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2 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课系列教材 微积分 段复建主编张楠李可人刘德光副主编 北京

3 内容简介本书内容包括函数的极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 多元函数微分学 二重积分 无穷级数 微分方程与差分方程等 本书从实际例子出发, 引出微积分的基本概念 基本理论和基本方法, 对某些章节适当降低理论深度, 注重数学在经济管理领域中的应用, 加强应用能力的培养 具有逻辑清晰 注重应用 例题循序渐进 便于自学的特点 可作为高等教育应用型本科经济类专业和管理类专业的教材或教学参考书 图书在版编目 (CIP) 数据微积分 / 段复建主编 北京 : 科学出版社, 009 ( 高等教育 十一五 规划教材 应用型公共基础课系列教材 ) ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 054 唱 Ⅰ 畅微 Ⅱ 畅段 Ⅲ 畅微积分高等学校教材 Ⅳ 畅 O7 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (009) 第 号责任编辑 : 沈力匀周恢 / 责任校对 : 柏连海 责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 科学出版社发行各地新华书店经销 倡 009 年 8 月第 一 版 开本 : /6 009 年 8 月第一次印刷印数 : 印张 : / 字数 : 定价 : 9 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙枛 ) 销售部电话 : 00 唱 编辑部电话 : 00 唱 ( H P04) 版权所有, 侵权必究举报电话 : 00 唱 ; 00 唱 ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

4 主任朱复谦 普通高等教育应用型规划教材编写指导委员会 副主任 ( 按姓氏笔画为序 ) 韦文安刘林海江晓云张玉珠杨志毅 陈炮祥凌惜勤秦成郭永祀梁天坚 委员 ( 按姓氏笔画为序 ) 韦文安刘林海向荣吕建忠孙杰 朱复谦江晓云张玉珠张丽萍杨志毅 沈斌陈炮祥凌惜勤唐新来秦成 莫运佳郭永祀梁天坚雷政权臧雪梅 秘书长蔡世英欧阳平

5 前 言 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学, 是一切科学的基础, 并在各个领 域里有着广泛的应用, 因此认识数学 学习数学 应用数学是 世纪对所有人才的 要求 随着高等教育的发展, 应用型院校也得到了长足的进步, 同时也要看到应用型院校 与普通高校有着不同的教学模式和教学要求 本书就是依据经济类 管理类各专业对微 积分课程的要求和应用型高校的教学特点, 遵循重视基本概念 培养基本能力 力求贴 近实际应用的原则而编写的 在编写过程中, 我们首先突出微积分的基本思想和基本方 法, 重视知识结构, 使学生在总体上把握高等数学的思想方法, 在教学理念上不过分强 调严密论证和研究过程, 适当淡化运算技巧 其次重视例题与习题的选择, 使学生能够 进行循序渐进地学习, 并且每章附有具有一定难度的总习题 拓广了经济应用实例, 让 学生更多了解如何应用数学知识 数学方法去解决经济管理类问题, 增强学生的应用意 识和能力 另外在每章开始增加名人名言, 后面附录增加数学家简介, 目的在于提高学 生对数学的认识, 培养学生学习数学的兴趣 全书共九章, 包括函数的极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 多元函数微分学 二重积分 微分方程与无穷级数, 各节后配有习 题, 各章后配有总习题, 书后附有习题参考答案 本书由多所高校多位同仁集体创作完 成, 第 章由北京航空航天大学北海学院李可人编写, 第 章由广西工学院鹿山学院宁 桂英编写, 第 3 章由广西师范学院师园学院朱雁编写, 第 4 5 章由桂林电子科技大学 信息科技学院段复建编写, 第 6 章由桂林电子科技大学张楠编写, 第 7 章由桂林理工大 学博文管理学院王欣编写, 第 8 章由广西大学行健文理学院刘德光编写, 第 9 章由广西 大学行健文理学院吴正飞编写, 全书由段复建统稿, 桂林电子科技大学信息科技学院黄 坚 李绍刚 王春利同志给予了大力支持, 在此深表谢意 限于编者的水平, 书中不足敬请批评指正 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

6 目 录 前言 第 章函数的极限与连续 畅 函数 畅 极限的定义和性质 0 畅 3 极限运算的法则 3 畅 4 极限存在准则与两个重要极限 6 畅 5 连续函数及其性质 总习题 5 第 章导数与微分 7 畅 导数的概念 7 畅 函数的求导法则 3 畅 3 高阶导数 39 畅 4 函数的微分 40 畅 5 经济函数的边际与弹性 45 总习题 47 第 3 章微分中值定理与导数的应用 49 3 畅 微分中值定理 49 3 畅 洛必达法则 53 3 畅 3 函数的单调性与曲线的凹凸性 55 3 畅 4 函数的极值与最值 58 3 畅 5 函数图形的描绘 6 总习题 3 64 第 4 章不定积分 66 4 畅 不定积分的概念与性质 66 4 畅 换元积分法 70 4 畅 3 分部积分法 76 总习题 4 79 第 5 章定积分 8 5 畅 定积分的概念与性质 8 5 畅 微积分基本定理 84 5 畅 3 定积分的换元积分法与分部积分法 87 5 畅 4 广义积分 9 5 畅 5 定积分的应用 93

7 iv 微积分 总习题 5 97 第 6 章多元函数微分学 99 6 畅 空间解析几何简介 99 6 畅 多元函数的基本概念 0 6 畅 3 偏导数与全微分 04 6 畅 4 多元复合函数与隐函数的微分法 07 6 畅 5 二元函数的极值及其应用 0 总习题 6 5 第 7 章二重积分 6 7 畅 二重积分的基本概念 6 7 畅 二重积分的直角坐标系计算 9 7 畅 3 二重积分的极坐标系计算 3 总习题 7 5 第 8 章无穷级数 6 8 畅 常数项级数的基本概念 6 8 畅 正项级数及其审敛法 9 8 畅 3 任意项级数及其审敛法 33 8 畅 4 幂级数 34 总习题 8 4 第 9 章微分方程与差分方程 43 9 畅 微分方程的基本概念 43 9 畅 一阶微分方程 45 9 畅 3 可降阶的高阶微分方程 50 9 畅 4 二阶常系数线性微分方程 53 9 畅 5 差分方程简介 57 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 总习题 9 64 附录 数学家简介 66 附录 主要习题参考答案 73 主要参考文献 89

8 数学是科学之王 高斯 第 章函数的极限与连续 函数是对现实世界中各种变量之间的相互依存关系的数学反映, 是微积分学的主要 研究对象 极限是微积分的理论基础, 是研究函数的基本分析方法 ; 连续是函数的一个重 要性质 畅 畅 区间与邻域 畅 函数 本书中常用的数集有自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 与实数集 R 区间是微积分 中常用的一类数集, 包括有限区间和无限区间, 记号和定义如下 : () 开区间 :( a,b) = { a < < b} () 闭区间 :[ a,b] = { a b} (3) 半开半闭区间 :[ a,b) = { a < b} ; 其中 a,b 是两个实数 ( a,b] = { a < b} 以上区间都称为有限区间,a 和 b 称为区间的端点, 数 b - a 称为区间的长度 从数轴 上看, 这些有限区间是长度有限的线段 (4) 无限区间 :[ a,+ ) = { a } ; ( a,+ ) = { a < } ; ( -,b] = { b} ; ( -,b) = { < b} 特别地, 全体实数的集合 R 也可表示为无限区间 ( -,+ ) 为 ( a,b),[ a,b],[ a,+ ) 和 ( -,b) 在数轴上的表示如图 畅 所示 邻域也是微积分中常常用到的数集表示方法 定义 畅 设 a 与 δ 是两个实数, 且 δ > 0, 数集 { - a < δ} 称为点 a 的 δ 邻域, 记 U( a,δ) = { - a < δ} 其中, 点 a 称为邻域的中心,δ 称为邻域的半径, 如图 畅 所示 若把邻域 U( a,δ) 的中心点 a 去掉, 所得到的邻域称为点 a 的去心的 δ 邻域, 记为 礋 U( a,δ)

9 微积分 图 畅 图 畅 畅 畅 一元函数 定义 畅 设,y 是两个变量,D 是一个给定的非空数集, 如果对于 D 内的每一个, 按照某种规则 f, 都有唯一确定的 y 值与之对应, 则称变量 y 是 的函数, 记为 y = f( ), D, 其中 称为自变量,y 称为因变量, 的变化范围 D 称为函数的定义域, 对应的 y 值的变 化范围称为函数 y = f( ) 的值域, 记为 D f 在平面直角坐标系下, 点集 {(,y) y = f( ), D}, 称为函数 y = f( ) 的图像 例 畅 求下列函数的定义域 () f( ) = 3 - () f( ) = ln( - + ) (3) f( ) = arccos( + 3) (4) f( ) = arcsin( - 3) 解 () 在分式中, 分母不能为 0, 所以 - 0, 解得 ±, 即定义域为 ( -, - ) ( -,) (,+ ) () 在对数式中, 真数必须大于 0, 所以有 - + > 0, 解得, 即定义域为 ( -,) (,+ ) (3) 反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于, 所以有 + 3, 解得 - -, 即定义域为 [ -,- ] (4) 函数为两部分的代数和, 此时函数的定义域应该为两部分定义域的交集 分别求 得两部分定义域为 [,] 和 3,+, 可得函数定义域为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 3,

10 第 章函数的极限与连续 3 畅 畅 3 初等函数 畅基本初等函数及其图像 () 常值函数 : y = c ( c 为常数 ) () 幂函数 : y = μ ( μ 为实数 )( 图 畅 3) 图 畅 3 (3) 指数函数 : y = a ( a > 0 且 a )( 图 畅 4) 图 畅 4 (4) 对数函数 : y = log a ( a > 0 且 a )( 图 畅 5) 图 畅 5

11 4 微积分 (5) 三角函数 : y = sin,y = cos,y = tan,y = cot ( 图 畅 6) 图 畅 6 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo (6) 反三角函数 : y = arcsin,y = arccos,y = arctan,y = arccot ( 图 畅 7) 以上 6 类函数统称为基本初等函数 畅反函数定义 畅 3 设函数 y = f( ) 的定义域为 D, 值域为 D f 对于值域 D f 中的任意数值 y, 在定义域上至少可以确定一个数值 与 y 对应, 且满足关系式 f( ) = y

12 第 章函数的极限与连续 5 图 畅 7 如果把 作为自变量,y 作为因变量, 则上述关系式可以确定一个新函数 = φ( y)( 或 = f - ( y)), 该函数称为 y = f( ) 的反函数 反函数的定义域为 D f, 值域为 D 需要注意的是我们通常是用 表示自变量,y 表示因变量, 因此 y = f ( ) 的反函数 = φ( y) 常改写为 y = φ( )( 或 y = f - ( )) 函数 y = f( ) 与其反函数 y = f - ( ) 的图像关于直线 y = 对称 例 畅 求下列函数的反函数 () y = - () y = sin( + ) 解 () 由 y = -, 解得 = y + 即 y = + 是 y = - 的反函数 交换 和 y, 得 y = + () 由 y = sin( + ), 解得 = arcsin y - 畅交换 和 y, 得 y = arcsin - 即 y = arcsin - 是 y = sin( + ) 的反函数 3 畅复合函数 定义 畅 4 设函数 y = f ( u) 的定义域为 U, 而函数 u = φ( ) 的定义域为 D, 值域为 Dφ, 且 Dφ 彻 U 则称函数 y = f[ φ( )] 为 的复合函数 其中, 称为自变量,y 称为因变 量,u 称为中间变量 例 畅 3 设 y = f( u) = 0 u,u = φ( ) = 3 -, 求 y = f[ φ( )] 解 y = f[ φ( )] = 0 u = 例 畅 4 设 y = f( u) = arctan u,u = φ( v) = v,v = ψ( ) = e, 求 y = f{ φ[ ψ( )]} 解 y = f{ φ[ ψ( )]} = arctan u = arctan v = arctan e = arctane 例 畅 5 求下列函数的复合分解式 () y = lnsin ()e cos

13 6 微积分 解 () 所给函数是由 y = ln u,u = v,v = sin t,t = 等 4 个函数复合而成 () 所给函数是由 y = e u,u = cos v,v = 3 个函数复合而成 4 畅初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的, 并能用一个 式子表示的函数, 称为初等函数 例如,y = e -,y = ln(sin + cos ),y = 等都是初等函数 需要注 意的是分段函数不是初等函数, 例如, 符号函数 y = sgn = 畅 畅 4 函数的性质 畅函数的有界性, > 0 0, = 0 -, < 0 定义 畅 5 设函数 y = f( ) 在区间 D 上有定义, 若存在一个正数 M, 使得对于任意 D, 恒有 f( ) M 成立, 则称函数 y = f( ) 在 D 上是有界函数 如果不存在这样的 正数 M, 则称 y = f( ) 在 D 上是无界函数 畅函数的单调性 定义 畅 6 设函数 f( ) 的定义域为 D, 区间 I 彻 D 如果对于区间 I 的任意两点,, 当 < 时, 恒有 f( ) < f( ) 成立, 则称函数 f( ) 在区间 I 上是单调增加的 ; 如 果对于区间 I 的任意两点,, 当 < 时, 恒有 f( ) > f( ) 成立, 则称函数 f( ) 在区间 I 上是单调减少的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 例如, 函数 y = 在区间 [0,+ ) 上是单调增加的, 在区间 ( -,0] 上是单调减少 的, 在区间 ( -,+ ) 上不是单调的 而 y = 3 在区间 ( -,+ ) 上是单调增加的 3 畅函数的奇偶性 定义 畅 7 设函数 f( ) 的定义域 D 关于原点对称 若对于任意 D, 恒有 f( - ) = f( ), 则称 f( ) 为偶函数 ; 若对于任意 D, 恒有 f( - ) = - f( ), 则称 f( ) 为奇函数 偶函数的图形关于 y 轴是对称的, 奇函数的图形关于原点是对称的, 如图 畅 8 所示 例如, 函数 y = 是偶函数, 因为 f( - ) = ( - ) = = f( ) 而 y = 3 是奇函数, 因为 f( - ) = ( - ) 3 = - 3 = - f( ) 4 畅函数的周期性 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 定义 畅 8 设函数 f( ) 的定义域为 D 如果存在常数 T > 0, 使得对任意的 D, 有 ( ± T) D, 且 f( + T) = f( ), 则称 f( ) 为周期函数,T 称为 f ( ) 的周期

