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- 宠 廉
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1 维向量 向量组的线性相关性 向量组的秩 维向量空间 5 欧氏空间 R 6 线性方程组解的结构 第四章 向量空间
2 第一节 维向量 一 维向量的概念 定义 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量 这 个数称为该向量的 个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量
3 例如 ( ) 维实向量 ( i i ( ) i) 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 个分量
4 二 维向量的表示方法 维向量写成一行 称为行向量 也就是行 T T 矩阵 通常用 T T β 等表示 如 : T ( ) T ( 5) T β ( 87)
5 维向量写成一列 称为列向量 也就是列矩阵 通常用等表示 如 : β 6 β T ) 6 (
6 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 ; 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 ; 当没有明确说明是行向量还是列向量时 默认向量类型为列向量 6
7 维向量的加法和数乘运算规律 向量加法 : 交换律 结合律数乘向量 : 结合律 分配律 ( 数的分配 向量的分配 ) ( )
8 解析几何 既有大小又有方向的量 几何形象 : 可随意平行移动的有向线段 系三 向量空间向 ( 坐标系量 ) 坐线性代数 有次序的实数组成的数组 代数形象 : 向量的坐标表示式 T ( )
9 解析几何 空 点空间 : 点的集合向量空间 : 向量的集合坐( 坐标间 ) 线性代数 几何形象 : 空间直线 曲线 空间平面或曲面 { } ( y z) y cz d 系系代数形象 : 向量空间中的平面 { y cz d} T ( y z) P( y z) 一一对应 ( y z) T
10 维向量的实际意义 确定飞机的状态 需要以下 6 个参数 : π π 机身的仰角 ϕ ( ϕ ) 机翼的转角 ψ ( π < ψ π ) 机身的水平转角 θ ( θ < π ) 飞机重心在空间的位置参数 P(yz) 所以 确定飞机的状态 需用 6 维向量 ( y z ϕ ψ θ )
11 四 小结 维向量的概念 实向量 复向量 ; 向量的表示方法 : 行向量与列向量 ; 向量空间 : 解析几何与线性代数中向量的联系与区别 向量空间的概念 ; 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用
12 第二节 向量组的线性相关性 一 向量 向量组与矩阵 若干个同维数的列向量 ( 或同维数的行向量 ) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵 A ( ij ) 有 个 m维列向量 m j j j A m m mj m 向量组 称为矩阵 A的列向量组
13 类似地 矩阵 A ( ij ) m 又有 m个 维行向量 A i T m i m i m T T i T m 向量组 T T T m 称为矩阵 A 的行向量组
14 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 m个 维列向量所组成的向量组 构成一个 m矩阵 m个 维行向量所组成 的向量组 β 构成一个 m A T T T β β m 矩阵 ( m ) B β β β m T T T m
15 例如例如 ( ) A () () () () t t t t t t t t B
16 线性方程组的向量表示 m m m m 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应
17 二 线性组合二 线性组合 线性表示线性表示 ) ( 组实数 对于任何一给定向量组 m m k k k A : 定义 个线性组合的系数称为这 m k k k 称为向量组的一个向量 m k m k k 线性组合
18 定义 给定向量组 A: 和向量 如果存在 一组数 k k k m 使 k k k m m 则向量 是向量组 A的线性组合 这时称向量 能由向量组 A线性表示或线性表出 m 有解 即线性方程组 m m
19 定理 维向量 β可由 维向量组 线性表示 线性方程组 K β有解 矩阵 A A ( ) 的秩等于矩阵 ( β) 的秩 m m m m m 条件是矩阵 B ( 向量 能由向量组 A线性表示的充分必要 A ( m ) 的秩等于矩阵 m ) 的秩
20 : m m m m k k k k k k A 使全为零的数如果存在不给定向量组注意 成立时才有则只有当线性无关若 λ λ λ λ λ 线性相关不是线性无关就是对于任一向量组定义 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 三 线性相关性的概念 A
21 向量组只包含一个向量 时 若 线性相关 若 则说 线性无关 则说 量共面 包含零向量的任何向量组是线性相关的 5 对于含有两个向量的向量组 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例 几何意义 是两向量共线 ; 三个向量相关的几何意义是三向
22 线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的 这时称方程组 ( 各个方程 ) 是线性相关的 ; 当方程组中没有多余方程 就称该方程组 ( 各个方程 ) 线性无关 ( 或线性独立 ) 结论 向量组 A线性相关就是齐次线性方程组 有非零解 其中 A ( m m 即 A m )
23 7 5 的线性相关性 试讨论向量组 已知例 解 : 方法 判断齐次线性方程组是否有非零解 方法 直接由向量组形成的矩阵判断该矩阵所对应的齐次方程组解的情况
24 设有 使 ) ( ) ( ) ( 即 ) ( ) ( ) 亦即 ( 线性无关 故有 因 证 线性无关试证线性无关已知向量组 例
25 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 线性无关 所以向量组
26 课本上例 5 结论 向量组 B 量组 B () 若向量组 : m A: m 也线性相关 反言之 若向 线性无关 则向量组 A也线性无关 m 线性相关 则
27 四 小结 向量 向量组与矩阵之间的联系 线性方程组的向量表示 ; 线性组合与线性表示的概念 ; 线性相关与线性无关的概念 ; 线性相关性在线性方程组中的应用 ;( 重点 )
