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2 全无敌 经典教材配套丛书 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 李红英 主编

3 图书在版编目 (CIP) 数据微积分同步辅导与习题全解 : 高教社 朱来义 第三版 / 李红英主编. 上海 : 华东理工大学出版社, ( 全无敌 经典教材配套丛书 ) ISBN Ⅰ. 1 微 Ⅱ.1 李 Ⅲ. 1 微积分 高等学校 教学参考资料 Ⅳ. 1O172 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2015) 第 号 内容提要 本书是与朱来义主编的面向 21 世纪课程教材 微积分 ( 第三版 ) 配套的学习辅导书, 根据全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 ( 经济类 ) 的要求编写而成 为了与教材保持同步, 本书按原书的编排顺序逐章编写 每章内容包括 : 大纲要求 知识结构图 基本内容 重点难点剖析 典型例题解析 练习题全解 习题全解等七个栏目 本书相对于教材有一定的独立性, 可作为非数学专业微积分课程的学习参考书, 也可作为考研的复习指导书 全无敌 经典教材配套丛书 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 主编 / 李红英责任编辑 / 李晔责任校对 / 金慧娟出版发行 / 华东理工大学出版社地址 : 上海市梅陇路 130 号, 电话 :(021) ( 营销部 ) (021) ( 编辑室 ) 传真 :(021) 网址 :press.ecust.edu.cn 印刷 / 常熟市华顺印刷有限公司开本 /787mm 1092mm 1/16 印张 /20.5 字数 /551 千字版次 /2015 年 8 月第 1 版印次 /2015 年 8 月第 1 次书号 /ISBN 定价 /42.00 元 联系我们 : 电子邮箱 press@ecust.edu.cn 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 天猫旗舰店 htp://hdlgdxcbs.tmal.com

4 为了帮助经济类和管理类在校学生和自学者学好 微积分, 为了给他们备考研究生提供一份复习资料, 我们总结在教学中积累的大量资料和汇集的考题, 编写了这本配套朱来义主编的面向 21 世纪课程教材 微积分 ( 第三版 ) 同步辅导书 全书根据全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 ( 经济类 ) 的要求编写 为了与教材保持同步, 本书按原书的编排顺序逐章编写 每章内容包括 : 大纲要求 知识结构图 基本内容 重点难点剖析 典型例题解析 练习题全解 习题全解等七个栏目 此外, 还归纳了考研题和例题的解答过程中的常用方法 技巧及易错之处, 尽量使解题方法标准 简捷 巧妙 考虑到经管类学生和自学者学习数学过程中缺少过程指导书的困难, 编写此书时, 在选材 理论推导 文字叙述等诸多方面尽量满足其需要, 并且在例题后增加了注意要点 解题思路和分析, 帮助学生总结解题经验, 避免常犯错误 本书可作为经济和管理类本科生的学习辅导书, 更是自学者和有志攻读经济和管理类硕士研究生青年的良师益友, 对于从事 微积分 教学的教师也有一定的参考价值 由于水平有限, 不足与不当之处在所难免, 恳请读者和专家批评指正 编者 2015 年 6 月

5 2< 第 1 章函数 1 一 大纲要求 1 二 本章知识结构图 1 三 本章基本内容 2 四 重点难点剖析 6 五 典型例题解析 6 六 练习题全解 8 七 习题全解 18 第 2 章极限与连续 21 一 大纲要求 21 二 本章知识结构图 21 三 本章基本内容 22 四 重点难点剖析 26 五 典型例题解析 27 六 练习题全解 31 七 习题全解 44 第 3 章导数与微分 50 一 大纲要求 50 二 本章知识结构图 50 三 本章基本内容 51 四 重点难点剖析 55 五 典型例题解析 56 六 练习题全解 60 七 习题全解 73 第 4 章微分中值定理与导数的应用 76 一 大纲要求 76 二 本章知识结构图 76

6 目 录 三 本章基本内容 77 四 重点难点剖析 82 五 典型例题解析 84 六 练习题全解 87 七 习题全解 103 第 5 章不定积分 109 一 大纲要求 109 二 本章知识结构图 109 三 本章基本内容 110 四 重点难点剖析 113 五 典型例题解析 114 六 练习题全解 119 七 习题全解 130 第 6 章定积分 137 一 大纲要求 137 二 本章知识结构图 137 三 本章基本内容 138 四 重点难点剖析 142 五 典型例题解析 143 六 练习题全解 147 七 习题全解 170 第 7 章多元函数微积分学 178 一 大纲要求 178 二 本章知识结构图 179 三 本章基本内容 180 四 重点难点剖析 186 五 典型例题解析 187 六 练习题全解 194 七 习题全解 228 第 8 章无穷级数 234 一 大纲要求 234 二 本章知识结构图 235 三 本章基本内容 236 四 重点难点剖析 240 五 典型例题解析 241 六 练习题全解 244 七 习题全解 269 第 9 章微分方程初步 279 一 大纲要求 279 二 本章知识结构图 279 三 本章基本内容 280 >3

7 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 四 重点难点剖析 282 五 典型例题解析 283 六 练习题全解 285 七 习题全解 300 第 10 章差分方程 308 一 大纲要求 308 二 本章知识结构图 308 三 本章基本内容 308 四 重点难点剖析 310 五 典型例题解析 310 六 练习题全解 311 七 习题全解 320 4<

8 第 1 章函数 一 大纲要求 1. 理解函数的概念 2. 掌握函数的单调性 周期性 奇偶性和有界性 3. 理解反函数和复合函数的概念 4. 熟悉基本初等函数的性质及图形 5. 理解初等函数和隐函数的概念 6. 了解简单函数关系的建立 二 本章知识结构图 求定义域函数的定义求函数表达式 ì 求反函数 有界性 ì 单调性 函数的性质 í 奇偶性 î周期性 基本初等函数 函数的类型初等函数 函数 í 非初等函数 显函数 ì 隐函数 函数的形式 í复合函数 参数方程确定的函数 î分段函数 总成本函数 ì 总收入函数 î 简单函数关系的建立 í总利润函数 需求函数 î供给函数 >1

