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2 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 高等数学 王晓宏主编 北京

3 内容简介本书是高等教育 十一五 规划教材. 全书借鉴了近年来国内外先进职业教育理念, 突出了职业教育的特点, 注重学生数学素养 计算能力和应用迁移能力的培养. 本书内容包括极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及应用 常微分方程 二元函数的微积分 级数 线性代数 概率与统计初步等. 每一节均有练习题, 每一章均有复习题. 本书与高中数学教材相衔接, 教学内容起点较低, 降低了理论性, 突出了数学思想和计算能力等, 语言简练, 通俗易懂. 本书可作为高职高专院校工科类高等数学通用教材和成人高校工科高等数学教材, 也可供相关工程技术人员参考. 图书在版编目 (CIP) 数据高等数学 / 王晓宏主编. 北京 : 科学出版社, 008 ( 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 ) ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 094 唱 5 Ⅰ 畅高 Ⅱ 畅王 Ⅲ 畅高等数学高等学校 : 技术学校教材 Ⅳ 畅 O3 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (008) 第 号责任编辑 : 张斌王彦刚 / 责任校对 : 刘彦妮 责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 科学出版社发行各地新华书店经销 倡 008 年 9 月第 一 版 开本 : /6 008 年 9 月第一次印刷印数 : 印张 : 9 /4 字数 : 定价 : 30 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙科印枛 ) 科学出版社职教技术出版中心 销售部电话 00 唱 编辑部电话 00 唱 ( V P04) 版权所有, 侵权必究 举报电话 : 00 唱 ; 00 唱 ;

4 前 言 本书是根据教育部最新制定的枟高职高专教育数学课程教学基本要求枠和枟高职高专教育专业人才培养目标及规格枠编写的, 是高等职业院校工科类各专业的通用教材, 也可作为专科学校 职业学校和成人高校的选用教材或教学参考书. 全书为了更好地与中学数学教学相衔接, 首先设置了预备知识部分, 介绍初等函数, 接着介绍极限 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用 常微分方程 二元函数的微积分 级数 线性代数 概率与统计初步等, 书后有 3 个附录, 内容分别是数学实验 数学建模和数学常用公式, 供读者学习时查用. 本书根据高等职业教育的特点, 坚持 以应用为目的, 以必需 够用为度, 以创新为导向 的编写原则, 其特色主要表现在 : 畅力求从实际问题中引出数学概念, 揭示概念的本质, 突出概念和实际问题的联系. 畅根据高职数学的特点, 淡化推理论证, 尽量采用数形结合法 描述法, 借助几何直观图形和物理意义阐明数学概念和验证定理, 使数学概念直观化 形象化. 3 畅本书主要是针对工科类专业学生学习的教材. 紧密结合专业课内容编写, 使学生能对专业课中的相关概念作出数学分析和描述, 达到促进学生学好专业课的目的. 4 畅注重培养学生用数学思想 方法解决实际问题的能力 ( 把实际问题转化为数学模型, 并求解模型 ), 通过简单的数学建模训练, 提高学生学习数学的兴趣和借助计算机解决实际问题的能力. 5 畅本书每节后有练习题, 供学生巩固所学的基础知识, 每章后有 A B 两组练习, A 组是基础题, B 组是加强题, 在应用方面, 有一些微积分在科学技术和日常生活等方面的应用性例题和习题. 6 畅为适应高等数学课程教学时数减少的情况, 在保证枟高职高专教育数学课程教学基本要求枠的前提下, 对一些内容作了适当精简和合并, 例如定积分和定积分的应用合为一章, 线性代数 概率与数理统计都作为一章的形式编写. 7 畅每章末都设有一个小知识, 简要介绍著名的数学家及其成果和相关数学史, 期望对读者了解数学的发展 提高学习兴趣和开阔视野起到一定作用. 本书的基本教学时数约 0 课时, 不同专业教学课时会有所不同. 组成本书编写委员会的成员大都是湖南省内著名高校和高职院校的具有丰富教学和教改经验的教师, 他们既深知我国高职高专教育发展现状, 又熟悉本学科的教学规律并掌握教改成果, 熟练掌握现代化的教学设备和教学手段, 在此基础上对编写大纲进行了反复的研究和修改讨论. 全书由湖南工程职业技术学院王晓宏任主编, 并负责全书的框架构建 统稿和修改, 付丽编写全书提纲. 湘西民族职业技术学院于昌金编写预备知识和第 章 ; 湖南工程职业技术学院王晓宏 肖俊编写第 章, 陈兵编写第 3 章 ; 湘西民族职业技术学院毛

5 ii 高等数学 国编写第 4 5 章 ; 湖南信息职业技术学院高鸿编写第 6 章 ; 长沙环境保护职业技术学院喻曦编写第 7 章 ; 湖南机电职业技术学院王喜斌 邓虎编写第 8 章 ; 湖南大众传媒职业技术学院魏开明编写第 9 章 ; 长沙航空职业技术学院黄明秋编写第 0 章 ; 长沙职工大学周宏辉编写附录 ; 湖南工程职业技术学院陶晓静编写附录 附录 3. 非常感谢编委会成员对本书编写工作的积极参与和指导. 同时, 非常感谢科学出版社对本书的大力支持和帮助. 由于我们水平有限, 且时间仓促, 错误和不妥之处在所难免, 恳请广大教师和读者批评指正. 科学出版社职教技术出版中心

6 目 录 前言 预备知识 第 章极限与连续 5 畅 函数的极限 5 畅 畅 当 时函数的极限 5 畅 畅 当 0 时, 函数 f( ) 的极限 6 畅 畅 3 函数极限的性质 6 练习题 畅 7 畅 无穷小与无穷大 7 畅 畅 无穷小 7 畅 畅 无穷大 8 练习题 畅 9 畅 3 极限运算法则 9 练习题 畅 3 畅 4 两个重要极限 3 sin 畅 4 畅 重要极限 0 = 3 畅 4 畅 重要极限 + = e 4 练习题 畅 4 4 畅 5 初等函数的连续性 5 畅 5 畅 函数的增量 5 畅 5 畅 函数连续性概念 6 畅 5 畅 3 函数的间断点 8 畅 5 畅 4 初等函数的连续性 8 畅 5 畅 5 闭区间上连续函数的性质 9 练习题 畅 5 0 复习题 第 章导数与微分 4 畅 导数的概念 4 畅 畅 变化率问题举例 4 畅 畅 导数的定义 5 畅 畅 3 求导数举例 6 畅 畅 4 导数的几何意义 9 畅 畅 5 可导与连续的关系 30 练习题 畅 3 畅 求导法则与求导公式 3

7 iv 高等数学 畅 畅 导数的四则运算法则 3 畅 畅 复合函数的求导法则 33 畅 畅 3 隐函数的求导法则 34 畅 畅 4 常数和基本初等函数的导数公式 36 畅 畅 5 高阶导数 37 练习题 畅 38 畅 3 函数的微分 39 畅 3 畅 微分的定义 39 畅 3 畅 微分的几何意义 4 畅 3 畅 3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 4 畅 3 畅 4 微分在近似计算上的应用 43 练习题 畅 3 45 复习题 47 第 3 章微分中值定理与导数的应用 50 3 畅 微分中值定理与应用 50 3 畅 畅 拉格朗日中值定理 50 3 畅 畅 洛必达法则 5 练习题 3 畅 53 3 畅 函数单调性与极值 54 3 畅 畅 函数单调性的判定法 54 3 畅 畅 函数的极值及其求法 56 3 畅 畅 3 函数的最大值和最小值 60 练习题 3 畅 6 3 畅 3 曲线的凹凸与拐点 6 练习题 3 畅 畅 4 曲率 65 3 畅 4 畅 弧微分 65 3 畅 4 畅 曲率及其计算 67 3 畅 4 畅 3 曲率圆和曲率半径 69 练习题 3 畅 4 7 科学出版社职教技术出版中心 复习题 3 7 第 4 章不定积分 76 4 畅 不定积分概念和性质 76 4 畅 畅 原函数与不定积分概念 76 4 畅 畅 不定积分性质 78 4 畅 畅 3 基本积分公式 79 练习题 4 畅 79 4 畅 换元积分法 80 4 畅 畅 直接积分法 ( 公式法 ) 80 4 畅 畅 换元积分法 8 练习题 4 畅 87 4 畅 3 分部积分法 88

8 目录 v 练习题 4 畅 3 90 复习题 4 9 第 5 章定积分及其应用 93 5 畅 定积分的定义及其性质 93 5 畅 畅 引例 93 5 畅 畅 定积分的定义 95 5 畅 畅 3 定积分的几何意义 96 5 畅 畅 4 定积分的基本性质 97 练习题 5 畅 98 5 畅 定积分的计算 98 5 畅 畅 积分上限函数及其导数 98 5 畅 畅 牛顿莱布尼兹 (Newton 唱 Leibniz) 公式 99 练习题 5 畅 00 5 畅 3 定积分换元积分法和分部积分法 00 5 畅 3 畅 定积分的换元积分法 00 5 畅 3 畅 定积分的分部积分法 0 练习题 5 畅 畅 4 广义积分 04 练习题 5 畅 畅 5 定积分在几何上的应用 05 5 畅 5 畅 定积分元素法 05 5 畅 5 畅 平面图形的面积 06 5 畅 5 畅 3 旋转体的体积 08 5 畅 5 畅 4 平面曲线的弧长 0 练习题 5 畅 5 5 畅 6 定积分在物理上的应用 5 畅 6 畅 变力沿直线运动 5 畅 6 畅 静水的压力 3 练习题 5 畅 6 4 复习题 5 6 第 6 章常微分方程 8 6 畅 微分方程基本概念 8 6 畅 畅 引例 8 6 畅 畅 微分方程及其解 8 6 畅 畅 3 可分离变量的微分方程 0 练习题 6 畅 6 畅 一阶线性微分方程 练习题 6 畅 5 复习题 6 6 第 7 章二元函数的微积分 8 7 畅 向量与空间 8

9 vi 高等数学 7 畅 畅 空间直角坐标系 8 7 畅 畅 几种常见的曲面及其方程 9 练习题 7 畅 3 7 畅 多元函数与二元函数微分 3 7 畅 畅 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 3 7 畅 畅 二元函数的偏导数 3 7 畅 畅 3 二元函数的全微分 34 7 畅 畅 4 二元函数的极值 35 练习题 7 畅 38 7 畅 3 二重积分 39 7 畅 3 畅 二重积分的概念 39 7 畅 3 畅 二重积分的计算 ( 在直角坐标系下 ) 4 练习题 7 畅 3 44 复习题 7 45 第 8 章级数 47 8 畅 无穷级数 47 8 畅 畅 数项级数的概念 47 8 畅 畅 数项级数的性质 48 8 畅 畅 3 级数收敛的必要条件 50 练习题 8 畅 5 8 畅 数项级数的审敛法 5 8 畅 畅 正项级数及其审敛法 5 8 畅 畅 交错级数及其审敛法 56 8 畅 畅 3 任意项级数及其审敛法 57 练习题 8 畅 58 8 畅 3 幂级数 59 8 畅 3 畅 函数项级数的一般概念 59 8 畅 3 畅 幂级数及其收敛区间 60 8 畅 3 畅 3 幂级数的运算 63 练习题 8 畅 3 65 科学出版社职教技术出版中心 8 畅 4 函数展开成幂级数 65 8 畅 4 畅 泰勒 (Taylor) 级数 65 8 畅 4 畅 直接展开法 67 练习题 8 畅 畅 5 傅里叶级数 68 8 畅 5 畅 三角函数系的正交性 68 8 畅 5 畅 函数展开为傅里叶级数 69 练习题 8 畅 畅 6 拉普拉斯变换 7 8 畅 6 畅 拉普拉斯变换的概念 7 8 畅 6 畅 拉普拉斯逆变换 73 8 畅 6 畅 3 拉普拉斯变换的应用 78

10 目录 vii 练习题 8 畅 6 80 复习题 8 8 第 9 章线性代数 84 9 畅 行列式 84 9 畅 畅 二阶与三阶行列式 84 9 畅 畅 n 阶行列式 87 9 畅 畅 3 克莱姆法则 90 练习题 9 畅 9 9 畅 矩阵 93 9 畅 畅 矩阵的概念 93 9 畅 畅 矩阵的运算 94 9 畅 畅 3 逆矩阵 98 9 畅 畅 4 矩阵的初等变换 99 练习题 9 畅 0 9 畅 3 线性方程组 0 9 畅 3 畅 高斯消元法 0 9 畅 3 畅 线性方程组解的判定 04 9 畅 3 畅 3 线性方程组的结构 05 练习题 9 畅 3 08 复习题 9 09 第 0 章概率与统计初步 3 0 畅 随机事件及其概率 3 0 畅 畅 随机事件的概念及其关系 3 0 畅 畅 概率的定义 6 0 畅 畅 3 概率计算的有关公式 8 练习题 0 畅 3 0 畅 随机变量的概率分布与数字特征 4 0 畅 畅 随机变量的概率分布 4 0 畅 畅 随机变量的数字特征 3 练习题 0 畅 37 0 畅 3 统计基本概念及常见统计量的分布 38 练习题 0 畅 畅 4 参数估计 4 0 畅 4 畅 点估计 4 0 畅 4 畅 参数的区间估计 43 练习题 0 畅 4 46 倡 0 畅 5 一元线性回归 47 0 畅 5 畅 一元线性回归 47 0 畅 5 畅 线性相关性的显著性 5 练习题 0 畅 5 5 复习题 0 53

11 viii 高等数学 参考答案 56 附录 数学实验 76 附录 数学建模 8 附录 3 数学常用公式 9 主要参考文献 98 科学出版社职教技术出版中心

12 预备知识 畅集合 区间和邻域 () 集合. 集合的定义 : 集合就是具有某种共同属性的一些对象所组成的全体. 例如, 某班全体同学组成一个集合 ; 所有三角形组成一个集合 ; 某工厂的产品组成一个集合. 集合里的各个对象叫做这个集合的元素. 集合用大写字母如 A B C 表示, 而元素则用小写字母如 a b c 表示. 集合的分类 : 含有有限个元素的集合称为有限集, 含有无限个元素的集合称为无限集. 例如某班全体同学组成的集合是一个有限集, 而所有三角形组成的集合则是一个无限集. 元素与集合的关系 : 对于元素 a 与集合 A,a 要么是 A 的元素, 要么不是 A 的元素. 如果 a 是 A 的元素, 则记作 a A, 读作 a 属于 A, 否则记作 a 臭 A, 读作 a 不属于 A. 集合的表示方法 : (A) 列举法. 把集合中所有元素都列举出来写在大括号内. 例如集合 A 由 组成, 就可记为 A =,,3,4,5. (B) 描述法. 把集合中的元素的公共属性描述出来, 大括号内先写上这个元素的一般形式, 再划一竖线或 :, 然后写上集合的元素具有的共同属性. 例如满足不等式 a < < b 的所有实数 的集合, 可表示为 A = a < < b. 空集 : 不含任何元素的集合叫做空集, 记作碬, 例如 A = + = 0, R = 碬. () 子集 交集 并集和补集. 定义 0 畅 如果集合 A 中的每一个元素都属于集合 B, 则称集合 A 为 B 的子集. 记为 A 彻 B 或 B 澈 A. 例如, 设集合 R = { 为实数 },Q = { 为有理数 }, 则 Q 彻 R. 如果,A 彻 B, 存在 B 但 臭 A, 则称 A 为 B 的真子集, 记作 A 炒 B 或 B 车 A. 例如, Q 炒 R, 因为无理数 π R, 但 π 臭 Q. 空集碬是任何集合 ( 包括空集本身 ) 的子集, 即碬彻 A, 空集碬是任何非空集合 ( 不包括空集本身 ) 的真子集. 定义 0 畅 设集合 A B, 如果 A 彻 B 且 B 彻 A, 则称集合 A B 相等, 记作 A = B. 定义 0 畅 3 既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素的集合叫做集合 A 与集合 B 的交集, 记作

13 高等数学 A B, 即 A B = { A 且 B}, 如图 0 畅 所示. 定义 0 畅 4 所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A 与集合 B 的并集. 记作 A B, 即 A B = { A 或 B}, 如图 0 畅 所示. 例如, 设 A = < < 4,B = < < 3, 则 A B = { < < 3},A B = { < < 4}. 如果所讨论的集合都是某一个集合 I 的子集, 那么集合 I 称为这些子集的全集. 图 0 畅 图 0 畅 图 0 畅 3 定义 0 畅 5 如果集合 A 是全集 I 的子集, 则在 I 中不属于 A 的元素组成的集合叫做 集合 A 的补集, 记作珡 A 或瓓 I A, 如图 0 畅 3 所示. 显然 A 珡 A = 碬,A 珡 A = I, 珢 A = A. b]. 的 (3) 区间. 集合 { a < < b} 称为开区间, 记作 ( a,b), 集合 { a b} 称为闭区间, 记作 [ a, 此外, 还有半开半闭区间 无穷区间 (4) 邻域. a,b = a < b, a,b = a < b. a, + = > a, a, + = a, -,a = < a, -,a = a, 集合 - a < ε 称为点 a 的 ε 邻域. -, + = R. 由 - a < ε 可得 a - ε< < a + ε, 所以点 a 的 ε 邻域是开区间 a - ε,a + ε. 例如 邻域就是,3, 集合 0 < - a < ε 称为点 a 的 ε 去心邻域. 例如 的去心邻域就是,,3 畅初等函数. 科学出版社职教技术出版中心 () 复合函数. 先看一个例子 : 设 y = u 3,u R, 而 u = -, R, 那么对于任何一个 R, 就有 y

14 预备知识 3 与之对应, 其中 y = ( - ) 3, 我们称 y = ( - ) 3 为复合函数. 一般地, 设 y = f( u),u H, 而 u = φ( ), D, 其值域为 D, 若 D 彻 H, 那么 y = f[ φ( )] 称为 y = f( u) 与 u = φ( ) 的复合函数, 其中 u 称为中间变量. 例如, 函数 y = a sin 是由 y = a u 与 u = sin 复合而成的. 又如函数 y = log a 由 y = u 3 与 u = loga v,v = 复合而成. () 基本初等函数. 3 是 幂函数 y = α 指数函数 y = a 对数函数 y = log a 三角函数 反三角函数等统称为 基本初等函数. (3) 初等函数. 定义 0 畅 6 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算与复合而成且能用一个数学 式子表示的函数叫做初等函数. 例如,y = cos(e ) y = lg + 及 y = cos(e ) - 3lg + 都是初等函数, 而 则不是初等函数. 3 畅建立函数关系举例 y =, > 0 -, 0 寻找函数关系是高等数学所要研究的课题之一. 在此通过举例介绍利用简单的几何 或物理关系建立函数关系. 例 0 畅 有一块边长为 a 的正方形铁皮, 将它的四角剪去大小相同的小正方形, 制成 一只无盖盒子, 求盒子的体积与小正方形边长之间的函数关系. 解设剪去的小正方形边长为, 盒子的体积为 V, 如图 0 畅 4 所示, 则 V = ( a - ), 0,. 例 0 畅 由直线 y =,y = - 及 轴所围成的三角形, 如图 0 畅 5 所示, 在底边上任 取一点 [0,], 过 作 轴的垂线, 求图中阴影部分的面积 S 与 的关系. 图 0 畅 4 图 0 畅 5 解当 [0,] 时 S =,

15 4 高等数学当 (,] 时 S = - ( - = - -, ) 所以 S =, [0,] -. -, (,] 例 0 畅 3 如图 0 畅 6 所示, 求阴影部分的面积 S 与 的关系. 解当 0 < 时 S =, 图 0 畅 6 当 时 S = + ( - ) = -, 所以 S =, [0,] -, (,]. 例 0 畅 和例 0 畅 3 中所得函数都有两个式子, 在定义域内不同区间上用不同式子表示 的函数称为分段函数. 科学出版社职教技术出版中心

16 畅 畅 当 时函数的极限 图 畅 ). 第 章极限与连续 畅 函数的极限 考察函数 y = /, 当 趋于无穷大时的变化趋势. 首先观察 y = / 的图形 ( 如 当 取正值并无限增大时 ( 即 + 时 ), 或当 取负值并且它的绝对值无限增大时 ( 即 - 时 ), 函 数 y = / 的值也无限趋于 0. 当 的绝对值无限增大时 ( 即 时 ), 函数 y = / 的值无限趋于 0. 定义 畅 如果当自变量 取正值并无限增大时, 函数 f( ) 无限趋近于一个确定的常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( ) 当 + 时的极限, 记作 A 或 f ( ) A( + ). + 定义 畅 如果当自变量 取负值并且它的绝对 图 畅 值无限增大时, 函数 f( ) 无限趋近于一个确定的常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( ) 当 - 时的极限, 记作 A 或 f ( ) A( - ). - 定义 畅 3 如果当自变量 的绝对值无限增大时, 函数 f( ) 无限趋近于一个确定的 常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( ) 当 时的极限, 记作 定理 畅 f( ) = A 或 f ( ) A( ). f( ) = A 的充分必要条件是 + f( ) 与 - f( ) 均存在且相等. 例 畅 分别就自变量 趋向于 +,-, 的情况, 讨论下列函数的极限. () y = e ; () y = arctan ; (3) y =. 解 () 当 + 时,y = e 所以 e = 0 ; - e 不存在. +, 所以 e 不存在 ; 当 - 时,y = e 0, + () 当 + 时,y = arctan π, 所以 + arctan = π ; 当 - 时,y = arctan - π, 所以 - arctan = - π ; arctan 不存在. (3) 当 + 或 - 时 y = 0, 所以