28 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 ; 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 ; 当没有明确说明是行向量还是列向量时 默认向量类型为列向量 6
29 五 线性相关性的判定 定理 对于向量组 A : m 记 A ( 则 : A线性相关的充要条件是 R(A) < m A线性无关的充要条件是 R(A) m 证明 : 向量组 A 线性相关充要条件是 A 有非零解 A 有非零解的充要条件是 R(A)<m 向量组 A 线性无关充要条件是 A 只有零解 m ) A 只有零解的充要条件是 R(A)m 证毕
30 定理 的三个推论 : 推论 设 A为 阶方阵 则 A的列向量组线性相关的充要条件是 A的行列式等于零 推论 当 m 时 m个 维向量组成的向量组 m一定线性相关 推论 设有两个向量组 T T : ( ) ( j K m) j j j j T T : ( ) ( j K m) β j j j j j j 若向量组 T线性无关 则向量组 T 也线性无关 ; 若向量组 T 线性相关 则向量组 T也线性相关
31 例 维向量组 T T ( ) e ( ) e ( ) T e 称为 维单位坐标向量组 讨论其线性相关性 解 法 维单位坐标向量组构成的矩阵 E 是 阶单位矩阵 ( e e e) 显然 R ( E) 即 R( E) 等于向量组中向量个数 故由定理向量组是线性无关的 知此 法 利用线性相关性的定义
32 7 5 的线性相关性及试讨论向量组 ) ( 施行行初等变换对矩阵 例 设分析化为行阶梯形矩阵 ) ( ) ( 的秩及便可同时看出矩阵 利用定理 即可得出结论
33 7 5 ) ( ~ K )) (( < R )) (( 线性无关向量组 R 向量组 线性相关 ; 7 5 的线性相关性及试讨论向量组 解例 设
34 定理 证明 向量组 K ( m ) 线性相关的充要条件是 m K m 中至少有一个向量 可由其它 m 个向量线性表示 充分性必要性设 可由 K m 线性相关 m线性表示 则存在不全为零的数即存在一组数 k k 使得 k 使得 k k K k m m k k k m m k k k m m 不妨设 k ( ) k k kk k m k 则 ( ) ( ) ( m k k k m 线性相关 即 可由 m线性表示 ) m m
35 : : () 线性表示且表示式是唯一的必能由向量组线性相关则向量组线性无关而向量设向量组 A B A m m 定理 证明 : 线性相关组 B m Q 存在不全为零的数 使得 k k k m k k k k m m 线性无关 m Q ; ) ( ) ( ) ( m m k k k k k k k m m λ λ λ 设 m m μ μ μ ) ( ) ( ) ( m m m λ μ λ μ λ μ 线性无关 m Q m μ m λ λ μ
36 第三节 向量组的秩 一 向量组的等价 定义设有两个向量组 A : m 与 B : β β β 若向量组 B 中的向量均可由向量组 A 线性表示 则称向量组 B 可由向量组 A 线性表示 ; 若向量组 A 与向量组 B 可以相互线性表示 则称向量组 A 与向量组 B 等价 性质 : 反身性 对称性 传递性
37 线性表示中的系数矩阵 K 使在数存线性表示 即对每个向量能由设有两个向量组 ) ( : ; : mj j j j s m k k k s j A B B A m k m k k m k m k k m mj j j j k k k m ms s s s k k k mj j j m j k k k ) ( k m k k k m k k ms s s k k k K K m s ) ( ) (
38 AB 若矩阵 C s s s s c c c ) ( ) ( 的列向量组线性表示 的列向量组能由则 A C B 为这一表示的系数矩阵 s s m m B A C 设
39 T s T T ms m m s s T m T T β β β γ γ γ C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示 s s m m B A C 类似地 若下面介绍一个定理及其两个推论 A 为这一表示的系数矩阵
40 定理 5 若向量组 T: m可由向量组 T : β β β 线性表示 则 T 线性相关 推论 若向量组 T: m可由向量组 T : β β β 线性表示 且 T 线性无关 则 m 推论 若两个线性无关向量组等价 则它们 所包含的向量的个数相等
41 定理 6 矩阵 A经初等行变换化为矩阵 B 则 A与 B 的任何对应的列向量构成的列向量组有 相同的线性组合关系
42 二 最大线性无关组 定义 5 () 向量组 A : 线性无关 ; () 向量组 A中任意 ( 若有 ) 个向量线性相关 ; 则称向量组 向量组 A 设有向量组 A : i 如果在向量组 A中存在 个向量 满足 A ( 简称最大无关组 ) 定义 6 是向量组 A的一个最大线性无关组 向量组 A 中所含向量的个数 称为向量组的秩 m的秩记作 R( m ) R( A) : 只含 向量的向量组的秩规定为
43 设 例如 的一个最大无关组是向量组证明 : A 证明 ~ ) ( Q A ) ( A R 线性无关向量组 性相关 个向量构成的向量组线又 Q 任意 是一个最大无关组
44 三 矩阵的秩与向量组的秩的关系 定理 7 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于 它的行向量组的秩 证 设 A ( m ) R(A) 并设 阶子式 D 则 D 所在的 列线性无关 又由 A 中所有 ( 若有 ) 阶子式均为零 知 A 中任意 ( 若有 ) 个列向量都线性相关 因此 D 所在的 列是 A 的列向量组的一个最大无关组 ) 所以列向量组的秩等于 R(A 类似可证 A的行向量组的秩也等于 R(A)
45 例 : 已知向量组 A 的一个最大无关组 的秩并求求向量组 A A 的一个最高阶非零子式 则 : 是矩阵若 A D 重要推论 ( 最大无关组的求法 ) D 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组 D 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组
46 例 : 已知向量组 A 的一个最大无关组 的秩并求求向量组 A A 解 : ) ( A 记 ~ K (A) ) ( R R 又 Q 是向量组 A 的最大线性无关组
