数字图像处理第十一章数字图像处理中的滤波器设计

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羡促时
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1 数字图像处理第十一章数字图像处理中的滤波器设计

2 CH11 图像处理中的滤波器设计 l 序言 l 一低通滤波器法 l 二高通滤波器法 l 三带通和带阻滤波器法 l 四同态滤波 l 五维纳估计器 l 六匹配检测器 l 要点总结 l 上机实习

3 CH11 图像处理中的滤波器设计 l 序言输入图象傅立叶变换滤波器傅立叶反变换附加处理输出图象

4 1 低通滤波器法 l 1) 原理 l ) 理想低通滤波器 l 3) 巴特沃思低通滤波器 l 4) 指数低通滤波器

5 1 低通滤波器法 l 1) 原理 Lenna 加入高斯噪声的 Lenna

6 1 低通滤波器法 Lenna 的谱图像有高斯噪声 Lenna 的谱图像

7 1 低通滤波器法 l 结论 : 图像的边缘和其他尖锐跳跃 ( 如噪声 ) 对傅立叶变换的高频分量有很大贡献 ; l 方法 : 通过一个线性系统, 频域上对一定范围高频分量进行衰减能够达到平滑化 ; l 这种线性系统称为低通滤波器法 (, ) = FuvHuv (, ) (, ) (, ) 是输入, G( u, v) (, ) Guv F u v H u v 是输出是线性系统的传递函数

8 1 低通滤波器法 l ) 理想低通滤波器 (ILPF) l 定义 : 以 D0 为半径的圆内所有频率分量无损的通过, 圆外的所有频率分量完全衰减 (, ) H u v (, ) ( ) ( ) 1 Duv, = 0 Duv, 其中 Duv = u + v l D0 又称为截止频率 > D D 0 0 注意 D 0 的物理意义

9 1 低通滤波器法 v 1 H( u, v ) u H(u,v)

10 1 低通滤波器法如何确定 D 0? l 信号能量 ET : 将 u,v=0,1,n-1 的每一点 (u,v) 的能量相加起来得到傅立叶信号能量 ET T N 1 N 1 N 1 N 1 (, ) (, ) (, ) E = E u v = R u v + I u v u= 0 v= 0 u= 0 v= 0

11 1 低通滤波器法 l 举例 : 观察有高斯噪声 Lenna 图像的傅立叶谱和不同半径下的谱图像的信号能量 E_ T = E _ 5 = E_ 5 E_ T = E _10 = E_10 E_ T = 0.93 E _ 0 = E_ 0 E_ T = E _ 50 = E_ 50 E_ T = 0.941

12 1 低通滤波器法有高斯噪声的 Lenna 图像 D0=5

13 1 低通滤波器法 D0=10 D0=0

14 1 低通滤波器法 D0=50 有高斯噪声的原 Lenna 图像

15 1 低通滤波器法 l 问题 : l (1) 模糊 l 对于半径为 5, 包含了全部 90% 的能量但严重的模糊表明了图片的大部分边缘信息包含在滤波器滤去的 10% 能量之中随着滤波器半径增加, 模糊的程度就减少 l 模糊产生的原理 : 根据卷积定理 (, ) = H( u, v) F( u, v) (, ) = (, ) (, ) G u v g x y h x y f x y l ILPF 的空域图像

16 1 低通滤波器法 l 频域上的滤波相当于空域上的卷积即相当复杂图像中每个象素点简单复制过程因此导致图像的模糊当 D 增加时环半径也增加, 模糊程度减弱

17 1 低通滤波器法 l () 振铃 l ILPF 空域上冲激响应卷积产生两个现象 : l 一是边缘渐变部分的对比度 ; l 二是边缘部分加边 (ringing) l 其原因是冲激响应函数的多个过零点

18 1 低通滤波器法 f(x) h(x) g(x)

