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1 维向量 向量组的线性相关性 向量组的秩 维向量空间 5 欧氏空间 R 6 线性方程组解的结构 第四章 向量空间

2 第一节 维向量 一 维向量的概念 定义 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量 这 个数称为该向量的 个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量

3 例如 ( ) 维实向量 ( i i ( ) i) 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 个分量

4 二 维向量的表示方法 维向量写成一行 称为行向量 也就是行 T T 矩阵 通常用 T T β 等表示 如 : T ( ) T ( 5) T β ( 87)

5 维向量写成一列 称为列向量 也就是列矩阵 通常用等表示 如 : β 6 β T ) 6 (

6 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 ; 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 ; 当没有明确说明是行向量还是列向量时 默认向量类型为列向量 6

7 维向量的加法和数乘运算规律 向量加法 : 交换律 结合律数乘向量 : 结合律 分配律 ( 数的分配 向量的分配 ) ( )

8 解析几何 既有大小又有方向的量 几何形象 : 可随意平行移动的有向线段 系三 向量空间向 ( 坐标系量 ) 坐线性代数 有次序的实数组成的数组 代数形象 : 向量的坐标表示式 T ( )

9 解析几何 空 点空间 : 点的集合向量空间 : 向量的集合坐( 坐标间 ) 线性代数 几何形象 : 空间直线 曲线 空间平面或曲面 { } ( y z) y cz d 系系代数形象 : 向量空间中的平面 { y cz d} T ( y z) P( y z) 一一对应 ( y z) T

10 维向量的实际意义 确定飞机的状态 需要以下 6 个参数 : π π 机身的仰角 ϕ ( ϕ ) 机翼的转角 ψ ( π < ψ π ) 机身的水平转角 θ ( θ < π ) 飞机重心在空间的位置参数 P(yz) 所以 确定飞机的状态 需用 6 维向量 ( y z ϕ ψ θ )

11 四 小结 维向量的概念 实向量 复向量 ; 向量的表示方法 : 行向量与列向量 ; 向量空间 : 解析几何与线性代数中向量的联系与区别 向量空间的概念 ; 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用

12 第二节 向量组的线性相关性 一 向量 向量组与矩阵 若干个同维数的列向量 ( 或同维数的行向量 ) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵 A ( ij ) 有 个 m维列向量 m j j j A m m mj m 向量组 称为矩阵 A的列向量组

13 类似地 矩阵 A ( ij ) m 又有 m个 维行向量 A i T m i m i m T T i T m 向量组 T T T m 称为矩阵 A 的行向量组

14 反之 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵 m个 维列向量所组成的向量组 构成一个 m矩阵 m个 维行向量所组成 的向量组 β 构成一个 m A T T T β β m 矩阵 ( m ) B β β β m T T T m

15 例如例如 ( ) A () () () () t t t t t t t t B

16 线性方程组的向量表示 m m m m 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应

17 二 线性组合二 线性组合 线性表示线性表示 ) ( 组实数 对于任何一给定向量组 m m k k k A : 定义 个线性组合的系数称为这 m k k k 称为向量组的一个向量 m k m k k 线性组合

18 定义 给定向量组 A: 和向量 如果存在 一组数 k k k m 使 k k k m m 则向量 是向量组 A的线性组合 这时称向量 能由向量组 A线性表示或线性表出 m 有解 即线性方程组 m m

19 定理 维向量 β可由 维向量组 线性表示 线性方程组 K β有解 矩阵 A A ( ) 的秩等于矩阵 ( β) 的秩 m m m m m 条件是矩阵 B ( 向量 能由向量组 A线性表示的充分必要 A ( m ) 的秩等于矩阵 m ) 的秩

20 : m m m m k k k k k k A 使全为零的数如果存在不给定向量组注意 成立时才有则只有当线性无关若 λ λ λ λ λ 线性相关不是线性无关就是对于任一向量组定义 则称向量组是线性相关的 否则称它线性无关 三 线性相关性的概念 A

