第一章线性代数基础

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育梁阎
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1 第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念矩阵常用大写英文字母表示一个 n 阶矩阵 A 是如下行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换线性方程组解结构向量组的线性相关性分析矩阵的特征值与特征向量两个常用的 MATAB 命令是 rref 和 eig. 矩阵的初等变换一初等行变换的背景矩阵初等变换分行变换和列变换初等行变换以矩阵的行向量为数据单元, 进行运算将矩阵化为另一矩阵矩阵的初等行变换有以下三种 :. 交换矩阵中两个行向量的位置 ;. 用一个非零数乘以矩阵中某一个行向量 ;. 把矩阵中的某一个行向量乘以一个实数并加到矩阵中另一个行向量上以上这三种运算, 是根据数据处理的观点对解线性方程组消元法的概括任一线性方程组所含全部数据都可用一个矩阵 ( 增广矩阵 ) 来表示, 这种表示是惟一的例. 求解方程组 (.) 解 : 将方程组的系数矩阵和右端向量合并写成一个矩阵 ( 增广矩阵 ) A 对方程组的消元过程用矩阵的初等行变换实现, 将矩阵 A 化简为行阶梯形矩阵 B 这一矩阵对应的方程组是

2 方程组 () 和方程组 () 等价, 求解方程组 () 可得方程组 () 的解 -/ -/ / 化矩阵 A 为矩阵 B 所用行变换的 MATAB 程序如下 A [ - ; - ; - ] % 输入矩阵数据 A([ ],:) A([ ],:) % 交换第一行和第三行数据 A(,:) A(,:) A(,:) % 将第一行乘 - 加到第二行 A(,:) A(,:) *A(,:) % 将第一行乘 - 加到第三行 A(,:) A(,:) *A(,:) % 将第二行乘 - 加到第三行注 : 在 MATAB 中 % 表示程序行的注释开始 () 二化矩阵为最简行阶梯形的命令用 MATAB 命令 rref 可将通过行变换化为最简行阶梯形矩阵 A C / / / 由于 A 和 C 等价, 观察后者可得出前者的某些性质例如, 通过 C 可得出 A 所对应的方程组的解 ( 或通解 ) 观察 C 的列向量的关系可进行 A 的列向量组的相关性 ( 线性相关或线性无关 ) 分析对于矩阵 A, 使用如下 MATAB 命令 A [ - ; - ; - ]; % 输入矩阵数据 fort rt % 分数数据格式 rref(a) % 化简矩阵可得 / -/ -/ 这正是最简行阶梯形矩阵 C 的数据显然, 这一矩阵对应如下方程组 -/ -/ /

3 这正是增广矩阵 A 对应的方程组的解习题.. 在 MATAB 环境下输入下列矩阵 A 用三种不同方法求矩阵的秩 :() 行变换方法,()rref 命令,()rnk 命令. 写出下列方程组 8 9 的系数矩阵 A 和右端向量 b 并用三种不同的方法求解方程组 :() 克莱姆法则,()rref 命令,()\( 左除法 ) 命令一齐次方程组的解结构. 线性方程组的解结构齐次方程组的矩阵形式为 AX 其中 A 是 n 阶矩阵,X 是未知向量显然,n 维零向量是齐次方程组的解当齐次方程组有唯一解时, 解就是零向量若 n, 则此时系数矩阵 A 的行列式非零当 n 时, 如果 A 的行列式为零, 则方程组 AX 有非零解非零解由齐次方程组的基础解系表示齐次方程组的基础解系有如下特点 : 如果矩阵 A 的秩为 r(r n), 则基础解系含 (n- r) 个向量 ξ,, ξ 是一组线性无关的向量组基础解系 ξ, 基础解系 ξ, ξ,, ξ nr nr 中的每一个向量都是该齐次方程组的非零解齐次方程组 AX 的任一解向量 X 均可由基础解系线性表示由基础解系的特点可知, 齐次方程组 AX 的通解可表示为基础解系的线性组合, 即 X k ξ k ξ ξ k n r nr

4 这就是齐次方程组的解结构求齐次方程组通解时只须求得基础解系, 求基础解系的步骤如下面框图所示 : 将系数矩阵 A 化为最简行阶梯形式根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由未知量, 并将自由未知量自相等恒等式添加进方程组整理方程组为向量形式提取方程组右端各自由未知量的系数形成向量组即为基础解系图. 例. 求下列齐次方程组的一个基础解系并写出其通解解 : 这是一个齐次方程组, 它的系数矩阵为 A 在 MATAB 中输入矩阵 A, 并将其化为最简行阶梯形矩阵, 所用命令如下 A[ - -; - - ; - - ] rref(a) 计算结果为 A ns - - 由最简行阶梯形矩阵, 得化简后的方程组

