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纱资卞
5 years ago
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1 8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b ) lim + ( e + a + b ) o( ) + a + b e + a + b lim lim 6 e e ( + b) + ( + a) + lim 6 e + b, b, a. + a,. 下列函数中, 在处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos.. f ( ) cos. 答案 :() 解析 : 方法一 : f( ) f() sin (A) lim lim lim sin, 可导 f( ) f() sin (B) lim lim lim sin, 可导 ( ) () cos - f f (C) lim lim lim, 可导 ( ) () cos - f f () lim lim lim 不存在, 不可导

2 应选 (). 方法二 : 世纪文都教育科技集团股份有限公司因为 f( ) cos, f () ( ) () cos f f lim lim lim f ( ) 在处不可导, 选 () 不存在对 ( A): f( ) sin在处可导对 ( B): f( )~ i 在处可导对 ( C): f( ) cos在处可导.. 设函数则 a,,, <, f( ) g( ), < <, 若 f ( ) + g( ) 在 R 上连续,,, b,. A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(), <, 解析 : f( ),. a,, g ( ), < <, b,. a,, f( ) + g( ), < <, b +,. 因为 f ( ) + g( ) 在 R 上连续, 故 f ( ) + g( ) 在, 处连续 f ( ) + a, f ( + ), f ( ), f ( + ) b, a, b, 选择 4. 设函数 f ( ) 在 [ ], 上二阶可导, 且 f( )d, 则

3 A. 当 f '( ) < 时, f ( ) <. B. 当 f "( ) < 时, f ( ) <. C. 当 f '( ) > 时, f ( ) <.. 当 f "( ) > 时, f ( ) <. 答案 :() 解析 :( 方法一 ) 取 f ( ), 和 f ( ) +, 可排除 (A)(C). 取 f ( ) a( ) + b, 由 f( )d a f( ) b >, 排除 (B), 故选 () 得 a b, 当 f ( ) a< 时, f ( ξ ) ( 方法二 ) 由 Taylor 公式有 : f( ) f + f + ( ) 当 f ( ) > 时, f( ) > f + f,ξ 在和间. 于是 f ( )d> f f d + f + f, 应选 () ( 方法三 ) f ( ) > f( ) 凹 f( )d> f f <. ( + ) + 5. 设 M d, N d, K ( cos )d, e + + 则 A. M > N > K. B. M > K > N. C. K > M > N.. K > N > M. 答案 :(C) ( ) + 解析 : M d d d + + +, + + N d, 因为 e > +, 所以 < e e

4 ( ) K + cos d,+ cos > + 即 < < + cos e 所以由定积分的比较性质 K > M > N, 应选 (C). 6. d ( y )d y + d ( y )d y A. 5. C. 7. B 答案 :(C) 解析 : 积分区域 {(, y), y } {(, y), y } 如图所示因为 y 关于为奇函数, 关于为偶函数所以 ( ) d ( y ) dy + d ( y )d y d d y d 7, 应选 (C). 7. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为 A.. B.. C.... 答案 :(A) 解析 : P P 令则 4

5 P AP 选项为 A 8. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r (X ) 为矩阵 X 的秩, ( X, Y) 表示分块矩阵, 则 A. r ( A AB) r( A). B. r ( A BA) r( A). r.. r ( A B) r( A T B T ). C. ( A B) ma{ r( A), r( B) } 答案 :(A) 解析 : 易知选项 C 错对于选项 B 举反例 : 取 A B 则 BA,( A, BA) raba (, ) ra ( ) 对于选项, 举反例 : A B, T T 则 ra,b ( ) ra,b ( ) 二填空题 :9~4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分 9. lim [arctan( + ) arctan ]. + 答案 : 解析 : lim [ arctan( + ) arctan ] + 由拉格朗日中值定理可得 : 原式 lim. 其中 < ξ < ξ. 曲线 y + ln在其拐点处的切线方程是. 答案 : y 4 5