47 所以 : ( ) 一般地 最大无关组不唯一 但所含向量个数相同 证明 : 课本 P8 ( ) 向量组与它的最大无关组是等价的 证 设向量组 A : 是向量组 A : m 的一个最大无关组 显然 向量组 A 可以由向量组 A线性表示 由最大无关组的定义 知 向量组 A可以由向量组 A 线性表示 所以 向量组 A 与向量组 A等价 ( ) 一个向量组的两个不同最大无关组是等价的
48 例 全体 维向量构成的向量组记作 R 一个最大无关组及 R 的秩 求 R 的 解 因为 维单位坐标向量构成的向量组 E 是线性无关的 : e e e 又 Q R 中的任意 个向量都线性相关 因此向量组 E是 R 的一个最大无关组 且 R 的秩等于
49 A 设矩阵例 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组 并把不 ) ( 5 记 A
50 行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A 知 ) ( A R ) ( 5 A 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关组含 个向量 元在 三列 而三个非零行的非零首 无关组为列向量组的一个最大故 解 5 成行最简形矩阵再变线性表示将用为了把 A
51 ) ( ~ 5 初等行变换 A 5 即得初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系 初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系 5
52 定理 8 证明 若向量组 T 可由向量组 T 线性表示 则向量组 T 的秩不超过向量组 T 的秩 不妨设向量组 T 和向量组 T 的极大线性无关组分别为 : () Ι ; 和 ( ΙΙ) β β β 向量组 (I) 可由向量组 T 线性表示 ; 向量组 T 可由向量组 T 线性表示 ; 向量组 T 可由向量组 (II) 线性表示 所以由向量组的线性表示的可传递性 向量组 (I) 可由向量组 (II) 线性表示 由定理 5 的推论 得到 : s 即 向量组 T 的秩不超过的向量组 T 秩 s
53 定理 8 推论 若向量组 T 可由向量组 T 线性表示 则向量组 T 的秩不超过向量组 T 的秩 等价向量组的秩相等 证 设向量组 A 与向量组 B的秩依次为 s和 因两个向量组等价 即两个向量组能相互线性表示 故 s 与 s同时成立 推论 RAB ( ) mi RA ( ) RB ( ) { }
54 四 小结 最大线性无关组的概念 : 最大性 线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系 : 矩阵的秩 矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论 : 定理 8 推论 推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法 : 将向量组中的向量作为列向量作为列向量构成一个矩阵 然后进行初等行变换
55 第四节 维向量空间 一 向量空间的概念 定义 7 设 V 是 维向量构成的非空集合 且满足 () 对 β V 有 β V () 对 V 任意数 k有 k V V 那么就称集合是一个向量空间 说明 集合 V对于加法及乘数封闭是指 : 若 V β V 则 β V; 若 V λ R 则 λ V
56 例 证明 : 维向量的全体 R 是一个向量空间 Q () R 非空 () β R 有 β R () k R R 有 k R R 是一个向量空间 类似地 维向量的全体 R 也是一个向量空间 向量空间必含零向量
57 例 判别下列集合是否为向量空间 V { ( ) T R} 解 有 显然 V 由 维向量构成的集合 非空 又 Q对于 V的任意两个元素 ( ) T ( ) T β ( ) V β T R ( λ λ ) V ( ) λ λ V 是向量空间 T V
58 例 判别下列集合是否为向量空间 V { ( ) T R} 解 因为 对于 T V ( ) T V 有 ( ) V 不是向量空间
59 例 设 为两个已知的 维向量 集合 V { } λ μ λ μ R 试判断集合是否为向量空间 解 Q λ μ V λ V k μ R 有 ( λ λ ) ( μ μ ) V k ( kλ) ( kμ) V 又 V φ( Qθ V ) V 是向量空间 这个向量空间称为由向量 所生成的向量空间 记作 ( )
60 μ c μ kc d λ λ ( ) c ( ) { λ μλ R} { } μ λ μ kc λμ k R
61 间为 例 5 V V 一般地 由向量组 m 所生成的向量空 V 试证 : V { } λ λ λmm λ λ λm 设向量组 R { } { } λ V μ 记作 λ μ V m m [ ] 与向量组 λ m s μ m s 等价 记 λ λ λ s s m μ μ μ 证设 V 则 可由 m线性表示 因 可由 线性表示 故 可由 s m s 线性表示 所以 V V V 同理可证 : V V V V R R
62 二 子空间 定义 8 设 V V都是向量空间 若 V V 则称 V 是 V的子空间 例 V { ( ) T R} QV R V是向量空间 V 是 R 的子空间
63 三 向量空间的基与维数 定义 9 设 V 是一个向量空间 若 个向量 满足 ) 线性无关 ; ( V ) V中任一向量都可由 线性表示 ( 则称向量组 是 V的一个基 称为 V 的维数 并称 V为 维向量空间
64 说明 () 只含有零向量的向量空间称为 维向量空间 它没有基 () 若把向量空间 V 看作向量组 那末 V 的基就是向量组的最大线性无关组 V 的维数就是向量组的秩 () 若向量组 是向量空间 V的一个基 则 V 可表示为 V λ λ λ λ λ { } R [ ] 课本 P86 例 6
65 ) ( A ) ( B 线性表示用这个基的一个基 并把是验证 R 例 6 设矩阵设矩阵 ( B) A 解
66 的一个基 且为 故因有 ~ R E A ) ( ~ 初等行变换 B A
67 四 向量在基下的坐标 设 m是 m维向量空间 V的一组基 定义 对 β V 有 β m m 那么组合系数 ( ) 称为 β在基 T m 下的坐标 m 构成的向量 向量空间 V 的基确定之后 V 中向量在该基下的坐标是唯一的 m
68 例 7 T 在 下的坐标为 :( - -) T 在 下的坐标为 :( )
69 五 基变换公式与过渡矩阵 问题 : 在 维线性空间 V中 任意 个线性无关的向量都可以作为 V的一组基 对于不同的基 同一个向量的坐标是不同的 那么 同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢? 换句话说 随着基的改变 向量的坐标如何改变呢?
