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1 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ: 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 4 分. 把答案填在题中横线上 曲线 的斜渐近线方程为. 微分方程 l 满足 的解为.. 9 z 设函数 z 单位向量 ρ { } 则 设 Ω 是由锥面 z 与半球面 z R 围成的空间区域 Σ 是 Ω 的整个边界的外侧 则 Σ ddz dzd zdd. 5 设 均为 维列向量 记矩阵 A B 4 9 如果 A 那么 B.. 6 从数 4 中任取一个数 记为 再从 Λ 中任取一个数 记为 Y 则 P { Y }. 二 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 分. 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设函数 f lm 则 f 在 内 A 处处可导. B 恰有一个不可导点. C 恰有两个不可导点. D 至少有三个不可导点. [ ] 8 设 F 是连续函数 f 的一个原函数 " M N" 表示 M 的充分必要条件是 N 则必有 A F 是偶函数 f 是奇函数. B F 是奇函数 f 是偶函数. C F 是周期函数 f 是周期函数. D F 是单调函数 f 是单调函数. [ ] 梦飞翔考研工作室 QQ:8 9 设函数 ϕ t dt 具有一阶导数 则必有 ϕ 其中函数 ϕ 具有二阶导数

2 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 A C. B.. D. [ ] z 设有三元方程 z l e 根据隐函数存在定理 存在点 的一个 邻域 在此邻域内该方程 A B C 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 zz. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 zz. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 zz. D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 z. [ ] 设 λ λ 是矩阵 A 的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为 则 A 线性无关的充分必要条件是 λ. B λ. C λ. D A λ. [ ] 设 A 为 阶可逆矩阵 交换 A 的第 行与第 行得矩阵 B 别为 AB 的伴随矩阵 则 A 交换 A 的第 列与第 列得 B. A B 分 B 交换 A 的第 行与第 行得 B. C 交换 A 的第 列与第 列得 B. D 交换 A 的第 行与第 行得 B. 设二维随机变量 Y 的概率分布为 Y.4 a b. 已知随机事件 { } 与 { Y } 相互独立 则 A a. b. B a.4 b. [ ] C a. b. D a. b.4 [ ] 梦飞翔考研工作室 QQ:8 4 设 Λ 为来自总体 N 的简单随机样本 为样本均值 S 为样本方差 则 A ~ N B S ~ χ. C ~ t S D ~ F. [ ]

3 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 5 本题满分 分 设 D { } [ ] 表示不超过 的最 大整数. 计算二重积分 [ 6 本题满分 分 求幂级数 D 7 本题满分 分 ] dd. 的收敛区间与和函数 f. 如图 曲线 C 的方程为 f 点 是它的一个拐点 直线 l 与 l 分别是曲线 C 在 点 与 处的切线 其交点为 4. 设函数 f 具有三阶连续导数 计算定积分 f d. 8 本题满分 分 已知函数 f 在 [] 上连续 在 内可导 且 ff. 证明 : I 存在 使得 f ; II 存在两个不同的点 ζ 9 本题满分 分 η 使得 f η f ζ. 设函数 ϕ 具有连续导数 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上 曲线积分 ϕ d d 的值恒为同一常数. L 4 ϕ d d I 证明 : 对右半平面 > 内的任意分段光滑简单闭曲线 C 有 ; C 4 II 求函数 ϕ 的表达式. 本题满分 9 分 已知二次型 f a a a 的秩为. 梦飞翔考研工作室 QQ:8 I 求 a 的值 ; II 求正交变换 Q 把 f 化成标准形 ; III 求方程 f 的解. 本题满分 9 分

4 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 已知 阶矩阵 A 的第一行是 a b c a b c 不全为零 矩阵 B 且 ABO 求线性方程组 A 的通解.. 本题满分 9 分 设二维随机变量 Y 的概率密度为 < < < < f 其他. Y 求 :I Y 的边缘概率密度 f f II Z Y 的概率密度 z. 本题满分 9 分 Y ; f Z 4 6 为常数 6 设 Λ 为来自总体 N 的简单随机样本 为样本均值 记 > Λ. 求 :I Y 的方差 DY Λ ; II Y 与 Y 的协方差 Cov Y Y. 梦飞翔考研工作室 QQ:8

