直线 y 0 是函数 y 的图形的水平渐近线. 如果 f( ) c, 则直线 y c 称为函数 y f( ) 的图形的水平渐近线. 畅 3 畅 函数极限的性质 下面以 0 f( ) 这种形式为代表, 给出关于函数极限性质的一些定理, 至于其他形 式极限的性质及其证明, 只要相应作一些修改即可得出. 定理 畅 4( 函数极限的唯一性 ) 如果 0 f( ) 存在, 那么此极限唯一. 定理 畅 5( 函数极限的局部有界性 ) 如果 0 f( ) A, 那么存在常数 M > 0 和 δ > 0, 使当 0 < - 0 < δ 时, 有 f( ) M. 定理 畅 6( 函数极限的局部保号性 ) 如果 0 f( ) A, 而且 A > 0( 或 A < 0), 那么 存在常数 δ > 0, 使得当 0 < - 0 < δ 时, 有 f( ) > 0( 或 f( ) < 0). 证明 : 就 A > 0 的情形证明. 因为 0 f( ) A > 0, 所以取 ε A > 0, 则愁 δ > 0, 当 0 < - 0 < δ 时, 有 f( ) - A < A 痴 f( ) > A - A A > 0. 类似地可证明 A < 0 的情形. 推论如果在 0 A 0( 或 A 0). 畅 4 畅 无穷小 的某去心邻域内 f ( ) 0( 或 f ( ) 0), 而且 0 f ( ) A, 那么 畅 4 无穷小与无穷大 定义 畅 7 如果函数 f( ) 当 0 ( 或 ) 时的极限为零, 那么称函数 f( ) 为当 0 ( 或 ) 时的无穷小. 特别地, 以零为极限的数列 n 称为 n 时的无穷小. 例如, 3 ( - 3) 0, 所以函数 - 3 是当 3 时的无穷小 ; 0, 所以函数是当 时的无穷小 ; 0 q <, 所以数列 q n q < 是 n 时的无穷小. n qn 注意无穷小是一个以 0 为极限的函数 ( 变量 ), 不要把无穷小与很小的数例 ( 如千万 分之一 ) 相混淆. 零是可以作为无穷小的唯一常数. 定理 畅 7 在自变量的同一变化过程 0 ( 或 ) 中, 函数 f( ) 具有极限 A 的 充分必要条件是 f ( ) A + α, 其中 α 是无穷小. 科学出版社职教技术出版中心

26 6 高等数学 即 证明 :() 必要性. 设 0 f( ) A, 则橙 ε> 0, 愁 δ > 0, 当 0 < - 0 < δ 时, 有 由极限的定义可知 f( ) - A < ε, ( f( ) - A) - 0 < ε, f( ) - A 0. 0 令 α f( ) - A, 则有 0 α 0, 即 α 是 0 时的无穷小, 且 f( ) A + α, 从而证明了 f( ) 等于它的极限 A 与一个无穷小 α 之和. () 充分性. 设 f( ) A + α, 其中 A 是常数,α 是 0 时的无穷小, 于是 f( ) - A α, 因为 0 α 0, 所以橙 ε> 0, 愁 δ > 0, 当 0 < - 0 < δ 时, 有 即 从而证明了 类似地可证明 时的情形. 畅 4 畅 无穷小的运算性质 α < ε, f( ) - A < ε, f( ) A. 0 定理 畅 8 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 : 只证两个无穷小的和的情形即可. 设 α 及 β 是当 0 时的两个无穷小, 而 γ α + β. ε 橙 ε> 0, 因 0 α 0, 故对 > 0, 愁 δ > 0, 当 0 < - 0 < δ 时, 有 α < ε ; ε 同理, 因 0 β 0, 故对 > 0, 愁 δ > 0, 当 0 < - 0 < δ 时, 有 β < ε. 取 δ min δ,δ, 则当 0 < - 0 < δ 时 α < ε 和 β < ε 同时成立, 从而 γ α + β α + β < ε + ε ε.

27 第 章函数与极限 7 这说明 0 γ 0, 即 γ α + β 也是 0 时的无穷小. 有限个无穷小之和的情形可以同样证明. 注意无穷多个无穷小的和未必是无穷小. 例如,n 时, n 是无穷小, 但 n n + n + n + + n n 个, 即当 n 时, n + n + n + + 不是无穷小. n n 个 定理 畅 9 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 礋礋证明 : 设函数 u 在 U( 0,δ ) 内有界, 即愁 M > 0 使 u M 对一切 U( 0,δ ) 成 礋立. 又设 α 是当 0 时的无穷小, 即橙 ε> 0, 愁 δ > 0, 当 U( 0,δ ) 时, 有 α < ε M. 取 γ min{δ 礋,δ }, 则当 U( 0,δ) 时, u M 及 α < ε M 同时成立. 从而 这就证明了 uα 是当 0 时的无穷小. uα u α < M ε M ε. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小. sin 例 畅 3 求. 解 : 因为 时, sin 时是无穷小, 所以 畅 4 畅 3 无穷大, 故 sin 当 时是有界的 ; 又由于 sin 0. 0, 故当 如果当 0 ( 或 ) 时, 对应函数值的绝对值 f( ) 无限增大, 则称函数 f( ) 为当 0 ( 或 ) 时的无穷大. 科学出版社职教技术出版中心 定义 畅 8 设函数 f( ) 在点 0 的某个去心邻域内有定义 ( 或 大于某一正数时有 定义 ), 如果对于任意给定的正数 M( 不论它多么大 ), 总存在正数 δ( 或正数 X), 使得对于 满足不等式 0 < - 0 < δ 或 ( > X) 的一切, 对应的函数值 f( ) 总满足不等式

28 8 高等数学 f( ) > M, 则称函数 f( ) 为当 0 ( 或 ) 时的无穷大. 如果当 0 ( 或 ) 时, 函数 f( ) 为无穷大, 则其极限是不存在的. 但也可称为 函数的极限是无穷大, 并记作 f( ) 0 ( 或 f( ) ). 如果在无穷大的定义中, 把 f( ) > M 换成 f ( ) > M( 或 f( ) < - M) 就记作 0 f( ) + ( 或 0 f( ) - ). 注意无穷大是一个函数 ( 变量 ), 不要把无穷大与很大的数 ( 例如一亿 ) 相混淆. 此 外, 无穷大一定是无界变量, 反之, 无界变量不一定是无穷大. 例 畅 4 证明 - ( 图 唱 ). 图 唱 证明 : 橙 M > 0, 要使 - > M, 只须 - < M, 取 δ M, 则当 0 < - < δ 时, 就有 从而证明了 -. 直线 是函数 y - > M. 的图形的铅直渐近线. -

29 第 章函数与极限 9 如果函数 y f( ) 在点 0 f( ) 的图形的铅直渐近线. 穷大, 则 处间断, 且 0 f ( ), 则直线 0 称为函数 y 定理 畅 0( 无穷大与无穷小的关系 ) 在自变量的同一变化过程中, 如果 f ( ) 为无 为无穷小 ; 反之, 如果 f( ) 为无穷小, 且 f( ) 0, 则为无穷大. f( ) f( ) 证明略. 畅 5 极限运算法则 本节讨论极限的求法, 建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 利用这 些法则, 可以求某些函数的极限. 在下面的讨论中, 记号 下面没有标明自变量的变化过程, 是指对 0 以及单侧极限都成立. 在论证时, 我们只证明了 0-0 < δ 改成 > X, 就可得 情形的证明. 及 的情形, 只要把 δ 改成 X, 把 0 < 定理 畅 ( 极限的四则运算法则 ) 如果 f( ) A, g( ) B, 那么 ()[ f( ) ± g( )] f( ) ± g( ) A ± B ; ()[ f( ) g( )] f( ) g( ) A B ; (3) 若 B 0, 则 f( ) g( ) 证明 : 因为 f( ) A, g( ) B, 所以 f( ) g( ) A B. f( ) A + α, g( ) B + β( 其中 α 0,β 0). () f( ) ± g( ) ( A + α) ± ( B + β) ( A ± B) + (α ± β), 由定理 畅 8, 可知 α ± β 是无穷小, 从而 [ f( ) ± g( )] A ± B f( ) ± g( ) ; () f( ) g( ) ( A + α)( B + β) A B + ( Aβ + Bα + αβ), 由定理 畅 8 以及定理 畅 9 的推论 和推论, 可知 ( Aβ + Bα + αβ) 是无穷小, 从而 (3) 该证明留给读者自己思考. f( ) g( ) AB f( ) g( ) ; 定理 畅 中的 () () 可推广到有限个函数的情形. 例如, 如果 f( ), g( ), h( ) 都存在, 则有 f( ) + g( ) - h( ) f( ) + g( ) - h( ) ; f( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ). 下面给出定理 畅 中 () 的两个推论. 推论 如果 f( ) 存在, 而 c 为常数, 则 cf ( ) c f( ), 即 : 求极限时, 常数因子可以提到极限符号外面, 这是因为 c c. 科学出版社职教技术出版中心

30 0 高等数学 推论 如果 f( ) 存在, 而 n 是正整数, 则 f( ) n f( ) n. 注意定理 畅 及其推论给求极限带来很大方便. 但应注意, 运用该定理的前提是 被运算的各个变量的极限必须存在, 并且, 在除法运算中, 还要求分母的极限不为零. 定理 畅 如果 φ( ) ψ( ), 而 φ( ) a, ψ( ) b, 那么 a b. 证明 : 令 f( ) φ( ) - ψ( ), 则 f( ) 0. f( ) φ( ) - ψ( ) φ( ) - ψ( ) a - b. 根据定理 畅 6 推论可知, f( ) 0, 即 a - b 0, 故 a b. 例 畅 5 求 ( ). 解 : - ( ) 例 畅 6 求 ( ) 解 : ( 3 + ) ( ) 从以上两例可以得出 : () 设 f( ) a0 n + a n an, 则有 () 设有理分式函数 f( ) a0 ( 0 ) n 0 其中 P( ),Q( ) 都是多项式, 于是 如果 Q( 0 ) 0, 则 + a ( 0 ) n an a0 n 0 + a n an f( 0 ) ; F( ) P( ) P( 0 ), 0 P( ) Q( ), P( ) F( ) 0 0 Q( ) 0 P( ) Q( ) 0 0 Q( ) Q( 0 ) ; P( 0 ) Q( 0 ) F( 0 ). 但必须注意 : 若 Q( 0 ) 0, 则商的极限的运算法则不能应用, 此类问题应具体分析, 下面的例 畅 7 和例 畅 8 就属于这种情形. - 例 畅 7 求 - 4. 解 : 当 时, 分子和分母的极限都是零. 于是分子 分母不能分别取极限. 此时分 子和分母有公因子 -, 而 时,, - 0, 我们可先约去这个不为零的公因 子. 于是