17 6 高等数学 + = 0, - = 0, = 0. 畅 畅 当 0 时, 函数 f( ) 的极限 一般地, 我们有 : 定义 畅 4 设函数 f( ) 在点 0 的某一去心邻域内有定义, 如果当 无限接近于 0 时 ( 0 ), 函数 f( ) 的值无限接近于一个确定的常数 A, 则称 A 为函数 f ( ) 当 0 时的极限, 记作 从 0 记作 记作 f( ) = A 或 f ( ) A 0. 0 例如, 0 ( + ) =. 0 包含 从 0 的左边 ( < 0 ) 趋近于 0 ( 记作 - 0 ) 和 的右边 ( > 0 ) 趋近于 0 ( 记作 + 0 ) 两种情形. 定义 畅 5 如果当 - 0 时, 函数 f( ) A, 则 A 叫做 f ( ) 当 0 时的左极限, - 0 f( ) = A. 定义 畅 6 如果当 + 0 时, 函数 f( ) A, 则 A 叫做 f ( ) 当 0 时的右极限, + 0 f( ) = A. 定理 畅 函数 f( ) 当 0 时的极限存在的充分必要条件是函数 f( ) 当 0 时的左右极限都存在而且相等, 即 不存在. 因此, 如果 - 0 f( ) = A 骋 f( ) = f( ) = A f( ), + 0 例 畅 求下列极限 : () 0 ; () 0 C ( C 为常数 ). 解 () 0 = 0 ; () 0 C = C. f( ) 至少有一个不存在或虽然存在但不相等, 则 0 f( ) 例 畅 3 求函数 f( ) = +, 0 当 0 时的左右极限, 并讨论极限 -, < 0 0 f( ) 是否存在. 解 0 - f( ) = ( - ) =, 例 畅 4 求 - -. 解 - - = 畅 畅 3 函数极限的性质 ( - )( + ) - f( ) = ( + ) =, 所以 f( ) =. = ( + ) =. 定理 畅 3( 唯一性 ) 如果 0 f( ) 存在, 则 0 f( ) 是唯一的. 科学出版社职教技术出版中心

18 第 章极限与连续 7 定理 畅 4( 有界性 ) 如果 0 f( ) 存在, 则 f( ) 在 0 的某一去心邻域内有界. 定理 畅 5( 保号性 ) 如果 0 f( ) = A > 0( 或 A < 0), 则存在点 0 的某一去心邻域, 当 在该邻域内时, 有 f( ) > 0( 或 f( ) < 0). 由定理 畅 5 可推出 定理 畅 6 如果 f( ) 0( 或 f( ) 0) 且 0 f( ) = A, 则 A 0( 或 A 0). 练习题 畅 畅观察并写出下列极限. () - 4 ; (5) + () ; (6) 畅观察并写出下列极限. () ( - 3) ; (5) ln ; 3 畅设 f( ) = () 3 ; (6) 0 tan ; +, < -, 说明当 时函数的极限是否存在. 4 畅设 f( ) = +, < 0, = 0 -, > 0 ; (3) e ; (4) (3) - ( - ) ; (4) (e + ) ; (7) ( - 3) ; (8) - arcsin. >, 作出它的图像, 并求当 时函数的左右极限, 从而, 求 f(0 + ),f(0 - ), 0 f( ). 5 畅求函数 f( ) = 当 0 时的左右极限, 并说明当 0 时的极限是否存在. ; 畅 畅 无穷小 畅 无穷小与无穷大 定义 畅 7 极限是零的变量, 称为无穷小量, 简称无穷小. 例如, = 0, 时的无穷小 ;( - ) 是当 时的无穷小. = 0, ( - ) = 0, 因此是当 时的无穷小 ; 是当 想一想 () 当 时, + 3 是否无穷小? 为什么? ()0 畅 是否无穷小? 常数 0 是否无穷小? 为什么? 性质 畅 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质 畅 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如 sin, 故 0 sin = 0. 因为常数可以看作有界函数, 所以根据性质性质 畅, 得 : 推论 畅 常数与无穷小的乘积是无穷小.

19 8 高等数学 因为无穷小是有极限的函数, 所以无穷小是局部有界的. 于是, 根据性质 畅 得 : 推论 畅 有限个无穷小的乘积是无穷小. 定理 畅 7 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和 ; 反之, 如果函数可表示 为常数与无穷之和, 那么该常数就是这个函数的极限, 即 畅 畅 无穷大 f( ) = A 骋 f( ) = A + α (α 是当 0 时的无穷小 ). 0 定义 畅 8 如果当 0 ( 或 ) 时, 函数 f( ) 的绝对值无限增大, 则函数 f( ) 叫做当 0 ( 或 ) 时的无穷大量, 简称无穷大. 观察如图 畅 (a) 图 畅 (b) 可知当 0 时, 函数 f( ) = 的绝对值无限增大, 所以 f( ) = 是当 0 时的无穷大 ; 当 + 时, 函数 f( ) = e 的绝对值无限增大, 所以 f( ) = e 是当 + 时的无穷大 ( 但当 - 时,f( ) = e 是无穷小 ). 图 畅 如果函数 f( ) 当 0 ( 或 ) 时是无穷大, 则它的极限是不存在的, 但为了便于 描述函数的这种变化状态, 我们也说此时 函数的极限是无穷大 并记作 f( ) = ( 或 f( ) = ). 0 如果函数 f( ) 当 0 ( 或 ) 时是无穷大, 且当 0 时, 对应的函数值都是正 的或负的, 则分别记作 0 ( ) 例如, 由图 畅 (a) 图 畅 (b) 可知 f( ) = +, 0 ( ) 0 + = +, 0 - = - ; f( ) = -. e = +. + 无穷小与无穷大有什么关系呢? 我们知道, 当 0 时 f( ) = 是无穷大, 但它的倒 数 g( ) = 是无穷小. 有下面的定理 : 定理 畅 8 在自变量的同一变化过程中, 如果 f ( ) 是无穷大, 则 科学出版社职教技术出版中心 是无穷小 ; 反 f( )

20 第 章极限与连续 9 之, 如果 f( ) 是无穷小, 则是无穷大. f( ) 练习题 畅 畅选择题. () 当 时, 下列变量中不是无穷小的是 ( ). (A) - ; (B) ( - ) - ; (C) - - ; (D) () 下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷小的有 ( ). (A) - ( 0) ; (B) + ( ) ; (C) cos ( 0) ; (D)e ( 0 - ). (3) 下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的有 ( ). (A)ln( - )( + ) ; (B)arctan ( + ) ; + (C) ( ) ; (D) - ( - ). 畅当 0 时, 下列函数哪些是无穷小? 哪些是无穷大? () y = 5 ; () y = 3 ; (3) y = 3 ; (4) y = 3. 3 畅下列函数在自变量怎样变化时是无穷小或是无穷大? () y = 3 + ; () y = + 5 ; (3) y = sin ; (4) y = ln. 畅 3 极限运算法则 现在我们来研究极限的运算法则. 为了简便, 在下面的讨论中只对 0 行说明, 但得到的结论对于自变量的所有变化过程都是成立的. 定理 畅 9 如果 0 f( ) = A, 0 g( ) = B, 则 () 0 [ f( ) ± g( )] = 0 f( ) ± 0 g( ) = A ± B ; () 0 [ f( ) g( )] = 0 f( ) 0 g( ) = A B ; f( ) (3) 0 g( ) = 0 f( ) g( ) = A B ( B 0). 0 证明这里只证结论 (), 结论 () 和 (3) 可类似证明. 因为 0 f( ) = A, 0 g( ) = B, 由定理 畅 7 可知 其中 α 和 β 是当 0 时的无穷小, 于是 f( ) = A + α, g( ) = b + β, f( ) g( ) = ( A + α)( b + β) = AB + ( Aβ + Bα + αβ), 的情形进

21 0 高等数学 由无穷小性质可知,Aβ + Bα + αβ 为无穷小, 再由定理 畅 7, 得 [ f( ) g( )] = 0 AB = 0 f( ) 0 g( ). 定理 畅 9 可以推广到有限个函数的情形, 特别地, 在 () 中, 当 g( ) = C( C 为常数 ) 时, 有 推论 畅 3 如果 0 f( ) 存在,C 为常数, 则 即常数因子可以提到极限符号外. 0 Cf ( ) = C 0 f( ), 当 g( ) = f( ), 并将它推广到 n 个函数情形, 有 : 推论 畅 4 如果 0 f( ) 存在,n 为正整数, 则 0 [ f( )] n = [ 0 f( )] n. 注意 () 在使用上述运算法则时, 要求每个参与运算的函数的极限都必须存在 ; () 在使用商的法则时, 要求分母的极限不能为零. + - 例 畅 5 求 3. - 解当 3 时, 分母的极限不为 0, 所以有 = 例 畅 ( + - ) 3 ( - ) = = 4. = 解当 时, 分母的极限为零, 不能直接应用商的运算法则, 但同时它的分子的 极限也为零, 这种类型属于 0 0 型, 可以通过因式分解后约去分子分母中极限为零的因子 的办法进行计算 例 畅 7 求 = ( + 3)( - ) - 3 = ( + 3) = 5. 解此种类型分子分母的极限都不存在, 称为 型, 也不能直接利用运算法则进 行计算, 我们将分子分母同时除以 3, 再求极限, 得 = 例 畅 8 求 解分子分母同除以 3, 再求极限, 得 = = 3. 3 科学出版社职教技术出版中心

22 第 章极限与连续 = = 0 3 = 例 畅 9 求. + 解分子的次数高于分母的次数, 如果分子分母同除以 3, 则分子极限为, 分母极 限为 0, 也不能直接用极限的运算法则, 我们仿照例 畅 8 的方法, 得 所以 = 归纳例 畅 8 例 畅 9 及例 畅 0, 可得到以下一般结论 a 0 m + a m- + + a m = b0 n + b n- + + bn + - 例 畅 0 求 0. a0 b = 0. =., 当 n = m 0, 当 n > m ( a0 0,b0 0)., 当 n < m 解当 0 时, 分子分母的极限都为零偶里, 不能直接用极限的运算法则, 可先对 分子有理化, 再求极限 例 畅 设 + - ( + - )( + + ) 0 = 0 ( + + ) = 0 求 f( ), f( ), 0 f( ). f( ) = ( + + ) = 0 -, > + 3,, + + =. 解因为 = 是函数的分段点, 所以求 f( ) 时需要考虑它的左右极限, 因为 + - f( ) = ( - ) = -, + f( ) = ( + 3) = 5 ; + 左右极限不相等, 所以 f( ) 不存在. 因为 (,+ ), 所以 因为 0 ( -,], 所以 f( ) = ( - ) =.

23 高等数学 一般地, 有下述复合函数的极限法则 : 0 f( ) = 0 ( + 3) = 3. 定理 畅 0 设函数 y = f( u) 与 u = φ( ) 满足条件 () u a f ( u) = A ;() 在点 0 个去心邻域内,φ( ) a, 且 0 φ( ) = a, 则复合函数 y = f [ φ( )] 当 0 在, 且 练习题 畅 3 畅选择题. - () + = ( ). f[ φ( )] = u a f ( u) = A. 0 (A)0 ; (B) ; (C) ; (D) 不能确定. () 0-0 = ( ). (A)0 ; (B)0 ; (C) ; (D) 不能确定. (3) = ( ). (A) 4 5 ; (B)0 ; (C) ; (D) 不能确定. - (4) 3 + = ( ). (A) 3 ; (B) 3 畅求下列极限. - () ; ; (C)0 ; (D). () - 4 (3) ( - ) ; (4) (5) 畅求下列极限. () ; (6) 3 - ; sin ; () ; (3) ; (4) ; - (5) + ; (6) ; 的某 时的极限存 科学出版社职教技术出版中心

24 第 章极限与连续 3 4 畅设 + - 3, f( ) = 求 f( ), f( ), f( ). - 3, < <. -, + a + b 5 畅已知 =, 试求 a 与 b 的值. - 畅 4 两个重要极限 sin 畅 4 畅 重要极限 0 = 此处我们省略结论的证明. 注此结论的应用需要注意, 它是一种模式, 其特征为 : () 是 0 0 型极限 ; () 所求极限的函数是分式 ; (3) 分子含有正弦 ; (4) 分母是与正弦角相同的表达式 ; (5) 出现 的表达式形式一致. tan 例 畅 求 0. tan 解 0 = 0 sin cos sin = 0 tan 注 0 = 以后可以直接当成结论使用. 例 畅 3 求 0 sin sin3. sin sin 解 0 sin3 = 0 sin3 3 3 例 畅 4 求 0 - cos. = 3 sin sin3 3 0 cos = =. = 3. sin - cos 解 0 = 0 = 0 sin = 0 sin = sin 0 =. sin( - 9) 例 畅 5 求

25 4 高等数学 解 sin( - 9) sin( - 9) 3 = ( + 3) = ( - 3)( + 3) 3 畅 4 畅 重要极限 = sin( - 9) ( + 3) - 9 sin( - 9) ( - 9) ( + 3) = 6 = 6. + 此处我们省略结论的证明. = e 此结论的应用需要注意, 它也是一种模式, 其特征为 : () 是 型极限 ; () 所求极限的函数是幂指函数 ( 一种超越函数 ), 指数和底数都含有变量 ; (3) 底数所含变量的式子 (4) 底数的表达式是一个和式, 含有两个. 公式还可以变形为 例 畅 6 求极限 解 + 例 畅 7 求 解 = + 5 例 畅 8 求 + - 解 练习题 畅 4 畅求下列极限. () 0 sin ; (3) 0 cot ; + - 与指数所含变量的式子 成倒数关系 ;. - + = e = + 5. = = - = 5 5 = + + = e 3 = e () sin5 0 sin ; ( + )sin (4) 0 ; - cos sin - sin a (5) 0 ; (6) sin a - a = e - = e = e 5. 科学出版社职教技术出版中心 3 -

26 第 章极限与连续 5 畅求下列极限. () 0 ( - ) ; () + ; (3) + ; (4)( + cos ) sec ; π (5) + - ; (6) 畅 5 初等函数的连续性 畅 5 畅 函数的增量 看下面的例子 : 设 f( ) =, 当自变量 由 0 = 变到 = 畅 0 时, 对应的函数由 f( 0 ) = f() = 变到 f( ) = f( 畅 0) = 畅 0 = 畅 00, 则自变量 与函数 f ( ) 的改变 量分别是 - 0 = 畅 0 - = 0 畅 0, f( ) - f( 0 ) = f( 畅 0) - f() = 畅 00 - = 0 畅 00. 定义 畅 9 如果函数 y = f( ) 在 0 的某一邻域内有定义, 当自变量 由 0 变到 时, 函数对应的值由 f( 0 ) 变到 f( ), 则差 - 0 叫做自变量 的增量 ( 或改变量 ), 记 作 Δ, 即 Δ = - 0, ( 畅 ) 而差 f( ) - f( 0 ) 叫做函数 y = f( ) 在 0 处的增量 ( 或改变 量 ), 记作 Δ y, 即 Δ y = f( ) - f( 0 ), ( 畅 ) 由式 ( 畅 ) 可得 = 0 + Δ, ( 畅 3) 将式 ( 畅 3) 代入式 ( 畅 ) 得 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ). 图 畅 3 上述关系式的几何解释如图 畅 3 所示. 例 畅 9 设 y = f( ) = +, 求适合下列条件的自变量的增量 Δ 和函数的增 量 Δ y. () 由 - 变化到 - 0 畅 9 ; () 由 - 变化到 - + Δ ; (3) 由 0 变化到 0 + Δ. 解 () Δ = - 0 畅 9 - ( - ) = 0 畅, Δ y = f( - 0 畅 9) - f( - ) = [ ( - 0 畅 9) + ] - [ ( - ) + ] = - 0 畅 38 ; () Δ = ( - + Δ ) - ( - ) = Δ, Δ y = f( - + Δ ) - f( - ) = [ ( - + Δ ) + ] - [ ( - ) + ] = - 4 Δ + ( Δ ) -

27 6 高等数学 = - 4 Δ + ( Δ ) ; (3) Δ = ( 0 + Δ ) - 0 = Δ, Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) = [ ( 0 + Δ ) + ] - [ ( 0 ) + ] = 4 0 Δ + ( Δ ). 畅 5 畅 函数连续性概念 在微积分中所讨论的函数基本上都是连续函数. 所谓连续函数, 从直观上看, 它的图 像就是一条连续的曲线. 观察如图 畅 4 可知, 函数 y = f( ) 所表示的曲线在点 M( 0,f( 0 )) 处连续, 当 0 0 时,Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 0. 观察如图 畅 5 可知, 函数 y = g( ) 所表示的曲线在点 M( 0,f ( 0 )) 处不连续, 当 0 0 时,Δ y = g( 0 + Δ ) - g( 0 ) C 0. 图 畅 4 图 畅 5 根据以上直观分析, 我们抽象出函数在点 0 处连续的定义如下 : 定义 畅 0 函数 y = f( ) 在点 0 的某个邻域内有定义, 如果当自变量 在点 0 处 的增量 Δ 0 时, 函数 y = f( ) 相应的增量 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 0, 即 则称函数 y = f( ) 在点 0 处连续. Δ y = [ f( 0 + Δ ) - f( 0 )] = 0 Δ 0 Δ 0 例 畅 0 证明函数 y = f( ) = - + 在点 = 处连续. 证明函数 y = f( ) = - + 的定义域为 -,+, 所以函数在点 = 处 及任意邻域内都有定义. 设自变量在点 = 处有增量 Δ, 则函数相应的增量为 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 所以 Δ 0 Δ y = Δ 0 Δ + Δ = 0. = + Δ - + Δ = Δ + 4 Δ - Δ = Δ + Δ, 所以根据定义 畅 0 可知, 函数 y = f( ) = - + 在点 = 处连续. 在定义 畅 0 中, 如果令 = 0 + Δ, 则 Δ y = f( ) - f( 0 ), 即 f( ) = f( 0 ) + Δ y 而 Δ 0 骋 0, 科学出版社职教技术出版中心

28 第 章极限与连续 7 所以定义 畅 0 也可以叙述成以下定义 : Δ y 0 骋 f( ) f( 0 ). 定义 畅 设函数 y = f( ) 在点 0 的某个邻域内有定义, 如果函数 y = f( ) 当 0 时的极限存在且等于它在点 0 的函数值, 即 则称函数 y = f( ) 在点 0 处连续. f( ) = f( 0 ), 0 由定义 畅 可知, 函数 y = f( ) 在点 0 处连续必须满足以下三个条件 : () 函数 y = f( ) 在点 0 处有定义, 即 f( 0 ) 是一个确定的数 ; () 函数 y = f( ) 当 0 时有极限, 即 0 f( ) 存在 ; (3) 函数 y = f( ) 当 0 时有极限与函数在该点处的函数值相等, 即 0 f( ) = f( 0 ). 例 畅 用定义 畅 证明, 函数 y = f( ) = - + 在点 = 0 处连续. 证明因为函数 y = f( ) = - + 在点 = 0 处有定义, 且 f( ) = 0 ( - + ) = = f( 0 ), 0 所以, 函数 y = f( ) = - + 在点 = 0 处连续. 例 畅 讨论函数 f( ) =, 在点 = 处的连续性. +, > 解因为 f() = = 4, 所以函数 f( ) 在点 = 有定义 ; 又因为 所以, f( ) = 4 = f(). + - f( ) = = 4, - f( ) = ( + ) = 4, + 所以由定义 畅 可知, 函数 f( ) 在点 = 处连续如图 畅 定义 畅 如果函数设函数 y = f( ) 在点 0 f( ) 存在且等于 f( 0 ), 即 - 0 f( ) = f( 0 ), 处的左极限 则称函数 y = f( ) 在点 0 处左连续, 如果函数 y = f( ) 在点 0 处的右极限 + 0 f( ) 存在且等于 f( 0 ), 即 + 0 则称函数 y = f( ) 在点 0 处右连续. 连续. f( ) = f( 0 ), 根据极限存在的充要条件, 我们有下面的定理 : 图 畅 6 定理 畅 函数 y = f( ) 在点 0 连续的充分必要条件是它在点 0 处左连续且右 定义 畅 3 如果函数 f( ) 在区间 ( a,b) 内每一点都连续, 则称函数 f ( ) 在开区间 ( a,b) 内连续, 区间 ( a,b) 叫做函数 f( ) 的连续区间 ; 如果函数 f( ) 在开区间 ( a,b) 内连

