第2章
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- 监 宦
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1 教学目的 : 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义 会求平面曲线的切线方程和法线方程 了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 理解函数的可导性与连续性之间的的关系 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 熟练掌握基本初等函数的导数公式 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 了解高阶导数的概念 会求某些简单函数的 n 阶导数 4 会求分段函数的导数 5 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶 二阶导数 会求反函数的导数 教学重点 : 导数和微分的概念与微分的关系; 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则; 基本初等函数的导数公式; 4 高阶导数; 6 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 教学难点 : 复合函数的求导法则; 分段函数的导数; 反函数的导数 4 隐函数和由参数方程确定的导数 忻州师范学院高等数学课程建设组
2 导数概念 一 引例 直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 : st 求动点在时刻 t 的速度 考虑比值 ss tt t t tt 这个比值可认为是动点在时间间隔 tt 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比 值在实践中也可用来说明动点在时刻 t 的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这 样 : 令 t t 取比值 t t tt t t t t 的极限 如果这个极限存在 设为 即 tt 这时就把这个极限值 称为动点在时刻 t 的速度 切线问题 设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT 直线 MT 就称 为曲线 C 有点 M 处的切线 设曲线 C 就是函数 y 的图形 现在要确定曲线在点 M y y 处的切 线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N y 于是割线 MN 的斜率为 y y tanϕ 其中 ϕ 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果当 时 上式的极 限存在 设为 k 即 k 存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan α 其中 α 是切 线 MT 的倾角 于是 通过点 M 且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处 的切线 二 导数的定义 函数在一点处的导数与导函数忻州师范学院高等数学课程建设组
3 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为 如下的极限 : 令 Δ 则 Δ 相当于 Δ 于是 成为 定义 Δ 或 Δ Δ Δ Δ 设函数 y 在点 的某个邻域内有定义 当自变量 在 处取得增量 Δ 点 Δ 仍在该邻域内 时 相应地函数 y 取得增量 Δ ; 如果 与 Δ 之 比当 Δ 时的极限存在 则称函数 y 在点 处可导 并称这个极限为函数 y 在点 处的导数 记为 也可记为 即 y Δ Δ Δ Δ Δ y d d 或 d 函数 在点 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化 快慢 问题 在数学上就 是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 Δ 如果极限 不存在 就说函数 y 在点 处不可导 Δ Δ Δ 如果不可导的原因是由于 Δ Δ 也往往说函数 y 在点 处的导数为无穷大 如果函数 y 在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 在开区间 I 内可导 这时 对于任一 I 都对应着 的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函 数 这个函数叫做原来函数 y 的导函数 记作 y 或 d d d 导函数的定义式 : 忻州师范学院高等数学课程建设组
4 y Δ Δ Δ 与 之间的关系 : 函数 在点 处的导数 就是导函数 在点 处的函数值 即 导函数 简称导数 而 是 在 处的导数或导数 在 处的值 左右导数 : 所列极限存在 则定义 在的左导数 : ; 在的右导数 : 如果极限 存在 则称此极限值为函数在 的左导数 如果极限 存在 则称此极限值为函数在 的右导数 导数与左右导数的关系 : A A 求导数举例例 求函数 CC 为常数 的导数 解 : C C 即 C 例 求 的导数 解 : 例 求 的导数 解 : 例 求函数 n n 为正整数 在 a 处的导数 解 : a a a a a a n n a a n a n a n na n 把以上结果中的 a 换成 得 n n 即 n n n 忻州师范学院高等数学课程建设组 4
5 C μ μ μ 更一般地 有 μ μ μ 其中 μ 为常数 例 求函数 sin 的导数 解 : sin sin cos 即 sin cos sin sin cos cos 用类似的方法 可求得 cos sin 例 4 求函数 a a> a 的导数 解 : a a a 令 a t a a ln a log e 特别地有 e e a a a t t log t 例 5 求函数 log a a> a 的导数 解 : loga loga loga log a loga loga e lna loga loga 解 : log a log a loga e lna a 即 log a : lna 忻州师范学院高等数学课程建设组 5
6 特殊地 ln log a ln lna 单侧导数 : 极限 存在的充分必要条件是 及 都存在且相等 在 处的左导数 : 在 处的右导数 : 导数与左右导数的关系 : 函数 在点 处可导的充分必要条件是左导数左导数 和右导数 都存在 且相等 如果函数 在开区间 a b 内可导 且右导数 a 和左导数 b 都存在 就说 有闭区间 [a b] 上可导 例 6 求函数 在 处的导数 解 : 因为 所以函数 在 处不可导 四 导数的几何意义函数 y 在点 处的导数 在几何上表示曲线 y 在点 M 处的切线的斜率 即 tan α 其中 α 是切线的倾角 如果 y 在点 处的导数为无穷大 这时曲线 y 的割线以垂直于 轴的直线 为极限位置 即曲线 y 在点 M 处具有垂直于 轴的切线 : 由直线的点斜式方程 可知曲线 y 在点 M y 处的切线方程为 yy 忻州师范学院高等数学课程建设组 6
7 过切点 M y 且与切线垂直的直线叫做曲线 y 在点 M 处的法线如果 法线的斜率为 从而法线方程为 y y 例 8 求等边双曲线 方程和法线方程 解 : y 在点 处的切线的斜率 并写出在该点处的切线 y 所求切线及法线的斜率分别为 k 4 k k 4 所求切线方程为 y 4 即 4y4 所求法线方程为 y 即 8y5 4 例 9 求曲线 y 的通过点 4 的切线方程 解设切点的横坐标为 则切线的斜率为 于是所求切线的方程可设为 y 根据题目要求 点 4 在切线上 因此 4 解之得 4 于是所求切线的方程为 y 即 y4 四 函数的可导性与连续性的关系 设函数 y 在点 处可导 即 存在 则 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 这就是说 函数 y 在点 处是连续的 所以 如果函数 y 在点 处可导 则函忻州师范学院高等数学课程建设组 7
8 数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例 7 函数 在区间 内连续 但在点 处不可导 这是因为函 数在点 处导数为无穷大 忻州师范学院高等数学课程建设组 8
9 函数的求导法则一 函数的和 差 积 商的求导法则定理 如果函数 及 在点 具有导数 那么它们的和 差 积 商 除分母为零的点外 都在点 具有导数 并且 [ ±] ± ; [ ] ; 证明 ] [ ] [ ] [ ± ± ± ± ± 法则 可简单地表示为 ± ± ] [ ] [ 其中 是由于 存在 故 在点 连续 法则 可简单地表示为 ] [ ] [ 忻州师范学院高等数学课程建设组 9
10 法则 可简单地表示为 ± ± 定理 中的法则 可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 ww 均可导 则有 w w w [w] ww ww w ww 即 w w ww 在法则 中 如果 CC 为常数 则有 C C 例 y 5 7 求 y 解 : y 例 4cos sin 求 及 解 : 4cos sin 4sin 4 4 例 ye sin cos 求 y 解 : y e sin cos e sin cos e sin cos e cos sin e cos 例 4ytan 求 y 解 : y sin sin cos sin cos tan cos cos cos sin sec cos cos 即 tan sec 例 5ysec 求 y 忻州师范学院高等数学课程建设组