9 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 三 本章基本内容 1. 预备知识 表 1 1 绝对值 邻域 名称定义注意 实数与数轴实数的绝对值及其基本性质区间与邻域 有理数和无理数统称为实数, 数轴是一条有原点 正方向和长度 单位的直线 x R x = x, 当 x 0 时 ; -x, 当 x<0 时 x R,y R 1. x 0; 2. -x = x ; 3.- x x x ; 4. x±y x + y ; 5. x - y x-y ; 6. xy = x y ; 7. x y = x y ( y 0) 设 δ>0, 我们称 Oδ(x 0 ) 为 x 0 的 δ 邻域 ( 实心邻域 ), 即 Oδ(x 0 )= (x 0 -δ,x 0 +δ); 我们称 Oδ(x 0 )/x 0 } 为 x 0 的 δ 去心邻域 ( 空心 邻域 ), 即 Oδ(x 0 )/x 0 }=(x 0 -δ,x 0 ) (x 0,x 0 +δ); 设 M>0, 我 们称 x >M 为 点的 M 邻域, 记为 OM ( ) 微积分中的函数都是在实数范围里讨论 1. 实心邻域与空心邻域的区别 2.(x 0 -δ,x 0 ) 为 x 0 的左邻域, (x 0,x 0 +δ) 为 x 0 的右邻域 3. 邻域是开区间 2. 函数概念 表 1 2 函数 名称定义注意 设有两个变量 x 与 y, 变量 x 属于某实数集合 D, 如果存在一个 确定的法则 ( 也说对应规则 )f, 使得对于每一个 x D, 都有唯一 函数 的一个实数 y 与之对应, 则称这个对应法则 f 为定义在实数集 合 D 上的一个一元函数, 简称函数,D 称为 f 的定义域 R(f)=y y=f(x),x D(f)},R(f) 称为 f 的值域 二要素 : 定义域 对应法则 复合 函数 反函数 已知函数 y=f(u),u D(f),y R(f),u=g(x),x D(g),u R(g). 如果 D(f) R(g) ( 空集 ), 则称函数 y=f[g(x)], x x g(x) D(f)} 为由函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合而成的 复合函数 设函数 y=f(x) 的定义域是 D(f), 值域是 R(f), 如果对每一个 y R(f), 都有唯一确定的 x D(f) 与之对应且满足 y=f(x), 则 x 是定义在 R(f) 上以 y 为自变量的函数, 记此函数为 x= f -1 (y),y R(f) 并称其为函数 y=f(x) 的反函数 D(f) R(g) 为复合条件, 否 则不能复合 2<

10 第 1 章函数 续 表 名称定义注意 初等 函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的函数 称为初等函数 有限次 隐函数 设二元方程 F(x,y)=0, 对于某一实数集合 D 内的每一个 x, 均有上述方程唯一确定的 y 与之对应 ( 此处的 y 与 x 一起满足方程 ), 称由方程 F(x,y)=0 确定了一个定义在 D 上的隐函数 y= f(x),x D. 也称方程 F(x,y)=0 为隐式方程 3. 函数的性质 表 1 3 函数的几种特性 性质定义图例或说明 有界性 函数 f(x) 的定义域为 D, 若存在 M >0, 对 x D 有 f(x) M, 称 f(x) 在 D 内有界, 或称 f(x) 为 D 内的 有界函数. 上界 : M1, 对 x D, 有 f(x) M1; 下界 : M2, 对 x D, 有 f(x) M2 无界性 函数 f(x) 的定义域为 D, 对 M >0, x 0 D, 使 f(x 0 ) >M, 称 f(x) 在 D 上无界 如 :f(x)= 1 x 在 (0,+ ) 上无界 ; M>0, x 0 = 1 2M, f(x 0 )=2M>M 函数 f(x) 的定义域为 D, x 1,x 2 D, 当 x 1 < 单调 增加 x 2 时, 恒有 f(x 1 ) f(x 2 ), 称 f(x) 在区间 D 上 单调增加, 若恒有 f(x 1 )<f(x 2 ), 称 f(x) 在区 间 D 上严格单调增加 单调性 函数 f(x) 的定义域为 D, x 1,x 2 D, 当 x 1 < 单调 减少 x 2 时, 恒有 f(x 1 ) f(x 2 ), 称 f(x) 在区间 D 上 单调减少, 若恒有 f(x 1 )>f(x 2 ), 称 f(x) 在区 间 D 上严格单调减少 >3

11 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 续 表 性质定义图例或说明 函数 f(x) 在一个关于原点对称的实数集合 D 偶函数 内有定义, 若对 x D, 有 f(x)=f(-x), 称 f(x) 为集合 D 内的偶函数 奇偶性 函数 f(x) 在一个关于原点对称的实数集合 D 奇函数 内有定义, 若对 x D, 有 f(-x)= -f(x), 称 f(x) 为集合 D 内的奇函数 周期性 函数 f(x) 的定义域为 D, 若存在一个非零常数 T, 使对 x D, 有 (x+t) D, 且 f(x+t)=f(x) 恒成立, 称 f(x) 为 D 上的周期函数, 满足上式的最小正数 T0 称为 f(x) 的基本周期, 简称周期 4. 基本初等函数 表 1 4 定义 性质 图形 名称定义与性质图形 常数 函数 y=c,c 为常数, 定义域为 (-,+ ), 其图形为平行于 x 轴的直线 幂函数 y=x α (α 为实数 ), 当 x>0 时, α>0, 为增函数 ; α<0, 为减函数 指数 函数 y=a x (a>0,a 1), 定义域为 (-,+ ), 当 a>1 时, 为严格单调增加函数 ; 当 0<a<1 时, 为严格单调减少函数 4<

12 第 1 章函数 续 表 名称定义与性质图形 正弦函数 :y=sinx, 定义域为 (-,+ ), 奇函数, 周期 T=2π, sinx 1, 最大值为 1, 最小值为 -1 余弦函数 :y=cosx, 定义域为 (-,+ ), 偶函数, 周期 T=2π, cosx 1, 最大值为 1, 最小值为 -1 三角 函数 正切函数 :y=tanx, 定义域为 x kπ+ π 2, k=0,±1,±2, }, 奇函数, 周期 T=π 余切函数 :y=cotx, 定义域为 x kπ,k=0,±1,±2, }, 奇函数, 周期 T=π 反三角 函数 反正弦函数 :y=arcsinx, 定义域为 [-1,1], [ ], 值域为 - π 2,π 2 奇函数, 单调增函数 1 1 反余弦函数 :y=arccosx, 定义域为 [-1,1], 值域为 [0,π], 非奇非偶函数, 单调减函数 >5

