第六章 数据分析(排列组合、概率和数据描述)

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1 考 纲. 排 列 组 合 第 六 章 数 据 分 析 ( 排 列 组 合 概 率 和 数 据 描 述 ) () 加 法 原 理 乘 法 原 理 () 排 列 与 排 列 数 () 组 合 与 组 合 数. 概 率 () 事 件 及 其 简 单 运 算 () 加 法 公 式 () 乘 法 公 式 () 古 典 概 型 () 贝 努 里 概 型. 数 据 描 述 一 排 列 组 合 ㈠ 知 识 要 点 () 平 均 值 () 方 差 与 标 准 差 () 数 据 的 图 表 表 示 ( 直 方 图, 饼 图, 数 表 ). 两 个 基 本 原 理 () 分 类 计 数 原 理 ( 加 法 原 理 ) 如 果 完 成 一 件 事 有 类 办 法, 只 要 选 择 其 中 一 类 办 法 中 的 任 何 一 种 方 法, 就 可 以 完 成 这 件 事 ; 若 第 一 类 办 法 中 有 m 种 不 同 的 方 法, 第 二 类 办 法 中 有 m 种 不 同 的 方 法 第 类 办 法 中 有 m 种 不 同 的 办 法, 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N = m+ m + + m 种 不 同 的 方 法. () 分 步 计 数 原 理 ( 乘 法 原 理 ) 如 果 完 成 一 件 事, 必 须 依 次 连 续 地 完 成 个 步 骤, 这 件 事 才 能 完 成 ; 若 完 成 第 一 个 步 骤 有 m 种 不 同 的 方 法, 完 成 第 二 个 步 骤 有 m 种 不 同 的 方 法 完 成 第 个 步 骤 有 m 种 不 同 的 方 法, 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N = m m m 种 不 同 的 方 法. 注 意 分 类 计 数 原 理 和 分 步 计 数 原 理, 回 答 的 都 是 有 关 做 一 件 事 的 不 同 方 法 种 数 的 问 题, 它 们 的 区 别 在 于 : 分 类 计 数 原 理 针 对 的 是 分 类 问 题, 其 中 各 种 方 法 相 互 独 立, 每 一 种 方 法 只 属 于 某 一 类, 用 其 中 任 何 一 种 方 法 都 可 以 做 完 这 件 事 ; 分 步 计 数 原 理 针 对 的 是 分 步 问 题, 各 个 步 骤 中 的 方 法 相 互 依 存, 某 一 步 骤 中 的 每 一 种 方 法 都 只 能 做 完 这 件 事 的 一 个 步 骤, 只 有 各 个 步 骤 都 完 成 才 算 做 完 这 件 事 应 用 这 两 种 原 理 解 题 时 应 注 意 :() 分 清 要 完 成 的 事 情 是 什 么 ;() 是 分 类 完 成 还 是 分 步 完 成, 类 间 互 相 独 立, 步 间 互 相 联 系 ;() 有 无 特 殊 条 件 的 限 制.. 排 列 与 组 合 () 排 列 定 义 从 个 不 同 元 素 中, 任 意 取 出 m( m ) 个 元 素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列, 称 为 从 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 排 列. 注 意 排 列 的 定 义 包 括 两 个 方 面 : 从 不 同 元 素 中 取 出 元 素, 按 一 定 的 顺 序 排 列 ; 两 个 排 列 相 同 的

2 条 件 : 元 素 完 全 相 同 ; 元 素 的 排 列 顺 序 也 相 同. () 排 列 数 定 义 从 个 不 同 元 素 中 取 出 m( m ) 个 元 素 的 所 有 排 列 的 种 数, 称 为 从 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 不 同 元 素 的 P m 排 列 数, 记 作, 当 m = 时, 称 为 全 排 列. P 注 意 排 列 和 排 列 数 的 区 别 : 一 个 排 列 是 指 : 从 个 不 同 元 素 中, 任 取 m 个 元 素 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列, 不 是 数 ; 排 列 数 是 指 从 个 不 同 元 素 中, 任 取 m( m ) 个 元 素 的 所 有 排 列 的 个 数, 是 一 个 m 数. 所 以, 符 号 P 只 表 示 排 列 数, 而 不 表 示 具 体 的 排 列. () 组 合 的 定 义 m( m ) 从 个 不 同 元 素 中, 任 意 取 出 个 元 素 并 为 一 组, 叫 做 从 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 组 合. 注 意 不 同 元 素 ; 只 取 不 排 无 序 性 ; 相 同 组 合 : 元 素 相 同. () 组 合 数 的 定 义 m( m ) 从 个 不 同 元 素 中, 取 出 个 元 素 所 有 组 合 的 个 数, 称 为 从 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 不 同 元 素 m 的 组 合 数, 记 作 C. () 排 列 与 组 合 的 计 算 公 式 和 常 用 性 质 ( )( ) ( ) m 排 列 数 公 式 : P = m+ =! ( m) 说 明 :) 公 式 特 征 : 第 一 个 因 数 是, 后 面 每 一 个 因 数 比 它 前 面 一 个 少, 最 后 一 个 因 数 是 m+, 共 有 m 个 因 数 ; ) 全 排 列 : 当 = m时, 即 个 不 同 元 素 全 部 取 出 的 一 个 排 列, 则 ( )( ) P = =! (! 称 为 的 阶 乘 ). 0 ) 规 定 P =, 0! =. ( )( ) ( + )! ( ) ( ) m m m P 组 合 数 公 式 : C = = =. m m m! m! m! m k m k 性 质 :) P = P P k m k 0 ) C =, 特 别 地,C = C =. m m C ( )! = x= y + =. x y 若 C C 或 x y m m m ) C C C +. 常 用 的 组 合 恒 等 式

3 0 ) C + C + C + + C = ; 0 ) C + C + C + = ; ) C + C + C + =. ㈡ 经 典 例 题 精 解 例 6. 如 右 图 所 示, 从 甲 地 到 乙 地 有 条 路 可 通, 从 乙 到 丙 地 有 条 路 可 通, 从 甲 地 到 丁 地 有 条 路 可 通, 从 丁 地 到 丙 地 有 条 路 可 通, 则 从 甲 地 到 丙 地 不 同 的 路 共 有 ( ) (A) 条 (B) 条 (C) 条 (D) 条 (E) 以 上 均 不 正 确 答 案 C 解 析 从 甲 地 到 丙 地 不 同 的 路 可 以 分 为 两 类 : 第 一 类 : 从 甲 地 经 乙 地 到 丙 地 第 步 从 甲 地 到 乙 地, 有 条 路 ; 第 步 从 乙 地 到 丙 地, 有 条 路 由 乘 法 原 理, 从 甲 地 经 乙 地 到 丙 地 共 有 = 6条 路 第 二 类 : 从 甲 地 经 丁 地 到 丙 地 第 步 从 甲 地 到 丁 地, 有 条 路 ; 第 步 从 丁 地 到 丙 地, 有 条 路 由 乘 法 原 理, 从 甲 地 经 丁 地 到 丙 地 共 有 = 8条 路 最 后, 由 加 法 原 理, 从 甲 地 到 丙 地 不 同 的 路 共 有 6+8 = 条 路 故 此 题 应 选 C 注 意 如 果 分 类 就 采 用 加 法 原 理, 如 果 分 步 就 采 用 乘 法 原 理. 例 6. A,B,C,D,E 人 并 排 站 成 一 排, 如 A,B 必 相 邻, 且 B 在 A 右 边, 那 么 不 同 排 法 有 ( ). (A) 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)0 种 (E)0 种 答 案 A 解 析 将 特 殊 元 素 A,B 按 B 在 A 的 右 边 捆 绑, 将 其 看 成 一 个 大 元 素, 与 另 外 三 个 元 素 全 排 列, 则 有 P = 种 排 法, 由 于 A,B 不 能 交 换, 故 不 再 松 绑, 选 A. 解 题 提 示 解 相 邻 问 题, 采 用 捆 绑 法 : 对 于 某 几 个 元 素 要 求 相 邻 的 问 题, 可 先 将 相 邻 的 元 素 捆 绑 起 来 看 作 一 个 元 素 与 其 他 元 素 排 列, 然 后 再 在 相 邻 元 素 之 间 排 列 事 实 上, 这 种 方 法 就 是 将 相 邻 的 某 几 个 元 素 优 先 考 虑, 让 这 些 特 殊 元 素 合 成 一 个 元 素, 与 普 通 元 素 排 列 后, 再 松 绑 例 6. 计 划 展 出 0 幅 不 同 的 画, 包 括 幅 水 彩 画 幅 油 画 和 幅 国 画, 将 它 们 排 成 一 行 陈 列, 要 求 同 一 品