11 解 : y sec cos cos cos cos 即 sec sec tan sin sec tan cos 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 : cot csc csc csc cot 二 反函数的求导法则 定理 如果函数 y 在某区间 I y 内单调 可导且 y 那么它的反函数 y 在对应区间 I { y y I y } 内也可导 并且 存在 [ ] 或 y d d 简要证明 : 由于 y 在 I y 内单调 可导 从而连续 所以 y 的反函数 y 且 在 I 内也单调 连续 于是 任取 I 给 以增量 ΔΔ Δ I 由 y 的单调性可知 Δ Δ y Δ Δ 因为 y 连续 故 从而 [ ] Δ Δ Δ y 上述结论可简单地说成 : 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6 设 sin y y [ ] 为直接函数 则 yarcsin 是它的反函数 函数 sin y 在开区间 内单调 可导 且 sin y cos y> 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I 内有 忻州师范学院高等数学课程建设组
12 arcsin sin y cos y sin y 类似地有 : arccos 例 7 设 tan y y 为直接函数 则 yarctan 是它的反函数 函数 tan y 在区间 内单调 可导 且 tan y sec y 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I 内有 arctan tan y sec y tan y 类似地有 : arccot 例 8 设 a y a> a 为直接函数 则 ylog a 是它的反函数 函数 a y 在区间 I y 内单调 可导 且 a y a y ln a 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I 内有 log a a y a y lna lna 到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构 成的较复杂的初等函数的导数如可求呢? 如函数 lntan e 的导数怎样求? 三 复合函数的求导法则 定理 如果 g 在点 可导 函数 y 在点 g 可导 则复合函数 y[g] 在点 可导 且其导数为 g 或 d d d d d 证明 : 当 g 在 的某邻域内为常数时 y[ϕ] 也是常数 此时导数为零 结 论自然成立 当 g 在 的某邻域内不等于常数时 Δ 此时有 [ g Δ] [ g ] [ g Δ] [ g ] g Δ g Δ Δ g Δ g Δ Δ g Δ g Δ Δ d Δ Δ Δ 简要证明 : Δ Δ Δ g Δ g g Δ 忻州师范学院高等数学课程建设组
13 Δ Δ g d Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 例 9 ye 求 d 因此 解函数 ye 可看作是由 ye 复合而成的 因此 例 d d d d e e sin y 求 d 解函数 y sin 是由 ysin 复合而成的 d cos cos d d d 对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例 lnsin 求 d 解 : ln sin sin d sin cos cot sin 例 y 求 d 解 : [ ] d 4 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设 y ϕ ψ 则 d d d d d d d d d 例 ylncose 求 d 解 : [ln cos e] [cos e ] d cos e [ sin e] e e tan e cos e sin 例 4 y e 求 d sin sin 解 : sin e sin cos e e d 忻州师范学院高等数学课程建设组
14 sin e cos 例 5 设 > 证明幂函数的导数公式 μ μ μ 解因为 μ e ln μ e μ ln 所以 μ e μ ln e μ ln μ ln e μ ln μ μ μ 四 基本求导法则与导数公式 基本初等函数的导数 : C μ μ μ sin cos 4cos sin 5tan sec 6cot csc 7sec sec tan 8csc csc cot 9a a ln a e e log a lna ln arcsin arccos arctan arccot 函数的和 差 积 商的求导法则 设 都可导 则 ± ± C C 4 忻州师范学院高等数学课程建设组 4
15 导 并且 反函数的求导法则 设 y 在区间 I y 内单调 可导且 y 则它的反函数 y 在 I I y 内也可 [ ] 或 y d d 4 复合函数的求导法则 设 y 而 g 且 及 g 都可导 则复合函数 y[g] 的导数为 d 或 y g d d d 例 6 求双曲正弦 s 的导数 解 : 因为 s e e 所以 s e e e e c 即 s c 类似地 有 c s 例 7 求双曲正切 t 的导数 解 : 因为 t s c 所以 t c s c c 例 8 求反双曲正弦 ars 的导数 解 : 因为 ars ln 所以 ars 由 arc ln 可得 arc 由 art ln 可得 art 类似地可得 arc 例 9ysin n sin n n 为常数 求 y 解 : y sin n sin n sin n sin n art ncos n sin n sin n n sin n sin ncos n sin n n sin n cos n sin n sinn 忻州师范学院高等数学课程建设组 5
16 高阶导数一般地 函数 y 的导数 y 仍然是 的函数 我们把 y 的导数叫做 d y 函数 y 的二阶导数 记作 y 或 d d y 即 y y [ ] d d d d 相应地 把 y 的导数 叫做函数 y 的一阶导数 类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地 n 阶导数的导数叫做 n 阶导数 分别记作 y y 4 y n d y d 4y d ny 或 d d4 dn 函数 具有 n 阶导数 也常说成函数 为 n 阶可导 如果函数 在点 处具有 n 阶导数 那么函数 在点 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 y 称为一阶导数 y y y 4 y n 都称为高阶导数 例 ya b 求 y 解 : y a y 例 ssin ω t 求 s 解 : s ω cos ω t s ω sin ω t 例 证明 : 函数 y 满足关系式 y y 证明 : 因为 y y 所以 y y 例 4 求函数 ye 的 n 阶导数 解 ; y e y e y e y 4 e 一般地 可得 y n e 即 e n e 例 5 求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数 解 : ysin y 忻州师范学院高等数学课程建设组 6
17 y cos sin y cos sin sin y cos sin sin y 4 cos sin 4 一般地 可得 y n sin n 即 sin sin n n 用类似方法 可得 cos n cos n 例 6 求对函数 ln 的 n 阶导数解 : yln y y y y 4 4 一般地 可得 y n n n n n! n 即 n! n [ln ] n n 例 6 求幂函数 y μ μ 是任意常数 的 n 阶导数公式 解 : y μ μ y μμ μ y μμμ μ y 4 μμμμ μ4 一般地 可得 y n μμμ μn μn 即 μ n μμμ μn μn 当 μn 时 得到 n n μμμ n! 而 n n 如果函数 及 都在点 处具有 n 阶导数 那么显然函数 ± 也在点 处具有 n 阶导数 且 ± n n n 忻州师范学院高等数学课程建设组 7
18 用数学归纳法可以证明 n n k C k nk n 这一公式称为莱布尼茨公式 例 8y e 求 y 解 : 设 e 则 k k k e k k k 4 代入莱布尼茨公式 得 y C 9 C 8 e 9 e 9 8 e! e 95 忻州师范学院高等数学课程建设组 8
19 率 4 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化 一 隐函数的导数 显函数 : 形如 y 的函数称为显函数 例如 ysin yln e 隐函数 : 由方程 F y 所确定的函数称为隐函数 例如 方程 y 确定的隐函数为 y y 如果在方程 F y 中 当 取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在 那么就说方程 F y 在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例 求由方程 e y ye 所确定的隐函数 y 的导数 解 : 把方程两边的每一项对 求导数得 e y y e 即 e y y yy y 从而 y e y e y 例 求由方程 y 5 y 7 所确定的隐函数 y 在 处的导数 y 解 : 把方程两边分别对 求导数得 5y y y 6 由此得 6 y 5y4 因为当 时 从原方程得 y 所以 6 y 5 4 y 例 求椭圆 y 在 处的切线方程 6 9 解 : 把椭圆方程的两边分别对 求导 得 y y 8 9 从而 y 9 6y 忻州师范学院高等数学课程建设组 9
20 当 时 y 代入上式得所求切线的斜率 k y 4 所求的切线方程为 y 即 4y8 4 解 : 把椭圆方程的两边分别对 求导 得 y y 8 9 将 y 代入上式得 y 4 于是 ky 4 所求的切线方程为 y 即 4y 8 4 例 4 求由方程 y sin y 所确定的隐函数 y 的二阶导数 于是 解 : 方程两边对 求导 得 cos y d d d cos y 上式两边再对 求导 得 d y sin y d 4sin y d cos y cos y 对数求导法 : 这种方法是先在 y 的两边取对数 然后再求出 y 的导数 设 y 两边取对数 得 ln y ln 两边对 求导 得 y [ln ] y 忻州师范学院高等数学课程建设组