5 取, 为自由未知量, 扩充方程组为整理为向量形式提取自由未知量系数形成的列向量为基础解系, 记 ξ, ξ 所以齐次方程组通解为 ξ ξ k k X 二非齐次方程组的解结构记非齐次方程组为 AX b 其中 A 是 n 阶矩阵,X 是 n 维未知向量,b 是维已知向量 (b 称为右端向量 ) 非齐次方程组分有解和无解两大类, 当方程组有解时又分有唯一解和有无穷多组解两类定理. 设非齐次方程组 AX b 有无穷多组解, 若已知一个特解为 η, 而对应的齐次方程组 AX 的基础解系为 ξ, ξ,, r n ξ, 则非齐次方程组 AX b 的通解为 r n r k n k k X ξ ξ ξ η 上式说明, 非齐次方程组的通解由非齐次方程组的一个特解和对应的齐次方程组通解迭加而成这就是非齐次方程组的解结构求非齐次方程组的通解步骤如下 :. 写出非齐次方程组的增广矩阵 ;. 将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵 ;. 观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等, 若相等方程组有解, 否则无解 ;. 写出对应的简化方程组 ;

6 . 确定自由未知量并添加自由未知量自相等恒等式到方程组 ;. 整理方程组为向量形式例. 求下列非齐次方程组的通解 8 9 解 : 非齐次方程组的系数矩阵和右端向量为 8 9 A, b 在 MATAB 中输入系数矩阵和右端向量并将增广矩阵化简, 所用命令如下 A[ ; ; 9 8 ; ] b[;;;] c[a b] fort rt rref(c) 计算机显示出最后的计算结果 ns -/ / / / -/ 由最简行阶梯形矩阵写出对应的简化方程组为取为自由未知量, 补充恒等式到方程中, 得

7 或记 ξ, η 所以, 非齐次方程组的通解为 kξ η X 习题.. 判断下列非齐次方程组是否有解, 齐次方程组是否有非零解 () () 9 8. 求下列非齐次方程组的通解

8 9 8 一. 向量组的线性相关性判别. 向量组的线性相关性分析向量组的线性相关性是向量组数据结构所表现的性质, 向量组是否线性相关是由它本身的数据所决定定义. 设有个 n 维向量,,,, 如果存在个不全为零的一组数 λ, λ,, λ 使 λ λ λ 成立, 则称向量组,,, 是线性相关的 ; 如果仅当 λ λ λ 时, 才有上面等式成立, 则称向量组,,, 是线性无关的由定义. 知, 如果给定向量组 M,,, M M n n 该向量组的相关性取决于是否存在不全为零的一组数 λ, λ,, λ 使得 λ M λ λ n M 成立即考虑下面齐次方程组是否有非零解 n n n n M n 如果方程组有非零解, 则取非零解 λ, λ,, λ, 从而有 λ λ λ 成立, 这说明向量组线性相关如果方程组只有零解, 则说明该向量组线性无关根据齐次方程组理论, 当化简后的方程组中有自由未知量时, 方程组有非零解, 否则没有非零解判断个 n 维向量,,, 是否线性相关的步骤如下 : 8 n

9 . 将向量组中向量数据以列的形式排列成 n 阶矩阵 A[ ];. 用命令 rref 将矩阵 A 化为最简行阶梯形矩阵 ;. 观察最简行阶梯矩阵中非零行向量的数目是否小于向量组全部向量数目, 若小于则向量组线性相关 ; 否则线性无关例. 判断下列向量组的线性相关性 [ - -], [ - -] [ - -], [ - ] 解 : 先在 MATAB 中将上面四个向量以行向量数据形式输入, 再转置为列向量组成的矩阵, 然后用 rref 命令将其化为最简阶梯矩阵, 命令如下 A[ - ; - ; - ; - ] AA rref(a) 计算结果如下 A ns 最简阶梯矩阵的变量名为 ns, 它的不全为零的行向量数目为, 而向量组中的向量数目也是所以, 向量组,,, 线性无关二. 向量组的最大无关组对于一个线性相关的向量组 T, 我们需要研究 T 中最多有多少个向量是线性无关的由此引出最大无关组概念, 向量组 T 的最大无关组,,, r 有以下特点,,, r 是 T 的一部分, 而且是线性无关的向量组 T 中其它的向量 ( 如果有的话 ) 都能被最大无关组线性表示最大无关组所含向量的个数 r 称为向量组 T 的秩借助向量组线性相关性分析的数据处理方法, 可得求向量组,,, 的最大无关组步骤如下. 将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵 A[ ];. 把矩阵 A 化为最简行阶梯形矩阵 ;. 确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目 r( 即向量组 T 的秩 ), 在最简行阶梯形 9

