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琪衾戈
5 years ago
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1 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一填空题本题共 6 小题每小题分满分分把答案填在题中横线上 si 若 lim cos 5 则 e 设函数 f u v 由关系式 f [gy y] gy 确定其中函数 gy 可微且 gy 则 f u v 设 e < f 则 f d 二次型 f 的秩为 5 设随机变量 X 服从参数为的指数分布则 P { X > DX } 6 设总体 X 服从正态分布 N μ σ 总体 Y 服从正态分布 N μ σ X X X 和 Y Y Y 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本则 Xi X Yj Y i j E 二选择题本题共 6 小题每小题分满分分每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内 si 7 函数 f 在下列哪个区间内有界 A B C D [ ] f 8 设 f 在内有定义且 lim f g 则 A 必是 g 的第一类间断点 B 必是 g 的第二类间断点 C 必是 g 的连续点 D g 在点处的连续性与的取值有关 [ ] 9 设 f 则 A 是 f 的极值点但不是曲线 y f 的拐点 B 不是 f 的极值点但是曲线 y f 的拐点 - -

2 C 是 f 的极值点且是曲线 y f 的拐点 D 不是 f 的极值点也不是曲线 y f 的拐点 [ ] 设有下列命题 : 若 u u 收敛则 u 收敛若 u 收敛则 u 收敛 u 若 lim > 则 u 发散 u 若 u v 收敛则 u v 都收敛则以上命题中正确的是 A B C D [ ] 设 f 在 [ ] 上连续且 f > f < 则下列结论中错误的是 A 至少存在一点使得 f > f B 至少存在一点使得 f > f C 至少存在一点使得 f D 至少存在一点使得 f [ D ] 设阶矩阵 A 与 B 等价则必有 A 当 A 时 B B 当 A 时 B C 当 A 时 B D 当 A 时 B [ ] 设阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 若 ξ ξ ξ ξ 是非齐次线性方程组 A 的互不相等的解则对应的齐次线性方程组 A 的基础解系 A 不存在 B 仅含一个非零解向量 C 含有两个线性无关的解向量 D 含有三个线性无关的解向量 [ ] 设随机变量 X 服从正态分布 N 对给定的 α 数 u α 满足若 P { X < } α 则等于 A u α B u α C α u P{ X > uα } α u D α [ ] 三解答题本题共 9 小题满分 9 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 - -

3 5 本题满分 8 分 cos 求 lim si 6 本题满分 8 分求 D 平面区域如图 y y dσ 其中 D 是由圆 y 和 y 所围成的 7 本题满分 8 分设 f g 在 [ ] 上连续且满足 t dt f g t dt [ f t dt g t dt 证明 : f d g d 8 本题满分 9 分设某商品的需求函数为 Q 5P 其中价格 P Q 为需求量 I 求需求量对价格的弹性 E d E d > ; dr II 推导 Q Ed 其中 R 为收益并用弹性 E d 说明价格在何范围内变化时 dp 降低价格反而使收益增加 9 本题满分 9 分设级数的和函数为 S 求 : I S 所满足的一阶微分方程 ; II S 的表达式本题满分分 8 < < 设 α α α α α α β 试讨论当为何值时 Ⅰ β 不能由 α α α 线性表示 ; Ⅱ β 可由 α α α 唯一地线性表示并求出表示式 ; Ⅲ β 可由 α α α 线性表示但表示式不唯一并求出表示式 - -

4 本题满分分设阶矩阵 A Ⅰ 求 A 的特征值和特征向量 ; Ⅱ 求可逆矩阵 P 使得 P AP 为对角矩阵本题满分分设 A B 为两个随机事件且 P A 求 A发生 X A不发生 Ⅰ 二维随机变量 X Y 的概率分布 ; P B A B发生 Y B不发生 P A B 令 Ⅱ X 与 Y 的相关系数 ρ XY ; Ⅲ Z X Y 的概率分布本题满分分设随机变量 X 的分布函数为 α F α β β > α α 其中参数 α > β > 设 X X X 为来自总体 X 的简单随机样本 Ⅰ 当 α 时求未知参数 β 的矩估计量 ; Ⅱ 当 α 时求未知参数 β 的最大似然估计量 ; Ⅲ 当 β 时求未知参数 α 的最大似然估计量 - -

5 年考研数学三真题解析一填空题本题共 6 小题每小题分满分分把答案填在题中横线上 si 若 lim cos 5 则 e 分析本题属于已知极限求参数的反问题 si 详解因为 lim cos 5 且 lim si cos 所以 e lim 得极限化为 e si lim cos lim cos 5 得 e 因此 f 评注一般地已知 lim A g 若 g 则 f ; 若 f 且 A 则 g 设函数 f u v 由关系式 f [gy y] gy 确定其中函数 gy 可微且 gy f g v 则 u v g v 分析令 u gyv y 可得到 f u v 的表达式再求偏导数即可 u 详解令 u gyv y 则 f u v g v g v 所以 f u e 设 f f g v g v u v g v < 则 f d 分析本题属于求分段函数的定积分先换元 : t 再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可详解令 t f d f t dt f dt e d d - 5 -