4 种 的 画 必 须 连 在 一 起, 并 且 水 彩 画 不 放 在 两 端, 那 么 不 同 的 陈 列 方 式 有 ( ) 种. (A) PP (B) PPP (C) PPP (D) PPP (E) PPP 答 案 D 解 析 这 是 一 个 相 邻 问 题, 我 们 用 捆 绑 法 先 把 种 品 种 的 画 各 看 成 整 体 捆 绑, 而 水 彩 画 不 能 放 在 头 尾, 故 只 能 放 在 中 间, 又 油 画 与 国 画 有 为 PPP, 故 选 D. 例 6. 7 人 站 成 一 行, 如 果 甲 乙 两 人 不 相 邻, 则 不 同 的 排 法 种 数 是 ( ). P 种 放 法, 再 考 虑 油 画 与 国 画 本 身 又 可 以 全 排 列, 故 排 列 的 方 法 (A)0 种 (B) 600 种 (C) 0 种 (D) 800 种 (E)900 种 答 案 B P 解 析 先 让 甲 乙 之 外 的 人 排 成 一 行, 有 种 排 法, 再 让 甲 乙 两 人 在 每 两 人 之 间 及 两 端 的 6 个 间 隙 中 插 入, 有 P 6 种 方 法, 故 共 有 PP 6 = 600 种 排 法, 选 B. 解 题 提 示 解 不 相 邻 问 题, 采 用 插 空 的 方 法 : 对 于 某 几 个 元 素 不 相 邻 的 排 列 问 题, 可 先 将 其 它 元 素 排 列 好, 然 后 再 将 不 相 邻 的 元 素 在 这 些 排 好 的 元 素 之 间 及 两 端 的 空 隙 中 插 入. 例 6. 从,,,,000 这 000 个 自 然 数 中, 取 出 0 个 互 不 相 邻 的 自 然 数, 有 多 少 种 方 法? 解 析 这 是 不 相 邻 的 问 题, 用 插 空 法 可 以 考 虑, 把 取 出 的 这 0 个 互 不 相 邻 的 数 看 成 女 生, 其 余 的 数 看 成 男 生. 因 为 任 意 相 邻 名 男 学 生 之 间 最 多 站 名 女 学 生, 队 伍 中 的 男 学 生 首 尾 两 侧 最 多 也 可 各 站 0 名 女 学 生, 于 是, 这 就 是 99 个 位 置 中 任 选 0 个 位 置 的 组 合 问 题, 故 共 有 C 99 种 方 法. 注 意 利 用 插 空 法, 也 可 以 减 少 元 素, 从 而 简 化 问 题. 例 6.6 一 排 6 张 椅 子 上 坐 人, 每 两 人 之 间 至 少 有 一 张 空 椅 子, 求 共 有 多 少 种 不 同 的 坐 法? 解 析 两 人 之 间 至 少 有 一 张 空 椅 子, 也 就 是 两 两 不 相 邻, 是 不 相 邻 的 问 题, 用 插 空 法 先 把 个 没 有 差 异 的 空 椅 子 摆 好, 则 有 个 空, 从 中 选 个 空 让 个 人 去 坐, 有 种, 选 中 位 置 后 三 个 人 可 以 全 排 列, C 有 种, 则 坐 法 共 有 CP = 种 P 例 6.7 满 足 x + x + x + x = 的 正 整 数 解 的 组 数 有 多 少? 解 析 x + x + x + x = 的 正 整 数 解 的 组 数 就 可 建 立 组 合 模 型 将 个 完 全 相 同 的 球 排 成 一 列, 在 它 们 之 间 形 成 个 空 隙 中 任 选 三 个 插 入 块 隔 板, 把 球 分 成 个 组. 每 一 种 方 法 所 得 球 的 数 目 依 次 为 x, x, x, x, 显 然 x+ x + x + x, 故 ( =,,, x x x x ) 是 方 程 的 一 组 解. 反 之, 方 程 的 任 何 一 组 解

5 ( y, y, y, y ), 对 应 着 唯 一 的 一 种 在 个 球 之 间 插 入 隔 板 的 方 式, 故 方 程 的 解 和 插 板 的 方 法 一 一 对 应. 即 方 程 的 解 的 组 数 等 于 插 隔 板 的 方 法 数 C. 评 注 若 求 x+ x + x+ x = A ( ) ( ) ( ) ) ( 非 负 整 数 解 的 个 数, 即 转 化 为 x + + x + + x x + = A+ 中 + 的 正 整 数 解, 个 数 为. x i C A+ 解 题 提 示 对 于 较 复 杂 的 排 列 问 题, 采 用 构 造 隔 板 法, 这 种 问 题 模 型 要 求 满 足 条 件 相 当 严 格, 必 须 具 备 以 下 个 条 件 : 所 要 分 的 物 品 规 格 必 须 完 全 相 同. 所 要 分 的 物 品 必 须 分 完, 决 不 允 许 有 剩 余. 参 与 分 物 品 的 每 个 成 员 至 少 分 到 个, 决 不 允 许 出 现 分 不 到 物 品 的 成 员. 例 6.8 某 校 准 备 组 建 一 个 8 人 的 足 球 队, 这 8 人 由 高 一 年 级 0 个 班 的 学 生 组 成, 每 个 班 级 至 少 人, 名 额 分 配 方 案 共 有 种. 解 析 构 造 一 个 隔 板 模 型, 如 上 图 所 示, 取 8 枚 棋 子 排 成 一 列, 在 相 邻 的 每 两 枚 棋 子 形 成 的 7 个 间 隙 中 选 取 9 个 插 入 隔 板, 将 8 枚 棋 子 分 隔 成 0 个 区 间, 第 ( 0) i i 个 区 间 的 棋 子 数 对 应 第 i 个 班 级 学 生 的 名 额, 因 此 名 额 分 配 方 案 的 种 数 与 隔 板 插 人 数 相 等, 因 隔 板 插 人 数 为, 故 名 额 分 配 方 案 有 C = 0 ( 种 ). 例 6.9 从 0 个 不 同 的 文 艺 节 目 中 选 6 个 编 成 一 个 节 目 单, 如 果 某 女 演 员 的 独 唱 节 目 一 定 不 能 排 在 第 二 个 节 目 的 位 置 土, 则 共 有 多 少 种 不 同 的 排 法? 解 析 方 法 一 :( 从 特 殊 位 置 考 虑 ) PP 9 9 = 6080 ; 6 方 法 二 :( 从 特 殊 元 素 考 虑 ) 若 选 这 个 女 演 员 有 P 9 种 ; 若 不 选 她 有 P 9 种, 则 共 有 6 P + P = 6080 ; 方 法 三 :( 间 接 法 ) P P = 评 注 解 含 有 特 殊 元 素, 特 殊 位 置 时, 采 用 特 殊 优 先 安 排 的 策 略. 例 6.0 马 路 上 有 编 号 为,,,,9 的 9 只 路 灯. 为 节 约 用 电, 现 要 求 把 其 中 的 三 只 灯 关 掉, 但 不 能 同 9 C 7 9 7

