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1 Chapter 4 transform analysis of linear time-invariant system 4.1 the system function 4.2 the frequency response 4.3 the frequency response for rational system function and difference equation 4.4 all-pass system 4.5 minimum-phase system 4.6 generalized linear phase system

2 4.1 the system function( 系统函数 ) The system function is defined as H( z) h[ n] z n n For LTI system, the system function of the system input and output are related by Y ( z) X ( z) H ( z) The output (zero-state response) is y n Z X z H z x n h n 1 [ ] { ( ) ( )} [ ] [ ]

3 relationship between the difference equation and the system function For a linear constant-coefficient difference equation of a LTI system of form N a y[ n k] b x[ n k] M k k0 k0 The system function has the algebraic form k H( z) Y ( z) X ( z) M k0 N k0 b z k a z k k k 1 The unit impulse response is h[ n] Z { H( z)}

4 EXAMPLE accumulator system(iir) y[ n] x[ n k] x[ n]* h[ n], 其中 h[ n] u[ n] k0 利用系统函数确定差分方程 1 H( z) Z{ u[ n]} 1 1 z The difference equation is: y[ n] y[ n 1] x[ n]

5 Characters of zeros, poles and ROC (1) 考虑到原点和无穷远处的零极点, 则零点和极点个数相等. (2) 若实系数或 h[n] 是实序列, 则复数零点 ( 或极点 ) 两两共轭. * PROVE: for real h[ n], h[ n] h [ n] * n * n * n * * ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) H z h n z h n z h n z H z n n n if H( z ) 0,then H( z ) H ( z ) 0 * * z and z are all zeros.likewise, p and p are all ploes. * *

6 (3) 若因果, 则 ROC 包括 z=. (4) 若稳定, 则 ROC 包括 z =1 prove: for stable system, h[ n], jn jn H( z) h[ n] e h[ n] e h[ n] z 1 ROC include z 1 n n n n (5) 若因果稳定, 则极点全在单位圆内.

7 (6)FIR: h[n] 有限长,ROC 是整个平面 (z=0 和可能例外 ), 一定包括 z =1, 所以一定稳定所以除了 z=0 和没有其他极点, 即 H(z) 是整式, 差分方程可以无递 M 归, 称全零点型 k k H( z) Z{ h[ n]} h[ k] z 0 M k0 b h[ k], k 0,..., M k a 1, a 0, k 1,..., N k M k0 k0 k0 N k0 y[ n] h[ k] x[ n k] b x[ n k] M k b z k a z 注意 : 互相抵消的零点和极点不能算作系统的零点和极点 k k

8 EXAMPLE H( z) 1 M 1 Moving average system (FIR) M2 1 y[ n] x[ n k] x[ n]* h[ n], M 1 2 k0 1,0 n 其中 h[ n] M 2 1 0, other n M 1 n 1 1 z z M 1 M 1 1 z z z z difference equantion is: 2 2 k0 2 ( M 1) 1 y[ n]- y[ n -1]= ( x[ n] x[ n M 2 1]) M 1 M2 1 OR y[ n] x[ n k] M 1 M 1 M 2 z=1 处的零点和极点互相抵消, 所以是 FIR 系统通过对 H(z) 添加相同的零点和极点, 可以构造无穷多的差分方程

9 (7)IIR: h[n] 无限长,ROC 不是整个平面, 所以有限平面上一定有除 z=0 和以外的极点 ( 称非零极点 ), 所以 H(z) 一定是有理分式, 差分方程一定有递归 k H( z) Z{ h[ n]} h[ k] z k0 k0 N k0 b0 0, bk 0, k 1,..., M M b z k a z 如果除 z=0 外没有其他零点, 则称全极点型 : k k k

10 IIR 与 FIR 的比较 FIR IIR h[n] 有限长无限长 y[n] 由 x[n] 加权有限项无限项实现卷积 ( 无递归 ) 差分方程 ( 一定有递归 ) 或差分方程 ( 有递归 ) 稳定性一定稳定不一定稳定 H(z) 无非零极点有非零极点 (ROC 整个平面 )