13 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 四 重点难点剖析 1. 函数定义两要素 : 定义域及对应规则 f. 2.f(x) 有界, 则 f(x) 有下界 -M 和上界 M ; 反之, 若 f(x) 有上界 M1 和下界 M2, 则 f(x) 必有 界,M=max M1, M2 }. 3. 注意复合函数 y=f[g(x)] 的定义及构成复合函数的条件. 如果 D(f) R(g) ( 空集 ), 则可以复合成复合函数 ; 如果 D(f) R(g)=, 不能复合成复合函数. 例 y=f(u)=ln(u 2-1),u=g(x)=cosx 不能复合为 y=ln(cos 2 x-1). 4. 周期函数的周期是指最小正周期, 但最小正周期不一定存在, 如常数函数 y=c 狄利克雷函数 D(x)= 1,x 为有理数 ; 均为周期函数, 但无最小正周期. 0,x 为无理数 5. 掌握分段函数的表示法和定义域. 五 典型例题解析 6< 例 1 指出下面各组中两个函数是否相同, 并说明理由. (1)f(x)= x x, g(x)= x2 x ; (2)f(x)=x+1,g(x)= (x+1) 2 ; (3)f(x)=x,g(x)=sin(arcsinx). 解 (1)f(x) 与 g(x) 相同. 因为它们的定义域相同, 都是 (-,0) (0,+ ), 对应关系也相同, 是 y= 1,x>0; -1,x<0. (2)f(x) 与 g(x) 不同. 因为它们的对应关系不同,g(x)= x+1. (3)f(x) 与 g(x) 不同. 因为它们的定义域不同. f(x) 的定义域是 (-,+ ), 而 g(x) 的定义域为 [-1,1]. 例 2 已知 f(x)= 1 lg(3-x) + 解 ì3-x>0, 要使函数 f(x) 有意义, 应有 í3-x 1, î-7 x 7 49-x2, 求 f(x) 的定义域及 f[f(-7)]. 解之得 -7 x<2 及 2<x<3, 因为 f(-7)= 1 lg10 =1, 所以 f[f(-7)]=f(1)= lg2 关于定义域的求法应注意 : 如果函数是一个抽象的数学式子, 则其定义域是使这个式子有意 义的一切实数, 这时应注意到 :1 分式的分母不能为零 ;2 偶次根号下应大于或等于零 ;3 对数的 真数应大于零 ;4 arcsinx 或 arccosx, 其中 x 1;5 若函数表达式由几项组成, 则其定义域是各 项定义域的公共部分 ;6 分段函数定义域是各段定义域的并集.

14 第 1 章函数 例 3 设 f(x)= x x-1, 试求 æ f(f(x)),f(f(f(x))),f 1 ö ç èf(x) ø. x f(f(x))= f (x) f(x)-1 = x-1 =x (x 1). x x-1-1 f(f(f(x)))= f (f(x)) f(f(x))-1 = x x-1 =f (x) (x 1). 1 æ f 1 ö ç èf(x) ø = f(x) 1 = 1 f(x) -1 1-f(x) =1-x (x 0,1). 本题是考查对函数符号的理解以及函数符号的运用, 若令 fn(x)=f[ f (x)], 则可利用数学} n 层归纳法证得 f2k(x)=x, f2k+1(x)=f(x)., x 1; 例 4 设 f(x)= 2-x2 求 f[f(x)]. 0, x >1, 解因为 f[f(x)]= 2- (f(x)) 2, f(x) 1; 0, f(x) >1. 所以关键是要找出使 f(x) 1 和 f(x) >1 时的 x 的范围. 当 x <1 时,f(x)= 2-x 2 >1; x =1 时,f(x)=1; x >1 时,f(x)=0, 所以 ì0, x <1; f[f(x)]= í1, x =1; î 2, x >1. 例 5 证明下列函数在所示区间内是单调的 : (1)f(x)=2 1-x (- <x<+ ); (2)f(x)= 1+x x ( 0<x<+ ). 证明 (1) 设 - <x 1 <x 2 <+, 则 f(x 1 )-f(x 2 )=2 1-x x 2 =2 1-x 2(2 x 2 -x 1-1 ). 因为 x 2 -x 1 >0, 故 2 x 2 -x 1 >1, 所以 f(x 1 )-f(x 2 )>0, 即 f(x) 是单调减少的. (2) 设 0<x 1 <x 2 <+, 则 f(x 1 )-f(x 2 )= 1+x 1 x 1-1+x 2 x 2 = x 2-x 1 x 1 x 2. 因为 x 2 -x 1 >0,x 1 x 2 >0, 所以 f(x 1 )-f(x 2 )>0, 即 f(x) 是单调减少的. 例 6 判断下列函数的奇偶性 : (1)f(x)=e x2 sinx; (3)f(x)=ln(x+ 1+x 2 ) (a>0,a 1). ì2x+3,0<x π; (2)f(x)= í0, x=0; î2x-3,-π x<0; 解 (1)f(-x)=-e (-x)2 sinx=-f(x), 故 f(x) 为奇函数. (2)x [-π,0) 时,-x (0,π],f(-x)=-2x+3=-f(x); x (0,π] 时,-x [-π,0),f(-x)=-2x-3=-f(x). 又 f(0)=0, 综上所述, 对任何 x [-π,π],f(-x)=-f(x), 故 f(x) 为奇函数. (3)f(-x)=ln(-x+ 1 1+x 2 )=ln x+ 1+x 2=-f (x), 故 f(x) 为奇函数. >7

15 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 例 7 证明下列函数的有界性 : (1)f(x)= 1+x2 1+x 4 (- <x<+ ); (2)f(x)= ex -e -x e x +e -x 证明 (1) 对任何实数 x, 有 0< 1+x2 1+x 4 = 1 1+x 4 + x2 1+x =3 2, 即 0<f(x) 3 2, 所以 f(x) 在 (-,+ ) 内是有界函数. (2) 当 x 0 时,f(x)=1-2 e 2x +1, 此时,0 f(x)<1; 当 x<0 时,f(x)=-1+ 2 e -2x +1, 此时,-1<f(x)<0. 故对任何 x,-1<f(x)<1, 即 f(x) 在 (-,+ ) 内是有界函数. 例 8 证明 (- <x<+ ). 设 f(x) 是以 T>0 为周期的函数, 证明 f(cx)(c>0) 是以 T 为周期的函数. C 令 F(x)=f(Cx), 则 æ F x+ T ö ç è C ø =f C æ x+t ö ç è C ø [ ] =f(cx+t)=f(cx)=f(x), 故 f(cx) 是以 T 为周期的函数. C 例 9 设 f(x)= 0,x<0; g(x+1)=x 2 +x+1, 试求 f[g(x)],g[f(x)]. x,x 0, 解因为 g(x+1)=x 2 +x+1=(x+1) 2 -(x+1)+1, 于是 g(x)=x 2 -x+1= x- 1 2 æ ö ç + 3 è 2 ø 4 >0, 所以 f[g(x)]= 0, g(x)<0; =x 2 -x+1 x (-,+ ), g(x),g(x) 0 g[f(x)]=f 2 (x)-f(x)+1= 1, x<0; x 2 -x+1,x 0. 例 10 设某商品的需求函数为 Qd=15-0.4P, 其中 P 为销售价格, 总成本函数为 C= Qd, 求该商品总利润对于销售价格的函数. 解当销售量为 Qd 时, 总收入为 R(P)=QdP=(15-0.4P)P. 于是总利润对于销售价格的函数为 L(P)=R(P)-C(Qd)=(15-0.4P)P-[12+0.3(15-0.4P)]=15.12P-0.4P 六 练习题全解 8< 练习 解下列不等式, 并用区间表示不等式的解集 : (1) x+1 <3; (2) x-2 5; (3) 2x+1 > x-1 ; (4) x >x+1; (5)0< ax+b <δ (a,b,δ 均为正的常数 ); (6) x+1 + x-1 4. 解 (1) 原不等式等价于 -3<x+1<3-4<x<2 (-4,2)