21 y [ln ] 对数求导法适用于求幂指函数 y[] 的导数及多因子之 积和商的导数 例 5 求 y sin > 的导数 解法一 : 两边取对数 得 ln ysin ln 上式两边对 求导 得 y cos ln sin y 于是 y ycos ln sin sin cos ln sin 解法二 : 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 : y sin e sin ln y esin lnsin ln sin cos ln sin 例 6 求函数 y 的导数 4 解 : 先在两边取对数 假定 >4 得 ln y [lnlnlnln4] 上式两边对 求导 得 y y 4 y 于是 y 4 当 < 时 y ; 当 << 时 4 用同样方法可得与上面相同的结果 y ; 4 注 : 严格来说 本题应分 >4 < << 三种情况讨论 但结果都是一样的 二 由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 的函数关系是由参数方程 ϕ t 确定的 则称此函数关系所表达的函 y ψ t 数为由参数方程所确定的函数 在实际问题中 需要计算由参数方程所确定的函数的导数 但从参数方程中消 去参数 t 有时会有困难 因此 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确 忻州师范学院高等数学课程建设组
22 定的函数的导数 设 ϕt 具有单调连续反函数 tϕ 且此反函数能与函数 yψt 构成复合函数 yψ[ϕ ] 若 ϕt 和 yψt 都可导 则 dt ψ t d dt d dt d ϕ t dt 即 ψ t 或 d ϕ t d dt d dt 若 ϕt 和 yψt 都可导 则 ψ t d ϕ t 例 7 求椭圆 acost 在相应于 t 点处的切线方程 y bsint 4 解 : bsint bcost b cott d acost asint a 所求切线的斜率为 d b a t 4 切点的坐标为 acos 4 a 切线方程为 y b b a a 即 bay ab y bsin 4 b t 例 8 抛射体运动轨迹的参数方程为 y t gt 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 y t g t 解 : 先求速度的大小 速度的水平分量与铅直分量分别为 t y t gt 所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 [ t y t gt ] [ ] 再求速度的方向 设 α 是切线的倾角 则轨道的切线方向为 tan y t gt α d t 已知 ϕt yψt 如何求二阶导数 y? 忻州师范学院高等数学课程建设组
23 由 ϕt d y d ψ t d ϕ t d d d d ψ t dt dt ϕ t d ψ t ϕ t ψ t ϕ t ϕ t ϕ t ψ t ϕ t ψ t ϕ t ϕ t 例 9 计算由摆线的参数方程 a t sint 所确定 y a cost 的函数 y 的二阶导数 y t [ a cost] 解 : asint d t [ a t sint] a cost sint cot t t n n 为整数 cost d y d d cot t dt d d d dt d t n n 为整数 与 sin 三 相关变化率 t a cost a cost 设 t 及 yyt 都是可导函数 而变量 与 y 间存在某种关系 从而变化率 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问 dt 题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例 一气球从离开观察员 5 处离地面铅直上升 其速度为 4m/min 分 当 气球高度为 5m 时 观察员视线的仰角增加率是多少? 解设气球上升 t 秒 后 其高度为 观察员视线的仰角为 α 则 tanα 5 其中 α 及 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得 sec α dα d dt 5 dt 已知 d 4 米 / 秒 又当 5 米 时 tan α sec α 代入上式得 dt d dt 忻州师范学院高等数学课程建设组
24 所以 dα 7 4 弧度 / 秒 dt 5 dα 4 dt 5 即观察员视线的仰角增加率是每秒 4 弧度 忻州师范学院高等数学课程建设组 4
25 5 函数的微分一 微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 其边长由 变到 Δ 问此薄片的面积改变了多少? 设此正方形的边长为 面积为 A 则 A 是 的函数 : A 金属薄片的面积改变量为 ΔA Δ Δ Δ 几何意义 : Δ 表示两个长为 宽为 Δ 的长方形面积 ; Δ 表示边长为 Δ 的正方形的面积 数学意义 : 当 Δ 时 Δ 是比 Δ 高阶的无穷小 即 Δ oδ; Δ 是 Δ 的线性函数 是 ΔA 的主要部分 可以近似地代替 ΔA 定义设函数 y 在某区间内有定义 及 Δ 在这区间内 如果函数的增量 Δ 可表示为 AΔoΔ 其中 A 是不依赖于 Δ 的常数 那么称函数 y 在点 是可微的 而 AΔ 叫做函数 y 在点 相应于自变量增量 Δ 的微分 记作 即 A Δ 函数可微的条件 : 函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导 且当函数 在点 可微时 其微分一定是 Δ 证明 : 设函数 在点 可微 则按定义有 AΔoΔ 上式两边除以 Δ 得 Δ y o Δ A Δ Δ 于是 当 Δ 时 由上式就得到 A Δ Δ 因此 如果函数 在点 可微 则 在点 也一定可导 且 A 反之 如果 在点 可导 即 Δ Δ 存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成忻州师范学院高等数学课程建设组 5
26 α Δ 其中 α 当 Δ 且 A 是常数 αδ oδ 由此又有 ΔαΔ 因且 不依赖于 Δ 故上式相当于 AΔoΔ 所以 在点 也是可导的 简要证明 : 一方面 o Δ AΔ o Δ A A Δ Δ Δ Δ 别一方面 α Δ αδ Δ Δ Δ 以微分 近似代替函数增量 的合理性 : 当 时 有 Δ Δ Δ Δ d od y 结论 : 在 的条件下 以微分 Δ 近似代替增量 Δ 时 其误差为 o 因此 在 Δ 很小时 有近似等式 函数 y 在任意点 的微分 称为函数的微分 记作 或 d 即 Δ 例如 d cos cos Δ sin Δ ; de e Δe Δ 例 求函数 y 在 和 处的微分 解函数 y 在 处的微分为 ΔΔ; 函数 y 在 处的微分为 Δ6Δ 例 求函数 y 当 Δ 时的微分 解 : 先求函数在任意点 的微分 Δ Δ 再求函数当 Δ 时的微分 Δ Δ 4 自变量的微分 : 因为当 y 时 d ΔΔ 所以通常把自变量 的增量 Δ 称为自变量的微 分 记作 d 即 dδ 于是函数 y 的微分又可记作 忻州师范学院高等数学课程建设组 6
27 d 从而有 d 这就是说 函数的微分 与自变量的微分 d 之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做 微商 二 微分的几何意义当 是曲线 y 上的点的纵坐标的增量时 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量 当 Δ 很小时 比 Δ 小得多 因此在点 M 的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 三 基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式 d 可以看出 要计算函数的微分 只要计算函数的导数 再乘以自变量的微分 因此 可得如果下的微分公式和微分运算法则 基本初等函数的微分公式导数公式 : 微分公式 : μ μ μ d μ μ μ d sin cos d sin cos d cos sin d cos sin d tan sec d tan sec d cot csc d cot csc d sec sec tan d sec sec tan d csc csc cot d csc csc cot d a a ln a d a a ln a d e e d e e d log a dlog a d lna lna ln dln d arcsin darcsin d arccos darccos d arctan darctan d 忻州师范学院高等数学课程建设组 7
28 arccot darccot d 函数和 差 积 商的微分法则求导法则 : 微分法则 : ± ± d±d±d C C dccd d dd d dd d 证明乘积的微分法则 : 根据函数微分的表达式 有 d d 再根据乘积的求导法则 有 于是 d d d d 由于 dd dd 所以 ddd 复合函数的微分法则设 y 及 ϕ 都可导 则复合函数 y[ϕ] 的微分为 y d ϕ d 于由 ϕ dd 所以 复合函数 y[ϕ] 的微分公式也可以写成 d 或 y d 由此可见 无论 是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 d 保持不变 这一性质称为微分形式不变性 这性质表示 当变换自变量时 微分形式 d 并不改变 例 ysin 求 解 : 把 看成中间变量 则 dsin cos dcosd cos dcosd 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例 4 y lne 求 解 : d ln e d e e e d e d e d e e e 例 5ye cos 求 忻州师范学院高等数学课程建设组 8