5 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ: 年考研数学一真题解析一 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 4 分. 把答案填在题中横线上 曲线 的斜渐近线方程为. 4 分析 本题属基本题型 直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. f 详解 因为 a lm lm b lm [ f a] 于是所求斜渐近线方程为. 4 lm 4 微分方程 l 满足 的解为 l 分析 直接套用一阶线性微分方程 P Q 的通解公式 : P d [ P d e Q e d C] 再由初始条件确定任意常数即可. 详解 原方程等价为 l 于是通解为 d d e [ l e d C] [ l d C] l C 9 由 得 C 故所求解为 l. 9 9 z 设函数 z 单位向量 ρ { } 则 6 8 梦飞翔考研工作室 QQ:8. 分析 函数 z 沿单位向量 ρ {coscos β cosγ } 的方向导数为 : cos cos β cosγ z

6 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 因此 本题直接用上述公式即可. 详解 因为 6 z z 9. 于是所求方向导数为 4 设 Ω 是由锥面 z 与半球面 z R 围成的空间区域 Σ 是 Ω 的整个边界的外侧 则 Σ ddz dzd zdd π R. 分析 本题 Σ 是封闭曲面且取外侧 自然想到用高斯公式转化为三重积分 再用球 面 或柱面 坐标进行计算即可. 详解 Σ ddz dzd zdd π Ω dddz R π 4 ρ dρ s d d R. ϕ ϕ θ π 5 设 均为 维列向量 记矩阵 A B 4 9 如果 A 那么 B. 可. 分析 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 详解 由题设 有 B 于是有 B A. 4 梦飞翔考研工作室 QQ:8 9 6 从数 4 中任取一个数 记为 再从 Λ 中任取一个数 记为 Y 则 P { Y } 48. 分析 本题涉及到两次随机试验 想到用全概率公式 且第一次试验的各种两两互

7 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 详解 P { Y } P { } P{ Y } P { } P{ Y } P { } P{ Y } P { 4} P{ Y 4} 二 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 分. 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设函数 f lm 则 f 在 内 A 处处可导. B 恰有一个不可导点. C 恰有两个不可导点. D 至少有三个不可导点. [ C ] 分析 先求出 f 的表达式 再讨论其可导情形. 详解 当 < 时 f lm ; 当 时 f lm ; 当 > 时 f lm. < 即 f 可见 f 仅在 ± 时不可导 故应选 C. >. 8 设 F 是连续函数 f 的一个原函数 " M N" 表示 M 的充分必要条件是 N 则必有 B F 是偶函数 f 是奇函数. B F 是奇函数 f 是偶函数. C F 是周期函数 f 是周期函数. D F 是单调函数 f 是单调函数. [ A ] 分析 本题可直接推证 但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 详解 方法一 : 任一原函数可表示为 F f t dt C 且 F f. 当 F 为偶函数时 有 F F 于是 F F 即 f f 也即 f f 可见 f 为奇函数 ; 反过来 若 f 为奇函数 则 f t dt 为偶函 数 从而 F f t dt C 为偶函数 可见 A 为正确选项. 方法二 : 令 f 则取 F 排除 B C; 令 f 则取 F 排除 D; 故应选 A. 梦飞翔考研工作室 QQ:8

8 9 设函数 dt t ϕ ϕ 其中函数 ϕ 具有二阶导数 具有一阶导数 则必有 A. B. C. D. [ B ] 分析 先分别求出 再比较答案即可. 详解 因为 ϕ ϕ ϕ ϕ 于是 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 可见有 应选 B. 设有三元方程 l z e z 根据隐函数存在定理 存在点 的一个邻域 在此邻域内该方程 E 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 zz. F 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 zz. G 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 zz. H 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 z. [ D ] 分析 本题考查隐函数存在定理 只需令 Fz l z e z 分别求出三个偏导数 z F F F 再考虑在点 处哪个偏导数不为 则可确定相应的隐函数. 详解 令 Fz l z e z 则梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 梦飞翔考研工作室 QQ:8

9 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 z F e z F z z F z l e 且 F F F z. 由此可确定相应的隐函数 z 和 z. 故应选 D. 设 λ λ 是矩阵 A 的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为 则 A 线性无关的充分必要条件是 λ. B λ. C λ. D A λ. [ B ] 分析 讨论一组抽象向量的线性无关性 可用定义或转化为求其秩即可. 详解 方法一 : 令 A 则 λ λ λ λ. 由于 线性无关 于是有 若 λ λ. 当 λ 时 显然有 此时 A 线性无关 则必然有 故应选 B. 方法二 : 由于 可见 λ 否则 A 线性无关 ; 反过来 与 A λ [ A ] [ λ λ ] [ ] λ λ A 线性无关的充要条件是 λ. λ λ 线性相关 故应选 B. 设 A 为 阶可逆矩阵 交换 A 的第 行与第 行得矩阵 B 别为 AB 的伴随矩阵 则 B 交换 A 的第 列与第 列得 B. A B 分 梦飞翔考研工作室 QQ:8 [ C ] B 交换 A 的第 行与第 行得 B. C 交换 A 的第 列与第 列得 B. D 交换 A 的第 行与第 行得 B. 分析 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质 只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 详解 由题设 存在初等矩阵 E 交换 阶单位矩阵的第 行与第 行所得 使

