1991年全国硕士研究生入学考试政治试题（文科）

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1 考研资料下载中心 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一选择题 (~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) () 当时, f ( ) si a 与 g l b 等价无穷小, 则 A ( C) a, b. ( B) a, b. a, b. ( D) a, b. { } () 如图, 正方形, y, y 被其对角线划分为四个区域 D k,,, 4, I y cos ddy, 则 ma I k 4 k { } k k Dk - D y D D 4 D I I I A... I. B C D 4 - [ ] () 设函数 y f 在区间, 上的图形为 : f( ) O - - 则函数 F f t dt 的图形为 f( ) f( ) ( A). ( B). -

2 考研资料下载中心 f( ) f( ) - - ( C). ( D). { } { } (4) 设有两个数列 a, b, 若 lim a, 则 ( A) 当 b 收敛时, ab 收敛. ( B) 当 b 发散时, ab 发散. ( C) 当 b 收敛时, ab 收敛. ( D) 当 b 发散时, ab 发散. (5) 设 α, α, α 是维向量空间 R 的一组基, 则由基 α, α, α 到基 α + α, α + α, α + α 的过渡矩阵为 A ( C).. ( B ) ( D) * * () 设 A, B 均为阶矩阵, A, B 分别为 A, B 的伴随矩阵, 若 A, B, 则分块 O A 矩阵的伴随矩阵为 B O A ( C) O * A O * B * * B O B. ( B). * O A O * * A O A. ( D). * O B O

3 考研资料下载中心 (7) 设随机变量 X 的分布函数为 F ( ).Φ ( ) +.7Φ, 其中 Φ ( ) 为标准正态分布函数, 则 EX ( A) ( B). ( C).7... D. (8) 设随机变量与相互独立, 且服从标准正态分布 N,, Y 的概率分布为 X Y X { } P{ Y } P Y FZ ( z) 的间断点个数为, 记 FZ z 为随机变量 Z XY 的分布函数, 则函数 ( A ). ( B ). ( C ). ( D). 二填空题 (9-4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上.) (9) 设函数 f ( u, v ) 具有二阶连续偏导数, z z f, y, 则 y () 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 的通解为 y C + C e, 则非 + + 齐次方程 y ay by 满足条件 y, y 的解为 y + + {(, y, z) y z } () 已知曲线 L : y, 则 ds L () 设 Ω + +, 则 z ddydz T T T () 若维列向量 α, β 满足 α β, 其中 α 为 α 的转置, 则矩阵 βα 的非零特征值为 (4) 设 X, X,, X m 为来自二项分布总体 B, p 的简单随机样本, X 和 S 分别为样本均值和样本方差若 X + ks 为 p 的无偏估计量, 则 k 三解答题 (5 5- 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.) (5)( 本题满分 9 分 ) 求二元函数 f (, y) + y + y l y 的极值 Ω + ()( 本题满分 9 分 ) 设为曲线 y 与 y,,... 所围成区域的面积, 记 a S a, S a, 求与 S 的值 S y (7)( 本题满分分 ) 椭球面 S 是椭圆 + 绕轴旋转而成, 圆锥面 S 是过点 4

4 考研资料下载中心 y 4 ( 4,) 且与椭圆 + 相切的直线绕轴旋转而成 (Ⅰ) 求及 S 的方程 S (Ⅱ) 求与 S 之间的立体体积 S (8)( 本题满分分 ) f ( ) [ ] (Ⅰ) 证明拉格朗日中值定理 : 若函数在 a, b 上连续, 在 ( a, b) 可导, 则存在 ξ ( a, b), 使得 f ( b) f ( a) f ( ξ )( b a) ( Ⅱ ) 证明 : 若函数 f 在处连续, 在, δ δ > 内可导, 且 + f + lim f A, 则存在, 且 f + A dydz + ydzd + zddy (9)( 本题满分分 ) 计算曲面积分 I, 其中是曲面 + y + z + y + z 4 的外侧 ()( 本题满分分 ) 设 A 4 ξ (Ⅰ) 求满足 Aξ ξ 的 ξ. A ξ ξ 的所有向量, ξ. ξ (Ⅱ) 对中的任意向量, 证明,, ξ 无关 ()( 本题满分分 ) ξ ξ ξ ξ f,, a + a + a + 设二次型 (Ⅰ) 求二次型 f 的矩阵的所有特征值 ; (Ⅱ) 若二次型 f 的规范形为 y + y, 求 a 的值 ()( 本题满分分 ) 袋中有个红色球, 个黑色球与个白球, 现有回放地从袋中取两次, 每次取一球, 以 X, Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球黑球与白球的个数 { } (Ⅰ) 求 p X Z ; (Ⅱ) 求二维随机变量 ( X, Y ) 概率分布 4