11 2. 思考题 1. 正确的说法是 ( D ) (A) 差分方程无递归不一定是 FIR 系统 (B) FIR 系统的差分方程一定无递归 (C) 差分方程有递归则一定是 IIR 系统 (D) IIR 系统的差分方程一定有递归 1 H( z),causal and stable ( z a)( z b) then, a and b must meet: 0 a 1, 0 b 1 3. P( z) X ( z), P( z) 和 Q( z) 都是 z的多项式, x[ n] 绝对可加, Q( z) Q( z) 的根全在单位圆内, x[ n] 一定因果吗? 解 : 不一定无穷远处可能有极点

12 4.2 the frequency response( 频率响应 ) 1. definition The definition of the frequency response is: j jn H( e ) h[ n] e n For LTI system, the Fourier transform of the system input and output are related by j j j Y ( e ) X( e ) H( e ) We can express the frequency response in polar form: H( e ) H( e ) e j j j jh ( e ) Sufficient condition for existence of frequency response : A system is stable.

13 幅频特性 j 1. H( e ) magnitude response( 幅度响应或增益 ) j 2 j j 2. H( e ) H( e ) H ( e ) magnitude square function( 幅度平方函数 ) j 3. 20log H( e ), unit : db 10 j 20log H( e ) 10 log magnitude or gain in db( 对数幅度, 以 db 计的增益 ) Attenuation in db( 以 db 计的衰减 )

14 j 20log H( e ) 10 对数幅度线性到对数的转换曲线 -8dB 0.4 线性幅度 j H( e )

15 相频特性 j 4. H ( e ) phase response( 相位响应, 相移 ): ambiguous j 5. ARG[ H( e )] principal value phase( 主值相位 ) j 6.arg[ H( e )] continuous phase( 连续相位 ): continuous function of j j d arg[ H( e )] 7. grd[ H( e )] d Group delay( 群延迟 : 对相位特性线性程度的一种度量 ), 单位 : 采样点

16 j j arg[ H( e )] 和 ARG[ H( e )] 的关系

17 2. 物理意义幅度失真 H( e ) H( e ) e j j jh ( e ) j j j Y ( e ) X ( e ) H( e ) j 相位失真 j j j Y ( e ) X ( e ) H( e ) j j j Y ( e ) X ( e ) H( e ) j j j grd{ Y ( e )} grd{ X ( e )} grd{ H( e )} 幅度响应对信号的幅度谱进行整形 ; 相位响应对信号的相位谱进行调整 ; 群延迟让信号作时域的移位, 单位是采样点

18 y n x n h n e h k j0 ( nk ) [ ] [ ] [ ] [ ] j0 H ( e ) A complex exponential is the eigenfunction( 特征函数 ) of LTI system. H e j 0 ( ) 0 [ ] j n x n e, n j0n j0k j0n j0 e e h[ k] e H ( e ) k e H ( e ) e (1)Response to a complex exponential sequence k 0 j arg( ( 0 ) j n H e j j j{ ( n [ arg( H ( e )/ ]} j 0n is the eigen-value ( 特征值 ) of. 延迟的采样点数 e

19 jk0n x[ n] a e, N是周期, 2 / N k N k y n x n h n a e h n a e h n jk0n jk0n [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Response to combination of complex exponential sequences jk0n jk0 jk0 a e H( e ) a H( e ) e 0 k k k N k N k k N k N not eigenfunction k j k nh e 0 jk ( 0 ) 不同频率的复指数序列经过 LTI 系统后输出仍为同频率的复指数序列, 幅度和相位的变化由对应频率处的频响取值决定

20 n j ( nk ) j ( nk ) y[ n] h[ k] e u[ n k] h[ k] e (2)Response to a causal complex exponential sequence x n e u n j0n [ ] [ ] k 0 0 j ( nk ) j ( nk ) h[ k] e h[ k] e 0 0 k k n1 H( e ) e ( h[ k] e ) e k n1 k j j n j k j n Steady-state response not eigenfunction transient response ( 稳态响应 ) ( 暂态响应 ) 对于输入是因果序列的情况, 时间足够长后, 输出为稳态响应, 暂态响应最终消失的充分条件是系统稳定