31 第 章函数与极限 例 畅 8 求 ( + ) 4. 解 : 因为分母的极限 ( + 3-4) , 不能应用商的极限的运算法 则. 但因为 例 畅 9 求 , 根据定理 畅 0, 可得 解 : 当 时, 分子和分母的极限都是无穷大. 此时, 用分子 分母中自变量的最高 次幂同除分子和分母, 以分出无穷小, 然后再取极限. 对本例, 先用 4 去除分子和分母, 分 出无穷小, 再求极限 例 畅 0 求 解 : 先用 4 除分母和分子, 然后求极限 例 畅 求 解 : 应用例 畅 0 的结果, 根据定理 畅 0, 得 由例 畅 9 ~ 例 畅 可以得出下列结果 : 当 a0 0,b0 0,m 和 n 为非负整数时, 有 a0 m + a m- + + am b0 n + b n- + + bn a0 b0, 当 n m ; 0, 当 n > m ;, 当 n < m. 在有些情形下, 需要对给定的函数作适当变形, 然后再求极限, 下面的例 畅 和 例 畅 3 就属于这种情形. 科学出版社职教技术出版中心

32 高等数学 例 畅 求 解 : 时, 和的极限均不存在, 但不能认为它们的差的极限也不存在. - - 先对函数通分, 得 ( + ) - - 例 畅 3 求 + ( + - ) 解 : + 时, + 与 的极限均不存在, 不能认为它们的差的极限也不存在. 先对函数进行分子有理化, 得 + ( + - ) + + ( + ) 定理 畅 3( 复合函数的极限运算法则 ) 设函数 y f[ g( )] 由函数 y f( u) 与函数 u g( ) 复合而成,f[ g( )] 在点 0 A, 且存在 δ0 证明略. 礋 > 0, 当 U( 0,δ0 ) 时, 有 g( ) u0, 则 在定理 畅 3 中, 把 0 g( ) u0 A, 换成 u f( u) A, 可得类似的定理. 的某去心邻域内有定义, 若 0 g( ) u0, u u0 f( u) f[ g( )] u u0 f( u) 0 A 换成 0 g( ) 或 g( ), 而把 u u0 f ( u) 定理 畅 3 表示, 如果函数 f ( u) 和 g( ) 满足该定理的条件, 那么作代换 u g( ) 可 把求 0 f[ g( )] 化为求 u u0 f( u), 这里 u0 0 g( ). 故 例 畅 4 求 ln - ( - ). 解 : 令 y f( u) ln u,u g( ) ln - ( - ). 则 - g( ) ( - ) + u0, - ( - ) f g( ) f( u) u u u f( u) u ln u ln 0. 0 畅 6 畅 夹逼准则第一重要极限 畅 6 极限存在准则两个重要极限 准则 Ⅰ 如果数列 n yn 及 zn 满足下列条件 :

33 第 章函数与极限 3 () yn n zn ( n,,3, ) ; () yn a, zn a. n n 那么数列 n 的极限存在, 且 n n a. 证明 : 因 yn a,zn a, 所以橙 ε> 0, 愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 yn - a < ε; 又愁 N > 0, 当 n > N 时, 有 zn - a < ε. 取 N ma N,N, 则当 n > N 时, 有 同时成立, 即 同时成立. 从而当 n > N 时, 有 即 成立. 这就证明了 n n a. 则 yn - a < ε, zn - a < ε a - ε < yn < a + ε, a - ε < zn < a + ε a - ε < yn n zn < a + ε, n - a < ε 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限 : 准则 Ⅰ 如果 礋 () 当 U( 0,r)( 或 > X) 时, 有 () 0 ( ) 那么 0 ( ) g( ) A, 0 ( ) f( ) 存在, 且等于 A. g( ) f( ) h( ) ; h( ) A. 准则 Ⅰ 和准则 Ⅰ 称为夹逼准则. 注意利用夹逼准则求极限, 关键是构造出 yn 与 z n, 并且 yn 与 z n 的极限容易求出. 例 畅 5 求 n n + + n n + n. 解 : 设 n yn 又因为 又令 yn n n n + + n n + n. n + n + n + n + + n + n,zn n + + n n + n n + n n + n yn < n < zn,, zn n n 科学出版社职教技术出版中心 n n + n + n, 所以, 由夹逼准则得 n n n n + + n n + n.

34 4 高等数学 第一重要极限 证明 : 函数 sin sin 对于一切 0 都有定义. 作单位圆 ( 图 唱 3), 设圆心角 A OB 0 < < π, 点 即 图 唱 3 不等号各边同除以 sin, 得 或 A 处的切线与 OB 的延长线相交于 D, 又 BC O A, 则 因为 所以 由于当 用 - 代替时,cos 与 也是成立的. 即 又因为 下面证 cos. 当 0 < < π 由准则 Ⅰ 有 所以 sin CB, AB,tan AD. A OB 的面积 < 圆扇形 A OB 的面积 < A OD 的面积, sin < < tan. < sin < < tan, sin < cos cos < sin <. ( 畅 ) sin 都不变号, 所以上式对于开区间 时,0 < cos - - cos sin < 0 < - cos <. 0, ( - cos ) 0, cos. 由于 cos,, 由不等式 ( 畅 ) 及准则 Ⅰ, 即得 - π,0 内的一切,

35 第 章函数与极限 5 tan 例 畅 6 求. tan 解 : sin 例 畅 7 求 - cos. 解 : - cos cos sin arcsin 例 畅 8 求. sin sin sin. cos. 解 : 令 t arcsin, 则 sin t, 当 时,t 0. 于是有 sin3 例 畅 9 求. 5 sin3 sin3 解 : 5 3 arcsin t 0 t sin t. sin sin 畅 6 畅 单调有界收敛准则第二重要极限 准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限. 准则 Ⅱ 称为数列的单调有界收敛准则. 定义 畅 9 如果数列 n 满足条件 3 n n+ 就称数列 n 是单调增加的 ; 如果数列 n 满足条件 3 n n+ 就称数列 n 是单调减少的, 单调增加和单调减少的数列统称为单调数列. 根据定理 畅, 收敛的数列一定有界. 但有界的数列不一定收敛. 准则 Ⅱ 表明, 如果数 列不仅有界, 并且是单调的, 那么该数列一定收敛. 证明略. 第二重要极限 + 先考虑 取正整数 n 且 n + 的情形. 设 n + n n e., 下面先证数列 n 单调增加并且有界. 按牛顿二项公式, 有 科学出版社职教技术出版中心 n + n n

36 6 高等数学 类似地 + + n! n + n( n - )! n( n - ) ( n - n + ) n! n + n n + +! - n + 3! - n + n! - n - n - n - n n( n - )( n - ) 3! - n + n+ + +! - n + + 3! - n + + n! - n ( n + )! - n +, n + - n - n n 3 + n + n + - n n +. 比较 n 和 n + 的展开式, 可以看到除前两项外,n 的每一项都小于 n + 的对应项, 并且 n + 还多了最后一项, 其值大于 0, 因此 所以数列 n 是单调增加数列. 因为 下面再证数列 n 有界. n < n+. + n < + +! + + n! < n- + - n n- < 3, 这说明数列 n 是有界的, 根据准则 Ⅱ, n 存在, 常用字母 e 来表示它. 即 n n + n n e. 这个数 e 是无理数, 它的值是 畅 , 指数函数 y e 以及自然对数 y ln 中的底 e 就是这个数. 可以证明, 当 取实数而趋于 + 或 - 时, 函数 + 的极限存在且都等于 e. 因此 + e. ( 畅 ) 在 ( 畅 ) 式中作代换 z, 则当 时,z 0, 于是 ( 畅 ) 式又可写成 z ( + z) z ( 畅 ) 式与 ( 畅 3) 式都称为第二重要极限. e. ( 畅 3)

37 第 章函数与极限 7 例 畅 30 求 -. 解 : e - e. 例 畅 3 求 ( - ). 解 : ( - ) 例 畅 3 求 解 : ( - ) e ( - ) e. 畅 6 畅 3 连续复利 金总额为 所以 作为第二重要极限在实际中的应用, 我们讨论连续复利问题. 设初始本金为 P( 元 ), 年利率为 r, 按复利付息, 若一年分 n 次付息, 则第 t 年末的资 利用二项展开式 ( + ) n + n + P + St P + r n r n + r n nt nt ( 元 ). n( n - ) + + n, 有 n > + r. > P( + r) t ( t > 0). 这就是说, 一年计算 n 次复利的资金总额比一年计算一次复利的资金总额要大, 且复利计 算次数越频繁, 计算所得的资金总额就越大. 但也不会无限增大. 因为 n P + r n nt P n + r n n r rt Pe rt ( 元 ), 所以, 本金为 P, 按名义年利率 r 不断计算复利, 则 t 年末的资金总额为 S Pe rt ( 元 ). 上述极限称为连续复利公式. 式中的 t 可视为连续变量. 该公式仅是一个理论公式, 在实 际应用中并不使用它, 仅作为存期较长情况下的一种近似估计. 此外, 该公式在其他许多 问题中也常有应用, 如细胞分裂, 树木增长问题. 例 畅 33 一投资者欲用 000 元投资 5 年, 设年利率为 4 %, 试分别按单利 复利 每 年按 4 次复利和连续复利付息方式计算, 到第 5 年末, 该投资者应得的资金总额 S. 解 : 按单利计算 : 按复利计算 : S 畅 ( 元 ) ; 科学出版社职教技术出版中心

38 8 高等数学 按每年计算 4 次复利计算 : 按连续复利计算 : S 000 ( + 0 畅 04) 5 6 畅 65 ( 元 ) ; S 畅 04 4 S 000 e 0 畅 e 0 畅 0 畅 9 ( 元 ) ; 畅 7 无穷小的比较 畅 40 ( 元 ). 根据无穷小的性质, 两个无穷小的和 差 积仍是无穷小. 但两个无穷小的商, 却会出 现不同的情况, 例如, 当 时,,,sin 都是无穷小, 而 0, sin, 从中可看出不同的无穷小趋于零的 快慢 程度. 就以上例子而言, 在 的过程中, 0 比 快些, 比 0 慢些,sin 与 快慢同步. 由此可见, 无穷 小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同. 定义 畅 0 设 α,β 是同一自变量变化过程中的无穷小, 且 α 0. 如果 β α 0, 就说 β 是比 α 高阶的无穷小, 记作 β o(α) ; 如果 β α, 就说 β 是比 α 低阶的无穷小 ; 如果 β α c 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小 ; 如果 β α k c 0,k > 0, 就说 β 是关于 α 的 k 阶无穷小 ; 如果 β α, 就说 β 与 α 是等价无穷小, 记作 α ~ β. 显然, 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形, 即 c 的情形. 例如, 因为 0, 所以当 时, 是比 高阶的无穷小, 即 o( ) ( ) ; 因为 n n, 所以当 n 时, n 是比低阶的无穷小 ; n n tan3 因为 3, 所以当 时,tan3 与 是同阶无穷小 ; 因为 - cos, 所以当 时, - cos 是关于 的二阶无穷小 ; sin 因为, 所以当 时,sin 与 是等价无穷小, 即 sin ~ ( ).