10 矩阵中寻找 r 个线性无关的列向量 β, β,, β r ;. 根据 β, β,, β r 所在位置确定矩阵 A[ ] 中列向量位置即得 T 的最大无关向量组在最简行阶梯形矩阵中寻找 r 个线性无关的列向量 β, β,, β r 时, 只须在仅有一个非零元素的列向量中寻找, 非零元素不在同一位置的这类向量是线性无关的例. 求下列向量组的秩和一个最大无关组, 并将其余向量用最大无关组线性表出 [ ], [ ] [ ], [ ] 解 : 将向量组中向量按列向量排成矩阵并用命令 rref 化简, 所用 MATAB 命令如下 A[ ; - - -; - - -; - ]; AA ; fort rt rref(a) 经计算后, 化简矩阵的数据为 ns -/9 /9 最简矩阵中有个不全为零的行向量, 所以向量组的秩为显然, 第一列第二列和第四列的三个列向量线性无关, 所以对应于原向量组中一个最大无关组为, 和最简矩阵中第三列向量有两个非零元素 -/9 /9, 它们是方程组 β β β 的解 ( -/9, /9), 也是方程组的解, 所以可以被最大无关组, 和线性表出 9 9 习题.. 判定向量组的线性相关性 [,,,], [,,,] [,,, ], [,,,]. 求向量组的秩, 并求它的一个最大无关组 [,,, ], [,,, ] [,,, ], [,,,]. 矩阵的特征值与特征向量

11 一矩阵的特征值和特征向量定义. 设 A 是 n 阶方阵, λ 是一个数如果存在非零的列向量使得 A λ 成立, 则称数 λ 为方阵 A 的特征值, 非零列向量称为方阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量用 MATAB 的命令 eig 可以求出矩阵 A 的特征值和特征向量例. 求方阵的特征值和特征向量命令 eig 的使用方法有两种 : 只求 A 的特征值用命令 eig(a); 同时求特征向量和特征值用命令 [p d] eig(a) A 解 : 先输入矩阵的数据, 然后用 eig 的两种使用方法求解, 命令如下 A[ ; ; ] eig(a) [p d]eig(a) 命令 eig(a) 计算结果为 ns. -.. 这说明矩阵 A 的三个特征值为 λ, λ, 命令 [p d]eig(a) 计算结果为 p d λ 第一个数据块 p 是由三个列向量形成的矩阵, 分别表示三个特征向量.,,...

12 第二个数据块是三阶对角矩阵, 主对角线上的三个元素分别为三个特征值 λ, λ -, λ 显然, 是属于 λ 的特征向量, 是属于 λ 的特征向量, 是属于 λ 的特征向量由于特征向量乘一非零数仍是特征向量, 故也可取三个特征向量为 β [,,], β [,,-], β [,,] 所以, 取任意的非零常数 k,k,k, 属于 λ 的全部特征向量为 k β k [,,] T 属于 λ - 的全部特征向量为属于 λ 的全部特征向量为二矩阵的相似对角化 k β k [,,-] T k β k [,,] T 我们观察一个事实, 如果阶方阵 A 有三个线性无关的特征向量,,, 对应的特征值为 λ, λ, λ, 现定义两个矩阵如下 P [ ] λ Λ λ λ 将下面三个等式 A λ, A λ, A λ 写成矩阵形式 AP PΛ 或 A PΛP 这说明矩阵 A 与对角矩阵 Λ 相似利用特征向量和特征值的方法可以求得 A 的相似对角矩阵矩阵的相似对角化方法可用于计算一个矩阵的方幂例. 设矩阵 A 求 A 解先求出 A 的特征值和特征向量, 得 A 的对角相似矩阵 Λ 和可逆矩阵 P, 由等式 A PΛP 得 A PΛ P 用上式计算并与 A 直接计算结果比较用 MATAB 命令计算如下 A[ ;- - ;- - ]; [p d]eig(a) 得特征向量数据 p

13 以及特征值数据 d - 由此得 Λ 以及 Λ 所以计算 A 的值可用命令 p*d^*inv(p) 得数据结果 ns.e * 其中,.e 表示数据块中每一个数据都乘以所以有 A 为了验证这一数据结果, 用 MATAB 命令 A^ 计算得 ns - - 这表明两种计算结果是一样的例.8 判断二次型,, ) f ( 的类型 ( 正定型, 负定型, 半正定型和半负定型 ), 并将其化为标准形式解 : 先写出二次型的矩阵, 然后求特征值, 由特征值的符号判断二次型的类型根据二次型的系数得矩阵 A 在 MATAB 中输入矩阵 A 的数据并求特征值, 所用命令如下

14 A[- ; - ; -] eig(a) 计算结果为 ns 这说明 A 有三个负特征值, 所以该二次型为负定二次型它的标准形为 8 ),, ( f 为了求得变换矩阵 C 的数据, 由命令 [c d]eig(a) 求出 A 的特征向量矩阵数据显然三个列向量是相互正交的单位向量 ( 如果不是需将它们单位化 ), 可得变量之间关系为或 / / / / / / / / / 习题.. 求下列矩阵的特征值和特征向量 A, 8 B. 判断下列矩阵是否可对角化, 若可以, 则求出可逆矩阵 P, 使 P AP,P BP 成为对角矩阵 A, B. 判别下列二次型的正定性, 并将其化为标准形, 写出变换矩阵 () ; f () f

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中

第一章 线性代数基础

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