6 - 6 - 评注一般地对于分段函数的定积分按分界点划分积分区间进行求解二次型 f 的秩为分析二次型的秩即对应的矩阵的秩亦即标准型中平方项的项数于是利用初等变换或配方法均可得到答案详解一因为 f 于是二次型的矩阵为 A 由初等变换得 A 从而 A r 即二次型的秩为详解二因为 f y y 其中 y y 所以二次型的秩为 5 设随机变量 X 服从参数为的指数分布则 > } { DX X P e 分析根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案详解由于 DX X 的分布函数为 > e F 故 > } { DX X P } { DX X P } { X P F e 评注本题是对重要分布即指数分布的考查属基本题型 6 设总体 X 服从正态分布 μ σ N 总体 Y 服从正态分布 μ σ N

7 X X X 和 Y Y Y 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本则 E i X i X j Y j Y σ 分析利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案详解因为 E[ i X i X ] σ E[ j Y j Y ] σ 故应填 σ 评注本题是对常用统计量的数字特征的考查二选择题本题共 6 小题每小题分满分分每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内 si 7 函数 f 在下列哪个区间内有界 A B C D [ A ] 分析如 f 在内连续且极限 lim f 与 lim f 存在则函数 f 在内有界详解当时 f 连续而 lim si f lim 8 si f lim f si lim f lim f 所以函数 f 在内有界故选 A 评注一般地如函数 f 在闭区间 [ ] 上连续则 f 在闭区间 [ ] 上有界 ; 如函数 f 在开区间内连续且极限 lim f 与 lim f 存在则函数 f 在开区间内有界 8 设 f 在内有定义且 lim f f g 则 A 必是 g 的第一类间断点 B 必是 g 的第二类间断点 C 必是 g 的连续点 D g 在点处的连续性与的取值有关 [ D ] - 7 -

8 分析考查极限 lim g 是否存在如存在是否等于 g 即可通过换元 u 可将极限 lim g 转化为 lim f 详解因为 lim g lim f lim f u 令 u 又 g 所以 u 当时 lim g g 即 g 在点处连续当时 lim g g 即是 g 的第一类间断点因此 g 在点处的连续性与的取值有关故选 D 评注本题属于基本题型主要考查分段函数在分界点处的连续性 9 设 f 则 A 是 f 的极值点但不是曲线 y f 的拐点 B 不是 f 的极值点但是曲线 y f 的拐点 C 是 f 的极值点且是曲线 y f 的拐点 D 不是 f 的极值点也不是曲线 y f 的拐点 [ C ] 分析由于 f 在处的一二阶导数不存在可利用定义判断极值情况考查 f 在的左右两侧的二阶导数的符号判断拐点情况详解设 < δ < 当 δ δ 时 f > 而 f 所以是 f 的极小值点显然是 f 的不可导点当 δ 时 f f > 当 δ 时 f f < 所以是曲线 y f 的拐点故选 C 评注对于极值情况也可考查 f 在的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断设有下列命题 : 若 u u 收敛则 u 收敛若 u 收敛则 u 收敛 u 若 lim > 则 u 发散 u 若 u v 收敛则 u v 都收敛则以上命题中正确的是 A B C D [ B ] 分析可以通过举反例及级数的性质来说明个命题的正确性 - 8 -

9 详解是错误的如令 u 显然 u 分散而 u u 收敛是正确的因为改变增加或减少级数的有限项不改变级数的收敛性 u 是正确的因为由 lim > 可得到 u 不趋向于零所以 u 发散 u 是错误的如令 u v 显然 u v 都发散而 u v 收敛故选 B 评注本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法属于基本题型设 f 在 [ ] 上连续且 f > f < 则下列结论中错误的是 A 至少存在一点使得 f > f B 至少存在一点使得 f > f C 至少存在一点使得 f D 至少存在一点使得 f [ D ] 分析利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项由排除法可选出错误选项详解首先由已知 f 在 [ ] 上连续且 f > f < 则由介值定理至少存在一点使得 f ; f f 另外 f lim > 由极限的保号性至少存在一点 f 使得 f > 即 f > f 同理至少存在一点使得 f > f 所以 A B C 都正确故选 D 评注本题综合考查了介值定理与极限的保号性有一定的难度设阶矩阵 A 与 B 等价则必有 A 当 A 时 B B 当 A 时 B C 当 A 时 B D 当 A 时 B [ D ] 分析利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件 : r A r B 立即可得 - 9 -