21 向量组只包含一个向量 时 若 线性相关 若 则说 线性无关 则说 量共面 包含零向量的任何向量组是线性相关的 5 对于含有两个向量的向量组 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例 几何意义 是两向量共线 ; 三个向量相关的几何意义是三向

22 线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的 这时称方程组 ( 各个方程 ) 是线性相关的 ; 当方程组中没有多余方程 就称该方程组 ( 各个方程 ) 线性无关 ( 或线性独立 ) 结论 向量组 A线性相关就是齐次线性方程组 有非零解 其中 A ( m m 即 A m )

23 7 5 的线性相关性 试讨论向量组 已知例 解 : 方法 判断齐次线性方程组是否有非零解 方法 直接由向量组形成的矩阵判断该矩阵所对应的齐次方程组解的情况

24 设有 使 ) ( ) ( ) ( 即 ) ( ) ( ) 亦即 ( 线性无关 故有 因 证 线性无关试证线性无关已知向量组 例

25 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 线性无关 所以向量组

26 课本上例 5 结论 向量组 B 量组 B () 若向量组 : m A: m 也线性相关 反言之 若向 线性无关 则向量组 A也线性无关 m 线性相关 则

27 四 小结 向量 向量组与矩阵之间的联系 线性方程组的向量表示 ; 线性组合与线性表示的概念 ; 线性相关与线性无关的概念 ; 线性相关性在线性方程组中的应用 ;( 重点 )

28 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 ; 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 ; 当没有明确说明是行向量还是列向量时 默认向量类型为列向量 6

29 五 线性相关性的判定 定理 对于向量组 A : m 记 A ( 则 : A线性相关的充要条件是 R(A) < m A线性无关的充要条件是 R(A) m 证明 : 向量组 A 线性相关充要条件是 A 有非零解 A 有非零解的充要条件是 R(A)<m 向量组 A 线性无关充要条件是 A 只有零解 m ) A 只有零解的充要条件是 R(A)m 证毕

30 定理 的三个推论 : 推论 设 A为 阶方阵 则 A的列向量组线性相关的充要条件是 A的行列式等于零 推论 当 m 时 m个 维向量组成的向量组 m一定线性相关 推论 设有两个向量组 T T : ( ) ( j K m) j j j j T T : ( ) ( j K m) β j j j j j j 若向量组 T线性无关 则向量组 T 也线性无关 ; 若向量组 T 线性相关 则向量组 T也线性相关

31 例 维向量组 T T ( ) e ( ) e ( ) T e 称为 维单位坐标向量组 讨论其线性相关性 解 法 维单位坐标向量组构成的矩阵 E 是 阶单位矩阵 ( e e e) 显然 R ( E) 即 R( E) 等于向量组中向量个数 故由定理向量组是线性无关的 知此 法 利用线性相关性的定义

32 7 5 的线性相关性及试讨论向量组 ) ( 施行行初等变换对矩阵 例 设分析化为行阶梯形矩阵 ) ( ) ( 的秩及便可同时看出矩阵 利用定理 即可得出结论

33 7 5 ) ( ~ K )) (( < R )) (( 线性无关向量组 R 向量组 线性相关 ; 7 5 的线性相关性及试讨论向量组 解例 设

34 定理 证明 向量组 K ( m ) 线性相关的充要条件是 m K m 中至少有一个向量 可由其它 m 个向量线性表示 充分性必要性设 可由 K m 线性相关 m线性表示 则存在不全为零的数即存在一组数 k k 使得 k 使得 k k K k m m k k k m m k k k m m 不妨设 k ( ) k k kk k m k 则 ( ) ( ) ( m k k k m 线性相关 即 可由 m线性表示 ) m m

35 : : () 线性表示且表示式是唯一的必能由向量组线性相关则向量组线性无关而向量设向量组 A B A m m 定理 证明 : 线性相关组 B m Q 存在不全为零的数 使得 k k k m k k k k m m 线性无关 m Q ; ) ( ) ( ) ( m m k k k k k k k m m λ λ λ 设 m m μ μ μ ) ( ) ( ) ( m m m λ μ λ μ λ μ 线性无关 m Q m μ m λ λ μ

