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库菁中
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1 第二节函数极限主要内容 : 一函数极限的概念二无穷大量与无穷小量三极限的四则运算及两个重要极限

2 一时 ( 自变量趋于有限数 ) ( ) f ( ), 把值 f( ) 列表 : 附近的自变量与它对应的函数 f ()= 当从的左右近旁越来越接近于时, 函数 f( ) 越来越接近于, 并且要多接近就会有多接近. 当无限变小时, f ( ) 也无限变小.

3 f ( ) f ()= lim f ( ) lim ( ).

4 g( ) g( ) 在处无定义, 当时 g( ) =. 当时, g( ). 这表明, 时, g( ) 的极限与 g( ) 在点是否有定义并无关系.

5 lim f ( ) lim ( ) lim f ( ) lim ( ) g( ) lim g ( ) lim ( )( ) lim lim( )

6 有关函数极限的说明 : 函数在某点的极限与函数在这点的函数值是否存在, 以及取值是多少并没有关系. 函数在某点的极限只与函数在这点附近的变化趋势有关系.

7 U 定义设函数 f() 在点 (, ) 内有定义, 如果对于任意正数 ε ( 不论它多么小 ), 总存在正数 δ, 使得满足的一切, 能使 f ( ) A 恒成立, 则称函数 f() 当时以 A 为极限, 或称函数 f () 在点有极限. 记作 lim f ( ) A 或 f ( ) A( ). 该定义称为定义. 该定义的简洁表示方法 :,, 使当时, 恒有 f ( ) A. 对于任意的存在

8 注意 :. 函数极限与 f ( ) 在点是否有定义无关 ;. 与任意给定的正数有关. 几何解释 : 当在 U (, ) 时, y f( ) 图形完全落在以直线 y A为中心线, 宽为的带形区域内. A A A o y y ( ) f ( )

9 例证明证明 lim C C ( C 为常数 ). f ( ) A C C 任给, 任取, 当时, 例证明 lim. 证明即常数的极限就是该常数. 成立, lim C C. f ) A, 任给, 取, ( 当时, f ( ) A 成立,. lim

10 二单侧极限左右极限,, 设函数 f ( ),,,. y y o y 讨论当时 f ( ) 的极限 : 由于 f ( ) 在点断开, 是分段函数分和两种情况分别讨论 : 从, f ( ) 左侧无限趋近的极限称为左极限, 记作 ; lim f ( ) lim ( ),

11 lim f ( ) lim ( ),, 右侧无限趋近从 f( ) 的极限称为右极限, 记作 ; lim f ( ) lim ( ), 定理 lim f ( ) A y lim f ( ) lim f ( ) A. 上题中由于 f ( ) 的左右极限不相等, 因此当时, f ( ) 无极限. y o y

12 ,, 例 3 设 f ( ) 证明 lim f ( ).,, 提示与分析 : 由于已知函数是分段函数, 根据前定理, 考虑左右极限. 证 lim f ( ) lim( ), lim f ( ) lim( ), y y o y lim f ( ) lim f ( ), lim f ( ).

13 三时 ( 自变量的绝对值无限增大时的情形 ) ( ) f ( ) a r c ta n π π π lim arctan lim arctan, 表示, 无限变大, 即沿轴正方向无限变远 ;, 表示, 无限变大. 由于 lim arctan lim arctan, lim arctan 不存在. π

14 定义如果无限增大时, 函数 f ( ) 无限趋近于常数 a, 则称 f ( ) 在时, 以 a为极限, 记作 lim f ( ) a. y lim. o y y

15 还有一种极限不存在的情形 : lim sin 在, 这与 lim 情况不同. 不存在时,sin 并不向某个点逼近, 所以无极限.

16 四函数极限的性质下面仅对定理若 lim f ( ) A, 且 A ( 或 A ), 则存当由于在 U( 时,, ), f ( 恒有 ) Af ( ) A ( ( 或 ) 恒成立 f ( ), ), 在点某邻域 U (, ), 对一切 U (, ), 恒有 f ( ) ( 或 f ( ) ). 的变化过程讨论函数极限的性质, 对的情形有类似结论. 证明 lim f ( ) A, 由定义, 若取任意正数 A, 则存在相应, 称因而该定理为 A局部保 A f号性定理 ( ) A. A成立, f ( ).

17 定理推论若 f ( ), 且 lim f ( ) A, 那么 A. 要注意的是, 若 f ( ), lim f ( ) A, 那么 A. 比如, 当时, 函数 f ( ) ( ), 但 lim( ). 若 f ( ) g( ), 且 lim f ( ) A, lim g( ) B, 那么 A B. 只需令 F( ) g( ) f ( ), 由上定理知 lim F( ), 即 A B.

18 五无穷大量与无穷小量 ) 无穷大量定义对值若在某个变化过程中, 函数 f( ) 的绝 f( ) 变得越来越大, 且想多大就会有多大, 则称 f( ) 的极限是无穷大, 记作 f ( ) ( 或 ). f ( ) 称为无穷大量, 简称无穷大. 注 : 无穷大是变量, 不能与很大的数混淆. lim, lim l n, lim, + 函数 f ( ), g ( ) ln, h( ) 分别称为,, 过程中的无穷大量.

