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尹酆
5 years ago
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1 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ: 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一选择题 ( 本题共小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后括号内 ) + () 当时, 与等价的无穷小量是 ( ) + A. e B. l C. + D. cos () 曲线 y= l( e + + ), 渐近线的条数为 ( ) A. B. C. D. () 如图, 连续函数 y=f() 在区间 [-,-],[,] 上的图形分别是直径为的上下半圆周, 在区间 [-,],[,] 的图形分别是直径为的上下半圆周, 设 F()= f () tdt. 则下列结论正确的是 ( ) A. F()= ( ) 4 F () 4 F C. F()= () 4 F 5 ( ) 4 F (4) 设函数 f() 在 = 处连续, 下列命题错误的是 ( ) f ( ) f ( ) + f( ) A. 若 lim 存在, 则 f()= B. 若 lim 存在, 则 f()= f ( ) f ( ) f( ) C. 若 lim 存在, 则 f ' () = D. 若 lim 存在, 则 f ' () = (5) 设函数 f() 在 (, + ) 上具有二阶导数, 且 f "( ) > o, 令 u =f()=,,.., 则下列结论正确的是 ( ) A. 若 u > u, 则 { u } 必收敛 B. 若 u > u, 则 { u } 必发散 C. 若 u < u, 则 { u } 必收敛 D. 若 u < u, 则 { u } 必发散 (6) 设曲线 L:f(, y) = (f(, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第 Ⅱ 象限内的点 M 和第 Ⅳ 象限内的点 N,T 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧, 则下列小于零的是 ( ) A. (, yd ) B. (, ) r f ydy C. (, ) r f yds D. ' (, ) ' (, ) r f yd + f y ydy 梦飞翔考研工作室 QQ:8 (7) 设向量组 α, α, α 线形无关, 则下列向量组线形相关的是 : ( ) (A) α α, α α, α α (B) +, +, + (C) α α α α α α α α, α α, α α (D) α + α, α+ α, α+ α (8) 设矩阵 A=,B=, 则 A 于 B ( ) r

2 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 (A) 合同, 且相似 (B) 合同, 但不相似 (C) 不合同, 但相似 (D) 既不合同, 也不相似 (9) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 p( p ) 4 次射击恰好第次命中目标的概率为 : ( ) (A) p( p) (B) 6 p( p) (C) p ( p) (D) 6 p ( p) < <, 则此人第 () 设随即变量 (X,Y) 服从二维正态分布, 且 X 与 Y 不相关, fx( ), fy( y ) 分别表示 X,Y 的概率密度, 则在 Y=y 的条件下,X 的条件概率密度 fx Y( y ) 为 ( ) (A) fx( ) (B) fy( y ) f (C) fx( ) fy( y ) (D) f X Y ( ) ( y) 二. 填空题 :-6 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 () ed=. () 设 f ( uv, ) 为二元可微函数, ( y z z = f, y ), 则 =. () 二阶常系数非齐次线性方程 y '' 4 y' + y = e 的通解为 y=. (4) 设曲面 : + y + z =, 则 ( + y ) ds=. (5) 设矩阵 A=, 则 A 的秩为. Ò (6) 在区间 (,) 中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于的概率为. 三. 解答题 :7~4 小题, 共 86 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 梦飞翔考研工作室 QQ:8 (7)( 本题满分分 ) 求函数 f y y y 在区域 D y y y 上的最大值和最小值 (, ) = + = {(, ) + 4, }