16 第 1 章函数 (2) 原不等式等价于 x-2 5 x 7 或 x-2-5 x -3 (-,-3] [7,+ ) x>0 (3) 原不等式等价于 (2x+1) 2 >(x-1) 2 x(x+2)>0 得 x>0 x+2>0 x<0 或得 x<-2 (-,-2) (0,+ ) x+2<0 x+1 0 (4) 原不等式等价于或 x+1<0-1 x<- 1 或 x<-1 x<- 1 x 2 >x 2 +2x 故原不等式的解集为 æ -,- 1 ö ç è 2 ø (5) 因为 ax+b 0 所以 x - b a ax+b <δ -δ<ax+b<δ -δ-b a <x<δ-b æ - 1 a a ( δ+b),- b ö ç è a ø æ -b a,1 a ( ö ç δ-b) è ø (6) 当 x -1 时 -(x+1)-(x-1) 4 x -2 当 x 1 时 x+1+x-1 4 x 2 当 -1<x<1 时 x+1-(x-1) 恒成立, 所以原不等式的解集为 [-2,2] 2. 利用不等式 a+b < a + b, 证明 : (1) 当 x+1 < 1 2 时, x-2 < 7 2 ; (2) 当 x-1 1 时, x x-1. 证明 (1) 因为 a+b < a + b x-2 = x+1-3 < x < =7 2 (2) 当 x-1 1 时 x 2-1 = (x+1)(x-1) =3 x-1 3. 证明不等式 : (1) a-b a-c + c-b ; (2) a-b a + b. 证明 (1) 因为 a+b a + b 所以 a-b = (a-c)+(c-b) a-c + c-b (2) a-b = a+(-b) a + -b = a + b 练习 试判断下列每对函数是否是相同的函数, 并说明理由 : (1)y=x 与 y=2 log 2 x ; (2)y=sin(arcsinx) 与 y=x; (3)y=2lnx 与 y=lnx 2 ; (4)y= x 与 y= x 2 ; (5)y= 1+cos2x 与 y= 2cosx; (6)y=arctan(tanx) 与 y=x; (8)y=f(x) 与 x=f(y); 解 (1)y=x, 它的定义域为 D(f)=(-,+ ), (7)y=sin 2 x+cos 2 x 与 y=1; y=2 log 2 x, 它的定义域为 D(g)=(0,+ ) 因为定义域不同, 故 y=x 与 y=2 log 2 x 不相同. (2)y=sin(arcsinx), 它的定义域为 D(f)=[-1,1], y=x, 它的定义域为 D(g)=(-,+ ) 定义域不同, 故 y=sin(arcsinx) 与 y=x 不相同. (3)y=2lnx, 它的定义域为 :D(f)=(0,+ ) y=lnx 2, 它的定义域为 :D(g)=(-,0) (0,+ ) 定义域不同, 故 y=2lnx 与 y=lnx 2 不相同. (9)y=ln(x 2-1) 与 y=ln(x+1)+ln(x-1). >9

17 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) (4)f=y= x D(f)=(-,+ ) R(f)=[0,+ ) g=y= x 2 D(g)=(-,+ ) R(g)=[0,+ ) 定义域相同, 对应规则相同, 所以 y= x 与 y= x 2 相同. (5)f=y= 1+cos2x R(f)=[0,2] g=y= 2cosx R(g)=[- 2,2] 对应规则不同, 所以 y= 1+cos2x 与 y= 2cosx 不相同. (6)f=y=arctan(tanx) D(f)=x kπ+ π 2, k=0,±1,±2, } g=y=x D(g)=(-,+ ) 定义域不同, 所以 y=arctan(tanx) 与 y=x 不相同. (7)f=g=sin 2 x+cos 2 x D(f)=D(g)=(-,+ ) R(f)=R(g)=1 g=y=1, 定义域相同, 对应规则相同, 所以 y=sin 2 x+cos 2 x 与 y=1 相同. (8) 由函数表示法 无关特性 知 f(x)=f(y), 其定义域和对应关系完全相同, 所以 y=f(x) 与 x=f(y) 相同. (9)f=y=ln(x 2-1) D(f)=(-,-1) (1,+ ) g=y=ln(x+1)+ln(x-1) D(g)=(1,+ ) 定义域不同, 所以 y=ln(x 2-1) 与 y=ln(x+1)+ln(x-1) 不相同. 2. 求下列函数的定义域, 并用区间表示 : (1)y= x-2+ 1 x-3 +ln (5-x); (2)y= x+2 x -x ; (3)y=2 1 x +arcsinln 1-x ; (4)y=arcsin 1 x ; (5)y= 1-x 1+x ; (6)y=lnsinx; (7)y=e 1 x lnx. ìx-2 0 ìx 2 解 (1) íx-3 0 íx 3 D(f)=[2,3) (3,5) î5-x>0 îx<5 (2) x+2 0 x -2 x -x 0 D(f)=[-2,0) x<0 ìx 0 ìx 0 (3) í ln 1-x 1 í1-e 2 x 1-e -2 D(f)=[1-e 2,0) (0,1-e -2 ] î1-x>0 îx<1 x 0 (4) 1 x 1 x 0 D(f)=(-,-1] [1,+ ) x 1 或 x -1 1+x 0 (5) 1-x 1+x 0 x -1 D(f)=(-1,1] -1 x 1 (6) sinx>0 D(f)=(2kπ,(2k+1)π)(k=0,±1,±2, ) x (-,+ ) ìx 0 (7) í1-lnx 0 îx>0 ìx 0 íx e D(f)=(0,e) (e,+ ) îx>0 10<

