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丑艳苏
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si t) l( si t) f( )= dt t 4 t t tat t g ( )= tatdt 4 cos 6 又因为 f( ) 是的低阶无穷小 g ( ) 是的高阶无穷小故 5 故选 (C) () 设 [ ] 表示不超过的最大整数则是 [ ] e f( ) 的 ( )

1 9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学二 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题每小题 4 分共分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 l( si t) cos f( )= dt g ( )= tatdt t 则当时 f( ) 是的低阶无穷小 g ( ) 是的高阶无穷小则正整数的值为 ( ) (A) (B) 4 (C)5 (D) 6 答案 (C) 解析由等价无穷小替换得: 当 t 时所以当时 l( si t) l( si t) f( )= dt t 4 t t tat t g ( )= tatdt 4 cos 6 又因为 f( ) 是的低阶无穷小 g ( ) 是的高阶无穷小故 5 故选 (C) () 设 [ ] 表示不超过的最大整数则是 [ ] e f( ) 的 ( ) (A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点答案 (A) 解析由题可得: f( ) e 显然 lim f( ) 而 lim f( ) lim e lim f( ) 故为 f( ) 的跳跃间断点故选 (A) () 设 f ( ) 为定义在 [ ) 上的可导单调函数且有 f ( ) ( 9 则 - f t) dt

2 f ( ) ( ) (A) (B) (C) (D) 答案 (A) 解析因为函数 f ( ) 与 f ( ) 均可导故 f ( ) f - () t dt 可导式子 f ( ) - f ( t) d t 9两端对求导可得 : - f ( f( )) f( ) 即 f ( ) 可得 : f ( ) 积分可得 : f( ) C f ( ) - 由 f ( t) d t f (9) 9得 : - () f t dt 又因为 f ( ) 为单调函数即 f ( ) 也为单调函数所以 f (9) 代入得 C 综上可得 : f( ) 故选 (A) (4) 以下四个命题正确的是 ( ) (A) 设 f ( ) 是 ( ) 上连续的奇函数则 f ( d ) 必收敛且 f ( ) d R (B) 设 f ( ) 是 ( ) 上连续且 lim f ( ) d 存在则 f ( d ) 必收敛且 R f ( ) d lim f( ) d. R R R (C) 若 f ( d ) 与 g ( )d R 都发散则 f ( ) g( ) (D) 若 f ( )d 与 f( )d 都发散则 f( ) d 未必发散答案 (C) d未必发散解析 f( ) d 收敛存在常数 a 使 f ( ) d 和 f( ) d 都收敛此时 a f ( ) d f ( ) d f ( ) d 设 f( ) a 则 f( ) 是 ( ) a 上连续的奇函数且 lim f( ) d 但是 R a R R

3 f ( ) d d f ( ) d d 故 f( ) d 发散这表明命题 (A)(B)(D) 都是错误的设 f( ) g ( ) 由上面讨论可知 f( ) d与 gd ( ) 都发散但 f( ) g( ) d收敛这表明命题 (C) 是真命题故选 (C) (5) 设 y( ) y( ) 是方程 y p( ) y q( ) y 的两个特解则 Cy ( ) Cy ( ) ( C C 为任意常数 ) 是该方程通解的充分必要条件的是 ( ) y ( ) y( ) y ( ) y ( ) (B) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) (A) y ( ) y ( ) y ( ) y( ) (D) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) (C) 答案 (D) 解析由题可得 : 二阶线性齐次微分通解为 Cy ( ) Cy ( ) 的充要条件是 y( ) y( ) y( ) y( ) 线性无关即不为常函数即的导数不为零可得 : y ( ) y ( ) y( ) y ( ) y( ) y( ) y ( ) 即 y ( ) y( ) y( ) y ( ) 故选 (D) y( ) ( y( )) um ( ) um ( ) (6) 设 uy ( ) 在点 M( y ) 处取极大值并且均存在则 ( ) y um ( ) (A) (C) um ( ) um ( ) y um ( ) y (B) (D) um ( ) um ( ) um ( ) y um ( ) y 答案 (C) 解析令 f( ) u( y) 由已知是 f( ) 的极大值点故有 :