10 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 得 E A B 于是 B E A A E A E E A E 即 A E B 可见应选 C. 设二维随机变量 Y 的概率分布为 Y.4 a b. 已知随机事件 { } 与 { Y } 相互独立 则 B a. b. B a.4 b. C a. b. D a. b.4 [ B ] 分析 首先所有概率求和为 可得 ab.5 其次 利用事件的独立性又可得一等 式 由此可确定 ab 的取值. 详解 由题设 知 ab.5 又事件 { } 与 { Y } 相互独立 于是有 P { Y } P{ } P{ Y } 即 a.4 a a b 由此可解得 a.4 b. 故应选 B. 4 设 Λ 为来自总体 N 的简单随机样本 为样本均值 S 为样本方差 则 可. B ~ N B S ~ χ. C ~ t S D ~ F. [ D ] 分析 利用正态总体抽样分布的性质和 χ 分布 t 分布及 F 分布的定义进行讨论即 详解 由正态总体抽样分布的性质知 ~ N 可排除 A; 梦飞翔考研工作室 QQ:8 S 又 ~ t 可排除 C; 而 S ~ χ 不能 S S 断定 B 是正确选项. 因为 ~ χ ~ ~ χ χ ~ 且 χ 与相互独

11 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 立 于是 ~ F. 故应选 D. 三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 5 本题满分 分 设 D { } [ ] 表示不超过 的最 大整数. 计算二重积分 [ D ] dd. 分析 首先应设法去掉取整函数符号 为此将积分区域分为两部分即可. 详解 令 D { < } 则 D D { }. [ ] dd π D dd D dd sθ cosθdθ r dr sθ cosθdθ 本题满分 分 求幂级数 π 的收敛区间与和函数 f. 分析 先求收敛半径 进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到. 详解 因为 lm 所以当 < 时 原级数 绝对收敛 当 > 时 原级数发散 因此原级数的收敛半径为 收敛区间为 - 记 则 S 梦飞翔考研工作室 QQ:8 S S. 由于 S S r dr

12 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 所以 S S t dt dt arcta t S S tdt tdt 又 从而 arcta arcta l. f S 7 本题满分 分 arcta l. 如图 曲线 C 的方程为 f 点 是它的一个拐点 直线 l 与 l 分别是曲线 C 在 点 与 处的切线 其交点为 4. 设函数 f 具有三阶连续导数 计算定积分 f d. 分析 题设图形相当于已知 f 在 的函数值与导数值 在 处的函数值及一 阶 二阶导数值. 详解 由题设图形知 f f ; f f f. 由分部积分 知 f d df f f d df f f d 6 [ f f ]. 8 本题满分 分 已知函数 f 在 [] 上连续 在 内可导 且 ff. 证明 : 使得 I 存在 f ; 梦飞翔考研工作室 QQ:8 II 存在两个不同的点 ζ η 使得 f η f ζ. 分析 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理 ; 第二部分为双介值问题 可考虑用拉格朗日中值定理 但应注意利用第一部分已得结论. 详解 I 令 F f 则 F 在 [] 上连续 且 F-< F> 于是由介值定理知 存在 使得 F 即 f. II 在 [ ] 和 [ ] 上对 f 分别应用拉格朗日中值定理 知存在两个不同的点

13 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 f f f f η ζ 使得 f η f ζ f f 于是 f η f ζ. 9 本题满分 分 设函数 ϕ 具有连续导数 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上 曲线积分 ϕ d d 的值恒为同一常数. L 4 d d I 证明 : 对右半平面 > 内的任意分段光滑简单闭曲线 C 有 ; C 4 II 求函数 ϕ 的表达式. 分析 证明 I 的关键是如何将封闭曲线 C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲 线相联系 这可利用曲线积分的可加性将 C 进行分解讨论 ; 而 II 中求 ϕ 的表达式 显然应用积分与路径无关即可. 详解 I 如图 将 C 分解为 : C l l 另作一条曲线 l 围绕原点且与 C 相接 则 C ϕ d d 4 ϕ ϕ d d l l 4 l l l o ϕ l ϕ d d 4 II 设 P Q PQ 在单连通区域 > 内具有一阶连续偏导数 4 4 梦飞翔考研工作室 QQ:8 ϕ d d 由 Ⅰ 知 曲线积分 在该区域内与路径无关 故当 > 时 总有 L 4 Q P. Y l C. 4 5 Q 4 4 g 4 4