70 两个基且有的是线性空间及设 V β β β p p p p p p p p p β β β 称此公式为基变换公式
71 p p p p p p p p p β β β 由于 p p p p p p p p p β β β T P
72 ( β β β ) ( )P 在基变换公式 基变换公式 ( ) ( ) β β β P 中 矩阵 P 称为由基 到基 β β β的过渡矩阵 过渡矩阵 P是可逆的
73 过渡矩阵 P 就建立了向量空间 V 中的两组基之间的关系作为过渡矩阵 P 具有如下关系 : () 满足基变换公式的矩阵 P 的第 j 列是 β j 在基 下的坐标 m () 由于基是线性无关的 因而 P 是可逆矩阵 而且 P - 是从 m到 的过渡矩阵 β β β m
74 六 坐标变换公式 定理 为 设 V ( 在基 β β β 下的坐标为 ( ' 若两个基满足关系式 中的元素 在基 下的坐标 ' ( β β β ) ( )P ') ) T T
75 则有坐标变换公式 ' ' ' P ' ' ' P 或
76 证明 ( ) Q ( ) ' ' ' β β β ( ) ( )P β β β ( ) ( ) ' ' ' P
77 ' ' ' P 即 ' ' ' P P 可逆所以由于矩阵例 8 P89
78 七 小结 向量空间的概念 : 向量的非空集合对加法及数乘两种运算封闭 ; 由向量组生成的向量空间 子空间的概念 向量空间的基和维数 : 求向量空间基和维数的方法 向量在基下的坐标
79 基变换公式 p p p p p p p p p β β β ( ) ( )P β β β
80 坐标变换公式 ' ' ' P 或 ' ' ' P
81 念回 顾 向量组向量空间概向量组的秩极大无关组概念欧氏空间 R 间第五节向量空间空子维基数
82 定义 维向量设有 y y y y 的内积与为称 y y y y 一 内积的定义及性质 ) ( y y y y 即定义了内积的向量空间 R 称为欧几里得空间 简称欧氏空间 ) ( y 记做 :
83 欧几里得 在差不多一百年前 几何就是欧几里德 公元前 年 ~ 前 75 年 是古希腊数学家 以 几何原本 闻名于世 它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分
84 一句箴言 : 公元前 年左右 在托勒密王 ( 公元前 6~ 前 8) 的邀请下 来到亚历山大 长期在那里工作 他是一位温良敦厚的教育家 对有志数学之士 总是循循善诱 但反对不肯刻苦钻研 投机取巧的作风 也反对狭隘实用观点 据普罗克洛斯 ( 约 ~85) 记载 托勒密王曾经问欧几里得 除了他的 几何原本 之外 还有没有其他学习几何的捷径 欧几里得回答说 : 在几何里 没有专为国王铺设的大道 这句话后来成为传诵千古的学习箴言
85 ( y ) y y y 例 T T 设 ( ) y () 求 ( y) 解 ( y) ( ) 说明 如果 y都是列向量 内积可用矩阵记号表示为 : ( y) T y
86 内积的运算性质 其中 y z为 维向量 λ为实数 : ( ) ( y) ( y ) ( ) ( λ y) λ( y) ( ) ( y z) ( z) ( y z) ( ) ( ) 且当 时有 ( ) > (5) 柯西 施瓦茨性质 ( y) ( )( y y)
87 二 向量的长度及性质 定义 设 ( ) T 令 称 T ( ) 为 维向量 的长度 ( 或范数 ) 向量的长度具有下述性质 : 非负性 当 时 > ; 当 时 ; 齐次性 λ λ ; 三角不等式 y y
88 单位向量及 维向量间的夹角 () 当 时 称 为单位向量 定义 ( ) 当 y 时 θ 称为 维向量 与 y的夹角 ccos ( y) y 例 T T ( ) 与 ( 5) 的夹角 求向量 β 解 Qcos θ π θ [ β ] β 8 6
89 三 正交向量组的概念及求法 正交的概念 当 ( y) 时 称向量 与 y 正交 例如 由定义知 若 则 与任何向量都正交 正交向量组的概念 若 T 设 ( ) y () ( y) Q 向量 与 y正交 ) 向量 均非零向量 ( ) 向量 两两正交 ( m 则称向量组 是一个正交向量组 m m T
90 正交向量组的性质 定理 若 维向量组 是一个正交向量组 则 线性无关 证明 设有 λ λ λ 使 λ λ λ 以 左乘上式两端 得 λ T T 由 T 从而有 λ 同理可得 λ λ 故 线性无关
91 向量空间的正交基 若 ( ) 是向量空间 V的一个基 ( ) 是一个正交向量组 则称 是向量空间 V的一个正交基 例 已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使 构成三维空间的一个正交基
92 即 ) ( ) ( 解之得 令 则有 由上可知构成三维空间的一个正交基 则有 ) ( ) ( 解 ( ) 正交且分别与设 T T T ) ( ) (
93 5 标准 ( 规范 ) 正交基 e e e e 例如定义 ) ( 的一个基是向量空间若 V e e e ) ( 是一个正交向量组 e e e ) ( 均是单位向量 e e e 的一个规范正交基是向量空间则称 V e e e
94 e e e e ] [ ] [ j i j i e e j i j i e e j i j i 且且由于 的一个规范正交基为所以 R e e e e
95 ε ε ε ε 同理可知 的一个规范正交基也为 R
96 () 正交化 取 [ ] [ ] 求规范正交基的方法 (Schmidt 正交化方法 ) 的一个基是向量空间设 V 这个基规范正交化这个问题叫做把 e e e V 的一个与之等价的规范正交基求 ] [ ] [ ] [ ] [
97 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 两两正交等价且与那么 [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [
98 () 单位化 取 e e e 等价的规范正交基的一个与为则 e V e e 的过程称为向量组构造出正交上述由线性无关向量组 施密特正交化过程
99 例 用施密特正交化方法 将向量组 T T ( ) ( ) (5 正交规范化 解先正交化 取 ( ) T [ ] [ ] ( ) T ( ) T ( ) T ) T
100 e [ ] [ ] [ ] [ ] 8 T 5 ( ) T ( ) ( ) T ( ) T 再单位化 得规范正交向量组如下 e ( ) T ( ) T T T e T ( ) T
101 证明 E A A T E 定义 5 ( ) 为正交矩阵则称即满足阶方阵若 A A A E A A A T T 性质 () 为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交 A A 正交矩阵正交矩阵
102 ( ) E T T T E T T T T T T T T T ( ) ; j i j i j i ij j T i 当当 δ E
103 例 证明 R( A T A) R( A) 证 设 A 为 m 矩阵 为 维列向量 若 满足 A 则有 A T ( A) 即 ( A T A) ; T 若 满足 ( A A) 则有 T T ( A A) ( A) T ( A) 从而推知 A ; T 综上可知方程组 A 与 ( A A) 同解 R( A T A) R( A)
104 标准)正交基定正内夹范交念角数积欧氏空间概基五 小结(标定准理)正9 交
