第一讲 引言、行列式

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1 多元线性方程基础提高 型 线性代数 板书提纲 第一讲引言 行列式 教学目的 :. 对 线性代数 作概要的介绍 ;. 谈谈线性代数的学习目的 方法 ; 说明本学期的评分管理 ;. 定义行列式的运算法则 ; 4. 介绍行列式的基本性质 ; 重点是这些性质的运用 教学内容 ; 第一章行列式. 行列式的概念. 行列式的性质教案提纲 : 引言 线性代数 课程的重要性:. 后续课程必备的工具 ;. 考研数学占相当比例 ; 线性代数 课程的两大功能:. 提供处理多元问题的一个集成化的有力工具 ;. 进行思维训练 : 集成化工具 抽象思维 逻辑推理 数学论证和表述 爱因斯坦的名言 : 什么是教育? 教育, 就是当你把书上写的 老师教的统统忘光之后, 脑子里还剩下的东西 线性代数 课程的框架: 引进三个工具 解决两个问题 : 第一阶段 第二阶段 行列式 矩阵 元二基础提高次组多向量空间 两个阶段 : 与教材的目录对照, 要求的层次有侧重

2 对学习方法的建议 :. 效率 : 提高听课和作业的效率, 化同样的时间, 有较多的收获 ;. 交流 : 向老师发问, 与同学交流, 做 阳光学生 ;. 悟道 : 多思 提高悟性, 注意 概念是核心 学期评分结构 :( 平时 )8( 期末 ) 与我联系 : 向大家推荐一本书 : 线性代数一本通 一 全排列与逆序 ( 快速通过 ):. 排列 ( 定义.,p.4); 第一章 行列式. 行列式的概念 主要讨论 个自然数 所构成的排列 : 记作 p p p, 称为一个 级排列, 所有不同的 级排列共有 P! 种 规定 : 以自然序 ( 左小右大 ) 为顺序 ( 标准序 ); 不符合者称为逆序 ;. 排列的逆序数 : 排列中某一个数的逆序数 与 整个排列的逆序数 排列 p p p 的逆序数写作 t t t t t i 奇排列 与 偶排列 ; 例. 求排列 645 的逆序数与奇偶性 例. 求排列 ( )( ) 的逆序数. 对换 : 定理.: 对换改变奇偶性 ( 证明简介 : 相邻对换与不相邻对换 ); 二 阶行列式的定义 ( 直接定义, 不要引例 ):. 形式定义 ( 一种新型的运算式 )( 定义.): 由 个数 ( i, j,,, ), 排成 行 列, 并添加运算符 *, 所构成的运算式 ij i D 称为 阶行列式, 也可记为 det( ), 其中数 称为行列式 D 的元素,i 称为行标,j 称为列标. 广义对角线 ( 简介 ): 个不同行 不同列的元素 ij ij p q p q p q 排列起来, 就构成一条 广义对角线, 其行标排列 p p p 和列标排列 q q q 分别是两个 级排列 ; 阶行列式共有! 条广义对角线 ( 说明 : 广义对角线的值 广义对角线的符号 符号对于排列方式的一致性 )

3 . 运算定义 ( 展开法则 ): D ( ) ( ) ( ) t p p p t t p q p q t q q q p q 说明 :! 条广义对角线的代数和 ; 三种写法的一致性 三 低阶行列式 :. 一阶行列式 :. 二阶行列式 ; 对角展开法. 三阶行列式 : ( 示例 : 为什么四阶行列式不能按对角展开法展开? 更高阶亦然 ) 4. 直接用定义展开的算例 : 上 ( 下 ) 三角形 主 ( 次 ) 对角形 例. 阶下三角行列式 ( 其中未写出的元素都是 ); 类似 : 上三角行列式 ; 而主对角行列式既是上三角, 也是下三角 还有, 次对角行列式 ( 证明一下 ):. 行列式的性质 ( 讲清性质的含义和用法, 证明可略去或简介 ) 一 行列式的基本性质 ( 应背记, 见 p.9):. 转置不变 ;. 换行 ( 列 ) 改号 有两行 ( 列 ) 相同则值为 ;. 数乘 () 提公因子 ; () 有一行 ( 列 ) 为 则值为 ; () 有两行 ( 列 ) 成比例则值为 ; 4. 拆行 ( 列 ); 5. 行 ( 列 ) 倍加, 值不变 二 利用性质计算 :( 举例 :p., 例.4~.7) 作业 :p.6: 4( 4 7) 5( ) 7() 第二讲行列式 教学目的 : 5. 讲解行列式的拉氏展开 ; 6. 小结行列式的一些常用算法 ; 重点是常用算法的掌握 ; 7. 介绍 Crmer 法则及其推论 ; 教学内容 ; 第一章行列式 :. 行列式按行 ( 列 ) 展开.4 Crmer 法则

4 教案提纲 : 回顾 : 行列式的性质, 几个算例 (p., 例.4~.7). 行列式按行 ( 列 ) 展开 一 余子式与代数余子式 :. 余子式 : ij M ij i j. 代数余子式 : ij M ij ij ( ) M ij ; 例.8(p.5) 二 按行 ( 列 ) 展开法则 ( Lplce 展开 ):( 引理与定理.): D j i ij ij ij ij ( i ) ; ( j ) 例.9 ~.(p.7): 批注 -: 三 Lplce 定理 :( 定理.4,p.9) D, if i k δ D (.5) ik, if i ij kj j k D, if j k δ jk D, (.6), if j ij ik i k 其中, δ ik,, i k i k, 称为克龙纳克尔 (Kroecker) 函数 例. (p.) 批注 -: 如果另外再要求计算比如说 , 则也可以利用定理.4 这样算 : 把原行列式的第四行改为 - -5, 记作 D, 则有 r 4r D 5 r4 r 5 5

5 小结 : 行列式常用算法 一 直接按定义展开 : 利用广义对角线概念比较方便, 记住几个常用结果 ; 二 利用性质计算 :. 直接用性质 ( 如例.7);. 化简 : 化为三角形 ( 如例.4.5.6);. 化简 : 在一行 ( 列 ) 造, 再展开降阶 ( 例..); ( 若能在降阶中找出高阶与低阶的关系, 则可进行递推或数学归纳 ) ( 只要求掌握上述常用算法即可, 不必太钻技巧 ) 三 其他一些技巧 : 如 加边法 ( 习题 -4(5)) 构造辅助行列式( 习题 -5 ()) 利用矩阵( 习题 -()) 等等, 以后可作适当介绍.4 Crmer 法则 一 引例 : 用消元法解二元线性方程组 ; 二 Crmer 法则 ( 定理.5: 两个条件 : 方形 系数行列式非零 两个结论 : 有解 唯一 ); ( 证明 : 存在性 唯一性 ) 三 关于齐次方程组的推论 : 定理.7.8 例.4(p.) 批注 -4: 作业 :p.7:4( ) 5(4) 6( ) 7() () 备例 : 批注 -5: 备选例题 例 计算 阶行列式 D 4 解先 造 : 依次将第 i 行乘 (-) 加到第,, 列全加到第 列, 得 : i 行 (,,,) i, 再 造 : 将第,

6 D ( ) ( ) ( ) D, 再将 D 的第 行乘 (-) 加到其余各行, 再将第,,,- 列全加到第 - 列, 得一 次 上三角行列式, 最后得 : D ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 解析 根据行列式的特点, 利用倍加性质, 先 造, 再降阶, 再利用行列式性质转化为爪形行列式, 接下来就容易简化成三角行列式了 例 (p., 习题 -9) 设 D,,,, D, D,, D, 是一个等差数列 证明 证 : 将 D 按第一列展开, 得递推公式 D D D, 移项便得 D D D D, D, D,, D, 是一个等差数列 可见 D D D D d, 容易算得 D, D, 因此 d D D, 记 于是猜测 : D D ( ) d

7 下面归纳证明 : 设 D k, 则 k D D D ( k ) ( k ) k k ( k ), k k k 由归纳原理, 知猜测正确, 即有 D 第三讲矩阵及其代数运算 () 教学目的 :. 引入矩阵的概念, 介绍一些基本的特殊矩阵 ;. 讲解矩阵代数运算的第一部分 : 加法 数乘 乘法, 重点是乘法 ; 教学内容 : 第二章矩阵. 矩阵的概念 ;. 矩阵的代数运算 ( 一 ~ 三节 ); 教案提纲 : 衔接 : 回顾 Crmer 法则 : 两个条件 两个结论 ; 特例 : 齐次方程组 : 反问 : 如果两个条件不能全满足, 方程组会怎么样? 该如何处理? 可贵的是 :Crmer 法则开辟了一条新思路 整体化处理 第二章矩阵. 矩阵的概念一 矩阵的定义 : 从 Crmer 法则的思想引入, 快速通过 ; 矩阵 ( 记号 ) 规格 元素 下标; 例如, 给出线性方程组 (p.4) 其系数可组成一个 4 5 矩阵称为该方程组的系数矩阵 在 的基础上再添上线性方程组的一列常数, 得到一个 4 6 矩阵, 称为该方程组的增广矩阵 ( 介绍一个背景 : 向量的线性变换 ;) 给出一个向量之间的线性变换 y y 4 y 4 5 y 它的所有系数也可写成一个矩阵, 称为这个线性变换的矩阵 一个线性变换与一个矩阵可以互相唯一确定