5 考研资料下载中心 ()( 本题满分分 ) λ λ e, > 设总体 X 的概率密度为 f ( ), 其中参数 λ( λ > ) 未知, X,, 其他 X, X 是来自总体 X 的简单随机样本 (Ⅰ) 求参数 λ 的矩估计量 ; (Ⅱ) 求参数 λ 的最大似然估计量 5

6 考研资料下载中心 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. () 当时, f ( ) si a 与 g l b 等价无穷小, 则 ( A) a, b. ( B) a, b. ( C ) a, b. ( D) a, b. 答案 A 解析 f ( ) si a, g( ) l( b) 为等价无穷小, 则 f ( ) si a si a a cosa a si a lim lim lim 洛 lim 洛 lim g( ) l( b) ( b) b b a si a a lim a b 故排除 B, C b a b a a cos a 另外 lim 存在, 蕴含了 a cos a 故排除 ( ) a. D b y 所以本题选 A { } () 如图, 正方形, y, y 被其对角线划分为四个区域 D k,,, 4, I y cos ddy, k 则 ma{ I } k 4 k k Dk I I I A... I. B C - D 4 D - D D 4 D 答案 A 解析本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性 D D 两区域关于轴对称, 而 f (, y) y cos f (, y), 即被积函数是关于 y 的, 4 奇函数, 所以 I I ; 4 D D 两区域关于 y 轴对称, 而 f (, y) y cos( ) y cos f (, y), 即被积函数是,

7 考研资料下载中心关于的偶函数, 所以 I y cos ddy > ; {(, y) y, } I y cos ddy <. 所以正确答案为 A. {(, y) y, } [ ] () 设函数 y f 在区间, 上的图形为 : 则函数 F f t dt 的图形为 ( A ) ( B) ( C ) ( D) 答案 D 解析此题为定积分的应用知识考核, 由 y f ( ) 的图形可见, 其图像与轴及 y 轴所围的图形的代数面积为所求函数 F( ), 从而可得出几个方面的特征 : [ ], 时, F( ), 且单调递减 [ ], 时, F( ) 单调递增 7

8 考研资料下载中心 [ ], 时, F( ) 为常函数 [ ] 4, 时, F( ) 为线性函数, 单调递增 5 由于 F() 为连续函数结合这些特点, 可见正确选项为 D { } { } (4) 设有两个数列 a, b, 若 lim a, 则 ( A) 当 b 收敛时, ab 收敛. ( B) 当 b 发散时, ab 发散. ( C) 当 b 收敛时, ab 收敛. ( D) 当 b 发散时, ab 发散. 答案 C 解析方法一 : 举反例 A 取 a b 故答案为 (C) 方法二 : B 取 a b D 取 a b 因为 lim a, 则由定义可知 N, 使得 > N 时, 有 a < 又因为 b 收敛, 可得 lim b, 则由定义可知 N, 使得 > N 时, 有 b < 从而, 当 > N + N 时, 有 a b < b, 则由正项级数的比较判别法可知 a b 收敛 (5) 设 α, α, α 是维向量空间 R 的一组基, 则由基 α, α, α 到基 α + α, α + α, α + α 的过渡矩阵为 8