29 8 高等数学 续, 且在点 a 处右连续, 在点 b 处左连续, 则称函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续. 在闭区间 [ a,b] 上连续上连续的函数, 是 [ a,b] 上的一条连续不断的曲线. 例 畅 3 证明函数 y = 3 在区间 ( -,+ ) 内连续. 证明设 0 是区间 ( -,+ ) 内任意一点, 当自变量 在点 0 处有增量 Δ 时, 对应的函数增量为 因为 Δ y = ( 0 + Δ ) = 3 0 Δ ( Δ ) + ( Δ ) 3, Δ y = [3 Δ 0 Δ 0 0 Δ ( Δ ) + ( Δ ) 3 ] = 0, 所以,y = 3 在点 0 连续. 又因为 0 是区间 ( -,+ ) 内任意一点, 所以 y = 3 在区间 ( -,+ ) 内连续. 畅 5 畅 3 函数的间断点 定义 畅 4 如果函数 y = f( ) 在点 0 不连续, 则称 0 为函数 y = f( ) 的间断点. 由函数连续的定义 畅 可知, 如果函数 y = f( ) 在点 0 处有下列三种情况之一, 则 0 为函数 y = f( ) 的间断点. () 函数 y = f( ) 在点 0 处没有定义 ; () 极限 0 f( ) 不存在 ; (3) 虽然函数 y = f( ) 在点 0 处有定义, 且 0 f( ) 存在, 但 0 f( ) f( 0 ). 例如, 函数 y = 函数的间断点. 畅 5 畅 4 初等函数的连续性 在 = 处无定义, 所以函数 y = - 对于初等函数的连续性, 有下面的定理 : 定理 畅 如果 f( ) 和 g( ) 都在点 0 处连续, f( ) 则 f( ) ± g( ) f( ) g( ) g( ) ( g( ) 0) 在点 0 处连续. 在 = 不连续, 即 = 是 - 定理 畅 3 如果函数 u = φ( ) 在点 0 处连续, 且 u0 = φ( 0 ), 而函数 y = f ( u) 在点 u0 处连续, 则复合函数 y = f( φ( )) 在点 0 处连续. 根据函数连续性的定义可以证明基本初等函数在其定义域内都是连续的, 根据定理 畅 及定理 畅 3, 因此我们有 : 定理 畅 4 所有初等函数在其定义域内都是连续的. 利用函数的连续性, 可以很方便地求出函数的极限. 设函数 f( ) 在点 0 处连续. 于是, 根据函数在一点连续的定义, 有 而显然 0 = 0, 所以有 f( ) = f( 0 ). 0 0 f( ) = f( 0 0 ) = f( 0 ). 科学出版社职教技术出版中心

30 第 章极限与连续 9 即对于连续函数, 极限符号和函数符号可以交换次序. 例 畅 4 求 ln cos. π 4 解函数 f( ) = ln cos 是初等函数, 在点 = π 4 处有定义, 所以连续, 所以 π 4 ln cos = ln cos( ) = ln cos π π 4 = ln. 4 畅 5 畅 5 闭区间上连续函数的性质 定理 畅 5( 最大值与最小值定理 ) 如果 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 则 f( ) 在 [ a, b] 上必有最大值和最小值, 如图 畅 7 所示. 条件不成立, 则结论也不成立. 例如, 函数 f( ) = 在 (0,) 内连续, 但不存在最大值和最小值 ; 函数 -, 0 < f( ) = 0, =, -, < 在闭区间 [0,] 上不连续, 它在 [0,] 既无最大值也无最小值, 如图 畅 8 所示. 图 畅 7 图 畅 8 定理 畅 6( 介值定理 ) 如果 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且在区间的两端点取不同的函数值 f( a) = A 与 f ( b) = B, 则在 A 与 B 之间的任意一个数 C, 在开区间 ( a,b) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = C( a < ξ < b). 如图 畅 9 所示,f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且 f ( a) C f( b), 在 ( a,b) 内的点 ξ, ξ,ξ3 的函数值都等于 C, 即 f(ξ ) = f(ξ ) = f(ξ3 ) = C. 推论 畅 5 如果函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且 f( a) 与 f( b) 异号, 则在 ( a,b) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = 0, 如图 畅 0 所示. 例 畅 5 证明方程 = 0 在区间 (0,) 内至少有一个根. 证明设 f( ) = 因为 f( ) 是初等函数, 且在 [0,] 上有定义, 所以在区间 [0,] 上连续. 又因为 f(0) = - 4 < 0, f() = > 0, 所以, 根据上述推论, 在区间 (0,) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = 0(0 < ξ < ), 或 ξ 7 + 5ξ - 4 = 0.

31 0 高等数学 图 畅 9 图 畅 0 即方程 = 0 在区间 (0,) 至少有一个根. 练习题 畅 5 畅证明函数 y = f( ) = 在点 = 0 处连续. 畅讨论函数 f( ) = 3 畅求下列函数的连续区间. () f( ) = 4 畅设函数 +, 在点 = 处的连续性, 并画出它的图像. 3 -, < + - ; () y = f( ) = e, < 0 a +, 0, 求当 a 为何值时, 才能使 f( ) 在点 = 0 连续? 5 畅求下列函数的间断点. () f( ) = (3) f( ) = tan 6 畅求下列极限. cos () π 3 - ; () f( ) = - 5 ; ; (4) f( ) = + ; () 0 ln sin ln( + ) - ln e - (3) 0 ; (4) 0 +, < 0 -, 0. 7 畅证明方程 = 0 在区间 (,) 至少有一个实数根. ; 科学出版社职教技术出版中心 ( 提示 : 令 t = e - ).

32 第 章极限与连续 小知识 微积分的基本方法 极限法 自 7 世纪微积分产生以来, 在如何阐述它的理论基础这个问题上, 曾经用过多种不同的方法. 在历史上, 有人用 无穷小方法, 也有人用 纯代数方法. 现代的数学分析即微积分, 是用极限理论来阐述它的理论基础的. 因为对极限概念的理解是理解今后许多重要概念的基础, 应用极限运算又能推出微分法和积分法, 所以极限运算又是微积分的基本运算. 极限思想古已有之. 例如, 我国战国时代的学者惠施 ( 约公元前 3 世纪 ) 曾说 : 一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. 三国时代的数学家刘徽 ( 约 3 世纪 ) 曾经正确地用圆的内接正多边形的面积去接近圆的面积等都是典型的极限思想. 在初等数学中, 我们也曾经用这个思想解决无穷递降等比级数的求和问题. 我国历史上的伟大科学家祖冲之 (49 ~ 500) 就是用这种思想将圆周率第一次准确地算到小数点后第七位的. 自从 7 世纪牛顿和莱布尼茨的微积分产生以后, 经过整整 个世纪的应用 讨论和修改, 积累了大量的正 反面材料, 现在则到了严格表达时期, 即总结的时期. 87 年, 捷克数学家波尔察诺 (78 ~ 848) 的著作枟关于方程在每 个给出相反的值之间, 至少有一个实根的理论的纯粹解析证明枠一书的出版, 是数学分析开始严格化的标志. 在该书中, 波尔察诺出于证明代数基本理论的需要, 首次用极限观点给出了连续函数 导数和级数收敛性的定义.834 年波尔察诺又给出了一个处处连续又不可微函数的例子, 划清了连续同可微的界限, 对微积分的理论有重大的意义. 但这一点没有引起当时人们的足够重视. 波尔察诺是数学分析开始严格化的先驱. 在微积分的发展史上占有重要地位的是法国数学家柯西 (789 ~ 857). 在他的著作中, 柯西把极限概念理解为潜无限, 然后再通过极限概念去定义无限小 连续 导数 微分以及积分等概念. 柯西还给出了函数的定义和判断级数的收敛准则等. 正是由于柯西的这些工作, 才给微积分今天的形式奠定了基础. 此外, 威尔斯拉斯 (85 ~ 897) 狄得金 (83 ~ 96) 等数学家在柯西的基础上又进一步完善和发展了微积分. 尽管在历史上研究过极限概念, 但过去对它的了解毕竟是不精确的, 有时是片面的 ; 尽管在初等数学中也用过它, 但是用它来解决的问题是个别的, 而不是系统的. 复习题 畅填空题. A 组 () 0 ( + + e + 0) = ; () = ; sin (3) 0 = ; 3 (4) ln + - ln = ;

33 高等数学 (5) 函数 y = (6) 函数 y = 畅选择题. 的连续区间是 ; e - 的间断点是. () 0 ln sin = ( ). (A)0 ; (B) ; (C)e ; (D) 不存在. () 下述命题正确的是 ( ). (A) 当 a 时 f ( ) 的极限存在, 则 f( ) 在点 a 处连续 ; (B) a f ( ) 存在, 则 f( ) 一定在点 a 有定义 ; (C) f( ) 在点 a 处连续, 则 a f ( ) 存在 ; (D) f( ) 一定在点 a 有定义, 则 a f ( ) 存在. (3) 当 0 时,cos 是 ( ). (A) 无穷小 ; (B) 无穷大 ; (C) 有界变量 ; (D) 无界变量. + Δ - (4) Δ 0 等于 ( ). Δ (A) ; (B) ; (C) ; (D) 不存在. 3 畅求下列极限. () ; () ; (3) ; (4) sin3 0 sin ; (5) 畅求下列函数的间断点. () f( ) = 畅讨论函数 f( ) = ; (6). -, 0 ; () f( ) =, = 0. B 组 +, < 0 在点 = 0 的连续性, 并画出它的图像. -, 0 畅设函数 f( ) = - -, 讨论函数在点 = 的极限是否存在. 3 畅已知函数 f( ) =, 0 -, 的值 ;(3) 作出函数的图像 ;(4) 证明函数在点 = 0 不连续. 科学出版社职教技术出版中心 < 0,() 求函数的定义域 ;() 求 f( - ),f(0),f(3)

34 第 章极限与连续 3 4 畅设函数 sin f( ) =, < 0, a +, 0 问当 a 为何值时, 才能使 f( ) 在点 = 0 连续? 5 畅证明曲线 y = 在 0 与 之间必与 轴有一个交点. 6 畅证明方程 e - = 0 在区间 (0,) 内必定有根.

35 第 章导数与微分 从现在开始我们将进入微积分的学习. 微积分包括微分学和积分学. 微分学的基本概念是导数与微分. 在本章中, 我们将要学习导数与微分的概念, 以及其运算法则与计算方法. 导数起源于寻求曲线的切线以及变速直线运动物体的瞬时速度, 微分是伴随着导数而产生的. 二者广泛应用于理论与实践中, 它们的应用将放在第 3 章介绍. 畅 畅 变化率问题举例 畅 导数的概念 在自然科学的许多领域中, 当研究运动的各种形式时, 都要从数量上研究函数相对于 自变量的变化快慢程度, 即变化率问题. 为此我们先来重温历史上与导数有密切关系的两 个问题 : 瞬时速度问题和曲线的切线问题. 畅变速直线运动物体的瞬时速度 在运动学中, 对于匀速运动来说, 有公式 : 速度 = 距离. 时间 上述公式只是反映了物体走完某一路程的平均速度, 而没有反映出在任何时刻物体 运动的快慢. 况且, 在实际生活中, 运动往往是非匀速的. 要想精确地刻画出物体在任意时 刻运动的快慢程度, 就需要进一步讨论物体在任何时刻的瞬时速度. 设某一物体作变速直线运动, 其运动方程是 s = s( t), 则在时刻 t0 到 t0 + Δ t 的时间间 隔内, 它的平均速度为 珔 v = Δ s Δ t Δ s 当 Δ t 很小时, 显然平均速度珔 v 即 Δ t = s( t0 + Δ t) - s( t0 ) Δ t 与在 t0. 时刻的瞬时速度相近似. 随着 Δ t 越来越 Δ s 小, 这种近似的程度就越来越高. 当 Δ t 趋近于 0 时, 珔 v 即的极限值就是物体在 t0 时刻的 Δ t 瞬时速度, 简称速度, 记为 v( t0 ), 即 Δ s v( t0 ) = Δ t 0 珔 v = Δ t 0 Δ t = Δ t 0 上式的特征是函数值增量与自变量增量之比的极限. 畅平面曲线切线的斜率 s( t0 + Δ t) - s( t0 ). Δ t 在平面几何里, 圆的切线定义为 与圆只有一个交点的直线, 这个定义对于椭圆也是 成立的, 但是对于其他曲线就不一定成立了. 如抛物线 y =, 显然过顶点 O(0,0) 处的对 称轴 轴符合上述定义, 但不是切线. 下面我们给出平面曲线的切线定义 : 科学出版社职教技术出版中心

36 第 章导数与微分 5 设有曲线 C 及 C 上的一点 M( 图 畅 ), 在点 M 外另取一点 N, 作割线 M N, 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时, 如果割线 M N 绕点 M 旋转而趋于极限位置 M T, 则直线 M T 就称 为曲线 C 在点 M 处的切线 ( 这里极限位置的含义是 : 只要弦长 趋于 0). M N 趋于 0, N M T 也 图 畅 图 畅 设函数 y = f ( ) 的图像为 C, 点 M( 0,y0 ) 是曲线 C 上的一点 ( 图 畅 ), 则 y0 = f( 0 ). 如果让自变量 在 0 处取得增量 Δ, 则对应于曲线 C 上的点 N ( 0 + Δ,y0 + Δ y), 于是割线 M N 的斜率为 k 割 = tan φ = Δ y Δ = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ 其中 φ 为割线 M N 的倾斜角, 当 Δ 0 时, 点 N 沿曲线 C 逼近点 M, 割线 M N 逼近 于极限位置 M T, 割线 M N 的斜率无限接近于切线 M T 的斜率. 即, 切线 M T 的斜率等于割线 M N 斜率的极限值 : k 切 = N M k 割 = Δ 0 tan φ = Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 上式的特征仍然是函数值增量与自变量增量之比的极限.. f( 0 + Δ ) - f( 0 ). Δ 畅 畅 导数的定义上面两个例子, 虽然表示的问题的实际意义不同, 但是从数量关系来分析, 它们的特征都是相同的 : 都表示函数值增量与自变量增量之比的极限. 这种特征在求电流强度 线密度等这类问题时都会出现. 我们去掉问题的实际意义, 把这种特征抽象出来, 就得到导数. 定义 畅 设函数 y = f( ) 在点 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量 在点 0 处有增量 Δ ( 点 0 + Δ 仍在该邻域内, 且 Δ 0) 时, 函数取得相应的增量 Δ y = f( 0 + Δ y Δ y Δ ) - f( 0 ), 如果 Δ y 与 Δ 之比当 Δ 0 时, 极限 Δ Δ 0 存在, 则称这个极限为函数 Δ y = f( ) 在点 0 处的导数 ( 也称变化率 ), 记作 f ( 0 ), 即

37 6 高等数学 也记为 y = 0 f ( 0 ) = Δ 0 Δ y Δ = Δ 0, d y d f( ), 或. d = 0 d = 0 Δ y 极限 Δ 0 存在也叫做函数 y = f( ) 在点 0 处可导. Δ 导数 f ( 0 ) 的定义式也有另外的形式 : f ( 0 ) = Δ 0 f ( 0 ) = Δ 0 Δ y Δ = h 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ). ( 畅 ) Δ f( 0 + h) - f( 0 ), h Δ y Δ = f( ) - f( 0 ). 0-0 有了导数的概念, 变速直线运动物体的瞬时速度可以表示为 v( t0 ) = s ( t0 ), 平面曲线 切线的斜率 k 切 = f ( 0 ). Δ y 既然导数 f ( 0 ) 是比值的极限, 而极限概念中有左极限与右极限之分, Δ 那么左极限 Δ 0 - Δ y Δ = Δ 0 - f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 分别叫做函数 y = f( ) 在点 Δ Δ ( 0 ) 和 f + ( 0 ). 即 左导数 f - ( 0 ) = Δ 0 - 右导数 f + ( 0 ) = Δ 0 + Δ y Δ = Δ y Δ = 根据极限存在的理论知道, 函数 y = f( ) 在点 0 f - ( 0 ) 和右导数 f + ( 0 ) 均存在且相等. 畅 畅 3 求导数举例 则有 例 畅 求函数 y = 在点 0 = 的导数. 解设自变量 在 0 处取得增量 Δ, 对应的函数值的增量是 和右极限 Δ 0 + Δ y Δ 处的左导数和右导数, 记为 f - f( 0 + Δ ) - f( 0 ), ( 畅 ) Δ 0 - Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ). ( 畅 3) Δ 0 + Δ 处可导的充分必要条件是左导数 Δ y = f( + Δ ) - f() = ( + Δ ) - = ( Δ ) + ( Δ ), Δ y Δ = f( + Δ ) - f() Δ 上式两边取当 Δ 0 时的极限, 得 类似地可求得 f () = Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 = ( Δ ) + ( Δ ) Δ f( + Δ ) - f() Δ = + Δ. = Δ 0 ( + Δ ) =. = 科学出版社职教技术出版中心

38 第 章导数与微分 7 f ( 0 ) = Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ = Δ 0 ( 0 + Δ ) = 0. 如果函数 y = f( ) 在区间 (a,b) 内的每一点处都可导, 那么称函数 y = f ( ) 在区间 (a,b) 内可导, 每一个 的值都对应一个导数值, 这样就建立了一个从 到导数值 f ( ) 之间的新的函数关系, 称之为导函数, 记为 f ( ), 简称导数, 即 即 f ( ) = Δ 0 例 畅 求函数 y = C 的导数. Δ y Δ = Δ 0 f( + Δ ) - f( ) Δ 解设自变量 在任意点 0 处取得增量 Δ, 对应的函数值的增量是 Δ y = C - C = 0, Δ y Δ = 0, y = Δ 0 Δ y Δ = 0, 分析例 畅 和例 畅 知, 用导数定义求导数, 可分为三个步骤 : f( ) ; ( C) = 0. ( 畅 4) () 求增量 : 给自变量 以增量 Δ, 求出对应的函数值的增量 Δ y = f ( + Δ ) - () 算比值 : Δ y f( + Δ ) - f( ) =, 并化简 ; Δ Δ Δ y (3) 求极限 :f ( 0 ) = Δ 0 Δ = f( 0 + Δ ) - f( 0 ). Δ 0 Δ 例 畅 3 设函数 y =, 求 f ( ) 和 f ( - ).. 即 解第一步 : 求增量 Δ y = 第二步 : 算比值 第三步 : 取极限 f( + Δ ) - f( ) = Δ 0 Δ y Δ Δ y Δ = Δ 0 + Δ - = - ( + Δ ) ( + Δ ) = f( + Δ ) - f( ) Δ f( + Δ ) - f( ) Δ f ( ) = = - + ( Δ ) ; = - Δ + ( Δ ) ; = Δ ( Δ ) = -, = -, 而 f ( - ) 可以认为是导函数 f ( ) = - 当 = - 时的函数值, 即

39 8 高等数学 即 例 畅 4 求函数 y = 3 的导数. 解 f ( - ) = - ( - ) = - 4. Δ y = f( + Δ ) - f( ) = ( + Δ ) 3-3 = 3 ( Δ ) + 3 ( Δ ) + ( Δ ) 3, Δ y Δ = 3 ( Δ ) + 3 ( Δ ) + ( Δ ) 3 Δ Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 f( + Δ ) - f( ) Δ = ( Δ ) + 3( Δ ), = Δ 0 [3 + 3 ( Δ ) + ( Δ ) ] = 3, ( 3 ) = 3, 利用二项式定理可求得 y = n ( n Z + ) 的导数 在下一节中我们将进一步证得 即 例 畅 5 求函数 y = sin 的导数. 解 (sin ) = Δ 0 类似地可得 ( n ) = n n-. ( α ) = α α- (α R). ( 畅 5) Δ y Δ = sin( + Δ ) - sin Δ 0 Δ Δ cos + = Δ 0 Δ = Δ 0 = cos, Δ sin Δ Δ 0 cos sin Δ + Δ 例 畅 6 求函数 y = log a ( a > 0,a ) 的导数. 解 (log a ) = Δ 0 = Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 loga ( 这里用到了三角函数的和差化积公式 ) (sin ) = cos. ( 畅 6) (cos ) = - sin. ( 畅 7) + Δ Δ log a( + Δ ) - log a Δ = Δ 0 Δ loga 科学出版社职教技术出版中心 + Δ = Δ 0 Δ log a + Δ = Δ 0 loga + Δ Δ

40 第 章导数与微分 9 即 类似地可得 log a = = Δ 0 + Δ Δ = log a e ln a ( 这里用到了对数的换底公式 ), (log a ) = ln a. ( 畅 8) 例 畅 7 求函数 y = a ( a > 0,a ) 的导数. 解 ( a ) = Δ 0 = Δ 0 (ln ) =. ( 畅 9) Δ y Δ = Δ 0 a + Δ a ( a Δ - ), Δ 令 a Δ - = t, 则 Δ = loga( + t), 且 Δ 0 时 t 0, 所以 即 Δ 0 特殊地, 当 a = e 时, 得 a ( a Δ - ) Δ = t 0 例 畅 8 求函数 f( ) = 在 = 0 处的导数. f(0 + Δ ) - f(0) 解 f (0) = Δ 0 = Δ Δ 0 当 Δ 0 - 时, 得左导数 f - (0) = Δ 0 - 当 Δ 0 + 时, 得右导数 f + (0) = Δ a Δ a t log a( + t) = a log t 0 a( + t) t = a log a[ t 0 ( + t) t ] = a log a e = ln a, a ( a ) = a ln a. ( 畅 0) (e ) = e. ( 畅 ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ, = Δ Δ Δ = -, Δ = Δ 0 + Δ =. 由于 f - (0) f + (0), 所以函数 f( ) = 在 = 0 处的导数 f (0) 不存在. 畅 畅 4 导数的几何意义 由前面的讨论知道, 函数 y = f( ) 在点 0 处的导数 f ( 0 ), 在几何上表示函数图像 在相应点 M( 0,y0 ) 处的切线斜率. 这就是导数的几何意义, 如图 畅 3 所示. 因此曲线 y = f( ) 上点 M( 0,y 0 ) 处的切线方程为 y - y 0 = f ( 0 )( - 0 ) ; ( 畅 )