18 第 1 章函数 3. 求下列分段函数的定义域, 并作出函数的图形 :, (1)y= 4-x2 x <2; ( 图 1 1) x 2-1, 2 x <4; ì1 x, x<0; (2)y= í ( 图 1 2) x-3, 0 x<1; î-2x+1,1 x<+. 解 图 1 1 图 1 2 (1)D(f)=(-4,-2] (-2,2) [2,4)=(-4,4) (2)D(f)=(-,+ ) 4. 求分段函数的函数值 f(0),f(1),f(-1),f(1.5),f(-1.5),f(1+k): (1)f(x)= 1-2x, x x 1; 2-1 (2)f(x)= 2, x 1; x 2 +1, x >1; 0, x=1. 解 (1)f(0)=1 f(1)=-1 f(-1)=3 f(1.5)=3.25 f(-1.5)=3.25 f(1+k)= 1-2 (1+k) 1+k 1 = -2k-1, -2 k 0; (1+k) k >1 k 2 +2k+2,k>0 或 k<-2 (2)f(0)=- 1 2 f (1)=0 f(-1)=0 f(1.5)=0.625 f(-1.5)=0.625 (1+k) 2-1 k f(1+k)= 2,(1+k) k = 2, k 0; 0, (1+k)=1 0, k=0 5. 将下列函数写成分段函数 : (1)f(x)=3x+ x-5 ; (2)f(x)= x 2-9 ; (3)f(x)=[x]-x,4 x<6; (4)f(x)= x x 2. 解 (1) 当 x 5 时,f(x)=3x+x-5=4x-5 当 x<5 时,f(x)=3x-x+5=2x+5 所以 f(x)= 4x-5,x 5 2x+5,x<5 (2) 当 x 3 时,f(x)=x 2-9 当 x <3 时,f(x)=9-x 2-9, 所以 f(x)= x2 x 3 9-x 2, x <3 >11

19 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) (3) 当 4 x<5 时,f(x)=4-x 当 5 x<6 时,f(x)=5-x 所以 f(x)= 4-x,4 x<5 5-x,5 x<6 (4) 当 x>0 时,f(x)= 1 x 当 x<0 时,f(x)=- 1 x ì 1 x, x>0 所以 f(x)= í - 1 x, x<0 î 练习 讨论下列函数的单调性 ( 指出其单调增加区间和单调减少区间 ): (1)y=e ax (a 0); (2)y= 4x-x 2 ; (3)y=x 3 +1; (4)y= x -x. 解 (1)D(f)=(-,+ ), 对 x 1,x 2 (-,+ ) 且设 x 1 <x 2 f(x 2 )-f(x 1 )=e ax 2 -e >0,a>0 ax 1 f (x 2 )>f(x 1 ),a>0 <0,a<0 f (x 2 )<f(x 1 ),a<0 f (x) 单调增加,a>0 f (x) 单调减少,a<0 当 a>0 时, 单调增加区间 (-,+ ) 当 a<0 时, 单调减少区间 (-,+ ) (2) 解法 1 D(f)=[0,4] x 1,x 2 [0,4] 设 x 2 >x 1 f(x 2 )-f(x 1 )= 4x 2 -x 2 2-4x 1 -x 2 1= 4x 2-x 2 2-4x 1 +x 2 1 4x 2 -x x 1 -x 2 1 = ( x 2 -x 1 ) [4-(x 2 +x 1 )] 4x 2 -x x 1 -x 2 1 当 0 x 2 时, 即 x 在 [0,2] 上 f(x) 单调增加 当 2 x 4 时, 即 x 在 [2,4] 上 f(x) 单调减少 解法 2 y= 4x-x 2 y 2 +(x-2) 2 =4 y 0 它表示圆心为 (2,0), 半径为 2 的半圆 ( 图 1 3) 当 0 x 2 时, 即在 [0,2] 上 f(x) 单调增加 当 2 x 4 时, 即在 [2,4] 上 f(x) 单调减少 (3)D(f)=(-,+ ), x 1,x 2 (-,+ ) 并设 x 2 >x 1 f(x 2 )-f(x 1 )=x x 3 1-1=x 3 2-x 3 1 =(x 2 -x 1 )(x 2 2+x 2 x 1 +x 2 1) 图 1 3 =(x 2 -x 1 ) x æ 2 x ö ç [ è ø 4 x2 1 ] 因为 x 2 >x 1, 所以 f(x 2 )-f(x 1 )>0,f(x 2 )>f(x 1 ),f(x) 单调增加, 单调增加区间 (-,+ ) (4)D(f)=(-,+ ), x 1,x 2 (-,+ ), 当 x 0 时,y=x-x=0 当 x<0 时,y=-x-x=-2x, 对 x 1,x 2 (-,0) 并设 x 2 >x 1 f(x 2 )-f(x 1 )=-2x 2 -(-2x 1 )=2(x 1 -x 2 )<0 所以 f(x 2 )-f(x 1 )<0 f(x 1 )>f(x 2 ) 所以严格单调减少区间 (-,0), 单调减少区间 (-,+ ) 12<

20 第 1 章函数 2. 讨论下列函数的奇偶性 : (1)f(x)= sinx x +cosx (x 0); (2)f(x)=x x 2-1+tanx; (3)f(x)=ln( x 2 +1-x); (4)f(x)=ln 1-x 1+x ; (5)f(x)= ex +e -x e x -e -x; (7)f(x)= 1-x,x<0; 1+x,x 0; 解 ( 6)f(x)=coslnx; (8)f(x)=x 2 -x+1. (1)f(-x)= sin (-x) -x +cos (-x)= sinx x +cosx=f (x) 所以 f(x) 为偶函数 (2)f(-x)=(-x) (-x) 2-1+tan(-x)=-x x 2-1-tanx =-(x x 2-1+tanx)=-f(x) 即 f(x)+f(-x)=0, 所以 f(x) 为奇函数 (3)f(-x)=ln[ (-x) 2 +1-(-x)]=ln(x 2 +1+x)=-ln(x 2 +1-x)=-f(x) 即 f(x)+f(-x)=0, 所以 f(x) 为奇函数 (4)f(-x)=ln 1- (-x) 1+(-x) =ln1+x 1-x =-ln1-x 1+x =-f (x) 即 f(x)+f(-x)=0, 所以 f(x) 为奇函数 (5)f(-x)= e-x +e x e -x -e x =- ex +e -x e x -e -x =-f(x), 即 f(x)+f(-x)=0, 所以 f(x) 为奇函数 (6) 该函数的定义域为 (0,+ ), 关于原点不对称, 所以 f(x) 为非奇非偶函数 (7)f(-x)= 1- (-x),x>0 = 1+x,x>0 1+(-x),x 0 =f(x) 1-x,x 0 即 f(x)-f(-x)=0, 所以 f(x) 为偶函数 (8)f(-x)=(-x) 2 -(-x)+1=x 2 +x+1, 所以 f(x) 为非奇非偶函数 3. 判断下列函数是否为周期函数, 如果是周期函数, 求其周期 : (1)f(x)=sin(2x+3); (2)f(x)=xcosx; (3)f(x)=sin 2 x; (4)f(x)=1+ sin2x. 解 (1)f(x+π)=sin[2(x+π)+3]=sin[(2x+3)+2π]=sin(2x+3)=f(x) 所以 T=π,f(x) 为周期函数, 且周期 T0=π (2) 若 T 是 f(x) 的周期 f(x+t)=(x+t)cos(x+t)=xcos(x+t)+tcos(x+t) =xcosxcost+tcosxcost-xsinxsint-tsinxsint =f(x)=xcosx, x (-,+ ) 令 x=0 得 TcosT=0, 又 T 0 所以 cost=0,sint=1 或 -1 f(x+t)=-xsinxsint-tsinxsint f(x) 所以 f(x) 为非周期函数 >13