39 第 章函数与极限 9 定理 畅 4 β 与 α 是等价无穷小的充分必要条件是 β α + o(α). 证明 : 必要性设 α ~ β, 则 β α, 即 因此 充分性设 β α + o(α), 则 因此 α ~ β. β α β α - β - α α 0, β - α o(α), 即 β α + o(α). α + o(α) α 定理 畅 5 设 α ~ α,β ~ β, 且 β 存在, 则 α 证明 : β α β β β α α α β α + o(α) α β α. β β β α α α, β α. 定理 畅 5 表明, 在求两个无穷小之比的极限时, 分子和分母都可以用相应的等价无 穷小替换. 如果无穷小的替换运用得当, 则可使计算简化. 注意当 时, 有以下常用的等价无穷小 : () sin ~ ; () tan ~ ; (3) arcsin ~ ; (4) arctan ~ ; (5) ln( + ) ~ ; (6) e - ~ ; (7) - cos ~ ; (8) ( + ) n - ~ n. 例 畅 34 求 tan sin5. 解 : 当 时,tan ~,sin5 ~ 5, 所以 例 畅 35 求 sin tan sin 解 : 当 时,sin ~, ~ 3 + 3, 所以 sin (e - )(cos - ) 例 畅 36 求. ( + 3 ) 科学出版社职教技术出版中心 解 : 当 时,e - ~,cos - ~ -,( + 3 ) 3 - ~ 3 3, 所以

40 30 高等数学 (e - - )(cos - ) ( ) - tan - sin 例 畅 37 求. sin 3 错解 : 当 时,tan ~,sin ~,sin 3 ~ 3 tan - sin sin 3 tan - sin tan ( - cos ) 解 : sin 3 sin 3-3 3, 所以 又因为当 时,tan ~, - cos ~,sin3 ~ 3, 所以 tan - sin sin 3 tan ( - cos ) sin 例 畅 37 说明 : 利用等价无穷小求两个无穷小之比的极限时, 必须将无穷小的和差化 为无穷小之积后, 才可用相应的等价无穷小替换来求极限. 畅 8 畅 函数的连续性 畅 8 函数的连续性 连续函数不仅是微积分的研究对象, 而且微积分中的主要概念 定理 公式 法则等, 往往都要求函数具有连续性. 下面我们先引入增量的概念, 然后来描述连续性, 并引出函数连续性的定义. 设变量 u 从它的一个初值 u 变到终值 u, 终值与初值的差 u - u 就叫做变量 u 的 增量, 记作 Δ u, 即 Δ u u - u. 增量 Δ u 可以是正的, 也可以是负的. 当 Δ u 为正时, 变量 u 从 u 变到 u u + Δ u 时 是增大的 ; 当 Δ u 为负时, 变量 u 是减小的. 注意记号 Δ u 不表示某个量 Δ 与变量 u 的乘积, 而是一个整体不可分割的记号. 观察下列两个函数在 0 处及其附近的图像. () y f( ) +, R( 图 唱 4) ; () y f( ), ; +, >. ( 图 唱 5). 当自变量 在 0 处取得增量 Δ 时, 相应地函数取得增量 Δ y f ( 0 + Δ ) - f( 0 ). 观察图 唱 4 和图 唱 5, 显然图 唱 4 中的函数在 0 处是连续的, 而图 唱 5 中 的函数在 0 处是不连续的. () 对于函数 f( ) +, R, 当 Δ 时, 相应地有 Δ y 也趋于零, 而此时函数 在 0 处连续 ;

41 第 章函数与极限 3 () 对于函数 f( ) 数在 0 处不连续. 图 唱 4 图 唱 5 由此可以得到函数在某一点连续的定义 : 定义 畅 设函数 f( ) 在点 0 Δ y Δ Δ 那么就称函数 y f( ) 在点 0 连续. 即 设 0 + Δ, 则 Δ 就是 0. 又由于, ; 当 Δ 对, 相应地 Δ y 并不趋于零, 而此时函 +, >, 的某一邻域内有定义, 如果 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 0 ( 畅 4) Δ y f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f( ) - f( 0 ), f( ) f( 0 ) + Δ y. 可见 Δ y 0 就是 f( ) f( 0 ), 因此 ( 畅 4) 式与 f( ) f( 0 ) 0 等价. 所以, 函数 y f( ) 在点 0 连续的定义又可叙述如下 : 定义 畅 设函数 y f( ) 在点 0 那么就称函数 f( ) 在点 0 连续. 例 畅 38 证明函数 f( ) 证明 : 因为 f(0) 0, 所以, 函数 f( ) 在 0 处连续. 的某一邻域内有定义, 如果 f( ) f( 0 ), ( 畅 5) 0 sin, 0 ; 在 0 处连续. 0, 0, f( ) sin 0, f( ) f(0). 科学出版社职教技术出版中心

42 3 高等数学 定义 畅 3 如果 - 0 就称函数 f( ) 在点 0 f( ) f( - 0 ) 存在且等于 f( 0 ), 即 左连续 ; 如果 + 0 那么就称函数 f( ) 在点 0 右连续. f( - 0 ) f( 0 ), f( ) f( + 0 ) 存在且等于 f( 0 ), 即 f( + 0 ) f( 0 ), 定理 畅 6 函数 f( ) 在点 0 连续的充分必要条件是函数 f( ) 在点 0 处既是左连 续又是右连续. 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间 上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右 连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 畅 8 畅 函数的间断点 定义 畅 4 如果函数 f( ) 在点 0 处不连续, 则称函数 f( ) 在点 0 处间断, 点 0 称为 f( ) 的不连续点或间断点. 定义 畅 5 设函数 f( ) 在点 0 的某去心邻域内有定义, 如果函数 f( ) 有下列三种 情形之一 : () 在 0 没有定义 ; () 虽在 0 有定义, 但 0 f( ) 不存在 ; (3) 虽在 0 有定义, 且 0 f( ) 存在, 但 0 f( ) f( 0 ). 则称函数 f( ) 在点 0 间断, 而点 0 称为函数 f( ) 的不连续点或间断点. 函数的间断点常分为下面两类 ( 设点 0 为 f( ) 的间断点 ) : 第一类间断点 : 左极限 f( - 0 ) 和右极限 f( + 0 ) 都存在, 则称 0 为 f( ) 的第一类间断 点. 第一类间断点又分为 : 点 0 () 当 f( - 0 ) f( + 0 ) 时,0 称为 f( ) 的第一类间断点中的跳跃间断点 ; () 当 f( - 0 ) f( + 0 ) 0 f( ), 但 0 f( ) f( 0 ) 或 f( ) 在点 0 处无定义时, 称 为 f( ) 的第一类间断点中的可去间断点. 此时, 可重新定义 ( 或补充定义 ) f( 0 ) f( ), 则 f( ) 在 0 处连续. 0 第二类间断点 : 左极限 f( - 0 ) 和右极限 f( + 0 ) 至少有一个不存在, 则称 0 为 f( ) 的 第二类间断点. 常见的第二类间断点有 : () 当 f( - 0 ) 与 f( + 0 ) 中至少有一个趋于无穷大, 则称 0 为 f( ) 的第二类间断点 中的无穷间断点 ; 断点. () 当 0 时, 如果 f( ) 无限振荡, 则称 0 为 f( ) 的第二类间断点中的振荡间

43 第 章函数与极限 33 因为 故 例 畅 39 讨论函数 f( ) 解 : - + f( ) - ( - ) -, f( ) ( + ), + - f( ) f( ), + f( ) 不存在, -, < 0 ; 0, 0 ; 在 0 处的连续性. +, > 0, 所以 f( ) 在 0 处为不连续, 且 0 是 f( ) 的第一类间断点中的跳跃间断点 ( 图 唱 6). - 例 畅 40 讨论函数 y 在点 - 处的连续性. 解 : 函数在 处无定义, 所以该函数 在 处为不连续的. 由于 - - ( + ), 图 唱 6 所以 为函数第一类间断点中的可去间断点 ( 图 唱 7). 若补充定义 f() f( ), 则函数 在 处连续. y f( ) - -, ;,, 科学出版社职教技术出版中心 图 唱 7 图 唱 8

44 34 高等数学 例 畅 4 讨论函数 y f( ) 解 : f(), f( ) ( - ) 0, 所以 -, ; 在 处的连续性.,, f( ) f() 因此, 函数在点 处为不连续的, 且 是 f ( ) 的第一类间断点中的可去间断点 ( 图 唱 8). 若重新定义 f() f( ) 0, 则函数 在 处连续. y f( ) -, ; 0,, 例 畅 4 讨论函数 y f( ) tan 在 π 处的连续性. 解 : 函数 y tan 在 π 处无定义, 所以该函数在 π 处为不连续的. 因为 π - π + f( ) tan +, π - f( ) tan -, π + 所以 π 为函数的第二类间断点中的无穷间断点 ( 图 唱 9). 图 唱 9 例 畅 43 讨论函数 y f( ) sin 在 0 处的连续性. 解 : 函数 y sin 在点 0 处没有定义, 所以该函数在 0 处为不连续的. 因为当 时, 函数值在 - 和 之间变动无限多次, 所以 0 为函数第二类间断点中的振荡 间断点 ( 图 唱 0).