8 二 一些常用的特殊矩阵 : 零矩阵 行 ( 列 ) 矩阵 方阵 ( 上 下三角阵 主 次对角阵 数量阵 单位阵 ), 等 首先定义矩阵的相等 ; 一 矩阵的加法 : 可加性 加法 ; 二 矩阵与数的乘法 ( 数乘 ). 矩阵的代数运算 () (p.6) 线性运算运算律 例. ( 补充 ) 设, B, 求 B 5 补充 : 若 X 满足方程 X ( B), 求 X 解 : 原式即是 X B, 因此有 4 X ( B) 三 矩阵与矩阵的乘法 : 定义 : 可乘性 算法 (Euclid 积 ) (p.7, 定义.4) 例.(p.7) 补例设 B, 求 B B 解 : B ( ) ; B 当堂练习 4 4, B, 求 B B E E 答案 : B O ; B ; E E. 注意几个要点 : () 算规格 : 可乘否? 乘积的规格? () 一般不可交换 ( 举例说明 可交换 的概念与条件 );

9 例设, 求所有与 可交换的矩阵 () 一般不可消去 ( 消去律的逻辑基础 : 零因子 ); (4) 单位阵的作用 ;. 运算律 : (p.8). 方程组的矩阵形式 : (p.8) 4. 方阵的幂 : (p.9) 定义 运算律 乘法公式可用的条件 ( 可交换 ); 5. 方阵的多项式 : (p.9), 例.4, 两个解法 ; 作业 :p.58: ( 7) 4 6 5*() 备例 : p.64,-5() p.64,-5(): f ( λ) λ λ λ,, 求 f () 解法一 : 由定义知 : f ( ) E, 容易算出, 于是可算得 5 f( ) 5 5 解法二 : 注意到 E, 于是 : 进而得 ( E) ( E) E, f ( ) E ( E) ( E) E 5 5E 5 5 解法三 : 易见 f ( λ) λ λ λ ( λ ), 而 与 E 可交换, 因此有

10 5 f( ) ( E) 5 5 三种解法结果一致, 但显然解法二要好些 第四讲矩阵的代数运算 () 教学目的 : 讲解矩阵代数运算的第二部分: 转置 方阵取行列式 方阵求逆 ; 重点是求逆 ; 注意矩阵运算的 块状特性 分块矩阵及其运算 教学内容 : 第二章矩阵. 矩阵的代数运算 ( 四 ~ 六节 );. 分块矩阵教案提纲 : 第二章矩阵. 矩阵的代数运算 () 四 转置 :. 定义 : 矩阵的主对角线 主对角元 ; 转置运算 ;. 运算律 : 与前三种运算的关系 ( 简要证明 ): (p.4). 对称阵 反对称阵 (p.4): 例.5,p.4; 五 方阵取行列式 :. 定义 : 也看作施加于矩阵的一种运算 ;. 运算律 : 与前四种运算的关系 ( 简要证明 ): (p.4). 伴随阵 ( 三步曲 ): 例.6,p.4( 伴随阵的基本性质 ) 本例中的方阵 *, 是由方阵 所唯一确定的, 称为 的伴随矩阵,(.) 式给出了一个重要关系式 : * E 以把它们视为伴随矩阵的定义 还可以证明, 当 时, 仍有 六 方阵求逆 :. 概念 : 逆运算 与 逆元素 ;. 定义 : 定义.8(p.4); 逆映射 逆变换 及其矩阵 ;. 可逆的条件及求逆公式 : 定理.( 要求掌握证明 ); 此定理要求会证 例.8,p.44, 用伴随阵求逆 ( 步骤走完整!); *, 类似地亦可证有 E 可 *

11 4. 有关性质 :() 逆阵唯一 ( 定义.8 之延伸 ); () 左逆与右逆 ( 推论 ); () 可逆阵可消去 ; 5. 运算律 ; 与前五种运算的关系 ( 定理.); 6. 应用 : 解线性方程组 ( 方形 ) 解矩阵方程 例.9 ~.(p.45) 用定义求逆 : 另一重要求逆途径 矩阵求逆方法小结 : () 定义法 ;() 公式法 ( 利用伴随阵 );() 初等变换法 ;(4) 待定系数法 ;(5) 分块 法 ;(6) 逻辑推演法 ;(7) 其它. 分块矩阵 一 矩阵的分块 : 定义.9 子块 分块阵的规格 ; 二 分块阵的运算 :( 略讨论 ) (p.46). 加法 数乘 转置 ;. 乘法 ; 三 分块对角阵 : 定理. 分块对角阵的良好性质 (p.48); 例., 分块三角阵, 待定系数法 p.49: 思考 : 若是形如 O B O O B C C B O, 则如何证明其可逆? 如何求其逆阵? 作业 :p.59:8() 9( 4 5) ( ) 5 备例 : 批注 4-6: 备例,,, 例 设 α ( ) T, ( ) T 解 : 因为 β b, b,,, αβ, k 为正整数, 试计算 b b b b b b αβ ( b b b ), b b b T β α b, b,, b b b b 而 ( ) k个 k T T T T T T T T T k 则 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) αβ αβ αβ α βα βα βα β α βα β b k

12 b b b k k b b b ( ) i i i b b b b b b b T 例 ( 习题 -5) 试证 : 若 是实对称矩阵, 则 证 : 充分性是显然的 : 若 O, 则自然有 O 当且仅当 O O 下证必要性: 设 ( ij ), 因 是 阶实对称矩阵, 有 T, 则题设条件 O两端的主对角线上的第 i 个元素, 得 由于 为实数, 故得 ij ij i i i i ij j i (,,, ) ( i, j,,, ) i, 即 O ( 如果用分块矩阵来表达就更清楚了, 试为之 ) O 成为 T O 考察 设 阶方阵 满足 E O E ( 是整数 ) 是否可逆? 若可逆, 求其逆 解 :() 由已知 E O 故 可逆, 且 ( E),() 求, ( E) ;() 求 ( 4E) ;, 可得 ( E) E ( E), 即 ; ( E) () 因 ( )( ) ( E) E, 也可逆, 且 ( E) E 4E E 5E O, 故 则可知 ( 4E) 可逆 ( ) ( E 4 E ) E, 5 4E E 5, 且 ( ) ( ) ( ) 由 ( )( ( ) ) ( ) ( E) ( ) () 问 E E E E E O, 得 ( E) ( ) E ( )( )E, 故当 且 时, E 可逆, 且有

13 当 ( E) 时, 有 ( )( ) 若 E, 则 E 4E ( ) ( ( ) E) ( )( ) E E O, 故有 ( ) E X θ 有非零解, 知 E, 故 E 不可逆 当 时, 有 ( )( ) 若 E, 则有 E 4E ( E) X θ E E ; 若 E, 即 E O, 则齐次方程组 4 E E O; 4, 故 ( E) E 有非零解, 知 E, 故 ( E) ; ; 若 E, 则有 E O, 于是 不可逆 E θ α 例 4( 习题 -55) 设 P T *, Q T, 其中 是 阶可逆方阵, * 是 的 α α b 伴随矩阵,α 为 维列向量,θ 为 维零向量,b 为常数,E 为 阶单位矩阵 () 计算并化简 PQ ; T () 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 α α b 解 :() 按照分块矩阵的乘法, 有 E PQ T * α θ T α α T θ ( bα α) α α b T T T α α α α b () 注意到这是一个分块上三角阵, 故 P Q T P, 故上式成为 Q ( b α α ) 由条件知 T α α b T PQ ( b α α ), 所以, 矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 第五讲矩阵的初等变换 教学目的 : 讲解矩阵的初等变换及其应用 ; 重点是初等变换的过程和应用 ; 教学内容 :

14 第二章矩阵.4 初等变换与初等矩阵 ; 教案提纲 :.4 初等变换与初等阵 : 一 初等变换的基本过程 :. 初等变换的定义 : 定义. (p.5, 强调以行变换为主 ); 将定义中的 行 换成 列, 即为矩阵初等列变换的定义 ( 记号 r 换成 c ) 矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换, 统称为矩阵的初等变换 初等变换都存在着逆变换, 如变换 ri rj 的逆变换就是其本身 ; 变换 kr i 的逆变换为 r ; i k 变换 r i krj 的逆变换为 r i (k) rj ;. 等价关系 : 定义.; (p.5) 若关系 满足下面三条性质, 则称为等价关系 : ) 反身性 : ; ) 对称性 : 若有 B, 则必有 B ; ) 传递性 : 若有 B B C, 则必有 C 可验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质, 所以初等变换又称为等价变换 定义. 如果矩阵 经有限次初等变换变成 B, 则称矩阵 与 B 等价 记为 B 初等变换的主要作用就是通过等价变换来化简矩阵. 初等变换的基本过程 : 原矩阵 行阶梯形 行最简形 等价标准形 ; 把三个形讲清楚 例. (p.5); 题 -7(); 请注意过程的三个阶段 注 : 若 B, 则 B 必定有相同的标准形 r I m, 反之亦然 4. 一个背景 : 用 Guss 消去法解方程 ; 矩阵初等变换与方程组消元法的对应 : 考察线性方程组 : 它的增广矩阵就是 : 化到阶梯形方程组 ( 消元 ) 化到行阶梯形矩阵 B 9

15 化到最简方程组 ( 回消 ) 化到行最简形矩阵 C 7 4 下面解出方程就容易了 : k7k k 4 k ( k, k R) 4 k 5 k 二 初等阵 :. 初等阵的定义 : 定义.4; 形态 :p.5; 三种初等变换对应三种初等阵 :. 初等阵的作用 : 表达初等变换 ( 把等价关系表达为等量关系, 以便于运算 ) ( 定理.4). 初等阵的性质及其推论 : 初等矩阵皆可逆, 且它们的逆阵仍为同类初等阵 ; 可逆阵的初等分解 : 定理.5 可逆矩阵 可表示为若干个初等矩阵的乘积 矩阵等价的充要条件 : 推论 m 矩阵 B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q, 一个重要的应用 : 用初等变换求逆阵 : 推论 对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等行变换, 则将 变成单位矩阵的同 时, 单位矩阵 E 也就变成了 4. 应用 :() 求逆阵 ( 推论, 求逆阵更常用的手段 ); 例.4 () 解线性方程组 :Guss 消去法的矩阵形式 ; 例.5 一个重要的例题 : 例.6(Crmer 法则的推论的逆命题 ), 在此引入 独立方程 奇异 通解 等概念, 表明齐次方程组在独立方程数少于变元数时必有非零解, 为第三章埋下伏笔 关于类似情况的更一般的讨论, 见第四章 作业 :p.6:9( 4 5 6)( 用分块法或初等变换法求逆 ) 6 7 8