10 详解因为当 A 时 r A < 又 A 与 B 等价故 r B < 即 B 故选 D 评注本题是对矩阵等价行列式的考查属基本题型设阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 若 ξ ξ ξ ξ 是非齐次线性方程组 A 的互不相等的解则对应的齐次线性方程组 A 的基础解系 A 不存在 B 仅含一个非零解向量 C 含有两个线性无关的解向量 D 含有三个线性无关的解向量 [ B ] 分析要确定基础解系含向量的个数实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩详解因为基础解系含向量的个数 ra 而且 r A * r A r A r A < 根据已知条件 A * 于是 r A 等于或又 A 有互不相等的解即解不惟一故 r A 从而基础解系仅含一个解向量即选 B 评注本题是对矩阵 A 与其伴随矩阵识点的综合考查 * A 的秩之间的关系线性方程组解的结构等多个知设随机变量 X 服从正态分布 N 对给定的 α 数 u α 满足若 P { X < } α 则等于 A u α B u α C α 分析利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得 u P{ X > uα } α u D α [ C ] 详解由 P { X < } α 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 α P{ X > } 故正确答案为 C 评注本题是对标准正态分布的性质严格地说它的上分位数概念的考查三解答题本题共 9 小题满分 9 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 5 本题满分 8 分 cos 求 lim si 分析先通分化为型极限再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可 cos si cos 详解 lim lim si si - -

11 si lim si lim cos lim 6 lim 6 评注本题属于求未定式极限的基本题型对于型极限应充分利用等价无穷小替换来简化计算 6 本题满分 8 分求 D 域如图 y y dσ 其中 D 是由圆 y 和 y 所围成的平面区分析首先将积分区域 D 分为大圆 D { y y } 减去小圆 D { y y } 再利用对称性与极坐标计算即可详解令 D { y y } D { y y } D 由对称性 ydσ y dσ y dσ D D D π π cosθ d θ r dr π dθ r dr 6π 6 π 所以 y y dσ π 9 D 评注本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型对于二重积分经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算 7 本题满分 8 分设 f g 在 [ ] 上连续且满足 f t dt g t dt [ f t dt g t dt 证明 : f d g d 分析令 F f g G F t dt 将积分不等式转化为函数不等式即可详解令 F f g G F t dt 由题设 G [ ] G G G F y dσ - -

12 从而 F d dg G G d G d 由于 G [ ] 故有 G d 即 F d 因此 d f g d 评注引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法 8 本题满分 9 分设某商品的需求函数为 Q 5P 其中价格 P Q 为需求量 I 求需求量对价格的弹性 E d E d > ; dr II 推导 Q Ed 其中 R 为收益并用弹性 E d 说明价格在何范围内变化时 dp 降低价格反而使收益增加分析由于 E d > 所以 E d dr dp 详解 I Q E d E d P dq Q dp P dq Q dp P P ; 由 Q PQ 及 E d II 由 R PQ 得 dr dq P dq Q P Q Q Ed dp dp Q dp P 又由 E d 得 P P dr 当 < P < 时 E d > 于是 < dp 故当 < P < 时降低价格反而使收益增加 P dq Q dp 可推导评注当 E d > 时需求量对价格的弹性公式为 E d P dq P dq Q dp Q dp 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式 : dr dr dr Ed Qdp Ed Q p dp dq E ER E d 收益对价格的弹性 Ep d - -

13 9 本题满分 9 分设级数 < < 的和函数为 S 求 : I S 所满足的一阶微分方程 ; II S 的表达式分析对 S 进行求导可得到 S 所满足的一阶微分方程解方程可得 S 的表达式详解 I 6 S 易见 S 8 S 因此 S 是初值问题 [ S ] y y y 的解 II 方程 y y 的通解为 y e d [ e d Ce d C] 由初始条件 y 得 C 故 e y 因此和函数 S e 评注本题综合了级数求和问题与微分方程问题年考过类似的题本题满分分设 α α α α α α β 试讨论当为何值时 - -

14 Ⅰ β 不能由 α α α 线性表示 ; Ⅱ β 可由 α α α 唯一地线性表示并求出表示式 ; Ⅲ β 可由 α α α 线性表示但表示式不唯一并求出表示式分析将 β 可否由 α α α 线性表示的问题转化为线性方程组 k α kα kα β 是否有解的问题即易求解详解设有数 k k 使得 k k α kα kα β * 记 A α α 对矩阵 A β 施以初等行变换有 α A β Ⅰ 当时有 A β 可知 r A r A β 故方程组 * 无解 β 不能由 α α α 线性表示 Ⅱ 当且 A β 时有 r A r A β 方程组 * 有唯一解 : k k k 此时 β 可由 α α α 唯一地线性表示其表示式为 β α α Ⅲ 当时对矩阵 A β 施以初等行变换有 - -