29 解 : 应用积的微分法则 得 de cos cos de e dcos cos e de sin d e cos sin d 例 6 在括号中填入适当的函数 使等式成立 d d; d cos ω t dt 解 : 因为 d d 所以 d d d 即 d d 一般地 有 d C d C 为任意常数 因为 dsin ω tω cos ω tdt 所以 cosω tdt dsinω t d sinω t ω ω 因此 d sinω t C cosω tdt C 为任意常数 ω 四 微分在近似计算中的应用 函数的近似计算在工程问题中 经常会遇到一些复杂的计算公式 如果直接用这些公式进行计算 那是很费力的 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替 如果函数 y 在点 处的导数 且 Δ 很小时 我们有 Δ Δ Δ Δ Δ 若令 Δ 即 Δ 那么又有 特别当 时 有 这些都是近似计算公式 例 有一批半径为 cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为 cm 估计一了每只球需用铜多少 g 铜的密度是 8 9g/cm? 解 : 已知球体体积为 V 4 R R cm ΔR cm 镀层的体积为 ΔVVR ΔRVR V R ΔR4R ΔR4 4 cm 忻州师范学院高等数学课程建设组 9
30 于是镀每只球需用的铜约为 8 9 6g 例 利用微分计算 sin 的近似值 解 : 已知 Δ sin sin Δ sin Δ cos sin cos 即 sin 576 常用的近似公式 假定 是较小的数值 : ; n n sin 用弧度作单位来表达 ; tan 用弧度作单位来表达 ; 4e ; 5ln n 证明 取 那么 便得 n n n 代入 n n 证明 取 sin 那么 cos 代入 便得 sin 例 计算 5 的近似值 解 : 已知 n 故 n 直接开方的结果是 5 47 误差估计 在生产实践中 经常要测量各种数据 但是有的数据不易直接测量 这时我们 就通过测量其它有关数据后 根据某种公式算出所要的数据 由于测量仪器的精度 测量的条件和测量的方法等各种因素的影响 测得的数据往往带有误差 而根据带 有误差的数据计算所得的结果也会有误差 我们把它叫做间接测量误差 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差 忻州师范学院高等数学课程建设组
31 绝对误差与相对误差 : 如果某个量的精确值为 A 它的近似值为 a 那么 Aa 叫 做 a 的绝对误差 而 Aa 绝对误差 Aa 与 a 的比值叫做 a 的相对误差 a 在实际工作中 某个量的精确值往往是无法知道的 于是绝对误差和相对误差 也就无法求得 但是根据测量仪器的精度等因素 有时能够确定误差在某一个范围 内 如果某个量的精确值是 A 测得它的近似值是 a 又知道它的误差不超过 δ A: Aa δ A 则 δ A 叫做测量 A 的绝对误差限 δ A 叫做测量 A 的相对误差限 简称绝对误差 a 例 4 设测得圆钢截面的直径 D6 mm 测量 D 的 绝对误差限 δ A 5 利用公式 D 积时 试估计面积的误差 解 : ΔA da A ΔD D ΔD ΔA da D ΔD D δ D 已知 D6 δ D 5 所以 4 D 计算圆钢的截面 δ A D δ D mm ; δ D δ D A A D 4 δ D 5 7% D 6 若已知 A 由函数 y 确定 : Ay 测量 的绝对误差是 δ 那么测量 y 的 δ y? 由 y Δ 有 y Δ y δ 所以测量 y 的绝对误差 δ y y δ 测量 y 的相对误差为 δ y y δ y y 忻州师范学院高等数学课程建设组
第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分
第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出 微积分学的创始人 : Newton( 英 )Leibniz( 德 ) 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分 .1
第五章 导数和微分
第五章导数和微分 一 学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式 复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分, 它的基本概念是导数和微分 本章主要介绍导数的概念 基本的求导公式与运算法则以及与导数密切相关的微分概念 第一节导数概念 在实际生活中, 经常需要了解函数相对于自变量变化而变化的快慢问题, 即函数的变化率 导数就是描述变化率的一个重要的数学概念 牛顿从求变速直线运动瞬时速度出发, 莱布尼兹 从求曲线上一点的切线出发, 分别给出了导数的概念. 一 变化率先介绍三个引例
第一节 导数的概念
第 2 章一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则与基本公式 2.3 高阶导数 2.4 微分及其计算 2.5 中值定理罗比塔法则 2.6 函数的单调性与极值 2.7 微分在经济中的应用 1 2.1 导数概念 2.1.1 导数概念的实例 切线问题 如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线. 极限位置即 MN,
第4章
第四章 不定积分 教学目的 : 理解原函数概念 不定积分的概念 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分的性质 掌握换元积分法 第一 第二 与分部积分法 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 教学重点 : 不定积分的概念; 不定积分的性质及基本公式; 换元积分法与分部积分法 教学难点 : 换元积分法; 分部积分法; 三角函数有理式的积分 忻州师范学院高等数学课程建设组 不定积分的概念与性质
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
第一节 导数的概念
第 章一元函数微分学 导数的概念 导数的运算法则与基本公式 3 高阶导数 4 微分及其计算 5 中值定理罗比塔法则 6 函数的单调性与极值 7 微分在经济中的应用 导数概念 导数概念的实例 切线问题 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线 极限位置即 MN NMT 设 M 割线 MN 的斜率为 tan 沿曲线 C N M 切线
第二节 换元积分法
第二节 换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 小结 思考题 一 第一类换元法 问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C. 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] (
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
d. 两个无穷小的比较 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 )( 数学一和数学二 ) f() 设 limf()=0,limg()=0, 且 lim=l g (1)l=0, 称 f() 是比 g() 高阶的无穷小, 记以 n 当 0 时,e=1+++Λ+
高数总结 考研数学知识点 - 高等数学一. 函数的概念 1. 用变上 下限积分表示的函数 (1)y= ()y= 连续, 则公式 1.lim sin =1 0 n u f(t)dt, 其中 f(t) 连续, 则 1 dy =f() d ϕ()f(t)dt, 其中 ϕ(),ϕ() 可导,f(t) 1 ϕ() 1 1 公式.lim 1+ =e;lim 1+ =e; n u n u lim(1+v)=e v
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v
 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v](/thumbs/49/25515966.jpg "一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v")
第五章导数和微分 1 导数的概念 一 导数的概念二 导函数三 导数的几何意义 一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v 的极限存在, 则称极限
第八章不定积分 1 不定积分概念与基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法
第八章不定积分 不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法, 乘法有其逆运算除法一样, 微分法也有它的逆运算 积分法. 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何中从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是 : 求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知函数. 提出这个逆问题, 首先是因为它出现在许多实际问题之中. 例如 : 已知速度求路程
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
![f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是](/thumbs/93/111302294.jpg "f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是")