41 30 高等数学 法线方程为 y - y0 = - 图 畅 3 f ( 0 ) ( - 0 ) ( f ( 0 ) 0). ( 畅 3) 例 畅 9 求抛物线 y = 在点 (,) 处的切线方程和法线方程. 解先求切线斜率 y = ( ) = 4, 故 k 切 = y = = 4 = = 4, 得切线方程为 y - = 4( - ), 法线方程为 y - = - 4 ( - ). 畅 畅 5 可导与连续的关系 k 法 = - 4. 定理 畅 如果函数 y = f( ) 在点 0 可导, 它一定在点 0 处连续. 事实上, 由函数 y = f( ) 在点 0 Δ y 处可导, 有 Δ 0 Δ 由具有极限的函数与无穷小的关系知道, Δ y Δ 其中 α 为当 Δ 0 时的无穷小. 上式两边同时乘以 Δ, 得 = f ( 0 ), = f ( 0 ) + α, Δ y = f ( 0 ) ( Δ ) + α ( Δ ). 显然, Δ 0 Δ y = Δ 0 [ f ( 0 )( Δ ) + α Δ ] = 0. 由函数在一点连续的定义知, 函数 y = f( ) 在点 0 处是连续的. 注意逆命题不成立. 即一个函数在某点处连续, 但不一定在该点处可导. 例如函数 y = f( ) = 3 在 ( -,+ ) 上连续, 但在 = 0 处不可导, 科学出版社职教技术出版中心

42 第 章导数与微分 3 3 f(0 + Δ ) - f(0) Δ 这是因为 Δ 0 = Δ Δ 0 Δ = = +. Δ 0 ( Δ ) 3 导数为无穷大, 表现在几何上为曲线在原点 O 具有垂直于 轴的切线 = 0, 如 图 畅 4 所示. 图 畅 4 图 畅 5 又如函数 y = 在点 = 0 处连续, 但在例 畅 8 中已经知道, 函数 y = 在点 = 0 处不可导, 如图 畅 5 所示. 因此, 函数在某点连续是在该点可导的必要条件, 不是充分条件. 练习题 畅 畅下列命题是否正确? 如不正确举出反例. () 若函数 y = f( ) 在点 0 处不可导, 则函数 y = f( ) 在点 0 处一定不连续 ; () 若曲线 y = f( ) 处处有切线, 则函数 y = f( ) 必处处有导数. 畅一垂直上抛物体的运动方程为 h( t) = 0 t - gt, 求物体 () 从 t = s 到 t = 畅 s 的平均速度 ; () 速度函数 v( t). 3 畅设 f( ) = cos, 试按导数定义求 f ( - ). 4 畅设函数 y = f( ) 在点 0 处的导数为 A, 则 f( 0 - Δ ) - f( 0 ) () Δ 0 = ; Δ f( 0 + h) - f( 0 - h) () h 0 =. h 5 畅求下列函数的导数. () y = 3 ; () y = 3 ; (3) y = ; (4) y =. 6 畅在曲线 y = 上有一条切线, 已知原点到此切线的距离为 6, 求此切线的方程.

43 3 高等数学 7 畅试讨论函数 y =, < 0 在点 = 0 处的连续性和可导性. ln( + ), 0 8 畅设函数 y =, 为了使函数 f ( ) 在 = 处连续且可导,a,b 应取什 a + b, > 么值? 畅 求导法则与求导公式 在本节中, 我们将学习求导的几个基本法则以及前一节中还没有解决的几个基本初 等函数的导数. 利用这些法则和公式, 我们就能方便地求得一些复杂函数的导数. 畅 畅 导数的四则运算法则 定理 畅 如果函数 u = u( ) 和 v = v( ) 在点 处都可导, 则其和 差 积 商在点 处也可导, 且有下列法则 证明从略. () ( u ± v) = u ± v ; () ( uv) = u v + uv ; (3) ( Cu) = Cu ; (4) u v = u v - uv v ( v 0). ( 畅 4) 注法则 (3) 是法则 () 的特殊情形. 并且法则 () 和法则 () 可以推广至有限个可导 函数的情形. 例如, 如果函数 u = u( ) v = v( ) 和 w = w( ) 在点 处都可导, 则有 即 ( u + v - w) = u + v - w, ( u v w) = u v w + u v w + u v w. ( 畅 5) 例 畅 0 设函数 y = cos - ln + sin π 5, 求 y. 解 y = cos - ln + sin π 5 例 畅 设函数 y = tan, 求 y. 解 y = (tan ) = = ( cos ) - (ln ) + sin π 5 = ( ) cos + (cos ) = = cos + sin cos cos - sin -. sin cos = = (sin ) cos - sin (cos ) (cos ) cos = sec. 科学出版社职教技术出版中心

44 第 章导数与微分 33 类似地可得 即 例 畅 设函数 y = sec, 求 y. 解 y = (sec ) = 类似地可得 cos 例 畅 3 设函数 y = sin tan, 求 y. 解 y = ( sin tan ) 畅 畅 复合函数的求导法则 (tan ) = sec. ( 畅 6) (cot ) = - csc. ( 畅 7) - (cos ) = = sin = sec tan. cos cos (sec ) = sec tan. ( 畅 8) (csc ) = - csc cot. ( 畅 9) = ( ) sin tan + (sin ) tan + sin (tan ) = sin tan + cos tan + sin sec = sin tan + sin + sin sec. 有一些函数, 如 y = ln(tan ),y = e -,y = + -, 我们还不知道它们是否可 导? 如果可导的话怎么样求导? 下面将学习的复合函数的求导法则将很好地解决这个 问题. 数为 定理 畅 3 如果 y = f( u),u = φ( ) 均可导, 则复合函数 y = f[ φ( )] 也可导, 且其导 d y d = d y d u d u d 其中 f u( u) 是指 f( u) 对 u 求导数 ( u 视为自变量 ). 所以 证明从略. 例 畅 4 设函数 y = sin, 求 y. 或记为 y = f u( u) φ ( ), ( 畅 0) 解 y = sin 可以看成是由 y = sin u 与 u = 复合而成的, 而 d y d u = (sin u) = cos u, d u d = ( ) =, d y d = d y d u d u d = cos u = cos. 例 畅 5 设函数 y = lntan, 求 y. 解 y = ln tan 可以看成是由 y = ln u u = tan v 及 v = 复合而成的, 而 d y d u = (ln u) = u, d u d v = (tan v) = sec v, d v d = =,

45 34 高等数学 所以 d y d = d y d u d u d v d v d = u sec v = sec tan = sin cos = sin = csc. 对复合函数的复合过程熟悉以后, 中间的复合过程可以不必写出来, 而直接分层求出导数. 例 畅 6 设函数 y = e - 3, 求 y. 解 y = (e - 3 ) = e - 3 ( - 3 ) = e - 3 ( - 3 ) = - 3 e - 3. 例 畅 7 > 0, 证明幂函数的导数公式 ( α ) = α α -,(α R). 证明因为 α = e ln α = e αln, 所以 ( α ) = (e αln ) = e αln (αln ) = α = α eαln α = α α -. 畅 畅 3 隐函数的求导法则 有的自变量 与因变量 y 之间的函数关系由方程 F(,y) = 0 确定. 一般地, 由方程 F(,y) = 0 所确定的函数 y = f( ) 叫做隐函数. 很显然, 有的隐函数能方便地化为显函数, 如 - y = 确定函数 y = -, 但是 通常要将隐函数化为显函数是比较困难的. 如由方程 y + sin( - y) - e = 所确定的 隐函数就不能显化. 这就给我们求隐函数的导数带来了困难, 因此有必要寻求一种不必显 化函数就能求导数的方法. 得 整理得 例 畅 8 求由方程 y = e + y 所确定的隐函数 y = f( ) 的导数. 解对方程两端关于求导 ( 记住, 这里 y 是 的函数 ), ( y) = (e + y ), y + y = e + y ( + y ), y = e + y - y = y - y - e + y - y = ( - ) y ( - y). 注在求隐函数的导数时, 其结果中允许含有 y. 例 畅 9 求双曲线 9 - y 6 = 在点 3 5 解方程 9 - y 6 = 两边关于 求导数 9 - y 6, 处的切线方程. = 0. 科学出版社职教技术出版中心

46 第 章导数与微分 35 y 由于 y 是 的函数, 因此是 的复合函数, 对求导时要用到复合函数求导法则得 6 6 所以 从而曲线过点 3 5 因此双曲线 9 - y 6 = 在点, 的切线斜率为 k 切 = y = 3 5 y = 3 5 y 9 - y 8 y = 0, y = 6 9 y. = , 处的切线方程为 y - = = 有的函数求导数时比较复杂, 如果函数是由积 商 幂 幂指等运算表达的, 则可以考 虑先把函数式看成一个等式, 两边取对数, 然后再运用隐函数的求导方法求得导数. 这种 方法称为对数求导法. 所以 例 畅 0 求函数 y = ( + ) sin,( > - ) 的导数 y. 解两边取对数 方程两边关于求导, 得 ln y = ln( + ) sin ( > - ), ln y = sin ln( + ). y = cos ln( + ) + sin y. +, y = ( + ) sin cos ln( + ) + sin +. 求反函数的导数时, 可以先把反函数还原后, 再关于自变量求导数. 例 畅 求函数 y = arcsin,( - < < ) 的导数 y. 解 y = arcsin 可以改写为 两边关于 求导数, 得 因此 = (cos y) y, y = (arcsin ) = = sin y, cos y = - sin y =. - - ( - < < ),.

47 36 高等数学 类似地可得 因此 (arccos ) = - - ( - < < ). 例 畅 求函数 y = arctan,( - < < + ) 的导数 y. 解 y = arctan 可以改写为 两边关于 求导数, 得 类似地可得 = (sec y) y, y = (arctan ) = (arccot ) = - = tan y. 畅 畅 4 常数和基本初等函数的导数公式 sec y = + tan y = +, + ( - < < + ), ( 畅 ) + ( - < < + ). ( 畅 ) 前面我们利用导数的定义和求导的法则, 求出了所有基本初等函数的导数公式, 有了 这些公式和法则, 我们就解决了初等函数和求导问题. 我们将基本初等函数的求导公式和 求导法则全部列出, 便于查阅和记忆. 畅基本初等函数的求导公式 () ( C) = 0( C 为常数 ) ; () ( α ) = α α - ; (3) ( a ) = a ln a ( a > 0,a ) ; (4) (e ) = e ; (5) (log a ) = ln a ( a > 0,a ) ; (6) (ln ) = ; (7) (sin ) = cos ; (8) (cos ) = - sin ; (9) (tan ) = sec ; (0) (cot ) = - csc ; () (sec ) = sec tan ; () (csc ) = - csc cot ; (3) (arcsin ) = (4) (arccos ) = - (5) (arctan ) = (6) (arccot ) = - - ( - < < ) ; + ; - ( - < < ) ; + ( - < < + ). 科学出版社职教技术出版中心

48 第 章导数与微分 37 畅函数的和 差 积 商的求导法则 [ u( ) ± v( )] = [ u( )] ± [ v( )] ; [ u( ) v( )] = [ u( )] [ v( )] + [ u( )][ v( )] ; [ Cu( )] = C[ u( )] ; u( ) v( ) = [ u( )] v( ) - u( )[ v( )] [ v( )]. 3 畅复合函数的求导法则 设 y = f( u),u = φ( ) 均可导, 则复合函数 y = f[ φ( )] 对 的导数为 d y d = d y d u d u d 或 d y d = f u( u) φ ( ). 畅 畅 5 高阶导数 函数 y = f( ) 的导数 f ( ) 一般仍然是 的函数, 如果可以继续求导, 则对 f ( ) 所 求的导数叫做 f( ) 的二阶导数, 记为 y f ( ) d y d, 即 y = ( y ),f ( ) = [ f ( )], d y d = d d 类似地, 二阶导数的导数叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数,,( n - ) 阶导数的导数叫做 n 阶导数, 分别记作 或 y 碶,y ( 4),,y ( n), d 3 y d 3, d 4 y d 4 二阶及其以上的导数统称为高阶导数.,, d n y. d n 因此, 求高阶导数没有引入新的方法, 只要连续多次地求导数就可以了, 所以仍可以 用前面学过的求导公式和求导方法来计算高阶导数. 例 畅 3 求 y = e - cos 的二阶导数. 解 y = (e - ) cos + e - (cos ) = - e - cos - e - sin = - e - (cos + sin ) ; y = [ - e - (cos + sin )] = - [(e - ) (cos + sin ) + e - (cos + sin ) ] = - [ - e - (cos + sin ) + e - (cos - sin )] = e - sin. 例 畅 4 求 n 次多项式 y = a0 n + a n an - + an 的各阶导数. 解 y = ( a 0 n + a n a n - + a n) d y d.

49 38 高等数学 = a0 n n - + a ( n - ) n an - y = ( a0 n n - + a ( n - ) n an - ) = a0 n( n - ) n - + a ( n - )( n - ) n an - y ( n) = a0 n! y ( n + ) = y ( n + ) = = 0 从物理学的观点看, 变速直线运动物体的速度是距离对时间的一阶导数, 即 v( t) = s ( t), 又由于速度对时间的导数是加速度 即 a( t) = v ( t), 所以, 距离对时间的二阶导数在物理学上就是加速度. 即 a( t) = s ( t). 例 畅 5 求函数 y = a 和 y = e 的 n 阶导数. 解 y = ( a ) = a ln a ; y = ( y ) = ( a ln a) = a ln a ln a = a (ln a) ; 一般地可得,y ( n) = a (ln a) n ; 即 ( a ) ( n) = a (ln a) n. 特别地 (e ) ( n) = e. 例 畅 6 求 y = sin 与 y = cos 的 n 阶导数. 解 y = cos = sin + π y = cos + π y 碶 = cos + π y ( n) = sin + n π ; = sin + π = sin. + π + π = sin + π 即 (sin ) ( n) = sin + n π 类似地可得 (cos ) ( n) = cos + n π 练习题 畅 + π = sin,. ; + 3 π 畅设 y = f( ) 在点 0 的某邻域内有定义, 且 f ( 0 + Δ ) - f( 0 ) = aδ + b( Δ ), 其中 a,b 为常数, 则下列命题是否正确? () y = f( ) 在点 0 处可导, 且 f ( 0 ) = a ; () f ( 0 ) = [ f( 0 )]. ; 科学出版社职教技术出版中心

50 第 章导数与微分 39 畅求下列函数的导数. () y = cos( + ) ; () y = cot ; (3) y = (ln ) ; (4) y = arccos ; (5) y = arccot ; (6) y = ln( + + ). 3 畅求由下列方程所确定的隐函数 y = f( ) 的导数. () y - = e y ; () y y =. 4 畅求椭圆 a + y b = 在点 5 畅求下列函数的二阶导数. a, b 处的切线方程和法线方程. () y = + ln ; () y = e -. 6 畅设 y = sin, 求 y ( n). 7 畅已知物体的运动规律为 s = Asin ωt,( A,ω 是常数 ), 求物体运动的加速度, 并验证 关系式 : d s d t + ω s = 0. 畅 3 函数的微分 在实际问题中, 有时会要计算在自变量有微小变化时函数值的增量. 而通常函数值增量精确值的计算比较复杂, 因此有必要寻找函数值增量近似值的计算方法, 使得计算简单而且精度又高. 畅 3 畅 微分的定义先看下面的两个实例 : () 正方形面积改变量的近似值. 一块正方形金属薄片, 因受温度变化的影响, 其边长由 0 变到 0 + Δ, 如图 畅 6 所示, 问此金属薄片的表面积改变了多少? 设正方形金属薄片的边长为, 面积为 A, 则有 A =, 薄片因受温度变化的影响时面积的改变量为 Δ A = ( 0 + Δ ) - 0 = 0 Δ + ( Δ ). 上式表明, 面积改变量的值由两部分组成 : 第一部分 0 Δ 是 Δ 的线性表达式, 即图中带有阴影的两个大小相等的长方形面积之和, 而第二部分 ( Δ ) 是图中右上角带有交叉阴影的小正方形的面积. 显然, 当 Δ 0 时, 图 畅 6 ( Δ ) 是比 0 Δ 小得多的无穷小量, 可以忽略不计. 因此 Δ A 0 Δ,

51 40 高等数学 而 A = 0 = 0, 因此, 此金属薄片的表面积改变量的近似值为 则有 分 因此 而 Δ A A = 0 Δ. () 变速直线运动物体路程改变量的近似值. 自由落体的运动方程为 S = gt. 当时间从 t 变到 t + Δ t 时, 路程 s 的改变量为 Δ s. Δ s = g( t + Δ t) - gt = gt Δ t + g( Δ t). 显然 Δ s 也由两部分组成 : 第一部分 gtδ t 是 Δ t 的线性表达式, 而当 Δ t 0 时, 第二部 g( Δ t) 是比 gtδ t 小得多的无穷小量, 可以忽略不计. Δ S gt Δ t, s = gt, 因此, 此金属薄片的表面积改变量的近似值为 Δ S s Δ t. 上面两个实例虽然表达的实际意义不同, 但是其函数的增量表达式有其共同特点 : 函 数的增量表达式可近似表示为函数的导数与自变量增量的乘积. 由此产生的误差是比自 变量增量小得多的无穷小量. 可以证明, 上述现象对于可导函数都是成立的. 我们称函数的导数与自变量增量的乘 积叫做函数的微分. 定义 畅 设函数 y = f( ) 在区间 I 上有定义, 且在区间 I 内的任意点 处有导数 f ( ), 那么称 f ( ) Δ 为函数 y = f( ) 在点 处的微分, 记作 d y, 即 此时也称函数 y = f( ) 在点 处可微. d y = f ( ) Δ ( 畅 3) 例 畅 7 求函数 y = 当 = 且 Δ = 0 畅 0 时的增量和微分. 解 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) = ( + 0 畅 0) - = 0 畅 畅 000 = 0 畅 040 d y = f () Δ = = 0 畅 0 = 0 畅 04. 此例表明, 当 Δ 很小时, 可以将 d y 作为 Δ y 的近似值. 即 Δ y d y. 有趣的是, 当 y = 时, 它的微分是 d y = d( ) = ( ) Δ = Δ, 即 Δ = d. 因此, 函数的微分又可以写成 科学出版社职教技术出版中心

52 第 章导数与微分 4 进一步又有 d y = f ( )d. ( 畅 4) d y d = f ( ). 此式表明, 导数即微商, 微商即导数, 求导数或求微分的方法叫做微分法. 畅 3 畅 微分的几何意义 微分是从计算函数值的增量时引入的, 那么, 在几何上函数的微分 f ( 0 )d 表示什 么意义呢? 设函数 y = f( ) 的图形如图 畅 7 所示. 图 畅 7 M P 是曲线上点 M( 0,y0 ) 处的切线, 设 M P 的倾斜角为 θ, 当自变量 取得改变量 Δ 时, 对应于曲线上的另一点 N( 0 + Δ,y0 + Δ y), 从图 畅 可知, MQ = Δ, QN = Δ y. 则 d y = f ( 0 ) Δ = tanθ MQ = QP. 由此可知, 当自变量 取得改变量 Δ 时, 函数 y = f( ) 的微分 d y = f ( 0 )d 在几何上表示点 M( 0,y 0 ) 处的切线的纵坐标的改变量. 从图 畅 中还可以看出, 当 Δ 0 时, 在点 M( 0,y0 ) 附近, 可以用切线段来近似代替曲线段. 这就是微分学中的 以直代曲 思想. 畅 3 畅 3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则因为函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分, 因此, 根据导数公式和求导运算法则可以得到相应的微分公式和微分法则. 畅微分基本公式 () d( C) = 0( C 为常数 ) ; () d( α ) = α α - d ; (3) d( a ) = a ln ad,( a > 0,a ) ; (4) d(e ) = e d ;

53 4 高等数学 (5) d(log a ) = ln a d,( a > 0,a ) ; (6) d(ln ) = d ; (7) d(sin ) = cos d ; (8) d(cos ) = - sin d ; (9) d(tan ) = sec d ; (0) d(cot ) = - csc d ; () d(sec ) = sec tan d ; () d(csc ) = - csc cot d ; ( 畅 5) (3) d(arcsin ) = (4) d(arccos ) = - (5) d(arctan ) = (6) d(arccot ) = - d ( - < < ) ; - d ( - < < ) ; - + d ; + d ( - < < + ). 畅函数的和 差 积 商的微分运算法则 () d( u ± v) = d u ± d v ; () d( uv) = ud v + vd u ; (3) d( Cu) = Cd u ; (4) d 3 畅复合函数的微分法则 u v = vd u - ud v v ( v 0). ( 畅 6) 设复合函数 y = f[ φ( )] 分解为 y = f( u),u = φ( ), 如果 u = φ( ) 可微, 则 y = f( u) 在相应点处可微, 且 d y = y d = f u( u) φ ( ) d = f u( u)d φ( ) = f ( u)d u. 结论 : 不论 u 是自变量还是中间变量, 函数 y = f( u) 的微分与 y = f( ) 的微分在形式 上总是保持一致的. 这一性质称为微分形式不变性. 利用这一性质, 求复合函数的微分比 较方便. 的微分为 复合函数的微分法则设 y = f( u),u = φ( ) 均可导, 则复合函数 y = f [ φ( )] 对 例 畅 8 设 y = cos 解解法 用微分定义求 d y. 由于 所以 d y = f ( u)d u = f [ φ( )] φ ( )d. ( 畅 7), 试用微分定义和微分形式不变性, 分别求 d y f ( ) = [cos d y = f ( )d = - 解法 用微分形式不变性求 d y. 设 ] = - sin, u =, sin d. 科学出版社职教技术出版中心

54 第 章导数与微分 43 所以 故 则 d y = f ( u)d u = - sin d( ) = - 例 畅 9 设 y = tan, 求 d y. 解 d y = d(tan ) = sec d( ) = sec d. sin d. d y 例 畅 30 求方程 + y - y = a 所确定的隐函数 y = f( ) 的微分 d y 及导数 d. 解方程两边关于 求微分 合并同类项得 畅 3 畅 4 微分在近似计算上的应用 公式 d( + y - y ) = d( a ), d + ( yd + d y) - yd y = 0. ( + y)d - ( y - )d y = 0, d y = d y d = + y y - d, + y y -. 微分概念起源于求函数增量的近似值, 因此, 有必要介绍微分在近似计算上的应用. 畅利用微分计算函数增量的近似值 前面已经学过, 当函数在点 0 处的导数不为零, 且 Δ 很小时, 我们可得近似计算 利用上述公式可以求函数增量的近似值. Δ y d y. ( 畅 8) 例 畅 3 一批半径为 cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀一层铜, 厚度为 0 畅 0cm, 试估计每只球需用多少克铜? ( 铜的密度为 8 畅 9g/cm 3 ). 解为了求出镀铜的质量, 应该先求出镀铜的体积. 而镀铜的体积等于镀铜后与镀铜前二者体积之差. 也就是球体积 v = 4π 3 R3 R = cm, 半径改变 Δ R = 0 畅 0cm 时的增量. 因为 当半径 所以 v = 4π 3 R3 = 4π R Δ v d v = v R = d R = 4π R Δ R R = Δ R = 0 畅 0 Δ R = 0 畅 0 因此镀每个球需用铜约为 4 3 畅 4 0 畅 0 0 畅 3cm 3.