45 第 章函数与极限 35 图 唱 0 畅 9 连续函数的运算与初等函数的连续性 畅 9 畅 连续函数的和 差 积 商的连续性 定理 畅 7 设函数 f( ) 和 g( ) 在点 0 f g ( 当 g( 0 ) 0 时 ) 都在点 0 连续. 从而 连续, 则它们的和 ( 差 ) f ± g, 积 f g 及商 证明 : 只证 f( ) ± g( ) 在点 0 处连续. 其他情形可类似地证明. 因为 f( ) 和 g( ) 在点 0 连续, 所以 f( ) 0 f( 0 ), 0 g( ) g( 0 ), 0 f( ) ± g( ) 0 f( ) ± 0 g( ) f( 0 ) ± g( 0 ), 因此 f( ) ± g( ) 在点 0 连续. 例 畅 44 sin,cos 在 ( -,+ ) 内连续, 所以 tan sin cos,cot 在其定义 cos sin 域内连续. 畅 9 畅 反函数的连续性 定理 畅 8 如果函数 y f( ) 在区间 I 上单调增加 ( 或单调减少 ) 且连续, 那么它的 反函数 f - ( y) 也在对应的区间 Iy y y f( ), I 上单调增加 ( 或单调减少 ) 且连续. 证明略. 科学出版社职教技术出版中心 例 畅 45 y sin 在闭区间 - π,π 上单调增加且连续, 所以它的反函数 y arcsin 在闭区间 -, 上也是单调增加且连续的.

46 36 高等数学 类似可证,y arccos 在闭区间 -, 上单调减少且连续 ;y arctan 在区间 ( -,+ ) 内单调增加且连续 ;y arccot 在区间 ( -,+ ) 内单调减少且连续. 总之, 反三角函数 arcsin,arccos,arctan,arccot 在其定义域内都是连续的. y a,0 < a < ( 或 a > ) 在区间 ( -,+ ) 内单调减少 ( 或增加 ), 所以它的反函数 y loga,0 < a < ( 或 a > ) 在区间 (0,+ ) 内也是单调减少 ( 或增加 ) 的. 畅 9 畅 3 复合函数的连续性 定理 畅 9 设函数 y f g( ) 由函数 y f ( u) 与函数 u g( ) 复合而成, f g( ) 在 0 的某去心邻域内有定义. 若 0 g( ) u0, 而函数 y f ( u) 在 u u0 连 续, 则 证明略. 因为在定理 畅 9 中有 故 ( 畅 6) 式可写成 0 f g( ) u u0 f( u) f( u0 ). ( 畅 6) 0 g( ) u0, u u0 f( u) f( u0 ), f g( ) f 0 g( ) ( 畅 7) 0 注意 ( 畅 6) 式表示, 在定理 畅 9 的条件下, 如果作代换 u g( ), 则求 0 f g( ) 就化为求 u u0 f( u), 这里 u0 0 g( ) ; ( 畅 7) 式表示, 在定理 畅 9 的条件下, 求复合函数 f g( ) 的极限时, 函数符号 f 与 极限号 0 可以交换次序. 把定理 畅 9 中的 0 换成, 可得类似结论. ln( + ) 例 畅 46 求. ln( + ) 解 : ln( + ) e - 例 畅 47 求. ln ( + ) lne. 解 : 令 e - t, 则 ln( + t), 时 t 0, 于是 e - t t 0 ln( + t) t 0 t 0 t 0 ln( + t) t 例 畅 48 求 cos( + - ). ln( + t) t ln t 0 ( + t) t lne. 解 : cos( + - ) cos ( + - )( + + ) + +

47 第 章函数与极限 37 cos cos0. 若在定理 畅 9 的条件下, 假定 g( ) 在 0 则可得到下列结论 : + + 处连续. 即 g( ) g( 0 ) 0 cos + + 定理 畅 0 设函数 y f [ g( )] 是由函数 y f ( u) 与函数 u g( ) 复合而成, f[ g( )] 在 0 的某去心邻域内有定义. 若函数 u g( ) 在 0 连续, 且 g( 0 ) u0, 而 函数 y f( u) 在 u u0 连续, 则复合函数 y f[ g( )] 在 0 也连续. 例 畅 49 讨论函数 y sin 的连续性. 解 : 函数 y sin 是由 y sin u 及 u 复合而成的.sin u 当 u ( -,+ ) 时连 续, 当 ( -,0) (0,+ ) 时连续, 根据定理 畅 0, 函数 sin 在 ( -,0) (0, + ) 内连续. 畅 9 畅 4 初等函数的连续性 幂函数 y μ ( μ 是常数 ) 指数函数 y a ( a > 0, 且 a ) 对数函数 y loga ( a > 0 且 a ) 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. 综合起来得到 : 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及定理 畅 7 和定理 畅 0 可得下 列重要结论 : 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是指包含在定 义域内的区间. 上述关于初等函数连续性的结论提供了求初等函数极限的一个方法, 这就是, 求初等 函数在其定义区间内某点处的极限, 只需求初等函数在该点处的函数值. 即 如果 例 畅 50 求 f( ) f( 0 ). 0 解 : 因为 是初等函数, 且 0 0 是其定义区间内的点, 所以 例 畅 5 求 lnsin. π f(5) 5. 解 : 因为 lnsin 是初等函数, 且 0 π 是其定义区间内的点, 所以 lnsin π f π lnsin π ln 0. 一般地, 对于形如 u( ) v( ) ( u( ) > 0,u( ) 厨 ) 的函数 ( 通常称为幂指函数 ), 科学出版社职教技术出版中心

48 38 高等数学 那么 u( ) a > 0, v( ) b, u( ) v( ) a b. 这里三个 都表示在同一自变量变化过程中的极限. 所以 所以 例 畅 5 求 ( + e ) - 3. 解 : 由于 ( + e ) 0 + e 0, - 3-3, 例 畅 53 求 ( + ) sin. 解 : 由于 ( + ) sin ( + e ) ( + ) sin, 而 ( + ) e, sin, ( + ) sin e. 畅 0 闭区间上连续函数的性质 如果函数 f( ) 在开区间 ( a,b) 内连续, 在右端点 b 左连续, 在左端点 a 右连续, 那么函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续. 闭区间上的连续函数有以下几个重要性质. 畅 0 畅 最大值和最小值定理对于在区间 I 上有定义的函数 f ( ), 如果有 0 I, 使得对于任一 I 都有 f( ) f( 0 ) ( f( ) f( 0 )) 则称 f( 0 ) 是函数 f( ) 在区间 I 上的最大值 ( 最小值 ). 例如, 函数 f ( ) + sin 在区间 [0,π] 上有最大值 和最小值 0. 函数 f ( ) sgn 在区间 ( -,+ ) 内有最大值 和最小值 -. 在开区间 ( -,0) 内,f( ) sgn 的最大值和最小值都等于 -. 但函数 f( ) + 在开区间 ( a,b) 内既无最大值又无最小值, 定理 畅 ( 有界性与最大值最小值定理 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值. 证明略. 定理 畅 表明, 如果函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 那么存在常数 M > 0, 使得对任一 [ a,b], 满足 f( ) M ; 且至少存在一点 ξ, 使 f(ξ ) 是 f ( ) 在 [ a,b] 上的最大值 ; 又至少存在一点 ξ, 使 f(ξ ) 是 f( ) 在 [ a,b] 上的最小值 ( 图 唱 ). 注意当不满足定理中的 闭区间上连续 的条件时, 定理的结论可能不成立.

49 第 章函数与极限 39 例如, 函数 f( ) 在开区间 (0,) 内是连续的, 但它在开区间 (0,) 内是无界的, 且 既无最大值又无最小值. - +, 0 < ; 又如, 函数 f( ), ; - + 3, < 在闭区间 [0,] 上有间断点, 该函数在闭区间 [0,] 上虽然有界, 但是既无最大值又 无最小值 ( 图 唱 ). 畅 0 畅 零点定理与介值定理 图 唱 图 唱 如果 0 使 f( 0 ) 0, 则 0 称为函数 f( ) 的零点. 定理 畅 ( 零点定理 ) 设函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且 f( a) 与 f( b) 异号 ( 即 f( a) f(b) < 0), 那么在开区间 ( a,b) 内至少有一点 ξ 使 证明略. f(ξ) 0. 定理 畅 表明, 如果函数 f( ) 满足定理 畅 的条件, 那么方程 f( ) 0 在开区间 ( a,b) 内至少有一个根. 因此, 定理 畅 可以用于证明方程根的存在性. 从几何上看, 定理 畅 表示 : 如果连续曲线孤 y f( ) 的两个端点位于 轴的不同 侧, 那么这段曲线弧与 轴至少有一个交点 ξ( 图 唱 3). 定理 畅 3( 介值定理 ) 设函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且在这区间的端点取不 同的函数值 f( a) A 及 f(b) B, 那么, 对于 A 与 B 之间的任意一个数 C, 在开区间 ( a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(ξ) C ( a < ξ < b). 证明 : 设 φ( ) f( ) - C, 则 φ( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且 φ( a) A - C 与 φ(b) B - C 异号. 根据零点定理, 至少有一点 ξ ( a,b), 使 又因 φ(ξ) f(ξ) - C, 所以 φ(ξ) 0 ( a < ξ < b). 科学出版社职教技术出版中心