6 时 关 掉 相 邻 的 两 只 或 三 只, 也 不 能 关 掉 两 端 的 路 灯, 则 满 足 条 件 的 关 灯 方 法 共 有 种. 解 析 关 掉 一 只 灯 的 方 法 有 7 种, 关 第 二 只 第 三 只 灯 时 要 分 类 讨 论, 情 况 较 为 复 杂. 换 一 个 角 度, 从 反 面 人 手 考 虑. 因 每 一 种 关 灯 的 方 法 唯 一 对 应 着 一 种 满 足 题 设 条 件 的 亮 灯 与 暗 灯 的 排 列, 于 是 问 题 转 化 为 在 6 只 亮 灯 中 插 入 只 暗 灯, 且 任 何 两 只 暗 灯 不 相 邻 暗 灯 不 在 两 端, 即 从 6 只 亮 灯 所 形 成 的 个 间 隙 中 选 个 插 入 只 暗 灯, 其 方 法 有 C = 0( 种 ). 故 满 足 条 件 的 关 灯 的 方 法 共 有 0 种. 例 6. 信 号 兵 把 红 旗 与 白 旗 从 上 到 下 挂 在 旗 杆 上 表 示 信 号, 现 有 面 红 旗 和 面 白 旗, 把 这 面 旗 都 挂 上 去, 可 表 示 不 同 信 号 的 种 数 是. 解 析 法 一 : 面 旗 全 排 列 有 故 共 有 不 同 的 信 号 种 数 是 ( ) p 种 挂 法, 由 于 面 红 旗 与 面 白 旗 的 分 别 全 排 列 均 只 能 作 一 次 挂 法, p p p = 0 ( 种 ). 法 二 : 此 题 也 可 以 用 组 合 来 解, 只 需 个 位 置 中 确 定 个, 即 C = 0. 评 注 定 序 问 题, 采 用 除 法 策 略 : 对 于 某 几 个 元 素 顺 序 一 定 的 排 列 问 题, 可 先 把 这 几 个 元 素 与 其 它 元 素 一 同 进 行 排 列, 然 后 用 总 排 列 数 除 以 这 几 个 元 素 的 全 排 列 数, 这 其 实 就 是 局 部 有 序 问 题, 利 用 除 法 来 消 序 定 序 问 题 的 本 质 是 组 合 问 题 例 6. 不 同 的 钢 笔 支, 分 堆, 一 堆 6 支, 另 外 两 堆 各 支, 有 多 少 种 分 法? 若 再 将 它 们 分 给 个 人, 有 几 种 分 法? 6 解 析 () 若 堆 有 序 号, 则 有 C C C, 但 考 虑 有 两 堆 都 是 支, 无 须 区 别, 故 共 有 6 C C C P = 种 分 法 ; C C C P P = C C () 即 将 分 成 的 堆 再 分 给 个 人 有 ( ) 种 注 意 在 处 理 分 堆 问 题 时, 有 时 几 堆 中 元 素 个 数 相 等, 这 时 也 要 用 除 法 例 6. 甲 乙 两 队 各 出 7 名 队 员 按 事 先 排 好 的 顺 序 出 场 参 加 围 棋 擂 台 赛, 双 方 先 由 l 号 队 员 比 赛, 负 者 被 淘 汰, 胜 者 再 与 负 方 号 队 员 比 赛 直 到 有 一 方 队 员 全 被 淘 汰 为 止, 另 一 方 获 胜, 形 成 一 种 比 赛 过 程, 那 么 所 有 可 能 出 现 的 比 赛 过 程 共 有 多 少 种? 解 析 设 甲 队 队 员 为 为 a, a,, a, 乙 队 队 员 为 b, b,, b, 下 标 表 示 事 先 安 排 好 的 出 场 顺 序, 7 若 以 依 次 被 淘 汰 的 队 员 为 顺 序, 比 赛 过 程 可 类 比 为 这 个 字 母 互 相 穿 插 的 一 个 排 列, 最 后 是 胜 队 中 获 胜 队 员 和 可 能 未 参 赛 的 队 员. 如 aabbabbbabbaaa, 所 表 示 的 是 个 位 置 中 取 7 个 位 置 安 排 甲 队 队 员, 其 余 位 置 安 排 乙 队 队 员, 故 比 赛 过 程 的 总 数 为 C =. 6

7 例 6. 名 医 生 和 6 名 护 士 被 分 配 到 所 学 校 为 学 生 体 检, 每 校 分 配 名 医 生 和 名 护 士, 不 同 的 分 配 方 法 共 有 ( ). (A) 90 种 (B)80 种 (C) 70 种 (D) 0 种 (E) 00 种 答 案 D 解 析 方 法 一 : 先 分 组 后 分 配 : 第 一 步, 将 名 医 生 分 成 组, 每 组 一 人 只 有 一 种 分 法. 第 二 步, 将 6 名 护 士 分 成 组, 每 组 人 有 ( CCC ) P 6 种 分 法. 第 三 步, 将 医 生 组 及 护 士 组 进 行 搭 配, 使 每 组 有 名 医 生 名 护 士, 有 P 种 搭 配 方 法. P 第 四 步, 将 所 得 的 组 分 配 到 所 不 同 的 学 校 有 种 分 配 法. 故 共 有 不 同 的 分 配 方 法 :( ) C C C P P P =0( 种 ). 故 选 D. 6 6 方 法 二 : 第 一 步, 先 将 6 名 护 士 分 配 到 所 不 同 学 校, 每 所 学 校 名, 则 有 CCC ( 种 ) 分 法. 第 二 步, 再 将 名 医 生 分 配 到 所 不 同 的 学 校, 每 所 学 校 人, 有 P 种 分 法. 故 共 有 CCC P = 0( 种 ). 故 选 D. 6 评 注 分 配 问 题 属 于 排 列 和 组 合 并 用 的 综 合 题 目, 一 般 处 理 思 路 是 先 选 ( 组 合 ) 后 排 ( 排 列 ). 例 6. 7 名 学 生 争 夺 项 冠 军, 每 项 冠 军 只 有 一 人. 获 得 冠 军 的 可 能 的 种 数 有 ( ). 7 (A) 7 (B) (C) (D) (E) 答 案 A P 7 P P 7 解 析 因 同 一 学 生 可 同 时 夺 得 几 项 冠 军, 故 学 生 可 重 复 排 列. 将 7 名 学 生 看 作 7 家 店, 项 冠 军 看 作 个 客, 每 个 客 有 7 种 住 宿 法, 由 乘 法 原 理 得 7 种, 选 A. 解 题 提 示 对 于 可 重 复 排 列 问 题, 采 用 分 房 法 : 要 注 意 区 分 两 类 元 素, 一 类 元 素 可 以 重 复, 另 一 类 不 能 重 复, 把 不 能 重 复 的 元 素 看 作 人, 能 重 复 的 元 素 看 作 房, 再 利 用 乘 法 原 理 直 接 求 解. 例 6.6 从 到 00 的 自 然 数 中, 每 次 取 出 不 同 的 两 个 数, 使 它 们 的 和 大 于 00 则 不 同 的 取 法 有 ( ). (A) 0 种 (B) 00 种 (C)7 种 (D) 00 种 (E) 00 种 答 案 D 解 析 此 题 数 字 较 多, 情 况 也 不 一 样, 需 要 分 拆 摸 索 其 规 律, 为 了 方 便, 两 个 加 数 中 以 较 小 的 数 为 被 加 数, 因 为 +00 =0>00, 为 被 加 数 的 有 种 ; 同 理, 为 被 加 数 的 有 种 ; ;9 为 被 加 数 有 9 种 ; 0 为 被 加 数 的 有 0 种, 但 为 被 加 数 只 有 9 种 ; 为 被 加 数 只 有 8 种 ; ;99 为 被 加 数 的 只 有 种,

8 ( ) ( ) 故 不 同 的 取 法 共 有 : = 00 ( 种 ), 选 D. 例 6.7 将 数 字,,, 填 人 标 号 为,,, 的 个 方 格 里, 每 格 填 一 个 数, 则 每 个 方 格 的 标 号 与 所 填 数 字 均 不 同 的 填 法 有 多 少 种? 解 析 考 察 排 列 的 定 义, 由 于 附 加 条 件 较 多, 解 法 较 为 困 难, 可 用 试 验 法 逐 步 解 决. 第 一 方 格 内 可 填 或 或, 如 填, 则 第 二 方 格 内 可 填 或 或. 若 第 二 方 格 内 放, 则 第 三 方 格 只 能 填, 第 四 方 格 填. 若 第 二 方 格 填, 则 第 三 方 格 应 填, 第 四 方 格 应 填. 同 理, 若 第 二 方 格 填, 则 第 三 第 四 方 格 应 分 别 填,, 因 而, 第 一 方 格 放 共 有 种 方 法, 同 理, 第 一 格 放 或 也 各 有 种, 所 以 共 有 9 种 方 法, 这 里 用 到 了 试 验 的 技 巧. 例 6.8 用,,, x 等 个 数 字 组 成 四 位 数, 所 有 这 些 四 位 数 中 的 数 字 的 总 和 为 88, 求 x. 解 析 若 x 不 为 0, 在 每 一 个 数 位 上,,, x, 出 现 的 机 会 是 均 等 的. 由 于 一 共 可 以 得 到 P = 个 四 位 数, 所 以 每 一 个 数 字 在 每 一 个 数 位 上 出 现 6 次, 于 是 得 到 ( x) = 88, 解 得 x = ; 若 x 为 0, 则 有 CP = 个 四 位 数, 则 所 有 数 字 的 和 为 8 ( + + ) 88, 所 以 x 不 能 为 0. 8 例 6.9 男 运 动 员 6 名, 女 运 动 员 名, 其 中 男 女 队 长 各 人, 选 派 人 外 出 比 赛, 在 下 列 情 形 下 各 有 多 少 种 选 派 方 法?() 队 长 至 少 有 人 参 加 ;() 既 要 有 队 长, 又 要 有 女 运 动 员, 解 析 () 方 法 一 : 设 A={ 选 派 人 有 男 队 长 参 加 的 },B={ 选 派 人 有 女 队 长 参 加 的 }, 则 原 题 即 求 ( A B), 而 A B = A + B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( A ) = C = ( B), ( A B) = C, 故 ( A B) C9 C8 9 8 而 ( A) C C ( B) C C ( A B) ( ), = = 96. 方 法 二 : 设 A={ 选 派 人 有 个 队 长 参 加 的 },B={ 选 派 人 有 个 队 长 参 加 的 }, 则 原 题 即 求 (AUB), =, =, = = 0, 8 8 ( ) ( ) ( ) 因 此 A B = A + B = C C + C C = 评 注 A B 即 选 派 人 既 要 有 个 队 长 参 加 又 要 有 个 队 长 参 加 这 件 事, 这 是 不 可 能 事 件. () 设 A={ 选 派 人 有 队 长 参 加 的 },B={ 选 派 人 有 女 运 动 员 参 加 的 }, 则 原 题 即 求 ( A B), 又 ( B) = ( I) ( A B) = ( I) ( A B) ( I) ( A) ( B) ( A B) C C C C A = + = + =. 即 有 9 种 选 派 方 法