21 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) (3)f(x)=sin 2 x= 1-cos2x 2 = cos2x f(x+π)= cos2 (x+π)= cos2x=f (x) 所以 f(x) 为周期函数, 且周期 T0=π (4)f(x)=1+ sin2x =1+ sin 2 2x=1+ 1-cos4x 2 æ æ f x+ π 1-cos4 x+ π ö ç ö ç è 2 ø =1+ è 2 ø 2 =1+ 1-cos4x 2 =f (x) 所以 f(x) 为周期函数, 且周期 T0= π 2 4. 已知 f(x) 是以 2 为周期的函数, 在 [0,2) 上,f(x)=x 2, 求 f(x) 在 [0,6] 上的表达式. ìx 2, 0 x<2; (x-2) 2,2 x<4; 解 f(x)= í (x-4) 2,4 x<6; î0, x=6 5. 设 f(x) 在 (-,+ ) 内有定义, 证明 :f(x)+f(-x) 为偶函数, 而 f(x)-f(-x) 为奇函数. 证明因为 f(x) 在 (-,+ ) 上有定义设 F(x)=f(x)+f(-x) F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=F(x) 即 f(x)+f(-x) 为偶函数设 G(x)=f(x)-f(-x) G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x) 所以 f(x)-f(-x) 为奇函数练习 求下列函数的反函数及反函数的定义域 : (1)y=ln(1-2x), D f =(-,0); (2)y= 9-x 2, D f =[0,3]; (3)y=2cos x 3, D f =[0,π]; (4)y= ex +e -x 2, D f =[0,+ ); (5)y=f(x)= x-1,x<0; (6)y= 2x-1, 0<x 1; x 2, x 0; 2- (x-2) 2,1<x 2. 解 (1)1-2x=e y, 所以 x= ey 所以反函数为 y= ex D(f -1 )=(0,+ ) (2)x= 9-y 2, 所以反函数为 y= 9-x 2 D(f -1 )=[0,3] (3)x=3arccos y 2 y=3arccosx 2 D (f -1 )=[1,2] 14<

22 第 1 章函数 (4)(e x ) 2-2ye x +1=0 所以 e x = 2y± 4y2-4 =y± y 2-1 ( 负的舍去 ) 2 x=ln(y+ y 2-1) 所以反函数为 y=ln(x+ x 2-1) D(f -1 )=[1,+ ) (5) 当 x<0 时 y=x-1,x=y+1 所以反函数为 y=x+1 又因为 y=x+1<0 所以 x<-1 当 x 0 时 y=x 2,x= y 所以 y= x x 0 所以 y= x+1,x<-1 D(f -1 )=(-,-1) (0,+ ) x, x 0 (6) 当 0<x 1 时 x= y+1 2 它的反函数为 y= x+1 2 D (f -1 ):-1<x 1 当 1<x 2 时 x=2-2-y y=2-2-x D(f -1 ):1<x 2 ì1 所以 y= 2 ( x+1), -1<x 1 í D(f -1 )=(-1,2] î2-2-x,1<x 2 练习 x,x 0; 1. 已知 f(x)= x2 求 f(x+1) 及 f(x)+f(-x). 2, x>0, 解 f(x+1)= ( x+1) 2 +2(x+1),x+1 0 = x2 +4x+3,x -1 2, x+1>0 2, x>-1 f(-x)= ( -x) 2 +2(-x),-x 0 = x2-2x,x 0 2, -x>0 2, x<0 ìx 2-2x+2,x>0, 所以 f(x)+f(-x)= í0, x=0, îx 2 +2x+2,x<0 2. 已知 f(x)= x 1-x ( x 1), 证明 :f f (x) f(x)-1 [ ] = 证明 f f (x) f(x)-1 3.(1) 已知 æ f x- 1 ö ç è x ø [ ] =-f(x). f(x) f(x)-1 f(x) 1- f (x) = f(x)-1-f(x) =-f (x) f(x)-1 = x2 1+x 4, 求 f(x); (2) 已知 f(x 2-1)=ln x2 x 2-2, 且 f[ φ (x)]=lnx, 求 φ ( x). 解 æ (1)f x- 1 ö ç è x ø = x2 令 x- 1 x =u 所以 f(u)= 1 u = = 1+x 4 1 +x x- 1 2 æ ö x 2 ç +2 è x ø 所以 f(x)= 1 x 2 +2 >15

23 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) (2)f(x 2-1)=ln x2 x 2-2 =ln( x 2-1)+1 (x 2-1)-1 f(u)=ln u+1 u-1 令 u=x 2-1 所以 f[ φ (x)]=ln φ( x)+1 φ ( x)-1 =lnx 所以 φ ( x)+1 φ ( x)-1 =x, φ (x)+1=xφ ( x)-x, φ (x)(x-1)=1+x, 所以 φ ( x)= 1+x x-1 4. 已知 f(x)=e x2,f[g(x)]=1-x, 且 g(x) 0, 求 g(x) 及其定义域. 解 f[g(x)]=e [ g(x)] 2 =1-x,ln(1-x)=[g(x)] 2 g(x) 0,g(x)= ln(1-x),d(g)=(-,0] 5. 在下列各题中, 求由给定函数复合而成的复合函数 : (1)y=u 2,u=lnv,v= x 3 ; ( 2)y= u,u=e x -1; (3)y=lnu,u=v 2 +1,v=tanx; 解 (1)y=u 2,u=lnv,v= x 3 (4)y=sinu,u= v,v=2x-1. 所以 æ y= ln x ö ç è 3 ø 2 16< (2)y= u,u=e x -1 所以 y= e x -1 (3)y=lnu,u=v 2 +1,v=tanx 所以 y=ln(tan 2 x+1) (4)y=sinu,u= v,v=2x-1 所以 y=sin 2x-1 6. 指出下列各函数是由哪些基本初等函数经复合或四则运算而成的 : (1)y=arccos x; (2)y=lnsin 2 x; (3)y=x x ; (4)y=arctane x. 解 (1)y=arccos x 是由 y=arccosu,u= x 复合而成的 (2)y=lnsin 2 x 是由 y=lnu,u=v 2,v=sinx 复合而成的 (3)y=x x 是由 y=e u,u=xlnx 复合而成的 ( 因为 x x =e xlnx, 所以 u 是两个初等函数的乘积 ) (4)y=arctane x 是由 y=arctanu,u=e v,v= x 复合而成的 7. 以下各对函数 f(u) 与 u=g(x) 中, 哪些可以复合构成复合函数 f[g(x)]? 哪些不可复合? 为什么? (1)f(u)=arcsin(2+u),u=x 2 ; (2)f(u)=arccosu,u= x 1+x 2; (3)f(u)= u,u=ln 1 1+x 2; ( 4)f(u)=ln(1-u),u=sinx. 解 (1)D(f)=[-3,-1],R(g)=[0,+ ),D(f) R(g)= 所以不能复合 (2)D(f)=[-1,1],R(g)= [ - 1 2,1 2 ], D(f) R(g)= [ - 1 2,1 2 ] 所以可以复合 f(x)=arccos x 1+x 2 (3)D(f)=[0,+ ),R(g)=(-,0],D(f) R(g) 所以可以复合 f(x)= ln 1 1+x 2 (4)D(f)=(-,1),R(g)=[-1,1],D(f) R(g) 所以可以复合 f(x)=ln(1-sinx)