55 44 高等数学 畅利用微分计算函数值的近似值 W = 0 畅 3 8 畅 9 = 畅 6g. 当 Δ 很小时, 由 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f ( 0 )d, 得近似计算公式 例 畅 3 计算 arctan 畅 05 的近似值. 解不妨设 f( ) = arctan, 则 此时设 则由 得 f( 0 + Δ ) f( 0 ) + f ( 0 )d ( 畅 9) f ( ) = +, 0 =,Δ = 0 畅 05, f( 0 + Δ ) f( 0 ) + f ( 0 )d, arctan 畅 05 = arctan( + 0 畅 05) arctan 畅 05 0 畅 804. 特别地, 在式 ( 畅 7) 中, 如果 0 = 0 时, 由于 Δ = - 0 =, 当 很小时, 有 例 畅 33 很小时, 证明 e +. 证明设函数 f( ) = e 则 而 由 得 f( ) f(0) + f (0). ( 畅 30) f ( ) = e f(0) = e 0 =, f (0) = e 0 =, f( ) f(0) + f (0), e +. 类似地, 利用上述公式可以推出下列常用的近似计算公式, () sin ; () tan ; (3) n + + n ; 注 很小, 且式 () () 中的单位为弧度. 利用上述公式可以方便地计算出 (4) ln( + ). ( 畅 3) e - 0 畅 畅 0 = 畅 0 ; 科学出版社职教技术出版中心

56 第 章导数与微分 45 sin = sin 60 π 80 π 畅 畅 95 = 5 + ( - 0 畅 05) + 5 ( - 0 畅 05) = 0 畅 99. 练习题 畅 3 畅可导与可微有什么关系? 其几何意义分别表示什么? 畅填空. () 已知函数 y = + 在 = 处, 当 Δ = 0 畅 0 时,Δ y =, d y =. () d[ln( + + )] = d( + + ) = d ; (3) = ; (4) d = cos3 d ; (5) d = d ; (6) d = d ; (7) d = e - d ; (8) d = sec d. 3 畅设函数 y = f( ) 的图形如图 畅 8, 试在图 畅 8(a) ~ (d) 中分别标出在点 0 的 Δ y d y 及 Δ y - d y, 并说明其正负. 图 畅 8 4 畅求下列函数在给定点或任意点处的微分.

57 46 高等数学 () y = 5 + 4sin, = 0,Δ = 0 畅 0 ; () y = + ; (3) y = (e + e - ). 5 畅利用微分求近似值. () y = arctan 畅 0 ; () y = 6 65 ; (3) y = sin9 畅 9 ; (4) y = ln 畅 0. 6 畅一底半径为 5cm 的直圆锥体, 底半径与高相等, 直圆锥体受热膨胀, 在膨胀过程中 其高和底半径的膨胀率相等, 为提高直圆锥体表面的光洁度, 要镀一层铜, 厚度为 0 畅 0cm, 试估计每只直圆锥体需用多少克铜? ( 铜的密度为 8 畅 9g/cm 3 ). 小知识 微积分学的建立 微积分成为一门学科是在 7 世纪, 但是, 微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前 3 世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积 球和球冠面积 螺线下面积和旋转 双曲体的体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代以有 比较清楚的论述. 比如我国的庄周所著的枟庄子枠一书的 天下篇 中, 记有 一尺之棰, 日取其半, 万世不 竭. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到 割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和 体而无所失矣. 这些都是朴素的, 也是很典型的极限概念. 到了 7 世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 7 世纪下半叶, 英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了 微积分的创立工作, 虽然这只是十分初步的工作. 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系 在一起, 一个是切线问题 ( 微分学的中心问题 ), 一个是求积问题 ( 积分学的中心问题 ). 牛顿 (643 ~ 77), 英格兰物理学家 数学家 天文学家 经典物 理学理论体系的建立者. 64 年 月 5 日, 在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农 家庭里, 牛顿诞生了. 牛顿自幼性格倔强, 在中学时代学习成绩并不出 众, 对自然现象有好奇心, 并有很好的技巧, 喜欢组合各种复杂的机械 玩具 模型.665 年, 牛顿毕业于剑桥大学并获学士学位, 并发现二项 式定理. 665 年夏, 由于瘟疫流行, 剑桥大学停课, 许多人被疏散出城. 牛 顿回到家乡, 这时他的天才像鲜花一般盛开.3 岁的牛顿发现了微积 分 光的色散和万有引力定律.665 年初他创立级数近似法以及把任 何幂的二项式化为一个级数的规则. 科学出版社职教技术出版中心 669 年, 老师巴罗让贤, 年仅 6 岁的牛顿就担任了剑桥大学的教授,67 年写了枟流数法和无穷 级数枠, 这本书里指出, 变量是由点 线 面的连续运动产生的, 否定了以前自己认为的变量是无穷小元 素的静止集合. 他把连续变量叫做流动量, 把这些流动量的导数叫做流数. 牛顿运用他所发明的微积分 这一锐利的数学工具, 建立了经典力学的完整而严密的体系, 把天体力学和地面上的物体力学统一起 来, 实现了物理学史上第一次大的综合. 牛顿在 703 年被选为皇家学会主席. 他终身未婚, 于 77 年

58 第 章导数与微分 47 3 月 0 日逝世, 国葬于伦敦威斯敏斯特教堂. 他的墓碑上镌刻着 : 让人们欢呼这样一位多么伟大的 人类荣耀曾经在世界上存在. 复习题 A 组 示 畅填空题. () 按导数的定义,y = f ( 0 ) = ; () 设函数 y = f( ) 在点 0 可导, 则在几何上 f ( 0 ) 表示 ; (3) 设物体作变速直线运动, 其运动方程为 s = s( t), 则在运动学上 s ( t0 ) 表 (4) 设函数 y = f ( ) 在点 0 可导, 则曲线过点 ( 0, f ( 0 )) 的法线方程 为 ; (5) ( α ) =,( a ) = ; (6) d(arctan ln - ) = d ; (7) d = + d ; (8) d(sin ) = sin d = d. 畅选择题. () 函数 y = 在点 = 0 处 ( ). (A) 连续且可导 ; (B) 不连续但可导 ; (C) 连续但不可导 ; (D) 不连续也不可导. () 如果曲线 y = f ( ) 在点 0 处有垂直于 轴的切线, 则函数 y = f ( ) 点 0 处 ( ). (A) 导数为 0 ; (B) 左导数不等于右导数 ; (C) 导数为无穷大 ; (D) 左导数等于右导数. (3) 下列命题正确的是 ( ). (A) 如果函数 y = f( ) 在点 0 处连续, 则函数 y = f( ) 在点 0 处必可导 ; (B) 如果函数 y = f( ) 在点 0 处可导, 则函数 y = f( ) 在点 0 处必连续 ; (C) 如果函数 y = f( ) 在点 0 处可微, 则函数 y = f( ) 在点 0 处不一定连续 ; (D) 如果函数 y = f( ) 在点 0 处不可导, 则函数 y = f( ) 在点 0 处必不连续. (4) 下列式子成立的是 ( ). (A) sin π 3 = cos π 3 ; (B) sin π 3 = 3 cos π 3 ; ; (C) sin π 3 = 0 ; (D) = -.

59 48 高等数学 (5) 半径为 R 的金属圆片, 加热后半径伸长了 Δ R, 则面积 S 的微分 d S 是 ( ). (A) πd R ; (B) π Rd R ; (C) π Rd R ; (D) πd R. (6) 设 y = f( ) 在点 0 的某个邻域内有定义, 且 f ( 0 ) = a( a R), 则下列表达式 等于 a 的是 ( ). f( 0 - h) - f( 0 ) f( 0 + h) - f( 0 - h) (A) h 0 ; (B) h h 0 ; h (C) h 0 f( 0 - h) - f( 0 + h) h (7) 曲线 y = 3 在点 = 0 处的切线为 ( ). (A) 垂直于 轴 ; (B) 轴 ; (C) 倾斜角为 3 畅设函数 f( ) = -, 根据导数定义求 f (5). 4 畅求下列函数的导数. (D) h + h f 0 + h () y = ; () y = tan ; (3) y = ln ; (4) y = ( - ) 4 ; - f( 0 ). π 4 ; (D) 不存在. (5) y = arccos + ; (6) y = arctan(ln ). 5 畅讨论函数 y = 6 畅设函数 f( ) = sin, 0 在点 = 0 的连续性与可导性. 0, = 0, a + b, >, 试确定 a,b 的值, 使 f( ) 在 = 处可导. 7 畅试求垂直于直线 + 4 y - 3 = 0 并与双曲线 - y 7 = 相切的直线方程. 8 畅求由下列方程所确定的隐函数的导数 y. () arctan y = ln + y ; () e y + y = e. 9 畅求下列函数的微分. () y = ( ) e - - (3) y = ln sin ; () y = 3 ln ; ; (4) y = ln( + + a ) ; (5) y = arctan - + ; (6) e y - y = 0, 求 d y. 0 畅利用微分求近似值. () 3 00 ; () e 0 畅 98 ; (3) ln0 畅 99 ; (4) sin. 畅设用 t 表示时间,u 表示物体的温度,v 表示该物体的体积, 温度 u 随时间 t 变化, 变化规律为 u = + t, 体积 v 随温度 u 变化, 变化规律为 v = 0 + u -, 试求当 t = 5 时, 物体的体积增加的变化率. 科学出版社职教技术出版中心

60 第 章导数与微分 49 畅一质点沿曲线 y = 运动, 在曲线上求一点, 使得当质点位于该点时, 质点的两个坐标关于时间 t 的变化率相等. B 组 畅在 充分 必要 充分必要 三者中选择一个正确的填入空格中. () y = f( ) 在点 0 可导是在点 0 连续的条件,y = f( ) 在点 0 连续是在点 0 可导的条件 ; () y = f( ) 在点 0 的左导数 f - ( 0 ) 及右导数 f + ( 0 ) 都存在且相等是 y = f( ) 在点 0 可导的条件 ; (3) y = f( ) 在点 0 可导是在点 0 可微的条件. 畅求下列函数的导数. () y = ln f(e ), 求 y ; () y = f (sin ), 求 y ; (3) y = f(ln ), 求 y. 3 畅设有函数 y = sin, 求 y ( n). 4 畅设 y = f( ) 为偶函数, 且 f (0) 存在, 试用两种方法证明 f (0) = 0. ( 提示 : 方法 利用导数定义 ; 方法 从偶函数定义出发 ). 5 畅当 a,b 取何值时, 才能使曲线 y = ln 与曲线 y = a + b 在 = 处有共同的 e 切线. 6 畅顶角为 α 的正圆锥形容器, 装有 L 水, 如果这时再添加 0ml 水, 问水面大约上升多少 ( 图 畅 9)? 图 畅 9

61 第 3 章微分中值定理与导数的应用 在本章中, 我们将要学习如何利用导数求函数的最大值和最小值, 如何预测和分析图 形的形状, 研究曲线的某些性态, 并运用这些知识解决一些实际问题. 所有这些的关键是 微分中值定理, 这条定理及其推论也是第 4 章积分学习的基础. 3 畅 微分中值定理与应用 3 畅 畅 拉格朗日中值定理 引例图 3 畅 是函数 y = 在区间 -, 上的图像, 至少在区间 -, 内找到一个点 P, 这一点的切线与该区间两端点的连线 A B 平行. 利用几何作图的方法在该区间可以找到两个点, 这两个点的切线都与 A B 平行. 求出这两个点. 相当多的函数在有限闭区间上都可以得到这个有趣的结论. 事实上, 只要一个函数在一个区间内的图像是连续不间断的且没有垂直于 轴的切线, 它就一定可以找到一个点, 过这点的切线与区间端点的连线平行, 也许还不止一条. 这就是下面要介绍的拉格朗日中值定理. 定理 3 畅 ( 拉格朗日中值定理 ) 如果函数 f 满足 () 在闭区间 a,b 上连续 ; () 在开区间 a,b 内可导 ; 那么在 a,b 内至少存在一点 ξ a < ξ < b, 使等式 成立. 证明略. f b - f a = f ξ b - a (3 畅 ) 科学出版社职教技术出版中心 图 3 畅 图 3 畅

62 第 3 章微分中值定理与导数的应用 5 如果把式 (3 畅 ) 改写成 由图 3 畅 可以看出, f b - f a b - a f b - f a b - a = f ξ, 的斜率. 因此拉格朗日中值定理告诉我们 : 如果连续曲线 y = f 是弦 A B 的斜率, 而 f ξ 为曲线在点 C 处的切线 的弧 A B 上除端点外处 处具有不垂直于 轴的切线, 那么这弧上至少有一点 C, 使曲线在 C 点处的切线平行于弦 A B. 例 3 畅 函数 f = 3-3 在 0, 满足拉格朗日中值定理的条件吗? 如果满足 请写出其结论. ξ 的值. 由 得 解显然 f 解得 ξ= ± 3 在 0, 上连续, 在 0, 内可导, 定理条件满足. 下面求满足结论的 3, 舍去 ξ = - 3 f - f = f ξ, = 3ξ , 得到在开区间 0, 内满足结论的 ξ 的值为 下面, 我们利用拉格朗日中值定理导出以后学习积分时很有用的一个结论. 推论 3 畅 如果函数 f 在区间 a,b 内的导数恒为零, 则 f 在区间 a,b 内是 一个常数. 证明在区间 a,b 内任取两点, <. 因为 f 在区间 a,b 内可导, 所 以 f 在区间 a,b 内连续. 因此 f 在, 上连续, 在, 内可导, 即 f 在, 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 至少存在一点 ξ < ξ<, 使得 f( ) - f( ) - = f (ξ), 因为 f 0, 所以 f ξ = 0, 所以 f - f = 0, 即 f = f, 因为, 是 a,b 内任意两点, 所以上述等式表明 :f 在区间 a,b 内的函数值总是 相等的, 这就是说,f 在区间 a,b 内是一个常数. 间 由推论 3 畅 立即可得到下面的 推论 3 畅 如果函数 f 和 g 在区间 a,b 内可导, 且 f = g, 则在区 a,b 内两个函数至多相差一个常数, 即 其中 C 为某个常数. 定理 3 畅 ( 罗尔定理 ) 如果函数 f () 在闭区间 a,b 上连续 ; f = g + C, 满足 3 3.

63 5 高等数学 () 在开区间 a,b 内可导 ; (3) 在区间端点处的函数值相等, 即 f a = f b, 那么在 a,b 内至少存在一点 ξ a < ξ< b, 使得 f ξ = 0. 证明略. 定理 3 畅 3( 柯西中值定理 ) 如果函数 f 及 F 满足 () 在闭区间 a,b 上连续 ; () 在开区间 a,b 内可导 ; (3) 对任一 a,b,f 0, 那么在 a,b 内至少存在一点 ξ a < ξ< b, 使等式 成立. 证明略. 3 畅 畅 洛必达法则 f b - f a F b - F a 定理 3 畅 4 如果函数 f 和 F 满足 () 0 f = 0 F = 0 ; = f ξ F ξ () 在点 0 的某去心邻域内,f 及 F 都存在且 F 0 ; f (3) 0 F f 这就是说, 当 0 F 存在 ( 或为无穷大 ), 那么 f 0 F = 0 f F f f 存在时, 0 也存在且等于 F 0 F. (3 畅 ) f ; 当 0 为无 F f 穷大时, 0 也为无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确 F 定未定型的值的方法称为洛必达法则. F 证明略. 定理 3 畅 5 如果函数 f 和 F 满足 () 0 f = 0 F = ; () 在点 0 的某去心邻域内,f 及 F 都存在且 F 0 ; f (3) 0 F 证明略. 存在 ( 或为无穷大 ), 那么 f 0 F = 0 f F 注意 () 将定理中的 0 改为, 洛必达法则同样有效. f 0 () 如果当 0 时仍属型, 且这时 f,f 能满足定理中 f, F 0 所要满足的条件, 那么可以继续施用洛必达法则, 即. 科学出版社职教技术出版中心

64 第 3 章微分中值定理与导数的应用 53 且可以依次类推. f 0 F f = 0 F + α - 例 3 畅 求 0 (α 为常数 ). f = 0 F, 解这是 0 0 型的未定型, 且满足洛必达法则的条件, 所以 + α sin 例 3 畅 3 求 0. 3 = 0 + α - = 0 α + α- = α. 解这是 0 0 型的未定型, 故有 0 - sin 3 = 0 - sin 3 - cos = 0. 3 这仍是 0 0 型的未定型, 再施用洛必达法则, 得 - cos - cos 0 = ln 例 3 畅 4 求 + a > 0. a = 0 sin 6 = 6. 解这是 型的未定型, 施用法则得 + ln a = + ln a = + a a- = + a a = 0. 练习题 3 畅 畅罗尔定理的条件是其结论的 ( ). (A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件. 畅若函数 f 在闭区间 a,b 上连续, 在开区间 a,b 内可导, 则在 a,b 之间满足 f ξ = f b - f a b - a 的点 ξ( ). (A) 必存在且只有一个 ; (B) 不一定存在 ; (C) 必存在且不只一个 ; (D) 以上结论都不对. 3 畅曲线 y = 上哪一点的切线与连接曲线上点 (0,) 和点 (,7) 的割线平行? 4 畅求下列极限. m - a m () a n - a ( a 0,m,n 为常数 ) ; n (3) 0 arctan a - b () 0 ; ; (4) π sin3 tan5 ; cosα - cosβ (5) 0, α β 0 ; (6) + e ; 5