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
【考研帮】2017寒假数学作业
考研帮 7 寒假数学作业 考研帮说 寒假是备考的重要时间段, 对于考研数学来说, 适当的练习必 不可少 每天抽一点时间来完成寒假数学作业吧! 帮帮为你准备了前 5 天的数 学作业, 每天的题目后都附有答案哦 第一天. 设 lim, lim y, lim A. 则下列命题中正确的是 ( ). z (A) lim ( y ). (B) lim ( z ). y (C) lim ( y ). (D) lim
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î
复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑. 可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一 复合函数的求导法则 二 复合函数的全微分 返回 设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y
1 导数和微分的概念 导数和微分的定义 1 导数和微分的概念 考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义 当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0
第三章一元微分学 2017 年 11 月 2 日 目录 1 导数和微分的概念 2 1.1 导数和微分的定义..................................... 2 1.2 导数的几何意义...................................... 2 1.3 单侧导数.......................................... 3 2 导数的计算
定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)
![定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)](/thumbs/93/112009408.jpg "定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)")
柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一 柯西中值定理二 不定式极限 返回 定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g()
<4D F736F F D20342DA3A8C5C5B0E6A3A9D7A8C9FDB1BEB8DFB5C8CAFDD1A7B8A8B5BCC5C5B0E6202E646F63>
西北工业大学现代远程教育专升本入学测试高等数学复习大纲 ( 第八版 ) 总体要求 考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念 基本理论和基本方法准确地计算
函数在一点处极限的定义 左 右极限及其与极限的关系 趋于无穷 (,, ) 时函数的极限四则运算法则夹逼准则 () 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义无穷小量的性质无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 的关系 () 两个重要极限 sin lim, lim( ). 要求 () 了解极限的概念 (
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学复习大纲 ( 第七版 ) 总体要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念
17 无穷小量的比较 18 无穷大量及其与无穷小量的关系 19 函数极限与无穷小量的关系 20 函数的连续性 21 函数的间断点 22 连续函数的和 差 积 商及复合的连续性 23 初等函数的连续性 24 闭区间上连续函数的性质 ( 二 ) 考试要求函数是数学中最重要的基本概念之一, 它是客观世界中
福建省高校专升本统一招生考试 高等数学 考试大纲 一 考试范围 第一章 函数 极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 微分学及应用 第四章 一元函数积分学 第五章 空间解析几何 第八章 常微分方程 第一章函数 极阻与连续 1 一元函数的定义 2 函数的表示法( 包括分段表示法 ) 3 函数的简单性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 反函数及其图形 5 复合函数 6 基本初等函数与初等函数( 包括它们的定义
三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -
微分中值定理与导数的应用答案 一 选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二 填空题 ; (, )
数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
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+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 C1 学时 / 学分 : 48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易 物流管理 人力资源管理等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定
高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510308903 课程名称 : 高等数学 C1 学时 / 学分 : 48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易 物流管理 人力资源管理等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510308903
《 》教学大纲
高等数学 B(1) 教学大纲 一 课程基本信息 开课单位 湖南大学数学与计量 课程代码 GE03027 经济学院 课程名称高等数学 B(1) 英文名称 Advanced Mathematics B(1) 课程性质必修 ( 通识平台课 ) 学分 5 总学时 96 学时 先修课程 中学数学 (80 学时大班主讲 +16 学时小班讨论 ) 开课学期 2013,9,23-2014,1 适应专业全校经济 管理类学
第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是
目录 第一天... 第一天参考答案... 4 第二天... 7 第二天参考答案... 9 第三天... 第三天参考答案... 4 第四天... 7 第四天参考答案... 9 第五天... 第五天参考答案... 4 第六天... 6 第六天参考答案... 8 第七天... 第七天参考答案... 中公教育考研学员专用资料报名专线 :4-6-966 第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性,
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
![5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin](/thumbs/91/107147441.jpg "5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin")
38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (
![5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (](/thumbs/91/105953583.jpg "5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (")
第 章中值定理与导数的应用 本章学习目标 了解中值定理的条件和结论, 特别是拉格朗日中值定理 理解洛必达法则及其应用条件, 会用洛必达法则求相应的极限 了解函数与曲线的对应关系, 掌握函数的增减区间与极值的求法 掌握曲线的凹凸区间与拐点的判别方法 会求曲线的渐近线, 知道描绘函数图形的基本步骤 知道导数在经济中的一些简单应用. 中值定理.. 罗尔定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间
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5.3 定积分应用. 定积分的微元分析法 () 能用定积分表示的量所必须具备的特征用定积分表示的量 U 必须具备三个特征 : U 是与一个变量 的变化区间 [,] 有关的量 ; U 对于区间 [,] 具有可加性. 即如果把区间 [,] 分成许多部分区间, 则 U 相应地分成许多部分量 ; 3 部分量 U i的近似值可表示为 f ( ) i i () 微元分析法 用定积分表示量 U 的基本步骤 : 根据问题的具体情况,
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh e e 双曲余弦 : h sh e 双曲正切 : h h e sh l h l h l e e si lim lim e 三角函数公式 : 三角函数 : 正弦函数 si ; 余弦函数 ; si 正切函数 ;