16 备例 : 批注 5-7: 例 试将 表为若干初等阵的乘积 4 解 : 先将 用行初等变换化为单位阵 : r r r r r 4 再分别用单位阵进行每一步变换 : rr E P r, r E P r, E P, 进而求出 : P P P, 它们仍是初等阵, 容易验证有 PPP E, 因此有 ( PPP) P P P 例 设, B 均为 阶方阵, 且满足 E B 而因为 证 : 由 E E, B E, 若已知 B, 试证明, 两端取行列式得 ±, 同理 B ±, 又因 B, 故有 B, B E, 所以 ( ) B E EB B B B B 于是得 : B B B B B B 例 ( 习题 -5) 设, B 均为 阶矩阵 ( ), 证明下列命题成立 : () ( k) k ; () 若 可逆, 则 ( ) ( ) B B ; () ( ) (4) ( ) ; ;

17 * * O B O (5) * O B O B 证 :() 伴随阵须满足关系 E, 考察 : k k 可知 ( ) () 因 可逆, 由上面知 ( )( ) * * k k k k E k E 又因 ( ) ( ), 于是有 ( ) ( ) 故得 ( ) ( ) * * () 因 E, BB B E, 所以 * * * * * * ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 因此有 ( ) B B BB B E B B E B E B B, ; (4) 注意到 *, 则 因此有 ( ) ( )( ) ( ) ( ) * * E E E, O (5) 记 * * C, 则 C 应满足关系 CC C E 可以验证有 O B * * O B O B O B E O * * O B O B O BB O B E 因此应取 C * * B O * O B BE CE, 本题是一些有关伴随矩阵的常用结论, 这些结论对做一些证明题是有用的

18 第六讲向量的线性相关性 教学目的 :. 介绍向量及其线性运算 ;. 讲解向量的线性相关性的概念及判别法 ; 这是重点中之重点 教学内容 : 第三章向量的线性相关性与秩 :. 维向量及其线性运算 ;. 向量的线性相关性 教案提纲 : 第三章向量的线性相关性与秩. 维向量及其线性运算 一 维向量的概念 ( 定义.): 几何背景 : 一维向量的全体, 记作 R { R }, 即实数轴 二维向量的全体, 记作 R {, ) R } ( i 三维向量的全体, 记作 R {,, ) R } 向量通常记作 X ( i, 也就是二维实平面, 就是立体几何中的三维实空间 或 α 全体 维实向量的集合记作 T { (,,, ) i } R X R, 称为 维 ( 实 ) 向量空间 特别地, 记 θ, 称作 维零向量 强调 : 一个向量不是 个数, 而是一个点 一个状态, 是一个集成化的整体对象 二 向量的线性运算 : 定义.; 运算律 ( 规范性 ); 一般地, 将两个定义式合写作 kx ly k ly k ly 统称为向量 X 和 Y 的线性运算 易见, 当 k l 或 l 时,(.) 式便分别是 (.) 的两个式子 由此还可以定义减法 负向量等 (. )

19 如果把向量看做特殊的矩阵 ( 列矩阵 行距阵 ), 则上述定义与矩阵的线性运算也是完全一致的 容易验证线性运算满足以下运算律 ( 这八条运算律表达了线性运算的规范性 α,, β γ R k l R, ):(p.68) 三 线性组合与线性表示 : 与方程组挂钩 ; 定义. 线性组合 组合系数 线性表示 ( 线性表出 ) 表示系数 i b 如果记 αi, i,,, s, β, 则上式也就是 i b s b c c cs, (*) s b 按照向量线性运算的法则, 便得到一组等式 如果 c c c b c c c b s s s s, (**) c, c,, cs 视为变元, 上式就是一个一般的 s 线性方程组 所以把 (*) 式称为线性方程组 (**) 的向量形式 例. 例. (p.68) 4 5 例. 设 α α 5 α, 求向量 α, 使满足方程 α ( α α) ( α α) 5( α ) b 解法一用待定系数法解 : 设 α c, 代入得 d 4 5 b b b 5 c 5 c c d d d 也就是 b b 5 5b c c 5 5c, 或 9 d d 5 5d b 5 5b, c 5 5c 9 d 5 5d

20 解出 b, 也就是 c d 4 α 4 解法二利用运算律 : 原式即是 α α α α 5α 5α, α α α 5α 5 8, 故 显然, 解法二好得多 整理得 例.4; 归结为线性方程组的求解 α 4. 向量的线性相关性 一 线性相关与线性无关 : 定义.4; (p.7) 线性无关, 英文是 lier idepedet, 也就是线性独立 一组向量线性无关, 也就是这组向量中的任一向量都不能由本组中的其余向量通过线性组合来替代, 从而都有其独立的地位 二 相关性的判定方法 :. 从定义出发 : 解非齐次方程组 ; 证明等价性 (p.7). 充要条件 ( 定理.): 判定齐次方程组是否有非零解 ; 注意 : 用定理. 进行判断的关键是, 判定齐次方程组 (.7) 是否有非零解 定理. 亦可用作线性相关的定义, 且适用于 s 的情况, 所以更强大 但定义.4 更有利于建立起相关性的概念 一个典型的例题 : 例.8 进一步延伸 延伸 : 设 α, α, α, α 4 线性无关, 而 β α α, β α α, β α α 4, β4 α4 α, 试判定 β, β, β, β 4的线性相关性 请学生当堂练习 ( 习题 -6) 再延伸 : 设 α, α,, αm 线性无关, 而 β α α, β α α,, βm αm α, 试判定 β, β,, βm 的线性相关性 ( 习题 -6). 一个向量 :α 线性无关 iffα 非零, 即 α θ ( 推论 ); 4. 两个向量 :, α α 线性相关 iffα, α 的分量成比例 ( 推论 ); 5. 个数等于维数 : 利用行列式 ( 定理.); 如果没有 向量个数等于向量维数 这个条件, 则本定理不能用 但是后面的 截短定理 给它带来一定的灵活性 6. 个数大于维数 : 必相关 ( 定理.4); 请注意上一章最后的一个结论 : 如果齐次方程组的独立方程个数少于未知量个数, 则必有非零 解 还可以利用 Crmer 法则来证明 ; 由此可以知道 : 所有的 维向量中, 线性无关的最多只有 个

21 三 线性相关与线性无关的若干性质 : 7. 表示关系与相关性 ( 定理.): 为第四章作准备 ; (p,7, 移后一些 ) 注 : 如果只给出条件 α, α,, α s 线性表示, β 线性相关, 则 β 未必可由向量组 α, α,, α s 注 : 如果只有条件 β 可由向量组 α, α,, α s 线性表示, 但没有条件 α, α,, α s 线性无关, 则表示式也未必是唯一的 注 : 这个定理的另一表达形式是 : 若 β 可以由向量组 α, α,, α s 线性表示, 则表示式 唯一当且仅当 α, α,, α s 线性无关 8. 扩充定理 ( 定理.5): 部分组相关 全组相关 ; (p.7) ( 两个推论, 尤其是逆否命题 : 无关组的部分组仍无关 ); 推论 含有零向量的向量组必是相关组 推论 无关向量组的任一部分组必无关 可以把上述结论简单地叙述为 : 部分相关则全体相关, 全体无关则部分无关 9. 截短定理 ( 定理.6*): 设 相关的向量组截短后仍相关 ; 相关性的分量体现 ( 逆否命题 : 无关向量组接长后仍无关 ) ( 与扩充定理的区别 ) s β, β,, β s, (.8) t t ts t, t, t, s 是 s 个 t 维向量, 将每个向量各截去最后的一个分量, 即将每个向量都截短一维, 记作 s α, α,, α s, (.9) t t ts 称后者为前者的 截短向量组, 前者为后者的 接长向量组, 则有 : 定理.6* 线性相关的向量组截短后仍相关 ( 证明见 p.74) 截去别的分量 甚至截去若干个分量, 情况亦类似, 不过分量的截去位置要一致 本定理的逆否命题为 : 线性无关的向量组接长后仍无关, 就是书上的定理.6 本定理表明 : 一组向量线性相关, 具体体现为它们的分量之间具有 组合的一致性 截短 时不会破坏这种一致性, 而接长时由于添加是任意的, 则可能会破坏这种一致性. 分量的一致交换不改变相关性 ( 定理.7) 注意 : 如果分量的调换不一致, 那结论也就不成立了 小结 : 本次课是重点也是难点, 概念多 定理多 比较抽象, 要讲得细一些 用判定法串起有关定理, 从工具 方法的角度而不是从理论的角度来学习这些定理, 是一 个尝试 ;