21 (a)fir with h[n] length of N: N -1 j k j n j k j n ( h[ k] e ) e ( h[ k] e ) e kn1 kn1 j0k when n 1 N -1, n N -1, h[ k] e 0 ( b)stable IIR : x n e u n j0n [ ] [ ] y[ n] H( e ) e ( h[ k] e ) e transient response: kn1 j0k lim h[ n] 0, lim h[ k] e 0 n n k n 1 j j n j k j n kn1

22 k0 图示因果稳定 FIR/IIR 对因果输入的响应 y[ n] h[ k] x[ n k] h[0] x[ n] h[1] x[ n 1] h[ ] x[ n ] h[n-1] h[0] 因果 FIR 系统作用于因果信号 n=n-1 h[0] 因果稳定 IIR 系统作用于因果信号

23 EXAMPLE 稳态响应举例输入因果正弦序列, 分别经过两个因果 LTI 系统, 画输出. n=0:100; x=sin(0.1*pi*n); subplot(3,1,1); stem(n,x, '.'); h=ones(1,10)/10; y=filter(h,1,x); subplot(3,1,2); stem(n,y, '.'); A=[ ]; B=[ ]; z=filter(b,a,x); subplot(3,1,3); 输入信号 x[ n] sin(0.1 n), n 0,...,100 FIR 的输出 1 h[ n], n 0, IIR 的输出 stem(n,z, '.'); z z H( z) z 0.81z 0.81z 1 2 3

24 (3)Response to arbitrary sequences 时域法 ( 卷积或递推 ) 变换域 (Z 或 FT) 法求输出 y[ n] x[ n] h[ n] j j j Y ( e ) X ( e ) H( e ) j j j Y ( e ) X ( e ) H( e ) j j j Y ( e ) X ( e ) H( e ) j j j grd{ Y ( e )} grd{ X ( e )} grd{ H( e )} y n FT Y e 1 j [ ] { ( )}

25 系统的群延迟 EXAMPLE: the effects of magnitude and group delay 系统的幅度响应 c

26 输入信号时域 = 输入信号幅度谱群延迟 50 群延迟 ,0.25 输出信号时域

27 EXAMPLE: The effect of group delay 全通系统的群延迟单位脉冲响应, 产生弥散

28 y[ n] x[ n n ] h [ n] [ n n ] id j H( e ) EXAMPLE:ideal delay system e j arg{ H( e )} d jn j grd{ H( e )} d d, n, n d 幅度响应是常数, 群延迟是常数 nd, 任何频率成分都延迟 nd 点, 所以信号整体平移 d 若相位是线性函数, 则群延迟是常数, 则所有频率成分延迟相同采样点延迟失真 ( 线性相位失真 ) 被认为是很轻微的相位失真, 可以接受

29 低通 3. Ideal frequency-selective filters ( 理想选频滤波器 ) 1, j c Hlp( e ) 0, c H lp j e 带阻 0, j Hbs( e ) 1, 其它 c1 c2 高通 0, j c Hhp( e ) 1, c 幅度分段恒定, 线性相位或零相位带通 1, j Hbp( e ) 0, 其它 j ( 2 ) H e j k H e c1 c2

30 h lp [ n] sin n c n sin c hhp [ n] [ n] ( 1) n sinbn sinan hbp [ n] n n 理想选频滤波器的单位脉冲响应 n sin c n sin sin sin bn sin an b n n a hbp [ n] [ n] ( 1) n n n n h [ ] lp n n n n 非因果 h[n] 无限长非因果, 无法用卷积实现,H(z) 不收敛, 无法用递归的差分方程实现, 所以理想选频滤波器不是在计算上可实现的 c

31 4.3 the frequency response for rational system function and difference equation H( z) H( e j ) If a stable LTI system has a rational system function, then the frequency response can be calculated by three ways. 1.formular method H ( e j ) H ( z ) j ze

32 2. Geometrical method ( 根据零点和极点的位置确定频响 ) If the system function is H( z) M M k k k0 N M k 1 Bz N N k k k 0 k1 j H( e ) H( z) B b z ( z c ) a z ( z d ) Then the frequency response is ze j M k1 N k 1 j e c j e d M N j j j k k 1 k1 arg[ H( e )] arg[ B] arg[ e c ] arg[ e d ] ( N M ) B 不影响相对幅度原点处的零 / 极点不影响幅度 k k k k 零矢量极矢量原点的零点或极点对相位的影响 k