4 d um ( ) f u y d ( ) ( ) d um ( ) f( ) u( y ) ; d 同理令 g( y) u( y) 且 y y 是 gy ( ) 的极大值点故有 : d um ( ) g y u y dy y ( ) ( ) y y d um ( ) g( y) u( y) y y dy y 故选 (C) ( 7 ) 已知阶矩阵 A 与维列向量若向量组 A A 线性无关且 A A A 则矩阵 A 属于特征值的特征向量是 ( ) (A) A A (B) A A (C) A A (D) 答案 (B) 解析由定义可知: A 则为矩阵 A 属于特征值的特征向量由于 AA ( A) A A A A A A A 且向量组 A A 线性无关可知 A A 所以 A A 为矩阵 A 属于特征值的特征向量故选 (B) (8) 设阶实对称矩阵 A 经第一行与第二行对调得到矩阵 B 矩阵 B 再经第一列与第二列对调得矩阵 C 则矩阵 A 与 C 为 ( ) (A) 等价但不相似 (C) 合同但不相似答案 (D) (B) 相似但不合同 (D) 相似合同且等价解析由题可得: E A B BE C 故可得 : E AE C 矩阵 A 通过初等变换得到矩阵 C 故矩阵 A 与 C 等价 ; 因为 ( E) E ( E ) E 故 ( ) E AE E AE C 故矩阵 A 与 C 相似为实对称矩阵故矩阵 A 与 C 合同故选择 (D) 4 ( E ) AE E AE C 且 A

5 二填空题 :9~4 小题每小题 4 分共 4 分请将答案写在答题纸... 指定位置上. ( 9 ) 设 z f ( y) 在 ( ) 处可微且 f( y) y lim ( ) y ( y ) () 则 f ( h ) f( h) lim h h 答案 4 f( y) y 解析由题 lim 可知 : f ( y ) () ( ) f y ( ) 而 ( ) y f( h ) f( h) f( h ) f( ) [ f( h) f( )] lim lim h h h h f( h ) f( ) [ f( h) f( )] lim lim f ( ) f y( ) 4 h h h h ( ) 与曲线 ( y) 相切且与曲线在点 ( ) 处的切线垂直的直线方程为答案 y 5 解析题目求在点 ( ) 处切线的垂线即求这一点处的法线对 ( y) 两端对求导可得 : ( y) y 将点 ( ) 代入可得 : 在这点处切线斜率为故法线斜率为所以法线方程为 : y( ) 即为 y 5 ( )( ) ( ) () lim 答案 4 e 解析令 a ( )( ) ( ) 对该式两边取对数得 : 5

6 ( )( ) ( ) i l a l l i i lim l l( d ) i 则 lim a e e 因 l( )d l t d t l ( )( ) ( ) l 4 所以 lim e e () 曲线 y ( e ) 的斜渐近线答案 y e t e e 解析由于 k lim lim lim t t blim e lim o( ) 所以斜渐近线 y () 心形线 r a( cos ) ( a ) 答案 8a 解析极坐标形式下弧长公式为: 的全长为 s r ( r ) d [ a( cos )] ( asi ) d a cosd a cos d a cos d a costdt 8a (4) 设阶方阵 A ( a ) 的主对角线元素均为当 i j 时 a 其他元素为则答案 ( ) ij A ij 6

7 解析根据题意令 : D A 按第一行展开得 D D D 即 D D D D 可知 { D } 为等差数列且 D D 故 { D } 公差 d 首项 D 所以 : A D 故 A A ( ) 三解答题 :5~ 小题共 94 分请将解答写在答题纸... 指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 设函数 f ( ) 满足 f () f ( )si () 求 lim f(e ) 答案 ( )si 解析当时 ( )si 所以 lim f( e ) lim lim ( ) f e f(e ) f() e f() e 其中因 f () f () 故 (6)( 本题满分分 ) f( ) f() f( ) f() f () lim lim (Ⅰ) 设 f( ) 在 [ ] 上连续证明 : f(si d ) f(si d ) ; 7