22 这些定理都必须背记 ; 注意学习数学的推理和表述, 学习做证明题 作业 :p.87: 备例 : 批注 6-8: 备例例 ( 习题 -9) 下列命题中,( 6 ) 是真命题 () 若 θ 为零向量,α 为任意向量, 则有 θ α α ; () 若 θ 为零向量, k 是实数, 则 k θ θ ( 零向量 ); () 若 θ 为零向量, k 是实数, 则 k θ ( 实数零 ); (4) 若 α, β 均为非零向量, 则 α β 亦为非零向量 ; (5) 若 α, β 均为非零向量, k l 均为非零实数, 则 k α lβ 亦为非零向量 ; (6) 若 k l 均为实数零, α, β 为任意向量, 则 k α lβ 必为零向量 ; (7) 若 k l 均为实数零, α, β 为任意向量, 则 k α lβ 为实数零 ( 对上列命题中的假命题, 能否举出反例?) 例 ( 习题 -) 设 α, α, α, α 4, 则 ( ) 可由其余向量 5 线性表示, 而 ( 解 : 考察齐次方程组 ) 却不能由其余向量线性表示 kα k α k α k α θ, 4 4 5α α α α θ, 可解出 4 因此, α 不能由其余向量线性表出, 另三个都可以 例 ( 习题 -~-4)( 口头讨论 ) 例 4 ( 习题 -8) 设 α,,α R 的 i 个向量线性表示, 证明它们线性无关 s 为一组非零向量, 按所给的顺序, 每一 i 解法 : 令 kα ksαs θ (*), 要证明所有的组合系数都只能为 按顺序倒推: 若 ks, 则有 k k, α s s s k α s k α s α 都不能由它前面

23 表明 α 可由它前面的 s 个向量线性表示, 与条件矛盾, 故必有 k s s 于是 (*) 式变为 kα k s α s θ, 同理可证必有 ks 以此类推, 知必有 ki, i s, s,,, 最后 (*) 式变为 kα θ 又已知 α,, α s 均为非零向量, 故只有 k 所以(*) 式只有零解, 可见 α,, α s 线性无关 解法 : 反证法, 设 α,, α s 线性相关, 则必有一组不全为零的系数 k,, ks, 使方程组 kα kα θ (*) s s 成立 设最后一个非零的数为 k i, 则 (*) 式变为 当 i > 时, 便有 k α i i i k α i k α i kα kα θ i i k, 表明 α i 可由它前面的 i 个向量线性表示, 与条件矛 盾 而当 i 时,(*) 式变为 kα θ, 于是推出 α θ, 也与条件矛盾 于是命题得证 第七讲向量组和矩阵的秩 教学目的 :. 讲解向量组的秩, 这是一个难点, 比较抽象. 讲解矩阵的秩 : 概念 算法 有关性质和应用 这也是重点和难点 教学内容 : 第三章. 向量组的秩.4 矩阵的秩 ; 教案提纲 : ( 开始上课之前, 先给出习题 -8 的解答 ). 向量组的秩 一 两个向量组之间的表示关系 :. 向量组之间的线性表示 : 表示矩阵 ; (p.75) 在讨论向量组之间的表示关系时, 表示矩阵扮演着重要角色. 两个向量组的等价 : 与两矩阵的等价的区别与联系 ; 等价关系是一大类关系, 凡是满足对称性 反身性和传递性的关系, 都可以称之为等价关系 不同的对象, 等价关系的具体定义也是不同的, 例如 :

24 系 ) * b 是 ( 实或复 ) 数之间的等价关系 ; * l l 是直线之间的等价关系 ; * ΔBC Δ B C 和 ΔBC Δ B C 都是三角形之间的等价关系 ; * 方程组的同解变形是方程组的等价关系 ; * 矩阵的初等变换则定义了矩阵的等价 ; * 在本章, 用向量组的互相线性表示定义了向量组的等价 ( 后面还将涉及矩阵的相似关系 合同关系以及空间的同构关系, 也都是不同意义上的等价关 因此不同对象 不同意义的等价关系, 尽管有的彼此之间可能会有某种联系, 但切不可混淆 * 例设有两个 维行向量组 :(Ⅰ): α,,α s ;(Ⅱ): β,, β t, 用它们为行向量分别组成 α β 矩阵 B, 问 : 向量组 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 等价 矩阵 与 B 等价 齐次方程 α s β t 组 X θ 与 BX θ 等价 三者之间关系如何?. 两向量组的表示关系与向量个数之间的联系 : 定理.8( 应证明 ); (p.75) 4. 推论 : 等价的无关组等量 ( 即所含向量个数相等 ) 二 极大无关组 :. 极大无关组的定义 : 定义.6, 无关 极大 ; (p.76) 例. α, α, α, 其中 α,α 和 α,α 都是 α, α, α 的极大无关组, α,α 而 不是 找极大无关组的方法之一是 : 对于给定的向量组 T, 若它只含有限多个向量, 便可以从其中的任一非零向量开始, 用逐个检验取舍的方法来进行. 极大无关组的性质 ( 定理.9): () 不唯一性 ( 讨论 : 何时唯一?) () 等价性 ; () 等量性 : 一向量组最多含几个无关 ( 独立 ) 向量, 是唯一确定的, 这是向量组本身所固有的性质 三 向量组的秩 :( 秩 (rk): 等级 档次 排位 ). 定义 : 定义.7 向量组 T 的任一极大无关组所含向量的个数称为 T 的秩, 记作 r (T ). 几个性质 : () 无关 满秩 ( 定理.); 反之不然 ; () 若 (I) 可由 (II) 表示 r( I) r( II) ( 定理.); 反之不然 ; () 向量组等价 等秩 ( 推论 )( 反之不然, 参见习题.4)

25 .4 矩阵的秩一 行秩与列秩 :. 定义.8: (p.77) 问题 : 二者必相等否? 先观察矩阵的等价标准形, 再提出原矩阵的问题. 定理.: 初等变换保秩 ; 这个命题包括两层含义 : () 行 ( 列 ) 初等变换保行 ( 列 ) 秩 ; () 行 ( 列 ) 初等变换保列 ( 行 ) 秩 下面我们用行初等变换进行证明 (p.78). 推论 : 行初等变换保行向量组的等价性 ( 为下一章作准备 ); 若 化作 B 的过程中既用了行变换也用了列变换, 则一般地说, 二者的行向量组不等价, 列向量组也不等价, 只是 与 B 作为矩阵等秩而已 二 秩与等价类 :. 矩阵的秩 : 定义.9 矩阵 的行秩 ( 或列秩 ), 称为 的秩, 记作 r ( ) 方阵 : 满秩 与 降秩 ;. 秩与等价类 :(p.79) 进一步认清矩阵的秩 等价标准形 初等变换保秩等概念及其关系 ;. 一个重要的推论 : 定理. (p.8) 三 矩阵的行列式秩 :. 矩阵的 k 阶子式 ( 定义.); ( 例.,p.8) 如果某个子式是零, 就称为零子式 ; 否则称为非零子式 对取定的 k,. m 矩阵的 k 阶子式有 C C k m k 个, 我们主要关心其中的非零子式. 非零子式 与相关性的关系 ( 定理.4); 最大非零子式 ; ( 定理.5) 根据这个定理, 也可以用矩阵的最大非零子式的阶数来定义矩阵的秩, 可称为矩阵的行列式秩. 矩阵的行列式秩 : 定理.5; 三秩一致性 ; 行秩 列秩 行列式秩 这一特性称为矩阵的 三秩一致性 小结 : 求矩阵的秩 : () 初等变换法 : 化到行阶梯形即可 ; () 最大非零子式法 :( 关键是表明 最大 ); () 利用有关秩的命题 ( 见五 ); 四 讨论向量组的线性结构 : 利用矩阵 ( 例.6,p.8, 三种解法 ) () 用矩阵的行初等变换处理行向量组 ; () 用矩阵的行初等变换处理列向量组 ; () 利用矩阵的最大非零子式 ;

26 五 矩阵运算与秩 :. 矩阵的代数运算与秩的关系 ( 定理.6); 定理.6 矩阵的代数运算与秩有如下的关系 : () 设 与 B 可加, 则有 r ( ) r( B) r( B) r( ) r( B) ; (.) () r ( k) r( ) ( k ) ; (.) () 设 与 B 可乘, 则 r( B) mi( r( ), r( B) ) ; (.) (4) r ( ) r( ) ; (.4) (5) 若 为 阶可逆阵, 则 r ( ) r( ) ; (.5) (6) 若 是分块对角阵 : dig( ), 则 k i k r( ) r( ) (.6). 矩阵的其他应用与秩的关系 ( 例如由线性方程组导出的若干关系, 见下一章 ) i 作业 :p.88: ( 4) 5( 4) 6 第八讲线性方程组 教学目的 :. 首先, 续完 秩 ( 矩阵运算与矩阵的秩 );. 完整叙述线性方程组的解法 ;. 讲解线性方程组的基本理论 : 分类及判定 求解流程 解集的结构 ; 4. 延伸 : 用方程组解集结构的理论讨论矩阵问题 教学内容 : 第四章线性方程组 4. 线性方程组的分类 ; 4. 用初等变换解方程组 ; 4. 方程组解集的结构 ; 教案提纲 : 第四章线性方程组 4. 线性方程组的分类 一 方程组的三种形式 : 联列方程形式 矩阵形式 向量形式 ; (p.9) 三种形式记的是同一个对象, 只是所用工具不同 表达视角不同而已

27 通过这三种形式, 矩阵 向量组 方程组三者互相沟通了, 便于我们从不同的角度 运用不同的工具来剖析线性方程组的内涵 三种形式中, 向量形式最为本质, 表明线性方程组就是几个向量间的表示关系, 于是可用向量的线性相关性 秩等已有的理论工具来展开讨论 二 方程组的分类 :. 两个基本不等式 : r ~ r r ;. 三类方程的判别 : 定理 p.95 的框图 ; 根据上述两个定理, 一般线性方程组的分类及其判别概括如下 : r < r : 不相容, 无解 ; 线性方程组 r < : 无穷多解 r r : 相容, 有解 ; r : 唯一解 例 4.~4.4, 三种类型的方程组的举例例 4.5: 含参系数方程组的讨论 两个解法 4. 用初等变换解方程组 见 p.97 的流程图, 强调 : 只能用行变换 三个阶段 三个出口 : ~ 原方程 β 增广矩阵 ( β ) 化为行阶梯形 化为阶梯方程 是 r ~ r? 否 化为行最简形 无解 否 r? 是 化为最简方程 移项 写出唯一解 补齐 写出通解 结束 说明 : 三个阶段. 第一阶段 : 方程组 增广矩阵 行阶梯形 ; 判断 : r ~ r? r < ~ r 无解 ;