14 第 章函数的极限与连续 7 图 畅 8 通常我们说的周期函数的周期指的是最小正周期 例如,sin cos 都是以 π 为周期的周期函数, 函数 tan 是以 π 为周期的周期函数 例 畅 6 讨论函数 y = π e - 的单调性 奇偶性 解函数 f( ) = π e - 的定义域为 ( -,+ ), 在区间 [0,+ ) 上, 设 0 < <, 则有 - > -, 也即 f( ) 在区间 ( -,0] 上递增 由于 f( - ) = π e - π e - ( - ) = > π e - π e -, 故 f( ) 在区间 [0,+ ) 上递减 ; 同理可得 = f( ), 故 f( ) 是偶函数 畅 畅 5 经济学中的常用函数 畅需求与供给函数需求函数是指某一特定时期内, 市场上某种商品的可能购买量与决定这些购买量的各因素之间的数量关系 假定其他因素不变, 决定需求量的因素就是价格 则需求函数就是商品需求量与商品价格这两个变量间的数量关系, 即 Qd = D( P), 其中 Qd 表示需求量,P 表示价格,D( P) 为需求函数 需求函数的反函数 P = P( Qd ) 称为价格函数 供给函数是指某一特定时期内, 市场上某种商品的可能供给量与决定这些供给量的各因素之间的数量关系, 则供给函数就是商品需求量与商品价格这两个变量间的数量关系, 即 Qs = S( P), 其中 Qs 表示供给量,P 表示价格,S( P) 为供给函数 函数 Qd = ap + b 称为线性需求函数,Qs = cp + d 称为线性供给函数, 其中 a,b,c,d 是 常数 把需求函数曲线与供给函数曲线在同一坐标系中表示 ( 图 畅 9) 需求曲线与供给曲线的交点的横坐标 p0, 就是该商品的市场需求量与供给量相等的价格, 称 p0 为市场均衡价格 需求曲线与供给曲线的交点的纵坐标 q0, 即 q0 = Qs = Qd, 称 q0 为市场均衡数量

15 8 微积分 图 畅 9 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求 的现象, 而当市场价格低于均衡价格时, 将出现供不 应求的现象 根据市场情况不同, 需求函数与供给函数还可 以是二次函数 多项式函数 指数函数甚至是较复杂 的初等函数 但其基本规律相同, 都可以找到相应的 市场均衡点 ( p0,q0 ) 为 求该商品的市场均衡价格与市场均衡量 整理得 解由供需条件 Qs = Qd, 可得 例 畅 7 某种商品的供给函数和需求函数分别 Qd = - p + 30 p + 0, Qs = p + 6 p, - p + 30 p + 0 = p + 6 p, p - 4 p - 0 = 0, 解此二次方程得 p =,p = - 5 显然 p 不合题意, 舍去 因此, 均衡价格为 p =, 市场均衡量为 q = p + 6 p = 336 畅成本 收益与利润函数 产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示 了总成本与产量 ( 或销售量 ) 之间的依赖关系 产品成本可分为固定成本和可变成本两部 分 固定成本 C0 与产量 q 无关, 如设备维修费 企业管理费等 ; 可变成本 C ( q) 随产量 q 变化而变化, 如原材料费等 以上两部分之和即为成本函数 C( q) = C0 + C ( q) 当产量 C( q) q = 0 时, 对应的成本函数 C(0) 就是固定成本 而 C( 珚 q) =, 称为平均成本函数 q 销售某产品的收益 R, 等于产品的单价 p 乘以销售量 q, 即 R = p q, 称其为收益函 数 而销售利润 L 等于收益 R 减去成本 C, 即 L = R - C, 称其为利润函数 而珚 L( q) = L( q) q, 称为平均利润函数 当 L = R - C > 0 时, 生产者盈利 ; 当 L = R - C < 0 时, 生产者亏损 ; 当 L = R - C = 0 时, 生产者盈亏平衡 使 L( q) = 0 的点 q0 称为盈亏平衡点 例 畅 8 设某产品的需求函数为 q = 00-4 p, 成本函数为 C = q, 求销售量为 q 时的收益与平均利润 解价格函数是需求函数的反函数, 由此可得 从而得到收益为 平均利润为 p = 5-0 畅 5 q, R = pq = 5 q - 0 畅 5 q, 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

16 珚 L = L( q)/ q = ( R - C)/ q = 5-0 畅 5 q - 00 q - 第 章函数的极限与连续 9 3 畅库存函数我们在此仅讨论需求量是确定的, 不允许缺货的简单库存函数 对于库存模型, 我们假设 : () 计划期为 T, 在计划期 T 内对货物的需求量是确定的, 记为 Q () 进货均匀, 在计划期 T 内分 n 次进货, 每次进货量为 q = Q n, 于是 n = Q q (3) 每批进货费用为常数, 记为 C, 每件货物储存单位时间的储存费用为常数, 记为 S (4) 货物均匀投放市场 : 此时最大库存量就是每次进货量 q, 随后均匀降至零 一旦库存货量为零, 立即得到货物补充 此时货物的库存量 q( t) 如图 畅 0 所示 图 畅 0 在上述假设下, 总储存费用为 E = q S T, 总进货费用为 E = Cn = C Q q, 于是总费用 为 E = E + E = qs T 习题 畅 + CQ q 畅求下列函数的定义域 () y = - () y = - (3) y = ln( - ) (4) y = arcsin + 畅设函数 f( ) = 3 畅讨论下列函数的单调性, 奇偶性 + 9, - 4 <, 求 f( - ),f(0),f(),f(5) -, < 6 () y = tan () y = +, ( -,4) (3) y = , (0,+ ) (4) y = e - e - e + e -

17 0 微积分 (5) y = ln( + + ) 4 畅求下列函数的反函数 () y = () y = 畅设 f( ) = 3 -,φ( ) = e -, 求 f[ φ( )],φ[ f( )] 6 畅据市场调查, 某产品供给函数和需求函数分别为 Qd = 35 p - 80,Qs = p, 求该产品的市场均衡价格与市场均衡量 7 畅设某商品的成本函数与收益函数是 C( q) = q - q,r( q) = q, 试求 : () 该商品的利润函数 () 销量分别为 4 和 8 时, 盈利还是亏损? 如果盈利, 求总利润及平均利润 畅 极限的定义和性质 极限的思想是由求某些实际问题的精确解而产生的 早在魏晋时期, 我国的杰出数学 家刘徽就利用圆内接正多边形来推算圆面积 刘徽的割园术说 : 割之弥细, 所失弥少, 割 之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣 其中隐含了深刻的极限思想 畅 畅 数列的极限 按一定规则排列的无穷多个数构成了一个数列,,3,,n, 简记为 { n} 其中每个数称为数列的项,n 称为通项或一般项 例如, (), 4, 8,, n, ; 通项为 n = n ( n =,, ), 记做 n (), 3,3 4,, n n +, ; n 通项为 n = n + ( n =,, ), 记做 n n + (3),-, 3,,( - ) n - n, ; 通项为 n = ( - ) n - n ( n =,, ), 记做 ( - ) n - n (4),-,,,( - ) n -, ; 通项为 n = ( - ) n - ( n =,, ), 记做 {( - ) n - } (5),, 3,, n, ; 通项为 n = n( n =,, ), 记做 { n} 可见, 数列随着 n 的无限增大,n 的变化趋势是不同的, 如果当 n 无限增大时,n 无 限趋近常数 a, 则称数列 { n} 以 a 为极限, 严格的数学定义如下 定义 畅 9 设 { n} 为一个数列,a 为一个常数, 如果对于任意给定的正数 ε, 总存在一 个正整数 N, 使得当 n > N 时, 有 n - a < ε, 则称 a 是数列 { n} 的极限, 或称数列 { n} 收敛于 a, 记做 = a 或 n a( n ) n 如果数列没有极限, 则称数列是发散的 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

18 上例中收敛数列的极限为 n = 0, n n 第 章函数的极限与连续 n n + =, ( - ) n - n n = 0 ; 发散数列为 {( - ) n - } 和 { n} = { n} 其中数列 { n } = { n}, 随着 n 的无限增大,n 越来越趋近于, 通常记为 n n = 下面是数列极限的性质 性质 畅 ( 极限的唯一性 ) 若 n n = a, 且 n n = b, 则 a = b 性质 畅 ( 有界性 ) 若数列 { n} 收敛, 则存在一个正数 M, 使得对任意的 n N, 恒有 n M 性质 畅 3( 保号性 ) 若 n n = a > 0( 或 a < 0), 则存在正整数 N, 当 n > N 时, 有 n > 0( 或 n < 0) 推论 畅 若收敛的数列 { n} 从某一项起有 n 0( 或 n 0), 则 a 0( 或 a 0) 畅 畅 函数的极限 畅自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 畅 0 设函数 f( ) 当 大于某一正数时有定义, 如果存在常数 A, 对于任意 给定的正数 ε, 总存在一个正数 X, 使得当 > X 时, 有 则称 A 是函数 f ( ) 当 的极限, 记做 例 畅 9 证明 = 0 f( ) - A < ε, f( ) = A 或 f( ) A( ) 证明设 f( ) =, 对于任意的 ε> 0, 要使 f( ) - 0 = - 0 = < ε, 只要取 > ε 既可 因此, 对于任意的 ε> 0, 取 X = ε, 则当 > X 时, 恒成立, 故 = 0 例 畅 0 讨论极限 cos f( ) - 0 = - 0 解观察函数 y = cos 的图形如图 畅 所示, 当 的绝对值无限增大时, 对应的函 数值 y 在区间 [ -,] 上振荡, 所以极限 cos 不存在 畅自变量趋于有限值时函数的极限 定义 畅 设函数 f( ) 在点 0 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A, 对于 任意给定的正数 ε, 总存在一个正数 δ, 使得当 满足 0 < - 0 < δ 时, 有 < ε

19 微积分 图 畅 则称 A 是函数 f ( ) 当 0 时的极限, 记做 否则称当 0 时,f( ) 的极限不存在 f( ) - A < ε, 0 f( ) = A 或 f( ) A( 0 ) 当自变量 从 0 的左侧 ( 或右侧 ) 趋于 0 时, 函数 f( ) 无限趋近于常数 A, 则称常 数 A 为函数 f ( ) 当 0 时的左极限 ( 或右极限 ), 记为 f( ) = A 或 f( ) = A 定理 畅 当 0 时, 函数 f( ) 以常数 A 为极限的充要条件是 f ( ) 在点 0 的左 右极限都存在且都等于 A 例 畅 证明 (3 - ) = 4 证明对于任意的 ε> 0, 要使 = 3 - < ε, 只要 - < ε 3 既可 因此, 对于任意的 ε> 0, 取 δ = ε 3, 则当 0 < - < δ 时, 恒成立, 故 (3 - ) = 4 例 畅 设函数 f( ) = 判断当 0 时, 函数 f( ) 的极限是否存在 解 0 - f( ) = ( - ) = - ; < ε -, < 0 0, = 0, +, > 0 f( ), 因此当 0 时, 函数 f( ) 的极限不存在 畅函数极限的性质 f ( ) = 0 + ( + ) =, 于是有 0 - 性质 畅 4( 唯一性 ) 若函数极限存在, 则其极限是唯一的 f ( ) 性质 畅 5( 局部有界性 ) 若极限 0 f( ) 存在, 则函数 f( ) 必在 0 的某个去心邻域 内有界 若极限 f( ) 存在, 则存在一个正数 X, 使对 X,f( ) 有界 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