105 将一组基规范正交化的方法 : () 先用施密特正交化方法将基正交化 () 然后再将其单位化 A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 : T ( ) A A ; ( ) AA T E; ( ) A 的列向量是两两正交的单位向量 ; ( ) A 的行向量是两两正交的单位向量
106 解向量 m m m m 一 齐次线性方程组解的结构一 齐次线性方程组解的结构第六节线性方程组解的结构 是方程组的解若 ξ ξ ξ T ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ) ( 称为方程组的解向量
107 齐次线性方程组解的性质解的性质及解空间解空间 ) 若 ξ ξ 是 A 的解 则 ξ ξ也是 A 的解 证明 Q Aξ Aξ ( 记 S A ( ξ ξ ) Aξ Aξ ξ ξ 也是 A 的解 ( ) 若 ξ是 A 的解 证明 Q Aξ 集合 S 对于加法加法封闭 则对 k R kξ也是 A 的解 A( kξ ) kaξ k 集合 S 对于数乘数乘封闭 kξ也是 A 的解 { A } φ 称 S为 A 的解空间 要写出所有的解 只须知道解空间的一个基即可
108 二 齐次线性方程组的基础解系及其求法 如果 基础解系 设向量 η η 均为齐次线性方程组 A 的解 ( η t ) 向量组 η η ηt线性无关 ; ( ) A 的任一解都可由 η η η 线性表示 则称向量组 η η η t 为 A 的一个基础解系 若 η η η t 为 A 的一个基础解系 Sp[ η η ηt ] { cη cη ct t ci R 则 S { A } η 而 A 的通解为 c η cη c t ηt ci为任意常数 t }
109 齐次线性方程组基础解系的求法 对齐次线性方程组 A 设 R(A) A 不妨设 A 的前 个列向量线性无关
110 A 的一组值取定 个解 便可得到原方程组的一
111 分别代入 依次得 : 组值如下取定
112 ξ ξ ξ 从而求得原方程组的个解 :
113 ξ ξ ξ 从而求得原方程组的个解 : 的解均是向量 A ξ ξ ξ 线性无关向量组 ξ ξ ξ : 的一个基础解系是向量组要证 A ξ ξ ξ P79 推论
114 下面证明方程组的任一 解都可由 ξ ξ 设 ξ ) ( λ λ λ λ 为 A 的任意一个解 T ξ 线性表示 作 ξ ξ ξ 的线性组合 η λ λ ξ ξ λ ξ 由于 ξ ξ ξ 是方程组 A 的解 所以 η也是方程组 A 的解 下面来证明 ξ η
115 λ λ λ ξ λ ξ λ ξ λ η c c λ λ λ 都是方程 A 的解 与由于 η ξ 又等价于而 A
116 都是此方程组的解与所以 η ξ c c λ λ λ η λ λ λ λ λ ξ 由 c c λ λ 方程组
117 故 ξ η 即 ξ λ λ ξ ξ λ ξ 所以 ξ ξ 是齐次线性方程组解空间的一个基 说明 解空间的基不是唯一的 解空间的基又称为方程组的基础解系 若 ξ ξ ξ 是 A 的基础解系 则其通解为 k ξ k ξ k ξ 其中 k k k 是任意常数
118 定理 元齐次线性方程组 Am 的全体解所 构成的集合 S是一个向量空间 当系数矩阵的秩 R ( A) 时 解空间 S的维数为 当 R ( A) 时 方程组只有零解 故没有基础解系 ( 此时解空间只含一个零向量 );? 当 R( A) < 时 方程组必有由 个向量 构成的基础解系 ( 如 : ξ ξ ξ ) 此时 方程组 A 的通解可表示为 k ξ k ξ k ξ A 的解空间 : S { kξ kξ k k R}
119 例 求齐次线性方程组 的基础解系与通解 解 ~ A 对系数矩阵作初等行变换 变为行最简矩阵 有 A
120 便得 及令 及对应有 ξ 即得基础解系 ξ
121 ) ( R c c c c 并由此得到通解
122 例 解线性方程组 解 A 对系数矩阵施行初等行变换
123 ~ ( ) A R 5 即方程组有无穷多解 其基础解系中有三个线性无关的解向量 5 5 代入 6 6 ~ 5 令
124 所以原方程组的一个基础解系为 ξ 故原方程组的通解为 k k k ξ ξ ξ k k k 为任意常数其中 依次得 ξ ξ
125 三 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质 ( ) 设 η及 η都是 A 的解 则 η η 为对应的齐次方程 A 的解 证明 Q A η Aη A () 设 A 的解 则 ( η η ) η η是方程 A 的解 η是方程 A ξ η 仍是方程 证明 ( ξ η) ξ η Q A A 的解 A A ξ 是方程 的解 ξ η 是方程 A 的解
126 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 A 的通解为 k ξ ξ η k 其中 ξ ξ 是 A 的一个基础解系 η 是方程组 A 的任意一个特解 定理
127 与方程组 A 有解等价的命题 向量 能由向量组 线性表示 向量组 与向量组 等价 ; 线性方程组 A 有解 ( ) ( ) 矩阵 A 与矩阵 B 的秩相等 ;
128 线性方程组的解法 () 克莱姆法则 特点 : 只适用于系数行列式不等于零的方形线性方程组 计算量大 理论价值大于实用价值 () 初等变换法 特点 : 适用于方程组无解 唯一解 无穷多解的各种情形 运算在一个矩阵中进行 计算简单 是非常有效的方法 () 基础解系法 特点 : 解的结构清楚 计算简单 也是很好的方法
129 例 求解方程组 解对增广矩阵 B 施行初等行变换 : B ~
130 故方程组有解并有可见 ) ( ) ( B R A R 取 则即得方程组的一个解 η 中取组在对应的齐次线性方程
131 及 及则 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 ξ ξ
132 于是所求通解为 ) ( R c c c c
133 解 B 例 5 求下述方程组的解
134 6 7 ~ ( ) ( ) 知方程组有解由 B R A R ( ) A 又 R 所以方程组有无穷多解 且原方程组等价于方程组
135 求基础解系 5 令依次得 代入 令 得 求特解 / 9/ 5 * η
136 ξ ξ ξ 所以方程组的通解为故得基础解系 5
137 9 k k k 为任意常数其中 k k k 以前的解法 B
138 9 ~ 则原方程组等价于方程组 B
139 k k k 令得原方程组的通解为 9 k k k 为任意常数其中 k k k
140 齐次线性方程组基础解系的求法 A ~ () 对系数矩阵进行初等行变换 将其化为行最简形 A 四 小结
141 A 由于令 () 得出 同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量 ( ) A R
142 ξ ξ ξ 故 得为齐次线性方程组的一个基础解系
143 此时 方程组 A 的通解可表示为 k ξ k ξ k ξ 非齐次线性方程组通解的求法 非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系 该非齐次线性方程组的某个解 ( 特解 )
144 线性方程组解的情况 A 有解 A) ( ( ) 此时基础解系中含有 A 个解向量 R ( A) R( B) ( A) R( B) ( A) R( B) R R < R ( ) A A 有唯一解 R A 无解 有无穷多解
145 第四章典型问题 一 向量组线性相关性的判定 二 求向量组的秩 三 向量空间的判定 四 基础解系的计算与证明 返回
第三章自考线性代数精讲