28 . 第二阶段 : 若 r ~ r : 行阶梯形 行最简形 ; 判断 : r? r 唯一解 ;. 第三阶段 : 若 ~ r r < : 行最简形 还原 移项 补齐 写出通解 有两点应注意 : () 变到行阶梯形时, 可先审视 : 相容吗? 若相容, 解唯一吗? 若不唯一, 则 r? ( 即有几个自由变元?), 由此即可判定解的 大模样 () 如果方程组相容, 应该 将行变换进行到底, 一直变到行最简形, 这意味着消元过程和回消过程全部完成, 它所对应的方程组就是原方程组的最简形式, 剥离 出来的被约束变量个数等于独立方程的个数 ( 即方程组的秩 ), 这时再通过确定自由变量 移项 补齐, 很容易得到方程组的通解 第三阶段容易出错, 主要是许多人常常不知道或懒得做回消 讲清以下概念 : 独立方程 多余方程 一个独立方程只能约束一个变量 自由变量, 转化为自由参数 例 4.6~4.7; (p.97) 例 4.8: 将例 4.5 继续做下去 : 用由克莱默法则求出唯一解, 再用初等变换讨论其他情况 ; 或者直接用增广矩阵做初等变换, 将例 4.5 的解法二继续做下去 4. 解集的结构 一 齐次方程组的解集 : 解集 基础解系 通解 解集的秩 ; 定理 4. r( ) r( X ) 定义 4. 上述的 ξ,,ξ r, 作为解集 X 的一个极大无关组, 称为齐次方程组 X θ 的基 础解系 用它们的线性组合表示方程组一般解, 即式 (4.5), 称为该方程组的通解 若 r, 方程组只有唯一零解, 从而 X { θ} 此时 X θ 没有基础解系, 因此 r ( ), 亦满足 r( X ) r( ) X 也可以将解集 X 表为基础解系的线性组合的形式 : X { t t ξ t R, i, r} r r i, ξ (4.6) 例 4.9 例 4.: 注意 : 作为基础解系的充要条件 二 非齐次方程组的解集 :. 导出组, 二者的解之间的关系 : 定理 4.4; 设前者有解 ( 也就是设 r r ), 于是有非空的解集 {, } X X X R X β

29 再设后者的解集为 {, } X X X R X θ, 于是二者之间有如下的基本关系 : η η ξ ξ X,, X, k, k R, kξ k ξ X, 即仍为齐次方程组的解 ; () () η η X, 即变为齐次方程组的解 ; ( ) η η X, 即仍为非齐次方程组的解 ; () η ξ X, 即也为非齐次方程组的解 (4) 于是有 :. 非齐次方程组的通解 : 定理 4.5;(p.) X η t ξ t ξ ( t R, i,, ) (4.7) r r i r 例 4.~4.4: 构造通解 (p.) 三 用以上理论讨论有关矩阵的一些问题 : * 证明 : ( B) mi{ r( ), r( B) } r ; * 证明 : 若 m B s Om s, 则 r( ) r( B) ;( 见习题 4.), r( ), * 证明 : 设 为 阶方阵, 则 r ( *), r( ), ( 见习题 4.), r( ) < 作业 :p.6:() 6( ) 7( ) 9 备例 : 例 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 ξ, ξ 解法 : 由 4, r r, 知所求方程组有两个独立方程, 记作 α α 将题设基础解系代入, 有 αξ i αξ i ( i,),

30 两式分别转置得 (,) i i i ξα ξα, 知,α α 应是齐次方程组 ξ ξ 的基础解系 由 ξ ξ, 解得 α, α, 故所求的方程组为 4 解法 : 由题意可知方程组的通解为 4 t t, 即 : 4 t t t t t t, 转换得 : 4 t t t t t t, 消去, t t, 便得 : 4 4, 移项即是 : 4 4, 此亦为所求 ( 答案并不唯一 ) 例 ( 习题 4-8) 设 阶方阵 满足关系 ( 称这样的矩阵为幂等阵 ), E 为同阶单位阵, 试证 E r r ) ( ) ( 证 : 由题设, 移项得 O E ) (, 故 E r r ) ( ) ( ( 见上例 ) 另一方面, 由关于矩阵秩的性质可得 : E r E r E r r E r r ) ( )] ( [ ) ( ) ( ) ( ) (,

31 矩阵变换量空间关系与于是得 r( ) r( E), 可见命题成立 第九讲向量空间 说明 : 第一个阶段到上一章结束, 以解决线性方程组问题为标志 ; 现在开始第二个阶段, 跨上一个台阶, 以解决二次型 (ch.7) 为结束 本科平台 % 二 次型 专科平台 矩阵行列式线性方程组向量线秩向性7 % 高中平台 教学目的 :. 介绍向量空间的狭义概念 线性结构 线性子空间 ; 希望对空间有一个整体的概念. 介绍空间的基本度量及正交基 ; 可讲得粗一些, 不纠缠于正交化计算 教学内容 : 第五章向量空间 : 教案提纲 : 第五章 5. 向量空间 向量空间 一 向量空间的狭义定义 : 定义 5.( 向量组对于线性运算的完备性 ); 例 5.~5. (P.), (P.), 从几何上看, V 是 R 中经过原点的一张超平面 V 虽也是一张超平面, 但不经过原点

32 由这些例子可以看到, 不仅 R 是空间向量, R 的某些子集也可以构成向量空间, 只要它 们关于 R 的线性运算满足封闭性, 这就引出了重要的 子空间 概念 二 向量空间的线性结构 :. 基与维数 : 定义 5.( 即最大无关组和秩, 升级而已 );. 向量在某个基之下的坐标 : 定义 5.( 即表示系数 ) (P.) 参见 向量组的结构 : 如果把空间看做一个向量组, 则 基 就是它的极大无关组, 维数 就是它的秩, 而任一向量的 坐标 就是这个向量由该极大无关组线性表出的表示系数 例 5.7( 对上述的例 5. 和 5., 给出基和维数 ) (P.4) 三 子空间 :. 子空间 : 定义 5.4 (p.4) ( 讨论 : 与母空间的关系 : 运算一致 基包含 维数等 ) 例如 : 在上面各例中, V 是 R 的一个 维子空间 ; V 是 R 的一个 维子空间. 生成子空间 : 完整显示向量空间的结构, (p.5, 例 5.8) 以有限的形式把握一个无限的对象 ( 例 : 齐次方程组的解空间, 例 5.9 等 ) (p.5) 可讨论生成子空间的生成元与基之间 空间的维数与向量组的秩之间的关系 ; 以及定理 5.: 等价的向量组生成同一个子空间 ) 例 5. 试证 : dim[ Sp( α,, α s )] r(,, α s ) α 定理 5. 等价的向量组生成同一个向量空间 5. 向量空间的内积与正交性 一 内积与基本度量 : (p.6). 内积 : 定义 5.5; 运算律 ( 内积公理 ): 定理 5.;. 范数 : 定义 5.6; 运算律 ( 范数公理 ): 定理 5.( 可不证 ); 单位化 ; 例 5. 和例 5., 自己看. 距离 : 定义 5.7; 4. 夹角 : 从余弦定理引入, 定义 5.8; 说明 : 内积的几个背景 ; 投影 力做功 二 正交性与正交基 :. 正交的概念 : 定义 5.9;. 正交基 : () 正交组 ( 规范正交组 ): 定义 5.; () 正交必无关 : 定理 5.4( 板书证明 ); *()Schmidt 正交化 : 介绍推理思路, 用简单的例子演示 ( 可略 ); 例 5.6 要讲 (4) 正交基 ( 规范正交基 ): 定义 5. 作业 :p.6:

33 教学目的 :. 介绍正交阵和正交变换 ; 第十讲正交阵 特征值问题. 介绍方阵的特征值与特征向量 : 概念 算法 性质 教学内容 : 务使学生熟练掌握! 第五章 : 5. 三 正交阵与正交变换 ; 第六章 : 6. 特征值与特征向量 教案提纲 : 首先回顾上一讲 : 内积与基本度量 ; 正交组与正交化 ; 正交基 ; 第五章 : 5., 三 正交阵与正交变换 :. 正交阵 : 定义 5. (p.) ( 比较 : 对称阵 可逆阵 向量的内积 单位向量, 注意区别 );. 正交阵的性质 : 定理 5.5, 特别是 (4);. 正交变换 : 定义 5.( 简介正交变换的性质 ) ( 暂略, 见附录 ) 阶段性习题 :p.6:4,5,9,, 第六章 : 6. 特征值与特征向量 : 一 特征值与特征向量 :. 概念 : 定义 6. (p.). 求法 : 特征多项式 ( 特征方程 ) 特征根 ( 特征值 ) 特征向量 ( 特征子空间 ) 细讲算例 ( 例 6. 6.), 并让学生当堂练习 (p.46,6-()) 二 特征值和特征向量的性质 :. 韦达定理 : 定理 6.;( 引入矩阵的迹 );. 特征子空间 : 定理 6.;. 属于不同特征值的特征向量线性无关 : 定理 6.; 证明 (p.) 4. 属于 k 重特征值的特征子空间至多 k 维 : 讲述结论, 不证明, 只举例 ; 5. 特征值和特征向量在矩阵运算中的变化 : 定理 6.4 ( 例 6. 及一个补例 ) 补例 设多项式 f ( ), 而向量 α 是 的属于特征值 的特征向量, 试验 5 证 α 仍是 f () 的特征向量, 并问其相应的特征值是什么? 从理论上讲, 由定理 6.4 已有 f( ) α f() α, 且容易算出