19 1 低通滤波器法 l 3) 巴特沃思低通滤波器 (BLPF) n阶巴特沃思 (Butterworth) 滤波器 1 H( u, v) = u + v 1+ D 0 n = 11, 阶巴特沃思滤波器 (, ) H u v = 1+ 1 ( u + v ) D 0 n

20 1 低通滤波器法 v 0. H( 8u, v ) u u 4

21 1 低通滤波器法 D0=10

22 1 低通滤波器法 D0=0 D0=50

23 1 低通滤波器法 l 巴特沃斯低通滤波器的优点是 : l 一模糊大大减少因为包含了许多高频分量 ; l 二没有振铃现象因为滤波器是平滑连续的

24 1 低通滤波器法 l 4) 指数低通滤波器 (elpf) 指数低通滤波器 (, ) H u v = e + v n u [ ] D n = 1的指数低通滤波器 0 (, ) H u v = e u + v [ ] D 0 性质 : 比相应的巴特沃思滤波器要稍微模糊, 但没有振铃现象

25 1 低通滤波器法 v 1 1 H( u, v ) u u 4

26 1 低通滤波器法 D0=10

27 1 低通滤波器法 D0=0 D0=50

28 高通滤波器法 l 1) 原理 l ) 理想高通滤波器 l 3) 巴特沃思高通滤波器 l 4) 指数高通滤波器 l 5) 高斯差分滤波器

29 高通滤波器法 l 1) 原理 l 图像锐化处理的目的是使模糊图像变得清晰 l 通常图像模糊是由于图像受到平均或积分运算, 因此图像锐化采用微分运算 l 在频域处理上, 即采用高通滤波器法 l 注意 : 进行处理的图像必须有较高的信噪比, 否则图像锐化后, 图像信噪比会更低

30 高通滤波器法 l ) 理想高通滤波器 (IHPF) (, ) H u v (, ) ( ) ( ) 0 Duv, = 1 Duv, 其中 Duv = u + v > D D 0 0

31 高通滤波器法 v u t 4

32 高通滤波器法 l 3) 巴特沃思高通滤波器 (BHPF) n阶巴特沃思 (Butterworth) 高通滤波器 1 H( u, v) = n D 0 1+ u + v n = 11, 阶巴特沃思高通滤波器 (, ) H u v = 1+ 1 D 0 ( u + v )

33 高通滤波器法 v u t 4

34 高通滤波器法 l 4) 指数高通滤波器 (EHPF) 指数高通滤波器 (, ) H u v = e D0 [ ] u + v n = 的指数高通滤波器 (, ) H u v = e D0 [ ] u + v

35 高通滤波器法 v u t 4

36 高通滤波器法原图 IHPF BHPF EHPF

37 高通滤波器法有噪声的图采用 BHPF 高通滤波后, 信噪比变小

38 高通滤波器法 l 5) 高斯差分滤波器 (DoG,Difference of Gaussian) 高斯差分滤波器的传递函数定义为 : 两个不同宽度高斯函数之差 ( ) σ1 u σ u Gu = Ae Be A B, σ σ A t B g( t) = e e πσ σ1 t σ 1 πσ 1

39 高通滤波器法 u u 4

40 高通滤波器法 u

41 3 带通和带阻滤波器法 l 1) 理想的带通滤波器 1 f1 u f H( u) = 0 others 1 u0 = ( f1+ f), Δ u = f f1 理想带通滤波器的传递函数可写为 u H( u) =Π * δ( u u0) + δ( u + u0) Δu 理想带通函数的冲激响应为 ( πδut) sin ht ( ) = Δu cos ut 0 πδut ( π )

42 3 带通和带阻滤波器法 G(u) -f -f1 f f t 4-1 -

43 3 带通和带阻滤波器法 l ) 理想的带阻滤波器 0 f1 u f H( u) = 1 others 1 u0 = ( f1+ f), Δ u = f f1 理想带阻滤波器的传递函数可写为 u H( u) = 1 Π * δ( u u0) + δ( u + u0) Δu 理想带阻函数的冲激响应为 ( πδut) sin ht ( ) = δ( t) Δu cos ut 0 πδut ( π )