3 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 (8)( 本题满分分 ) 计算曲面积分 I = zdydz + ydzd + yddy, y 其中为曲面 z = ( z ) 的上侧. 4 (9)( 本题是分 ) 设函数 f( ), g( ) 在 [ ab, ] 上连续, 在 ( ab, ) 内二阶导数且存在相等的最大值, f a = g a f b = g b 证明 : 存在 ξ a b, 使得 f ξ = g ξ '' '' ( ) ( ), ( ) ( ) (, ) ( ) ( ). ()( 本题满分分 ) 设幂级数 a在 (, + ) 内收敛, 其和函数 y ( ) 满足 = '' ' ' y y 4y =, y() =, y () = () 证明 a+ = a, =,, L ; + () 求 y ( ) 的表达式. ()( 本题满分分 ) + + = 设线性方程组 + + a = () a = 与方程 + + = a () 有公共解, 求 a的值及所有公共解. () 设阶对称矩阵 A 的特征向量值 λ =, λ =, λ =, α = (,,) T 是 A 的属于 λ 的 5 一个特征向量, 记 B = A 4A + E其中 E 为阶单位矩阵 ( I ) 验证 α 是矩阵 B 的特征向量, 并求 B 的全部特征值的特征向量 ; ( II ) 求矩阵 B. 梦飞翔考研工作室 QQ:8 () 设二维变量 (, y ) 的概率密度为 ( I ) 求 PX { > Y} ; ( II ) 求 z = X + Y 的概率密度. y < <,< y < f(, y) = 其他

4 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 (4) 设总体 X 的概率密度为 < < θ θ f (, θ) = θ < ( θ ) 其他 X, X, X 是来自总体 X 的简单随机样本, X 是样本均值 ( I ) 求参数 θ 的矩估计量 ; ( II ) 判断 4X 是否为 θ 的无偏估计量, 并说明理由. 梦飞翔考研工作室 QQ:8

5 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ: 年考研数学一真题解析一选择题 ( 本题共小题, 每小题 4 分, 满分 4 分, 在每小题给的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后括号内 ) + () 当时, 与等价的无穷小量是 (B) + A. e B. l C. + D. cos () 曲线 y= l( e + + ), 渐近线的条数为 (D) A. B. C. D. () 如图, 连续函数 y=f() 在区间 [-,-],[,] 上的图形分别是直径为的上下半圆周, 在区间 [-,],[,] 的图形分别是直径为的上下半圆周, 设 F()= f () tdt. 则下列结论正确的是 (C) A. F()= ( ) 4 F B. F()=5 () 4 F C. F()= + () 4 F D. F()= 5 ( ) 4 F (4) 设函数 f() 在 = 处连续, 下列命题错误的是 (C) f ( ) f ( ) + f( ) A. 若 lim 存在, 则 f()= B. 若 lim 存在, 则 f()= f ( ) f ( ) f( ) C. 若 lim 存在, 则 f ' () = D. 若 lim 存在, 则 f ' () = (5) 设函数 f() 在 (, + ) 上具有二阶导数, 且 f "( ) > o, 令 u =f()=,,.., 则下列结论正确的是 (D) A. 若 u > u, 则 { u } 必收敛 B. 若 u > u, 则 { u } 必发散 C. 若 u < u, 则 { u } 必收敛 D. 若 u < u, 则 { u } 必发散 (6) 设曲线 L:f(, y) = (f(, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第 Ⅱ 象限内的点 M 和第 Ⅳ 象限内的点 N,T 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧, 则下列小于零的是 (B) A. (, yd ) B. (, ) r f ydy C. (, ) r f yds D. ' (, ) ' (, ) r f r yd + f y ydy (7) 设向量组 α, α, α 线形无关, 则下列向量组线形相关的是 : (A) (A) α α, α α, α α (B) +, +, + (C) α α α α α α 梦飞翔考研工作室 QQ:8 α α, α α, α α (D) α + α, α+ α, α+ α (8) 设矩阵 A=,B=, 则 A 于 B, (B) (A) 合同, 且相似 (C) 不合同, 但相似 (B) 合同, 但不相似 (D) 既不合同, 也不相似