第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结 思考题 6// 一 n 维向量的概念 定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的 n个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 6// 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 n
第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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. 高斯消元法. 矩阵的秩. 线性方程组解的判定 第二章 线性方程组 线性方程组的解取决于 n n nn n n n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L ( ),,,,, n j i ij L 系数 ( ),n,, i b i L 常数项回顾 : 根据克拉默法则 线性方程组的一般形式 L nn b L nn b LLLLLLLLLLLL m m L mnn bm,, L,
2003年
00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
学习指导（四）：欧氏空间
一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
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线性代数 课教案 学 期 :6 7 学年第一学期 学时 : 45 学时 系 ( 部 ): 基础部 教研室 : 理科教研室 授课教师 : 张焕玮 授课班级所 授课班级 授课班级 授课班级 在系 所在系 管理工程系管理工程系 6 物流管理 班 6 物流管理 4 班 第 次课教案 6 年 9 月 7 日星期三 章 节 : 第一章行列式 教学任务 :. 阶行列式的定义 使学生了解 阶行列式的定义, 会计算二阶和三阶行列式
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域在 V 上定义了一种加法运算 +, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α + β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素
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习题一
. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc
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四 教学内容及安排 第 1 章 行列式 了解行列式的定义和性质, 掌握 2 3 阶行列式的计算, 会计算较简单的 n 阶 行列式, 掌握 Cramer 法则 章节数 授课 实验 上机 讨论 作业 自学 综合 大作业 第 2 章 矩阵 理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运
线性代数与空间解析几何 I 课程教学大纲 英文名称 :Linear Algebra and GeometryI 课程编号 :MATH 1037 课内学时 :66( 理论学时 :62, 上机学时 :4) 学分 :4 适用对象 : 电气 电信 软件 理学 钱学森班等专业 先修课程 : 高等数学 使用教材及参考书 : (1) 魏战线 李继成编, 线性代数与解析几何 二版, 高等教育出版社, 2010 年
n 维实向量空间 R n 3 维欧 空间 R 3 n 维欧 空间 R n 线性空间 前 我们建 了 n 维实向量空间 R n 的概念, 但它还不是三维欧 空间的推, 因为它还缺少向量的长度 夹 垂直等 何概念 ( 何建立的早期目的就是讨论长度 夹角等度量性质 ) 长度 夹 这 个概念都可以由内积导出
Chapter 4 向量空间与线性变换 Linear Algebra November 24, 207 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 4 目录 R n 的基与向量关于基的坐标 2 2 R n 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 6 2 n 维实向量的内积, 欧 空间 6 22 标准正交基 8 23 施密特正交化 法 8 24 正交矩阵及其性质 2 3 线性空间的定义及简单性质 4 4 线性子空间
课程教学大纲 (course syllabus) practice link in the reform since 2000, this changes the traditional study mode and make the teaching method becomes vivid an
线性代数 (B 类 ) 课程教学大纲 课程基本信息 (Course Information) 课程代码 (Course Code) MA0014/MA077 * 学时 (Credit Hours) 48 * 学分 (Credits) * 课程名称 ( 中文 ) 线性代数 (B 类 ) (Course Name) ( 英文 )Linear Algebra (B class) 课程性质 (Course
新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念
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新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 考研数学 - 讲义 主讲 : 朱长龙 欢迎使用新东方在线电子教材 目 录 第一讲行列式... 第二讲矩阵... 9 第三讲向量... 第四讲线性方程组... 3 第五讲特征值和特征向量... 38 第六讲二次型... 43 新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容
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线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,
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Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
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复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基
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正整数 p, 都有 p 成立. 5. 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界. () 比较法 设 和 v 均为正项级数, 且 v (,, ), 如果级数 v 收敛, 则级数 也收敛 ; 如果级数 发散, 则级数 v 也