50 40 高等数学 f(ξ) C ( a < ξ < b). 从几何上看, 定理 畅 3 表示连续曲线弧 y f( ) 与水平直线 y C 至少相交于一点 ( 图 唱 4). 图 唱 3 图 唱 4 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值. 设 m f( ),M f( ), 而 m M, 在闭区间 [, ]( 或 [, ]) 上应用介值定理, 即得上述推论. 例 畅 54 证明方程 在开区间 (0,) 内至少有一个根. 证明 : 令函数 f( ) 4-3 +, 因为 f ( ) 是初等函数, 所以函数 f ( ) 在闭区间 [0,] 上连续, 且 f(0) > 0, f() - < 0, 根据零点定理, 在 (0,) 内至少有一点 ξ, 使得 f(ξ) 0. 即 ξ 4-3ξ + 0 (0 < ξ < ). 从而证明了方程 在开区间 (0,) 内至少有一个根 ξ. 例 畅 55 证明方程 asin + b( 其中 a > 0,b > 0) 至少有一个不超过 a + b 的正根. 证明 : 令函数 f( ) - ( asin + b) - asin - b, 因为 f ( ) 是初等函数, 所以函数 f( ) 在闭区间 [0,a + b] 上连续, 且 f(0) - b < 0, f( a + b) a[ - sin( a + b)] 0. 若 f( a + b) 0, 则 a + b 即为所求正根 ; 若 f( a + b) > 0, 又因为 f (0) - b < 0, 由零点定理, 在 (0,a + b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(ξ) 0, 即 ξ - asinξ - b 0(0 < ξ < a + b). 综上所述, 方程 asin + b 至少有一个不超过 a + b 的正根. 习题一 畅求下列函数的自然定义域. () y + 3 ; () y - - ;

51 第 章函数与极限 4 (3) y ln( ) ; (4) y arctan. 畅下列各题中, 函数 f( ) 和 g( ) 是否相同? 为什么? () f( ) lg,g( ) lg ; () f( ),g( ) ; (3) f( ) 3 4-3, g( ) 畅求下列函数的反函数. () y 3-5 ; () y - + ; (3) y + ; (4) y sin3 - π 6 π 6 (5) y ln( + 4) + ; (6) y 畅设 求 f[ g( )] 和 g[ f( )]. f( ), < ; 0, ; -, >, 5 畅证明函数 f( ) 当 时极限为零. 6 畅计算下列极限. () ; g( ) e, - 3 () 3 + ; (3) ; (4) - ; 3 + (5) h 0 ( + h) - h (7) (9) () + 3 (3) sin ; ; (6) ; ; (8) ; ; (0) ( - ) ; ; () ( - ) ( ) ; ( n - ) (5) n ; (6) n n + (4) 3 + cos ; n ; ( n + )( n + )( n + 3) ( n + ) 3 + ( n + 3) 3 (7) n 3 ; (8) 5 n n ( n - )( n - )(3 n - ) ; (9) ; (0) ; 科学出版社职教技术出版中心

52 4 高等数学 - + k 7 畅若 3 4, 求 k 的值 畅计算下列极限. sin tan3 () ; () ; (3) sin sin5 ; sin (5) π π - ; 9 畅计算下列极限. () ( - ) (3) + + (4) n sin n ( 0) ; n (6) ; () ; (4) (5) ( + cos ) sec ; (6) π 0 畅利用极限存在准则证明 : 畅计算下列极限. sin + sin ; k ( k 为正整数 ) ; -. n n n + π + n + π + + n + nπ. arctan3 ln( + ) () ; () 5 arcsin3 ; (3) e sin - ; (4) (sin 3 )tan - cos ; tan - sin (5) ; (6) sin 3 sin - tan sin -. 畅指出下列函数的间断点, 并说明其类型. 如果是可去间断点, 则请补充或改变函 数的定义使它连续. () y ; () y -, ; 3 -, > ; (3) y ; (4) y cos ; (5) y 0, < ; +, < ; +, ; (6) y sin 畅求函数 f( ) 3 的连续区间, 并求极限 f( ), f( ) 及 - 3 f( ). 4 畅设 f( ) sin, > 0 ; 要使 f( ) 在 ( -,+ ) 内连续, 应当怎样选择 a? a +, 0,

53 第 章函数与极限 43 5 畅计算下列极限 () ; () ln cos ; π (3) ; (4) - ln sin ; (5) + 3tan co t ; (6) 畅证明方程 5-3 至少有一根介于 与 之间. -. 科学出版社职教技术出版中心

54 第 章导数与微分 微分学是微积分学的重要组成部分. 由于在实际问题中, 经常遇到诸如物体运动速度 作物生长率等问题, 这些问题反映到数学上就是求函数的变化率, 也就是求导数. 本章将由实例引入导数的定义, 进而讨论导数与微分的计算方法和相互关系, 最后介绍微分的应用. 畅 畅 引例 畅切线问题 畅 导数概念 在中学我们曾经学过圆的切线的定义, 但这个定义显然不能延伸到一般曲线, 下面我 们通过极限的思想给出一般曲线的切线的定义. 图 唱 如图 唱 所示, 设 M0 ( 0,y0 ) 是曲线 y f ( ) 上 选定的任一点, 在曲线上任取一点 M (,y),m M0. 过点 M0 斜率为 及 M 的直线称为曲线的割线. 割线 M0 M 的 km M 0 y - y0-0 f( ) - f( 0 ) - 0 令点 M 沿曲线趋向 M0 ( 这时 0 ), 如果极限 存在, 设为 k, 则 f( ) - f( 0 ) k 0, - 0 f( ) - f( 0 ) 0-0. ( 畅 ) 此时, 把过点 M0 而以 k 为斜率的直线称为曲线在点 M0 处的切线. 由于 k 是割线斜率的 极限, 所以通常也说, 当点 M 沿曲线趋向 M0 时, 割线绕点 M0 转动而以切线为极限位置. 畅生长率问题 生长是生命现象固有的体征. 描述生长过程 揭示生长规律是生命科学理论研究的重 要内容. 生长率是描述生物生长的常用指标, 通常被定义为单位时间内某一生长指标 W ( 如树高 胸径 材积等 ) 的变化量, 用公式表示为 GR W( t) - W( t0 ) t - t0. ( 畅 ) 其中 GR 代表时刻 t0 至 t 之间的平均生长率. 一般地, 当时间间隔很小时, 由于作物在该

55 第 章导数与微分 45 时间间隔内的生长量变化很小, 因此可把 ( 畅 ) 式近似作为作物在 t0 时刻的生长率. 容易 知道, 时间间隔越小, 这个近似的精确程度也就越高. 当 t t0 在的话 ) 就定义为作物在 t0 时刻的瞬时生长率, 即 时 ( 畅 ) 式的极限 ( 如果存 W( t) - W( t0 ) IG R t t0 GR t t0. ( 畅 3) t - t0 上面两个例子虽然研究的对象不同 ( 一个是几何问题, 一个是林业上的问题 ), 但从数 学形式上看, 却是完全相同的, 都是要计算函数的改变量与自变量的改变量之比的极限. 在自然科学和实际问题中还有很多其他的量可以归结为上述形式的极限. 我们撇开这些 量的具体意义, 将它们在数量关系上的共性加以概括, 就有下面函数导数的定义. 畅 畅 导数的定义 定义 畅 设函数 y f( ) 是定义于区间 I 上的实函数,0 I, 当自变量 在 0 处 取得增量 Δ 时 ( 0 + Δ I), 因变量 y 相应地取得增量 Δ y f( 0 + Δ ) - f( 0 ). 如果 当 Δ 时 Δ y 与 Δ 之比的极限存在, 则称函数 y f( ) 在点 0 为函数 y f( ) 在点 0 处的导数, 记为 y 0, 即 y 0 Δ Δ y Δ Δ 也可记作 f ( 0 ), d y d f( ) 或. d 0 d 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ 处可导, 并称这个极限, ( 畅 4) 函数 f( ) 在点 0 处可导有时也说成函数 f( ) 在点 0 处具有导数或导数存在. Δ y Δ 称为函数 f ( ) 的平均变化率.f ( 0 ) 称为函数在点 0 的瞬时变化率. 导数的定义式 ( 畅 4) 可取不同的形式, 常见 f( ) - f( 0 ) f ( 0 ) 0 ; - 0 f( 0 + h) - f( 0 ) f ( 0 ) h 0. ( 畅 5) h 导数是概括了各种各样的变化率概念而得出来的一个更一般性也更抽象的概念, 它 撇开了自变量和因变量所代表的各种具体意义, 纯粹从数量方面来刻画变化率的本质, 它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. 科学出版社职教技术出版中心 Δ y 如果当 Δ 时, 因变量增量与自变量增量之比的极限不存在, 就说函数 y Δ Δ y f( ) 在点 0 处不可导. 如果不可导的原因是由于当 Δ 时, 比值 Δ, 在这种情况, 为了方便起见, 也往往说函数 y f( ) 在点 0 处的导数为无穷大, 并记作 f ( 0 ). 当函数 y f ( ) 在开区间 I 内的每点处都可导, 就称函数 y f ( ) 在 I 内可导. 这 时, 对于区间 I 内的每一个确定的 值, 都对应着 f( ) 的一个确定的导数值, 这样就构成 了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数 y f ( ) 的导函数, 记作 y, f ( ), d y 或 d

56 46 高等数学 d f( ). 即导函数的定义式为 d f( + Δ ) - f( ) y ( 或 f ( )) Δ. ( 畅 6) Δ 在不致发生混淆的情况下, 导函数 f ( ) 也简称为导数. 显然 f( ) 在点 0 f ( 0 ) 就是导函数 f ( ) 在点 0 处的函数值, 即 畅 畅 3 利用定义求导数 导数. f ( 0 ) f ( ) 0. 处的导数 导数的定义提供了求函数导数的方法, 下面根据导数定义求一些基本初等函数的 例 畅 求常数函数 f( ) C( C 为常数 ) 的导数. f( + Δ ) - f( ) C - C 解 : f ( ) Δ Δ Δ Δ 0, 所以 即常数的导数等于零. 即 ( C) 0. 例 畅 求幂函数 f( ) n ( n 为正整数 ) 的导数. 解 : 根据导数定义, 利用牛顿二项展开式, 可得 f ( ) Δ f( + Δ ) - f( ) Δ C n n- Δ + C n n- (Δ ) Δ Δ n n-, 后面将会证明, 对任意的实数 μ, 有公式 ( n ) n n-. ( μ ) μ μ- ( + Δ ) n - n Δ Δ + + ( Δ ) n 由幂函数的求导公式, 可以很方便地求出各种幂函数的导数, 例如,y 即 同样,y 的导数为 y ( ) - - ( )., 的导数为 即 y - ( ) ,