9 评 注 A B 即 选 派 人, 既 无 队 长 又 无 女 运 动 员 参 加. 注 意 从 以 上 可 以 看 出, 用 集 合 与 对 应 思 想 分 析 处 理 排 列 组 合 问 题, 实 质 上 就 是 将 同 一 问 题 中 满 足 不 同 限 制 条 件 的 元 素 的 排 列 或 组 合 的 全 体 与 不 同 的 集 合 之 间 建 立 相 应 的 对 应 关 系, 而 将 各 限 制 条 件 之 间 的 关 系 转 化 为 集 合 与 集 合 之 间 的 运 算 关 系, 通 过 计 算 集 合 的 元 素 个 数 来 计 算 排 列 或 组 合 的 个 数, 这 有 助 于 将 带 有 多 个 附 加 条 件 的 排 列 或 组 合 问 题 分 解 为 只 有 一 个 或 简 单 几 个 附 加 条 件 的 排 列 或 组 合 问 题 来 处 理, 这 可 大 大 简 化 复 杂 的 分 类 过 程, 从 而 降 低 了 问 题 的 难 度. 例 6.0 用 种 不 同 的 颜 色 给 下 图 中 标 的 各 部 分 涂 色, 每 部 分 只 涂 一 种 颜 色, 相 邻 部 分 涂 不 同 颜 色, 则 不 同 的 涂 色 方 法 有 多 少 种? 解 析 先 给 号 区 域 涂 色 有 种 方 法, 再 给 号 涂 色 有 种 方 法, 接 着 给 号 涂 色 方 法 有 种, 由 于 号 与 不 相 邻, 因 此 号 有 种 涂 法, 根 据 分 步 计 数 原 理, 不 同 的 涂 色 方 法 有 =0 种. 评 注 对 于 区 域 涂 色 问 题, 最 基 本 的 方 法 是 根 据 分 布 计 数 原 理, 对 各 个 区 域 分 布 涂 色. 例 6. 如 下 图 所 示, 一 个 地 区 分 为 个 行 政 区 域, 现 给 地 图 着 色, 要 求 相 邻 区 域 不 得 使 用 同 一 颜 色, 现 有 种 颜 色 可 供 选 择, 则 不 同 的 方 法 共 有 多 少 种? 解 析 依 题 意 至 少 要 用 种 颜 色 () 当 用 三 种 颜 色 时, 区 域 与 必 须 同 色, 区 域 与 必 须 同 色, 故 有 种 ; P () 当 用 四 种 颜 色 时, 若 区 域 与 同 色, 则 区 域 与 不 同 色, 有 种 ; 若 区 域 与 同 色, 则 区 域 P 与 不 同 色, 有 P 种, 故 用 四 种 颜 色 时 共 有 P 种. 由 加 法 原 理 可 知 满 足 题 意 的 着 色 方 法 共 有 P + P = + = 7. 例 6. 如 下 图,6 个 扇 形 区 域 A,B,C,D,E,F, 现 给 这 6 个 区 域 着 色, 要 求 同 一 区 域 涂 同 一 种 颜 色, 相 邻 的 两 个 区 域 不 得 使 用 同 一 种 颜 色, 现 有 种 不 同 的 颜 色 可 用, 求 方 法 数. 解 析 () 当 相 间 区 域 A,C,E 着 同 一 种 颜 色 时, 有 种 着 色 方 法, 此 时,B,D,F 各 有 种 着 色 方 法, 此 时,B,D,F 各 有 种 着 色 方 法 故 有 = 08 种 方 法. 9

10 () 当 相 间 区 域 A,C,E 着 两 不 同 的 颜 色 时, 有 CP 种 着 色 方 法, 此 时 B,D,F 有 种 着 色 方 法. 故 共 有 CP = 种 着 色 方 法. 0 () 当 相 间 区 域 A,C,E 着 三 种 不 同 的 颜 色 时, 有 种 着 色 方 法, 此 时 B,D,F 各 有 种 着 色 方 法. 此 时 共 有 P = 9种 方 法. 解 决. 故 总 计 有 08++9=7 种 方 法. P 说 明 本 题 根 据 相 间 区 使 用 颜 色 的 种 类 分 类 ; 关 于 扇 形 区 域 区 域 涂 色 问 题 还 可 以 用 数 列 中 的 递 推 公 来 例 6. 从 给 定 的 六 种 不 同 颜 色 中 选 用 若 干 种 颜 色, 将 一 个 正 方 体 的 6 个 面 涂 色, 每 两 个 具 有 公 共 棱 的 面 涂 成 不 同 的 颜 色, 则 不 同 的 涂 色 方 案 共 有 多 少 种? 进 行 讨 论. 分 析 显 然, 至 少 需 要 种 颜 色, 由 于 有 多 种 不 同 情 况, 仍 应 考 虑 利 用 加 法 原 理 分 类 乘 法 原 理 分 步 解 析 根 据 共 用 多 少 种 不 同 的 颜 色 分 类 讨 论 : () 用 六 种 颜 色, 确 定 某 种 颜 色 所 涂 面 为 下 底 面, 则 上 底 颜 色 可 有 种 选 择, 在 上 下 底 已 涂 好 后, 再 确 定 其 余 种 颜 色 中 的 某 一 种 所 涂 面 为 左 侧 面, 则 其 余 个 面 有! 种 涂 色 方 案, 根 据 乘 法 原 理 得 =! = 0. () 共 用 五 种 颜 色, 选 定 五 种 颜 色 有 C = 种 方 法, 必 有 两 面 同 色 ( 必 为 相 对 面 ), 确 定 为 上 下 底 面, 6 6 其 颜 色 可 有 种 选 择, 再 确 定 一 种 颜 色 为 左 侧 面, 此 时 的 方 法 数 取 决 于 右 侧 面 的 颜 色, 有 种 选 择 ( 前 后 面 可 通 过 翻 转 交 换 ), 所 以 = C6 = 90. () 共 用 四 种 颜 色, 仿 上 分 析 可 得 : () 共 用 三 种 颜 色, C6 0 = =. 综 上, 总 共 有 =0. 二 概 率 ㈠ 知 识 要 点. 随 机 实 验 与 随 机 事 件 () 随 机 现 象, 随 机 实 验 C6C 90 = =. 在 一 定 条 件 下, 可 能 出 现 的 结 果 不 止 一 个, 而 在 事 前 无 法 准 确 地 知 道 其 中 哪 一 个 结 果 出 现, 具 有 这 种 特 点 的 现 象 叫 做 随 机 现 象 ; 把 对 随 机 现 象 的 观 察 测 量 叫 做 实 验, 若 实 验 满 足 以 下 条 件 :