24 第 1 章函数 练习 设 π<x< 3π 2, 且满足 sinx=a, 其中 a 是区间 (-1,0) 内的某个常数, 求 x 的值. 解 sin(x-π)=-a 0<x-π< π 2, 0<-a<1,0<arcsin(-a)< π 2 个角,arcsin(-a)=x-π 即 x=π+arcsin(-a)=π-arcsina 在 æ 0, π ö ç 内, 仅有一 è 2 ø 2. 设 -π<x<π, 若 cosx=- 3 2, 求 x 的值. æ 解 x 1 =arccos - 3 ö ç = 5π è 2 ø 6, x 1 Ⅱ 象限 æ x 2 =-arccos - 3 ö ç =- 5π è 2 ø 6, x 2 Ⅲ 象限 3. 取整函数 y=[x],x (-,+ ) 是否为初等函数? 为什么? 解不是. 因为 y=[x]=n,x [n,n+1),n=0,±1,±2, 不能用一个解析式表示. 4. 方程 xy 2 +y-1=0 能否确定 y 是 x 的隐函数? 若能, 试写出它的显函数形式. 解能. 从方程 xy 2 +y-1=0 中可以解出 ì x,x - 1 y= í 2x 4 î1, x=0 ì x,x - 1 或 y= í 2x 4 î1, x=0 练习 某工厂生产积木玩具, 每生产一套积木玩具的可变成本为 15 元, 每天的固定成本为 2000 元. 如果每套积木玩具的出厂价为 20 元, 为了不亏本, 问该厂每天至少生产多少套这种积木玩具? 解 已知 C1( 可变成本 )=15 元 / 套,C2( 固定成本 )=2000 元,P( 出厂价 )=20 元 / 套 设每天至少生产 Q 套积木玩具 PQ C1Q+C2 (P-C1)Q C2 (20-15)Q 2000 所以 Q 400 套 / 天 2. 某商场以每件 a 元的价格出售某种商品, 若顾客一次购买 50 件以上, 则超出 50 件的商品 以每件 0.8a 元的优惠价出售, 试将一次成交的销售收入 R 表示成销售量 x 的函数. 解 设 x 为销售量, 则 R(x)= ax, 0<x 50 = ax, 0<x 50 50a+0.8ax-0.8a 50,x>50 50a+0.8a (x-50),x>50 3. 设某商品的价格 P 与需求量 q 的关系为 P=24-2q, 试将该商品的市场销售总额 R 表示为 商品价格 P 的函数. 解 R(P)=P q=p 24-P 2 =12P-1 2 P2 >17

25 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 4. 某公司全年需购某商品 1000 台, 每台购进价为 4000 元, 分若干批进货. 每批进货台数相 同, 一批商品售完后马上进下一批货. 每进货一次需消耗费用 2000 元. 商品均匀投放市场 ( 即平均 年库存量为批量的一半 ), 该商品每年每台库存费为进货价格的 4%. 试将公司全年在该商品上的 投资总额表示为每批进货量的函数. 解 设该商品的投资总额为 y 元, 每批进货量为 x 台 y= 1000 x x = 2 x +80x 已知下列需求函数和供给函数, 求相应的市场均衡价格 P0: (1)Qd= P,Qs=-10+5P; (2)Q 2 d+p 2 =58,P=Qs+4. 解 (1)Qd=Qs P=-10+5P 17P=130 所以 P0= (2)Q 2 d=58-p 2 Qd=± 58-P 2 Qs=P-4 Qd=Qs ± 58-P 2 =P-4 58-P 2 =P 2-8P+16 P 2-4P-21=0 (P-7)(P+3)=0 所以 P0=7 P2=-3( 舍去 ) 所以 P0=7 七 习题全解 1. 设 f(x) 是定义在 R 上的函数, 证明 f(x) =f(x)sgn[f(x)]. ì1, x>0 其中 sgnx= í0, x=0 î-1,x<0 称为符号函数. ì 1,f(x)>0 证明 sgn[f(x)]= í 0,f(x)=0 î-1,f(x)<0 (1) 当 f(x)>0 时 f(x) =f(x) f(x)sgn[f(x)]=f(x) 1=f(x) f(x) =f(x) sgn[f(x)] (2) 当 f(x)<0 时 f(x) =-f(x) f(x)sgn[f(x)]=f(x) (-1)=-f(x) f(x) =f(x) sgn[f(x)] (3) 当 f(x)=0 时 f(x) =0 f(x)sgn[f(x)]=f(x) 0=0 综上所述 f(x) =f(x)sgn[f(x)] 2. 设 f(x) 在 [-a,a] (a>0) 上有定义, 证明 :f(x) 等于一个奇函数与一个偶函数的和. 证明 考虑 F(x)= 1 2 [ f(x)+f(-x)],g(x)= 1 2 [ f(x)-f(-x)] F(-x)= f (-x)+f(-(-x)) = [ f(-x)+f(x)]=f(x) 所以 F(x) 为偶函数 G(-x)= 1 2 [ f(-x)-f(-(-x))]= 1 2 [ f(-x)-f(x)]=-g(x) 所以 G(x) 为奇函数 18<