6 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 (9) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 p( p ) 4 次射击恰好第次命中目标的概率为 : (C) (A) p( p) (B) 6 p( p) (C) p ( p) (D) 6 p ( p) < <, 则此人第 () 设随即变量 (X,Y) 服从二维正态分布, 且 X 与 Y 不相关, fx( ), fy( y ) 分别表示 X,Y 的概率密度, 则在 Y=y 的条件下,X 的条件概率密度 fx Y( y ) 为 (A) (A) fx( ) (B) fy( y ) f (C) fx( ) fy( y ) (D) f X Y ( ) ( y) 二. 填空题 :-6 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 () ed= e. ( ) 设 f ( uv, ) 为二元可微函数, ( y z = f, y ), 则 f (, y ) y + y l yf (, y ). ' y y ' y () 二阶常系数非齐次线性方程 y '' 4 y' + y = e 的通解为 y=ce + Ce e. Ò = 4 (4) 设曲面 : + y + z =, 则 ( + y ) ds (5) 设矩阵 A=, 则 A 的秩为.. (6) 在区间 (,) 中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于的概率为 4. 三解答题 :7~4 小题, 共 86 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤梦飞翔考研工作室 QQ:8 (7)( 本题满分分 ) 求函数 f y y y 在区域 D y y y 上的最大值和最小值 z (, ) = + = {(, ) + 4, } = 详解 :

7 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 f = y y = () 求驻点 ( y, ) = (, )( f= ) fy = 4y y = 或 ( y, ) = ( ±, ± )( f= ) ; () 考察边界 y =, 此时最大值为 4, 最小值为考察边界 + y = y > () 4, F y = + y y λ + y (, ) ( 4) F F F = = = y z y λ= 5 4y y λ y = =, y =, λ = + y = 4 7 此时数值为 4 =, y = 4, 此时数值为 8 = 4, y =, 此时数值为 4 综上所述 =,y= ± 时, 取得为 8 最小值 =,y= 取得为 (8)( 本题满分分 ) 计算曲面积分 I = zdydz + ydzd + yddy, y 其中为曲面 z = ( z ) 的上侧 4 详解 y 4 记 Ω为由与围成的空间闭区域, 则取为 oy平面上被椭圆 + = 所围部分的下侧, I = zdydz + zydzd + yddy + zdydz + zydzd + yddy 梦飞翔考研工作室 QQ:8 Gauss公式 zdydz + zydzd + yddy = ( z + z) ddydz + Ω y + = z 4 = zddydz = dz zddy = π Ω

8 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 而 zdydz + zydzd + yddy=- yddy =, I = π. y + 4 (9)( 本题是分 ) '' '' ( ) ( ), ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) 设函数 f( ), g ( ) 在 [ ab, ] 上连续, 在 ( ab, ) 内二阶导数且存在相等的最大值, f a = g a f b = g b 证明 : 存在 ξ a b, 使得 f ξ = g ξ 详解证明 : 设 f ( ), g( ) 在 ( ab, ) 内某点 c ( a, b) 同时取得最大值, 则 f () c = g() c, 此时的 c 就是所求点 η使得 f( η) = g( η). 若两个函数取得最大值的点不同则有设 f ( c) = ma f( ), g( d) = ma g( ) 故有 f( c) g( c) >, g( d) f( d) <, 由介值定理, 在 (, cd ) 内肯定存在 η使得 f( η) = g( η) 由罗尔定理在区间 ( a, η),( η, b) 内分别存在一点 ξ, ξ, 使得 f ( ξ ) =f ( ξ ) = 在区间 ( ξ, ξ ) 内再用罗尔定理, 即 ' ' 存在 ξ, 使得 ξ = ξ '' '' ( ab, ) f ( ) g( ) ()( 本题满分分 ) 设幂级数 a在 (, + ) 内收敛, 其和函数 y ( ) 满足 = '' ' ' y y 4y =, y() =, y () = () 证明 a+ = a, =,, L ; + () 求 y ( ) 的表达式详解 () 将已知条件中幂级数 a代入到微分方程中, 整理即可得到 : = a+ = a, =,, L ; + () 解题如下梦飞翔考研工作室 QQ:8