高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : 三角函数的有理式积分 : si g g g g g l log l s s se se s se si g g sh h h sh g g g g l l s s se se s si se g g g g g si l l l s s l se se l si l I I si l l si 一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh
0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性 有界性 保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 自变量趋于无穷大时函
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数 极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101 函数的概念
微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 微积分学时 / 学分 : 60/4 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定 :
微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 :110859 课程名称 : 微积分学时 / 学分 : 60/4 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际贸易与经济等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 :110859 课程名称 : 微积分学时 /
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第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 导 数 和 微 分 是 微 积 分 学 的 重 要 概 念. 导 数 刻 画 的 是 函 数 相 对 于 自 变 量 的 变 化 快 慢 程 度, 而 微 分 则 给 出 自 变 量 有 微 小 改 变 量 时 函 数 改 变 量 的 近 似 值. 本 章 着 重 对 导 数 与 微 分 的 基 本 概 念 基 本 运 算 及 基 本 应
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第章 函数 极限 连续. 函数概念. 常用经济函数.3 极限概念.4 极限的运算.5 无穷小量与无穷大量.6 函数连续 . 函数概念.. 函数的概念.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母, y, t等表示变量. 变量的取值范围称为变域 若为区间 则变量 是连续变量 否则为离散变量. 如 物理中自由落体的 距离s与时间
2014高联高级钻石卡高等数学学习计划
高联学员寒假前后数学计划 特别提醒 : 在考研数学中, 高等数学占到总分 56% 分值, 高数上册又是整个高数中的重中之重 寒假期间的复习宜少而精 高联教育集团数学教研室建议学员能在寒假前后这段把高等数上册前四章根据大纲要求将知识点和章节课后题做熟 吃透即可, 为年后跟上数学基础班打下坚实基础 高联免费配发资料 ( 电子版 ): 考研数学知识分布图 ; 学员自备资料 : 同济大学数学系编写 ; 高等教育出版社
二 一元 函数微分 学 运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7. 理解无穷小的概念和基本性质, 掌握无穷小量的比较方 法. 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8. 理解函数连续性的概念 ( 含左连续与右连续 ), 会判别函数 间断点的类型. 运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限
2017 年与 2016 年考研微积分大纲变化对比 数三 章节 2016 年数学考试大纲和 2017 年数学考试大纲和变化对比 微 积 分 一 函数 极限 连 续 函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则
<4D F736F F D2036A1A BFBCD1D0CAFDD1A7B6FED5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF6A3A8CEC4B6BCB0E6A3A9>
8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
第8章
教学目的 : 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义 了解二元函数的极限与连续性的概念 以及有界闭区域上的连续函数的性质 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求全微分 了解全微分存在的必要条件和充分条件 了解全微分形式的不变性 4 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法 5 掌握多元复合函数偏导数的求法 6 会求隐函数 包括由方程组确定的隐函数 的偏导数 7 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念
. 0 C.1 8. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在.9. ( ). A.0 1 C 在时为 ( ). A. 无穷大量 ; 无穷小量 ; C. 极限存在, 但极限值不为零 ; 极限不存在, 但不为无穷大量 ; 11. 下面各组函数中表示同一个函数的是 ( ) A. ;
专升本高等数学复习题库 ( 一 ) 一 单项选择题 1. 求的极限 () A.24 12 2. ( ). A.1 3. 函数是 ( ). A. 偶函数 ; 奇函数 ; C. 单调函数 ; 有界函数 4. 函数是 ( ) 函数. A. 单调 有界 C. 周期 偶 5. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在 6. 求的极限 () A.1 C.0 2 7. 求的极限 ( ) . 0 C.1 8.
考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80 房 间 804 房 间 805 房 间 70 房 间 70 房 间 70 第 七 层 房 间 704 房 间 7
第 0 章 超 级 导 读 ( 必 看 ) 本 书 共 8 章, 此 章 虽 不 讲 具 体 的 知 识 点, 但 其 地 位 是 相 当 重 要 的 因 此, 强 烈 建 议 大 家 阅 读 本 章 的 内 容 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80
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4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +
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第一章主要内容 一 极限 定义 : 运算法则 : 四则运算 复合函数 3 性质 : 有界性 唯一性 3 保号性 4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 5 lim A A α, 其中 lim α 4 无穷小量的阶 : 5 求极限的方法 : 定义, 运算法则及性质 ; 夹逼定理 ; 3 单调有界原理 求数列极限 ; 4 单侧极限与极限的关系 ; 5 两个重要极限 : si lim lim e lim
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
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多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
高等数学 E1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 E1 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 机械设计制造及其自动化 材料成型及控制工程 车辆工程 化学工程与工艺 制药工程 化学 计算机科学与技
高等数学 E1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510310503 课程名称 : 高等数学 E1 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 机械设计制造及其自动化 材料成型及控制工程 车辆工程 化学工程与工艺 制药工程 化学 计算机科学与技术 物理学 电子信息科学与技术 生物技术 园林 土木工程 交通工程等理工专业开课教研室 : 大学数学教研室
GZGS.s92
科学出版社职教技术出版中心 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 高等数学 王晓宏主编 北京 内容简介本书是高等教育 十一五 规划教材. 全书借鉴了近年来国内外先进职业教育理念, 突出了职业教育的特点, 注重学生数学素养 计算能力和应用迁移能力的培养. 本书内容包括极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及应用 常微分方程 二元函数的微积分 级数 线性代数 概率与统计初步等.