33 M N j j j j ze k k 1 k1 H( e ) H( z) B e c / e d M N j j j k k 1 k1 arg[ H( e )] arg[ B] arg[ e c ] arg[ e d ] ( N M ) * * k k 离零点近的 ω 处的幅度响应为极小值, 单位园上的零点使幅度为 0; 离极点近的 ω 处的幅度响应为极大值圆点处的零极点不影响幅度, 但影响相位 L L L j 1 j H( e ) B,arg[ H( e )]

34 EXAMPLE 零极点分布上 : 幅度下 : 相位

35 1 H( z), z a, 0 a 1,real 1 1 az j H ( e ) EXAMPLE j arg{ H( e )] 1/(1 a) 1/(1 a) a 0 arg{ H ( e j )] 2 ω 如果 a<0, 则高通 0 ω 2

36 3.matlab method EXAMPLE IIR H( z) z B=1; A=[1,-0.5] figure(1); zplane(b,a) figure(2); freqz(b,a) figure(3); grpdelay(b,a,10)

37 FIR echo system: y[ n] x[ n] 0.5 x[ n 10] h=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.5] zplane(h,1) figure; freqz(h,1) EXAMPLE Imaginary Part Real Part 10

38 4.1 系统函数 H( z) [ ] N M k k0 k 小结 n h n z Y ( z) k 0 a y[ n k] bk x[ n k] H( z) N n Y ( z) X ( z) H( z) X( z) k0 零点极点特点 :(1) 零点和极点个数相等. (2) 若实系数或 h[n] 是实序列, 则复数零点 ( 或极点 ) 两两共轭. (3) 若因果, 则 ROC 包括 z=. (4) 若稳定, 则 ROC 包括 z =1. (5) 若因果稳定, 则极点全在单位圆内. (6)FIR: 没有非零极点. (7)IIR: 有非零极点. 用途 : (1) 根据 h[n] 或差分方程求系统的输出 ( 人工求解 ) (2)h[n] 或卷积式或 H(z) 差分方程 ( 计算机递推求解系统输出 ) (3) 根据零点极点判断系统的类型 : 因果稳定 FIR/IIR 全通最小相位广义线性相位等 (4) 分析系统的频率响应 : 公式法几何法 M b z k a z k k k

39 4.2 频率响应 j j j jh ( e ) 1. 定义 : H( e ) H( e ) e 幅频特性 : ( j j H e ), 20log 10 H( e ) ( db) j j j j 相频特性 : H( e ),arg{ H( e )}, ARG{ H( e )}, grd{ H( e )} j j 0 0n j0 j{ 0narg( H ( e ))} 2. 物理意义 : (1) y[ n] T{ e } H ( e ) e 特征函数法求输出 ; (2) j0n j0 j0n j0k j0n y[ n] T{ e u[ n]} H( e ) e ( h[ k] e ) e (3) 特征函数法或卷积极限法求稳态响应 ; y n FT X e H e 1 j j [ ] { ( ) ( )} 时域卷积法或频域相乘法求输出 kn1 j j j j j j Y( e ) X( e ) H( e ), Y ( e ) X ( e ) H( e ) j j j grd{ Y( e )} grd{ X( e )} grd{ H( e )} 3. 理想选频滤波器的周期性零相位或线性相位, 无法实现

40 4.3 有理系统函数的频率响应 : 公式法和几何法 j H( e ) H( z) B ze j M k 1 N k 1 j e c j e d M N j j j k k1 k 1 arg[ H( e )] arg[ B] arg[ e c ] arg[ e d ] ( N M ) k k k H(z) h[n] convolution(fir s realization) H(e jω ) difference equation(iir s realization)

41 4.4 all-pass system( 全通系统 ) An all-pass system is defined as a system for which the frequency-response magnitude is a constant EXAMPLE H ( e j ) constant ap H( z) 零点 : z a 1 az 1 * 1 * j 1/ a, 极点 a re 无幅度失真, 有相位失真 j * * j j * j e a j 1 a e j (1 a e ) H( e ) e e 1 j j j 1 ae 1 ae 1 ae j - j j - j j j e (1 re e ) 1 re e arg[ Hap( e )] arg{ } arg{ } j j j j 1re e 1re e 1 rcos( ) jr sin( ) rsin( ) arg{ } 2arctan{ } 1 rcos( ) jr sin( ) 1rcos( )