11 实 验 可 在 相 同 条 件 下 重 复 进 行 ; 实 验 的 结 果 具 有 很 多 可 能 性 ; 实 验 前 不 能 确 切 知 道 会 出 现 何 种 结 果, 只 知 道 所 有 可 能 的 结 果. 这 样 的 实 验 叫 做 随 机 实 验, 简 称 实 验, 通 常 记 为 E () 样 本 空 间 样 本 点 随 机 试 验 E 的 所 有 可 能 结 果 组 成 的 集 合 称 为 E 的 样 本 空 间, 记 为 Ω. 样 本 空 间 的 元 素, 即 E 的 每 个 结 果, 称 为 样 本 点, 记 为 e i. () 随 机 事 件 随 机 事 件 是 在 一 定 条 件 下 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件, 常 记 为 A,B,C, 注 意 三 种 事 件 都 是 在 一 定 条 件 下 发 生 的, 当 条 件 改 变 时, 事 件 的 性 质 也 可 以 发 生 变 化. () 基 本 事 件 必 然 事 件 不 可 能 事 件 由 一 个 样 本 点 组 成 的 单 点 集, 称 为 基 本 事 件, 基 本 事 件 也 叫 样 本 点. 样 本 空 间 包 含 所 有 样 本 点, 在 每 次 试 验 中 总 是 要 发 生 的, 称 为 必 然 事 件. 每 次 试 验 中 一 定 不 发 生 的 事 件, 称 为 不 可 能 事 件, 记 为. 注 意 一 次 试 验 中 可 能 出 现 的 每 一 个 结 果 ( 事 件 A) 称 为 一 个 基 本 事 件.. 事 件 的 关 系 及 运 算 () 事 件 的 包 含 ( 子 事 件 ) 若 事 件 A 发 生, 必 然 导 致 事 件 B 发 生, 则 称 事 件 A 是 事 件 B 的 子 事 件, 记 作 A B 或 B A. 如 下 左 图 () 事 件 的 相 等 ( 等 事 件 ) 若 A B 且 B A, 则 称 事 件 A 与 B 相 等, 记 作 A=B. () 事 件 的 和 ( 和 事 件 ) 如 下 中 图 事 件 A 与 事 件 B 至 少 有 一 个 发 生 的 事 件, 称 为 A 与 B 的 和 事 件, 记 作 A B 或 A + B. () 事 件 的 积 ( 积 事 件 ) 事 件 A 与 事 件 B 同 时 发 生 的 事 件, 称 为 A 与 B 的 积 事 件, 记 作 A B 或 AB. 如 下 右 图 () 事 件 的 差 ( 差 事 件 )

12 事 件 A 发 生 而 B 不 发 生 的 事 件, 称 为 A 与 B 的 差 事 件, 记 作 A B. 如 下 页 左 图. (6) 互 斥 事 件 ( 或 不 相 容 事 件 ) 若 事 件 A 与 B 不 同 时 发 生, 即 AB =, 则 称 A 与 B 是 互 斥 事 件. 如 下 中 图. (7) 对 立 事 件 ( 或 逆 事 件 ) 若 A B=Ω且 AB =, 则 称 A 与 B 是 对 立 事 件, 记 B = A, 如 下 右 图. 注 意 对 立 事 件 一 定 是 互 斥 事 件, 但 互 斥 事 件 不 一 定 是 对 立 事 件. (8) 独 立 事 件 : 如 果 事 件 B 的 发 生 并 不 受 事 件 A 是 否 已 经 发 生 的 影 响, 则 称 事 件 A 与 B 相 互 独 立. (9) 事 件 的 运 算 律 交 换 律 : A B = B A; AB = BA ; 结 合 律 :( A B) C = A ( B C) ;( A B) C = A ( B C) ; 分 配 律 :( A B) C = ( AC) ( BC) ; A ( BC) = ( A B)( A C) ; 德 摩 根 律 : A A = A A ; A A = A A.. 随 机 事 件 的 概 率 () 概 率 的 定 义 在 确 定 的 条 件 下, 重 复 做 次 实 验, 记 m 是 次 实 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数, 当 实 验 次 数 很 大 时, 如 m 果 频 率 稳 定 在 某 一 数 值 p 的 附 近 摆 动, 而 且 一 般 说 来 随 着 实 验 次 数 的 增 多, 这 种 摆 动 幅 度 越 来 越 小, 则 称 数 值 p 为 随 机 事 件 A 的 概 率, 记 作 P A = p, 这 是 概 率 的 统 计 意 义. () 概 率 的 性 质 ( ) ( ) 概 率 的 基 本 性 质 : 0 P A ; ( ) ( ) P Ω = ; P = 0 ; P A B P A P B P AB) 概 率 的 加 法 公 式 : 设 A B 为 任 意 两 个 事 件, 则 ( ) = ( ) + ( ) ( P A B P A P B); 推 论 : 互 斥 事 件 概 率 的 加 法 公 式, 设 AB =, 则 ( ) = ( ) + (

13 推 论 : 设 有 有 限 个 两 两 互 斥 的 事 件 A, A,, A, 则 P Ai = P Ai i= i= 差 事 件 概 率 公 式 : P( B A) = P( B) P( BA) ;. 古 典 概 型 推 论 : 若 A B P( B A) P B P A ( ), 则 = ( ) ( ), P( A) P( B) 对 立 事 件 概 率 公 式 : P( A) = P( A) 6 独 立 事 件 概 率 的 乘 法 公 式 : 若 事 件 A B 相 互 独 立, 则 P( AB) P( A) P( B) () 古 典 概 型 的 定 义 随 机 实 验 E 具 有 以 下 特 征 : 样 本 空 间 的 元 素 ( 即 基 本 事 件 ) 只 有 有 限 个 ; 每 个 基 本 事 件 出 现 的 可 能 性 是 相 等 的, 称 E 为 古 典 概 型 实 验 () 古 典 概 型 的 计 算 公 式 =. 在 古 典 概 型 的 情 况 下, 如 果 样 本 空 间 包 含 的 基 本 事 件 的 总 数 为, 事 件 A 包 含 了 其 中 m 个 基 本 事 件, m m 则 称 为 事 件 A 的 概 率, 记 作 P( A) =. 注 意 计 算 古 典 概 率 时, 首 先 要 弄 清 随 机 试 验 是 什 么, 即 判 断 有 限 性 和 等 可 能 性 是 否 满 足, 其 次 要 弄 清 样 本 空 间 是 怎 样 构 成 的, 构 成 样 本 空 间 的 每 个 基 本 事 件 出 现 一 定 要 是 等 可 能 的. 忽 略 了 这 一 点, 就 会 导 致 错 误 的 结 果. 古 典 概 型 研 究 的 对 象 大 致 可 分 为 三 类 问 题 : 摸 球 ; 分 房 ; 随 机 取 数 ( 电 话 号 码 ) 问 题. 这 几 类 问 题 的 解 决 方 法 将 在 典 型 例 题 或 练 习 题 中 给 出.. 独 立 性 一 般 地, 如 果 事 件 A, A,, A 相 互 独 立, 那 么 这 个 事 件 同 时 发 生 的 概 率, 等 于 每 个 事 件 发 生 的 概 率 的 ( ) ( ) ( ) ( ) 积, P A A A = P A P A P A, 但 反 之 不 一 定 成 立 注 意 独 立 与 互 斥 的 区 别 : 两 事 件 A,B 独 立, 则 常 有 AB, 即 A 与 B 非 互 斥, 事 实 上, 若 A 与 B 互 斥, 则 P(AB)=0. 而 当 P(A)>0,P(B)>0 时,P(A)P(B)>O, 可 知 P(AB) P(A)P(B). 因 此 两 事 件 互 斥 并 不 能 得 出 这 两 个 事 件 就 独 立 的 结 论. 互 斥 事 件 与 相 互 独 立 事 件 研 究 的 都 是 两 个 事 件 的 关 系, 但 互 斥 的 两 个 事 件 是 一 次 试 验 中 的 两 个 事 件, 相 互 独 立 的 两 个 事 件 是 在 两 次 试 验 中 得 到 的, 注 意 区 别. () 独 立 重 复 实 验 在 相 同 条 件 下, 将 某 试 验 重 复 进 行 次, 且 每 次 试 验 中 任 何 一 事 件 的 概 率 不 受 其 他 次 试 验 结 果 的 影 响, 此 种 试 验 称 为 次 独 立 重 复 试 验. () 贝 努 里 概 型 如 果 在 一 次 试 验 中 某 事 件 发 生 的 概 率 是 p, 那 么 在 次 独 立 重 复 试 验 中 这 个 事 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 :