20 第 章函数的极限与连续 3 性质 畅 6( 局部保号性 ) 若 0 f( ) = A, 且 A > 0( 或 A < 0), 则在 0 的某个去心邻 域内恒有 f( ) > 0( 或 f( ) < 0) 若 f( ) = A, 且 A > 0( 或 A < 0), 则存在一个正数 X, 使对 X,f( ) > 0( 或 f( ) < 0) 推论 畅 若 0 f( ) = A, 且在 0 的某个去心邻域内恒有 f( ) 0( 或 f( ) 0), 则 A 0( 或 A 0) 若 f( ) = A, 且在存在一个正数 X, 使对 X, 恒有 f ( ) 0 ( 或 f( ) 0), 则 A 0( 或 A 0) 习题 畅 畅观察一般项 n 如下的数列 { n} 的变化趋势, 如果有极限, 写出它们的极限 () nπ n () nsin ( - 3) (3) n = (4) n = 畅分析下列函数变化趋势, 求极限 () 3 ( + ) () + 3 (3) + ln 4 - (4) + 3 +, n 为奇数 n - n +, n 为偶数 3 畅当 时,y = + - 问 X 等于多少, 使当 > X 时, y - < 0 畅 0? 4 畅讨论 f( ) = 当 + 和 0 时的极限 畅 3 畅 极限的四则运算法则 畅 3 极限运算的法则 定理 畅 在 的同一变化过程中, 若 f( ) = A, g( ) = B, 则 : () [ f( ) ± g( )] = f( ) ± g( ) = A ± B () [ f( ) g( )] = f( ) g( ) = A B (3) 当 g( ) 0 时, f( ) g( ) = A B 推论 畅 3 设 f( ) 存在,c 为常数,n 为正整数, 则 : () [ c f( )] = c f( ) () [ f( )] = [ f( )], 可进一步推出 [ f( )] n = [ f( )] n (3) [ f( )] n = [ f( )] n, 当 n 为偶数时, 要求 f( ) > 0 例 畅 3 求下列极限 () ( - + 7) () - 4

21 4 微积分 极限 - 3 (3) 3 (4) (5) 解 () ( - + 7) = = ( ) () 因为 ( - 4) 0, 所以 = = 7 = ( + 4-6) ( - 4) = = 3 (3) 当 3 时, 分子分母的极限都是 0, 因此应先约去趋于零的因子 ( - 3) 后再求 = 3-3 ( - 3)( + ) = 3 + = 5 (4) 当 5 时,( + 4-3) 0, 因此应该先分母有理化消去分母中趋于零的因子 后再求极限 = ( - 5)( ) 5 ( + 4-3)( ) = ( - 5)( ) 5-5 = 5 ( (5) 先用 3 去除分子分母, 然后取极限 这是因为 a n 一般有公式 = a 畅 3 畅 极限的复合运算 ) = = = a n n = = 3 3 = 0 a0 m + a m- + + am b0 m + b n- + + bn = a0 b0, n = m 0, n > m, n < m 定理 畅 3( 复合函数的极限运算法则 ) 设函数 y = f [ g( )] 是由函数 y = f ( u) 与函 数 u = g( ) 复合而成, 若 且在 0 的某去心邻域内有 g( ) u0, 则 例 畅 4 求下列极限 g( ) = u0, u u0 f( u) = A, 0 f[ g( )] = u u0 f( u) = A 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

22 第 章函数的极限与连续 5 () π cos () e 3 - 解 () 令 u =, 则函数 y = cos 可以视作由 y = cos u,u = 复合而成 因为 π,u = π, 且 u π 时,cos u 0, 所以 π cos = cos u = 0 u π () 令 u = 3 -, 3 可以得出 - = 3, 且 u 3 e u = e 3, 所以 畅 3 畅 3 无穷小与无穷大 畅无穷小 e 3 - = u 3 e u = e 3 定义 畅 在自变量的某个变化过程中,f( ) 极限为零, 则称 f( ) 是这一变化过程 中的无穷小量, 简称无穷小 例如, = 0, 所以函数 y = 是当 时的无穷小 ; 0 sin = 0, 所以函数 y = sin 是当 0 时的无穷小 定理 畅 4 f( ) = A 的充分必要条件是 f ( ) = A + α, 其中 α = 0 证明必要性 : 设 f( ) = A, 令 α = f( ) - A, 则 : f( ) = A + α, 且 α = [ f( ) - A] = 0 ; 充分性 : 设 f( ) = A + α, α = 0, 则 f( ) = ( A + α) = A 性质 畅 7 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 性质 畅 8 有限个无穷小之积仍是无穷小 性质 畅 9 有界函数乘无穷小仍是无穷小 例 畅 5 求 0 sin 解因 sin, 即 sin 是有界变量 ; 且当 0 时, 是无穷小 根据性质 畅 9, 有 0 sin = 0 畅无穷大 定义 畅 3 在自变量 的某个变化过程中, 若对任意给定的正数 M, 总有 f( ) > M, 则称 f( ) 在这个变化过程中的无穷大量, 简称无穷大 例如, 当 0 时, 是无穷大 ; 当 + 时,e,ln 是无穷大 在某一过程中为无穷大的函数 f( ), 按通常意义来说, 极限是不存在的 但为了方便

23 6 微积分 描述函数这一性态, 也说 函数的极限是无穷大, 并记为 f( ) = 如果将定义中的 f( ) > M, 则称函数在该变化过程中为正无穷大, 记为 f( ) = + 如果将定义中的 - f( ) > M, 则称函数在该变化过程中为负无穷大, 记为 f( ) = - 例如, 当 0 + 时, 是正无穷大,ln 是负无穷大 定理 畅 5 在自变量的同一变化过程中, 如果 f ( ) 为无穷大, 则 之, 如果 f( ) 为无穷小, 且 f( ) 0, 则 为无穷大 f( ) 例如, 当 0 时, 3 是无穷小量, 而是无穷大量 3 习题 畅 3 畅求下列极限 () () ( n - ) ( n - )( n + )(3 n - ) (3) n (4) n n n (5) (6) + - (7) + ( ) 0 ( - ) 40 (9) (3 + ) 60 + (8) ( + h) - (0) h 0 h () ( + - ) () 为无穷小 ; 反 f( ) 畅两个无穷小的商是否一定是无穷小? 无穷个无穷小的和是否一定是无穷小? 试 举例说明 3 畅函数 y = sin 在 ( -,+ ) 内是否有界? 当 + 时, 这个函数是否为无穷 大? 为什么? 畅 4 畅 极限存在准则 畅 4 极限存在准则与两个重要极限 定理 畅 6( 夹逼准则 ) 如果函数 f( ),g( ),h( ) 在同一变化过程中满足 g( ) f( ) h( ), 且 g( ) = h( ) = A, 那么极限 f( ) 存在且等于 A 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

24 第 章函数的极限与连续 7 例 畅 6 证明下列等式 () n + n = () n n + n + n + n + + n + n n = (3) 0 cos = 解 () 因为 + n + n = + n, 而 n = n + n =, 由夹逼 准则, n + n = () 因为 n + n n n + i n n + n ( i n), 故 n n + n n < n i = n + i n < n n + n, 而 n n n + n n = n n n + n =, 故 n n + n + n + n + + n + n n = (3) 因为 cos = - sin > -, 故 0 < - cos <, 由夹逼准则, 得 0 ( - cos ) = 0, 即 0 cos = 定理 畅 7( 单调有界准则 ) 单调有界数列必有极限 畅 4 畅 两个重要极限 sin 畅 0 = 证明由于 sin 是偶函数, 所以只讨论 0 + 的情况 如图 畅, 在单位圆中, 设 A OB = 0 < < π, 点 A 处的切线与 OB 的延长线交于 D, 因为 BC O A, 所以 sin = BC, = AB,tan = AD, 由 O A B 面积 < 扇形 O A B 面积 < O A D 面积, 得 整理可得 sin < < tan, cos < sin <, 图 畅

25 8 微积分 sin 由 0 cos = 及夹逼准则, 即得 0 = tan 例 畅 7 求极限 0 tan sin 解 0 = 0 例 畅 8 求极限 0 sin a sin b cos = 0 sin ( a 0,b 0) 0 cos = 解分子分母同时除以, 然后利用例 畅 7 的结果 0 sin a sin b = 0 sin( - ) 例 畅 9 求极限 - sin a sin b 解设 t = -, 则当 时,t 0 有 sin( - ) - 例 畅 0 求极限 0 - cos = 0 0 = ( + )sin( - ) ( - )( + ) 解先用三角恒等公式变形分子, 再进行计算 - cos 0 = 0 arcsin 例 畅 求极限 0 sin = 0 sin a sin b = a b sin t = ( + ) t 0 t sin 解设 t = arcsin, 则 = sin t, 且当 0 时,t 0 有 0 例 畅 求极限 sin 3 arcsin = t 0 解设 t =, 则 = t, 且当 时,t 0 有 sin 3 = t 0 t sin t = t sin t 3 = 3 = = = 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 畅 + = e 利用单调有界准则可以证明这个等式, 在此不予证明, 其中 e = 畅 是 个无理数 例 畅 3 求极限 + + 3

26 第 章函数的极限与连续 9 解 = = + 3 = e 例 畅 4 求极限 - 解设 t = -, 则 = - t, 且当 时,t 有 - = t + t - t = t + t t - = e - 例 畅 5 求极限 0 ( + ) 解设 t =, 则 = t, 且当 0 时,t 有 0 ( + ) = t + t t = e 本例结果可作为公式直接使用 例 畅 6 求极限 0 ( - 5 ) 解设 t = - 5, 则 = - t/5, 且当 时,t 有 0 ( - 5 ) = t 0 ( + t) - 0 t = t 0 ( + t) t - 0 = e - 0 例 畅 7 求极限 解 = 0 ( + ) 0 ( - ) = = e e - = e 在实际应用中, 利用复合函数的极限运算法则, 可以将这个极限变形, 例如, 例 畅 8 求极限 解 f( ) ( + f( )) f( ) 0 畅 4 畅 3 无穷小的比较 = = e = e = e, = f( ) f( ) (3 + ) f( ) = e 两个无穷小的和 差 积仍是无穷小, 但是两个无穷小的商, 却会出现不同情况 例如, 当 0 时, 3 sin 都是无穷小, 而 0 sin =, 0 3 = 0 = 0, sin 0 3 = 0 sin = 可见两个无穷小的商的极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的 快慢 程度 为了比 较无穷小, 引入下面的定义 : 定义 畅 4 设 α,β 是同一变化过程中的两个无穷小,

27 0 微积分 穷小 () 若 α β = 0, 则称 α 是比 β 高阶的无穷小, 记做 α = o(β) ; 也称 β 是比 α 低阶的无 () 若 α β = C( C 0), 则称 α 与 β 是同阶的无穷小 特别的, 若 C =, 即 α β =, 称 α 与 β 是等价的无穷小, 记做 α ~ β 由定义可知, 当 0 时, 3 = o( ), 而 与 sin 是同阶的无穷小, 与 sin 是等价 的无穷小 根据等价无穷小的定义, 可以证明, 当 0 时, 有下列常用等价无穷小 : sin ~ ; tan ~ ; arcsin ~ ; arctan ~ ; - cos ~ ; ln( + ) ~ ; e - ~ ; a - ~ ln a ; ( + ) α - ~ α(α 0) 定理 畅 8( 等价替换 ) 设 α ~ α,β ~ β, 且 α 存在, 则 β 证明 α β = α α α β β β α β = α β = α α α β β β = α β 求两个无穷小比值的极限时, 分子分母都可以用等价无穷小替换, 从而简化计算 tan3 例 畅 9 求 0 sin 解当 0 时,tan3 ~ 3,sin ~, 有 0 - cos 例 畅 30 求 0 ( + ) 7 - tan3 sin = 0 3 = 3 4 解当 0 时, - cos ~ ( ) =,( + ) 7 - ~ 7, 有 习题 畅 4 畅求下列各极限 () 0 sin (3) k ksin k 0 - cos ( + ) 7 - = 0 = 7 7 () 0 sin3 tan sin (4) 0 arctan sin cos - (5) 0 (6) 0 sin tan (7) 0 ( + ) - (8) 0 ( - ) 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

28 (9) () (0) n + n () 畅利用等价无穷小的性质求下列极限 : sin n () 0 sin m (3) ( - ) 3 - tan( - ) 畅 5 畅 函数的连续性 畅连续函数的定义 () 0 (4) 0 第 章函数的极限与连续 - n ln( + ) cos - tan - sin 3 畅 5 连续函数及其性质 客观世界的许多现象都是连续变化的, 如气温的变化 物体的运动 植物生长等 这些 连续不断发展变化的事物反映在数学上就是函数的连续性 定义 畅 5 设函数 y = f( ) 在点 0 的某邻域内有定义 如果 则称函数 f( ) 在点 0 处连续 f( ) = f( 0 ), 0 设函数 y = f( ) 在点 0 的某邻域内有定义, 记为 Δ = - 0, 称之为自变量 在 0 处的增量 记相应于因变量的增量为 Δ y = f( ) - f( 0 ) = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 函数在 0 点的连续性还可以有如下定义 定义 畅 6 设函数 y = f( ) 在点 0 的某邻域内有定义, 若有 则称函数 f( ) 在点 0 处连续 Δ y = 0, Δ 0 例 畅 3 讨论函数 f( ) = 在 = 处的连续性 解函数 f( ) = 在点 = 的任意邻域内有定义,f() = 4, = 4, 即 = 4 = f() 由函数连续的定义可知, 函数 f( ) = 在 = 处连续 例 畅 3 证明函数 y = sin, 0 在 = 0 处连续 0, = 0 证明 f(0) = 0, 当 0 时, 是无穷小,sin 是有界函数, 故 按定义, 函数 f( ) 在 = 0 处连续 0 sin = 0, 且 0 f( ) = f(0), 类似单侧极限的概念, 可以定义函数在一点 0 处左 右连续的概念 定义 畅 7 如果 + 0 f( ) = f( 0 ), 称函数 f( ) 在点 0 处右连续 ; 如果 - 0 f( ) =