8 (Ⅱ) 设 f( ) 在 [ ] 上连续且 f( ) f( )sid cos 求 f( ) 答案 (Ⅱ) f( ) cos 解析 (Ⅰ) f (si ) d u ( u) f (si( u))( du) ( uf ) (si udu ) [ f(si d ) ( uf ) (si udu ) ] f(si d ) ; (Ⅱ) 令 f ( )sid A 则 f( ) A cos 该式两边同乘 si 并在 [ ] 上求积分得 : si f ( )sid d Asid cos si 由于是关于的偶函数 Asi 是关于的奇函数 cos si 因此 f( )sid d cos si 则 A f ( )sid d cos si 对 d 进行变量替换令 t cos si t tsi t si t 则 A dt dt dt A cos t cos t cos t 可得 : si t A dt arcta(cos t) cos t 4 4 或利用 (Ⅰ) 结论得 : A d d t cos cos 4 4 si si arcta(cos ) 所以 f( ) cos ( 7 )( 本题满分分 ) 设 u f( y ) 具有二阶连续偏导数且满足 8

9 y u u u u y 试求函数 u 的解析式答案 u C cos y C si y y 其中 C C 为常数 u du dr du u d u du du 解析令 r y 则 dr d r dr r dr r dr r dr u y d u du y du du 同理可得代入方程化简得 u r y r dr r dr r dr dr 求解二阶常系数非齐次微分方程得其通解为 : u C cos rc si rr ; 故函数解析式为 u C cos y C si y y 其中 C C 为常数 (8)( 本题满分分 ) 设 D 是由 y 以及轴围成的有界区域计算二重积分 I ( ye )sg( y ) ddy 其中符号函数 sg D 答案 5 解析如图所示由抛物线 y 把区域 D 分为 D 和 D 两部分其中 D 由 y 和 (-) () y 围成 D 由 y 以及 y 轴围成则 : D D D ( ) ( ) D D I ye ddy ye ddy 由于 D 和 D 均关于 y 轴对称而 ye 关于是奇函数所以 ye ddy ye ddy ; D D 故 I ddy ddy d dy d dy 5 D D 9

10 (9)( 本题满分分 ) 设函数 f ( ) 在 [] 上二次可微且 f () f () mi f( ) 求证 : 存在一点 () 使得 f ( ) 8 证明 : 由题意不妨设 () 为 f( ) 在 [] 上的最小值点 f( ) f( ) f( ) 在处的泰勒展式为 : 则 f( ) f( ) f( )( ) f( )( ) 即 f( ) f( )( ) 其中介于与之间分别令得 : f() f( ) f() f ( )( ) 其中由 f() f() 得 : f( ) f ( ) ( ) 所以当 ( ) 时 f ( ) 8 ; 当 ( ) 时 f ( ) 8 ( ) 综上所述存在一点 () 使得 f ( ) 8 另解 : 由题意得 f ( ) 在 () 上连续则由介值定理得 : [ ] () 使得 : f( ) f( ) f ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 4 ()( 本题满分分 ) 设 M( y ) 是曲线 y l 上曲率最大的点且设由 y 直线及曲线 y l 围成无界区域的面积为 S 而 y 直线及曲线 y l 围成的面积为 S 求 ( I ) 点 M( y ) ;( II ) 面积比 S / S 答案 (Ⅰ) M l ;(Ⅱ) S S l