6 解析 : y + ln, y + 由 y. 可得, ( 舍去 ) 当时, y 4, 则切线方程为 y 4. 世纪文都教育科技集团股份有限公司 +. d 答案 : ln 解析 : d ( ) d ln ln 4+. cos,. 曲线 t 在 t 对应点处的曲率为. y sin t 4 答案 : dy sin t cost 解析 : tan t d cos t( sin t) d y sec t cos cos sin t 4 d tsint t t 4 4, dy d y 当 t 时, 4 d d y k - + ( y ). 设函数 z ( z, y) 由方程 ln z e z z + y确定, 则 (, ). 答案 : 4 z 解析 : ln z+ e y z z z + e y z. 由 y 代入 z+ e 可得 z z z z, y, z 代入 + e y z z, ln, 6

7 z 可得 4 世纪文都教育科技集团股份有限公司 4. 设 A 为阶矩阵, α, α, α 为线性无关的向量组. 若 + + Αα α α α, Αα α +α, Αα α + α, 则 A 的实特征值为. 答案 : 解析 : ( Aα, Aα, Aα ) ( α + α + α, α + α, α + α ) A( α, α, α,) ( α, α, α) α, α, α 线性无关 P ( α, α, α ) 可逆 P AP B λ λe B λ λ λ + λ λ λ+ λ ( ) ( ) ( )( ) B的实特征值为 A的实特征值为. 三解答题 :5~ 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明证明过程或写出步骤. 5.( 本题满分分 ) 求不定积分 e arctan e d. 解析 : e arctan e d 7

8 arctan e de e e + e e e arctan e d e 4 e e arctan e d e e arctan e de 4 e e + e arctan e d( e ) 4 e arctan ( ) 4 e e e e + d e e arctan e ( e ) + e + C 4 arctan e e ( e ) e + C 6 6.( 本题满分分 ) 已知连续函数 f ( ) 满足 () 求 f ( ); f ()d t t+ tf( t)d t a. () 若 f ( ) 在区间 [, ] 上的平均值为, 求 a 的值解析 :() tf( t) dt t u ( u) f( u)( du) f ( u) du uf ( u) du f ( u) du uf ( u) du f (t) dt + f ( u) du uf ( u) du a 求导得 f ( ) + f ( u) du a f ( ) + f( ) a 令 y f( ). 则 y + y a. 解之得 : y f( ) Ce + a 显然 f () C a. f( ) a( e ) 8

9 () f( ) d a( e ) d a( e ) 世纪文都教育科技集团股份有限公司 + e a 7.( 本题满分分 ) t sin t, 设平面区域由曲线 ( t ) 与轴围成, 计算二重积分 ( )d d y cost + y y y dd 解析 :( 利用形心坐标 ) y dd dd y, dd y 而, 于是 ( ) ( ) dd y dd y costd t sint ( ) ( ) cost dt cost+ cos t dt cost t + t sin + d t+ sin t + + y( ) yy d d d yy d y d y( ) y ( )d ( cos t). d( t sin t) ( ) ( cos t) dt cost+ cos t+ cos t dt [ ] + cost t sin t + d t+ ( sin t) dsin t y drdy + 5. 于是 : ( ) 8.( 本题满分分 ) 已知常数 k ln. 证明 :( )( ln + kln ). 9

10 证明 : k ln (i) 当 < 时, 只需证明 : 世纪文都教育科技集团股份有限公司 + k ln ln. F ln + kln, ( > ), F(). 令 ( ) ln k k+ ln F ( ) + 令 G ( ) k+ ln (< ). G ( ) < 故 G ( ) 单调递减 G ( ) G() k+ (ln ) + ln ln4 >. 故 F ( ) > F( ) 单增, 从而 F( ) F(). (ii) 当时, 只需证明 : ln + kln 即可 k + ln F( ) ln + kln. F ( ), G ( ) k+ ln ( ), G ( ) ( ) 令 G ( ), 令 G ( ) > > 令 G ( ) < <. 故 G ( ) 在处取唯一极小值, 即为最小值, G() k+ ln k + ( ln). 故 F ( ), 所以 F( ) 在 (, + ) 上单调增加, 从而 F( ) F(). 证毕. 9.( 本题满分分 ) 将长为 m 的铁丝分成三段, 依次围成圆正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值? 若存在, 求出最小值. 解析 : 设圆的周长为, 正方形的周长为 y, 正三角形的周长为 z, 则 + y+ z 为限制条件. y z 目标函数为 S y z 方法 : 拉格朗日乘数法 y z L λ( + y+ z ) 4 6