29 微积分 f( 0 ), 称函数 f( ) 在点 0 处左连续 定理 畅 9 函数 f( ) 在点 0 处连续的充分必要条件是函数 f( ) 在点 0 处既左连 续又右连续 例 畅 33 证明函数 y = 证明 +, +, >, 在 = 处连续 f( ) = ( + ) = 4, 于是函数 f( ) 在 = 处连续 f( ) = - = 4,f() = 4, 有 f( ) = f( ) = f( 0 ) = 4, - 如果函数 f( ) 在区间 ( a,b) 的每一点都连续, 则称 f( ) 是区间 ( a,b) 上的连续函数 如果函数在开区间 ( a,b) 内连续, 并且在左端点 = a 处右连续, 在右端点 = b 处左连续, 则称 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续 得 即 连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线 例 畅 34 证明函数 y = sin 在定义域内连续 证明函数 y = sin,y = cos 的定义域为 ( -,+ ) 任取 0 Δ y = sin - sin 0 = cos Δ y Δ sin - 0 由夹逼定理知 Δ 0 Δ y = 0, 故函数 y = sin 在定义域内连续 同理可证函数 y = cos 在定义域内连续 定理 畅 0 连续函数的和 差 积 商 ( 分母不为零 ) 仍为连续函数 ( -,+ ), 可 - 0 定理 畅 设函数 u = g( ) 在点 0 处连续, 且 g( 0 ) = u0, 而函数 y = f( u) 在点 u0 连续, 那么复合函数 y = f[ g( )] 在点 0 数 处也连续 即连续函数的复合函数仍为连续函 显然, 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的 从而一切初等函数在其定义区间 内都是连续的 定义区间, 即包含在定义域内的区间 畅函数的间断点 例 畅 35 讨论函数 y = 解由 0 + -, > 0 0, = 0, 在 = 0 处的连续性 +, < 0 f( ) = ( - ) = -, f( ) = 0 - ( + ) =, 可得 f( ) 在 = 0 处左右极限不相等, 故极限不存在 所以函数 f( ) 在 = 0 处不连续 定义 畅 8 若函数 f( ) 在点 0 处不连续, 则称 f( ) 在点 0 间断, 称点 0 为 f( ) 的间断点 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 由函数连续的定义可知, 适合下列 3 个条件中任何一个的点, 都是间断点,

30 () 函数在点 0 处无定义 () 函数在点 0 处有定义, 但 0 f( ) 不存在 (3) 函数在点 0 处有定义, 0 f( ) 也存在, 但 0 f( ) f( 0 ) 第 章函数的极限与连续 3 函数的间断点通常分为两类 : 如果左右极限都存在, 称之为第一类间断点, 否则, 称之 为第二类间断点 例 畅 35 中的函数, 左右极限都存在, 但 0 f( ) 不存在, 称这样的间断点为函数 f( ) 的跳跃间断点 - 例 畅 36 讨论函数 y = 在 = 处的连续性 - - 解函数 y = 在 = 没有定义, 所以函数在点 = 为间断点 但 = ( + ) = 如果补充定义, 令 = 时,y =, 则所给函数在 = 成为连续 故 = 称为该函数的可 去间断点 例 畅 37 讨论函数 y = cot 在 = 0 处的连续性 解余切函数 f( ) 在 = 0 处没有定义, 但 称 = 0 为函数 cot 的无穷间断点 0 cot =, 例 畅 38 讨论函数 f( ) = sin 在 = 0 处的连续性 解函数 f( ) = sin 在 = 0 处没有定义, 且 0 sin 不存在 如图 畅 3 所示, 这 样的间断点称为振荡间断点 图 畅 3 例 畅 35 例 畅 36 的间断点是第一类间断点 例 畅 37 例 畅 38 的间断点是第二类间断点 畅 5 畅 闭区间上连续函数的性质定理 畅 ( 最大值最小值定理 ) 若函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 则它必在 [ a,

31 4 微积分 b] 上取得最大值 M 和最小值 m 该定理中的 闭区间 和 连续 二者缺一不可 例如,f( ) = 在 (0,) 上连续, 但没 有最大值 ; 而函数 y = 3 +, - < 0, = 0-4, 0 < 数在 [ -,] 上没有最大值, 也没有最小值 推论 畅 4 闭区间上连续函数必然有界 如果点 0 使 f( 0 ) = 0, 则称 0 为函数 f( ) 的零点 在 [ -,] 上有定义, 但有间断点 = 0, 该函 定理 畅 3( 零点定理 ) 若函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且 f( a) f( b) < 0, 则在 ( a,b) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = 0 例 畅 39 证明方程 = 0 在区间 (0,) 内必有实根 证明设 f( ) = 3 + -, 显然函数 f( ) 在 [0,] 上连续, 且 f(0) = -,f() =, 故 f(0) f() = - < 0, 根据零点定理, 在 (0,) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = 0, 即 ξ 3 + ξ- = 0 畅这说明方程 = 0 在区间 (0,) 内必有实根 定理 畅 4( 介值定理 ) 若函数 f( ) 在闭区间 [ a,b] 上连续, 且 f( a) f( b), 则对介 于 f( a) 与 f( a) 之间的任一实数 c, 在 ( a,b) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = c 推论 畅 5 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 习题 畅 5 畅讨论函数 f( ) = sin, 0 的连续性 0, = 0 -, 0 畅讨论函数 f( ) = e 的连续性 - 3, > 0 3 畅设函数 f( ) = sin - tan sin, < 0 a, = 0, 问 : 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo sin + b, 0 < () a 为何值时,f( ) 在 = 0 处左连续 () b 为何值时,f( ) 在 = 0 处连续 4 畅证明方程 = 0 在区间 (,) 上必有实根

32 第 章函数的极限与连续 5 总习题 畅选择题 () 函数 y = sin + 是 ( ) (A) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (B) 奇函数 () 下列选项中两函数相同的是 ( ) (A) y =,y = arctan(tan ) (C) y = (3) 如果 + 0 (D) 既是奇函数又是偶函数 (B) y = + -,y = + - (D) y = ln,y = ln f( ) 与 - 0 f( ) 存在, 则 ( ) (A) 0 f( ) 存在且 0 f( ) = f( 0 ) (B) 0 f( ) 存在但不一定有 0 f( ) = f( 0 ) (C) 0 f( ) 不一定存在 (D) 0 f( ) 一定不存在 (4) 当 0 + 时, 下列函数为无穷小的是 ( ) + - -,y = (A) sin (B)e (C) sin (D)ln 畅填空题 () 函数 f( ) = 的定义域是 lg( - 5) () n + 3 n - n - n = n (3) 设 f( ) = (4) 设 a 是非零常数, 则 e -, 0 在 ( -,+ ) 上连续, 则 a = a, = 0 + a - a = (5) 生产某产品的可变成本是每件 70 元, 每天的固定成本为 8000 元 若每件的售价 为 05 元, 则每天生产 700 件的利润是 3 畅求下列极限 : () (3) + () (4) 0 tan - sin 3

33 6 微积分 ( + 4) 0 ( - 3) 30 tan ln( + ) (5) 50 (6) (3 - ) 0 sin 3 4 畅如果函数 f( ) 在 [ a,b] 上连续, 且无零点, 证明 : 函数 f( ) 在 [ a,b] 上恒正或恒负 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

34 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态, 而且也表 明过程, 即运动 恩格斯 第 章导数与微分 导数与微分是微分学的两个重要概念, 在诸多领域的实际问题的研究中, 导数是描述 变化率问题的有力工具 本章将从实际例子出发引出导数和微分的概念, 给出相应的计算 方法, 并介绍它们的简单经济应用 畅 畅 导数应用的实例 畅 导数的概念 引例 畅 ( 变速直线运动的瞬时速度 ) 设物体沿直线做变速运动, 它所经过的位移 s 与时间 t 的函数关系为 s = s( t), 下面讨论在时刻 t0 的瞬时速度 v( t0 ) 设物体从时刻 t0 变化到 t0 + Δ t 时, 位移从 s( t0 ) 变到 s( t0 + Δ t), 位移改变量为 因此物体在 Δ t 时间内的平均速度为 Δ s = s( t0 + Δ t) - s( t0 ), 珔 v = Δ s Δ t = s( t0 + Δ t) - s( t0 ) Δ t 由上式可知平均速度珔 v 随着 Δ t 的变化而变化, 当 Δ t 较小时, 可用珔 v 作 v( t0 ) 的近似 Δ s 值 当 Δ t 0 时, 若 Δ t 0 存在, 则此极限值即为物体在时刻 t0 的瞬时速度 v( t0 ), 即 Δ t v( t0 ) = Δ t 0 Δ s Δ t = Δ t 0 s( t0 + Δ t) - s( t0 ) Δ t 引例 畅 ( 曲线的切线斜率 ) 设曲线 c 是函数 y = f( ) 在坐标平面内的图像, 求曲线 c 在点 M( 0,y0 ) 处的切线的斜率 k 如图 畅 所示, 设 N( 0 + Δ,y0 + Δ y) 为曲线上另一点, 过点 M 和 N 作直线得割线 M N, 设割线 M N 的倾角为 φ, 则 M N 的斜率 即 km N = tan φ = Δ y Δ = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ 当 Δ 0 时, 点 N 沿曲线趋近于点 M, 此时 φ α (α 为切线 M T 的倾角 ), 则有 tan φ tanα = k,

35 8 微积分 k = Δ 0 tan φ = Δ 0 图 畅 Δ y Δ = Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ 在自然科学 工程技术以及社会科学中, 有诸多实际问题, 如电流强度 化学反应速 度 经济学中的边际和弹性等, 都可以归结为求函数的变化率问题 抛开这些实际意义, 从抽象的数量关系来看, 实质上都是函数的改变量与自变量改变量之比, 当自变量改变量 趋于零时的极限 我们把这样的极限称为函数的导数 畅 畅 导数的定义 定义 畅 设函数 y = f( ) 在点 0 的某一邻域内有定义, 当自变量 在点 0 处取 得增量 Δ ( Δ 0) 时, 相应的函数 y 取得增量 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 若极限 Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 存在, 则称函数 y = f( ) 在点 0 处可导, 并称这个极限值为函数 y = f( ) 在点 0 处的导 数, 记做 f ( 0 ), 即 Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f ( 0 ) = Δ 0 Δ 函数 y = f( ) 在点 0 处的导数也可记为 y = 0, d y d f( ) 或 d = 0 d = 0 Δ y 若极限 Δ 0 不存在, 则称该函数在点 0 处不可导 若该极限为无穷大, 导数是不存 Δ 在的, 但为方便起见, 称导数为无穷大 定义 畅 若函数 y = f( ) 在区间 ( a,b) 内每一点处都可导, 则称函数在区间 ( a,b) 内可导 且对任意的 ( a,b), 都有确定的 f ( ) 与之对应, 即 f ( ) = Δ 0 Δ y Δ = Δ 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo f( + Δ ) - f( ) Δ f ( ) 是 的一个新的函数, 称为 y = f( ) 的导函数, 简称导数, 记为 y, d y d f( ) 或 d d

36 第 章导数与微分 9 显然, 函数 y = f( ) 在点 0 处的导数 f ( 0 ) 就是导函数 f ( ) 在点 0 处的函数值 即 f ( 0 ) = f ( ) = 0 导数的定义表达式可取不同的形式, 常见的有 f( + h) - f( ) f( ) - f( 0 ) f ( ) = h 0, f ( ) = h 0 等 - 0 畅 畅 3 用定义计算导数 即 即 同理可得 即 例 畅 求函数 f( ) = c ( c 为常数 ) 的导数 Δ y 解 f ( ) = Δ 0 Δ = f( + Δ ) - f( ) c - c = Δ 0 Δ Δ 0 Δ = 0, 例 畅 求函数 f( ) = sin 的导数 ( c) = 0 f( + h) - f( ) cos sin( + h) - sin 解 f ( ) = h 0 = h h 0 = h h 0 = h 0 h sin h cos + h = cos, 例 畅 3 求函数 f( ) = n 的导数 (sin ) = cos (cos ) = - sin f( + h) - f( ) 解 f ( ) = h 0 = ( + h) n h h 0 h - n = h 0 ( n n - + C n n - h + + h n - ) = n n -, 更一般地,( α ) = α α - (α R) 即 ( n ) = n n - 例 畅 4 求函数 f( ) = a ( a > 0,a ) 的导数 f( + h) - f( ) 解 f ( ) = h 0 = h = a a h - h 0 = a ln a, h 特别地, 当 a = e 时,(e ) = e h 0 a + h - a h ( a ) = a ln a = h 0 a ( a h - ) h + h sin h h