42 general form for the system function of an all-pass system with a real-valued impulse response M r 1 M c 1 * 1 z d k ( z ek ) ( z ek ) Hap( z) A 1 1 * 1 k1 1 dkz k1 (1 ek z ) (1 ek z ) Where A is a constant and the d k s are real, and the e k s are complex. Characters of poles and zeros: complex zeros and poles being paired with their conjugates. 零点和极点共轭反演 ; 若实系数, 零点对互为共轭, 极点对互为共轭

43 EXAMPLE Determine whether or not each system is an all-pass system. 3/4 4/3 Y z= 有零点 N Y Y 无穷远有零点

44 共轭反演处的零点和极点对幅度响应的作用互相抵消 EXAMPLE 幅度响应的类型只取决于红色的零点和极点 0.2 5

45 共轭反演处的零点或极点对幅度响应的作用相同 EXAMPLE H ( z) z H ( z) z H 1 z 0.2 ( z) z 1 1 可采用级联全通系统, 或将极点取倒数的方式将不稳定系统变成幅度响应相同的稳定系统

46 EXAMPLE: 幅度响应相同的系统最大相位

47 Application 1. 补偿相位失真 j j H( z) H ( z) H '( z), H( e ) H '( e ) ap 有相位失真补偿相位失真无相位失真 2. 与最小相位系统合作补偿幅度失真 H ( z). H ( z) H ( z) min ap 有幅度失真补偿幅度失真无幅度失真 3. 将不稳定系统变成稳定系统 j H ( z) H ( z) H ( z), H ( e ) H ( e ) j 1 ap 不稳定稳定

48 4.5 minimum-phase system ( 最小相位系统 ) 1. Definition of inverse system( 逆系统 ) For a given LTI system, the corresponding inverse system is defined to be the system that if it is cascade with the origin System, the overall effective system function is unity; i.e., H( z) H ( z) 1,that is H ( z) 1/ H( z) i then, X( z) H( z) H ( z) X ( z) or : h[ n]* h [ n] [ n], i then, x[ n]* h[ n]* h [ n] x[ n] i i i For h[ n]* hi [ n] [ n] to hold, the region of convergence of H ( z ) and H ( z) must overlap. i

49 思考题 (1) 关于逆系统正确的说法是 ( A-D ) (A) 不是所有系统均有逆系统 (B) 具有有理系统函数的系统均有逆系统 (C) 逆系统可能不唯一 (D) 因果稳定系统的逆系统因果稳定的条件是 : 零点也全在单位圆内 (2) 一个因果的 LTI 系统, 其系统函数为 H( z) (1 0.5z 0.5 z )(1 0.9 z ) (1 1.3 z )(1 0.7 jz )(1 0.7 jz ) 以下说法正确的是 ( D ) (A) 系统是稳定的 (B) 单位冲击响应绝对可和 (C) 幅度响应在 ω=0 处有一零点 (D) 系统没有因果稳定的逆系统

50 (3) 下列 LTI 系统, 其逆系统不可能是稳定系统的是 ( D ) (A) (B) (C) 3 y[ n 1] x[ n] x[ n 1] x[ n 2] 2 H z e z e z e z e z j ( ) (1 0.3 j )(1 0.3 j j )(1 1.2 )(1 1.2 ) (D)

51 (4) 若一个 LTI 系统的系统函数有如图所示的零极点, 并且系统是因果的, 则关于其逆系统, 正确的说法是 ( C ) (A) 因果稳定 (C) 稳定非因果 (B) 因果不稳定 (D) 非因果, 不稳定

52 2. Definition minimum-phase systems We define a minimum-phase systems as the system which is causal stable and its inverse system is causal stable too. That is to say, the zeros and poles are all in the unit circle for a minimum-phase systems. The corresponding impulse response is called minimum phase sequence ( 最小相位序列 ). If poles are in the unit circle, zeros are outside the unit circle, such systems are referred to as maximum-phase systems ( 最大相位序列 ).