11 L + λ y A L + y λ 8 由 8 解得 y 这里 A z A L + z λ 6 6 z L λ + y+ z A 由实际问题的背景可知 : S min A + A + A A ( 8 6 ) 4 y z 方法 : 记, y, z 4 6 则条件变为 4 + 6y+ z 目标函数变为 : S + y + z 4 + 6y + z 由 Cauchy 不等式得 ( ) ( ) ( ) 4, 6,,, y z ( ) ( ) y z 所以 4 + y + z Smin + 4+ 方法 : z y y ( y) S

( y) S 4 + 4+ 由解得 y ( y) 8 S y y 6 + 4+ 世纪文都教育科技集团股份有限公司代入得 S min + 4+.( 本题满分分 ) 4 已知曲线 L: y ( ), 点 O (,), 点 A (,). 设 P 是 L 上的动点, S 是直线 OA 与 9 直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积.

12 ( y) S 由解得 y ( y) 8 S y y 世纪文都教育科技集团股份有限公司代入得 S min + 4+.( 本题满分分 ) 4 已知曲线 L: y ( ), 点 O (,), 点 A (,). 设 P 是 L 上的动点, S 是直线 OA 与 9 直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积. 若 P 运动到点 (, 4 ) 时沿轴正向的速度是 4, 求此时 S 关于时间 t 的变化率. d 解析 : 由题意 4, dt S ( + y ) ( ) y t dt 4 4 ( + ) 9 t dt ds ds d 于是 d + dt d dt 9 dt ds 从而 dt + 9.( 本题满分分 ) 4. n+ n 设数列 { n } 满足 : >, e e ( n,, ). 证明 { n } 收敛, 并求 lim. 证明 : 先证 n >, 易证 n n n 再证 { } n n n e e e n+ 单减, 由 e n n 拉格朗日中值定理 e ξ, ξ (, n ) ξ < n+ { } n n 单减有下界, 由此得 lim n 存在 n + A A 设 lim A, 则 Ae e n + n

13 A 世纪文都教育科技集团股份有限公司.( 本题满分分 ) 设实二次型 f (,, ) ( + ) + ( + ) + ( + a ), 其中 a 是参数. () 求 f(,, ) 的解 ; () 求 f (,, ) 的规范形. 解析 :() + f(,, ) 而 +, + a 由 A 得 a a 当 a 时, ra ( ), 只有零解. 当 a 时, ra ( ), 方程有无穷多解, 通解为 k, k 为任意常数. () 由 () 知, 当 a 时 A 可逆, y + 令 y +, 即 Y AX, y + a 则规范形为 f y + y + y, 当 a 时, ra ( ), y + 令 y +, 则 y f y + y + ( y+ y) ( y+ y) + y,

14 z y+ y z y, 则得规范形为令 z y f z + z..( 本题满分分 ) a a 已知 a 是常数, 且矩阵 A 可经初等列变换化为矩阵 B. 7 a () 求 a; () 求满足 APB 的可逆矩阵 P. 解析 :() A 经过初得列变换化为 B ra ( ) rb ( ) a a a A a a 7 a a ra ( ) rb ( ). a a a 由 B a+ a 得 a. () 令 P ( X, X, X), B ( b, b, b) AP A( X, X, X ) ( AX, AX, AX )( b, b, b) AX b, i,, i i 4

15 ( AB ) k + AX b的通解为 X k + k, k AX AX ( k 为任意常数 ) 6 4 6k + 4 b 的通解为 X k + k,( k 为任意常数 ) k 6 4 6k + 4 b 的通解为 X k + k, k 6k+ 6k + 4 6k+ 4 P k k k k k k ( k 为任意常数 ) ( 其中 k, k, k 为任意常数 ) 6k+ 6k + 4 6k+ 4 P k k k k k k k k k 当 k 6k+ 6k + 4 6k+ 4 k 时, P 可逆, 取可逆矩阵 P k k k ( k 为任意常数, k k k k ), 使得 AP B. 5

7. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )

7. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? ) 8 数二真题一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数