26 第 1 章函数 F(x)+G(x)= 1 2 f (x)+ 1 2 f (-x)+ 1 2 f (x)- 1 2 f (-x)=f(x) 故 f(x) 等于一个奇函数与一个偶函数之和 3. 求 y= x + x-1-4-2x 的最大值与最小值. 解当 x<0 时,y=-x+1-x-(4-2x)=1-2x-4+2x=-3 当 0 x<1 时,y=x+1-x-(4-2x)=1-4+2x=2x-3 当 1 x<2 时,y=x+x-1-(4-2x)=2x-1-4+2x=4x-5 当 x 2 时,y=x+x-1-(2x-4)=2x-1-2x+4=3 最大值 y=3, 最小值 y=-3( 图 1 4) 4.(1) 设 f(x) 是 [0,+ ) 上的单调减少函数, 证明 : 对任何满足 λ+μ=1 的正数 λ, μ 及 x [0,+ ) 有下列不等式成立 : f(x) λf(λx)+μf( μ x); 证明 x [0,+ ),λ+μ=1.λ=1-μ f(x) 在 [0,+ ] 上单调减少, 且 x λx,x μx 则有 f(x) f(λx) f(x) f( μ x) λ1+μ2 λf(x)+μf(x) λf(λx)+μf( μ x) (λ+μ ) f(x) λf(λx)+μf( μ x) f(x) λf(λx)+μf( μ x) 图 1 4 (2) 设 f(x) 是 (0,+ ) 内的单调减少函数, 证明 : 对任何满足 λ+μ=1 的正数 λ, x μ 及 x (0, + ) 有下列不等式成立 : f(x) f(λx)+f( μ x). 并由此证明 : 对任何正数 a,b, 有下列不等式成立 : 证明 由 1 得 f(a+b) f(a)+f(b). f(x) 是 (0,+ ) 内的单调减少函数 x f(x) x =( λ+μ ) f(x) (λ+μ ) x λf (λx) λx +μ f( μ x) μx =f (λx)+f( μ x) x 则 f(x) f(λx)+f( μ x) 若令 x=a+b,λ= a a+b, μ= b a+b, λ+μ= a+b a+b =1 则 λx=λ(a+b)= a a+b ( a+b)=a μx=μ ( a+b)= b a+b ( a+b)=b 所以 f(a+b) f(a)+f(b) 5.(1) 设 f(x) 在 R 上有定义, 证明 :y=f(x) 的图形关于直线 x=1 对称的充要条件是 f(x) 满足 f(x+1)=f(1-x),x R; (2) 设 f(x) 在 R 上有定义, 且 y=f(x) 的图形关于直线 x=1 与直线 x=2 对称, 证明 :f(x) 是周期函数, 并求 f(x) 的一个正周期. 1 2 >19

27 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 证明 (1) 必要性 : 由 y=f(x) 的图形关于直线 x=1 对称知 对 x R, 有 f(x)=f(2-x) 成立 因而对 x R, 有 f(x+1)=f(2-(x+1))=f(1-x) 成立 充分性 : 已知 f(x+1)=f(1-x),x R 即对 x R, 有 f(x)=f(2-x) 故 y=f(x) 的图形关于直线 x=1 对称 令 x+1=t, 有 f(t)=f(1-(t-1))=f(2-t) (2) 由 (1) 得,y=f(x) 的图形关于直线 x=1 与 x=2 对称的充要条件是对 x R, f(x) 满足 f(x)=f(2-x)=f(4-x), 故对任意的 x R 有 f(x+2)=f(2-(x+2))=f(4-(2+x))=f(2-x)=f(x), 故 f(x) 是以 2 为周期的周期函数 6. 设 f(x) 在 R 上处处有定义, 证明 : F(x)= [ f(x)] 2 1+[f(x)] 4 是 R 上的有界函数. 证明 F(x) = [ f(x)] 2 1+[f(x)] 4 [ f(x)] 2 2[f(x)] 2 = 1 2 ( 因为 1+[f(x)] 4 2[f(x)] 2 ) 故 F(x) 1 2 F (x) M= 1 2 在 R 上 F(x)= [ f(x)] 2 1+[f(x)] 4 是有界函数 20<

28 第 2 章 极限与连续 一 大纲要求 1. 了解极限的 ε-n ἐ-δ 定义 2. 理解函数左 右极限的概念及极限存在与左 右极限的关系 3. 掌握极限的性质及四则运算, 极限存在准则 ( 夹逼准则和单调有界准则 ), 会用两个重要极限求极限 4. 熟练掌握用等价无穷小求极限, 利用等价无穷小的性质求极限 5. 理解无穷小 无穷大的概念 6. 理解函数在一点连续的概念 ( 含左连续与右连续 ) 并会判断间断点的类型 7. 了解初等函数的连续性, 熟练掌握闭区间上连续函数的性质 ( 介值定理与最值定理 ) 二 本章知识结构图 ε-n 定义数列极限 ì 收敛数列的性质 定义 í lim f (x)=a(ε-x 定义 ) ì ìx lim f(x)=a(ε-δ 定义 ) î x x 函数极限 í 0 左 右极限 î极限存在的充要条件 单调有界必有极限 存在准则 夹逼准则极限与连续 í 定义 ì 性质 无穷小与无穷大 í 高阶无穷小 î比较等价无穷小 ( 主部定义 ) 同阶无穷小定义 î连续与间断间断点分类 性质 >21

29 微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 朱来义 第三版 ) 三 本章基本内容 1. 数列的极限 表 2 1 数列极限的定义 数列极限 lim x n =a(a 有限 ): ε>0, N >0, 当 n>n 时, 有 x n -a <ε n lim x n = : M >0, N >0, 当 n>n 时, 有 x n >M n 定 义 表 2 2 数列极限的性质 唯一性有界性保号性收敛数列与子数列的关系 若数列 x n } 的极限存在, 则极限值是唯一的 若数列 x n } 有极限, 则数列 x n } 有界 如果 lim x n =a, 且 a>0( 或 a<0), 则存在 N >0, 当 n>n 时,x n >0( 或 x n <0) n 如果数列 x n } 收敛于 a, 那么它的任一子数列也收敛, 且极限都为 a 数列 x n },yn} lim x n =A lim yn=b n n lim n 表 2 3 数列极限运算法则 (x n ±yn)=a±b; lim (x n yn)=a B; n x n 当 yn 0(n=1,2, ) 且 B 0 时,lim = A n yn B 表 2 4 极限存在准则 数列极限 存在准则 夹逼准则 单调有界 性判别法 假设存在正整数 N0, 使得 n N0 时, 给定数列 x n },yn},zn}, 满足 yn x n zn (n=1,2, ), 且 lim yn=lim zn=a, 则 lim x n =a(a 为有限或 ± ) n n n 单调上升有上界的数列必有极限 ; 单调下降有下界的数列必有极限 2. 函数的极限 表 2 5 函数极限的定义 lim f(x)=a (x 0,A 有限 ) ε>0, δ>0, x x 0 定义说明 函数极限 当 0< x-x 0 <δ 时, 有 f(x)-a <ε lim f(x)= (x 0 有限 ) M >0, δ>0, x x 0 当 0< x-x 0 <δ 时, 有 f(x) >M lim f (x)=a (A 有限 ) ε>0, X0>0, x 当 x >X0 时, 有 f(x)-a <ε lim f (x)= x M >0, X0>0, 当 x >X0 时, 有 f(x) >M 有 ± 两种情况有 x 趋于 + 和 - 两种情形有 x 趋于 +,-,f(x) 趋于 +,- 四种情形 22<

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