14 k k k ( ) ( 0,,,, ) P k = C p q k =, 其 中 q = p. k = 时, 即 在 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 全 部 发 生, 概 率 为 ( ) ( P = C p = p 0 = C p ( p ) = ( p p) 注 意 次 独 立 重 复 试 验 的 特 征 : 试 验 的 次 数 不 止 一 次, 而 是 多 次, 次 数 ; 每 次 试 验 的 条 件 是 一 样 的, 是 重 复 性 的 试 验 序 列 ; k = 0 时, 即 在 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 没 有 发 生, 概 率 为 ( ) k k k P ( ) 0 0 P k = C p q 即 是 二 项 式 p+ ( k k k ( ) = P k C p q p) 0 的 分 布 称 为 二 项 分 布 或 叫 做 贝 努 里 (Beroulli) 概 型. ; ) 的 展 开 式 中 第 k+l 项 的 值, 也 称 为 是 二 项 分 布 公 式. 概 率 每 次 试 验 的 结 果 只 有 A 与 A 两 种 ( 即 事 件 A 要 么 发 生, 要 么 不 发 生 ), 每 次 试 验 相 互 独 立, 实 验 的 结 果 互 不 影 响, 即 各 次 实 验 中 发 生 的 概 率 保 持 不 变. ㈡ 经 典 例 题 精 解 例 6. 口 袋 中 有 6 个 红 球 和 个 黄 球, 红 球 与 黄 球 的 形 状 无 差 异, 分 别 按 以 下 三 种 情 况 : ) 有 放 回 ;) 不 放 回 ;) 一 次 取 样, 从 口 袋 中 取 球, 求 两 球 全 红 的 概 率 ; 解 析 这 是 古 典 概 型 中 的 摸 球 问 题 事 件 A={ 两 球 全 红 } ) 当 有 放 回 时, 样 本 空 间 数 Ω = 8 8= 6,A 的 个 数 6 6 6, 则 P A ) 当 不 放 回 时, 样 本 空 间 数 Ω = 8 7 6,A 的 个 数 C C ) 当 一 次 取 出 时, 样 本 空 间 数 Ω = C 8 = = ( ) A A = = =, 则 P( A),A 的 个 数 A 6 0 A Ω = C6, 则 P( A) = = ; 8 A Ω 9 = = ; 6 A Ω = = ; 8 例 6. 将 人 等 可 能 分 配 到 6 个 房 间 中, 求 :A: 在 前 个 房 间 各 恰 有 一 人 ;B: 有 个 房 间 恰 各 有 人, 求 A,B 事 件 的 概 率. 解 析 这 是 古 典 概 型 中 的 分 房 问 题 分 房 问 题 中 样 本 空 间 数 Ω = 6. 事 件 A 的 排 列 数 为 P, 可 知 A = ; 则 P( A) P 事 件 B 的 排 列 数 为 CP, 可 知 = C P ; 则 P B 6 A P = = ; 6 Ω B 6 ( ) B CP 6 = =. 6 Ω

15 例 6.6 排 球 比 赛 的 规 则 是 局 胜 制,A,B 两 队 每 局 比 赛 获 胜 的 概 率 分 别 为 () 前 两 局 中 B 队 以 :0 领 先, 求 最 后 A,B 队 各 自 获 胜 的 概 率 ; ()B 队 以 : 获 胜 的 概 率. 解 析 () 设 最 后 A 获 胜 的 概 率 为, 最 后 B 获 胜 的 概 率 为 P. 所 以, P 和. P 8 = C = 7 ; 9 P = + + =. 7 () 设 B 队 以 : 获 胜 的 概 率 为 P, 所 以 P = C 8 = 8 例 6.7 某 人 对 一 目 标 进 行 射 击, 每 次 命 中 率 都 是 0., 若 使 至 少 命 中 次 的 概 率 不 小 于 0.7, 至 少 应 射 击 几 次? 解 析 设 要 使 至 少 命 中 次 的 概 率 不 小 于 0.7, 应 射 击 次. 记 事 件 A={ 射 击 一 次, 击 中 目 标 }, 则 P(A)=0.. 因 为, 射 击 次 相 当 于 次 独 立 重 复 试 验, 所 以, 事 件 A 至 少 发 生 次 的 概 率 为 ( ) P = P =. lg 由 题 意, 令 , 所 以, 所 以.8, 所 以, 的 最 小 值 为 要 使 至 lg 少 命 中 次 的 概 率 不 小 于 0.7, 至 少 应 射 击 次 例 6.8 如 下 右 图 所 示, 用 A,B,C,D 四 类 不 同 的 元 件 连 接 成 系 统 N, 当 元 件 A 正 常 工 作 时 元 件 B,C 都 正 常 工 作, 或 当 元 件 A 正 常 工 作 且 元 件 D 正 常 工 作 时, 系 统 N 正 常 工 作. 已 知 元 件 A,B,C,D 正 常 工 作 的 概 率 依 次 为,,,. () 求 元 件 A 不 正 常 工 作 的 概 率 ; () 求 元 件 A,B,C 都 正 常 工 作 的 概 率 ; () 求 系 统 N 正 常 工 作 的 概 率. 解 析 () 由 题 意 可 知 元 件 A 正 常 工 作 的 概 率 P(A) =, 不 正 常 工 作 是 正 常 工 作 的 对 立 事 件, 为 A, 则 它 不 正 常 工 作 的 概 率 P( A )= P( A) =. () 元 件 A,B,C 都 正 常 工 作, 即 三 个 的 积 事 件 ABC, 则 积 的 概 率 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= =. 8 () 系 统 N 正 常 工 作 可 分 为 两 类, 一 是 A,B,C 都 正 常 工 作, 二 是 A,D 正 常 工 作 但 B,C 不 都 正 常 工 作, 由 () 知 前 者 概 率 为 8..

16 后 者 的 概 率 为 P( ABCD) + P( ABCD) + P( ABCD) = + + = 所 以 系 统 N 正 常 工 作 的 概 率 是 + = 例 6.9( 取 数 问 题 ) 从 O,,,9 共 0 个 数 字 中 随 机 地 不 放 回 的 接 连 取 个 数 字, 并 按 其 出 现 的 先 后 次 序 排 成 一 列, 求 下 列 事 件 的 概 率 :() 个 数 排 成 一 个 偶 数 ;() 个 数 排 成 一 个 四 位 数 ;() 个 数 排 成 一 个 四 位 偶 数, 解 析 这 是 古 典 盖 型 中 的 随 机 取 样 问 题. 令 A={ 个 数 排 成 一 个 偶 数 },B={ 个 数 排 成 一 个 四 位 数 }, C={ 个 数 排 成 一 个 四 位 偶 数 }. 首 先 有 样 本 空 间 数 = P = Ω 有 A A = C P = 9 8 7, 故 P( A) = = 0.; 9 B = P P = , 故 P(B) = = 0.9; B 0 9 C = C P C P = , 故 P(C) = = 0.6. C 9 8 Ω 例 6.0 某 种 电 路 开 关 闭 合 后, 会 出 现 红 灯 或 绿 灯 闪 动, 已 知 开 关 第 一 次 闭 合 后, 出 现 红 灯 和 出 现 绿 灯 的 概 率 都 是. 从 开 关 第 二 次 闭 合 起, 若 前 次 出 现 红 灯, 则 下 一 次 出 现 红 灯 的 概 率 是, 出 现 绿 灯 的 概 率 是 ; 若 前 次 出 现 绿 灯, 则 下 一 次 出 现 红 灯 的 概 率 是, 出 现 绿 灯 的 概 率 是 问 :() 第 二 次 闭 合 后 出 现 红 灯 的 概 率 是 多 少?() 三 次 发 光 中, 出 现 一 次 红 灯 两 次 绿 灯 的 概 率 是 多 少? 解 析 () 出 现 红 灯 有 两 类 : 如 果 第 一 次 出 现 红 灯, 则 接 着 又 出 现 红 灯 的 概 率 是 ; 如 果 第 一 次 出 现 绿 灯, 则 接 着 出 现 红 灯 的 概 率 为. 综 上 所 述, 由 加 法 原 理 第 二 次 出 现 红 灯 的 概 率 为 十 7 =. () 由 题 意, 三 次 发 光 中, 出 现 一 次 红 灯 两 次 绿 灯 的 情 况 共 有 三 种 方 式 : 当 出 现 绿 绿 红 时 的 概 率 为 = ; 当 出 现 绿 红 绿 时 的 概 率 为 = ; 当 出 现 红 绿 绿 时 的 概 率 为 =. 所 以 三 次 发 光 中, 出 现 一 次 红 灯 两 次 绿 灯 的 概 率 为 + + = 7. 6 Ω Ω