37 30 微积分 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 如果 存在, 称为 y = f ( ) 在点 Δ 0-0 处的左导数, 记为 Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f - ( 0 ) ; 如果 存在, 称为 y = f ( ) 在点 Δ 处的右导数, 记为 Δ f + ( 0 ) ; 可以证明 : 右极限 函数 y = f( ) 在点 处可导的充分必要条件是左 右导数均存在且相等 例 畅 5 设 f( ) = sin, < 0, 求 f (0) 0, 0 解因为 f( ) 是分段函数, 要计算 f (0) = 0 f( ) 由 = sin f( ) 所以 0 = 0, 即 f (0) = 0 畅 畅 4 导数的几何意义 f( ) - f(0) - 0 = sin 0 - = 0, f( ) 0 = = 0, f( ) = 0, 必须考虑左 由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知, 函数 y = f( ) 在点 0 处的导数 f ( 0 ) 在几何上表示为曲线 y = f( ) 在点 M( 0,y0 ) 处切线的斜率, 即 f ( 0 ) = k 由此可得曲线 y = f( ) 在点 M( 0,y0 ) 处切线方程为 y - y0 = f ( 0 )( - 0 ) 过切点 M( 0,y0 ) 且与切线垂直的直线称为曲线 y = f( ) 在点 M( 0,y0 ) 处的法线, 当 f ( 0 ) 0 时, 法线方程为 y - y0 = - f ( 0 ) ( - ) 0 若 f ( 0 ) = 0, 则切线方程为 y = y0, 即切线平行于 轴 若 f ( 0 ) 为无穷大, 则切线 方程为 = 0, 即切线垂直于 轴 例 畅 6 求曲线 y = 在点 (,) 处的切线方程与法线方程 解由 y = 得曲线在点 (,) 处切线的斜率为 k = y = 程为 y - = ( - ), 整理得 y = 0 法线方程为 y - = - ( - ), 整理得 y = 0 畅 畅 5 函数可导性与连续性的关系 定理 畅 设函数 y = f( ) 在点 处可导, 则函数 y = f( ) 在 处连续 Δ y 证明由函数 y = f( ) 在点 处可导, 即 Δ 0 Δ = f ( ) 存在, 于是 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo =, 从而所求切线方

38 Δ 0 Δ y = Δ 0 即函数 y = f( ) 在 处连续 又因为 可得 Δ y Δ Δ = Δ 0 Δ Δ 0 第 章导数与微分 3 Δ y Δ = 0, 连续是可导的必要条件而不是充分条件, 也就是函数在某一点连续, 但不一定可导 例 畅 7 讨论函数 f( ) = =, 0 在 = 0 处的连续性与可导性 -, < 0 解因为 0 f( ) = 0 = 0, 所以函数 f( ) 在 = 0 处连续 f + (0) = 0 + Δ y Δ = 0 + Δ y Δ = = f( ) - f(0) - 0 =, f - = (0) = 0 - 即有 f - (0) f + (0), 所以函数 f( ) 在 = 0 处不可导 习题 畅 畅用导数定义求 y = 3 在 = 处的导数, Δ y Δ = 0 - 畅已知物体的运动规律 s = t + t + (m), 求该物体在 t = s 时的瞬时速度 3 畅求下列曲线在指定点的切线方程与法线方程 () y = - 3, 在点 ( -,- ) () y =, 在点 (,) (3) y = e, 在点 (0,) 4 畅讨论函数 f( ) = 4-3, 在 = 处的连续性与可导性 +, > 5 畅已知 f( ) = sin, < 0, 0, 求 f ( ) 6 畅设函数 f( ) = = = -, a + b, >, 当 a,b 取什么值时,f( ) 在 = 处连续且可导 畅 函数的求导法则 用导数的定义来计算函数的导数往往是比较复杂的, 为简化计算, 本节将介绍函数的一些求导法则, 并用来解决初等函数的求导问题 畅 畅 导数的四则运算法则定理 畅 若函数 u( ),v( ) 在点 处可导, 则它们的和 差 积 商 ( 分母不为零 ) 在点 处也可导, 且 () [ u( ) ± v( )] = u ( ) ± v ( )

39 3 微积分 () [ u( ) v( )] = u ( ) v( ) + u( ) v ( ) (3) u( ) v( ) = u ( ) v( ) - u( ) v ( ) v ( ) 证明只证明 (3), 其他同理可证 设 f( ) = Δ 0 ( v( ) 0) u( ) v( ) ( v( ) 0), 又已知函数 u( ) 和 v( ) 在点 处可导, 即有 u( + Δ ) - u( ) Δ = u ( ), v( + Δ ) - v( ) Δ 0 Δ 又因为函数 v( ) 在点 处可导, 则函数 v( ) 在点 处必连续, 即有 从而 即 f ( ) = Δ 0 f( + Δ ) - f( ) Δ v( + Δ ) = v( ) Δ 0 = Δ 0 u( + Δ ) v( + Δ ) Δ = Δ 0 u( + Δ ) v( ) - u( ) v( + Δ ) v( + Δ ) v( ) Δ - u( ) v( ) = v ( ) [ u( + Δ ) - u( )] v( ) - u( )[ v( + Δ ) - v( )] = Δ 0 v( + Δ ) v( ) Δ = Δ 0 = [ u( + Δ ) - u( )] v( ) u( )[ v( + Δ ) - v( )] - Δ Δ v( + Δ ) v( ) u ( ) v( ) - v ( ) u( ) v ( ) u( ) v( ), = u ( ) v( ) - v ( ) u( ) v ( ) 以上法则可以推广到有限项的情形, 设 u = u( ) v = v( ) w = w( ) 均可导, 则有 ( u + v + w) = u + v + w,( uv w) = u v w + uv w + uv w 例 畅 8 求函数 y = sin 的导数 解 y = ( sin ) = ( 3 ) + 3( ) - (sin ) = cos 例 畅 9 求函数 y = e ( + cos + ) 的导数 解 y = (e ) ( + cos + ) + e ( + cos + ) = e ( + cos + ) + e ( - sin ) = e ( + + cos - sin + ) 例 畅 0 求函数 y = ( + ) - 的导数 解先化简函数 y = ( + ) - = = - 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo -, 从而 y = - - = = - +

40 例 畅 求函数 y = 解先化简函数 y = cos 的导数 cos - sin 例 畅 求函数 y = tan 的导数 解 y = sin cos 同理可得 (cot ) = - csc 例 畅 3 设 f( ) = 解因为 f ( ) = 畅 畅 反函数的求导法则 cos cos - sin = cos - sin cos - sin = cos + sin, 从而 y = (cos + sin ) = cos - sin (sin ) cos - sin (cos ) = = cos cos = sec , 求 f (0) 第 章导数与微分 33 = 3 (5 - ) + 5, 所以 f (0) = 3 5 定理 畅 3 如果 = φ( y) 为存在反函数的可导函数, 且 φ ( y) 0, 则 = φ( y) 的反函 数 y = f( ) 也可导, 且 f ( ) = 同理可得 d y 或 φ ( y) d = d d y 也就是说反函数的导数等于原函数导数的倒数 例 畅 4 求反正弦函数 y = arcsin ( - < < ) 的导数 解因为 y = arcsin 是 = sin y 的反函数, 所以 (arcsin ) = (arccos ) = - (sin y) = cos y = - sin y = - ( - < < ) -,(arctan ) = 例 畅 5 求对数函数 y = log a 的导数 解因为 y = log a 是 = a y 的反函数, 所以 特别地,(ln ) = y = (log a ) = 至此, 我们得到了基本初等函数的导数公式 : +,(arccot ) = - ( a y ) = a y ln a = ln a () ( c) = 0, 其中 c 是常数 () ( α ) = α α - (α R) (3) ( a ) = a ln a ( a > 0,a ) (4) (e ) = e (5) (log a ) = ln a (6) (ln ) = (7) (sin ) = cos (8) (cos ) = - sin (9) (tan ) = sec = cos (0) (cot ) = - = - csc sin +

41 34 微积分 () (sec ) = sec tan () (csc ) = - csc cot (3) (arcsin ) = (5) (arctan ) = 畅 畅 3 复合函数的求导法则 (4) (arccos ) = (6) (arc cot ) = - + 定理 畅 4 设函数 u = φ( ) 在点 处可导, 函数 y = f( u) 在对应点 u 处可导, 则复合 函数 y = f[ φ( )] 在点 处也可导, 且有 d y d = d y d u d u d ( 畅 ) 证明设 取得增量 Δ, 则 u 取得相应的增量 Δ u, 从而 y 取得相应的增量 Δ y, 即 Δ u = φ( + Δ ) - φ( ),Δ y = f( u + Δ u) - f( u) 当 Δ u 0 时, 有 Δ y Δ = Δ y Δ u Δ u Δ 由 u = φ( ) 在点 处可导知 u = φ( ) 在点 连续 当 Δ 0 时必有 Δ u 0 从而有 即 Δ 0 若 Δ u = 0 时, 上述公式仍然成立 Δ y Δ = Δ u 0 Δ y Δ u Δ 0 Δ u Δ d y d = d y d u d u 或记为 y = y u u d 公式 ( 畅 ) 表明, 复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自 变量的导数 因此公式 ( 畅 ) 又被称为链式法则 链式法则可以推广到有限多个中间变量的情形 如 y = f( u),u = φ( v),v = ψ( ) 都是 可导函数, 则复合函数 y = f{ φ[ ψ( )]} 的导数为 d y d = d y d u d u d v d v d 或 y = y u u v v 链式法则在导数计算中占有十分重要的地位, 它是进行导数计算的基础, 必须牢记于 心, 熟练应用 例 畅 6 求 y = lnsin 的导数 解 y = lnsin 可看作是由 y = ln u 与 u = sin 复合而成, 则 y = (lnsin ) = (ln u) u u = u 例 畅 7 求 y = e arcsin 的导数 cos = cos sin = cot 解 y = e arcsin 可看作是由 y = e u 与 u = arcsin 复合而成, 则 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

42 y = (e arcsin ) = (e u ) u u = e u - = 第 章导数与微分 35 e arcsin - 求复合函数的导数时, 首先要清楚函数的复合过程, 书写时可以将中间变量省略, 直 接用链式法则由外及里逐层求导 例 畅 8 求 y = + ln 的导数 解 y = ( + ln ) = = ln + ln 例 畅 9 求 y = ln( + + a ) 的导数 解 y = [ln( + + a )] = = = a + a + ln ( + ) = ln (ln ) ln + ln + + a ( + + a ) + a ( + a ) = a 例 畅 0 设 f( ) = 3 arctan - + ln( + ), 求 f () 解因为 f ( ) = 3 arctan + 所以 f () = 3arctan = 3π 4 例 畅 已知 f( ) 可导, 求 [ f(ln )] 解 [ f(ln )] = f (ln )(ln ) = f (ln ) = 3 arctan, 这里 f (ln ) 表示对 ln 求导, 而 [ f(ln )] 表示对 求导 畅 畅 4 隐函数的求导法则 + a 因变量 y 与自变量 之间的函数关系可以用 y = f( ) 表示, 这样的函数称为显函数 若变量 y 与 之间的函数关系是由方程 F(,y) = 0 给出, 则称方程 F(,y) = 0 确定了 一个隐函数 如 e - e y - y = 0 确定了一个隐函数 隐函数求导时, 利用复合函数的求导法则, 只要对方程 F(,y) = 0 的两边分别对自 d y 变量 求导, 再解出导数即可, 下面举例说明 d 整理得 例 畅 求由方程 y = ln y 所确定的隐函数 y 的导数 y 解方程两端分别对自变量 求导, 得 y = ln y + y y,

43 36 微积分 整理得 y = yln y y - 例 畅 3 求由方程 e y + yln = cos 所确定的隐函数 y 的导数 y 解方程两端分别对自变量 求导, 得 e y ( y + y ) + y ln + y = - sin, 即 y = - sin + ye y + y e y + ln 例 畅 4 求曲线 ye + ln y = 在点 (0,) 处的切线方程 解将 y 看作 的函数, 方程两边对自变量 求导, 得 y e + ye + y y = 0, y = - y e ye + 曲线在点 (0,) 处切线的斜率为 k = y = 0 = - y =, 故切线方程为 y - = - ( - 0), 整 理得 从而 例 畅 5 设 y = sin ( > 0), 求 y y + - = 0 解 ( 方法 ) 方程两边取对数得 ln y = sin ln, 两边对 求导得 y y y = y cos ln + sin sin = cos ln +, = sin cos ln + sin ( 方法 ) 由指数对数恒等式 = e ln 可知 sin = e sin ln, 所以 y = ( sin ) = (e sin ln ) = e sin ln (sin ln ) = e sin ln cos ln + sin = sin cos ln + sin 通常我们称函数 y = u( ) v( ) 为幂指函数, 上述方法 被称为对数求导法 例 畅 6 设 > 且,3,4, 求函数 y = 解两边取对数得 两边同时对 求导得 ( - )( - ) 的导数 ( - 3)( - 4) ln y = [ln( - ) + ln( - ) - ln( - 3) - ln( - 4)], 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