44 3 带通和带阻滤波器法 G(u) -f -f1 f f t 4-1 -

45 3 带通和带阻滤波器法 l 3) 通用带通滤波器 K( u) ( ) = ( )* δ( ) + δ( + ) 选取非负单峰函数 H u K u u u u u 其冲激响应为 ( ) = ( ) cos( π 0 ) K( u) 为高斯函数 ht kt ut 若 u σ ( ) = * δ( ) + δ ( + ) σ ( ) = cos( π ) 0 0 H u Ae u u u u A ht e ut 0 πσ u, 与冲激偶做卷积 0 0

46 3 带通和带阻滤波器法 t t

47 3 带通和带阻滤波器法 l 4) 巴特沃斯带通滤波器 1 H( u, v) = n DuvW (, ) 1+ D ( u, v) D0 其中 W为带宽, D为带的中心 0

48 3 带通和带阻滤波器法 l 4) 伪彩色处理 l 空域上的灰度彩色变换函数

49 3 带通和带阻滤波器法

50 3 带通和带阻滤波器法 l 频域上的伪彩色处理 ( 举例 ) l 低通滤波器 : 以围绕图像能量 90% 的圆作为截止点, 半径为 5, 傅立叶反变换后作为红色分量 ; l 带通滤波器 : 以围绕图像能量 83% 的圆作为截止点, 带宽以围绕图像能量 93% 的圆, 半径为 4 到 0, 傅立叶反变换后作为兰色分量 ; l 高通滤波器 : 以围绕图像能量 95% 的圆作为截止点, 半径为 50, 傅立叶反变换后作为绿色分量 ;

51 3 带通和带阻滤波器法

52 4 同态滤波 l 目的 : 正常图象是在均匀光强度情况下获得的图象, 实际上光照射是不均匀, 或光强范围动态太大 l 方法 : 为解决光照不均匀的影响, 可用同态滤波来解决 l 原理 : l 光照下景物图象的模型 l f(x,y)=f i (x,y)f r (x,y) l f i (x,y): 随空间位置不同的光强分量 l f r (x,y): 景物反射到眼睛的图象 l f(x,y): 最终获得的图象

53 4 同态滤波

54 4 同态滤波 l 分析 l l l 处理 f i (x,y): 缓慢变化, 频率集中在低频部分 f r (x,y): 包含景物各种信息, 高频分量丰富 ( ) = i ( ) + r ( ) ln (, ) = ln (, ) + ln (, ) ln f x, y ln f x, y ln f x, y FFT f x y FFT f x y FFT f x y i r l 选择一低通滤波函数 H(u,v) 在频域空间处理

55 4 同态滤波

56 5 维纳估计器 l 1) 目的 l 从加性噪声中最优的恢复未知信号自相关函数 f f ( τ) = ( ) ( ) = ( ) ( + τ) R f t f t f t f t dt 自相关函数恒为偶函数, 且在 τ = ( ) F ( τ ) ( ) ( ) f 0处有极大值 R f ( τ) dτ f ( t) dt = 每个函数都有唯一的自相关函数, 但反之不成立能量谱 P u = R = F u

57 5 维纳估计器 l ) 维纳估计器 l (1) 目标 : 已知噪声的能量谱, 输入和输出, 求未被噪声污染的原信号 l () 最优准则 : 采用实际输出与期望输出的均方差最小原信号 st, 噪声信号 nt, ( ) ( ) xt ( ) ht ( ) yt ( ) 含噪声的信号输入, 线性系统冲激响应, 信号输出为 ( ) ( ) ( ) MSE = s t y t dt