36 第三节 向量组的秩 一 向量组的等价 定义设有两个向量组 A : m 与 B : β β β 若向量组 B 中的向量均可由向量组 A 线性表示 则称向量组 B 可由向量组 A 线性表示 ; 若向量组 A 与向量组 B 可以相互线性表示 则称向量组 A 与向量组 B 等价 性质 : 反身性 对称性 传递性

37 线性表示中的系数矩阵 K 使在数存线性表示 即对每个向量能由设有两个向量组 ) ( : ; : mj j j j s m k k k s j A B B A m k m k k m k m k k m mj j j j k k k m ms s s s k k k mj j j m j k k k ) ( k m k k k m k k ms s s k k k K K m s ) ( ) (

38 AB 若矩阵 C s s s s c c c ) ( ) ( 的列向量组线性表示 的列向量组能由则 A C B 为这一表示的系数矩阵 s s m m B A C 设

39 T s T T ms m m s s T m T T β β β γ γ γ C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示 s s m m B A C 类似地 若下面介绍一个定理及其两个推论 A 为这一表示的系数矩阵

40 定理 5 若向量组 T: m可由向量组 T : β β β 线性表示 则 T 线性相关 推论 若向量组 T: m可由向量组 T : β β β 线性表示 且 T 线性无关 则 m 推论 若两个线性无关向量组等价 则它们 所包含的向量的个数相等

41 定理 6 矩阵 A经初等行变换化为矩阵 B 则 A与 B 的任何对应的列向量构成的列向量组有 相同的线性组合关系

42 二 最大线性无关组 定义 5 () 向量组 A : 线性无关 ; () 向量组 A中任意 ( 若有 ) 个向量线性相关 ; 则称向量组 向量组 A 设有向量组 A : i 如果在向量组 A中存在 个向量 满足 A ( 简称最大无关组 ) 定义 6 是向量组 A的一个最大线性无关组 向量组 A 中所含向量的个数 称为向量组的秩 m的秩记作 R( m ) R( A) : 只含 向量的向量组的秩规定为

43 设 例如 的一个最大无关组是向量组证明 : A 证明 ~ ) ( Q A ) ( A R 线性无关向量组 性相关 个向量构成的向量组线又 Q 任意 是一个最大无关组

44 三 矩阵的秩与向量组的秩的关系 定理 7 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于 它的行向量组的秩 证 设 A ( m ) R(A) 并设 阶子式 D 则 D 所在的 列线性无关 又由 A 中所有 ( 若有 ) 阶子式均为零 知 A 中任意 ( 若有 ) 个列向量都线性相关 因此 D 所在的 列是 A 的列向量组的一个最大无关组 ) 所以列向量组的秩等于 R(A 类似可证 A的行向量组的秩也等于 R(A)

45 例 : 已知向量组 A 的一个最大无关组 的秩并求求向量组 A A 的一个最高阶非零子式 则 : 是矩阵若 A D 重要推论 ( 最大无关组的求法 ) D 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组 D 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组

46 例 : 已知向量组 A 的一个最大无关组 的秩并求求向量组 A A 解 : ) ( A 记 ~ K (A) ) ( R R 又 Q 是向量组 A 的最大线性无关组

47 所以 : ( ) 一般地 最大无关组不唯一 但所含向量个数相同 证明 : 课本 P8 ( ) 向量组与它的最大无关组是等价的 证 设向量组 A : 是向量组 A : m 的一个最大无关组 显然 向量组 A 可以由向量组 A线性表示 由最大无关组的定义 知 向量组 A可以由向量组 A 线性表示 所以 向量组 A 与向量组 A等价 ( ) 一个向量组的两个不同最大无关组是等价的

48 例 全体 维向量构成的向量组记作 R 一个最大无关组及 R 的秩 求 R 的 解 因为 维单位坐标向量构成的向量组 E 是线性无关的 : e e e 又 Q R 中的任意 个向量都线性相关 因此向量组 E是 R 的一个最大无关组 且 R 的秩等于