9 考研资料下载中心 A ( C) 答案 A.. ( B ) ( D) 解析因为 η, η,, η α, α,, α A, 则 A 称为基 α, α,, α 到 η, η,, η 的过渡矩阵则由基 α, α, α 到 α + α, α + α, α + α 的过渡矩阵 M 满足 α + α, α + α, α + α α, α, α M 所以此题选 ( A) α, α, α * * () 设 A, B 均为阶矩阵, A, B 分别为 A, B 的伴随矩阵, 若 A, B, 则分块 O 矩阵 B A O * A A 的伴随矩阵为 O * * B O B. ( B). * O A O ( C) 答案 B O * B 解析根据 CC * * A O A. ( D). * O B O C E, 若 C C C, C C C 9

10 考研资料下载中心 A A 分块矩阵的行列式 ( ) A B, 即分块矩阵可逆 B B B B A A A B B B B A A A 故答案为 B B B A A (7) 设随机变量 X 的分布函数为 F ( ).Φ ( ) +.7Φ, 其中 Φ ( ) 为标准正态分布函数, 则 EX ( A) ( B). ( C).7 答案 ( C)... D. 解析因为 F ( ).Φ ( ) +.7Φ,.7 所以 F ( ).Φ ( ) + Φ, EX F d..5 d Φ + Φ + + 所以 + +. Φ ( ) d +.5 d Φ 而 Φ d, 所以 EX Φ d u u + Φ u du (8) 设随机变量与相互独立, 且服从标准正态分布 N,, Y 的概率分布为 X Y X { } P{ Y } P Y FZ ( z) 的间断点个数为, 记 FZ z 为随机变量 Z XY 的分布函数, 则函数

11 考研资料下载中心答案 B 解析 ( A ). ( B ). ( C ). ( D). F ( z) P( XY z) P( XY z Y ) P( Y ) + P( XY z Y ) P( Y ) Z [ P ( XY z Y ) + P ( XY z Y )] [ P ( X z Y ) + P ( X z Y )] X, Y 独立 FZ ( z) [ P( X z) + P( X z)] () 若 z <, 则 FZ ( z) Φ( z) () 当 z, 则 FZ ( z) ( + Φ( z)) z 为间断点, 故选 (B) 二填空题 :9-4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设函数 f ( u, v ) 具有二阶连续偏导数, z z f, y, 则 y f + f + yf 答案 z 解析 f + f y, z f + f + y f f + f + yf y () 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 的通解为 y C + C e, 则非 + + 齐次方程 y ay by 满足条件 y, y 的解为 y + + 答案 y e + + 解析由常系数线性齐次微分方程 y ay by 的通解为 y C + C e 可知 y e, y e 为其线性无关解代入齐次方程, 有 y + ay + by ( + a + b) e + a + b y + ay + by [ + a + ( a + + b) ] e + a + +

12 考研资料下载中心从而可见 a, b 微分方程为 y '' y ' + y * 设特解 y A + B 代入, y ' A, A A + A + B + B, B 特解 * y + y ( c + c ) e + + 把 y (), y '() 代入, 得 c, c 所求 y e + + () 已知曲线 L : y, 则 ds L 答案解析由题意可知,, y,, 则 ds + y d + 4 d, 所以 ds 4 d 4 d ( 4 ) L ( 4 ) { } () 设,, Ω y z + y + z, 则 z ddydz 答案 4 5 π 解析方法一 : π π z ddydz dθ dϕ ρ siϕρ cos ϕdρ Ω ( cos ) π π 4 dθ cos ϕd ϕ ρ dρ cos ϕ π 4 d 5 5 π ϕ π