14 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 P ϕ 4 ϕ ϕ ϕ 4 ϕ 4 4 比较 两式的右端 得 4 4 ϕ ϕ ϕ. 由 得 ϕ c 将 ϕ 代入 4 得 所以 c 从而 ϕ. 本题满分 9 分 5 5 4c 已知二次型 f a a a 的秩为. I 求 a 的值 ; II 求正交变换 Q 把 f 化成标准形 ; III 求方程 f 的解. 分析 I 根据二次型的秩为 可知对应矩阵的行列式为 从而可求 a 的值 ;II 是常规问题 先求出特征值 特征向量 再正交化 单位化即可找到所需正交变换 ; III 利用第二步的结果 通过标准形求解即可. 详解 I 二次型对应矩阵为 a a A a a a 由二次型的秩为 知 A a a 得 a. II a 这里 A 可求出其特征值为 λ λ λ. 解 E A 得特征向量为 : 解 E A 得特征向量为 :. 由于 已经正交 直接将 单位化 得 : 4 梦飞翔考研工作室 QQ:8.

15 η η η 令 [ ] Q 即为所求的正交变换矩阵 由 Q 可化原二次型为标准形 : f. III 由 f 得 为任意常数. 从而所求解为 :Q[ ] c c η η η η 其中 c 为任意常数. 本题满分 9 分 已知 阶矩阵 A 的第一行是 c b a c b a 不全为零 矩阵 B 为常数 且 ABO 求线性方程组 A 的通解. 分析 ABO 相当于告之 B 的每一列均为 A 的解 关键问题是 A 的基础解系所含解向量的个数为多少 而这又转化为确定系数矩阵 A 的秩. 详解 由 ABO 知 B 的每一列均为 A 的解 且. B r A r 若 9 则 rb 于是 ra 显然 ra 故 ra. 可见此时 A 的基础解系所含解向量的个数为 -ra 矩阵 B 的第一 第三列线性无关 可作为其基础解系 故 A 的通解为 : 6 为任意常数. 若 9 则 rb 从而. A r 若 ra 则 A 的通解为 : 为任意常数. 若 ra 则 A 的同解方程组为 : c b a 不妨设 a 则其通解为 a c a b 为任意常数. 本题满分 9 分 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 梦飞翔考研工作室 QQ:8

16 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 设二维随机变量 Y 的概率密度为 < < < < f 其他. 求 :I Y 的边缘概率密度 f f II Z Y 的概率密度 z. Y ; f Z 分析 求边缘概率密度直接用公式即可 ; 而求二维随机变量函数的概率密度 一般 用分布函数法 即先用定义求出分布函数 再求导得到相应的概率密度. 详解 I 关于 的边缘概率密度 f f Y f d < < 其他. 关于 Y 的边缘概率密度 d < < 其他. f d d < < 其他. < < 其他. II 令 z P{ Z z} P{ Y z} F Z 当 z < 时 F Z z P{ Y z} ; 当 z < 时 z P{ Y z} F Z z z ; 4 当 z 时 z P{ Y z}. F Z z < 即分布函数为 : F Z z z z z < 4 z. z < z < 故所求的概率密度为 : f Z z 其他. 梦飞翔考研工作室 QQ:8 本题满分 9 分 设 Λ 为来自总体 N 的简单随机样本 为样本均值 记 >

17 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 Y Λ. Y 与 算性质. 求 :I Y 的方差 DY Λ ; II Y 与 Y 的协方差 Cov Y Y. 分析 先将 Y 表示为相互独立的随机变量求和 再用方差的性质进行计算即可 ; 求 Y 的协方差 Cov Y Y 本质上还是数学期望的计算 同样应注意利用数学期望的运 详解 由题设 知 Λ 相互独立 且 E > D Λ E. I DY D D[ j ] D j D j j. II Cov Y Y E[ Y EY Y EY ] E Y Y E[ ] E E E E E[ j ] D E. j 梦飞翔考研工作室 QQ:8

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