49 A 设矩阵例 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组 并把不 ) ( 5 记 A

50 行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A 知 ) ( A R ) ( 5 A 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关组含 个向量 元在 三列 而三个非零行的非零首 无关组为列向量组的一个最大故 解 5 成行最简形矩阵再变线性表示将用为了把 A

51 ) ( ~ 5 初等行变换 A 5 即得初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系初等行变换保持矩阵列向量组间的线性关系 初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系初等列变换保持矩阵行向量组间的线性关系 5

52 定理 8 证明 若向量组 T 可由向量组 T 线性表示 则向量组 T 的秩不超过向量组 T 的秩 不妨设向量组 T 和向量组 T 的极大线性无关组分别为 : () Ι ; 和 ( ΙΙ) β β β 向量组 (I) 可由向量组 T 线性表示 ; 向量组 T 可由向量组 T 线性表示 ; 向量组 T 可由向量组 (II) 线性表示 所以由向量组的线性表示的可传递性 向量组 (I) 可由向量组 (II) 线性表示 由定理 5 的推论 得到 : s 即 向量组 T 的秩不超过的向量组 T 秩 s

53 定理 8 推论 若向量组 T 可由向量组 T 线性表示 则向量组 T 的秩不超过向量组 T 的秩 等价向量组的秩相等 证 设向量组 A 与向量组 B的秩依次为 s和 因两个向量组等价 即两个向量组能相互线性表示 故 s 与 s同时成立 推论 RAB ( ) mi RA ( ) RB ( ) { }

54 四 小结 最大线性无关组的概念 : 最大性 线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系 : 矩阵的秩 矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论 : 定理 8 推论 推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法 : 将向量组中的向量作为列向量作为列向量构成一个矩阵 然后进行初等行变换

55 第四节 维向量空间 一 向量空间的概念 定义 7 设 V 是 维向量构成的非空集合 且满足 () 对 β V 有 β V () 对 V 任意数 k有 k V V 那么就称集合是一个向量空间 说明 集合 V对于加法及乘数封闭是指 : 若 V β V 则 β V; 若 V λ R 则 λ V

56 例 证明 : 维向量的全体 R 是一个向量空间 Q () R 非空 () β R 有 β R () k R R 有 k R R 是一个向量空间 类似地 维向量的全体 R 也是一个向量空间 向量空间必含零向量

57 例 判别下列集合是否为向量空间 V { ( ) T R} 解 有 显然 V 由 维向量构成的集合 非空 又 Q对于 V的任意两个元素 ( ) T ( ) T β ( ) V β T R ( λ λ ) V ( ) λ λ V 是向量空间 T V

58 例 判别下列集合是否为向量空间 V { ( ) T R} 解 因为 对于 T V ( ) T V 有 ( ) V 不是向量空间

59 例 设 为两个已知的 维向量 集合 V { } λ μ λ μ R 试判断集合是否为向量空间 解 Q λ μ V λ V k μ R 有 ( λ λ ) ( μ μ ) V k ( kλ) ( kμ) V 又 V φ( Qθ V ) V 是向量空间 这个向量空间称为由向量 所生成的向量空间 记作 ( )

60 μ c μ kc d λ λ ( ) c ( ) { λ μλ R} { } μ λ μ kc λμ k R

61 间为 例 5 V V 一般地 由向量组 m 所生成的向量空 V 试证 : V { } λ λ λmm λ λ λm 设向量组 R { } { } λ V μ 记作 λ μ V m m [ ] 与向量组 λ m s μ m s 等价 记 λ λ λ s s m μ μ μ 证设 V 则 可由 m线性表示 因 可由 线性表示 故 可由 s m s 线性表示 所以 V V V 同理可证 : V V V V R R

62 二 子空间 定义 8 设 V V都是向量空间 若 V V 则称 V 是 V的子空间 例 V { ( ) T R} QV R V是向量空间 V 是 R 的子空间