53 3. minimum-phase and all-pass decomposition ( 最小相位和全通分解 ) Any rational system function can be expressed as H( z) H ( z) H ( z) min ap So their frequency-response magnitude satisfy ( j j H e ) H ( e ) min

54 H ( z) H ( z) H ( z) min ap 红色与单位圆外黑色构成全通系统单位圆外的极点单位圆外的零点兰色与单位圆内黑色构成最小相位系统黑色 : 原零 / 极点红色兰色 : 单位园外零 / 极点的共轭反演位置处的零极点

55 Application of minimum-phase and all-pass decomposition: amplitude-response compensation If Hd ( z) is not a minimum-phase system, the compensating System can be chosen by the steps followed. H ( z) H ( z) H ( z) H ( z) d min ap c G( z) H ( z) H ( z) H ( z) d c ap H 1 ( z) Then, the overall system corresponds to an all-pass system. Consequently, the frequency-response magnitude is exactly compensated for, while the phase response is modified. min

56 A minimum phase systems could be cascaded with any all-pass system to form another system with the same frequency-response magnitude. Thus, there are infinite systems with the same amplitude response. H ( ) ( ) ( ) min z H ap z H z min( j j H e ) H( e ) H( z) H ( z) H '( z) ( j j H e ) H '( e ) ap 4. Characteristics Among the systems with the same amplitude response, minimum phase systems have following characteristics: (1)Minimum phase delay arg[ ( j j H e )] arg[ H( e )] min (2)Minimum group delay j j grd[ H ( e )] grd[ H ( e )] min 最小相位延迟系统证明见奥本海墨教材

57 小结全通系统 : 零点和极点共轭反演 ; M r 1 M c 1 * 1 z d k ( z ek ) ( z ek ) Hap( z) A 1 1 * 1 k1 1 dkz k1 (1 ek z ) (1 ek z ) 最小相位系统 : 零极点全在单位圆内 ; 有理系统函数的逆系统的求解 ; 最小相位全通分解 : 应用于补偿失真系统的幅度失真 H ( z) H ( z) H ( z) min ap

58 4.6 generalized linear phase system definition sufficient conditions of generalized linear phase system causal generalized linear phase (FIR) system

59 4.6.1 definition 1. linear-phase system( 线性相位系统 ) j j j H( e ) H( e ) e j arg[ H( e )] ( line) j grd[ H( e )] ( real) EXAMPLE Ideal delay system : A linear-phase system h [ n] [ n m] id y[ n] x[ n] h [ n] x[ n m] id j j m H ( e ) e id

60 2. generalized linear-phase system ( 广义线性相位系统 ) j j j j H( e ) A( e ) e j A( e ) is a real function ( ) j grd[ H( e )] 广义幅度广义相位 The linear-phase system and the generalized linear-phase system can all be characterized by constant group delay ( 常数群延迟系统 ).

61 EXAMPLE EXAMPLE Differentiator: A generalized linear-phase system j j / 2 H( e ) j / T e T j A( e ), ( ) / 2, 0, / 2 T j j / 2,0 H( e ),arg{ H( e )} T / 2, 0 Hilbert transform: A generalized linear-phase system j / 2 j e,0 j 1,0 A e j / 2 j H( e ), ( ), ( ) / 2 j e, 0 1, 0 j / 2 j e,0 j j / 2,0 H( e ), H( e ) 1,arg{ H( e )} j / 2 e, 0 / 2, 0

62 4 1 h[ n] [ n k] 5 j H( e ) k 0 EXAMPLE 1 sin( 5 / 2) e 5 sin( / 2) j 2 Causal moving average system : A generalized linear-phase system 严格幅度 h=[ ]/5; [H,f]=freqz(h,1); figure; plot(f,abs(h)); figure; plot(f, phase((h))) 连续相位 : 广义幅度改变符号时相位突变 π 广义连续相位是直线严格相位