目 录 第 I 部分函数极限连续...2 第 1 讲函数...2 一 函数的基本概念...2 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 2 讲数列极限...10 一 数列极限的概念...10 二 数列极限的性质...10 三 收
目 录 第 I 部分函数极限连续... 第 讲函数... 一 函数的基本概念... 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 讲数列极限... 一 数列极限的概念... 二 数列极限的性质... 三 收敛准则... 四 数列极限的运算法则... 重点问题归纳... 第 3 讲函数极限...3 一 函数极限的概念...3 二 函数极限的性质...3
NLGS.s10
社 心 版 中 出 学 出版 cn 科 术 k. 技 boo 教.a 职 ww w 全国高等农林院校面向 世纪规划教材 高等数学 李任波丁琨主编 北京 内容简介 本书是根据教育部高等农林院校本科高等数学 ( 少学时 ) 教学基本要求 ( 试行 ) 编写的, 既有编者多年直接从事一线教学的经验, 又结合了西部高等农林院校本科教学的特点, 具有较强的针对性. 本书内容为 : 函数与极限 导数与微分 中值定理与导数的应用
2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 得分 阅卷人. 当 时, 若 f () 存在极限,
《高等数学》考试形式和试卷结构
附件 2 中国矿业大学第二学士学位招生考试参考大纲 (2018 年 ) 高等数学试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 90 分钟 答题方式答题方式为闭卷 笔试 试卷题型结构单项选择题 60 分填空题 20 分解答题 ( 包括证明题 ) 70 分 一 函数 极限 连续与间断考试内容函数的概念及表示法 : 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 ; 复合函数 反函数 分段函数和隐函数 ;
A. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求
微分中值定理与导数的应用练习题 一 选择题 :. 在下列四个函数中, 在, 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) A. y 8 B. y 4 C. y D. y sin 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A., B., C., D.,. 函数 在, 5. 方程 5 内根的个数是 ( ) A. 没有实根 B. 有且仅有一个实根 C. 有两个相异的实根 D. 有五个实根 4. 若对任意 a, b,
一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
![一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一](/thumbs/49/25862895.jpg "一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一")
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
不 定 积 分 显 然 微 分 ( 或 导 数 ) 逆 运 算 的 问 题 就 是 : 找 一 个 还 函 数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的 导 数 已 知 函 数 一 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 定 义 : 函 数 f () 的 原 函 数 全 体 称 为 f () 的 不 定 积 分 记 作 f ( ) d F( ) C 积 分 常 数 F() 求
(6) 初等函数 (1) 理解函数的概念 会求函数的表达式 定义域及函数值 会求分段函数的定 义域 函数值, 会作出简单的分段函数的图像 (2) 理解函数的单调性 奇偶性 有界性和周期性 (3) 了解函数与其反函数之间的关系 ( 定义域 值域 图像 ), 会求单调函数的反 函数 (4) 熟练掌握函数
本大纲适用于工学理学 ( 生物科学类 地理科学类 环境科学类 心理学类等四 个一级学科除外 ) 专业的考生 总要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 向量代数与空间解析几何 多元函数微积分学 无穷级数 常微分方程的基本概念与基本理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力
附附录录 高高等等数数学学 考考试试大大 函数的性质 有界性 奇偶性 周期性 单调性 基本初等函数 初等函数 理解函数的概念 了解函数的表示法 会求函数的定义域 理解函数的有界性 奇偶性 周期性和单调性 纲纲 理解分段函数 反函数 复合函数 隐函数和由参数方程所确定的函数的概念 掌握基本初等函数的性
附录 高等数学 考试大纲 高等数学 考试大纲 年版 试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试 遵循网络教育应用型人才的培养目标 针对从业人员继续教育的特点 重在检验学生掌握基础知识的水平及应用能力 以全面提高现代远程高等学历教育的教学质量 高等数学课程是现代远程教育试点高校网络教育实行全国统一考试的部分公共基础课之一 该课程的考试是一种基础水平检测性考试 考试大纲的内容是按照这一要求设计的 课程教学应按照课程教学大纲的要求进行
y B C O F. 设 f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 的 函 数, 在 区 间, 上 f 5 9 其 中 ar, 若 f f, 则 5 y 4 0,. 已 知 实 数 y, 满 足 y 0, 3 y 3 0, f a 的 值 是. 则 y 的 取 值 范 围 是. a, 0,, 0,
参 考 公 式 : 样 本 数 据,,, n 棱 柱 的 体 积 V 爱 智 康 高 考 研 究 中 心 高 中 数 学 张 勇 凯 桑 和 瑞 何 军 凤 闫 泓 水 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) n i n i 的 方 差 s 数 学 Ⅰ n i n i, 其 中. Sh, 其 中 S 是 棱 柱 的 底 面 积, h 是 高. 棱 锥 的
2009ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
平面曲线的切线和法线 ; 导数和微分的四则运算 ; 基本初等函数的导数 ; 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 ; 高阶导数 ; 相关变化率 ; 洛必达 (L'Hospital) 法则 ; 函数单调性的判别 ; 函数的极值与最值 ; 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 ; 函数图形
硕士 ( 港澳台 ) 数学考试大纲与要求 对知识的要求层次 : (1) 初步的感性认识, 能处理简单的问题, 用语 : 知道, 会 ; (2) 一定的理性认识, 能模仿解决一般问题, 用语 : 了解, 掌握 ; (3) 较深刻的理性认识, 能主动利用知识解决相对复杂的问题, 用语 : 理解, 能够运用 高等数学一 函数 极限与连续 考试内容 函数的概念及表示法 ; 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
初 啼 八 集 2006 至 2007 年 度 出 地 版 : 伯 特 利 中 學 址 : 元 朗 錦 繡 花 園 F 段 第 四 街 11 號 電 話 :2471 2622 傳 真 :2471 5171 製 作 : 同 理 心 創 念 有 限 公 司 出 版 日 期 :2007 年 7 月 序 初 啼, 是 由 本 校 中 文 科 和 活 力 組 合 辦 的 文 集, 提 供 給 學 生 發 表
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一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 7 年 8 月南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ ] 上连续
学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可
学年冬学期 资料白皮书 科目 : 微积分 出版单位 : 丹青学业指导中心 出版时间 : 年 月 学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可以变化的.
第五章 不定积分
第四章不定积分 在微积分学 微分学和积分学 中 积分与微分互为逆运算 第二章中 我们讨论了如何求一个函数 的导数问题 但是在实际问题中 常常会遇到相反的问题 即已知函数的导数求原来的函数 例如 在经 济分析中 往往已知产品的边际成本 m 求产品的总成本函数 ; 已知产品的边际收益 R m 求产品的总收益函数 R 等等 这是积分学的基本问题之一 本章介绍不定积分的概念 性质及求不定积分的基本方法 第一节不定积分的概念与性质
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
上海师范大学本科课程教学大纲格式
微积分 教学大纲 课程名称 : 微积分 英文名称 : calculus 学分 : 6 总学时 :108 实验 ( 上机 ) 学时 : 无 开课专业 : 经济学专业 财务管理专业 资产管理专业 物业管理专业 一 课程性质 目的和培养目标 : 微积分 是一门数学基础课程, 它的主要内容包括函数 极限 连续 导数与微分, 中值定理与导数的应用, 不定积分, 定积分, 多元函数微分法及其应用, 重积分, 无穷级,
第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )
![第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )](/thumbs/92/107866425.jpg "第 章一元函数微分学 复合函数求导法则 : 设 = f ( u) u = g( ) 都关于自变量可导, 则 [ f ( g( ))] = f ( u) g ( ) 5 牢记基本导数公式 : α () c = () ( ) = α () ( ) = l () (e ) = e α (5) (log )")
第 章一元函数微分学 一 学习要点 掌握导数的概念及其几何意义, 掌握可导性和连续性的关系 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程 熟练掌握导数的基本公式 四则运算法则及复合函数的求导方法 掌握隐函数的求导法 对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法 理解高阶导数的概念, 会求简单函数的 阶导数 理解函数微分的概念, 掌握微分法则, 掌握可微与可导的关系 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件 结论及其几何意义
Ａ
工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...