63 三 向量空间的基与维数 定义 9 设 V 是一个向量空间 若 个向量 满足 ) 线性无关 ; ( V ) V中任一向量都可由 线性表示 ( 则称向量组 是 V的一个基 称为 V 的维数 并称 V为 维向量空间

64 说明 () 只含有零向量的向量空间称为 维向量空间 它没有基 () 若把向量空间 V 看作向量组 那末 V 的基就是向量组的最大线性无关组 V 的维数就是向量组的秩 () 若向量组 是向量空间 V的一个基 则 V 可表示为 V λ λ λ λ λ { } R [ ] 课本 P86 例 6

65 ) ( A ) ( B 线性表示用这个基的一个基 并把是验证 R 例 6 设矩阵设矩阵 ( B) A 解

66 的一个基 且为 故因有 ~ R E A ) ( ~ 初等行变换 B A

67 四 向量在基下的坐标 设 m是 m维向量空间 V的一组基 定义 对 β V 有 β m m 那么组合系数 ( ) 称为 β在基 T m 下的坐标 m 构成的向量 向量空间 V 的基确定之后 V 中向量在该基下的坐标是唯一的 m

68 例 7 T 在 下的坐标为 :( - -) T 在 下的坐标为 :( )

69 五 基变换公式与过渡矩阵 问题 : 在 维线性空间 V中 任意 个线性无关的向量都可以作为 V的一组基 对于不同的基 同一个向量的坐标是不同的 那么 同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢? 换句话说 随着基的改变 向量的坐标如何改变呢?

70 两个基且有的是线性空间及设 V β β β p p p p p p p p p β β β 称此公式为基变换公式

71 p p p p p p p p p β β β 由于 p p p p p p p p p β β β T P

72 ( β β β ) ( )P 在基变换公式 基变换公式 ( ) ( ) β β β P 中 矩阵 P 称为由基 到基 β β β的过渡矩阵 过渡矩阵 P是可逆的

73 过渡矩阵 P 就建立了向量空间 V 中的两组基之间的关系作为过渡矩阵 P 具有如下关系 : () 满足基变换公式的矩阵 P 的第 j 列是 β j 在基 下的坐标 m () 由于基是线性无关的 因而 P 是可逆矩阵 而且 P - 是从 m到 的过渡矩阵 β β β m

74 六 坐标变换公式 定理 为 设 V ( 在基 β β β 下的坐标为 ( ' 若两个基满足关系式 中的元素 在基 下的坐标 ' ( β β β ) ( )P ') ) T T

75 则有坐标变换公式 ' ' ' P ' ' ' P 或

76 证明 ( ) Q ( ) ' ' ' β β β ( ) ( )P β β β ( ) ( ) ' ' ' P

77 ' ' ' P 即 ' ' ' P P 可逆所以由于矩阵例 8 P89

78 七 小结 向量空间的概念 : 向量的非空集合对加法及数乘两种运算封闭 ; 由向量组生成的向量空间 子空间的概念 向量空间的基和维数 : 求向量空间基和维数的方法 向量在基下的坐标

79 基变换公式 p p p p p p p p p β β β ( ) ( )P β β β

80 坐标变换公式 ' ' ' P 或 ' ' ' P

81 念回 顾 向量组向量空间概向量组的秩极大无关组概念欧氏空间 R 间第五节向量空间空子维基数

82 定义 维向量设有 y y y y 的内积与为称 y y y y 一 内积的定义及性质 ) ( y y y y 即定义了内积的向量空间 R 称为欧几里得空间 简称欧氏空间 ) ( y 记做 :

83 欧几里得 在差不多一百年前 几何就是欧几里德 公元前 年 ~ 前 75 年 是古希腊数学家 以 几何原本 闻名于世 它的基本原理和定理直到现在仍是科学教科书的一部分