44 第 章导数与微分 37 所以 y = y y = ( - )( - ) ( - 3)( - 4) , 畅 畅 5 由参数方程所确定的函数的求导法则 由参数方程 = φ( t) y = ψ( t) ( 畅 ) 确定了 y 是 的函数, 若 = φ( t),y = ψ( t) 关于 t 均可导, 且 φ ( t) 0, = φ( t) 有反函数 t = φ - ( ) 则利用复合函数及反函数求导法则, 有 即 d y d = d y d t d t d = d y d t d d t d y d = ψ ( t) φ ( t) 或 d y d = 这就是由参数方程 ( 畅 ) 所确定的函数的求导公式 例 畅 7 求由参数方程 解由公式 ( 畅 3) 得 例 畅 8 求椭圆 解当 t = π 4 = ψ ( t) φ ( t), d y d t d d t ( 畅 3) = ln( + t ) d y 所确定的函数 y = y( ) 的导数 y = t - arctan t d d y y ( t) - = d ( t) = + t = t + t t = 3sin t 在 t = π 处的切线方程 y = 5cos t 4 时, = 3sin π 4 = 3, y = 5cos π 4 = 5, 又因为 d y d y ( t) = ( t) = - 5sin t, 3cos t 所以曲线在 3,5 处的切线斜率为 k = d y d t = π 4 = - 5sin π 4 3cos π 4 = 从而所求切线方程为 y - 5 = , 整理得 y - 5 = 0

45 38 微积分 习题 畅 畅求下列函数的导数 () y = e () y = e - ( ) (3) y = a cos (4) y = ln (5) y = sin + cos (6) y = cos + ln - 3 (7) y = 畅求下列函数在给定点的导数 (8) y = log3 + ln3 () y = 3 t 3 + t +, 求 y () () y = 3 + cos, 求 y (0) (3) y = - +, 求 y (4) 3 畅求下列函数的导数 : () y = (3 + ) 4 () y = sin(4-3 ) (3) y = e - (4) y = ln ( + ) (5) y = (7) y = arcsin (9) y = arctan - (6) y = arccos - (8) y = lnsin + + (0) y = cos () y = ( + ) sin () y = d y 4 畅设 f( ) 可导, 求下列函数的导数 d ( - )e ( + )sin () y = f 3 ( ) () y = f(sin ) + f(cos ) 5 畅求由下列方程所确定的隐函数的导数 : () + y - y = () e + y - y = (3) e - y + sin y = e (4) ln + y = arctan y d y 6 畅求下列参数方程所确定的函数 y 的导数 d () = t - t t y = 3 t - t () = e cos t 3 y = e t sin t (3) = a( t - sin t) y = a( - cos t) 7 畅求下列曲线在给定点处的切线方程和法线方程 () y - e y =, 在 = 0 处 () = e t y = 3e - t, 在 t = 0 处 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

46 第 章导数与微分 39 畅 3 高阶导数 定义 畅 3 若函数 y = f( ) 的导数 y = f ( ) 仍是可导函数, 则称 y = f ( ) 的导数 y d f( ) 为 y = f( ) 的二阶导数, 记做 y,f ( ), d 或 d d 类似地, 若 y = f ( ) 可导, 则它的导数称为函数 y = f( ) 的三阶导数, 记做 y 碶, f 碶 ( ), d3 y d 3 或 d3 f( ) d 3 一般地, y = f( ) 的 n - 阶导数的导数称为 y = f( ) 的 n 阶导数, 记做 y ( n),f ( n) ( ), dn y d n 或 dn f ( ) d n 通常把函数的二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 由高阶导数的定义可知, 高阶 导数的计算就是对函数连续多次求导, 因此可以反复运用前面所学习的求导方法来计算 高阶导数 例 畅 9 求 y = 的二阶导数 y 解由 y = , 故 y = 例 畅 30 求 y = e 的三阶导数 解 y = e + 3 e = ( + 3 )e, y = ( + 3 )e + 4 ( + 3 )e = ( )e, y 碶 = ( )e + ( )e = ( )e 例 畅 3 已知 f( ) = 解由 f ( ) = - +, 求 f ( - ) 例 畅 3 求 y = sin 的 n 阶导数 解 y = cos = sin + π 一般地, 可得 习题 畅 3 畅求下列函数的二阶导数 - 6 (, f ( ) = - + ) ( + ), 故 f ( - ) = = 3,y = cos + π y ( n) = sin + n π () y = () y = e - (3) y = e - cos (4) y = ln( + ) (5) y = ( + )arctan (6) y = - 畅求下列函数在指定阶的导数 () 已知 f( ) = 3 + +, 求 f (),f () = sin + π + π = sin + π,

47 40 微积分 () 已知 f( ) = ln, 求 f (e) 3 畅证明 : 函数 y = c e λ + c e - λ ( c,c,λ 是常数 ) 满足关系式 y - λ y = 0 畅 4 函数的微分 畅 4 畅 微分的定义及几何意义 导数的实质就是函数的变化率, 它反映了函数相对于自变量变化的快慢程度 在实际 应用中, 往往还要研究另一个问题, 即当自变量有微小改变量 Δ 时, 函数值的改变量 Δ y 是多少? 一块正方形的金属薄片的面积 s 是边长 的函数, 即 s =, 受温度的影响, 边长有一 改变量 Δ, 面积相应的有一改变量 Δ s = ( + Δ ) - = Δ + ( Δ ) 见图 畅, Δ s 包含两部分 : () Δ 是 Δ 的线性函数 () ( Δ ) 是关于 Δ 的高阶无穷小, 即 ( Δ ) = o( Δ ) ( Δ 0) 图 畅 因此, 当 Δ s 很小时, 可以用 Δ 近似代替 Δ s, 即 Δ s Δ 定义 畅 4 设函数 y = f( ) 在某区间 I 有定义,0,0 + Δ I 若函数的增量 可以表示为 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ y = A Δ + o( Δ ), 其中 A 是与 Δ 无关的常数,o( Δ ) 是当 Δ 0 时比 Δ 高阶的无穷小, 则称函数 y = f( ) 在点 0 处可微, 称 A Δ 为函数在点 0 处的微分, 记做 d y = 0 = A Δ 由定义 畅 4 可知, 微分 d y 是由自变量的改变量 Δ 引起函数改变量 Δ y 的主要部分, 是 Δ 的线性函数 因此当 Δ 很小时, 可用 d y 近似代替 Δ y, 而误差仅是关于 Δ 的高阶 无穷小 那么, 函数可微的条件以及 A 是什么? 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

48 第 章导数与微分 4 定理 畅 5 函数 y = f( ) 在点 0 处可导的充分必要条件是函数 y = f( ) 在点 0 处 可微, 且 A = f ( 0 ), 即有 d y = 0 = f ( 0 ) Δ 做 从而有 通常把自变量的改变量 Δ 称为自变量的微分, 记做 d, 则函数 y = f( ) 的微分可记 因此导数也称为微商 d y = f ( )d, d y d = f ( ), 函数的微分有明显的几何意义 设 M( 0,y0 ) 和点 N( 0 + Δ,y0 + Δ y) 是曲线 y = f( ) 上的两点 如图 畅 3 所示, Δ = M B,Δ y = B N, 设切线 M T 的倾斜角为 α, 由导数的 几何意义知 tanα = f ( 0 ), 于是 d y = f ( 0 ) Δ = tanα Δ = AB 图 畅 3 由此可得函数 y = f( ) 在点 0 的微分等于曲线 y = f( ) 在该点处的切线的纵坐标的增量, 当 Δ 很小时, 用 d y 近似代替 Δ y, 就是在点 M 的邻近用切线段 M A 近似代替曲线弧 M N 例 畅 33 求函数 y = +, 当 =,Δ = 0 畅 0 时的增量 Δ y 和微分 d y 解 Δ y = ( + Δ ) + - ( + ) = ( + 0 畅 0) + - ( + ) = 0 畅 畅 0 = 0 畅 00 又因为 y =, =,d = Δ = 0 畅 0, 所以 d y = y d = d = 0 畅 0 = 0 畅 0 畅 4 畅 微分运算法则与微分公式由微分的表达式 d y = f ( )d 可知, 求函数的微分只要求出该函数的导数即可 因此可以直接从函数的导数公式和求导法则推出如下相应的微分公式与微分运算法则 () 基本初等函数的导数公式与微分公式, 见表 畅

49 4 微积分 表 畅 导数公式 微分公式 ( c) = 0 ( c 为常数 ) d( c) = 0 ( c 为常数 ) ( u ) = u u - d( u ) = u u - d (sin ) = cos (cos ) = - sin (tan ) = sec (cot ) = - csc (sec ) = sec tan (csc ) = - csc cot d(sin ) = cos d d(cos ) = - sin d d( tan ) = sec d d(cot ) = - csc d d(sec ) = sec tan d d(csc ) = - csc cot d ( a ) = a ln a d( a ) = a ln ad (e ) = e d(e ) = e d (log a ) = ln a d(log a ) = ln a d (ln ) = d(ln ) = d (arcsin ) = (arccos ) = - (arctan ) = (arccot ) = - d(arcsin ) = - d(arccos ) = - - d - d + d(arctan ) = + d - + d(arccot ) = - () 导数与微分的四则运算法则, 见表 畅 表 畅 ( u ± v) = u ± v d( u ± v) = d u ± d v + d ( cu) = cu ( c 为常数 ) d( cu) = cd u ( c 为常数 ) ( u v) = u v + u v d( u v) = vd u + ud v u v = u v - u v v ( v 0) d 畅 4 畅 3 一阶微分形式的不变性 u v vd u - ud v = v ( v 0) 与复合函数的链式法则相对应, 复合函数有如下微分法则 : 设 y = f( u) 及 u = φ( ) 都可微, 则复合函数 y = f[ φ( )] 的微分为 由 φ ( )d = d u 可得 d y = y d = f ( u) φ ( )d, d y = f ( u)d u 或 d y = y ( u)d u 由此可见, 无论 u 是自变量还是中间变量, 微分形式 d y = f ( u)d u 都保持不变 这一 性质称为微分形式的不变性 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

50 所以 整理得 因此 例 畅 34 已知 y = a +, 求 d y 解 ( 方法 ) 由微分形式不变性有 第 章导数与微分 43 d y = y ( u)d u = ( a + ) d( + ) = a + ln a d( + ) = 4 a + ln ad ( 方法 ) 因为 y = ( a + ) = a + ln a ( + ) = 4 a + ln a, 所以 d y = y d = 4 a + ln ad 例 畅 35 已知 y = e - cos(3 - ), 求 d y 解 d y = d(e - cos(3 - )) = cos(3 - )de - + e - d(cos(3 - )) = - e - cos(3 - )d + e - sin(3 - )d = e - (sin(3 - ) - cos(3 - ))d 例 畅 36 求由方程 y - = ( - y)ln( - y) 所确定的函数 y 的微分 解 ( 方法 ) 方程两边求微分得 d( y - ) = d(( - y)ln( - y)), d( y) - d = ln( - y)d( - y) + ( - y)d(ln( - y)), d y - d = ln( - y)(d - d y) + d - d y, d y = ( 方法 ) 方程两端对 求导得 + ln( - y) 3 + ln( - y) d y - = ( - y )ln( - y) + ( - y) 畅 4 畅 4 微分在近似计算中的应用 即 y = d y = + ln( - y) 3 + ln( - y) + ln( - y) 3 + ln( - y) d ( - y ), - y 由前面的讨论可知, 若 y = f( ) 在点 0 处的导数 f ( 0 ) 0, 且 Δ 很小时, 有 从而可得近似公式 Δ y d y = f ( 0 ) Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f ( 0 ) Δ f( 0 + Δ ) f( 0 ) + f ( 0 ) Δ 若令 = 0 + Δ, 即 Δ = - 0, 上式可以写成 f( ) f( 0 ) + f ( 0 )( - 0 ) ( 畅 4) 利用公式 ( 畅 4) 可以计算函数 f( ) 在点 0 附近的函数值 例 畅 37 计算 sin30 30 的近似值 ( 取四位小数 )

51 44 微积分 解先把 sin30 30 化为弧度得 sin30 30 = π 6 + π 360, 设 f( ) = sin, f ( ) = cos, 取 0 = π 6, Δ = π 360, 则 sin30 30 = sin π 6 + π 360 sin π 6 + cos π 6 π 360 = + 3 π 畅 例 畅 38 计算 997 的近似值 解 = = ( - 0 畅 003) = 9 畅 99 最后给出当 很小时几个常用的近似公式 : = ( - 0 畅 003) () sin ( 为弧度 ) () tan ( 为弧度 ) (3) ( + ) n + n (4) e + (5) ln( + ) 习题 畅 4 畅求函数 y = 3 -, 在 = 处, Δ = 0 畅 0 时的增量 Δ y 与微分 d y 畅求下列函数的微分 () y = ( ) () y = e - sin (3) y = e (4) y = arcsin - (5) y = 3 + (6) y = + ln (7) y = arctan + ln (8) y = + ln y (9) y = e y + cos (0) y = sin 3 畅将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立 () d( ) = d () d( ) = - d (3) d( ) = e - 3 d (4) d( ) = d (5) d( ) = + d (6) d( ) = - d (7) d( ) = sec d (8) d(cos ) = ( )d(cos ) 4 畅计算下列各式的近似值 : () 6 65 () sin6 (3) ln 畅 00 (4) e 0 畅 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