34 5 5 f () 5, 4 下面我们来验证这一结果 首先展开行列式 : 因此 f( ) 4 6 (4 ) 6 4 ( )( ) ( ) 6 4 f E, 于是, f( ) α ( 6 4E) α ( ) ( ) ( ) α 6 α α 4α ( ) ( ) ( ) α 6α α 4α ( ) α θ α f () α 可见 α 仍是 f () 的特征向量, 所属的特征值是 f () 作业 :p.6: ; p.46:( 4) 备例 : 例 设 阶矩阵 的特征值为 λ, λ, λ ; 对应的特征向量依次为 p, p, p, 求矩阵 解法 : 由 pi λipi, 可得,,, 于是有 ( p p p ) ( λ p λ p λ p ), 即 :, 解得 :

35 9 解法 : 由于矩阵 的三个特征值互不相同, 可知,, p p p 线性无关, 从而有可逆阵 (,, ) P p p p, 使 Λ P P, 故有 P P Λ 依题意, 知 Λ, ( ) P p p p, 求出 9 P, 于是 : Λ P P 9 例 ( 年考研题 ) 设矩阵, P, P P B *, 求 E B 的特征值与特征向量, 其中 * 为 的伴随阵, E 为 阶单位阵 解法 : 直接计算 易算得 : *, P, 从而有 * P P B, 故 E B 由于 ) ( 9) ( ) ( λ λ λ λ λ λe E B, 故 E B 的特征值为 9 λ λ, λ 当 9 λ λ 时, 解 ) 9 ) (( X E E B, 得线性无关的特征向量为 : η, η 属于特征值 9 λ λ 的所有特征向量为 : k k k k η η (,k k 不全为零 )

36 当 λ 时, 解 (( B E) E) X, 得线性无关的特征向量为 η, 所以属于特征 值 λ 的所有特征向量为 kη k ( k 不为零 ) 解法 : 任取 的特征值 λ, 特征向量为 η, 即 η λη 因 7, 则 λ 又因 * * * E, 则 η λη Eη 7η, 故有 η η 于是有 λ * * 7 B( P η) P P( P η) P η ( P η), λ 7 ( B E) P η ( P η) λ * 7 因此, 7 λ 为 B E 的特征值, 对应的特征向量为 P η 由于 λ λe λ ( λ ) ( λ 7), λ 知 的特征值为 λ λ, λ 7 故 B E 的三个特征值分别为 9,9, 当 λ λ 时, 对应的线性无关特征向量可取 η, η 当 λ 7 时, 对应的一个特征向量可取为 η 由 P, 得 P η, P η, P η 则 B 的对应于特 征值 9 的全部特征向量为 kp η kp η k k,( k,k 不全为零 ); B 的对应于特征值 的全部特征向量为 kp η k,( k 不为零 )

37 第十一讲相似变换与对角化问题 教学目的 :. 介绍相似变换 : 定义 性质 应用 ;. 介绍方阵的对角化问题 : () 概念 实施 : 可对角化 的条件 ; () 实对称阵正交相似于对角阵 教学内容 : 6. 矩阵的相似变换 ; 6. 实对称矩阵的对角化 教案提纲 : 引言 : 可逆的矩阵变换 的一般概念 :-- 初等变换 : 只保规格和秩, 不满足需要 ; 6. 矩阵的相似变换一 相似变换 :. 相似变换的概念 : 一种较高级的初等变换 ( 定义 6.) (p.4). 相似变换的性质 : () 是初等变换的特例 : 仍具等价性, 保规格 保秩 ( 定理 6.5); () 特有性质 : 保特征值 ( 定理 6.7), (p.4) 因而也保行列式 保迹 ( 推论 );. 矩阵运算与相似关系 ( 定理 6.6) ( 让学生思考, 见习题 6.) 二 方阵的对角化与相似标准形 :. 对角化 的概念 : 特指用相似变换化为对角形 ; ( 定理 6.8 定义 6., 相似标准形 );. 如果可对角化, 则应如何实施? 即如何寻找变换阵?. 方阵可对角化的条件 : () 基本的充要条件 : 定理 6.9 阶方阵 可对角化的充要条件是 : 有 个线性无关的特征向量 () 一个推论 ( 一个充分而非必要条件 ): 推论 如果 阶方阵 有 个不同的特征值, 则 必可对角化 () 另一个充要条件 : 所有特征值的代数重数与几何重数全相等 ( 不证, 举例说明 ) 补例设, 问 为何值时, 可对角化? 解由于 是下三角阵, 易见 的特征值就是 注意到 是二重根, 则 是否能对角化

38 就取决于属于 的特征向量中是否能有两个是线性无关的 ( 也就是属于二重根 的特征子空间的维 数是否是二维 ) 为此考察特征矩阵 : E, 可见, 当且仅当 时, 才有 r r( E), 属于 的特征子空间 X 也才是 维的, 即才能有两个线性无关的特征向量 此时, 才可对角化 换一个角度说, 当且仅当 时, 特征值 的几何重数和代数重数才能相等, 也才可对角化 4. 对角化的一个应用 : 计算方阵的高次幂 ( 例 6.5); 不完全符合条件的有时可 将就 : 相似于分块对角阵 ( 介绍 Jord 标准形 ) 广义相似 某些特殊的矩阵 ( 如实对称阵 ); 6. 实对称阵的对角化 一 实对称阵的良好性质 : (p.7) 结论 : 必可找到一个正交变换将其对角化 ( 未必唯一 ) 二 用正交变换将实对称阵对角化 : 例 作业 :p.47:( 5) 备例 例 证明 :() 若二阶实矩阵 的行列式 <, 则 可对角化 ; b () 若二阶实矩阵 c d, 且 bc >, 则 可对角化 证明 :() 设矩阵 的两个特征值为 λ,λ, 由特征值的性质知 λλ <, 故 的两个特 λ,λ 征值为 异号, 必不相同, 因此 有两个不同的特征值, 故 可对角化 b () 设, 其特征多项式为 : c d f ( λ ) λe λ ( d) λ d bc

39 因 > bc, 知特征方程 ( ) f λ 的根的判别式 : 4 ) ( ) 4( ) ( > Δ bc d bc d d, 所以 必有两个不同的实特征值, 与对角形矩阵相似 例 ( 习题 6-) 设 是 阶实对称矩阵, 若已知其三个特征值为 6,,, 且属于特征值 6 的特征向量为 (,,) T p, 试求矩阵 解 : 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交, 故矩阵 的属于特征值 的特征向量必定与向量 (,,) T p 正交, 即满足方程 T p X 解方程 T p X, 即, 得基础解系, ξ ξ 取 p ξ, 再联列求解 p X p X, 得基础解系 p 因此 p p p 是两两正交的 分别将它们单位化, 得 e, e, 6 e, 于是得正交变换矩阵 ) ( e e e T 6 6 6, 满足 Λ 6 T T 于是有 : Λ T T

40 例 (4 年考研试题 ) 设三阶实对称矩阵 的秩为, λ λ 6 是 的二重特征值, 若 T T α (,,), α (,,), α (,, ) 的另一特征值和对应的特征向量 ;() 矩阵 T 都是 的属于特征值 6 的特征向量, 试求 :() 解 :() 由于 λ λ 6 是 的二重特征值, 而 为实对称阵, 故 的属于特征值 6 的线性 无关的特征向量必有 个 容易验证题中所给出的 α, α, α 线性相关, 它的一个极大无关组为 α,α, 故 α,α 就是 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 另一方面, 由于 r ( ), 可知, 故 的另一特征值必为 α,α 征向量 α 应与 都正交 即应满足齐次方程组 λ 而属于 λ 的特 α X, 也就是 α X, 得基础解系 : T α (,,), 则属于特征值 λ ( α α α ) 令矩阵 P,, ), 则有 的特征向量为 k α ( k ) 6 P P 6 6, 故 P 6 P 容易求得 故 P, 6 4 P 6 P 4 4 第十二讲合同变换与二次型的标准化 教学目的 :. 介绍合同变换 : 另一种对角化途径, 只用于对称阵 ;. 对 可逆的矩阵变换 做个小结. 介绍二次型及其矩阵形式 ; 4. 介绍二次型标准化的概念 : 与合同变换的关系 教学内容 :

41 第六章 : 6.4 合同变换 ; 第七章 : 7. 二次型及其标准形 ; 7. 二次型的标准化 ; 教案提纲 : 6.4 合同变换一 合同变换 :. 概念 : 定义 6.5( 又一种特殊形式的初等变换 ). 合同变换的性质 : 二 合同变换的实施 : 对称初等变换 例 6.8,p.4 三 合同标准形 :. 规范形 ( 合同标准形 ); 定义 6.6;. 惯性指数 : 惯性定理 ( 定理 6.7) 定义 6.7; 正交变换 : 既是相似变换, 也是合同变换, 更是初等变换 小结 : 四个矩阵变换的比较 : 初等变换 : 可逆的矩阵变换定义 :P Q 可逆, PQ B ; 性质 : 等价 保规格 保秩 ; 保等价标准形 ; 应用 : 求逆 求秩 解方程 相似变换 : 定义 : P 可逆, P P B ; 性质 : 保特征值 保行列式 保迹 ; 保相似标准形 ; 应用 : 对角化 正交变换其他的一般初等变换合同变换 : 定义 : P 可逆, P P B ; 性质 : 保对称 保惯性 ; 保合同标准形 ; 应用 : 二次型的标准化, 正交变换 一般相似变换 正交变换 : P 是正交阵 P P 性质 : 保一切线性性质和度量性质 ; 应用 : 二次型的标准化 一般合同变换 第七章二次型 7. 二次型及其标准形一 二次型 :. 二次型的概念 :( 从一般的二元二次方程引入 ) (p.5) 定义 7.: 两种写法 :(7.) 式 (7.) 式, 系数的对称性设定 ;. 二次型的矩阵形式 : 与实对称阵的一一对应, 二次型的秩 ( 举例 :p.5 练习: 学会函数形式与矩阵形式的互化 )