17 三 数 据 描 述 ㈠ 知 识 要 点. 基 本 概 念 () 算 术 平 均 值 ( 平 均 数 ) 众 数 中 位 数 x + x + x + + x 有 个 数 x, x, x,, x, 称 i= 为 这 个 数 的 算 术 平 均 值 ( 也 称 平 均 数 ), 记 做 x = xi. 这 几 个 数 中 出 现 次 数 最 多 的 数 称 之 为 众 数. 这 几 个 数 按 从 小 到 大 的 顺 序 依 次 排 列, 当 为 奇 数 时, 则 处 在 最 中 间 的 那 个 数 是 这 几 个 数 的 中 位 数 ; 当 为 偶 数 时, 则 处 在 最 中 间 的 两 个 数 的 平 均 数 是 这 几 个 数 的 中 位 数. () 方 差 标 准 差 设 一 组 样 本 数 据 x, x, x,, x, 其 平 均 数 为 x, 则 称 ( ) ( ) ( ) ( = = ) i x 为 这 个 样 本 的 方 差. = s x x x x x x x 将 样 本 方 差 的 算 术 平 方 根 叫 做 这 组 数 据 的 标 准 差 ( 也 称 均 方 差 ), 记 作 s, 即 ( ) ( ) ( ) s = x x + x x + + x x 标 准 差 是 方 差 的 一 个 派 生 概 念, 它 的 优 点 是 单 位 和 样 本 的 数 据 单 位 保 持 一 致, 给 计 算 和 研 究 带 来 方 便. () 方 差 和 标 准 差 的 意 义 方 差 的 实 质 是 各 数 据 与 平 均 数 的 差 的 平 方 的 平 均 数. 方 差 越 大, 说 明 数 据 的 波 动 越 大, 越 不 稳 定. 方 差 描 述 了 一 组 数 据 波 动 的 大 小, 方 差 越 小, 数 据 波 动 越 小 越 整 齐 越 稳 定. 方 差 用 来 比 较 平 均 数 相 同 的 两 组 数 据 波 动 的 大 小, 也 用 它 描 述 数 据 的 离 散 程 度.. 数 据 的 图 表 表 示 () 直 方 图 在 数 据 统 计 中, 一 般 称 落 在 不 同 小 组 中 的 数 据 个 数 为 该 组 的 频 数, 频 数 与 数 据 总 数 的 比 称 为 频 率. 在 直 角 坐 标 系 中, 把 横 轴 分 成 若 干 个 小 组, 每 一 段 对 应 一 个 组 距, 然 后 以 组 距 形 成 的 线 段 为 底, 以 该 组 的 频 率 组 距 为 高 作 矩 形, 这 样 得 出 的 若 干 个 矩 形 构 成 的 图 为 频 率 直 方 图, 简 称 为 直 方 图. 在 直 方 图 中, 众 数 是 最 高 矩 形 底 边 中 点 的 横 坐 标 ; 中 位 数 左 边 和 右 边 的 直 方 图 的 面 积 相 等 ; 平 均 数 是 直 方 图 的 重 心, 它 等 于 每 个 小 矩 形 的 面 积 乘 以 小 矩 形 底 边 中 点 横 坐 标 之 和 () 饼 图 某 产 品 成 本 结 构 :A( 工 资 成 本 ) B( 原 料 成 本 ) C( 运 输 成 本 ) 分 别 占 8% 0% % 可 用 饼 图 来 表 示, 如 下 左 图 所 示 7 i

18 () 数 表 全 体 正 整 数 组 成 一 个 三 角 形 数 表, 如 上 右 图 所 示, 如 何 求 第 ( ) 行 从 左 到 右 的 第 个 数? 第 ( ) ( ) 前 面 有 ( ) 6 个 数, 第 ( ) 行 从 左 到 右 的 第 个 数 是 + =. 例 6. 甲 乙 两 台 机 床 在 相 同 的 条 件 下 同 时 生 产 一 种 零 件, 现 在 从 中 各 抽 取 0 个, 它 们 的 尺 寸 分 别 为 ( 单 位 :mm): 甲 乙 () 画 出 甲 乙 两 组 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图 就 生 产 的 稳 定 性 而 言, 甲 机 床 与 乙 机 床 的 波 动 哪 个 更 小?( 不 用 计 算, 可 通 过 观 察 直 方 图 直 接 回 答 结 论 ) () 分 别 计 算 甲 乙 两 组 数 据 的 平 均 值 与 标 准 差 如 果 图 纸 上 的 设 计 尺 寸 为 0 mm, 从 计 算 看, 用 哪 台 机 床 加 工 这 种 零 件 较 合 适? 解 () 甲 乙 两 组 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图 分 别 如 下 图 中 甲 乙 所 示. 行 从 频 率 分 布 直 方 图 可 以 判 断, 乙 机 床 的 稳 定 性 好 于 甲 机 床 的 稳 定 性. () 甲 乙 两 组 数 据 的 平 均 值 分 别 记 为 x, x, 则 x =0, x =0. 甲 乙 两 组 数 据 的 方 差 分 别 为 s = 0.8, s = 0.0, 则 甲 乙 两 组 数 据 的 标 准 差 分 别 为 s = 0.8 = 0.77, s = 0.0 = 0.0 因 为 x = x =0, s > s 所 以 可 估 计 乙 比 甲 稳 定, 用 乙 较 合 适. 练 习 题 8

19 . 安 排 名 歌 手 的 演 出 顺 序 时, 要 求 某 名 歌 手 不 第 一 个 出 场, 另 一 名 歌 手 不 最 后 一 个 出 场, 不 同 排 法 的 总 数 是 ( ). A. B.6 C.70 D.76 E.78.6 个 同 学 站 一 队, 要 求 甲 必 须 站 在 乙 前, 乙 必 须 站 在 丙 前 的 不 同 站 法 有 ( ) 种. A.0 B. C.8 D.6 E.0.A B C D E 五 支 篮 球 队 相 互 进 行 循 环 赛, 现 已 知 队 赛 过 场,B 队 赛 过 场,C 队 赛 过 场,D 队 赛 过 场, 则 此 时 E 队 赛 过 ( ) 场. A. B. C. D. E. 不 确 定. 某 班 元 旦 联 欢 会 原 定 的 个 学 生 节 目 已 排 成 节 目 单, 开 演 前 又 增 加 了 两 个 教 师 节 目, 如 果 将 这 两 个 教 师 节 目 插 入 原 节 目 单 中, 那 么 不 同 插 法 的 种 数 为 ( ). A. B.0 C.0 D. E.6. 从 7 人 中 选 派 人 到 0 个 不 同 的 交 通 岗 的 个 中 参 加 交 通 协 管 工 作, 则 不 同 的 选 派 方 法 有 ( ). (A) CPP (B) PC P (C) C C (D) CP (E) 以 上 都 不 对 停 车 场 上 有 一 排 7 个 停 车 位, 现 有 辆 汽 车 需 要 停 放, 若 要 使 三 个 空 位 连 在 一 起, 则 停 放 方 法 数 为 ( ) (A) (B) (C) (D) P P (E) P 7 P 7 P 7. 种 不 同 商 品 在 货 架 上 排 成 一 排, 其 中 A,B 两 种 必 须 连 排, 而 C,D 两 种 不 能 连 排, 则 不 同 的 排 法 共 有 ( ). (A) 种 (B) 0 种 (C) 种 (D) 8 种 (E) 0 种 8.6 张 同 排 连 号 的 电 影 票, 分 给 名 教 师 与 名 学 生, 若 要 求 师 生 相 间 而 坐, 则 不 同 的 分 法 有 ( ). (A) P P (B) P P 7 P (C) P P (D) P P (E) 以 上 都 不 对 9. 某 人 射 出 8 发 子 弹, 命 中 发, 若 命 中 的 发 中 仅 有 发 是 连 在 一 起 的, 那 么 该 人 射 出 的 8 发, 按 命 中 与 不 命 中 报 告 结 果, 不 同 的 结 果 有 ( ). (A) 70 种 (B) 80 种 (C) 种 (D) 0 种 (E) 0 种 0. 目 前, 京 城 市 私 家 汽 车 牌 照 的 格 式 为 京 AQ 口 一 口 口 口, 前 格 是 英 文 字 母 ( 除 字 母 I,Q 外 ), 后 格 为 O~9 这 0 个 数 字 中 的 个 数 字 ( 数 字 允 许 重 复 ), 则 任 意 遇 到 一 辆 私 家 车, 牌 照 的 后 面 格 中 有 且 仅 有 个 连 续 8 的 概 率 是 多 少?( ) (A)0.009 (B)0.0 (C)0.0 (D)0.08 (E)O. 0. 从 {,,,,,0) 中 任 选 个 不 同 的 数, 使 这 三 个 数 成 等 差 数 列, 这 样 的 等 差 数 列 最 多 有 ( ). (A) 90 个 (B) 80 个 (C) 00 个 (D)0 个 (E)0 个. 男 女 学 生 共 有 8 人, 从 男 生 中 选 取 人, 且 从 女 生 中 选 取 人, 共 有 0 种 不 同 的 选 法, 其 中 女 生 有 ( ). (A) 人 或 人 (B) 人 或 人 (C) 人 (D) 人 (E) 人. 兰 州 某 车 队 有 装 有 A,B,C,D,E,F 6 种 货 物 的 卡 车 各 一 辆, 把 这 些 货 物 运 到 西 安, 要 求 装 A 种 货 物 B 种 货 物 与 E 种 货 物 的 车, 到 达 西 安 的 顺 序 必 须 是 A,B,E( 可 以 不 相 邻, 且 先 发 的 车 先 到 ), 则 这 6 辆 车 发 车 的 顺 序 有 几 种 不 同 的 方 案?( ) (A) 80 (B)0 (C) 0 (D) 60 (E) 00. 用 O,,,, 这 个 数 字 组 成 无 重 复 数 字 的 五 位 数, 其 中 恰 有 一 个 偶 数 夹 茌 两 个 奇 数 之 间 的 五 位 数 的 个 数 是 ( ). (A) 8 (B) 6 (C) 8 (D) (E) 0. 某 药 品 研 究 所 研 制 了 种 消 炎 药 a, a, a, a, a, 种 退 烧 药 b, b, b, b, 现 从 中 取 出 两 种 消 炎 药 和 一 种 9