11 y 解析 (Ⅰ) 由 y l 的曲率公式可得 : K( ) ( y ) ( ) 且 K( ) ( ) ( ) 5 令 K( ) 由此可得 : ( ) ( ) 5 解得所以点 M l 处曲率最大 ; (Ⅱ) 由于 S l dl d l 又 S l d l ds l S 面积比为 S l l l dy ()( 本题满分分 ) 在微分方程 y d 的一切解中求一个解 y y( ) 使得曲线 y y( ) 与直线及 y 所围成的平面图形绕 y 旋转一周的旋转体体积最小 75 答案 y 4 dy 解析原方程可化为 y 求解一阶线性微分方程 d d d 由通解公式可得 : y e e dc C C 由曲线 y C 与直线 y 所围成平面图形绕轴旋转一周的旋转体 5 7 体积为 V( C) ( C ) d C C 5

12 6 5 令 V ( C) C 75 解得 C 又 V( C) 故 C 是唯一极小值点也是最小值点所以 y 4 4 ()( 本题满分分 ) 设线性方程组 4 ( ) (4 ) 4 4 已知 ( ) 是该方程组的一个解试求 : (Ⅰ) 方程组的全部解并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 ; (Ⅱ) 该方程组满足的全部解答案 (Ⅰ) 当时全部解为 : k ( ) k( ) ( k 为任意常数 ); 当 λ 时全部解为 : k k ( ) k( ) k( ) ( k k 为任意常数 ); (Ⅱ) 当 λ 时满足的全部解为 : ( ) ; 当 λ 时满足的全部解为 : ( ) k ( ) ( k 为任意常数 ) 解析 (Ⅰ) 将 ( ) 代入方程组得对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换得 : A 4 4 ( )

13 当时有 A r( A) r( A ) 4 故方程组有无穷多解且 ( ) 为其一个特解对应的齐次线性方程组的基础解系为 ( ) 故方程组的全部解为 : k ( ) k( ) ( k 为任意常数 ); 当 λ 时有 A r( A) r( A ) 4 故方程组有无穷多解且 ( ) 为其一个特解对应的齐次线性方程组的基础解系为 ( ) ( ) 故方程组的全部解为 : k k ( ) k( ) k( ) ( k k 为任意常数 ); (Ⅱ) 当 λ 时由于即 k k 解得 k 故方程组满足的解为 ( ) ( ) ( ) ; 当 λ 时由于即 k k k 解得 k k 4 故方程组满足的全部解为 : ( ) ( )( ) ( ) 4 k k

14 4 4 4 ( ) k( ) ( k 为任意常数 ) ()( 本题满分分 ) 已知二次型 f( ) ( a4) 4 4 (Ⅰ) 当 a 取何值时二次型 f( ) 正定 ; (Ⅱ) 若二次型 f( ) 经正交变换值以及将二次型化为规范型所用的变换矩阵答案 (Ⅰ) a 4 ;(Ⅱ) a b Qy 化为标准型 by 5y y 求 ab 的 5 P 5 5 解析 (Ⅰ) 由于 f( ) 正定则 A 的所有顺序主子式满足 : 4 a 由此可得 a ; A a 4 b (Ⅱ) 二次型矩阵为 : A a 4 5 tra tr a4b5 a 由题可得 A 与相似所以有即解得 ; A a45b b 由于 A 的特征值为 5 依次求解方程组 ( E A) (5 EA) ( EA) 可得对应的特征向量分别为 : ; 4

15 单位化后可得 : ; 所求的正交变换矩阵为 Q 相应的正交变换为 Qy 将二次型变形 y z 为标准型 y 5y y 若再做合同变换 y z 5 即 y Pz y z 可将二次型化为规范型 z z z 所用的变换为 Pz 5 故变换矩阵 P QP

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<4D F736F F D C4EABFBCD1D0CAFDD1A7C4A3C4E2BEED28CAFDD1A7D2BB29202D20BDE2CEF62E646F6378> 9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题每小题 4 分共 3 分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. l( si t) cos () 设 f( )= dt g ( )= tatdt t 则当时 f( ) 是的低阶无穷小 g ( ) 是的高阶无穷小则正整数的值为