65 54 高等数学 ln (7) + ; 3 3 畅 函数单调性与极值 3 畅 畅 函数单调性的判定法 我们在高中就已经学习过, 函数在某一区间上的单调性与它在这一区间上的导数的符号有着一定的联系. 如图 3 畅 3 所示, 如果函数 y = f 在 a,b 上单调增加, 曲线上各点处的切线斜率是非负的, 即 f 0 ; 如果函数 y = f 在 a,b 上单调减少, 曲线上各点处的切线斜率是非正的, 即 f 0 畅 图 3 畅 3 反过来, 我们也能利用导数的符号来判定函数的单调性, 即以下判定定理. 定理 3 畅 6 设函数 y = f 在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导. () 如果在 a,b 内 f > 0, 那么函数在 a,b 上单调增加 ; () 如果在 a,b 内 f < 0, 那么函数在 a,b 上单调减少. 证明因为函数 f 在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导, 在 a,b 上任取两点, <, 在, 上应用拉格朗日中值定理, 得到 f - f = f ξ - < ξ < (3 畅 3) () 因为 f > 0, 所以 f ξ > 0, 而 - > 0, 故由式 ( 3 畅 3 ) 得 f - f > 0, 即 f > f, 函数 f 在 a,b 上单调增加 ; () 因为 f < 0, 所以 f ξ < 0, 而 - > 0, 故由式 (3 畅 3) 得 f - f < 0, 即 f < f, 函数 f 在 a,b 上单调减少. 注意 () 把定理中的区间成立. 科学出版社职教技术出版中心 a,b 换成其他各种区间 ( 包括无穷区间 ), 结论同样 () 如果函数的导数仅在个别点处为零, 而在其余的点处均满足定理 3 畅 6 的条件, 那 么定理 3 畅 6 的结论仍然成立. 例如, 函数 y = 3, 在 = 0 处的导数为零, 但在 -,+ 内的其他点处的导数均大于零, 因此它在区间 -,+ 内是递增的 ( 图 3 畅 4). 例 3 畅 5 判定函数 y = - sin 在 0,π 上的单调性. 解 y = - cos, 因为在 0,π 内 y > 0, 由定理 3 畅 可知, 函数 y = - sin 在 0,π 上单调增加. 我们知道, 一个函数在它的定义域内不同区间上可能会有不同的单调性. 例如, 函数

66 第 3 章微分中值定理与导数的应用 55 图 3 畅 4 图 3 畅 5 y = 的定义域为 -,+, 它在 -,0 上单调减少, 在 0,+ 上单调增加. 当 < 0 时,y = < 0 ; 当 = 0 时,y = 0 ; 当 > 0 时,y > 0 畅又如, 函数 y = 3 的定义域 为 -,+, 在 -,0 上单调减少, 在 0,+ 上单调增加 ( 图 3 畅 5). 当 0 时, y = 3 3 ; 当 = 0 时, 函数的导数不存在. 当 < 0 时,y < 0 ; 当 > 0 时,y > 0 畅 从上面的例子可以看出, 有些函数在它的定义区间上不是单调的, 但是如果用导数等 于零的点来划分它的定义区间, 就可以使函数在各个部分区间上单调. 如果函数在某些点 处不可导, 则划分函数的定义区间的分点, 还应包括这些导数不存在的点. 确定某个函数单调性的一般步骤是 : () 确定函数的定义域 ; () 求出使 f = 0 和 f 不存在的点, 并以这些点为分界点, 将定义域划分为 若干个子区间 ; (3) 确定 f 在各个子区间内的符号, 从而判定出 f 的单调性. 例 3 畅 6 确定函数 y = 3 ( 图 3 畅 6). - 3 的单调区间 解 () 该函数的定义域为 -,+ ; () y = 3-3 = 3 - +, 令 y = 0, 解得 = -, =, 它们将定义区 间划分为三个子区间 : -,-, -,,,+ ; (3) 因为当 -,- 时,y > 0, -, 时,y < 0,,+ 时,y > 0, 所以 -,-,,+ 是函数 y = 3-3 的递 增区间, -, 是函数 y = 3-3 的递减区间. 为简便直观起见, 我们通常将上述讨论归纳为如下表 3 畅 : 图 3 畅 6

67 56 高等数学 表 3 畅 -,- -,,+ f f 其中箭头 和 分别表示函数在指定区间递增和递减. 例 3 畅 7 讨论函数 f = - 3 的单调性 ( 图 3 畅 7). 图 3 畅 7 解 () 该函数的定义域为 -,+ ; () 当 0 时,f = = ; 令 f = 0 得 = 5. 当 = 0 时, 导数不存在. 于是 = 0, = 5 将函数的定义域划分为三个子区间 : -,0, 0, 5, 5,+. (3) 列表 3 畅 表示函数的单调性 表 3 畅 -,0 0, 5 5,+ f f 所以函数在 ( -,0) 和 3 畅 畅 函数的极值及其求法 5,+ 内单调递增, 在 0, 5 内单调递减. 观察图 3 畅 8, 点,,4,5,6 是函数 y = f 的单调区间的分界点. 在点,5 的左侧邻近, 函数是单调增加的, 而在点,5 的右侧邻近, 函数是单调减少的. 因此, 点,5 处的函数值 f,f 5 比它们左右近旁各点处的函数值都大. 类似的, 点, 4,6 处的函数值 f,f 4,f 6 比它们左右近旁各点处的函数值都小. 科学出版社职教技术出版中心 定义 3 畅 设函数 y = f 在 0 的某邻域内有定义, 若对于该邻域内的任何点

68 第 3 章微分中值定理与导数的应用 57 0, 恒有 () f < f 0, 则称 f 0 为函数 f 的一个极大值,0 称为 f 的一个极大值点 ; () f > f 0, 则称 f 0 为函数 f 的一个极小值, 0 称为 f 的一个极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点. 图 3 畅 8 从图中还可以看出, 在函数取得极值处, 曲线的切线是水平的, 这一事实在 3 畅 中费马引理已给出. 但曲线上有水平切线的地方, 函数却不一定取得极值. 定理 3 畅 7( 极值的必要条件 ) 设函数 y = f 在 0 处可导, 且在 0 处取得极值, 那么 f 0 = 0 畅使函数的导数为零的点叫做函数的驻点 ( 或稳定点 ). 注意 () 定理 3 畅 7 说明, 可导函数的极值点必定是它的驻点, 但定理反过来是不成立的, 即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 例如图 3 畅 8 中, 在 = 3 处曲线有水平切线,3 是函数的驻点, 但 f 3 不是极值. 又如, 对函数 y = 3 来说, 显然 = 0 是函数的驻点但不是极值点 ( 图 3 畅 9). 图 3 畅 9 图 3 畅 0 () 定理 3 畅 7 是就可微函数而言的, 实际上, 连续但不可导的点也可能是极值点. 例 如, 函数 y = 在 = 0 处连续但不可导, 在该点处有极小值 f(0) = 0( 图 3 畅 0). 下面给出两个判定极值的充分条件 : 定理 3 畅 8( 第一充分条件 ) 设函数 y = f 在 0 处连续, 在 0 的某个去心邻域内 可导. () 如果当 取 0 左侧邻域内的值时,f > 0 ; 当 取 0 右侧邻域内的值时, f < 0, 则函数 f 在 0 处取得极大值 ; () 如果当 取 0 左侧邻域内的值时,f < 0 ; 当 取 0 右侧邻域内的值时, f > 0, 则函数 f 在 0 处取得极小值 ; (3) 如果当 取 0 左右两侧邻域内的值时,f 不改变符号, 则函数 f 在 0 处 没有极值.

69 58 高等数学 证明 () 当 取 0 左侧邻域内的值时,f > 0, 根据函数单调性的判定法, 函数 f 在 0 左侧邻域内是单调增加的, 所以 f < f 0 ; 当 取 0 右侧邻域内的值时,f < 0, 根据函数单调性的判定法, 函数 f 在 0 右侧邻域内是单调减少的, 所以 f 0 > f. 因此, 在 0 的邻域内总有 f < f 0, 即 f 0 是 f 的一个极大值, 如图 3 畅 (a) 所示. 类似地, 可证明 ()( 图 3 畅 (b)) 和 (3)( 图 3 畅 (c) (d)). 图 3 畅 求 f 在该区间内的极值点和相应的极值的步骤 : () 求出函数的定义域 ; () 求出导数 f ; (3) 求出 f 的全部驻点与不可导点 ; (4) 考察 f 的符号在每个驻点或不可导点的左 右邻近的情形, 以确定该点是否 为极值点 ; 如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是极小值点 ; (5) 求出各极值点的函数值, 就得函数 f 的全部极值. 例 3 畅 8 求函数 f = 的极值. 解函数的定义域为 -,+. f = = 令 f = 0, 解得驻点 = -, =. 列表 3 畅 3 讨论如下 : 表 3 畅 3 -,- - -,,+ f f 极大值 极小值 - 6 科学出版社职教技术出版中心

70 第 3 章微分中值定理与导数的应用 59 函数的极大值为 f - =, 极小值为 f = - 6 畅 例 3 畅 9 求函数 f = - 3 的极值. 解函数的定义域为 -,+. 当 0 时,f = = 当 = 0 时, 导数不存在. 列表 3 畅 4 讨论如下 : 表 3 畅 4 ; 令 f = 0, 解得驻点 = 5. -,0 0 0, 5 5 5,+ f + 不存在 f 极大值 0 极小值 函数的极大值为 f 0 当函数 f = 0, 极小值为 f 5 = 在驻点处的二阶导数存在且不为零时, 也可以利用下述定理来判定 f 在驻点处取得极大值还是极小值. 定理 3 畅 9( 第二充分条件 ) 设函数 f 在 0 处具有二阶导数且 f = 0,f 0 0, 那么 () 当 f 0 < 0 时, 函数 f 在 0 处取得极大值 ; () 当 f 0 > 0 时, 函数 f 在 0 处取得极小值. 证明略. 注意当 f 0 = 0,f 0 = 0 或 f 0 不存在时, 定理 3 畅 9 就不能应用. 这时, 仍 需用第一充分条件来判定. 例 3 畅 0 求函数 f = 的极值. 解函数的定义域为 -,+. f = = 4-5, 令 f = 0, 解得驻点 因为 = - 5, = 0,3 = 5. f = - 0. f - 5 = > 0 ; f 0 = 0-0 < 0 ; f 5 = 5-0 > 0 图 3 畅 所以函数的极大值为 f 0 = 5, 极小值为 f ± 5 = - 0( 图 3 畅 ).

71 60 高等数学 3 畅 畅 3 函数的最大值和最小值 假定函数 f 在闭区间 a,b 上连续, 在开区间 a,b 内除有限个点外可导, 且至多 有有限个驻点. 在上述条件下, 我们来讨论 f 在 a,b 上的最大值和最小值的求法. 首先, 由闭区间上连续函数的性质, 可知 f 在 a,b 上一定存在最大值和最小值. 其次, 如果最大值 ( 或最小值 ) f 0 在开区间 a,b 内的点 0 处取得, 那么, 由于 f 在开区间 a,b 内除有限个点外可导且至多有有限个驻点,f 0 一定也是 f 的 极大值 ( 或极小值 ), 从而 0 一定是 f 的驻点或不可导点. 又 f 的最大值和最小值 也可能在区间的端点处取得. 因此求 f 在 a,b 上的最大值和最小值, 可按如下步骤 进行 : () 求出函数 f 在 a,b 内的所有驻点及不可导点 ; () 计算各驻点 不可导点及端点处的函数值 ; (3) 比较 () 中各函数值的大小, 其中最大的就是 f 在 a,b 上的最大值, 最小的 就是最小值. 小值. 例 3 畅 求函数 f = 在区间 0,3 上的最大值和最 解 f = = - -, 令 f = 0, 解得驻点 =, =. 求出区间端点及各驻点处的函数值分别是 f 0 = 4,f = - 3, f = - 4,f 3 = 3. 比较上述各值的大小, 可知函数在区间 0,3 上的最大值为 f 3 = 3, 最小值为 f = - 4. 例 3 畅 用一块边长为 4cm 的正方形铁皮, 在其四角各截去一块面积相等的小正 方形, 做成无盖的铁盒 ( 图 3 畅 3). 问截去的小正方形边长为多少时, 做出的铁盒容积 最大? 图 3 畅 3 解设截去的小正方形的边长为 cm, 铁盒的容积为 Vcm 3, 根据题意, 得 V = 4-0. 于是, 问题归结为 : 当 为何值时, 函数在区间 0, 内取得最大值. V = 科学出版社职教技术出版中心

72 第 3 章微分中值定理与导数的应用 6 = = - 4 -, 令 V = 0, 解得 = 4, =. 又因为 V 0 = 0,V = 0,V 4 = 04, 所以当 = 4 时, 函数 V 取得最大值. 即, 当所截去的正方形边长为 4cm 时, 铁盒的容积 最大. 注意 () 在求函数的最大值 ( 或最小值 ) 时, 如果 f 在一个区间 ( 有限或无限, 开 或闭 ) 内可导且只有一个驻点 0, 并且这个驻点 0 是函数 f 的极值点, 那么, 当 f 0 是极大值时,f 0 就是 f 在该区间上的最大值 ( 图 3 畅 4(a)) ; 当 f 0 是极小值时, f 0 就是 f 在该区间上的最小值 ( 图 3 畅 4(b)). 图 3 畅 4 () 在实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定可导函数 f 确有最大值 ( 或最小值 ), 而且一定在定义区间内部取得. 这里如果 f 在定义区间内部只有一个驻点 0, 那么不必讨论 f 0 是不是极值, 就可以断定 f 0 是最大值 ( 或最小值 ). 例 3 畅 3 微型计算机把数据存储在磁盘上. 磁盘是带有磁性介质的圆盘, 并由操作系统将其格式化成磁道和扇区. 磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道, 扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域. 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元, 根据其磁化与否可分别记录数据 0 或, 这个基本单元通常被称为比特 (bit). 磁盘的构造如图 3 畅 5 所示. 为了保障磁盘的分辨率, 磁道宽度必须大于 ρ t, 每比特所占用的磁道长度不得小于 ρb. 为了数据检索的便利, 磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 现有一张半径为 R 的磁盘, 它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域, 试确定 r, 使磁盘具有最大存储量. 解存储量 = 磁道数 每磁道的比特数, 因为存储区的半径 r 介于 R 之间, 故磁道数最多可达 R - r. 由于每条磁道上的比特数相同, 为获得最大存储量, 最内 ρt π r 一条磁道必须装满, 即每条磁道上的比特数可达到. 所以, 磁盘总存储量为 ρb 图 3 畅 5

73 6 高等数学 B r = R - r ρt π r ρb = π ρtρb 问题归结为 : 当 r 等于多少时,B r 有最大值. 由于 令 B r = 0, 解得 r = R. B r = π ρtρb R - r 0 < r < R. R - r, 故当 r = R 时, 磁盘具有最大存储量. 此时最大存储量 Bma 练习题 3 畅 畅是非题. = π R ρ tρ b. () 若函数 f 在 a,b 内单调递增, 且在 a,b 内可导, 则必有 f > 0 ; () 函数的驻点一定是它的极值点 ; (3) 单调可导函数的导函数必定单调 ; (4) 若 f > 0 a b, 且 f a = 0, 则 f > 0 a < b ; (5) 若函数 f 在点 0 处取得极值, 则必有 f 0 = 0. 畅求下列函数的单调区间. () y = ; () y = 3-3 ; (3) y = e - ; (4) y = - ln. 3 畅求下列函数的极值点和极值. () y = ; () y = - ln + ; (3) y = arctan - ln + ; (4) y = e - e -. 4 畅求下列函数在指定区间上的最大值和最小值. () y = +, 0,4 ; () y = sin 3 + cos 3, - π 4,3π 4 5 畅试证面积为定值的矩形中, 正方形的周长为最短.. 6 畅某车间要靠墙盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌 0m 长的墙壁. 问应围成怎样 的长方形才能使这间小屋的面积最大? 7 畅现在要出版一本书每页纸张的面积为 600cm, 要求上下各留 3cm, 左右各留 cm 的空白, 试确定纸张的宽和高, 使每页纸面能安排印刷最多的内容. 3 畅 3 曲线的凹凸与拐点 科学出版社职教技术出版中心 图 3 畅 6 中有两条曲线弧, 虽然它们都是上升的, 但图形却有显著的不同,A CB 是向 上凸的曲线弧, 而 A DB 是向上凹的曲线弧, 它们有着不同的曲线弧. 下面我们就来介绍曲

74 第 3 章微分中值定理与导数的应用 63 线的凹凸性及其判定. 观察图 3 畅 7, 可以看到 : 呈凸形的弧段, 其切线位于曲线的上方 ; 呈凹形的弧段, 其切线位于曲线的下方. 我们以这个明显的几何特征来定义曲线的凹凸性. 定义 3 畅 设曲线弧的方程为 y = f, 且曲线弧上每一点都有切线. 如果在某区间内, 曲线弧总位于切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间 ; 反之, 若曲线总位于其切线的下方, 则称此曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 从图 3 畅 7(a) 还可以看出, 当切点在曲线弧上沿着 增加的方向移动时, 切线的倾斜角在 0, π 内逐渐增大, 图 3 畅 6 图 3 畅 7 因而切线斜率 k = tanα = f 也随之增大. 即,f 在 0, π 内是单调增加的函数. 从图 3 畅 7(b) 还可以看出, 当切点在曲线弧上沿着 增加的方向移动时, 切线的倾斜 角在 0, π 内逐渐减少, 因而切线斜率 k = tanα = f 也随之减少. 即, f 在 0, π 内是单调减少的函数. 由以上讨论可知, 曲线 y = f 的凹凸性可以用其导数 f 的单调性来判定, 而 f 的单调性又可以用它的导数, 即 f 的二阶导数 f 的符号来判定. 因此有如 下定理. 定理 3 畅 0 设函数 y = f 在 a,b 内有二阶导数 f. () 如果在 a,b 内,f > 0, 则曲线在 a,b 内是凹的 ; () 如果在 a,b 内,f < 0, 则曲线在 a,b 内是凸的. 证明略. 例 3 畅 4 判定曲线 y = 3 的凹凸性. 解函数的定义域为 -,+. 因为

75 64 高等数学 y = 3,y = 6 当 < 0 时, y < 0 ; 当 > 0 时, y > 0. 所以在 -,0 内曲线是凸的, 在 0,+ 内曲线是凹的 ( 图 3 畅 8). 在 y = 3 的曲线上, 点 0,0 是曲线由凸变凹的分界点. 我们把这种连续曲线上凹的 曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点. 图 3 畅 8 图 3 畅 9 定理 3 畅 ( 拐点的必要条件 ) 若函数 y = f 在 0 处的二阶导数 f 0 存在, 且 点 0,f 0 为曲线 y = f 的拐点, 那么 f 0 = 0 畅 证明略. 注意 f 0 = 0 所确定的点 0,f 0 不一定是拐点. 如函数 f = 4, f =, 当 = 0 时二阶导数为 0, 但点 0,0 并不是曲线的拐点 ( 图 3 畅 9). 定理 3 畅 若函数 y = f 在 0 处 f 0 = 0 且在 0 两侧的二阶导数变号, 则点 0,f 0 为曲线 y = f 的拐点. 例 3 畅 5 讨论曲线 f = 的凹凸区间与拐点 ( 图 3 畅 0). 解函数 f = 的定义域为 -,+. 由于 令 f = 0, 解得 =. 列表解答如下 : f = ; f = 6 - ; 表 3 畅 5 -,,+ f f )拐点,3 ( 科学出版社职教技术出版中心 其中(表示曲线是凸的, )表示曲线是凹的.