42 二 二次型的标准形 :. 标准形 ( 法式 ) 的概念 : 由二次曲面的标准方程引入, 定义 7.; 与对角阵的对应 ;. 标准化 : 与合同变换的对应 X X X f ) ( PY X, 使 Y Y PY P Y X X Λ 找可逆阵 P, 使 Λ P P 为对角阵 7. 二次型的标准化一 正交变换法 : 由于二次型的矩阵是实对称阵, 而实对称阵必可经正交变换化为对角阵, 正交变换又是一种特殊的合同变换, 因此这里理论上并没有新内容 用示例讲实施步骤 : 示例 ( ) X X f 4 ), ( 用正交变换 : ( )( ) λ λ λ λ λ λ λe, 特征值 λ λ, 进而得特征向量 p p, 它们已经互相正交, 单位化后即得到正交阵 P 可对它作两方面验证 : 一方面, 6 P P P P ; 另一方面, 将相应的变换 PY X, 即 y y y y 代入原二次型, 得 ( ) ( ) ( )( ) 4 y y y y y y y y f ( ) ( ) ( ) y y y y y y y y y y

43 y y y y y y y ; 易见两者的一致性 小结 : 步骤 : ( y ) y y 二次型 f ( X ) X X 求特征值 求正交的特征向量组 (Schmidt 正交化法或添方 程法 ) 分别单位化 构成正交变换阵 P 验证 P P P P Λ 得到标准形 f ( Y ) Y ΛY ( 是唯一确定的 ) 例 7. (p.54) 求正交变换 X PY, 将下列二次型化为标准形 : f (,, ) 4 4 作业 :p.47:( 4); p.5:56; p.68:( 4) ( 4) 备例批注 -: 备例 习题 7- 在 X 时, 二次型 f 证 : 二次型 f 必可经正交变换化为标准形, 即有正交变换 X X X 的最大 最小值分别是 的最大 最小特征值 PY, 将 f 化成标准形 f λ y λ y λ y 其系数恰为 的所有特征值 不妨设特征值按从小到大的顺序排列 : λ λ λ, 则有 f λ y λ y λ y λ ( y y y ) λ Y, f λ y λ y λ y λ ( y y y ) λ Y, 即有 由于正交变换 X λ Y f λ Y PY 的逆变换 Y P X P X 仍是正交变换, 且正交变换是保范数的, 即 : Y Y Y ( P X) ( P X) X ( P ) ( P ) X X X X, 故当 X 时, 必有 Y, 于是得 λ f λ 还需要说明这两个值是能达到的 : 取 Y (,,,), Y (,,,), 则有 f( Y) λ,

44 f( Y) λ 易见 Y Y, 记它们在上述正交变换下的像为 X PY X PY, 则也有 X X, 因此有 f( X) λ f( X) λ, 可见结论为真 注意到条件满足 X 的所有向量 X, 构成了 R 空间的单位球面 本命题表明 : 二次型的函 数值在单位球面上是以 的最大 最小特征值为上下界的, 而且它必能在单位球面上达到每一个特 征值, 这在实际应用上很重要 本例的证明并不难, 但要求概念清晰, 尤其是要会利用正交变换保范数的性质 这也可见在二 次型标准化的三个方法中, 正交变换有特殊的重要性 第十三讲二次型的标准化与正定性 教学目的 :. 继续介绍二次型标准化的方法 : 配方法 初等变换法 ;. 讲解二次型及其矩阵的正定性的概念和判别法 ;. 讨论实对称阵的正定性 ; 教学内容 : 7. 二次型的标准化 7. 二次型的正定性 ; 教案提纲 : 7. 二次型的标准化 ( 续 ) 二 Lgrge 配方法 : 没有理论, 用示例说明 ( 标准形不唯一 );. 有平方项的二次型 : 一次吃光一个变量 ; 反解出变换阵 ; p.56, 例 7.. 只有交叉项的二次型 : 二次变换, 先 造出 平方项来, 再按上面进行 ; 变换阵要相乘 P.56, 例 7. 三 初等变换法 : 上一章介绍的对称初等变换, 示例 ; ( 讲解 : 如何得到变换阵?) 算例可见 p.57, 例 , 这里不细讲了 比较例 7. 和例 7.4, 例 7. 和例 7.5, 便可以看到 : 对称初等变换实际上就是通过矩阵方式进行配方 四 二次型的规范形 : 从上面的比较还可以看出, 用两个不同的可逆线性变换化二次型为标准形, 其标准形可以是不同的 于是我们规定 : 定义 7. 二次型 f T X X 经合同变换所变成的 系数仅为 - 的标准形, 称为 f 的 规范形 容易想到 : 规范形的矩阵就是原二次型的矩阵的合同标准形 例 7. 所得到的标准形已是规范形了, 例 7.5 则不是, 若将合同变换再做下去, 可以进一步得到 f z, 这才是规范形 z z

45 注意 : 不同的方法, 可以得到不同的标准形和不同的变换阵, 但惯性指数不变 因而也有 规范形 的概念, 与合同变换一致 7. 二次型的正定性一 正定性的概念 : 由一元 二元二次型的图形引入, 定义 7.4; 若二次型的标准形系数全正或全负, 其函数值就有确定的符号, 这是一类重要的常用的二次型 利用一元和二元的图形, 给出正定和负定的几何解释 判定二次型的正定性, 在物理 力学 经济学和数学的其他分支上都很有用, 特别在多元函数的极值 二次曲面的图形和性质及微分方程的稳定性等问题的研究方面有重要作用 二 正定性的判别法 :. 标准形法 ( 惯性指数法 ): 定理 7.( 惯性定理 ); (p.6) 由惯性定理还可知, 两个实二次型经可逆线性变换互化的充分必要条件是 : 它们有相同的秩和惯性指数 对矩阵而言, 这等价于下述命题 : 两个同阶实对称阵能合同的充分必要条件是 : 它们有相同的秩和惯性指数 也从另一个方面阐明了 : 合同变换不但保秩 保对称性, 而且还保惯性指数. 特征值法 : 定理 7.( 可脱离二次型而单独讨论矩阵的正定性 ); 定理 7. 还表明 : 正定二次型 f ( ),,, 的规范形必定是 虽然这个命题只是定理 7. 的自然推论, 但它使我们可以脱离二次型而单独讨论实对称阵的正定性 例如我们可以推出 : 若 是正定阵, 则 必可逆, 且 仍为正定阵 ; 若 是正定阵, 则 易见这个二次型的矩阵为单位矩阵, 所以引出推论 : y y y (7.) 推论 : 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同 * 也是正定阵 ; 一些更加灵活的题目, 如 : 若 是 阶对称阵, 证明 : 只要 t 足够大, 总能使 te 为正定阵. 顺序主子式法 : 定义 7.5 定理 7.5 ( 举例 : 习题 7-7()); ( 算例 : 例 )

46 4. 利用定理和性质来判定 :( 要熟悉定义和一些重要结论 ) 三 正定阵的若干性质 : 定理 7.4( 正定阵的一些充要条件 ) 设 为 阶实对称阵, 则 正定 iff 以下条件之一成立 :. 二次型 f ( X ) X X 正定 ;. 的 个特征值全正 ;. 的正惯性指数 p r ; 4. 与 阶单位阵 E 合同 ; 5. 的 个顺序主子式全正 ; 6. 阶可逆阵 U, 使 U U ( 正定阵的可逆分解 ); 7. 阶正定阵 B, 使 8. 阶实对称阵 C, 使 B ( 正定阵的正定分解, 正定阵可开方 ); C ( 正定阵的对称分解 ) 例 7.8 (p.6) 四个证法 作业 :p.69:5 6( ) 7( 4) 8 9 * 备例 例 ( 习题 7-) 设 f ( y z ) y z yz, 问 () 满足什么条件时, f 是正定的? () 满足什么条件时, f 是负定的? 解 : 根据矩阵正 ( 负 ) 定的充要条件, 只需判别二次型 f 相应矩阵的顺序主子式的值即可 f 的 矩阵为 :, 其 阶主子式为 Δ 子式为 Δ ( ) ( ) () f 正定当且仅当所有顺序主子式都为正, 故 应满足不等式组, 阶主子式为 Δ, 阶主

47 解得 : > > > > ( ) ( ), () f 负定当且仅当所有奇数阶主子式都小于零 所有偶数阶主子式都大于零, 也即 应满足 不等式组 解得 : < < > < ( ) ( ), 例 已知, E 都是 阶实对称正定矩阵, 证明 E 也是正定矩阵. 证法一 : 设 的 个特征值为 λ, λ,, λ, 于是 λ, λ,, λ 便是 E 的特征值 由题设 E 正定, 则必有 λi > ( i,,, ), 即有 λ i > ( i,,, ) 另一方面, 由 正定知 λ i > ( i,,, ), 且 λ, λ,, λ 为 的特征值, 故而,,, 为 E 的特征值, 由于 λ i >, 则必有 > ( i,,, ), 因此 λ λ λ λi E 的各个特征值都大于零, 从而推出 E 为正定阵 T 证法二 : 因为 是正定矩阵, 因此 λ i > ( i,,, ), 且存在正交矩阵 Q, 使得 QΛ Q, λ λ 其中 Λ, λ λ λ T T T T 从而 E QΛQ QQ Q( Λ E) Q Q Q λ 因此 λ, λ,, λ 便是 E 的特征值 由 E 正定, 则有 λi > ( i,,, ), 即 λ i > ( i,,, ) / λ / λ T T 而易见有 QΛ Q Q Q, 因此 / λ