63 EXAMPLE 3. 线性相位的意义 : 使信号产生的相位失真仅仅是整体延迟原方波信号线性相位低通滤波后信号 ( 时间上有延迟 ) 非线性相位低通滤波后信号

64 4. 广义线性相位系统的级联和并联广义线性相位系统级联仍然广义线性相位 ; H( e ) H ( e ) H ( e ) A ( e ) e A ( e ) e j j j j j1 j1 j j2 j j A ( e ) A ( e ) e j 1 2 j ( ) j( ) 并联则不一定, 是的条件是参数相同 : H( e ) H ( e ) H ( e ) A ( e ) e A ( e ) e j j j j j1 j1 j j1 j j j A1 ( e ) A2 ( e ) e j j 1 1

65 4.6.1 小结线性相位及广义线性相位的定义 j j j H( e ) H( e ) e, j j j j H( e ) A( e ) e, 线性相位及广义线性相位的优点 : 对所有通带内频率成分在时域延迟相同采样点 ( 频率高的相位延迟大 )

66 4.6.2 sufficient conditions of generalized linear phase system Two sets of conditions that make a system a generalized linear-phase system: 0 or / 2 or 3 / 2 (1) 2 M(integer) (2) 2 M(integer) h[2 n] h[ n] h[2 n] h[ n] 证明见课堂笔记

67 The equivalent expressions of the two conditions are (1) if : h[ M n] h[ n], n,..., M is an integer,then: 0 or M / 2 (2) if : h[ M n] h[ n], n,..., M is an integer,then: / 2 or 3 / 2 M / 2

68 three impulse responses with generalized linear phase M:even M:odd M:not an integer h[n] 的包络对称且无限长, 也是线性相位, 我们不讨论这种情况

69 4.6.2 小结 h[n] 奇偶对称则广义线性相位 : 广义相位 =- α ω+ β 其中 α= 对称中心,β= 0, h[n] 偶对称 π/2, h[n] 奇对称

70 思考题对以下序列确定广义相位和群延迟 (1) h[ n] sin( ( n n )) c ( n n ) d d arg n, grd n d 2 n cos, 3 n M3 (2) w[ n] M 0, 其它 -(3+M/2)ω, d 3+M/2

71 4.6.3 causal generalized linear phase (FIR) system If the system is causal, the symmetry condition become h[ n] h[ M n],0 n M h[ n] 0, for n 0 or n M 注意 :h[n] 长度 M+1

72 (1) typei : h[ n] h[ M n], M : even (2) typeii : h[ n] h[ M n], M : odd 1. classification It is generally useful to define four type of FIR generalized linear-phase systems. 对称中心 1 0 M/2 M=4 n 对称中心 1 0 M/2 M=5 n 1 对称中心 (3) typeiii : h[ n] h[ M n], M : even (4) typeiv : h[ n] h[ M n], M : odd M=2 0 M/2-1 1 对称中心 M=1 0 M/2-1 n n

73 2. The frequency response 2 2 M M j M ( ) / 2 A( e ) h[ n]cos n 2 n0 Four each type, we can express the magnitude response as M M / 2 j M typei : A( e ) h[ n]cos n [ ]cos( ) n 0 2 a k k k0 where : a[0] h[ M / 2], a[ k] 2 h[ M / 2 k], k 1,2... M / 2 j H( e ) 证明见课堂笔记 j ARG{ H( e )}

74 M M j M ( ) / 2 A( e ) h[ n]cos n 2 n0 2 2 M ( M 1)/ 2 j M typeii : A( e ) h[ n]cos n [ ]cos( ( 1/ 2)) n 0 2 b k k k1 where : b[ k] 2 h[( M 1) / 2 k], k 1,2...( M 1) / 2 j H( e ) j ARG{ H( e )} 不可能是高通带阻滤波器

75 M ( ) / 2 2 M j M A( e ) h[ n]cos n n0 2 2 M M / 2 j M typeiii : A( e ) h[ n]cos n c[ k]sin( k ) n k1 where : c[ k] 2 h[ M / 2 k], k 1,2... M / 2 j H( e ) 不可能是低通高通带阻滤波器 j ARG{ H( e )}

76 M ( ) / 2 2 M j M A( e ) h[ n]cos n n0 2 2 M ( M 1)/ 2 j M typeiv : A( e ) h[ n]cos n [ ]sin( ( 1/ 2)) n d k k k1 where : d[ k] 2 h[( M 1) / 2 k], k 1, 2...( M 1) / 2 j H( e ) 不可能是低通带阻滤波器 j ARG{ H( e )} 不需背