52 第 章导数与微分 45 畅 5 经济函数的边际与弹性 畅 5 畅 边际分析 定义 畅 5 设函数 y = f( ) 可导, 称导函数 f ( ) 为 f( ) 的边际函数 f ( 0 ) 表示边际函数在 = 0 处的边际函数值, 它反映了函数 y = f( ) 在点 0 处 y 关于 的变化速度 即当自变量 在 0 处改变一个单位, 即 Δ = 时, 函数 f( ) 近似地 改变了 f ( 0 ) 例如, 设函数 y =, 则 y =,y = 在点 = 0 处边际函数值为 f (0) = 0, 它表 示当 = 0 时, 若 改变了一个单位, 函数 y 近似地要改变 0 个单位 定义 畅 6 总成本函数 C = C( ) 对产量 的一阶导数 C ( ) 称为边际成本函数 例 畅 39 某产品的总成本 C 是产量 的函数 C( ) = 平均成本与边际成本 解由平均成本函数为珚 C( ) = C( ) 00, 求产量为 00 时的 = , 故当 = 00 时, 平均成本为 珚 C(00) = = 0 边际成本函数为 C ( ) = 50, 边际成本为 C (00) = = 也就是说, 在生产 00 单位产量后再增加一个单位的产量时, 成本增加 个单位 类似地, 边际收益函数 R ( Q) 是总收益函数 R( Q) 对产量 Q 的一阶导数 ; 边际利润函 数 L ( Q) 是总利润函数 L( Q) 对产量 Q 的一阶导数 ; 边际需求函数 Q ( P) 是需求函数 Q( P) 对销售价格 P 的一阶导数 畅 5 畅 弹性分析 在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 在经济问题中常需要研 究一个变量对另一个变量的相对变化情况 定义 畅 7 设函数 y = f( ) 在 处可导, 函数的相对改变量与自变量的相对改变量 Δ y/ y 之比称为函数 y = f ( ) 从 到 + Δ 两点间的弹性 ( 或相对变化率 ), 而极限 Δ / Δ y/ y 称为函数 f ( ) 在点 处的弹性 ( 或相对变化率 ), 记为 Δ 0 Δ / E E f ( ) = E y E = Δ 0 Δ y/ y Δ / = Δ 0 Δ y Δ y = y y E 上式仍是 的一个函数, 称其为弹性函数 函数 f( ) 在点 处的弹性 E f ( ) 反映了 随着 的变化, 函数 f( ) 对 的变化反映的强烈程度和灵敏度 函数 y 在 = 0 处的弹性, E y 记做, 它表示在 = 0 处, 当 产生 % 的改变时, y 近似地改变 E = 0 E y E = 0 % ( 常

53 46 微积分 略去近似 ) 例 畅 40 () 求函数 y = 3 + 在 = 3 处的弹性 ; () 求函数 y = 00e 3 的弹性函 E y 数及 E = 解 () 由 y =, E y E = y y = 3 +, 故当 = 3 时, E y = E = 3 3 E y () 因为 y = 300e 3, 则 E = y y = 300e3 00e 3 = 3, E y 所以 = 6 E = 定义 畅 8 设需求函数 Q = f( P) 在点 P 处可导, 称极限 Δ P 0 - Δ Q/ Q Δ P/ P 在点 P 处的需求弹性, 记做 η, 即 η = - P Q ( P) Q( P) 需求弹性反映产品需求量受价格变动影响的强烈程度 例 畅 4 设某种商品的需求量 Q 与价格 P 的关系为 () 求需求弹性 Q( P) = () 当商品的价格 P = 0( 元 ) 时, 再上涨 %, 求该商品需求量的变化情况 解 () 需求弹性为 η = - P Q ( P) Q( P) = - P P P, ln 4 P = Pln 畅 39 P 其经济意义是商品价格 P 上涨 % 时, 商品需求量 Q 将减少 畅 39 % () 当 P = 0 时, η = - P Q ( P) 3 畅 9 Q( P) P = 0 Q ( P) = - P 为 Q( P) 其经济意义是当 P = 0( 元 ) 时, 价格上涨 %, 商品需求量将减少 3 畅 9 %, 若价格降低 %, 商品需求量将增加 3 畅 9 % 习题 畅 5 畅设某产品总成本 C 与产量 的关系为 C( ) = 求 :() 当 = 00 时的平均单位成本 () 当 = 00 时的边际成本 畅设某商品需求量 Q kg 与销售价格 P 元 /kg 的关系为 Q( P) = 00e - P 5, 求 :() 当 P = 0 元 /kg 时的边际需求, 并说明其经济意义 () 当 P = 0 元 /kg 时 需求弹性, 并说明其经济意义 3 畅某产品生产 个单位的总成本 C 是 的函数 C( ) = , 求 :() 生产 900 个单位时的总成本和平均单位成本 () 生产 900 到 000 个单位 时总成本的平均变化率 (3) 生产 900 单位和 000 单位时的边际成本 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

54 第 章导数与微分 47 总习题 畅选择题 () 函数 y = f( ) 在点 0 处连续是函数在该点可导的 ( ) (A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要非充分条件 (D) 既不是充分又不是必要条件 () 已知函数 f( ) 在点 0 处可导, 则 f ( 0 ) 等于 ( ) (A) h 0 f( 0 ) - f( 0 + h) h (C) h 0 f( 0 + h) - f( 0 ) h (B) h 0 f( 0 - h) - f( 0 ) - h (D) h 0 f( 0 - h) - f( 0 + h) h (3) 过曲线 y = ln 上某点的切线与直线 y = 3 - 平行, 则该点的坐标为 ( ) (A) (3,- ln3) (B) (3,ln3) (C) (4) 下列导数运算正确的是 ( ) (A) ( + e ) = + e (B) (arcsin ) = (C) (e ) = e (5) 函数 y = - 在 = 处 ( ) (A) 连续且不可导 (C) 连续且可导 3,ln3 (D) 3-4 (D) ( sin ) = cos (B) 不连续且不可导 (D) 不连续且可导 (6) 若 f( u) 可导, 且 y = f(e - ), 则有 ( ) (A) d y = f (e - )d (C) d y = - e - f (e - )d (7) 方程 a + y b (A) - a y b 畅填空题 (B) d y = - f (e - )de - (D) d y = e - f (e - )de -,- ln3 d y = ( a > 0,b > 0) 确定变量 y 为 的函数, 则 d = ( ) (B) - b a y (C) - a b y (D) - b y a f( Δ ) - f( 0 ) () 若极限 Δ 0 = Δ 4, 则 f ( 0 ) = () 已知函数 f ( ) 在点 = 处可导, 若极限 f ( ) =, 则函数值 f () = (3) 设 y = arctan -, 则 y =, y = (4) 设 f( ) = (e + e - ), 则 f () = (5) 方程 yln + e y = sin 所确定的 y 为 的函数, 则 y =,d y =

55 48 微积分 (6) 设 f ( ) = 3 畅求下列函数的导数, 在 = 可导, 则 a =, b = a + b, > () y = e - e - + e - () y = + e (arctan ) + - arcsin - (3) y = ln - ln + (4) y = ln( + e ) + (5) y = ln( + + ) + arccos (6) y = ln 4 畅讨论下列分段函数在分段点处的连续性与可导性 () f( ) = 5 畅求下列函数的微分 sin, 0 () f( ) = 0, = 0 + 3, < 5 -, () y = + ln - ln () y = - + arcsin (3) y = ln arctan (4) y = arctan - 6 畅求下列隐函数的导数和微分 () e y + ln y - y = e () sin( + y ) + ye y = (3) sin( y) + ln( y - ) = 7 畅设函数 y = f( ) 在 0 处可导, 试用导数的定义求下列极限 f( 0 - Δ ) - f( 0 ) f( 0 + Δ ) - f( 0 - Δ ) () Δ 0 () Δ Δ 0 Δ f( 0 - h) - f( 0 - h) (3) h 0 h, < 0 8 畅已知函数 f( ) = ea 在 = 0 处可导, 求 a,b 的值 b + sin, 0 9 畅求下列函数在指定阶的导数 () y = e sin 求 y (3) () y = ln, 求 y ( n) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

56 决不要把你们的学习看成是任务, 而是一个令人羡慕的机会 为了你们自 己的快乐和今后工作所属社会的利益, 去学习 爱因斯坦 第 3 章微分中值定理与导数的应用 本章以微分中值定理为基础, 利用导数来研究函数的性态, 如判断函数的单调性和凹 凸性, 求函数的极限 极值以及函数作图的方法 3 畅 畅 罗尔定理 定理 3 畅 若函数 f( ) 满足 : () 在闭区间 [ a,b] 上连续 () 在开区间 ( a,b) 内可导 (3) f( a) = f( b) 则至少存在一点 ξ ( a,b), 使得 f (ξ) = 0 3 畅 微分中值定理 证明由条件 (), 根据闭区间上连续函数的最值定理,f ( ) 必在 [ a,b] 上取得它的 最大值 M 和最小值 m 显然只有 M = m 和 M > m 两种情形 如果 M = m, 则必有 f( ) M, [ a,b] 因此,f ( ) = 0 在 [ a,b] 内处处成立, 于是 可以取 ( a,b) 内任何一点作为 ξ, 使得 f (ξ) = 0 如果 M > m, 由条件 (3) 可知,M 和 m 中至少有一个不等于 f ( a), 不妨设 M f( a) 又由条件 () 可知, 至少存在一点 ξ ( a,b), 使得 f(ξ) = M 下面证明 f (ξ) = 0 因为 f( ) 在点 ξ 取到最大值, 所以对于任意的 Δ, 只要 ξ + Δ ( a,b), 总有 f(ξ + Δ ) f(ξ), 当 Δ > 0 时, 有 当 Δ < 0 时, 有 由条件 () 可知,f (ξ) 存在, 且 f(ξ + Δ ) - f(ξ) Δ f(ξ + Δ ) - f(ξ) Δ f (ξ) = f + (ξ) = Δ 0 + f (ξ) = f - (ξ) = Δ 0-0 ; 0 f(ξ + Δ ) - f(ξ) Δ f(ξ + Δ ) - f(ξ) Δ 0 0

57 50 微积分 图 3 畅 所以,f (ξ) = 0, 罗尔定理成立 罗尔定理的几何意义是, 除去端点之外的 两个高度相同的点之间的一段连续曲线上, 必 然存在一点 C[ξ,f(ξ)] 使得曲线在该点的切线 平行于 轴, 如图 3 畅 所示 例 3 畅 验证函数 f( ) = 在区 间 [ -,3] 上满足罗尔定理 解因为 f( ) = - 3), 所以 且 f( - ) = f(3) = 0, = ( + )( f ( ) = - = ( - ), 显然 f( ) 满足罗尔定理的 3 个条件, 其中 a = -,b = 3 存在 ξ =, ( -,3), 使 f () = 0 符合罗尔定理的结论 3 畅 畅 拉格朗日中值定理 定理 3 畅 若函数 f( ) 满足 : () 在闭区间 [ a,b] 上连续 () 在开区间 ( a,b) 内可导 则至少存在一点 ξ ( a,b), 使得 f (ξ) = 证明作辅助函数 φ( ) = f( ) - f( a) - f( b) - f( a) b - a f( b) - f( a) ( - a), b - a 由于函数 f( ) 在 [ a,b] 上连续, 在 ( a,b) 内可导, 故 φ( ) 在 [ a,b] 上连续, 在 ( a,b) 内 可导, 又 φ( a) = φ( b) = 0, 根据罗尔中值定理知, 存在 ξ ( a,b), 使得 φ (ξ) = 0 由于 于是有 即 φ (ξ) = f (ξ) - f (ξ) = φ ( ) = f ( ) - f( b) - f( a) b - a f( b) - f( a) b - a f( b) - f( a), b - a = 0 ( a < ξ < b), ( a < ξ < b) 拉格朗日中值定理的几何意义是 : 对于 [ a,b] 上的一条连续曲线 y = f( ), 作弦 A B, 它的斜率是 f( b) - f( a) b - a 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 那么在 ( a,b) 内至少存在一点 C[ξ,f(ξ)] 使得曲线在该点的切线

58 第 3 章微分中值定理与导数的应用 5 平行于弦 AB, 如图 3 畅 所示 f( b) - f( a) b - a = f (ξ) ( a < ξ < b) 拉格朗日中值定理的结论也可表示为 : f( b) - f( a) = f (ξ)( b - a) ( a < ξ < b) 如果 f( ) 在 ( a,b) 内可导,0 ( a,b),0 + Δ ( a,b), 则在以 0 与 0 + Δ 为端点的区间上 f ( ) 也满足拉格朗日中值定理, 可得 也可以记为 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) = f (ξ) Δ (ξ 介于 0 与 0 + Δ 之间 ) f( 0 + Δ ) - f( 0 ) = f ( 0 + θδ )Δ (0 < θ < ), 图 3 畅 或 Δ y = f ( 0 + θδ ) Δ (0 < θ < ) 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理 值函数 推论 3 畅 如果函数的导数在某一区间内恒等于零, 则这个函数在这个区间内是常 推论 3 畅 如果两个函数的导数在某一区间内恒等, 则这两个函数在这个区间内至 多相差一个常数 例 3 畅 证明当 > 0 时, < ln( + ) < + 证明设 f( ) = ln( + ), 显然 f ( ) 在区间 [0,] 上满足拉格朗日中值定理的条 件, 根据定理, 应有 由于 f(0) = 0,f ( ) = 又由 0 < ξ<, 有 即 3 畅 畅 3 柯西中值定理 f( ) - f(0) = f (ξ)( - 0),0 < ξ < +, 因此上式即为 + ln( + ) = 定理 3 畅 3 若函数 f( ) 与 g( ) 满足 : () 在闭区间 [ a,b] 上连续 + ξ + < + ξ <, < ln( + ) < ( > 0)