84 一句箴言 : 公元前 年左右 在托勒密王 ( 公元前 6~ 前 8) 的邀请下 来到亚历山大 长期在那里工作 他是一位温良敦厚的教育家 对有志数学之士 总是循循善诱 但反对不肯刻苦钻研 投机取巧的作风 也反对狭隘实用观点 据普罗克洛斯 ( 约 ~85) 记载 托勒密王曾经问欧几里得 除了他的 几何原本 之外 还有没有其他学习几何的捷径 欧几里得回答说 : 在几何里 没有专为国王铺设的大道 这句话后来成为传诵千古的学习箴言

85 ( y ) y y y 例 T T 设 ( ) y () 求 ( y) 解 ( y) ( ) 说明 如果 y都是列向量 内积可用矩阵记号表示为 : ( y) T y

86 内积的运算性质 其中 y z为 维向量 λ为实数 : ( ) ( y) ( y ) ( ) ( λ y) λ( y) ( ) ( y z) ( z) ( y z) ( ) ( ) 且当 时有 ( ) > (5) 柯西 施瓦茨性质 ( y) ( )( y y)

87 二 向量的长度及性质 定义 设 ( ) T 令 称 T ( ) 为 维向量 的长度 ( 或范数 ) 向量的长度具有下述性质 : 非负性 当 时 > ; 当 时 ; 齐次性 λ λ ; 三角不等式 y y

88 单位向量及 维向量间的夹角 () 当 时 称 为单位向量 定义 ( ) 当 y 时 θ 称为 维向量 与 y的夹角 ccos ( y) y 例 T T ( ) 与 ( 5) 的夹角 求向量 β 解 Qcos θ π θ [ β ] β 8 6

89 三 正交向量组的概念及求法 正交的概念 当 ( y) 时 称向量 与 y 正交 例如 由定义知 若 则 与任何向量都正交 正交向量组的概念 若 T 设 ( ) y () ( y) Q 向量 与 y正交 ) 向量 均非零向量 ( ) 向量 两两正交 ( m 则称向量组 是一个正交向量组 m m T

90 正交向量组的性质 定理 若 维向量组 是一个正交向量组 则 线性无关 证明 设有 λ λ λ 使 λ λ λ 以 左乘上式两端 得 λ T T 由 T 从而有 λ 同理可得 λ λ 故 线性无关

91 向量空间的正交基 若 ( ) 是向量空间 V的一个基 ( ) 是一个正交向量组 则称 是向量空间 V的一个正交基 例 已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使 构成三维空间的一个正交基

92 即 ) ( ) ( 解之得 令 则有 由上可知构成三维空间的一个正交基 则有 ) ( ) ( 解 ( ) 正交且分别与设 T T T ) ( ) (

93 5 标准 ( 规范 ) 正交基 e e e e 例如定义 ) ( 的一个基是向量空间若 V e e e ) ( 是一个正交向量组 e e e ) ( 均是单位向量 e e e 的一个规范正交基是向量空间则称 V e e e

94 e e e e ] [ ] [ j i j i e e j i j i e e j i j i 且且由于 的一个规范正交基为所以 R e e e e

95 ε ε ε ε 同理可知 的一个规范正交基也为 R

96 () 正交化 取 [ ] [ ] 求规范正交基的方法 (Schmidt 正交化方法 ) 的一个基是向量空间设 V 这个基规范正交化这个问题叫做把 e e e V 的一个与之等价的规范正交基求 ] [ ] [ ] [ ] [

97 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 两两正交等价且与那么 [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [

98 () 单位化 取 e e e 等价的规范正交基的一个与为则 e V e e 的过程称为向量组构造出正交上述由线性无关向量组 施密特正交化过程

99 例 用施密特正交化方法 将向量组 T T ( ) ( ) (5 正交规范化 解先正交化 取 ( ) T [ ] [ ] ( ) T ( ) T ( ) T ) T

100 e [ ] [ ] [ ] [ ] 8 T 5 ( ) T ( ) ( ) T ( ) T 再单位化 得规范正交向量组如下 e ( ) T ( ) T T T e T ( ) T

101 证明 E A A T E 定义 5 ( ) 为正交矩阵则称即满足阶方阵若 A A A E A A A T T 性质 () 为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交 A A 正交矩阵正交矩阵