08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 级数的敛散性. 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散. 当级数 收敛时, 称极限值 lm S S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和.. 几个重要级数 () 几何级数 ( 等比级数 ) q 当 0 q 时收敛, 当 q 时发散. () p 级数
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第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
(5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 0 4 柯西收敛原理 级数 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的 正整数 p, 都有 p 成立 5 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数 正项级数
08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 两个重要极限 s lm ; lm 0 e ( 或 lm( ) e ) 0 考点 级数的敛散性 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散 当级数 收敛时, 称极限值 lm S 几个重要级数 S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和 () 几何级数 ( 等比级数
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行列式 2 零, 为什么消元法解方程时有的方程会被消掉. 最大无关组的概念才真正解释了, 为什么消元法解方程组时保留下来的方程个数是稳定不变的. 既然中心的议题是解方程组, 那么关于线性方程组解的理论要非常清楚, 比如 n r 的含义, 有解 无解的充要条件. 0.2 要点 TOP 0 下面的要点列
线性代数 ( 同济 5 版 ) 复习提要 黄正华 * 205 年 7 月 27 日 目录 0 全书总结 行列式 2 2 矩阵 线性方程组 5 4 向量组的线性相关性 7 5 相似矩阵及二次型 0 0 全书总结 如果非要给这本书加一个副标题, 我希望是 一个方程组引发的故事. 0. 全书概览我们现在使用的教材是工程数学 线性代数, 是线性代数学科比较基础的部分. 这一部分的中心是围绕 用高斯消元法求解线性方程组
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
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线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin:
Α? Β / Χ 3 Δ Ε/ Ε 4? 4 Ε Φ? ΧΕ Γ Χ Η ΙΙ ϑ % Η < 3 Ε Φ Γ ΕΙΙ 3 Χ 3 Φ 4 Κ? 4 3 Χ Λ Μ 3 Γ Ε Φ ) Μ Ε Φ? 5 : < 6 5 % Λ < 6 5< > 6! 8 8 8! 9 9 9! 9 =! = 9!
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Chapter3
第 讲线性空间与线性相关性 线性空间定义与性质 元素组的线性相关性 3 元素组间的线性表示 6:3 共 7 页 线性空间及其基本性质定义 设 V是一个非空集合, K是一个数域, 若 ( ) 存在 V中任意两个元素到 V中某个元素的对应, 即对 V中任意两元素, 在 V 中都有唯一的元素 γ 与它们对应 一般称该对应为加法 ( 运算 ), γ 称为 与 的和, 记做 γ = + 要求此加法满足 ( )
Microsoft Word - 线性代数概念定理公式大全_漆校,邹1校__2.doc
线性代数概念 定理 公式大全 第一章行列式. 二阶 三阶行列式. 二阶行列式 = -.. 主对角线从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线..3 副对角线从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线..4 对角线法则主对角线上两元素之积减去的副对角线上两元素之积所得的差..5 三阶行列式 3 3 3 3 33 = 33 + 3 3 + 3 3-3 3-33 - 3 3.. 全排列及其逆序数. 全排列
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2013年考研数学一试题答案.doc
年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,A 是 V 内一个线性变换 我们需要解决下面两个问题 : 决定 K 内所有 A 的特征值 λ 对于属于特征值 λ 的特征子空间 V λ, 找出它的一组基 我
矩阵对角化和 标准形 曾焰 版本, 最后修改于 摘要 蓝以中 关于矩阵对角化和 标准形的相关内容的摘要笔记 目录 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 实对称矩阵的对角化 矩阵的 标准形 幂零线性变换的 标准形 一般线性变换的 标准形 最小多项式 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法
Ψ! Θ! Χ Σ! Υ Χ Ω Σ Ξ Ψ Χ Ξ Ζ Κ < < Κ Ζ [Ψ Σ Ξ [ Σ Ξ Χ!! Σ > _ Κ 5 6!< < < 6!< < α Χ Σ β,! Χ! Σ ; _!! Χ! Χ Ζ Σ < Ω <!! ; _!! Χ Υ! Σ!!!! ββ /β χ <
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第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/104/161694025.jpg "Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]")
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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cos si A ; A si cos 解 由于对任意点 有 y y y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于 轴对称 的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于直线 y 对称的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y y 确定的
教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换 它有着深刻的几何学和物理学背景 是一个经常使用的数学工具 在数学理论研究和实际应用中起着重要作用 在这节中主要讲解以下几方面的内容 : 线性变换的概念 乘积变换和可逆变换的概念 ; 线性变换的矩阵表示 ; 在不同基下的表示矩阵之间的关系 ; 在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 线性空间与线性变换这部分内容 由于其抽象性较强