20 退 烧 药 同 时 使 用 进 行 疗 效 实 验, 但 又 知 a, a, 两 种 药 必 须 同 时 使 用, 且 a, b两 种 药 不 能 同 时 使 用, 则 不 同 的 实 验 方 案 有 ( ). (A) 7 种 (B)6 种 (C)6 种 (D) 种 (E) 0 种 6. 某 池 塘 有 A,B,C 三 只 小 船,A 船 可 乘 人,B 船 可 乘 人,C 船 可 乘 人, 今 天 个 成 人 和 个 儿 童 分 乘 这 些 船 只, 为 安 全 起 见, 儿 童 必 须 由 成 人 陪 同 方 能 乘 船, 他 们 分 乘 这 些 船 只 的 方 法 共 有 ( ). (A)0 种 (B) 8 种 (C) 7 种 (D) 7 种 (E) 0 种 7. 下 面 是 一 组 容 量 为 00 的 样 本 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图. 根 据 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图 求 出 样 本 的 众 数 中 位 数 平 均 数 的 估 计 值 分 别 为 ( ). A. 66, 60.7, 69. B.66, 69., 60.7 C.70, 69., 60.7 D. 70, 60.7, 60.7 E.70, 69., 在 一 个 不 透 明 的 布 袋 中 装 有 个 白 球 和 个 黄 球, 它 们 除 颜 色 不 同 外, 其 余 均 相 同. 若 从 中 随 机 摸 出 一 个 球, 摸 到 黄 球 的 概 率 是, 则 =( ). A. B. C.6 D.7 E.8 9. 用 某 种 兽 药 治 牛 病, 治 愈 率 为 9%, 用 这 种 药 治 头 病 牛, 至 少 有 头 被 治 愈 的 概 率 是 ( ). A.0. 9 B.0.9 C.0.97 D.0.99 E. 以 上 均 不 对 0. 在 某 地 的 奥 运 火 炬 传 递 活 动 中, 有 编 号 为,,,,8 的 8 名 火 炬 手. 若 从 中 任 选 人, 则 选 出 的 火 炬 手 的 编 号 能 组 成 公 差 为 的 等 差 数 列 的 概 率 为 ( ). A. B. C. D E. 以 上 均 不 对.- 个 袋 中 装 有 6 个 球, 其 中 个 白 球 个 红 球. 从 袋 中 随 机 取 球 两 次, 每 次 取 一 个 球. 考 虑 两 种 情 况 : () 第 一 次 取 球 后, 观 察 颜 色 后 放 回 袋 中. () 第 一 次 取 球 后, 观 察 颜 色 后 不 放 回 袋 中. 则 两 只 球 都 是 白 球 的 概 率 为 ( ). A., B., C., D., E., 甲 乙 两 人 参 加 某 电 视 台 举 办 的 智 力 闯 关 游 戏, 按 照 规 则, 甲 先 从 6 道 备 选 题 中 一 次 性 抽 取 道 题 独 立 作 答, 然 后 由 乙 回 答 剩 余 道 题. 每 人 答 对 道 题 就 停 止 答 题, 即 闯 关 成 功. 已 知 在 6 道 备 选 题 中 甲 能 答 对 其 中 道 题, 乙 答 对 每 道 题 的 概 率 都 是, 则 甲 乙 两 人 至 少 有 一 人 闯 关 成 功 的 概 率 是 ( ). 0

21 A. 7 B. 8 C. 6 D. E. 8. 甲 乙 丙 依 次 轮 流 投 掷 一 枚 均 匀 的 硬 币, 若 先 投 出 正 面 者 为 胜, 则 甲 乙 丙 获 胜 的 概 率 分 别 为 ( ). A.,, B.,, C.,, D.,, E. 以 上 均 不 对 从,,,, 中 随 机 取 出 个 数 ( 允 许 重 复 ) 组 成 一 个 三 位 数, 则 共 有 9 种 不 同 取 法. () 取 出 的 三 位 数 的 各 位 数 字 之 和 等 于 9;() 取 出 的 三 位 数 的 各 位 数 字 之 和 等 于 7.. 设 有 个 元 件, 每 个 元 件 正 常 工 作 的 概 率 是 率 小 于., 且 各 元 件 是 否 正 常 工 作 是 独 立 的, 则 系 统 工 作 正 常 的 概 () 系 统 装 配 方 式 为 () 系 统 装 配 方 式 为 6.N=. () 名 考 生 被 所 大 学 提 前 录 取, 每 所 大 学 至 少 要 录 取 一 名, 则 不 同 的 录 取 方 法 有 N 种. () 设 集 合 A={,,,},B={,,6}, 从 两 个 集 合 中 各 取 一 个 元 素 作 为 点 的 坐 标, 那 么 可 确 定 的 不 同 点 的 个 数 为 N. 7. 世 博 会 安 排 名 志 愿 者 赴 北 欧 五 个 国 家 的 展 馆 服 务, 有 78 种 不 同 的 安 排 方 法. () 要 求 甲 志 愿 者 不 去 丹 麦 展 馆 服 务 () 要 求 乙 志 愿 者 不 去 瑞 典 展 馆 服 务 8. 若 王 先 生 驾 车 从 家 到 单 位 必 须 经 过 三 个 有 红 绿 灯 的 十 字 路 口, 则 他 没 有 遇 到 红 灯 的 概 率 为 0.. () 他 在 每 一 个 路 口 遇 到 红 灯 的 概 率 都 是 0. () 他 在 每 一 个 路 口 遇 到 红 灯 的 事 件 相 互 独 立 9. m = 0. () 有 0 张 元 邮 票 和 0 张 元 邮 票, 用 这 些 邮 票 能 组 成 不 同 邮 资 有 m 种 ; () 从,,,,,6,7,8,9 中 任 意 选 出 三 个 数, 使 它 们 的 和 为 偶 数, 则 共 有 m 种 不 同 的 选 法. 0. 两 批 货 物 各 0 件, 在 运 输 过 程 中 每 批 会 损 坏 志 件, 设 第 一 批 货 物 中 有 件 次 品, 第 二 批 中 有 件 次 品, 全 部 到 达 后, 从 未 损 坏 的 货 物 中 任 取 件, 该 产 品 是 正 品 的 概 率 约 为 () k = ;() k =.. 某 三 位 数 恰 有 两 个 数 字 相 同 的 概 率 为 6. () 由 0 以 内 的 质 数 组 成 的 可 重 复 数 字 的 三 位 数 ; () 由 0 以 内 的 合 数 组 成 的 可 重 复 数 字 的 三 位 数.. 袋 中 有 个 球, 其 中 白 球 个, 黑 球 个. 甲 乙 两 人 依 次 从 袋 中 各 取 一 球, 记 A={ 甲 取 到 白 球 },B={ 乙 取 到 白 球 }, 能 确 定 p = p.

22 () 若 取 后 放 回, 此 时 记 p P( A), p P( B) = = ; () 若 取 后 不 放 回, 此 时 记 p P( A), p P( B). = C 99. = =. () 方 程 x + x + x + x = 有 组 正 整 数 解 ; 00 () 方 程 x + x + x + x = 有 组 非 负 正 整 数 解. 00 参 考 答 案.E.A.B.A.D 6.C 7.C 8.D 9.D 0.D.B.A.B.C.D 6.D 7.E 8.E 9.D 0.B.C.E.D.A.B 6.E 7.C 8.C 9.E 0.D.E.D.A