57 第 章导数与微分 47 即 -. 例 畅 3 求指数函数 f( ) a ( a > 0,a ) 的导数. 解 : f ( ) Δ f( + Δ ) - f( ) Δ a Δ a Δ - a Δ Δ Δ e Δ ln a a + Δ -. Δ - a Δ 由于当 Δ 时,Δ ln a 0, 此时 e Δ ln a - ~ Δ ln a( 见第 畅 7 节 ), 所以 特别地, 当 a e 时有 f ( ) a Δ Δ ln a Δ ( a ) a ln a. (e ) e, a ln a, 即以 e 为底的指数函数的导数就是它本身, 这是以 e 为底的指数函数的一个重要特征. 即 例 畅 4 求对数函数 f( ) loga ( a > 0,a ) 的导数. 解 : f ( ) Δ f( + Δ ) - f( ) Δ Δ Δ loga + Δ Δ log a e ln a. (log a ) loga( + Δ ) - loga Δ Δ Δ log a 特别地, 当 a e 时, 得到自然对数的求导公式 例 畅 5 求函数 f( ) sin 的导数. 解 : ln a. (ln ). f ( ) Δ f( + Δ ) - f( ) Δ cos Δ + Δ Δ sin Δ Δ Δ cos + sin Δ Δ Δ + Δ Δ 科学出版社职教技术出版中心 sin( + Δ ) - sin Δ

58 48 高等数学 即 类似可以得出 Δ cos + Δ Δ cos cos, (sin ) cos. (cos ) - sin. sin Δ Δ 以上按定义得到的基本初等函数的求导公式是求其他函数导数的基础, 应牢记. 应当注意, 导数定义中 Δ 时, 可以从大于零的方向趋于零, 也可以从小于零的方 向趋于零, 由此可分解出两个定义 : 左导数和右导数. 定义 畅 当 Δ - 0( 从小于零的方向趋于零 ), 若极限 Δ - 0 在, 称此极限为函数 f( ) 在点 0 处的左导数, 记为 f - ( 0 ). 当 Δ + 0( 从大于零的方向趋于零 ), 若极限 Δ + 0 限为函数 f( ) 在点 0 处的右导数, 记为 f + ( 0 ). 即 f - ( 0 ) Δ - 0 f + ( 0 ) Δ + 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ 与极限情形类似, 导数与单侧导数的关系是 : 函数 f( ) 在点 0 是左导数 f - ( 0 ) 和右导数 f + ( 0 ) 存在且相等. f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 存 Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 存在, 称此极 Δ,. 可导的充分必要条件 而函数 f( ) 在 [ a,b] 区间可导, 是指 f( ) 在开区间 ( a,b) 内处处可导, 且在左端点 a 处右导数 f + ( a) 存在, 在右端点 b 处左导数 f - ( a) 存在. 例 畅 6 证明函数 f( ) 在 0 处的导数不存在. 解 : 图 唱 畅 畅 4 导数的几何意义 f(0 + Δ ) - f(0) Δ Δ Δ Δ Δ Δ sgnδ, 当 Δ < 0 时,sgnΔ -, 故 Δ - 0 sgn Δ - ; 当 Δ > 0 时,sgnΔ, 故 Δ + 0 sgn Δ, 从而, 当 Δ 时,sgn Δ 的极限不存在, 即函数 f( ) 在 0 处不可导, 其函数图形如图 唱. 利用左 右导 数来看, 由于函数 f ( ) 在点 0 处的左导数 f - ( 0 ) -, 右导数 f + ( 0 ), 两者虽然都存在, 但不 相等, 故 f( ) 在点 0 处导数不存在. 由前面切线的定义可知, 如果函数 f ( ) 在点 0 处可导, 则表明曲线 y f ( ) 在点

59 第 章导数与微分 49 ( 0,f( 0 )) 处有不垂直于 轴的切线, 且该切线的斜率 为 f ( 0 ), 即 f ( 0 ) tanα, 其中 α 为切线的倾角 ( 图 唱 3) 根据导数的几何意义, 可知曲线 y f ( ) 的在点 M( 0,f( 0 )) 处的切线方程为 过切点 M( 0 线 y f( ) 在点 M0 的斜率为 - y - f( 0 ) f ( 0 )( - 0 ).,f ( 0 )) 且与切线垂直的直线称为曲 处的法线, 如果 f ( 0 ) 0, 则法线 f ( 0 ), 从而法线方程为 y - f( 0 ) - f ( 0 ) ( - 0 ). 注意如果 f ( 0 ) 0, 那么切线方程为 y y0, 法线方程为 0. 图 唱 3 如果 f ( 0 ), 那么切线方程为 0, 法线方程为 y y0. 例 畅 7 求曲线 y 在点 (4,) 处的切线方程和法线方程. 解 : 因为 y ( ), 所以切线的斜率为 所求切线方程为 即 法线方程为 即 k y 4 4 y - 4 ( - 4), - 4 y + 4 0, y - - 4( - 4), 4 + y 例 畅 8 曲线 y 3 上哪一点处的切线与直线 y 3 - 平行? 解 : 因为直线 y 3 - 的斜率为 3, 根据两条直线平行的条件, 所求切线的斜率也 应等于 3. 而 y 3 3 科学出版社职教技术出版中心 由导数的几何意义可知,y 表示曲线 y 3 上点 M(,y) 处的切线斜率, 因此, 问题就成为 : 当 为何值时, 导数 y 3 3, 即 解此方程得 , 将 4 代入所给曲线方程, 得 y 4 3 8, 因此曲线 y 3 在点 (4,8) 处的切线与直

60 50 高等数学 线 y 3 - 平行. 畅 畅 5 函数的可导性与连续性之间的关系 定理 畅 若函数 y f( ) 在点 处可导, 则函数在点 处一定连续. 证明 : 设函数 y f( ) 在点 处可导, 即 则由极限运算法则可得 Δ y Δ Δ Δ Δ y Δ Δ y Δ Δ Δ f ( ), Δ y Δ Δ f ( ) 0 0. Δ 由此可见, 当 Δ 时,Δ y 0. 即函数 y f( ) 在点 处连续. 另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导, 即定理的逆命题不成立. 如 例 畅 6, 此函数在 0 处不可导, 但我们从第一章知道, 这个函数是连续的. 由以上讨论可知, 函数连续是函数可导的必要条件, 但不是充分条件. 畅 函数的求导法则 前面我们根据导数的定义, 求出了一些基本初等函数的导数, 但是, 对于比较复杂的 函数, 用定义去求它们的导数往往很困难, 甚至是不可能的. 在这一节和下一节中, 我们将 给出一些求导数的基本法则, 借助这些法则, 最终能比较方便地求出初等函数的导数. 定理 畅 设函数 u u( ),v v( ) 在点 处可导, 则函数 u( ) ± v( ),u( ) v( ), u( ) v( ) ( v( ) 0) 在点 处也可导, 且满足 () [ u( ) ± v( )] u ( ) ± v ( )( 法则 ) ; () [ u( ) v( )] u ( ) v( ) + u( ) v ( )( 法则 ) ; 特别地,[ Cu( )] Cu ( )( C 为常数 ) ; (3) u( ) v( ) u ( ) v( ) - u( ) v ( ) ( v( ) 0)( 法则 3). v ( ) 法则 法则 3 的证明从略, 我们在此只证明法则. 证明 :() 计算函数 y 的改变量 : 给 以改变量 Δ, 相应地函数 u( ) 与 v( ) 各有改 变量 Δ u 与 Δ v, 从而 y 有改变量 Δ y u( + Δ ) v( + Δ ) - u( ) v( ) [ u( + Δ ) - u( )] v( + Δ ) + u( )[ v( + Δ ) - v( )] Δ uv( + Δ ) + u( ) Δ v () 计算比值 : Δ y Δ Δ u Δ v v( + Δ ) + u( ) Δ Δ ; (3) 计算极限 : 由于 u( ) 与 v( ) 均在 处可导, 所以 Δ Δ u Δ u ( ), Δ Δ v Δ v ( ),

61 第 章导数与微分 5 又因为函数 v( ) 在 点处可导, 就必在 点处连续, 因此 从而根据和与乘积的极限运算法则有 Δ Δ y Δ Δ v( + Δ ) v( ). Δ Δ u Δ v( + Δ ) + u( ) Δ Δ u ( ) v( ) + u( ) v ( ). 这就是说,y u( ) v( ) 也在 点处可导且有 [ u( ) v( )] u ( ) v( ) + u( ) v ( ). 上述法则 可以推广到有限个可导函数的情形, 例如 : Δ v Δ [ u( ) + v( ) - w( )] u ( ) + v ( ) - w ( ), 对于有限个可导函数的乘积, 其求导法则可以根据法则 推得, 例如设 u u( ),v v( ) 和 w w( ) 为三个可导函数, 则其乘积的导数为 ( uv w) ( uv) w + ( uv) w ( u v + uv ) w + uv w u v w + uv w + uv w. 例 畅 9 求 y 3 + cos 的导数. 解 : y ( 3 + cos ) ( 3 ) + (cos ) 6 - sin. 例 畅 0 求 y sin - ln3 的导数. 解 : y ( sin - ln3) ( ) - ( 例 畅 求 y ln sin 的导数. 解 : y ( ln sin ) 3 ) + (3sin ) - (ln3) + 3cos cos. ( ) ln sin + (ln ) sin + ln (sin ) ln sin + 例 畅 求 y tan 的导数. 解 : y (tan ) sin + ln cos. sin cos (sin ) cos - sin (cos ) cos cos + sin cos cos sec, 科学出版社职教技术出版中心

62 5 高等数学 即 这是正切函数的导数公式. 即 (tan ) sec, 用类似方法可求得余切函数的导数公式为 例 畅 3 设 y sec, 求 y. 解 : 这是正割函数的导数公式. y (sec ) sin cos (cot ) - csc. cos sec tan. (sec ) sec tan, 用类似的方法可求得余割函数的导数公式为 例 畅 4 设 f( ) 解 : f ( ) - (cos ) cos (csc ) - csc cot. sin + cos, 求 f ( ). ( sin ) ( + cos ) - sin ( + cos ) ( + cos ) (sin + cos )( + cos ) - sin ( - sin ) ( + cos ) sin ( + cos ) + cos + cos + sin ( + cos ) sin ( + cos ) + ( + cos ) ( + cos ) sin + + cos. 畅 3 畅 反函数的导数 畅 3 反函数和复合函数的求导法则 对于反三角函数的导数, 我们可通过对反函数导数的研究来解决. 定理 畅 3 设直接函数 φ( y) 在某个区间上单调 可导, 且 φ ( y) 0, 则其反函数 y f( ) 在相应区间内也可导, 且 f ( ) 证明 : 让 取得增量 Δ ( Δ 0), 由 y f( ) 的单调性可知 Δ y f( + Δ ) - f( ) 0, φ ( y). ( 畅 7)