59 5 微积分 () 在开区间 ( a,b) 内可导 (3) 在开区间 ( a,b) 内 g ( ) 0 f (ξ) 则至少存在一点 ξ ( a,b), 使得 g (ξ) 3 畅 畅 4 泰勒中值定理 = f( b) - f( a) g( b) - g( a) 定理 3 畅 4 设函数 f( ) 在含 0 的某个开区间 ( a,b) 内具有直至 ( n + ) 阶的导数, 则 对于任意的 ( a,b) 时, 有 f( ) = f( 0 ) + f ( 0 )( - 0 ) + f ( 0 ) ( - 0 )! + + f ( n) ( 0 ) ( - 0 ) n + Rn( ), (3 畅 ) n! 其中 Rn( ) = f ( n + ) (ξ) ( n + )! ( - ) n + (ξ 介于 0 0 与 之间 ) 从而 通常称式 (3 畅 ) 为泰勒公式,Rn( ) 为拉格朗日型余项 如果对于固定的 n, 当 ( a,b) 时, f ( n + ) ( ) Rn( ) = f ( n+ ) (ξ) ( n + )! ( - 0 ) n+ Rn( ) = 0 0 ( - 0 ) n M, 则有 M ( n + )! - 0 故当 0 时, 误差 Rn( ) 是比 ( - 0 ) n 高阶的无穷小, 即 Rn( ) = o[( - 0 ) n ], 称其为 皮亚诺型余项 若在泰勒公式中取 0 = 0, 则可得麦克劳林公式 f( ) = f(0) + f (0) + f (0) + + f ( n) (0) n + o( n )! n! 例 3 畅 3 求出 f( ) = e 的两种余项形式的 n 阶麦克劳林展开式 解 f( ) = e,f ( ) = e,f ( ) = e,,f ( n) ( ) = e,f ( n + ) ( ) = e 因此 f(0) = f (0) = f (0) = = f ( n) (0) = 于是 f( ) = e 的皮亚诺型余项的 n 阶麦克劳林展开式为 e = + +! + + n! n + o( n ), 拉格朗日型余项的 n 阶麦克劳林展开式为 e = + +! + + n! n + 习题 3 畅 畅选择题 n+ e ξ ( n + )! n+, 其中 ξ 介于 0 与 之间 () 下列各函数在 [,e] 上满足拉格朗日中值定理的有 ( ), 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

60 (A) lnln (B) ln (C) ln 第 3 章微分中值定理与导数的应用 53 (D) ln( - ) () y = sin 在 [0,π] 上符号罗尔中值定理条件的 ξ= ( ) (A) 0 (B) π (C) π (D) 3π 畅不用求出函数 f( ) = ( - )( - )( - 3)( - 4) 的导数, 说明方程有几个实 根, 并指出它们所在的区间 3 畅证明恒等式 : arcsin + arccos = π ( - ) 4 畅证明 : 当 > 时,e > e 5 畅设函数 f( ) 在 [0,] 上连续, 在 (0,) 内可导, 且 f() = 0, 证明 : 在 (0,) 内至少存 在一点 ξ, 使得 ξ f (ξ) + f(ξ) = 0 6 畅求 f( ) = sin 的带皮亚诺型余项的 n 阶麦克劳林展开式 3 畅 洛必达法则 在一些实际问题中, 经常会遇到计算两个无穷小量之比的极限, 这种极限的结果, 有 时是零, 有时是非零常数, 有时又是无穷大量, 通常称为未定式 计算未定式的极限往往需 要经过适当变形, 转化为可利用极限运算法则和重要极限的形式进行计算, 本节将用导数 作为工具, 给出计算这类极限的一种方法, 即洛必达法则 3 畅 畅 0 0 型未定式 定理 3 畅 5 若函数 f( ) 与 g( ) 满足下列条件 : () a f ( ) = 0, a g( ) = 0 () 在点 a 的某个邻域内 ( 点 a 本身可以除外 ),f ( ) 与 g ( ) 存在, 且 g ( ) 0 f ( ) (3) a 存在 ( 或无穷大 ) g ( ) f ( ) 则有 a g( ) = a f ( ) g ( ) f ( ) 定理 3 畅 5 中, 当 时, 结论仍然成立 ; 如果仍满足定理的条件, 还可以继续 g ( ) 应用洛必达法则 例 3 畅 4 求 0 sin a sin b ( b 0) sin a 解 0 sin b = acos a 0 bcosb = a b 例 3 畅 5 求 解 0 e 0 e + e cos + e - - = - cos 0 e - e - = sin 0 e + e - = cos

61 54 微积分 例 3 畅 6 求 解 = = = 3 3 畅 畅 型未定式 定理 3 畅 6 若函数 f( ) 与 g( ) 满足下列条件 : () a f ( ) =, a g( ) = () 在点 a 的某个邻域内 ( 点 a 本身可以除外 ),f ( ) 与 g ( ) 存在, 且 g ( ) 0 f ( ) (3) a 存在 ( 或无穷大 ) g ( ) f ( ) 则有 a g( ) = a f ( ) g ( ) f ( ) 定理 3 畅 6 中, 当 时, 结论仍然成立 ; 如果仍满足定理的条件, 还可以继续 g ( ) 应用洛必达法则 ln 例 3 畅 7 求 + ( n > 0) n ln 解 + = n + n n - ln cot 例 3 畅 8 求 0 + ln ln cot 解 = 0 + ln 0 + = + n = 0 n cot ( - ) csc 0 + = = - cos 0 + sin = - n 例 3 畅 9 求 + e ( n 为正整数,λ > 0) λ 解多次应用洛必达法则得 + n e λ = + 3 畅 畅 3 其他类型的未定式 n n- λe λ = + 其他未定式, 如 -, 0,0 0,, 0 cos sin n( n - ) n- = = λ e λ + 或型未定式来计算 例 3 畅 0 求 (sec - tan ) ( - 型 ) π - sin - cos 解 (sec - tan ) = = π π cos π - sin = 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo n! = 0 λ n e λ 型, 可通过通分 取对数等方法化为 0 型 0

62 例 3 畅 求 0 + n ln ( n > 0) (0 型 ) ln 解 ln = 0 + n 0 + = - n 0 + 例 3 畅 求 (0 0 型 ) 0 + 解设 y =, 取对数得 - n - n - 第 3 章微分中值定理与导数的应用 55 = ln y = ln, - n n = 0 当 0 + 时, 上式右端是 (0 ) 型未定式 应用例 3 畅 的结果, 得 ln y = 0 + ( ln ) = 0 畅所以 y = = e ln y eln 0 + = e 0 = 例 3 畅 3 求 0 tan - sin 解 0 tan - 习题 3 畅 sin = 0 畅求下列极限 () a e (3) + - e a - a arccot tan - 3 = sec = sec tan 0 6 m - a m () a n - a n - sin (4) 0 3 ln( + ) tan (5) 0 (6) tan3 (7) + π π - arccot (8) - - ln (9) - ln( + )cos (0) 0 sin ln n () () (3) - - ln (4) sin 0 + (5) (tan ) cos (6) π - + 畅验证极限 3 畅 3 畅 函数单调性的判定方法 + ( n 为正整数 ) + sin 存在, 但不能用洛必达法则求出 3 畅 3 函数的单调性与曲线的凹凸性 = 3 tan = 0 3 在讨论函数时, 我们已经定义了函数在某一区间内的单调性, 下面利用导数来对函数

63 56 微积分 的单调性进行研究 定理 3 畅 7 若函数 y = f( ) 在 [ a,b] 上连续, 在 ( a,b) 内可导, 则 () 在 ( a,b) 内 f ( ) > 0, y = f( ) 在 [ a,b] 上单调增加, 对应的函数曲线是上升的 () 在 ( a,b) 内 f ( ) < 0, y = f( ) 在 [ a,b] 上单调减少, 对应的函数曲线是下降的 证明在 [ a,b] 上任取两点, 不妨设 <, 由定理的条件知, 函数 y = f( ) 在 [, ] 上连续, 在 (, ) 内可导 由拉格朗日中值定理可知, 至少存在一点 ξ (, ), 使得 即 f( ) - f( ) = f (ξ)( - ), 由于在上式中, - > 0, 因此, 如果在 ( a,b) 内 f ( ) > 0, 那么也有 f (ξ) > 0 畅于是 f( ) - f( ) = f (ξ)( - ) > 0, f( ) < f( ), 表明函数 y = f( ) 在 [ a,b] 上单调增加, 对应的函数曲线在此区间是上升的 同理, 如果在 ( a,b) 内 f ( ) < 0, 那么 f (ξ) < 0 畅于是 f( ) - f( ) < 0, 即 f( ) > f( ), 表明函数 y = f( ) 在 [ a,b] 上单调减少, 对应的函数曲线在此区间是下降的 例 3 畅 4 确定函数 f( ) = 的单调区间 解函数的定义域为 ( -,+ ), 且函数的导数 f ( ) = 3-3 = 3( + )( - ), 令 f ( ) = 0, 解得 = - = 于是 = - = 将定义域 ( -,+ ) 分为 ( -,- ] [ -,] 及 [,+ )3 个区 间 在区间 ( -,- ] 内, f ( ) > 0 畅因此, 函 f( ) 数在 ( -,- ] 内单调增加 ; 在区间 [ -,] 内,f ( ) < 0 畅因此, 函数 f( ) 在 [ -,] 内单调减少 ; 在区间 [,+ ) 内, f ( ) > 0 畅因此, 函 f( ) 数在 [,+ ) 内单调增加 例 3 畅 5 证明 : 当 > 时, > 3 - 证明令 f( ) = - 3 -, 则 f ( ) = - = ( - ), f( ) 在 [,+ ) 上连续, 在 (,+ ) 内 f ( ) > 0, 因此在 [,+ ) 上单调增加, 从而 当 > 时, f( ) > f() 由于 f() = 0, 故 f( ) > f() = 0, 即 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo > 0 故 > 3-3 畅 3 畅 函数图形的凹凸性与拐点 在研究函数曲线的变化时, 仅知道曲线的上升下降还不够, 如图 3 畅 3 所示的函数 y =

64 第 3 章微分中值定理与导数的应用 57 f( ) 的图形在区间 ( a,b) 内虽然一直是上升的, 但却有不同的弯曲状况 从左向右, 曲线先是向上弯曲, 通过 P 点后, 扭转了弯曲的方向, 而向下弯曲 因此, 研究函数图形时, 考察它的弯曲方向以及扭转弯曲方向的点, 是很有必要的 下面给出曲线凹凸性的定义 定义 3 畅 如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点切线的上方, 则称曲线在这个区间内是凹弧, 如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点切线的下方, 则称曲线在这个区间内是凸弧 定理 3 畅 8 若函数 f( ) 在区间 ( a,b) 内具有二阶图 3 畅 3 导数, 那么 () 若在 ( a,b) 内 f ( ) > 0, 则函数 f( ) 在 [ a,b] 上的图形是凹弧 () 若在 ( a,b) 内 f ( ) < 0, 则函数 f( ) 在 [ a,b] 上的图形是凸弧 因为 f ( ) > 0 时,f ( ) 单调增加, 即 tanα 由小变大, 所以由图 3 畅 4 可见曲线是凹弧 反之, 如果 f ( ) < 0, 则 f ( ) 单调减少, 即 tanα 由大变小, 所以由图 3 畅 5 可见曲线是凸弧 图 3 畅 4 图 3 畅 5 定义 3 畅 连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点, 称为该曲线弧上的拐点

65 58 微积分拐点既然是凹弧与凸弧的分界点, 所以在拐点左右邻近 f ( ) 必然异号, 因而拐点可能在 f ( ) = 0 或 f ( ) 不存在的点产生 例 3 畅 6 求曲线 y = 的凹凸区间及拐点 解求导数 y = 4 3-6, y = - = ( - ) 令 y = 0, 得 = 0 = 下面列表说明函数的凹凸区间及拐点, 见表 3 畅 表 3 畅 ( -,0) 0 (0,) (,+ ) y y ( 拐点 ) 0( 拐点 ) 可见, 曲线在区间 ( -,0),(,+ ) 上是凹弧 ; 在区间 (0,) 上是凸弧 ; 曲线的拐点 是 (0,) 和 (,0) 0) 例 3 畅 7 求曲线 y = ( - ) 5 3 的凹凸区间及拐点 解求导数, 当 = 时,y = 0,y 不存在 y = 5 3 ( - ) 3, y = 0 9 ( - ) - 3 下面列表说明函数的凹凸区间及拐点, 见表 3 畅 表 3 畅 ( -,) (,+ ) y - 不存在 + y 0( 拐点 ) 因此, 曲线在区间 ( -,) 上是凸弧 ; 在区间 (,+ ) 上是凹弧 ; 曲线的拐点是 (, 习题 3 畅 3 畅确定函数 f( ) = 的单调区间 畅证明当 0 时,e > + 3 畅证明当 0 < < π 时,sin > π 4 畅求曲线 y = ln( + ) 的凹凸区间及拐点 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 3 畅 4 畅 函数的极值 3 畅 4 函数的极值与最值 定义 3 畅 3 如果函数 y = f( ) 在点 0 的某邻域内有定义, 并且 f( 0 ) 的值比在 0 附