48 λ T T T T E QQ Q Q Q( E ) Q Q λ Λ Λ Q λ 可见,,, 为 E 的特征值 由于 λ i >, 则必有 > ( i,,, ), λ λ λ λ i 因此 E 的各个特征值都大于零, 从而推出 E 为正定矩阵 例 ( 年考研试题 ) 设 为三阶实对称矩阵, 满足条件 O, 已知 的秩 r( ) () 求 的全部特征值 ;() 当 k 为何值时, 矩阵 ke 为正定矩阵? 解 :() 任取 的一个特征值 λ, 以及对应的特征向量为 α, 从而有 ( ) α ( λ λ) α, 由条件 O推知 ( λ λα ) θ 又由于 α θ, 因此 λ λ, 所以 λ 或 λ, 这便是 的特征值 λ 的可取范围 因为实对称阵 必可对角化, 且 r ( ), 所以 应有 个非零 特征值, 由上述条件知, 的全部特征值为 λ λ, λ 因此矩阵 与下列对角阵 Λ 相似 : () 有两种解法 : ~ Λ 解法一 : 由 () 知 的全部特征值为 λ λ, λ, 因此 ke 的全部特征值为 k, k, k, 则当 k > 时, 矩阵 ke 的全部特征值大于零, 矩阵 ke 为正定矩阵 解法二 : 实对称阵必可对角化, 故有可逆阵 P, 使 P P Λ, 则 PΛ P, 故 ke P P kpp P ke P Λ ( Λ ), 即 ~ ke Λ ke, 而 k Λ ke k k 要使 Λ ke 为正定矩阵 只需其对角元素均大于, 因此当 k > 时, 矩阵 ke 为正定矩阵

49 多元一次方程第十五讲线性代数复习 教学目的 :. 对全学期课程作一个框架式总结 ;. 概述主要的基本概念 理论要点和算法要求 ;. 对期末考试作一些介绍 : 时间 地点 答疑方式 考试重点和不作要求的内容等 教学内容 : 复习教案提纲 : 整体框架 : 五个模块 三大工具 两大问题 三大工具 : 行列式 ( 运算工具 ) 矩阵( 运算工具 ) 向量空间( 思维工具 ); 两大问题 : 多元一次问题 ( 线性方程组 ) 多元二次问题( 二次型 ) 模块结构图大致如下 : 第一阶段 第二阶段 行列式 矩阵 基础 提高 组多元二次型向量空间 基础 提高 两个阶段 : 第一阶段 : 行列式 (Ch.) 矩阵 ( 一 )( 运算 初等变换 )(Ch.) 向量空间 (-)( 线性相关性 秩 )(Ch.) 线性方程组 (Ch.4); 解决一次问题 ; 第二阶段 : 向量空间 ( 二 )( 空间结构 基本度量 正交阵 )(Ch.5) 矩阵 ( 二 )( 特征值 矩阵变换 对角化 )(Ch.6) 二次型 (Ch.7); 解决二次问题 同学们应根据自己的情况选择自己复习的重点 : 专科一般只要求到第一阶段, 至多涉及到一点特征值问题 ; 本科要求的重点是第一阶段, 对第二阶段会视时间而作适当取舍 ; 考研则会把重点放在第二阶段, 也就涵盖了第一阶段 一条主线 : 矩阵就本科期末考试而言, 应抓住矩阵作为主线, 把握主要的概念 理论和算法 : 一 矩阵的基本算法 :. 代数运算 : 六种代数运算必须熟练掌握 ( 可运算的条件 运算法则 运算律 一些须注意之点 );. 分块 : 一些常用分块法 分块形式下的运算 ;. 初等变换 : 一定要学会化到最简形 ; 会用来解方程组 ; 4. 特征值和特征向量, 也应熟练掌握其完整的算法 ;

50 二 矩阵的秩 : 先用 回溯法 把主要概念串起来 : 矩阵的秩 向量组的秩 极大无关组 线性相关与线性无关 线性组合与线性表示 向量及其线性运算, 这是一条逻辑主线, 然后在各部分挂上主要的定理和方法, 整个第三章的内容就基本囊括了, 且能使众多概念 定理 算法井然有序 ; 三 矩阵变换 : 第二阶段, 在初等变换的基础上再前进一步 : 内积 ;. 相似变换与对角化 : 主要性质 可对角化的条件 实施过程 ( 算法 ) 应用 ( 矩阵的高次幂 );. 合同变换 : 要求相对低一些, 知道概念和性质即可, 算法不要求 ;. 正交变换 : () 先用回溯法理顺概念 正交变换 正交阵 正交 ( 规范 ) 基 正交 ( 规范 ) 组 正交 规范 夹角 范数 () 再回顾正交阵的主要性质, 特别是 () 应用 : 实对称阵的对角化 ( 二次型的标准化 ), 便可与相似变换 合同变换挂钩 ; 注意 : 比较不同变换的条件 性质 变换过程 ( 算法 ) 应用范畴 相互关系, 在比较中把握 4 三条支线 : 行列式 : 简单复习一下常用的几种方法, 不要强调技巧 一 直接按定义展开 : 利用广义对角线概念比较方便, 记住几个常用结果 ; 二 利用性质计算 :. 直接用性质 ( 如例.7);. 化简 : 化为三角形 ( 如例.4.5.6);. 化简 : 在一行 ( 列 ) 造, 再展开降阶 ( 例..); ( 若能在降阶中找出高阶与低阶的关系, 则可进行递推或数学归纳 ) ( 只要求掌握上述常用算法即可, 不必太钻技巧 ) 三 其他一些技巧 : 如 : 加边法 ( 习题 -4(5)); 构造辅助行列式 ( 习题 -5()); 利用矩阵 ( 习题 -()); 等等 有空可作适当介绍 线性方程组: () 线性方程组的分类 ; () 求解框图 ( 算法必须熟练掌握 ); (p.97) 有两点必须注意 :

51 () 变到行阶梯形时, 可先审视 : 相容吗? 若相容, 解唯一吗? 若不唯一, 则 r? ( 即有几个自由变元?), 由此即可判定解的 大模样 () 如果方程组相容, 应该 将行变换进行到底, 一直变到行最简形, 这意味着消元过程和回消过程全部完成, 它所对应的方程组就是原方程组的最简形式, 剥离 出来的被约束变量个数等于独立方程的个数 ( 即方程组的秩 ), 这时再通过确定自由变量 移项 补齐, 很容易得到方程组的通解 () 解集的结构 齐次方程组非齐次方程组的解空间的解集解集之间的关系 通解之间的关系 理论的延伸 二次型: 如果课时够用 二次型列入考试要求的话, 则主要复习一下正交变换 正定性的概念及基本判别法, 不必太展开 5 书中必须掌握的几个定理 :. 定理.(p.4) 延伸 : 矩阵可逆的充要条件 ;. 定理.(p.7) 判断向量相关性的基本手段 ;. 定理.(p.78) 初等变换保秩 ; 4. 定理 5.4(p.9) 正交组必是无关组 ; 5. 定理 6.(p.) 属于不同特征值的特征向量必无关 ; 6. 定理 6.4(p.) 矩阵的特征值的性质 ; 7. 定理 6.(p.7) 实对称阵的属于不同特征值的特征向量必正交 ; 6 书中必须掌握的几个例题 :. 例.(p.8) 延伸 : 行列式的常用算法 ;. 例.4(p.4) 求方阵的高次幂 ( 比较例 6.5); 延伸 : 方阵的多项式 ;. 例.6(p.4) 关于伴随阵 ; 4. 例.(p.49) 关于分块矩阵 ; 5. 例.(p.5) 初等变换的基本过程 三个形 ; 6. 例.8(p.7) 延伸 : 判别一组向量相关性的主要方法 ; 7. 例.6(p.8) 讨论一个向量组的结构 ; 8. 例.7(p.84) 及其类似的方法 : 利用初等阵来证明 ; 9. 例 4.5(p.96) 例 4.8(p.98) 含参系数方程组的类型及求解 ;. 例 4.(p.) 关于基础解系的讨论 ;. 例 4.4(p.) 关于非齐次方程组的通解的结构 ;. 例 5.6(p.) 从已知向量出发构造正交规范基 ;. 例 6.4(p.5) 求特征值 特征向量, 并考察对角化 ; 4. 例 6.7(p.8) 用正交变换把实对称阵对角化 ( 5 和 6 均未涉及合同变换和二次型, 做一点说明 )

52 几个普遍做得不好的题 6-5 设 α,α 是 的属于不同特征值的特征向量, 证明 α α 证 : 由条件, 可设, λ λ, 满足 α λα 不是 的特征向量 α λα, 且 λ λ, 因此知 α,α 线性无关 用反证法 : 若 α α 是 的特征向量, 记所属的特征值为 λ, 则也有 ( α α) λ( α α), 因此有 : λα λα λ( α α) ( α α) α α λα λα 于是有 : ( λ λ) α ( λ λ) α θ, α 线性无关, 则唯有 λ λ λ λ, 所以 λ λ λ, 这与 λ λ 注意到,α 矛盾 6-7 若 阶方阵 满足关系 E 征值只能是 或 - 证 : 任取 的一个特征值 λ 和一个所属的特征向量 p, 则有 p, 就称 为对合矩阵 ( 自逆阵 ) 证明 : 对合矩阵的特 λ p, 由定理 6.4, 亦有 p λ p, 由 E 便得 p Ep p λ p, 移项得 ( λ ) p θ, 而作为特征向量, p θ, 则唯有 λ, 于是推出 λ 或 λ, 知命题为真 6-9 若 为 阶正交阵, 证明 的特征值只能是 或 - 证 : 任取 的一个特征值 λ 和一个所属的特征向量 p, 则有 p λ p 将其转置得 ( p) p ( λ p) λ p 注意到 E和 p 是特征向量, 故 p p p, 于是有 : λ p λ p p ( λp) ( λp) ( p) ( p) p p p p p 移项得 ( ) p λ, 而作为特征向量, p θ, 因此 p, 于是唯有 λ 或 λ