58 5 维纳估计器 l (3) 使用冲激响应 h(t) 描述均方误差 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) MSE = s t dt s t y t dt + y t dt = T + T + T T = ( ) ( ) ( ) T = s t h τ x t τ dτdt = R s ( ) ( ) h τ R τ dτ ( ) ( ) ( ) T = h τ h u R u τ dτdu xs x

59 5 维纳估计器 l (4) 最小化 MSE l MSE 最小即滤波器最优的充分必要条件 : 维纳滤波器使得输入 / 输出的互相关函数等于信号 /( 信号 + 噪声 ) 的互相关函数 ( τ) = ( τ) ( ) = ( τ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Pxs ( u) ( u) = P ( u) R h R u R xs o x xy P u H u P u P u H xs o x xy o x

60 5 维纳估计器 l (5) 维纳滤波器设计 ( 1) 对输入信号 xt ( ) 进行数字化 ; ( ) 求输入样本自相关得 Rx ( τ ) 的估值 ; ( 3 ) 计算 Rx( τ ) 的傅立叶变换 Px( u) ; ( 4) 在无噪声情况下对输入信号 st ( ) 进行数字化 ; ( 5) Rxs ( τ ) ( 6 ) 求 Rxs ( τ ) 的傅立叶变换 Pxs ( u) ; ( 7) 计算最优滤波器的传递函数和冲激响应求无噪声信号与输入样本的互相关来估计 ;

61 5 维纳估计器

62 5 维纳估计器 l 3) 举例 l 问题 : 取得无噪声信号的样本不可能 l 替代方案 : 取得噪声信号样本的能量谱 l (1) 信号和噪声互不相关 xs ( τ) = s ( τ) + ( 0) ( 0) ( τ) = ( τ) + ( τ) + ( 0) ( 0) Ps ( u) + N( 0) S( 0) δ ( u) ( u) = Ps( u) + Pn( u) + N( 0) S( 0) δ ( u) Ps ( u) ( u) P ( u) + P ( u) R R N S R R R N S H H x s n o o s n 0 频率傅立叶函数幅值

63 5 维纳估计器 l 4) 维纳去卷积 l 目标 : 信号 s(t) 既受到 f(t) 线性系统模糊, 又受到加性噪声源 n(t) 的污染 l 设计滤波器 g(t) 既能去卷积, 又能抑制噪声信号

64 5 维纳估计器输入信号的频谱 ( ) = ( ) ( ) + ( ) X u F u S u N u 输出信号的频谱 o ( u) ( ) ( ) ( ) N u Y( u) = S( u) + = S u + K u F u H G u Ps ( u) ( ) + ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) s( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) Ps u Pk u N u o = = S u H u F u P u s S u F u F u P u P u + n F u 因此均方意义上最优的去卷积滤波器的传递函数为

65 6 匹配检测器 l 1) 概念 l 观察信号 x(t) 是由原信号 m(t) 受加性噪声 n(t) 污染形成, 经过冲激响应 k(t) 的线性滤波器得到输出 y(t) l 目标 : 判断在噪声污染信号中是否存在信号 m(t) l 输出可由两个分量组成 : ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ut mt kt vt nt kt

66 6 匹配检测器 m(t) x(t) y(t) + K(t) n(t)

67 6 匹配检测器 l ) 匹配检测器 l (1) 最优化准则输出端的平均信噪比作为衡量标准 ε ρ = ε { u ( 0) } v ( 0) ( ) { } 最优化准则是期望线性系统在 mt出现时使 ρ最大, 在 mt ρ可推导为 ρ = 不出现时使 ρ最小 K ( u) M ( u) du ( ) ( ) K u P u du n ( )

68 6 匹配检测器 l () 最大化 ρ值根据 Schwartz 不等式 ρ max = n ( ) ( ) M u P u du l (3) 匹配检测器的传递函数 M ( u) ( ) * Ko ( u) = C P n u