76 第 3 章微分中值定理与导数的应用 65 图 3 畅 0 练习题 3 畅 3 畅已知曲线 y = 3 - a 在 = 处有拐点, 则 a = ( ). (A) a = - 3 ; (B) a = 3 ; (C) a = ± 3 ; (D) 无法确定. 畅求下列函数的凹凸区间及拐点. () y = ; () y = 畅已知函数 y = a 3 + b + c + d 有拐点 -,4, 且在 = 0 处有极大值, 求 a,b, c,d 的值. 3 畅 4 畅 弧微分 3 畅 4 曲率 设函数 f 在区间 a,b 内具有连续导数. 在曲线 y = f 上取固定点 M0 0,y0 作为度量弧长的基点 ( 图 3 畅 ), 并规定 增大的方向为曲线的正向. 对曲线上任一点 M,y, 规定有向弧段 M0 M 的值 s( 简称为弧 s) 如下 :s 的绝对值等于这弧段的长度, 当 有向弧段 M0 M 的方向与曲线的正向一致时 s > 0, 相反时,s < 0. M 显然, 弧长 s 的值由点 M,y 的位置唯一确定, 而点,y 由 的值唯一确定. 因此,s 是 的函数, 记作 s = s, 而且 s 是单调增加的函数. 下面来求 s 的导数和微分. 在点 M,y 的附近另取一点 M + Δ,y + Δ y, 则 弧段 M M 是弧长函数 s 的增量, 即 Δ s. 求弧长函数 s Δ s 的导数就是求极限 Δ 0 Δ, 但是 Δ s 的值很难直接求出. 观察 图 3 畅, 可以见到, 当 Δ 很小时, 弧线段 M M 与直线段 图 3 畅

77 66 高等数学 M M M M 的长度十分接近, 显然, Δ 0 M M 则 Δ s Δ = = = MN Δ MN MN MN MN =. 因此, 有 = MN MN + MN Δ Δ + Δ y Δ Δ y Δ, Δ s Δ = ± MN MN + 因为, 当 Δ 0 时,M M, 这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于, 即 又 故而 Δ 0 Δ 0 MM MM =, Δ y Δ = y, Δ y Δ s = d s d = ± + y. 由于弧长函数 s = s 是单调增加函数, 从而根号前要取正值, 于是有 得到弧微分公式 或 图 3 畅 s = d s d = + y d s = + y d, (3 畅 4) d s = d + d y. (3 畅 5). 说明在几何上, 弧微分 d s 就是曲线上点 M 处的切线段 M T. 直角三角形 M R T 叫做曲线在 点 M 的微分三角形, 其底边是自变量的微分 d, 高 是函数 y = f 的微分 d y, 斜边是弧长函数 s = s 的微分 d s. 三边满足勾股定理, d s = d + d y ( 图 3 畅 ). 所以 Δ s d s = + y d = 畅 = 0 畅 36. 例 3 畅 7 求曲线 y = ln - 例 3 畅 6 已知曲线 f = + 上两点 M,,N 畅, 畅, 求弧长 M N 的近似值. 的弧微分. 科学出版社职教技术出版中心 解因为 y =,y = = =,

78 第 3 章微分中值定理与导数的应用 67 解因为 y = - -, 所以 d s = d = + - d - < <. 3 畅 4 畅 曲率及其计算在工程技术中, 有时需要研究曲线的弯曲程度. 例如, 船体结构中的钢梁, 机床的转轴等, 它们在荷载作用下要产生弯曲变形, 在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制, 这就要研究它们的弯曲程度. 为此首先要讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度. 那么, 曲线的弯曲程度与哪些因素有关呢? 首先, 它与曲线的切线密切相关. 从图 3 畅 3(a) 可以看到, 若曲线上的动点从 A 点移动到 B 点, 曲线上 A 点的切线相应地变动为 B 点的切线. 若记切线转过的角度 ( 简称为转角 ) 为 Δ α, 则 Δ α 越大, 弧 A B 弯曲得越厉害. 图 3 畅 3 其次, 它又与曲线的长度有关. 从图 3 畅 3(b) 可以看到, 弧 A B 和 CD 的切线转角都是 Δ α, 但是显然弧长较短的弧 CD 比弧长较长的弧 A B 弯曲得厉害. 为珡 K, 即 按照上面的分析, 我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下. 定义 3 畅 3 弧 A B 的切线转角 Δ α 与该弧长 Δ s 之比的绝对值叫做该弧的平均曲率, 记 珡 K = Δ α Δ s 弧长越小时, 平均曲率就越能表示弧上某一点附近的弯曲程度. 当 Δ s 0( 即 B A) 时弧 A B 的平均曲率的极限, 就是曲线在点 A 处的曲率. 定义 3 畅 4 当点 B 沿曲线 L 趋向于 A 时, 若弧 A B 的平均曲率的极限存在, 则称此极 限为曲线 L 在点 A 处的曲率, 记为 K, 即 Δ α 若 Δ s 0 Δ s = dα 存在,K 也可以表示为 d s K = Δ s 0 K = 下面运用定义 3 畅 4 求出直线和圆的曲率. dα d s Δ α Δ s..

79 68 高等数学 对于直线来说, 切线与直线本身重合, 当点沿直线移动时, 切线的倾角 α 不变 ( 图 3 畅 4), 故而 Δ α = 0, Δ α Δ s = 0, 从而 K = dα d s 于零, 即 直线不弯曲, 这与我们的直觉一致. = 0. 这就是说, 直线上任意点 M 处的曲率都等 图 3 畅 4 图 3 畅 5 设圆的半径为 r, 由图 3 畅 5 可以看到, 圆在点 M M 处的切线的转角 Δ α 等于其圆心 角 M D M. 由弧长公式有,Δ s = r M D M = r Δ α, 于是 从而 K = Δ α Δ s = Δ α Δ s Δ α r Δ α = r, = r = r. 因为点 M 是圆上任意取定的一点, 上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径 r 的倒数 r, 即圆的弯曲程度到处一样, 且圆的半径越小曲率越大, 弯曲得越厉害. 现在我们来讨论曲线 y = f 的曲率计算问题. 设曲线的直角坐标方程是 y = f, 且 f 具有二阶导数. 由定义 而 接下来求 dα. 因为 对上式左右两边同时求导, 得 于是 得到 K = dα d s, d s = + y d, y = tanα, y = sec α α. α = dα d = y sec α = y + tan α = y + y, dα = y + y d. 科学出版社职教技术出版中心

80 第 3 章微分中值定理与导数的应用 69 从而根据曲率的表达式有 K = dα d s = y + y 3/ = 这就是曲线 y = f 任意点处的曲率计算公式. 例 3 畅 8 计算等边双曲线 y = 在点, 处的曲率. 解由 y =, 得 y + y 3 /. (3 畅 6) y = -, y = 3, 因此, y = = -, y = =. 把它们代入公式 (3 畅 6), 计算得曲线 y = 在点, 处的曲率为 K = + - 3/ = =. 例 3 畅 9 抛物线 y = a + b + c 上哪一点处的曲率最大? 解由 y = a + b + c, 得 代入曲率计算公式 (3 畅 6), 得 因为 K 的分子是常数 a y = a + b, y = a, K = a + a + b 3/., 所以只要分母最小,K 的值就最大. 显然, 当 a + b = 0, 即 = - b 时,K 的分母最小, 因而 K 有最大值 a. 而 = - b 所对应的点为抛物线的顶 a a 点, 因此, 抛物线在顶点处的曲率最大. 在有些实际问题中, y 与 比较起来很小 ( 即 y 虫 ), 可以忽略不计. 这里, 由 而有曲率的近似计算公式 K = + y, y + y 3/ y. 这就是说, 当 y 虫 时, 曲率 K 近似于 y. 经过这样简化后, 对一些复杂问题的计算 和讨论就方便多了. 3 畅 4 畅 3 曲率圆和曲率半径 设曲线 y = f 在点 M,y 处的曲率为 K K 0. 在点 M 处的曲线的法线上, 在 凹的一侧取一点 D, 使 D M = K = ρ. 以 D 为圆心,ρ 为半径作圆 ( 图 3 畅 6), 这个圆叫做 曲线在点 M 处的曲率圆, 曲率圆的圆心 D 叫做曲线的点 M 处的曲率中心, 曲率圆的半径 ρ 叫做曲线在点 M 处的曲率半径. 从上述规定可知, 曲率圆与曲线在点 M 处有相同的切线和曲率, 且在点 M 邻近有相 同的凹向. 因此, 在实际问题中, 常常用曲率圆在点 M 邻近的一段圆弧来近似代替曲线 弧, 以使问题简单化.

81 70 高等数学 由上述规定, 曲线在点 M 处的曲率 K 下关系 : K 0 与曲线在点 M 处的曲率半径 r 存在如 ρ = K, K = ρ. 这就是说, 曲线上任一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 由此可见, 曲线 上曲率半径较大的点处的曲率较小, 反之, 则该点曲率较大. 图 3 畅 6 图 3 畅 7 例 3 畅 0 设工件内表面的截线为抛物线 y = 0 畅 4 ( 图 3 畅 7), 现在要用砂轮磨削其 内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适? 解为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多, 砂轮的半径 应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值. 由本节例 3 畅 4 知道, 抛物线在其顶点处的 曲率最大, 也就是说, 抛物线在其顶点处的曲率半径最小. 因此, 只要求出抛物线 y = 0 畅 4 在顶点 O 0,0 处的曲率半径. 由 而有 把它们代入公式 (3 畅 6), 得 因而求得抛物线顶点处的曲率半径 y = 0 畅 8, y = 0 畅 8, y = 0 = 0, y = 0 = 0 畅 8, K = 0 畅 8, ρ = K = 畅 5. 所以选用砂轮的半径不得超过 畅 5 单位长, 即直径不得超过 畅 50 单位长. 图 3 畅 8 例 3 畅 设一辆质量为 m 的汽车以速度 v 经过图 3 畅 8 所示的抛物形拱桥, 该桥的跨度为 l 米, 高度为 h 米. 试问当 汽车驶过顶点 O 时, 对桥的压力多大? 解质量为 m 的质点, 以线速度珗 v( 其大小为 v) 沿半径 mv 为 r 的圆周作匀速圆周运动时, 质点所受到的向心力为. r 若质点沿曲线 y = f 科学出版社职教技术出版中心 运动, 我们可用该点的曲率圆弧代替 其附近的曲线段. 因此, 质点在曲线上某点所受的向心力, 等

82 第 3 章微分中值定理与导数的应用 7 mv 于, 其中 r 为曲线在该点的曲率半径. r 为此, 我们应建立拱桥的曲线方程. 以拱桥的最高点为原点, 地平线为 轴, 以其铅 垂线为 y 轴, 取向下方向为 y 轴正向, 建立如图 3 畅 8 所示直角坐标系. 设拱桥的方程为 y = a, 因为 = l 由 时,y = h, 代入方程计算得 a = 4 h l, 所以拱桥方程为 代入公式 (3 畅 6), 求得顶点 O 处的曲率 则顶点 O 处的曲率半径为 故汽车经过顶点 O 时所受的向心力为 y = 4 h l, y = 8 h, y = 8 h, l l K = 8 h l, r = l 8 h, mv 8 h l. 因为汽车对桥面的压力 F = 重力 - 向心力, 所以过 O 点时桥面所受压力 练习题 3 畅 4 F = mg - 8 mv h l = mg - 8 v h gl. 畅曲线 y = 3 3 在点, 3 处的曲率 K =, 曲率半径 ρ =. 畅求曲线 y = sin 的弧微分. 3 畅求下列曲线在给定点的曲率. () y = 4-3,,0 ; () y = sin, π, ; (3) y = ln -, 0,0. 4 畅一飞机沿抛物线路径 y = 0000 ( y 轴铅直向上, 单位为 m) 作俯冲飞行. 在坐标原 点处飞机的速度为 v = 00m/s, 飞行员体重 G = 70kg. 求飞机俯冲至最低点即原点 O 处时 座椅对飞行员的反作用力.

83 7 高等数学 小知识 谁吗? 数学家 力学家 天文学家拉格朗日 8 世纪有一位数学家曾被拿破仑以 数学上崇高的金字塔 这句话来形容和称赞. 你知道他是 他就是下面要介绍的约瑟 路易 拉格朗日 (735 ~ 83). 你如 果有机会翻看大学的物理力学书, 你就会看到许多与拉格朗日有关 的方法 定理和发现. 可是你知不知道他并不是很早就对数学有兴趣, 而是在看到一 本 奇书 后, 数学的兴趣火花才被点燃. 后来在短短的一年时间独自 研究数学, 创立了一门新的数学. 在 9 岁时成为大学数学教授. 拉格朗日出生于意大利都灵, 他的家境本来很不错, 在他少年时, 他的父亲进行投机买卖, 把家产耗尽, 拉格朗日后来回顾这本来可以 继承一大笔财产而转眼之间变成穷光蛋的自己时, 这样评述 : 这是好 事, 如果我继承了财产, 可能我就不会搞数学了. 那样的话, 很可能是 意大利多了一个纨绔子弟, 人类少了一个杰出的数学家. 少年时代的拉格朗日并不喜欢数学.7 岁时, 在哈雷的枟分析方法的优越性枠一文的影响下, 从事 数学分析的研究.9 岁就因成绩卓著任都灵皇家炮兵学院教授.764 年和 766 年两次用微分方程的 理论和方法解决了法国科学院悬赏征答的数学难题. 他是 8 世纪后半叶 9 世纪初最伟大的数学家之 一, 也是 8 世纪科学的象征. 从 77 年到 797 年, 拉格朗日在微积分方面得到了著名的拉格朗日中值定理 拉格朗日余项及 拉格朗日方程. 拉格朗日是 8 世纪的伟大科学家, 在数学 力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献. 但 他主要是数学家, 他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用. 使 数学的独立性更为清楚, 而不仅是其他学科的工具. 同时在使天文学力学化 力学分析化上也起了历史 性作用, 促使力学和天文学 ( 天体力学 ) 更深入发展. 畅填空题. 复习题 3 A 组 科学出版社职教技术出版中心 () 设 f = 4 -, 则它在区间 0, 上满足拉格朗日中值定理的 ξ=. () 函数 f( ) = 的单调递增区间为, 凹区间为. (3) 函数 y = + cos 在 0, π 上的最大值为, 最小值为. (4) 如果在 a,b 内恒有 f = g, 则在 a,b 内恒有. (5) 0 ln + 5 arcsin =.

84 第 3 章微分中值定理与导数的应用 73 (6) 半径为 R 的圆上任一点处的曲率为, 正弦曲线 y = sin 各点处的曲 率由公式计算得. 畅选择题. () 函数 y = f 在 = 0 处取得极大值, 则必有 ( ). (A) f 0 = 0 ; (B) f 0 = 0 ; (C) f 0 = 0 且 f 0 < 0 ; (D) f 0 = 0 或不存在. () 设 y = f 满足方程 y - y + 3 y = 0, 且 f 0 > 0,f 0 = 0, 则函数 y = f 在点 = 0 处 ( ). (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 不可能取得极值 ; (D) 不能确定是否取得极值. (3) 函数 y = a + c 在区间 -,0 内单调减少, 则 ( ). (A) a < 0,c = 0 ; (B) a > 0,c 任意 ; (C) a > 0,c 0 ; (D) a < 0,c 任意. (4) 下列结论正确的是 ( ). (A) 函数 f 的导数不存在的点, 一定不是 f 的极值点 ; (B) 若 0 为函数 f 的驻点, 则 0 必为 f 的极值点 ; (C) 若函数 f 在点 0 处有极值, 且 f 0 存在, 则必有 f 0 = 0 ; (D) 函数 f 在点 0 处连续, 则 f 0 一定存在. (5) 在区间 a,b 内函数 f 满足 f 0 > 0,f < 0, 则函数 f 在此区间内 是 ( ). (A) 单调减少, 曲线凹 ; (B) 单调增加, 曲线凹 ; (C) 单调减少, 曲线凸 ; (D) 单调增加, 曲线凸. (6) 如果 f 在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导,c 为介于 a,b 之间的任意一点, 那么 在 a,b 内 ( ) 找到两点,, 使 f - f = f c - 成立. (A) 必能 ; (B) 可能 ; (C) 不能 ; (D) 无法确定能否. (7) 如果 f 在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导, 且当 a,b 时,f > 0, 又 f a < 0, 则 ( ). (A) f 在 a,b 上单调增加, 且 f b < 0 ; (B) f 在 a,b 上单调增加, 且 f b > 0 ; (C) f 在 a,b 上单调减少, 且 f b < 0 ; (D) f 在 a,b 上单调增加, 但 f b 的正负号不能确定. 3 畅利用洛必达法则求下列极限. π cos + α - () 0 ; () - ; (3) + ln + e ; (4) 0 4 畅求下列函数的单调区间与极值. e + e cos () y = e - sin ; () y = - e ;.

85 74 高等数学 (3) y = ; (4) y = 3-3 ; (5) y = arctan - ; (6) y = -. 5 畅求下列函数在指定区间上的最大值与最小值. () y = , [,4] ; () y = ln -,,4 ; (3) y = +, 0. 6 畅求下列函数的凹凸区间和拐点. () y = ; () y = 4 - ; (3) y = ; (4) y = e. 7 畅求下列曲线在给定点的曲率. () y = + 3,,4 ; () 椭圆 40 + y = 上 = 0 点 畅若抛物线 y = a + b + c 在 = 0 处与曲线 y = e 相切且有相同的曲率半径, 试 确定系数 a,b,c. 9 畅一足球运动员沿边线推进, 然后发力射门, 如图 3 畅 9 所示, 试确定其最佳射门点 ( 提示 : 运动员处在最佳射门点时, 其对球门的张角 θ 最大 ). 0 畅汽车连同载重共 5 吨, 在抛物线拱桥上行驶, 速度为 畅 6km/h, 桥的跨度为 0m, 拱的高度为 0 畅 5m( 图 3 畅 30). 求汽车越过桥顶时对桥的压力. 图 3 畅 9 图 3 畅 30 B 组 畅设函数 f,g 在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导, 且 f b - f a = g b - g a, 试证明在 a,b 内至少有一点 c, 使得 f c = g c. 畅若 f 在闭区间 a,b 上连续, 则存在两个常数 m,m, 对于满足 a < b 的任意两点, 证明恒有 m - f - f M -. 3 畅在数,, 3 3,, n n 中求出最大的一个数. 4 畅应用洛必达法则, 求下列极限. e () 0 (3) e sin 3 -. ; () ln ln - ; 科学出版社职教技术出版中心

86 第 3 章微分中值定理与导数的应用 75 5 畅在区间 a,b 上函数 y = f 的导数的图形如图 3 畅 3, 问 y = f 在 为何值 时, 有极大值 极小值和拐点? 图 3 畅 3 6 畅我军早年武器专家吴运铎在枟把一切献给党枠一书中讲述了一个抗日战争期间有趣的故事, 他制造了一种叫 枪榴弹 的新式武器, 在一次实战使用中, 结果没打着冲锋在前的伪军, 而打到了躲在小山后休息的日本鬼子的头上. 设我们制造的这种武器在射击时, 枪榴弹以初速度 40m/s 离开枪口, 又假设鬼子躲在离我军 750m 远处的山后, 而小山位于我军与鬼子兵的正中间 ( 如下图 3 畅 3), 其高度为 700m, 试求恰能打中鬼子兵的弹道曲线方程. 图 3 畅 3

87 第 4 章不定积分 在前面两章中我们已经讨论了一元函数的微分学, 在这一章及下一章我们来研究与 微分学相反的问题, 即积分学问题. 一元函数的积分学有两个基本概念 不定积分与 定积分. 本章主要介绍不定积分的概念 性质和计算方法. 4 畅 畅 原函数与不定积分概念 我们现在看下面几个例子 : 4 畅 不定积分概念和性质 例 4 畅 已知真空中由静止开始的自由落体在任意时刻 t 的运动速度为 v = v( t) = gt, 其中常量 g 是重力加速度, 又知当时间 t = 0 时, 路程 求自由落体运动的规律. s = 0, 分析前面我们已经学习过, 物体运动的路程 s = s( t) 对时间的导数, 就是这个物体 的速度函数 v = v( t), 即 s ( t) = v( t), 显然, 现在是已经知道物体速度 v( t), 反过来求路程 函数 s( t). 解设路程函数为 s = s( t), 而 s = s ( t) = v( t) = gt, 由我们前面求导数的经验, 不难猜测出 gt = gt. 但是, gt + C = gt( 其中 C 为任意常数 ), 故 s = s( t) = gt + C, 又当 t = 0 时,s = 0, 所以 C = 0, 所以 s = s( t) = gt. 线方程. 例 4 畅 设曲线上任意一点 M( λ,y) 处的切线斜率为 k =, 且曲线经过原点, 求曲 分析由前面导数的几何意义我们知道, 函数在某点处的导数即为曲线在该点处切 线的斜率, 现在把问题倒过来, 如果已知曲线在某点处的斜率 ( 或者说导函数 ), 又如何去 求曲线的函数呢? 解设所求曲线的函数为 y = F( ), 则显然有 可知 F( ) = + C,( 其中 C 为任意常数 ) y = F ( ) =, 科学出版社职教技术出版中心

88 第 4 章不定积分 77 又因为曲线过原点, 即 F(0) = 0, 所以有 C = 0, 故所求曲线的函数为 y = F( ) =. 对于以上两个问题, 从数学的角度可以归结为同一个问题 : 在已知某个函数的导函数 的条件下, 求原来那个函数, 既已知 F ( ) = f( ), 求 F( ), 对这样的问题, 我们作出以下 定义 : 定义 4 畅 函数 f( ) 在区间 I 上有定义, 如果存在可导函数 F( ), 使 F ( ) = f( ) 或 d F( ) = f( )d ( I), 称 F( ) 是函数 f( ) 在区间 I 上的一个原函数. 例如 : 因为 (sin ) = cos, 所以 sin 是 cos 的一个原函数 ; 因为 ( + ) =, 所以 - 是 的一个原函数. 我们知道, 一个可微函数的导数只有一个, 那么当一个函数具有原函数时, 它的原函 数是否也只有一个呢? 由于 ( + ) =,( + ) =,( - 3) =,,( + c) = ( c 是任意常数 ), 所以 ,, + c 都是 的原函数, 可见 的 原函数不止一个, 而是有无穷多个, 且其中任意两个原函数之间只相差一个常数. 这样, 我们得到下面的定理. 定理 4 畅 若函数 F( ) 是 f( ) 的一个原函数, 则 F( ) + c( c 是任意常数 ) 是 f( ) 的 全部原函数, 且其任意两个原函数之间仅相差一个常数. 在前面的讨论中, 我们都假定 f( ) 有原函数, 那么函数 f( ) 应具备什么条件, 才能 保证它有原函数呢? 下面给出一个结论 : 定理 4 畅 ( 原函数存在定理 ) 如果函数 f( ) 在区间 I 上连续, 则函数 f( ) 在该区间 上一定存在原函数. 简单地说, 连续函数必有原函数, 由于初等函数在其定义区间上都是连续函数, 所以 初等函数在其定义区间上都有原函数. 定义 4 畅 如果函数 F( ) 是 f( ) 在区间 I 上的一个原函数, 则称 f( ) 的全部原函 数 F( ) + c( c 是任意常数 ) 为 f( ) 在区间 I 上的不定积分, 记作 f( )d, 即 f( )d = F( ) + c. 其中 称为积分号,f( ) 称为被积函数,f ( )d 称为被积表达式, 称为积分变量,c 称为积分常数. 求不定积分 f( )d 就是求被积函数 f ( ) 的全部原函数. 为此, 只需求得 f( ) 的一 个原函数 F( ), 然后再加上任意常数 c 即可. 例 4 畅 3 求 d. 解因为 3 3 =, 所以 d = c.