13 考研资料下载中心方法二 : 由轮换对称性可知 Ω z ddydz Ω ddydz Ω y ddydz 4 z ddydz y z ddydz dϕ dθ r siϕdr π π 所以, ( + + ) Ω Ω π π 4π π π si 4 si ϕdϕ r dr d ϕ ϕ 5 5 T T T () 若维列向量 α, β 满足 α β, 其中 α 为 α 的转置, 则矩阵 βα 的非零特征值答案为 T 解析 α β T T T βα β β α β β, βα 的非零特征值为. (4) 设 X, X,, X m 为来自二项分布总体 B, p 的简单随机样本, X 和 S 分别为样本均值和样本方差若 X + ks 为 p 的无偏估计量, 则 k 答案解析 X + ks 为 p 的无偏估计 E( X + kx ) p p + kp( p) p + k( p) p k( p) p k 三解答题 :5 5- 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分 9 分 ) 求二元函数 f (, y) + y + y l y 的极值解析 f y + y (, ) f y y + y + y (, ) l 故, y e yy y f ( + y ), f +, f 4y y

14 考研资料下载中心则 f ( + ) (, ) e e f y (, ) e f e yy (, ) e f > 而 ( f y ) f f yy < 二元函数存在极小值 f (, ) e e + ()( 本题满分 9 分 ) 设为曲线 y 与 y,,... 所围成区域的面积, 记 a S a, S a, 求与 S 的值 S + 解析由题意, y 与 y 在点和处相交, 所以 a ( ) d ( ), N 从而 S a lim a lim( ) lim( ) N N N + N + N N+ S a ( )( + + ) N N+ 4 5 ( ) 由 l(+)- + + ( ) + 取得 l() ( + ) S S l 4 y (7)( 本题满分分 ) 椭球面 S 是椭圆 + 绕轴旋转而成, 圆锥面 S 是过点 4 y 4 ( 4,) 且与椭圆 + 相切的直线绕轴旋转而成 (Ⅰ) 求及 S 的方程 S (Ⅱ) 求与 S 之间的立体体积 S 4

15 考研资料下载中心 y + z 解析 (I) S 的方程为 +, 4 y 过点 ( 4,) 与 + 的切线为 y ±, 4 所以 S 的方程为 y + z y (II) 记 y, 由 +, 记 y, 则 V π y d π y d π + 4 d π d π + 4 π π 4 (8)( 本题满分分 ) f ( ) [ ] (Ⅰ) 证明拉格朗日中值定理 : 若函数在 a, b 上连续, 在 ( a, b) 可导, 则存在 ξ ( a, b), 使得 f ( b) f ( a) f ( ξ )( b a) (Ⅱ) 证明 : 若函数 f 在处连续, 在, 内可导, 且 lim f A, f + 则存在, 且 f + A ( δ )( δ > ) + 解析 (Ⅰ) 作辅助函数 f b f a ϕ f f a ( a), 易验证 ϕ( ) 满足 : b a ϕ( a) ϕ( b) ; ( ) 在闭区间, 上连续, 在开区间 a, b 内可导, 且 ' ' f ( b) f ( a) ϕ ( ) f ( ) b a ϕ [ a b ] 根据罗尔定理, 可得在 a, b 内至少有一点 ξ, 使 ϕ ' ( ξ ), 即 f ' ( ξ ) f ( b) f ( a) b a ', f ( b) f ( a) f ( ξ )( b a) (Ⅱ) 任取 (, δ ), 则函数 f ( ) 满足 ; [, ] 在闭区间上连续, 开区间, 内可导, 从而有拉格朗日中值定理可得 : 存在 ξ (, ) (, δ ) ' f ( ) f (), 使得 f ξ (*) 5

16 考研资料下载中心又由于 lim ' + f A, 对上式 (* 式 ) 两边取时的极限可得 : + f ( ) f f lim lim f ( ξ ) lim f ( ξ ) A ' ' ' ξ 故 f ' + () 存在, 且 f ' () A + dydz + ydzd + zddy (9)( 本题满分分 ) 计算曲面积分 I, 其中是曲面 + y + z + y + z 4 的外侧解析 I Σ dydz + yddz + zddy, 其中 + y + z 4 / ( + y + z ) y + z, / 5/ ( + y + z ) ( + y + z ) y + z y, / 5/ y ( + y + z ) ( + y + z ) z + y z, / 5/ z ( + y + z ) ( + y + z ) y z / / / ( + y + z ) y ( + y + z ) z ( + y + z ) 由于被积函数及其偏导数在点 (,,) 处不连续, 作封闭曲面 ( 外侧 ) Σ : + y + z R. < R < 有 dydz + yddz + zddy dydz + yddz + zddy / ( + y + z ) R Σ Σ Σ 4π R dv 4 R π R Ω ()( 本题满分分 ) 设 A, ξ 4 (Ⅰ) 求满足 Aξ ξ, A ξ ξ 的所有向量 ξ, ξ,