102 ( ) E T T T E T T T T T T T T T ( ) ; j i j i j i ij j T i 当当 δ E

103 例 证明 R( A T A) R( A) 证 设 A 为 m 矩阵 为 维列向量 若 满足 A 则有 A T ( A) 即 ( A T A) ; T 若 满足 ( A A) 则有 T T ( A A) ( A) T ( A) 从而推知 A ; T 综上可知方程组 A 与 ( A A) 同解 R( A T A) R( A)

104 标准)正交基定正内夹范交念角数积欧氏空间概基五 小结(标定准理)正9 交

105 将一组基规范正交化的方法 : () 先用施密特正交化方法将基正交化 () 然后再将其单位化 A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 : T ( ) A A ; ( ) AA T E; ( ) A 的列向量是两两正交的单位向量 ; ( ) A 的行向量是两两正交的单位向量

106 解向量 m m m m 一 齐次线性方程组解的结构一 齐次线性方程组解的结构第六节线性方程组解的结构 是方程组的解若 ξ ξ ξ T ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ) ( 称为方程组的解向量

107 齐次线性方程组解的性质解的性质及解空间解空间 ) 若 ξ ξ 是 A 的解 则 ξ ξ也是 A 的解 证明 Q Aξ Aξ ( 记 S A ( ξ ξ ) Aξ Aξ ξ ξ 也是 A 的解 ( ) 若 ξ是 A 的解 证明 Q Aξ 集合 S 对于加法加法封闭 则对 k R kξ也是 A 的解 A( kξ ) kaξ k 集合 S 对于数乘数乘封闭 kξ也是 A 的解 { A } φ 称 S为 A 的解空间 要写出所有的解 只须知道解空间的一个基即可

108 二 齐次线性方程组的基础解系及其求法 如果 基础解系 设向量 η η 均为齐次线性方程组 A 的解 ( η t ) 向量组 η η ηt线性无关 ; ( ) A 的任一解都可由 η η η 线性表示 则称向量组 η η η t 为 A 的一个基础解系 若 η η η t 为 A 的一个基础解系 Sp[ η η ηt ] { cη cη ct t ci R 则 S { A } η 而 A 的通解为 c η cη c t ηt ci为任意常数 t }

109 齐次线性方程组基础解系的求法 对齐次线性方程组 A 设 R(A) A 不妨设 A 的前 个列向量线性无关

110 A 的一组值取定 个解 便可得到原方程组的一

111 分别代入 依次得 : 组值如下取定

112 ξ ξ ξ 从而求得原方程组的个解 :

113 ξ ξ ξ 从而求得原方程组的个解 : 的解均是向量 A ξ ξ ξ 线性无关向量组 ξ ξ ξ : 的一个基础解系是向量组要证 A ξ ξ ξ P79 推论

114 下面证明方程组的任一 解都可由 ξ ξ 设 ξ ) ( λ λ λ λ 为 A 的任意一个解 T ξ 线性表示 作 ξ ξ ξ 的线性组合 η λ λ ξ ξ λ ξ 由于 ξ ξ ξ 是方程组 A 的解 所以 η也是方程组 A 的解 下面来证明 ξ η

115 λ λ λ ξ λ ξ λ ξ λ η c c λ λ λ 都是方程 A 的解 与由于 η ξ 又等价于而 A

116 都是此方程组的解与所以 η ξ c c λ λ λ η λ λ λ λ λ ξ 由 c c λ λ 方程组

117 故 ξ η 即 ξ λ λ ξ ξ λ ξ 所以 ξ ξ 是齐次线性方程组解空间的一个基 说明 解空间的基不是唯一的 解空间的基又称为方程组的基础解系 若 ξ ξ ξ 是 A 的基础解系 则其通解为 k ξ k ξ k ξ 其中 k k k 是任意常数