89 78 高等数学 例 4 畅 4 求 e d. 解因为 (e ) = e, 所以 e d = e + c. 例 4 畅 5 设曲线通过点 (,), 且其上任意一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两 倍, 求此曲线方程. 解设所求曲线方程为 y = f( ), 由导数的几何意义, 据题设曲线上任一点 (,y) 处 的切线斜率为 所以 y = d = + 曲线方程为 y = +. y =, c, 又由于所求曲线经过点 (,), 故 = + c, 得 c =. 因此所求 从几何上看,y = + c 的图形可由曲线 y = 的图形沿 y 轴上下平移 c 个单位得 到, 所以 y = + c 表示一族抛物线, 而 y = + 则是这族曲线中通过点 (,) 的那一条 ( 图 4 畅 ). 图 4 畅 图 4 畅 一般地, 若 F( ) 是 f( ) 的一个原函数, 则 f( ) 的不定积分 f( )d = F( ) + c 在几何 上就表示一族曲线, 称为 f( ) 的积分曲线族 ( 图 4 畅 ). 在这族曲线上任一点 (,y) 处切线的 斜率都等于 f( ), 而且任意两条积分曲线沿 y 轴方向只差一个积分常数 C, 所以任一条积 分曲线都可以由另一条积分曲线沿 y 轴方向平移而得到, 这就是不定积分的几何意义. 4 畅 畅 不定积分性质 由不定积分的定义, 可得到不定积分的下述性质 : 性质 4 畅 不定积分与微分的互逆运算性质, 即 () f( )d = f( ) 或 d f( )d = f( )d ; () F ( )d = F( ) + c 或 d F( ) = F( ) + c. 性质 4 畅 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面, 即 kf ( )d = k f( )d ( k 为非零常数 ). 性质 4 畅 3 两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和, 即 [ f ( ) ± f ( )]d = f ( )d ± f ( )d. 科学出版社职教技术出版中心

90 第 4 章不定积分 79 性质 4 畅 性质 4 畅 3 还可以推广到有限个函数代数和的形式, 即 [ k f ( ) ± k f ( ) ± ± kn f n( )]d = k f ( )d ± f k ( )d ± ± f n( )d. kn 4 畅 畅 3 基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导数运算的逆运算, 所以由导数的基本公式相应地可以 得到如下不定积分的基本公式 : () kd = k + c ( k 是常数 ) ; () α d = α+ α + + c (α -,α 是常数 ) ; (3) d = ln + c ; (4) a d = (5) e d = e + c ; a + c ( a > 0,a ) ; ln a (6) sin d = - cos + c ; (7) cos d = sin + c ; (8) cos d = d = tan + c ; sec (9) sin d = d = - cot + c ; csc (0) tan sec d = sec + c ; () cot csc d = - csc + c ; () - d = arcsin + c ; (3) d = arctan + c. + 以上 3 个公式称为基本积分公式, 它们是求不定积分的基础, 必须熟记. 练习题 4 畅 畅填空题 () 函数 的原函数是 ; () 函数 sin 是函数的原函数 ; (3) 已知 f ( ) = g( ), 则 g( )d ;

91 80 高等数学 (4) d arctan d = ; (5) dln =. 畅求过点 (,), 且在任一点处的切线斜率为 3 的曲线方程. 3 畅已知动点在时刻 t 时的速度为 v = 3 t -, 且 t = 0 时 s = 5, 求此动点的运动方程. 4 畅 换元积分法 在不定积分的定义 性质以及基本公式的基础上, 我们进一步来讨论不定积分的有关 计算问题, 不定积分的计算方法主要有三种 : 直接积分法 换元积分法和分部积分法. 4 畅 畅 直接积分法 ( 公式法 ) 利用不定积分的性质和基本公式, 结合适当的代数或三角恒等变形, 可以求一些简单 函数的不定积分, 这样的积分方法叫做直接积分法. 例 4 畅 6 求 d. 解 d = d = 3 d - d + d = 3 - ln - + c. 例 4 畅 7 求 d. + 解在积分基本公式中没有这种类型的积分公式, 我们先对被积函数进行恒等变形, 再利用公式和性质逐项求积分. 例 4 畅 8 求 tan d. + - d + = d + = - + d = d - d = - arctan + c. + 解先利用三角恒等式的平方关系进行变形, 然后再求积分. tan d = (sec - )d = sec d - d = tan - + c. 例 4 畅 9 求 sin d. 解先利用余弦的两倍角公式进行变形, 即 cos = - sin, 科学出版社职教技术出版中心 然后再求积分. sin d = - cos d = d - cos d

92 第 4 章不定积分 8 = ( - sin ) + c. 注 () 等式右端的每个不定积分都有一个积分常数, 因为有限个任意常数的代数和 仍是一个任意常数, 所以只要在结果中写一个积分常数 c 即可. 在求不定积分时, 这个常 数不可省略. () 检验积分计算是否正确, 只需对积分结果求导, 看它是否等于被积函数. 若相等, 积分结果是正确的, 否则就是错误的. (3) 对基本积分公式的理解, 应注意被积函数中的变量 应与自变量微分 d 中的变 量保持一致. 例如, 公式 α d = α+ α + + c 我们应该理解成 ()α d() = ()α+ α + + c, 括号中可以是一 个单独的字母变量, 也可以是一个关于变量的代数式, 但内容必须完全相同. 我们来看这 样一个例子 : 例 4 畅 0 求 cos d. 分析若简单地认为用基本积分公式 cos d = sin + c, 将得出 cos d = sin + C, 但 (sin + c) = cos, 显然 sin 不是 cos 的一个原函数, 事实上, 因为 所以 cos d = sin + c, 才是正确的. 那么, 出现错误的原因在哪呢? sin = cos, 积分公式要求 cos()d() = sin() + c 括号中的式子必须一致, 而显然 cos( )d( ) 中两个括号内的式子是不一样的, 所以不能直接代入公式计算. 像这样的问题我们该怎么 计算呢? 我们介绍下面的换元积分法. 4 畅 畅 换元积分法 换元积分法有两类 : 第一类换元积分法和第二类换元积分法. 畅第一类换元积分法 例 4 畅 求 cos d. 分析只要能将 cos()d() 括号中内容一致, 就能代入公式计算, 但由微分运算我们 可以很容易把 d 变为 d( ), 这样, 原式变为 cos d = cos( ) d( ) = cos( )d( )

93 8 高等数学 两个括号中的内容就一致了. 解把原积分作下列变形后计算 : cos d = cos d( ) = sin u + c 令 = u cos ud u 回代 u = sin + c. 上例解法中, 通过引入新变量 u = φ( ) =, 从而把原积分化为关于 u 的一个简单积 分, 再用基本积分公式求解. 现在的问题是, 在公式 cos d = sin + c 中, 如果将 换成了 u = φ( ), 对应得到 的公式 cos ud u = sin u + c 是否还成立? 回答是肯定的, 有下面的定理 : 定理 4 畅 3 如果 f( )d = F( ) + c, 则 其中 u = φ( ) 是 的任意可微函数. 该定理告诉我们 : f( u)d u = F( u) + c. () 求不定积分时, 如果被积函数 g( ) 可以整理成 f[ φ( )] φ ( ), 并且 f( u) 具有原 函数 F( u), 则 g( )d = f[ φ( )] φ ( )d 换元 φ( ) = u 凑微分 f( u)d u f[ φ( )]d φ( ) = F( u) + c (4 畅 ) 回代 u = φ( ) F[ φ( )] + c 这种先 凑 微分式, 再作变量置换的方法, 称为第一类换元积分法, 也称凑微分法. 式 (4 畅 ) 称为第一类换元积分公式. () 定理 4 畅 3 表明了将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数, 公式仍成立, 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围. 例 4 畅 求 (5 + 8)3 d. 解此题不宜用立方公式展开被积函数, 考虑到基本积分公式中有 推广为 α d = uα d u = α+ α + + c (α - ), u α+ + c (α - ), α + 凑微分 d = d(5 + 8), 5 从而有 (5 + 8)3 d = 5 (5 + 8)3 d(5 + 8) 令 = u 5 u3 d u = 0 u4 + c 科学出版社职教技术出版中心

94 第 4 章不定积分 83 回代 u = (5 + 8)4 + c. 例 4 畅 3 求 e d. 解因为 d = d( ), 所以 e d = e d 例 4 畅 4 求 ln d. 令 = u eu d u = e u + c 回代 u = e + c. 解因为 d = dln, 所以 ln d = ln dln 令 ln = u ud u = u + c 回代 u = ln ln + c. 由上面例题可以看出, 用第一类换元积分法计算积分时, 关键是把被积表达式 g( )d 凑成两部分, 其中一部分为 φ( ) 的函数 f [ φ( )], 而另一部分凑成 d φ( ) 的形式. 即 g( )d = f[ φ( )] d φ( ). 在凑微分时, 常用到下列的微分式子, 熟记它们有助于求不定积分. d = a d( a + b) ( a 0,a,b 为常数 ) ; d = d ; d = dln ; d = d( ) ; d = d - + d = darctan ; - d = darcsin ; e d = de ; sin d = d( - cos ) ; cos d = dsin ; ; sec d = dtan ; csc d = d( - cot ) ; sec tan d = dsec ; csc cot d = d( - csc ). 凑微分的式子绝非只有这些, 要根据具体问题具体分析, 读者应在熟记基本积分公式 和一些常用微分式子的基础上, 通过大量的练习才能较好地掌握这一重要积分方法. 例 4 畅 5 求 arctan + d.

95 84 高等数学 解因为 所以 + d = darctan, arctan d + = arctan darctan 令 arctan = u ud u = u + c 回代 u = arctan (arctan ) + c. 当运算比较熟练后, 设变量代换及回代这两个过程可以省略不写. 例 4 畅 6 求 d a +. 解 d = d a + a + a 例 4 畅 7 求 d a -. = a d a + a = a arctan a + c. 解 d d a - = ( a + )( a - ) = a a + + a - d 例 4 畅 8 求 tan d. = a a + d( a + ) - d( a - ) a - = (ln a + - ln a - ) + c a = a ln a + a - + c. 解 tan d = sin cos d = - dcos cos 同理可得 cot d = ln sin + c. = - ln cos + c. 第一类换元积分法还适合求一些简单三角函数有理式的积分. 例 4 畅 9 求 cos d. 解 cos d = + cos d = 例 4 畅 0 求 cos3 d. d + cos d = + 4 cos d = + 4 sin + c. 解 cos3 d = cos cos d = cos dsin = ( - sin )dsin 科学出版社职教技术出版中心

96 第 4 章不定积分 85 = sin - 3 sin3 + c. 需要指出的是, 同一个不定积分由于采用积分方法的不同, 有时积分结果的表达形式 可能不一样, 但这些结果除了相差一个常数外, 实质上并无差别, 属同一个原函数族. 畅第二类换元积分法 第一类换元积分法的使用范围极为广泛, 但对于某些无理函数的积分, 则需应用第二 类换元积分法. 即 f( )d 不易直接求出, 需要适当地选择 = ψ( t) 进行换元, 将积分 f( )d 化为积分 f[ ψ( t)] ψ ( t)d t, 而 f[ ψ( t)] ψ ( t)d t 很容易求出结果. 这就是第二类 换元积分法. 定理 4 畅 4( 第二类换元积分法 ) 设 = ψ( t) 具有连续导数 ψ ( t), 且 ψ ( t) 0, 又设 f[ ψ( t)] ψ ( t) 具有原函数 F( t),t = ψ - ( ) 是 = ψ( t) 的反函数, 则 F[ ψ - ( )] 是 f( ) 的原函数, 即 f( )d 令 = ψ( t) 回代 t = ψ - ( ) 通常称式 (4 畅 ) 为第二类换元积分公式. 例 4 畅 求 d +. 解令 = t, 则 = t,d = td t, d + = td t + t = t t = [ t - ln( + t)] + c = [ - ln( + )] + c. 例 4 畅 求 a - d ( a > 0). f[ ψ( t)] ψ ( t)d t = F( t) + c F[ ψ - ( )] + c (4 畅 ) d t = d t - + t d t 解由于被积函数中含有根式 a -, 为消去根式, 宜将被开方式写成一个完全平 方式, 所以可采用三角恒等式消去根式. 令 = asin t - π < t < π, 则 d = acos td t 故 a - d = a - a sin tacos td t = a td t = a + cos t d t cos = a t + sin t + c. 由 = asin t, 得 t = arcsin a,

97 86 高等数学 又 cos t = - sin t = - a = a - a 所以 a 例 4 畅 3 求 - d = a arcsin a + a - + c. d + a ( a > 0)., 解令 = atan t - π < t < π, 则 d = asec td t 得 d = + a asec t a tan t + a d t = t sec sect d t 图 4 畅 3 = sectd t = ln sect + tan t + c. 为了要把 sect 及 tan t 换成 的函数, 可以根据所设 tan t = a 做辅助直角三角形 ( 图 4 畅 3), 便有 因此, 例 4 畅 4 求 d + a = ln sect = + a a + a + a a + c = ln + a + + c ( c = c - ln a). - a d ( a > 0). 解和上两例类似, 可以利用三角公式消去根式 令 = asect, 则 d = asecttan td t 得 - a d t = asecttan t d t atan t = sectd t = ln sect + tan t + c 根据 sect = a 做辅助直角三角形 ( 图 4 畅 4), 于是得 因此, tan t = - a a - a d = ln a + - a a. + c = ln + - a + c ( c = c - ln a).. 图 4 畅 4 从上面例子可以看出, 当被积函数含有根式 a - 或 ± a 时, 可将被积表达式 作如下变换 : () 含有 a - 时, 令 = asin t ; () 含有 + a 时, 令 = atan t ; (3) 含有 - a 时, 令 = asect. 科学出版社职教技术出版中心

98 第 4 章不定积分 87 这种变量代换称为三角代换. 目标是利用三角函数的平方关系将被开方式变形成一 个完全平方式. 在本节例题中, 有一些积分是经常遇到的, 所以也作为基本积分公式列在下面 : tan d = - ln cos + c ; cot d = ln sin + c ; sec d = ln sec + tan + c ; csc d = ln csc - cot + c. 练习题 4 畅 畅在下列的横线上添上适当的系数, 使等式成立. ()d = d(3 - ) ; () d = d( + ) ; (3) d = d + ; (4)e 3 d = d(e 3 ) ; (5) d = d( - ) ; (6) e d = d(e ) ; (7)sin d = dcos ; (8)sec 3 d = dtan3 ; d (9) + 9 = darctan3 ; (0) d = darcsin. - 4 畅用直接积分法解下列不定积分. () d ; () ( - ) d ; (3) d ; + (4) (5) cos d. 3 畅用换元积分法解下列不定积分. () e5 d ; () (3 - )3 d ; (3) sin d ; (4) ln d ; (5) d ; + (6) cos sin d ; (7) + 3 d ; (8) arcsin - d ; (9) d ; (0) sin + d ; () 3 d ; + () - d. - d.

99 88 高等数学 4 畅 3 分部积分法 在前面我们分别介绍了直接积分法和换元积分法, 它们是计算不定积分的两种重要 的方法, 应用范围十分广泛. 但当被积函数是两种不同类型函数的乘积时, 使用这两种方 法往往不能奏效. 例如像 cos d, e d 等, 这就需要用到积分法中另一种比较重要 的积分方法 分部积分法. 设函数 u = u( ),v = v( ) 具有连续的导数, 由函数乘积的微分法则有 d( uv) = ud v + vd u, 移项得 ud v = d( uv) - vd u, 两边积分得 ud v = uv - vd u. (4 畅 3) 式 (4 畅 3) 称为分部积分公式. 这个公式的作用在于把求左边的不定积分 ud v 转化为 求右边的不定积分 vd u, 而且得到的 vd u 比 ud v 容易求得, 这个公式起到了化难为易 的作用. 例 4 畅 5 求 cos d. 解应用分部积分法解题时, 首先将被积表达式 cos d 分成 u 和 d v 两部分, 具体 u 和 d v 如何来选择, 这是解决分部积分法的关键. 设 u =,d v = cos d = dsin, 则 d u = d,v = sin, 即 cos d = dsin, 于是 cos d = sin - sin d = sin + cos + c. 思考 : 如果设 u = cos,d v = d = d, 情况将会怎样? 在使用分部积分法时, 正确选择 u 和 d v 是十分重要的, 一般要考虑下面两点 :() v 要 容易写出 ;() vd u 要比 ud v 容易求出. 例 4 畅 6 求 e d. 解设 u =,d v = e d = de, 则 d u = d,v = e, 即 e d = de, 于是 e d = e - e d = e - e + c = e ( - ) + c. 例 4 畅 7 求 ln d. 科学出版社职教技术出版中心 解设 u = ln,d v = d = d,

100 第 4 章不定积分 89 式 (4 畅 3) 则 d u = d, v =, 即 ln d = ln d 于是 ln d = ln - d =, ln c. 熟练以后, 所设的 u 与 d v 可以不写出来, 只是默记在心, 而直接使用分部积分公 例 4 畅 8 求 arctan d. 解 arctan d = arctan d = = arctan - d(arctan) = arctan - ( + ) d arctan d = arctan - + arctan + c = ( arctan - + arctan ) + c. 例 4 畅 9 求 e sin d. 解 e sin d = e d( - cos ) = - e cos + cos e d, 等式右端的积分与左端的积分是同一类型的, 因此对右端的积分再使用一次分部积分公式, 但须引起注意的是, 两次选择 u 和 d v 要保持一致. 于是有 e sin d = - e cos + e dsin = - e cos + e sin - sin e d. 由于右端第三项就是所求积分, 于是把它移到等式左端, 再两端同时除以, 便得 e cos d = e (sin - cos ) + c. 总结前面所讲例子可以知道, 分部积分法在选择 u 和 d v 时有下述规律 : () 当被积函数是幂函数和正 ( 余 ) 弦函数或幂函数和指数函数的乘积时, 可考虑幂函数作为 u ; () 当被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积时, 可考虑对数函数或反三角函数作为 u ; (3) 当被积函数是指数函数和正 ( 余 ) 弦函数的乘积时, 那么两者均可作为 u. 在计算不定积分时, 往往有些积分不只局限于一种积分方法, 这就需要我们在这些方法的基础上学会灵活运用. 例 4 畅 30 求 e d. 解设 = t, 则 = t,d = td t,

101 90 高等数学 + c. 于是 e d = tet d t = tdet = te t - et d t = e t ( t - ) + c = e ( - ) 练习题 4 畅 3 用分部积分法解下列不定积分. () sin d ; () ln d ; (3) arcsin d ; (4) e- d ; (5) sin cos d ; (6) e- cos d. 小知识 微积分的创始人之一莱布尼茨 莱布尼茨 (646 76), 德国最重要的自然科学家 数学家 物理学家和哲学家, 莱布尼茨是一个举世罕见的科学天才, 和牛顿同为微积分的创建人. 他 博览群书, 涉猎百科, 对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献. 646 年 7 月 日, 莱布尼茨出生于德国东部莱比锡.66 年,5 岁的莱布 尼茨进入莱比锡大学学习法律. 这期间莱布尼茨还广泛阅读了培根 开普勒 伽利略等人的著作, 并对他们的著述进行深入的思考和评价. 在听了教授讲 授的欧几里得的枟几何原本枠的课程后, 莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣. 教授. 664 年 月, 莱布尼茨完成了论文枟论法学之艰难枠, 获哲学硕士学位. 667 年 月, 阿尔特多夫大学授予他法学博士学位, 还聘请他为法学 684 年 0 月在枟教师学报枠上发表的论文枟一种求极大极小的奇妙类型 的计算枠, 是最早的微积分文献. 后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人. 73 年, 莱布尼茨发表了枟微积分的历史和起源枠一文, 总结了自己创立微积分学的思路, 说明了 自己成就的独立性. 70 岁. 76 年 月 4 日, 由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后, 莱布尼茨孤寂地离开了人世, 终年 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统.675 年引入 d 表示 的微分, 表示积分,ddv,dddy 表示二阶 三阶微分.695 年左右用 dmn 表示 m 阶微分. 他比别人更 早更明确地认识到, 好的符号能大大节省思维劳动, 运用符号的技巧是数学成功的关键之一. 他自觉地 和格外慎重地引入每一个数学符号, 常常对各种符号进行长期的比较研究, 然后再选择他认为最好的 富有启示性的符号. 他创设的符号还有 : 除号 比号 : 相似符号 全等符号 并集 交集 概念加号 等. 科学出版社职教技术出版中心