77 广义幅度 Frequency response of four types of FIR linear-phase system. π π 广义相位取主值

78 3. zeros of system function Locations of zeros for generalized linear-phase systems: When h[n] is real, each complex zero not on the unit circle will be of a set of four conjugate reciprocal zeros of the form 1 * (1 z0z )(1 z0 z )(1 z )(1 z ) * z0 z0 1/z 1 * z 3 证明见课堂笔记 z 5 z 1 z 2 1/z 2 z 4 z 1 * 1/z 1 z 3 *

79 For type II, the system function must have a zero at z=-1. For type III, the system function must have a zero at z=1and z=- For type IV, the system function must have a zero at z=1. type I type II 证明见课堂笔记 type III type IV

80 These constrains on the zeros are important in designing FIR linear-phase systems, since they impose limitations on the types of frequency response that can be achieved. 采用几何法, 根据系统函数的零点可以得到幅度响应的零值 : type I: type II: type III: type IV: H e j H( e ) 0 j0 j ( ) 0, H( e ) 0 H e j0 ( ) 0

81 4. limitations in Application of 4 types of linear phase system M is even M is odd low high band band low high band band pass pass pass stop pass pass pass stop h[n] is even (I) Y Y Y Y Y N Y N (II) h[n] is odd(iii) N N Y N N Y Y N (IV) LET M BE EVEN AT ANY TIME

82 4.6.3 小结 1. h[n] 因果有限长 (FIR) 奇偶对称则广义线性相位 : 广义相位 = - α ω+ β, 其中 α= 对称中心, β= 0, h[n] 偶对称 π/2, h[n] 奇对称 2. 4 类系统的零点特点, 分别在 z=+1 处有零点 ; I II III IV 3. 4 类系统的幅度响应特点, 分别在 ω=0 或 π 处幅度响应为 0; type I: type II: type III: type IV: H e H e j H( e ) 0 j0 j ( ) 0, H( e ) 0 j0 ( ) 类系统用作不同滤波器用途时的限制, 从而指导滤波器设计时正确选用类型

83 思考题广义因果线性相位 FIR,h[n] 实, 长度为 7, h[ n] 0,0 n 6, j/ 4 且 h[n]=-h[6-n], 已知一个零点 0.5e, 写出 A e z e z e z e z z z j / 4 1 / 4 1 / 4 1 / (1 0.5 j )(1 0.5 j j )(1 2 )(1 2 )(1 )(1 ) H(z)=

84 4.6 小结定义线性相位系统和广义线性相位系统 ; 优点 ; 充分条件是单位脉冲响应奇或偶对称 ; 因果 FIR 线性相位系统的分类零点和幅度响应特点重点 : 因果线性相位系统 4 种类型的零点和幅度响应特性 ( 要求会推导 )

85 第 4 章要求幅度相位响应和群延迟的概念 ; 系统函数频率响应和差分方程间互相转换 ; 全通 ( 零点和极点互为共轭反演 ) 最小相位 ( 零点极点全在单位园内 ) 和因果广义线性相位系统 ( 零点共轭和倒数 4 个一组, 没有非 0 极点 ) 的零极点特点 ; 最小相位和全通分解 ; 广义线性相位系统的条件, 分类, 用作滤波器的限制 ( 要求会推 ) 重点和难点 : 广义线性相位系统

86 思考题因果 LTI 系统, 脉冲响应 h[n] 是实函数 7 阶 (1) (2) (3) 稳定 IIR FIR 最小相位全通广义线性相位 X V X X X X V X V X X V V V X X V X

87 第 4 章作业 4-5( 频响 ) 4-12( 最小相位系统 ) 4-13( 频响 ) 4-14( 理想选频滤波器的输出 ) 4-19( 广义线性相位系统 ) 4-23( 理想选频滤波器 ) 4-27(0 相位 ) 4-30( 由频域信息确定时域信号 )

数字信号处理第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式]

数字信号处理第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式] 数字信号处理周治国 2015.11 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器脉冲响应不变变换法 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法一从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通带通带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换