63 第 章导数与微分 53 因而有 Δ y Δ Δ Δ y 由于 y f ( ) 连续, 故当 Δ 时, 必有 Δ y 0, 由条件 φ( y) 在某区间内可导, 且 Δ φ ( y) 0, 即 Δ y 0 Δ y 0, 可得 即 Δ Δ y Δ Δ y 0 Δ Δ y f ( ), Δ y 0 Δ Δ y φ ( y). φ ( y), 上述结论也可简单地说成 : 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 下面用公式 ( 畅 7) 来推导反三角函数的导数公式. 例 畅 5 求反正弦函数 y arcsin 的导数. 解 :y arcsin 是 sin y 的反函数. 因为 sin y 在区间 - π,π 内单调 可导, 且 (sin y) cos y 0, 因此, 根据公式 ( 畅 7), 在对应区间 ( -,) 内有 (arcsin ) 用类似的方法可得反余弦函数的导数公式 : (sin y) cos y - sin y. ( 畅 8) - (arccos ) - 例 畅 6 求反正切函数 y arctan 的导数. 解 :y arctan 是 tan y 的反函数, 因为 tan y 在区间 - π,π 内单调 可导, 且 (tan y) sec y 0, 因此, 由公式 ( 畅 7) 可知, 在对应区间 ( -,+ ) 内有 (arctan ). ( 畅 9) - (tan y) sec y. 但 sec y + tan y +, 从而得反正切函数的导数公式 : (arctan ) 用类似的方法, 可得反余切函数的导数公式 : (arctan ) - 科学出版社职教技术出版中心 +. ( 畅 0) +. ( 畅 ) 到此, 我们已经讨论了全部基本初等函数的导数, 现将基本初等函数的求导公式归纳

64 54 高等数学 如下 : 基本初等函数的导数公式 : () ( C) 0 ( C 为常数 ) ; () ( μ ) μ μ - ; (3) ( a ) a ln a ; (4) (loga ) (5) (e ) e ; (6) (ln ) ; ln a ; (7) (sin ) cos ; (8) (cos ) - sin ; (9) (tan ) sec ; (0) (cot ) - csc ; () (sec ) sec tan ; () (csc ) - csc cot ; (3) (arcsin ) (4) (arccos ) - (5) (arctan ) (6) (arccot ) - 畅 3 畅 复合函数的导数 则解决. - ; - ; + ; +. 对于形如 tan(3 + ),e 3,sin 定理 畅 4( 复合函数求导法则 ) 设函数 u φ( ) 在点 0 + 这样的复合函数, 其求导的方法可借助链式法 处可导, 而 y f( u) 在对应 点 u0 φ( 0 ) 可导, 那么复合函数 y f[ φ( )] 在点 0 一定可导, 且其导数为 d y d 0 f ( u0 ) φ ( 0 ). ( 畅 ) 证明 : 设自变量 在 0 处取得增量 Δ, 相应地, 函数 u φ( ) 取得增量 从而函数 y f( u) 有增量 当增量 Δ u 0 时, Δ u φ( 0 + Δ ) - φ( 0 ), Δ y f( u0 + Δ u) - f( u0 ). Δ y Δ Δ y Δ u Δ u Δ, ( 畅 3)

65 第 章导数与微分 55 因为 u φ( ) 在 0 处可导, 则它在 0 处连续, 因此当 Δ 时,Δ u 0. 于是, d y d 0 这就是复合函数的求导公式. Δ Δ u 0 Δ y Δ Δ Δ y Δ u Δ Δ y Δ u Δ u Δ Δ u Δ f ( u0 ) φ ( 0 ), 当 Δ u 0 时, 可以证明上式公式仍然成立. 此定理还可以推广到多个中间变量的情 形, 例如, 如果 y f( u) u φ( v) v ψ( ), 则复合函数 y f{ φ[ ψ( )]} 的导数为 d y 当然, 这里假设导数 d u d u d v d v 均存在. d d y d d y d u d u d v d v d. 上述复合函数的求导法则亦称为链式法则, 该法则说明, 两个可导函数复合而成的复 合函数, 其导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. d y 例 畅 7 y lnsin, 求 d. 解 : y lnsin 可看作由 y ln u(0 < u < + ),u sin 复合而成, 因此 例 畅 8 y e d y, 求 d. d y d d y d u d u d u 解 : y e 可看作由 y e u,u 复合而成, 因此 d y d d y d u d u d eu cos cot. e. 从以上例子看出, 应用复合函数求导法则, 关键在于正确分析复合函数的复合过程, 或者说, 所给函数能分解成哪些函数, 弄清内层函数和外层函数, 求导过程是从外向内求. 初学时可设出中间变量, 对复合函数的分解比较熟练后, 可以将中间变量记在心里, 不必 再明确写出. 例 畅 9 y e sin( + ) 解 : d y, 求 d. d y d (esin( + ) sin( ) e + ) (sin( + )) e sin( + ) 思考 : 求解过程能否写为 cos( + )( + ) e sin( + ) d y d (esin( + ) ) (sin( + )) ( + ) e sin( + ) 科学出版社职教技术出版中心 cos( + ). cos( + )?

66 56 高等数学 例 畅 0 y 3 d y -, 求 d. 解 : d y d ( - ) 3 3 ( - ) ( - ) ( - 4 ) ( - ). ( - ) 求解熟练后, 可将内 外层函数的导数依次求出, 最后化简即可. 例 畅 y ln( + 解 : d y + ) 求 d. y (ln( + + )) +. 例 畅 y sin n sin n ( n 为常数 ), 求 y. 解 : 首先应用积的求导法则得 例 畅 3 证明 ( μ ) μ μ y (sin n) sin n + sin n (sin n ). ncos n sin n + sin n nsin n- cos nsin n- (cos nsin + sin ncos ) nsin n- sin( n + ). 证明 : 因为 μ e μln, 由复合函数的求导公式求导 : ( μ ) (e μln ) e μln ( μln ) μ μ μ μ-. + 我们现在已经会求基本初等函数的导数, 在此基础上, 再应用函数的和 差 积 商的 求导法则以及复合函数的链式法则, 就能求得任一初等函数的导数. 畅 4 畅 高阶导数的定义 畅 4 高阶导数 如果函数 y f( ) 在区间 I 内可导, 则其导数 y f ( ) 仍是 的函数. 如果这个函 数 f ( ) 在 0 I 仍然可导, 则其导数称为函数 f ( ) 在点 0 处的二阶导数, 记作 d y y 0,f ( 0 ) 或 d 0 d f 或, 即 d 0 f ( ) - f ( 0 ) y 0 0. ( 畅 4) - 0

67 第 章导数与微分 57 若函数 f ( ) 在区间 I 内都是可导的, 则其导数称为函数 y f( ) 的二阶导函数 ( 简称二 d y 阶导数 ), 记作 y,f ( ) 或 d, 即 f ( ) [ f ( )], d y d d d d y d. ( 畅 5) d 3 y 类似地, 二阶导数 f ( ) 的导数叫做 f( ) 的三阶导数, 记作 y 碶,f 碶 ( ) 或 d ; 三阶导 3 数 f 碶 ( ) 的导数叫做 f( ) 的四阶导数, 记作 y (4) 导数, 叫做 f( ) 的 n 阶导数, 记作 y ( n) d n y,f ( n) ( ) 或 d, 即 n f ( n) ( ) [ f ( n- ) ( )], dn y d n d d d 4 y,f (4) ( ) 或 d. 一般地,( n - ) 阶导数的 4 d n- y d n-. ( 畅 6) 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数, 相对于高阶导数来说,f( ) 的导数 f ( ) 就称为 f( ) 的一阶导数, 并且我们约定 f (0) ( ) f( ). 由上述定义可见, 求高阶导数就是多次接连地求一阶导数, 所以只需应用前面学过的 求导方法就能计算高阶导数. 例如, 如果点的运动由位置函数 s s( t) 表示, 则速度 v d s d t v( t) 是位移 s 对于时间 t 的一阶导数, 而加速度是速度关于时间的变化率, 因此, 加速度 a d d t s s( t) 对时间 t 的二阶导数. 畅 4 畅 举例 例 畅 4 已知自由落体运动方程为 s gt, 求落体的速度 v 及加速度 a. 解 : v ds d t gt,a d s d t g. 例 畅 5 求指数函数 y a 的 n 阶导数. 解 : 因为 y a ln a,y a ln a,, 所以 y ( n) a ln n a. d s d t d s d t 是位移 特别地,(e ) ( n) e, 即 e 的任意阶导数是它本身, 这是以 e 为底的指数函数的一个 良好性质. 例 畅 6 求正弦函数 y sin 及余弦函数 y cos 的 n 阶导数. 解 : 对正弦函数 y sin, 由于 y cos sin + π, 科学出版社职教技术出版中心 y cos + π sin + π + π sin + π y 碶 cos + π, sin + 3 π.