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
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7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
% & :?8 & : 3 ; Λ 3 3 # % & ( ) + ) # ( ), ( ) ). ) / & /:. + ( ;< / 0 ( + / = > = =? 2 & /:. + ( ; < % >=? ) 2 5 > =? 2 Α 1 Β 1 + Α
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一 根据所给图表，回答下列问题。
一 选择题 : () 下列结论中正确的是 ( ) 8 年考研数学模拟试题 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 版权所有翻印必究 (A) 若 f () 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (B) 若 f ( ) 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (C) 若 f ( ) 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (D) 若 f () 在 点处连续 则
ϑ 3 : Α 3 Η ϑ 1 Ι Η Ι + Ι 5 Κ ϑ Λ Α ΜΛ Ν Ν Ν Ν Α Γ Β 1 Α Ο Α : Α 3. / Π Ο 3 Π Θ
# % & ( ) +,& ( + &. / 0 1 2 3 ( 4 4 5 4 6 7 8 4 6 5 4 9 :.; 8 0/ ( 6 7 > 5?9 > 56 Α / Β Β 5 Χ 5.Δ5 9 Ε 8 Φ 64 4Γ Β / Α 3 Γ Β > 2 ϑ 3 : Α 3 Η ϑ 1 Ι Η Ι + Ι 5 Κ ϑ Λ Α ΜΛ Ν Ν Ν Ν 3 3 3 Α3 3
Β Χ Χ Α Β Φ Φ ; < # 9 Φ ; < # < % Γ & (,,,, Η Ι + / > ϑ Κ ( < % & Λ Μ # ΝΟ 3 = Ν3 Ο Μ ΠΟ Θ Ρ Μ 0 Π ( % ; % > 3 Κ ( < % >ϑ Κ ( ; 7
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线性代数 定义 三阶行列式的定义为 不难看出 三阶行列式共有 项 其中正 负项各为 项 每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积 确定每项的符号的法则是 当该项元素的行标按自然数顺序排列后 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号 是奇排列则取负号 例如 项 的列标 的逆序数为 为奇排列 所以此项符号
第 章 行 列 式 引 言 行列式的概念最早是在 世纪由日本数学家关孝和 约 提出来的 他在 年写了一部名为 解伏题之法 的著作 意思是 解行列式问题的方法 书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述 欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家 微积分学奠基人之一莱布尼兹! "#$% & 年 月 莱布尼兹在写给法国数学家洛比达 "'% 的一封信中使用了行列式 并给出了线性方程组的系数行列式为零的条件
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科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课教材系列 线性代数学习辅导 徐秀娟主编肖继先副主编何亚丽张帅佟玉霞参编 北京 内容简介 本书是与科学出版社 27 年出版的枟线性代数枠 ( 徐秀娟主编 ) 一书配套的学习辅导书, 按教材编排顺序逐章编写 每章包括目的与要求, 知识框图, 内容提要疑难问题解析, 方法 技巧与例题分析, 习题全解等内容 ; 包括对知识点的概括
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第六章 一阶偏微分方程
第六章一阶偏微分方程 主讲人 : 刘兴波 6. 微分方程组的首次积分 对于非线性微分方程组 d d d d d d f (,,, f(,,,,, 6. f (,,, 它没有一般的求解方法. 本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组 (6., 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关. 一 概念的引入 6. 求解方程组 d d dy d 解 : 将方程组中的两式相加得 d(
9 : : ; 7 % 8
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Laplace 定理 在行列式中, 任取 k 行, 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 93 7. Cramer 法则 二元线性方程组 若令 a x + a x = a x + a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a a D a a 11 12 = ( 方程组的系数行列式 21 22 方程组的系数行列式 ) D 1 = 1
8 8 Β Β : ; Χ; ; ; 8 : && Δ Ε 3 4Φ 3 4Φ Ε Δ Ε > Β & Γ 3 Γ 3 Ε3Δ 3 3 3? Ε Δ Δ Δ Δ > Δ # Χ 3 Η Ι Ι ϑ 3 Γ 6! # # % % # ( % ( ) + ( # ( %, & ( #,.
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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 2014 年 9 月 24 日星期三 徐乐 教师信息 电子工程学院 办公室电话 : 88204458 Email: 矩阵论 2 前言 矩阵理论是一门数学学科, 是众多理工学 科的重要数学工具 是目前非常活跃的经典数学基础课程 现代科技各领域处理有限维空间形式与数量关 系的强有力工具 计算机科学与工程计算的核心 矩阵运算与求解 矩阵理论有着广阔的应用前景 矩阵论 3 发展
< < ; : % & < % & > & % &? > & 5 % & ( ; & & % & Α Β + 8 ; Α9 Χ Δ () Χ Δ Ε 41 Φ # (Β % Γ : 9 Χ Δ Η +9 Χ Δ 2 9 Χ Δ 2 0 /? % & Ι 1 ϑ Κ 3 % & % & + 9 Β 9
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
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