69 6 匹配检测器 l 3) 举例 l (1) 白噪声噪声的频谱是白的, 即 n ( ) P u = N 0 1 因此令 C =, 则 Ko u = M u N 时域中 0 ( ) F ( ) * ( ) ( ) j πut { o } ( ) ( ) 1 * ko t = K u = M u e du = m t u( t) v( t) ( ) = ( ) o( ) = m( ) ( ) = ( ) o ( ) = mn ( ) ( ) ( ) 因此输出端的信号分量和分别为 u t m t k t R t v t n t k t R t 因为 mn, 不相关, 因此 v t 很小 ; 相反 u t 在 t= 0时有最大值

70 6 匹配检测器 l 物理意义 l 匹配检测器即需要检测信号的反转, 这样卷积后即等于需要检测信号的自相关, 因此在出现信号时匹配检测器输出最大值

71 6 匹配检测器 l () 矩形脉冲滤波器 l 根据以上讨论, 矩形脉冲滤波器仍然是一个矩形脉冲, 这样在出现矩形脉冲时, 输出峰值但是输出信号并不等于矩形脉冲

72 要点总结 l 1 三种低通滤波器的函数定义及在图像平滑中的初步应用 ; l 理解理想低通滤波器中模糊和振铃现象; l 3 三种高通滤波器的函数定义及在图像锐化中的初步应用 ; l 4 伪彩色应用及空域和频域转换方法; l 5 同态滤波的思想和步骤; l 6 维纳估计器的思想和步骤, 及其主要应用 ; l 7 匹配检测器的思想和步骤, 及其主要应用

73 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 一卷积 l 1 一维卷积 C=conv(A,B) l 二维卷积 C=conv(A,B) 返回矩阵 C 大小为 (ma+mb-1)*(na+nb-1) C=conv(,shape) l 3 n 维卷积 C=convn(A,B) C=convn(A,B,shape)

74 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 二离散傅立叶变换 l 1 计算离散傅立叶变换矩阵 (DFT) A=dftmtx(n) 其中 n 为采样点, 返回 W 阵例 : t=0:0.01:1; x=sinc(*pi*5*t); A=dftmtx(length(t)); y=x*a; subplot(1,,1),plot(t,x) subplot(1,,),plot(t,y)

75 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 一维快速离散傅立叶变换 y=fft(x) x 为离散取样值,y 为返回的离散傅立叶变换例 : t=(0:1/99:1); x=sin(*pi*15*t)+sin(*pi*40*t); y=fft(x); m=abs(y); f=(0:length(y)-1)*99/length(y); plot(f,m)

76 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 3 频谱移中函数 y=fftshift(x) 当 x 为向量时, 返回直接将 x 中的左右两部分交换 ; 当 x 为矩阵时, 将 x 的左上右下和右上左下四部分两两交换例 : 计算方波信号的 FFT x=[ ]; y1=fft(x); y=fftshift(y1); subplot(1,,1),plot(abs(y1)) subplot(1,,),plot(abs(y))

77 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 4 傅立叶反变换 y=ifft(x) x 为取样值例 : 计算方波的傅立叶反变换 x=[ ]; y=fftshift(ifft(x)); subplot(1,,1),plot(x) subplot(1,,),plot(abs(y))

78 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 5 二维快速傅立叶变换二维 FFT 算法流程 : 1) 按行求图像矩阵的一维 FFT; ) 将中间结果转置 ; 3) 按列求转置矩阵的一维 FFT; B=fft(A) A=ifft(B) 由于舍入误差的原因,ifft(fft(A)) 并不完全等于 A

79 MATLAB 中的信号处理工具箱 l 例 1: 伪彩色处理 ; l 例 : 快速卷积 ( ) = ( ) ( ) F C F A F B 则有 ( ) ( ) 1 C = F F A F B

数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器

数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通

数字图像处理 第 十 一章 数字图像处理中的 滤波器设计

数字图像处理第十一章数字图像处理中的滤波器设计