19 lim lim ln + y o lim

20 注意 : () 无穷大是变量, 不能与很大的数混淆 ; ( ) 切勿将 lim f( ) 认为极限存在 ; (3) 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大. f ( ) cos ( ) 是无界变量, 但不是无穷大量.

21 注 : ) 无穷小量若在某个变化过程中, 函数 f( ) 的绝对值 f( ) 变得越来越小, 且想多小就会有多小. 如, 8年北京奥运会倒计时. 定义 : 在某个变化过程中, 以零为极限的变量为无穷小量. 简称无穷小. ( ) 极限为零的数列 { } 也可称为 n时的无穷小量. () 无穷小是变量, 不能与很小的数混淆. (3) 零是可以作为无穷小的唯一的数. n lim n n

22 例 4 lim sin, 函数 s in 是当时的无穷小. y lim, o y y 函数是当时的无穷小.

23 无穷小量与函数极限的关系 : 定理 lim f ( ) A f ( ) A ( ), 其中 ( ) o ( ). 证明必要性设 lim f ( ) A, 令 ( ) f ( ) A, 因而 lim ( ), f ( ) A ( ). 充分性若 f ( ) A ( ), 其中 ( ) o( ), 于是 lim f ( ) lim( A ( )) A lim ( ) A.

24 无穷小量的性质 :. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量. 例 5 当时, 与 sin 都是无穷小量, 所以, 当时, sin 是无穷小量.

25 . 无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量. sin lim lim( sin ). 无穷小量有界变量 3. 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 例 6 当时, 与 tan 都是无穷小量, 所以 tan 是无穷小量. 4. 常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量. 例 7 当时,sin 是无穷小量, 所以 3 sin 是当时的无穷小量.

26 无穷小与无穷大的关系在变化同一过程中, 无穷大的倒数为无穷小 ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 : 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.

27 如 f( ) f ( ) lim 时,, 无穷大量无穷小量

28 无穷小量阶的比较 3 三个函数 y, y, y, 当时, 都趋近于. 下面观察它们趋于的快慢程度.

29 lim 3 lim 极限值的不同, 反映了趋向于零的快慢程度不同.,, 观察各极限 3 比趋近于的速度要慢得多. 比趋近于的速度要快得多. y y 3 y

30 定义设, 是自变量同一变化过程中的无穷小, 若 lim ( ), 则称是比高阶的无穷小. 观记作 o( ). 不定式察各 lim, 极即 o ( 3 ) ( ). 3 限当时, 是比 3 高阶的无穷小. 若 lim ( ), 则称是比低阶的无穷小.

31 观察各极限若 lim C,. 则称是的同阶无穷小若 lim, 则称是的等价无穷小, 记作. sin lim, 即 sin ~ ( ). 当时, s in 与是等价无穷小. y sin

32 两个无穷大量之比也是不定式, 称为型不定式. 类似地可以作出两个无穷大量阶的比较, ln 如 : 时属于型不定式. End

33 六极限的四则运算定理设 lim f ( ) A, lim g( ) B, 则 () lim [ f ( ) g ( )] A B ; ( ) lim [ f ( ) g ( )] A B ; f ( ) A (3) lim, 其中 B. g( ) B 推论如果 lim f ( ) 存在, 而 c为常数, 则 lim[ c f ( )] c lim f( ). 这意味着, 常数因子可以提到极限符号的外面.

34 推论如果 lim f ( ) 存在, 而 n是正整数, 则 lim ( )] n n [ f [ lim f ( ) ]. 这意味着, 求一个函数 n 次幂的极限等于该函数极限值的 n 次幂.

35 例 lim( 3 4) lim( ) lim 3 lim( 4) lim 3lim 4 (lim ) 3 4. lim [ f ( ) g ( )] A B lim [ cf ( )] c lim f ( ) lim [ f ( )] [lim f ( )] 代数和的极限等于极限的代数和. n n

36 例 lim lim( ) lim( ). lim( ) lim lim f ( ) A lim, 其中 B. g( ) B 在对商求极限时, 若分母不为, 商的极限等于先求极限后, 再做除法.

37 例 4 lim ()() lim ( ) lim( ). f ( ) A lim, 其中 B. g( ) B 由于 lim( ), lim( 4 ) 不能写成 lim( ) 而在时,, 可以约分. 当分母的极限为的情形, 要看分子, 分母能否因式分解, 并约分.

38 例 3 lim lim 5 lim( 4), 4可以因式分解但与分子不能约分, 需要另外想办法. 注意当时, 分母是 lim 5 4. 无穷小量, 分子是常数. 对于分母求极限为的情形,. 要看能否因式分解 ;. 考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质.

39 七两个重要的极限 ) lim sin 时, sin 与为等价无穷小量, 它们趋于的速度一样.

40 例 sin 5 lim sin 3 lim sin 3 3 sin 3 3 sin 3 lim lim sin 3 3. 其中, lim sin t lim t sin t t

41 ) lim( ) n e. n n e e 是一个无理数, lim( ) e lim( ) e

42 例 6 ) li m( t 3 ) 3 lim[( ) ] t t 3 3 lim[( ) ] ) lim ) ( lim[ ( ) ] e. e t 3 lim( ) e 3 e 3. e

高等数学A

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