17 考研资料下载中心 (Ⅱ) 对 (Ⅰ) 中的任一向量 ξ, ξ, 证明 : ξ, ξ, ξ 线性无关解析 (Ⅰ) 解方程 Aξ ξ, 4 ( A ξ ) r( A ) 故有一个自由变量, 令, 由 A 解得,, 求特解, 令, 得故 ξ k, 其中为任意常数 + k 解方程 A ξ ξ A 4 4, 4 4 ( A ξ ) 故有两个自由变量, 令,, 由 A 得令,, 由 A 得求特解 η 故 ξ k k, 其中为任意常数 + + k, k (Ⅱ) 证明 : 由于 k k k k kk + kk + (k + )( k ) k ( k ) k (k + ) kk k + k 7

18 考研资料下载中心故 ξ, ξ, ξ 线性无关. f,, a + a + a + ()( 本题满分分 ) 设二次型 (Ⅰ) 求二次型 f 的矩阵的所有特征值 ; (Ⅱ) 若二次型 f 的规范形为 y + y, 求 a 的值解析 (Ⅰ) a A a a λ a λ a λ a λe A λ a ( λ a) λ a + λ a + ( λ a)[( λ a)( λ a + ) ] [ + ( λ a)] ( λ a)[( λ a)( λ a + ) ] + + ( λ a)[ λ aλ λ a a ] ( λ a)( λ a + )( λ a ) ( λ a){[ aλ ( a)] } λ a, λ a, λ a + (Ⅱ) 若规范形为 y + y, 说明有两个特征值为正, 一个为则 ) 若 λ a, 则 λ <, λ, 不符题意 ) 若 λ, 即 a, 则 λ >, λ >, 符合 ) 若 λ, 即 a, 则 λ <, λ <, 不符题意综上所述, 故 a ()( 本题满分分 ) 袋中有个红色球, 个黑色球与个白球, 现有放回地从袋中取两次, 每次取一球, 以 X, Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球黑球与白球的个数 { } (Ⅰ) 求 P X Z ; (Ⅱ) 求二维随机变量 ( X, Y ) 的概率分布 8

19 考研资料下载中心解析 (Ⅰ) 在没有取白球的情况下取了一次红球, 利用压缩样本空间则相当于只有个红球, 个黑球放回摸两次, 其中摸了一个红球 C 4 P( X Z ) C 9 C (Ⅱ)X,Y 取值范围为,,, 故 C C C C P ( X, Y ), P ( X, Y ) C C 4 C C C C C P ( X, Y ), P( X, Y ) C C C C C C P ( X, Y ), P ( X, Y ) C C 9 C C P ( X, Y ) C 9 C P X, Y, P X, Y X Y /4 / / / /9 /9 ()( 本题满分分 ) X λ λ e, > 设总体 X 的概率密度为 f ( ), 其中参数 λ( λ > ) 未知, X, X,, 其他是来自总体 X 的简单随机样本 (Ⅰ) 求参数 λ 的矩估计量 ; (Ⅱ) 求参数 λ 的最大似然估计量解析 () 由 EX X + λ 而 EX λ e d X λˆ 为总体的矩估计量 λ X () 构造似然函数 L,..., ; f ; e λ i ( λ ) ( λ ) λ i i i i i 9

20 考研资料下载中心取对数 l L l λ + l λ i i i d l L 令 i λ dλ λ i i i 故其最大似然估计量为 λ X i i i

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2009ÄêÈ«¹úË¶Ê¿ÑÐ¾¿ÉúÈëÑ§Í³Ò»¿¼ÊÔÊýÑ§¶þÊÔÌâ 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)