15 A β r A r A β 方程组 * 有无穷多解其全部解为 k k c k c 其中 c 为任意常数 β 可由 α α α 线性表示但表示式不唯一其表示式为 β α c α cα 评注本题属于常规题型曾考过两次 99 本题满分分设阶矩阵 A Ⅰ 求 A 的特征值和特征向量 ; Ⅱ 求可逆矩阵 P 使得 P AP 为对角矩阵分析这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题通常可由求解特征方程 E A 和齐次线性方程组 E A 来解决详解 Ⅰ 当时 E A [ ][ ] 得 A 的特征值为对 - 5 -

16 - 6 - A E 解得 ξ 所以 A 的属于的全部特征向量为 k ξ k k 为任意不为零的常数对 A E 得基础解系为 ξ ξ ξ 故 A 的属于的全部特征向量为 k ξ ξ k ξ k k k k 是不全为零的常数当时 A E 特征值为任意非零列向量均为特征向量

17 Ⅱ 当时 A 有个线性无关的特征向量令 P ξ ξ ξ 则 P AP 当时 A E 对任意可逆矩阵 P 均有 P AP E 评注本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题属于有一点综合性的试题另外本题的解题思路是容易的只要注意矩阵中含有一个未知参数从而一般要讨论其不同取值情况本题满分分设 A B 为两个随机事件且 P A P B A P A B 令求 A发生 X A不发生 Ⅰ 二维随机变量 X Y 的概率分布 ; B发生 Y B不发生 Ⅱ X 与 Y 的相关系数 ρ XY ; Ⅲ Z X Y 的概率分布分析本题的关键是求出 X Y 的概率分布于是只要将二维随机变量 X Y 的各取值对转化为随机事件 A 和 B 表示即可详解 Ⅰ 因为 P AB P A P B A 于是 P AB P B P A B 6 则有 P { X Y } P AB P { X Y } P AB P A P AB 6 P { X Y } P AB P B P AB P{ X Y } P A B P A B [ P A P B P AB] 或 P { X Y } 6 即 X Y 的概率分布为 : - 7 -

18 Y X 6 Ⅱ 方法一 : 因为 EX P A EY P B E XY 6 EX P A EY P B 6 5 DX EX EX DY EY EY 6 6 Cov X Y E XY EXEY Cov X Y 5 所以 X 与 Y 的相关系数 ρ XY DX DY 5 5 方法二 : X Y 的概率分布分别为 X Y 5 P P 则 EX EY DX DY EXY 故 Cov X Y E XY EX EY 从而 Cov X Y 5 ρ XY DX DY 5 Ⅲ Z 的可能取值为 : P { Z } P{ X Y } P { Z } P{ X Y } P{ X Y } P { Z } P{ X Y } 即 Z 的概率分布为 : Z P 评注本题考查了二维离散随机变量联合概率分布数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题属于综合性题型本题满分分 - 8 -

19 设随机变量 X 的分布函数为 α F α β β > α α 其中参数 α > β > 设 X X X 为来自总体 X 的简单随机样本 Ⅰ 当 α 时求未知参数 β 的矩估计量 ; Ⅱ 当 α 时求未知参数 β 的最大似然估计量 ; Ⅲ 当 β 时求未知参数 α 的最大似然估计量分析本题是一个常规题型只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数从而先由分布函数求导得密度函数详解当 α 时 X 的概率密度为 β f β β > Ⅰ 由于 β EX f ; β d β β β d 令 β β X 解得 X β X 所以参数 β 的矩估计量为 X β X Ⅱ 对于总体 X 的样本值似然函数为 L β i f i ; α β 当 > i 时 L β > 取对数得 i β i > i 其他 l L β l β β l i i 对 β 求导数得 - 9 -

20 d[l L β] dβ β i l i d[l L β] 令 l i 解得 dβ β i β i l i 于是 β 的最大似然估计量为 βˆ l i Ⅲ 当 β 时 X 的概率密度为 i f α β > α α 对于总体 X 的样本值似然函数为 L β α f i ; α i i > α i 其他当 > α i 时 α 越大 L α 越大即 α 的最大似然估计值为 i ˆ α mi{ } 于是 α 的最大似然估计量为 ˆ α mi{ X X X } - -

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2004ÄêÈ«¹úË¶Ê¿ÑÐ¾¿ÉúÈëÑ§Í³Ò»¿¼ÊÔÊýÑ§ÈýÊÔÌâ 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一填空题本题共 6 小题每小题分满分分把答案填在题中横线上 si 若 lim cos 5 则 e 设函数 f u v 由关系式 f [gy y] gy 确定其中函数 gy 可微且 gy f 则 u v e 设 f < 则 f d 二次型 f 的秩为 5 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布则 P { X > DX } 6 设总体