118 定理 元齐次线性方程组 Am 的全体解所 构成的集合 S是一个向量空间 当系数矩阵的秩 R ( A) 时 解空间 S的维数为 当 R ( A) 时 方程组只有零解 故没有基础解系 ( 此时解空间只含一个零向量 );? 当 R( A) < 时 方程组必有由 个向量 构成的基础解系 ( 如 : ξ ξ ξ ) 此时 方程组 A 的通解可表示为 k ξ k ξ k ξ A 的解空间 : S { kξ kξ k k R}

119 例 求齐次线性方程组 的基础解系与通解 解 ~ A 对系数矩阵作初等行变换 变为行最简矩阵 有 A

120 便得 及令 及对应有 ξ 即得基础解系 ξ

121 ) ( R c c c c 并由此得到通解

122 例 解线性方程组 解 A 对系数矩阵施行初等行变换

123 ~ ( ) A R 5 即方程组有无穷多解 其基础解系中有三个线性无关的解向量 5 5 代入 6 6 ~ 5 令

124 所以原方程组的一个基础解系为 ξ 故原方程组的通解为 k k k ξ ξ ξ k k k 为任意常数其中 依次得 ξ ξ

125 三 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质 ( ) 设 η及 η都是 A 的解 则 η η 为对应的齐次方程 A 的解 证明 Q A η Aη A () 设 A 的解 则 ( η η ) η η是方程 A 的解 η是方程 A ξ η 仍是方程 证明 ( ξ η) ξ η Q A A 的解 A A ξ 是方程 的解 ξ η 是方程 A 的解

126 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 A 的通解为 k ξ ξ η k 其中 ξ ξ 是 A 的一个基础解系 η 是方程组 A 的任意一个特解 定理

127 与方程组 A 有解等价的命题 向量 能由向量组 线性表示 向量组 与向量组 等价 ; 线性方程组 A 有解 ( ) ( ) 矩阵 A 与矩阵 B 的秩相等 ;

128 线性方程组的解法 () 克莱姆法则 特点 : 只适用于系数行列式不等于零的方形线性方程组 计算量大 理论价值大于实用价值 () 初等变换法 特点 : 适用于方程组无解 唯一解 无穷多解的各种情形 运算在一个矩阵中进行 计算简单 是非常有效的方法 () 基础解系法 特点 : 解的结构清楚 计算简单 也是很好的方法

129 例 求解方程组 解对增广矩阵 B 施行初等行变换 : B ~

130 故方程组有解并有可见 ) ( ) ( B R A R 取 则即得方程组的一个解 η 中取组在对应的齐次线性方程

131 及 及则 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 ξ ξ

132 于是所求通解为 ) ( R c c c c

133 解 B 例 5 求下述方程组的解

134 6 7 ~ ( ) ( ) 知方程组有解由 B R A R ( ) A 又 R 所以方程组有无穷多解 且原方程组等价于方程组

135 求基础解系 5 令依次得 代入 令 得 求特解 / 9/ 5 * η

136 ξ ξ ξ 所以方程组的通解为故得基础解系 5

137 9 k k k 为任意常数其中 k k k 以前的解法 B

138 9 ~ 则原方程组等价于方程组 B

139 k k k 令得原方程组的通解为 9 k k k 为任意常数其中 k k k

140 齐次线性方程组基础解系的求法 A ~ () 对系数矩阵进行初等行变换 将其化为行最简形 A 四 小结

141 A 由于令 () 得出 同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量 ( ) A R

142 ξ ξ ξ 故 得为齐次线性方程组的一个基础解系

143 此时 方程组 A 的通解可表示为 k ξ k ξ k ξ 非齐次线性方程组通解的求法 非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系 该非齐次线性方程组的某个解 ( 特解 )

144 线性方程组解的情况 A 有解 A) ( ( ) 此时基础解系中含有 A 个解向量 R ( A) R( B) ( A) R( B) ( A) R( B) R R < R ( ) A A 有唯一解 R A 无解 有无穷多解

145 第四章典型问题 一 向量组线性相关性的判定 二 求向量组的秩 三 向量空间的判定 四 基础解系的计算与证明 返回