68 58 高等数学 一般地, 可得 y ( n) sin + n π, 即 (sin ) ( n) sin + n π. 用类似方法, 可得 (cos ) ( n) cos + n π. 例 畅 7 求幂函数 y μ ( μ 为任意常数 ) 的 n 阶导数. 解 : 由于 一般地, 可得 当 μ n 为正整数时, 得到 而当 k > n 时, 有 畅 4 畅 3 高阶导数在林业上的应用 y μ μ-, y μ( μ - ) μ-, y 碶 μ( μ - )( μ - ) μ- 3, ( μ ) ( n) μ( μ - ) ( μ - n + ) μ- n. ( n ) ( n) n ( n - ) ( n - ) 3 n!, ( n ) ( k) 0. 生命科学中, 一定间隔期内树木各种调查因子所发生的变化称为生长, 变化的量称为 生长量, 连年生长量是说明树木某一年的实际生长速度, 即连年生长量 Z( A) 是树木年龄 A 的函数, 其生长方程为 其中,y( A) 是总生长过程曲线. 示, 即 Z( A) d y( A) d A, ( 畅 7) 连年生长量的变化速度为式 ( 畅 7) 的一阶导数, 即总生长过程曲线的二阶导数来表 d Z( A) d A d y( A) d A. 林业上了解树木或林分的连年生长量以及连年生长量变化速度的理论值, 对于分析 树木生长的快慢, 划分树木的生长阶段等, 具有重要意义. 畅 5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 畅 5 畅 隐函数的导数 前面我们所遇到的函数都是 y f( ) 的形式, 即显函数的形式. 它的特点是, 直接给

69 第 章导数与微分 59 出 和 y 的计算公式以表示这两个变量之间的对应关系, 例如 y,y ln( + ) 等. 但 有些函数的表达方式却不是这样, 例如, 方程 sin y + y 5-5 y 0, e y - y 0. 也可确定一个函数, 但它表示函数的方法和前面显然不同, 我们把这样由方程确定的函数 称为隐函数. 设有方程 F(,y) 0, 如果 取某个区间内的任一值, 相应地总有满足这个方程的 唯一确定的 y 与之对应, 则称方程 F(,y) 0 在给定区间内确定了一个隐函数. 在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 此时, 可直接在方程两端同时对自变量 求导数,y 视为 的函数,y 的函数则看成 的复合函数, 即可求出隐函数的导数. 下面 通过具体例子说明这种方法. 解出即得 从而 d y 例 畅 8 求由方程 y - y 0 所确定的隐函数的导数 d. 解 : 移项, 取对数, 得 yln ln y. 方程两边分别对 求导, 注意到 y 是 的函数 y y( ), 于是由复合函数求导法可得 y ln + y y ln y + y y. y( ln y - y) ( yln - ). 注意 y 的表达式中通常同时含有 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 有区别. 例 畅 9 求椭圆 a + y b 在点 解 : 方程两边同时对 求导, 得 所以方程在点 于是所求的切线方程为 即 a a, b 处的切线方程. + yy b 0. d y d - b a y. a, b 处的切线斜率为 d y d y - b - b a - b a a. - a, y - b a + b. 科学出版社职教技术出版中心 例 畅 30 求由方程 - y + arctan y 0

70 60 高等数学 所确定的隐函数 y f( ) 的二阶导数 y. 于是 解 : 方程两边对 求导得 - y + 由于 y 是 的函数, 进一步由 ( 畅 8) 得 ( 畅 9) 式代入 ( 畅 0) 式, 解出并整理得 y + y 0, ( 畅 8) y + y y. ( 畅 9) - y + y ( + y ) - y y y + y 0. ( 畅 0) y - ( + y ) y 5. 在某些场合, 利用所谓的对数求导法求导数比用通常的方法简便一些. 这种方法是先 d y 在 y f( ) 的两边取对数, 然后求出 y 的导数 d. 下面通过例子来说明这种方法. 例 畅 3 求 y ( > 0) 的导数. 解 : 这种函数既不是幂函数也不是指数函数, 通常称为幂指函数, 为了求出这个函数 的导数, 可以先在两边取对数, 得 两边同时对 求导数 ln y ln. y y ln + + ln. 由此 y ( + ln ). 幂指函数的一般形式为 y u( ) v( ) ( u( ) > 0), 如果 u( ) v( ) 都可导, 则可利用对 数求导法求出 y u( ) v( ) 的导数如下 : 先在两边取对数, 得 ln y v( ) ln u( ), 上式两边对 求导, 注意到 y f( ) 以及 u( ) v( ) 都是 的函数, 得 于是 或写成 y y v ( ) ln u( ) + v( ) u ( ) u( ), y y v ( )ln u( ) + v( ) u ( ) u( ) u( ) v( ) v ( )ln u( ) + y u v v ln u + vu u, v( ) u ( ) u( ).,

71 第 章导数与微分 6 ( - )( - ) 例 畅 3 求 y 的导数. ( - 3)( - 4) 解 : 两边取对数, 得 ln y ln + ln( - ) + ln( - ) - ln( - 3) - ln( - 4). 上式两边对 求导, 注意到 y 是 的函数, 得 于是 y y + ( - )( - ) y ( - 3)( - 4) 畅 5 畅 由参数方程所确定的函数的导数 , 在解析几何中, 我们常用参数方程表示某些曲线. 例如 参数方程 一般地, 若参数方程 + ( - ) + ( - ) - ( - 3) - ( - 4). acos t, (0 t π) 表示以原点为中心 以 a 为半径的圆. y asin t φ( t), y ψ( t) 确定 与 y 间的函数关系, 称此函数为由参数方程 ( 畅 ) 所确定的函数. ( 畅 ) 在实际问题中, 需要计算由参数方程 ( 畅 ) 所确定的函数的导数, 但从参数方程中消 去参数有时会比较困难, 下面讨论直接由参数方程求导数的方法. 设 y ψ( t) φ( t) 都可导, 且 φ ( t) 0. 如果函数 φ( t) 在某区间具有单调连续 反函数 t φ - ( ), 那么由参数方程 ( 畅 ) 所确定的函数 y y( ) 可以看成是由函数 y ψ( t) t φ - ( ) 复合而成的函数 y ψ[ φ - ( )]., 要计算这个复合函数的导数, 只要再假 定函数 y ψ( t) φ( t) 都可导, 那么根据复合函数和反函数的导数公式, 就可以得到 即 上式也可写成 公式 d y d d y d t d t d d y d t d d t d y d d y d ψ ( t) φ ( t), ψ ( t) φ ( t). ( 畅 ) d y d t d d t 这就是由参数方程 ( 畅 ) 所确定的函数 y y( ) 的导数公式. 科学出版社职教技术出版中心 ( 畅 3) 如果 φ( t) y ψ( t) 还具有二阶导数, 那么从 ( 畅 ) 式又可求得函数的二阶导数

72 6 高等数学 即 d y d d d d y d d y d 例 畅 33 已知椭圆的参数方程为 d d t ψ ( t) φ ( t) d t d ψ ( t) φ ( t) - ψ ( t) φ ( t) [ φ ( t)] ψ ( t) φ ( t) - ψ ( t) φ ( t) [ φ ( t)] 3. acos t, y bsin t. φ ( t), 求椭圆在 t π 4 处的切线方程及由参数方程所确定的函数的二阶导数. 解 : 由参数方程求导公式, d y d 从而, 椭圆在 t π 4 处的切线斜率为 ( bsin t) ( acos t) bcos t - asin t - b a cot t. d y d t π 4 - b a. 当 t π 4 时, 椭圆上的点为 a, b, 在此点处的切线方程为 y - b - b a - a. 化简后得 而参数方程所确定的函数的二阶导数为 d y d d - b d t a cot t d ( acos t) d t b + ay - ab 0. - b - a sin t - asin t - b a csc 3 t. 畅 6 函数的微分 导数描述了函数在点 处变化的快慢程度, 但在生命科学中, 往往还需要研究当自变量有微小变化时, 函数大体变化了多少. 这就引出了和导数密切相关的另一个概念 函数的微分. 畅 6 畅 微分的定义先分析一个具体问题, 一块正方形均匀金属薄片因受温度变化的影响, 其边长由 变到 + Δ ( 图 唱 4), 问此薄片的面积改变了多少?

73 第 章导数与微分 63 设此薄片的边长为, 面积为 A, 则 A( ), 当自变 量 有增量 Δ 时, 因变量 A 相应地取得增量 Δ A, 即 Δ A ( + Δ ) - Δ + (Δ ) 从上式可以看出,Δ A 由两部分组成, 第一部分 Δ 是 Δ 的线性函数, 即图中灰色的两个矩形面积之和, 第二 部分 ( Δ ) 是黑色的小正方形的面积. 当 Δ 时, 第二部 分 (Δ ) 是比 Δ 高阶的无穷小, 即 ( Δ ) o( Δ )( Δ 0). 由此可见, 如果边长改变很小, 即 Δ 很小时, 面积的 改变量 Δ A 可近似地用第一部分来代替. 即 Δ A Δ. 我们注意到, 恰好是面积 A A ( )Δ 称为面积 A 的微分. 图 唱 4 的导数 A, 即 Δ A A ( ) Δ, 我们把 定义 畅 3 设函数 y f( ) 在某区间内有定义,0 及 0 + Δ 在这区间内, 如果因变 量的增量可表示为 Δ y AΔ + o(δ ). ( 畅 4) 其中 A 是不依赖于 Δ 的常数, 而 o( Δ ) 是 Δ 时比 Δ 高阶的无穷小, 那么称函数 y f( ) 在点 0 是可微的, 而 AΔ 叫做函数 y f( ) 在点 0 相应于自变量增量 Δ 的 微分, 记作 d y, 即 d y AΔ. 例 畅 34 求函数 y 在,Δ 0 畅 0 处的微分. 解 : 函数 y 在 处的微分为 当 Δ 0 畅 0 时,d y 0 畅 0 0 畅 0. 而 Δ y f( + Δ ) - f( ) 0 畅 00. 此例表明, 当 d y ( ) Δ Δ ; Δ 很小时, 可以用 d y 近似代替 Δ y, 既 d y Δ y 下面讨论函数可微的条件, 设函数 y f( ) 在点 0 可微, 则按定义有 ( 畅 4) 式成立, ( 畅 4) 式两边除以 Δ 得 于是, 当 Δ 时, 由上式就得到 Δ Δ y Δ Δ y Δ A + o( Δ ) Δ A + Δ. o(δ ) A. Δ 因此, 如果函数 y f( ) 在点 0 可微, 则 f( ) 在点 0 也一定可导, 且 A f ( 0 ). 反之, 如果 y f( ) 在点 0 可导, 即 由此可得 f ( 0 ) Δ Δ y Δ, Δ y f ( 0 )Δ + o(δ ). 科学出版社职教技术出版中心 此式表明,Δ y 可分解为关于 Δ 的线性函数 f ( 0 )Δ 与关于 Δ 的高阶无穷小 o(δ ) 之