9 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 y() = a = ' y () = a = a+ = a a = a4 = L = a = + a = a = a5 = a = 4 a7 = a5 = g 6 a9 = a7 = gg 8 4 故 a = g + g g = 4 + = + = e! = ()( 本题满分分 ) + + = 设线性方程组 + + a = () a = 与方程 + + = a () 有公共解, 求 a的值及所有公共解详解 : 因为方程组 () () 有公共解, 即由方程组 () () 组成的方程组 + + = + + a = () 的解 a = + + = a a 即距阵 a 方程组 () 有解的充要条件为 4 a a a + a+ 4 梦飞翔考研工作室 QQ:8 a=, a=. 当 a = 时, 方程组 () 等价于方程组 () 即此时的公共解为方程组 () 的解. 解方程组 () 的基础解系为 ξ = (,, ) T 此时的公共解为 : = kξ, k =,, L

10 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 当 a = 时, 方程组 () 的系数距阵为此时方程组 () 4 4 =, =, =, 即公共解为 : k(,, ) T 的解为 () 设阶对称矩阵 A 的特征向量值 λ =, λ =, λ =, α = (,,) T 是 A 的属于 λ 的 5 一个特征向量, 记 B = A 4A + E其中 E 为阶单位矩阵 ( I ) 验证 α 是矩阵 B 的特征向量, 并求 B 的全部特征值的特征向量 ; ( II ) 求矩阵 B. 详解 : (Ⅰ) 可以很容易验证 A α (,,...) = λ α =, 于是 Bα = ( A 4 A + E) α = ( λ 4λ + ) α = α 5 5 于是 α 是矩阵 B 的特征向量. B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到, 即 5 λ( B) = λ( A) 4 λ( A) +, 所以 B 的全部特征值为 -,,. 前面已经求得 α 为 B 的属于 - 的特征值, 而 A 为实对称矩阵, 于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵, 于是属于不同的特征值的特征向量正交, 设 B 的属于的特征向量为 (,, ) T, 所以有方程如下 : + = T 于是求得 B 的属于的特征向量为 = (,,), = (,,) (Ⅱ) 令矩阵 P [ α α α ] α 梦飞翔考研工作室 QQ:8,, = =, 则 P BP= diag(,,), 所以 α T

11 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 B = P diag(,,) P = diag(,,) () 设二维变量 (, y ) 的概率密度为 ( I ) 求 PX { > Y} ; ( II ) 求 z = X + Y 的概率密度. = y < <,< y < f(, y) = 其他详解 : P X > Y = ( y) ddy (Ⅰ) { } 区域 ;, 其中 D 为, y 求此二重积分可得 { } D P X > Y = d ( y) dy 5 = ( ) d 8 7 = 4 F ( z) = P Z z = P X + Y z (Ⅱ) { } { } Z 当 z 时, F ( z ) = ; 当 z 时, F ( z ) = ; 当 < z < 时, Z Z < < < < 中 > y 的那部分梦飞翔考研工作室 QQ:8 z z FZ ( z) = d ( y) dy z z = + < < 时, 5 ( ) Z d ( ) 4 z z = + 当 z

12 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 z z,< z < 于是 fz ( z) = z 4z+ 4,< z <, 其他 (4) 设总体 X 的概率密度为 < < θ θ f (, θ) = θ < ( θ ) 其他 X, X, X 是来自总体 X 的简单随机样本, X 是样本均值 ( I ) 求参数 θ 的矩估计量 ; ( II ) 判断 4X 是否为 θ 的无偏估计量, 并说明理由. 详解 : (Ⅰ) 记 EX = μ, 则 θ μ = EX = d + d θ θ ( θ) = 4 + θ, 解出 θ = μ, 因此参数 θ 的矩估计量为 θ = X ; (Ⅱ) 只须验证 E(4 X ) 是否为 θ 即可, 而 E(4 X ) = 4 E( X ) = 4( DX + ( EX) ) = 4( DX + ( EX) ), 而 EX = + θ, EX = ( + θ + θ ), θ DX = EX ( EX ) = + θ, 于是 E(4 X ) = + θ + θ θ 梦飞翔考研工作室 QQ:8 因此 4X 不是为 θ 的无偏估计量.

2019 考研数学三考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C

2019 考研数学三考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C 9 考研数学三考试真题及答案详解来源 : 文都教育一选择题 :~8 小题每小题 4 分共分下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的. k. 当时若 - ta 与是同阶无穷小则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有个不同的实根则 k 的取值范围为