目 录 目 录 第一章 函 数 集合 函数 初等函数 第二章 极限与连续 极限的定义 无穷小量与无穷大量 极限的运算法则 极限存在准则 函数的连续性 第三章 导数与微分 导数的概念 求导法则与导数公式 高阶导数 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 微分 第四章 中值定理与导数的应用 微分中值定理
目 录 目 录 第一章 函 数 集合 函数 初等函数 第二章 极限与连续 极限的定义 无穷小量与无穷大量 极限的运算法则 极限存在准则 函数的连续性 第三章 导数与微分 导数的概念 求导法则与导数公式 高阶导数 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 微分 第四章 中值定理与导数的应用 微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性和极值 函数的凹凸性及拐点 函数形的描绘 平面曲线的曲率 第五章 不定积分
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
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Taylor f( ), ; f ( ) cos( + α ), ; f( ) + si, ; f( ) e si, ; f ( ) ta, ; f( ) l(cos ), 6 ;, ( ) e, f, si l, f ( ),, f( ) + +,. f( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( 8 8 + + + + + ( 9 6 7 8 + + + + +( ) 9 8
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
第一章.doc
= c < < + + = S = c( ) = k =, k =,,, Λ < < + = 4 = = = = 4 k = k =,,, Λ X R X X = f () X X = f ( ) k = + k =,,, Λ = f () X X f ( ) = = = = n n = an + an +... + a + a a n =a +a +a = a + a + a a n f ( )
高等数学 积分表 公式推导
高等数学 积分表 公式推导 目 录 一 含有 的积分 ~9 二 含有 的积分 ~ 5 三 含有 的积分 9~ 9 四 含有 的积分 ~ 五 含有 的积分 9~ 六 含有 的积分 ~ 5 七 含有 的积分 5~5 八 含有 的积分 59~7 7 九 含有 的积分 7~7 十 含有 或 的积分 79~ 5 十一 含有三角函数的积分 ~ 55 十二 含有反三角函数的积分 其中 ~ 6 十三 含有指数函数的积分
作者 : 闫浩 年 月 同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出 为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c
作者 : 闫浩 年 月 / 微积分 B 第二次习题课参考答案 第六周 一 隐函数求导 方向导数与梯度. 设函数 是由方程 确定的 则函数 在点 的微分 d 答 : d d d 设方程 可以确定隐函数 求 d d d d. 本题不用解出最终答案 会解题过程就可以. 解 : d d d d d d d d d d d d. v 求 v 解 : v 和 的函数关系由方程组 v 确定 由隐函数微分法得到两个方程对于
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
高等数学 D 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 D 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 心理学 小学教育 社会工作 旅游英语等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定 :
高等数学 D 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510309103 课程名称 : 高等数学 D 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 心理学 小学教育 社会工作 旅游英语等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 高等数学 D 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510309103 课程名称 :
Microsoft Word - 中山大学历年考研试题-数学分析（1999~2010）
中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :65 一 ( 每小题 6 分, 共 48 分 ) () 求极限 lim ( ) ( ) ; () 求不定积分 ma(,) d ; si t () 已知 f ( ) dt, 求定积分 ( ) t f d ; (4) 求二元函数极限 lim( ) ; (5) 求二次积分 d e d ;
第9章 排队论
9, 9. 9.. Nt () [, t] t Nt () { Nt ( ) t [, T]} t< t< t< t + N ( ( t+ ) i+ N( t) i, N( t) i,, N( t) i N + + N ( ( t ) i ( t ) i ) (9-) { Nt ( ) t [, T)} 9- t t + t, t,, t t t { Nt ( ) t [, T] } t< t,,
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第三章一元函数积分学 3. 不定积分的概念 3. 不定积分的计算方法 3.3 定积分概念及性质 3.4 积分学基本公式 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法 3.7 定积分的应用 3. 不定积分的概念 3.. 原函数与不定积分的概念 3.. 不定积分的性质与基本积分公式 3.. 原函数与不定积分的概念 定义 3. 设 f 使得对 在区间 I内的一个原函数 例 sin cos ln > 0 ln 是区间
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其 关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则 : 单调有 界准则和夹逼准则两个重要极限 : sin x lim 1, x 0 x 1 lim 1 x x x e 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的
2018 考研数学二大纲原文汇总 考试科目 : 高等数学 线性代数 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 高等数学约 78% 线性代数约 22% 四 试卷题型结构 单项选择题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分 解答题 ( 包括证明题
高等数学 Advanced Calculus 一 基本信息 ( 必填项 ) 课程代码 : 课程学分 : 4 面向专业 : 机电一体化技术 计算机应用技术 ( 备注 : 此大纲同样适用于计应专业的 高等数学 ( 理 )(1), 课程代码为 , 因此不再另外撰写 ) 课程性
高等数学 Advanced Calculus 一 基本信息 ( 必填项 ) 课程代码 : 0100049 课程学分 : 4 面向专业 : 机电一体化技术 计算机应用技术 ( 备注 : 此大纲同样适用于计应专业的 高等数学 ( 理 )(1), 课程代码为 0100009, 因此不再另外撰写 ) 课程性质 : 公共基础课 开课院系 : 信息技术学院使用教材 : 主教材 高等数学 ( 第四版 ) 上册同济大学天津大学浙江大学重庆大学编高等教育出版社
WJF.s10
科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课系列教材 微积分 段复建主编张楠李可人刘德光副主编 北京 内容简介本书内容包括函数的极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 多元函数微分学 二重积分 无穷级数 微分方程与差分方程等 本书从实际例子出发, 引出微积分的基本概念 基本理论和基本方法, 对某些章节适当降低理论深度, 注重数学在经济管理领域中的应用,
标题
知识目标 理导数与微分的概念及其本质含义. 了导数的几何意义 物理意义 经济意义等. 正确使用导数与微分的基本公式. 能力目标 能利用导数与微分的运算法则决简单的计算问题. 协作完成本单元相关的实际问题. 素质目标 对实际问题中量的变化快慢有一定的理. 课前准备 做好预习, 搜集本单元相关资料. 课堂学习任务 单元任务 2 易拉罐最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 ( 例如容量为 355