内容简介 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为数理统计部分. 其中, 上册包括行列式 矩阵 向量组的线性相关性 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换等内容 ; 下册包括随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定
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1 高等教育 十二五 规划教材 线性代数与概率统计 ( 上册 ) 周晨星韩七星主编陈岩魏丽莉付静副主编 科学出版社职教技术出版中心 北 京
2 内容简介 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为数理统计部分. 其中, 上册包括行列式 矩阵 向量组的线性相关性 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换等内容 ; 下册包括随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理 统计量及其分布 参数估计 假设检验等内容. 每章后配有习题, 每分册后均附有相关实验内容及部分习题参考答案. 本书内容丰富, 难易适中, 可作为高等学校本科或专科非数学类专业的线性代数及概率统计课程教材, 也可作为科技工作者和自学者的参考书. 图书在版编目 ( 犆犐犘 ) 数据 线性代数与概率统计 : 全 2 册 / 周晨星, 韩七星主编. 北京 : 科学出版社, ( 高等教育 十二五 规划教材 ) ISBN Ⅰ.1 线 Ⅱ.1 周 2 韩 Ⅲ.1 线性代数 高等学校 教材 2 概率论 高等学校 教材 3 数理统计 高等学校 教材 Ⅳ.1O151.22O21 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2013) 第 号 责任编辑 : 张振华刘文军 / 责任校对 : 王万红责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 科地亚盟 科学出版社发行 印刷 各地新华书店经销 2013 年 7 月第一版开本 :B5( ) 2013 年 7 月第一次印刷印张 :111/4 字数 : 定价 :4800 元 ( 上 下册 ) ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 ) 销售部电话 编辑部电话 版权所有, 侵权必究举报电话 : ; ;
3 前 言 我国高校的绝大部分工科 理科及管理类专业都开设 线性代数 和 概率论与 数理统计, 它们是重要的基础课程. 这不仅仅是因为它们在各个领域中的应用非 常广泛, 从人才素质的全面培养的角度来说, 它们也是不可或缺的. 根据高等教育 面向 21 世纪教学内容和课程体系改革的总目标的要求, 参照教育部有关考试大 纲, 结合编者多年的讲授经验, 我们编写了 线性代数与概率统计 ( 上 下册 ). 这套书内容涵盖了教育部对非数学专业的 线性代数和概率论及数理统计 考 试大纲的基本要求, 还新增加了大学数学实验指导. 在大学数学实验部分, 介绍了 数学实用软件 MATLAB 和利用 MATLAB 计算行列式 特征值等内容, 以提高学 生对数学的应用意识, 并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和 解决实际问题的能力. 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为概率统 计部分, 合定价 48 元. 其中, 上册 22 元, 下册 26 元. 上册共 7 章, 其中第 1~3 章由付静编写, 第 4~6 章由陈岩编写, 第 7 章由付 静和陈岩共同编写. 下册共 9 章, 其中第 1~3 章由魏丽莉编写, 第 4~5 章由周晨 星编写, 第 6~9 章由韩七星编写. 全套书由周晨星 韩七星负责统稿. 由于编者水平有限, 加之时间比较仓促, 书中难免有错误和疏漏之处, 恳请广 大读者批评指正. 科学出版社职教技术出版中心 编 者 2012 年 6 月 7 日 于长春
4 目 录 前言第 章 行列式 二阶与三阶行列式 阶行列式 全排列与逆序 对换 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式的基本性质 运用性质计算行列式 行列式按行 列 展开 克莱姆 法则 克莱姆法则 齐次线性方程组 习题 第 章 矩阵 矩阵的概念 矩阵的代数运算 矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的行列式 逆矩阵 分块矩阵 矩阵的分块 分块矩阵的运算 初等变换与初等矩阵 初等变换 初等矩阵 矩阵的秩
5 线性代数与概率统计 上册 线性方程组的解 习题 第 章 向量组的线性相关性 向量组及其线性组合 维向量的概念 线性组合与线性表示 向量的线性相关性 向量组的秩 线性方程组解的结构 齐次线性方程组 非齐次线性方程组的解集 向量空间 习题 第 章 矩阵的特征值 向量的内积 内积及其性质 向量的长度与性质 正交向量组 规范正交基及其求法 正交矩阵与正交变换 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量 特征值与特征向量的性质 相似矩阵 相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵与对角矩阵相似的条件 矩阵对角化的步骤 实对称矩阵的对角化 离散动态系统模型 习题 第 章 二次型 二次型及其矩阵 二次型的概念 二次型的矩阵 矩阵的合同 化二次型为标准形 科学出版社职教技术出版中心
6 目 录 用正交变换化二次型为标准形 用配方法化二次型为标准形 二次型与对称矩阵的规范型 正定二次型 二次型有定性的概念 正定矩阵的判别法 习题 第 章 线性空间与线性变换 线性空间的定义与性质 线性空间的定义 线性空间的性质 维数 基与坐标 基 维数 坐标 同构 基变换与坐标变换 线性变换 线性变换的矩阵表示式 习题 第 章 大学数学实验指导 " # 入门 " # 桌面 基本命令 矩阵运算与方程组求解 行列式与矩阵 矩阵的秩与向量组的极大无关组 线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 求矩阵的特征值与特征向量 层次分析法 参考答案 参考文献
7 第 章 行 列 式 二阶与三阶行列式 行列式是通过解线性方程组引进的 本章主要介绍 阶行列式的定义 性质 计算方法和应用 设二元线性方程组 我们使用消元法解得 若设 方程组的解为 定义 将式 中的分母引进一个记号 记 式 左端四个数排成两行两列 横排称行 竖排称列 称为二阶行列式 即 而式 右端称为二阶行列式的展开式 数 称为二阶行列式 的元素或元 元素 有两个下标 分别称为行标 和列标 如 表示该元素位于第 行 第 列 上述二阶行列式的定义 可用对角线法则来记忆 把 到 的连线称为主对 角线 到 的连线称为副对角线 由式 可知 二阶行列式的值是主对角线 上元素之积减去副对角线上元素之积所得的差 按照这个法则 有 科学出版社职教技术出版中心
8 线性代数与概率统计 上册 若记 那么式 可写成 例 利用行列式求解二元一次线性方程组 解 因为 所以得 故原方程组的解是 同理 考虑三元线性方程组 应用消元法先后消去 和 得到 把 的系数记为
9 第 章 行 列 式 由于 中有三行三列 故把它称为三阶行列式 如果 容易算出方程组有唯一解 其中 是把系数行列式 中的第 列元素依次换成 后得到 的行列式 三阶行列式是 项的代数和 其中每一项 都是 中不同行 不同列的三个元素的乘积 冠以正负号 为了便于记忆 可写成图 图 中三条实线看作是平行于主对角线的连线 三 条虚线看作是平行于副对角线的连线 实线上 图 三元素的乘积冠以正号 虚线上三元素的乘积冠以负号 这种方法称为三阶行列式 的对角线法则 例 计算三阶行列式 解 按对角线法则 有 科学出版社职教技术出版中心 在实际应用中 遇到的方程组的未知元常常多于 个 这样需要研究更高阶行列式 从以上讨论自然会想到如何把二阶 三阶行列式推广到一般的 阶行列式 阶行列式 全排列与逆序 在介绍 阶行列式之前 首先引入全排列的概念 定义 由 组成的一个有序数组称为一个 级排列
10 线性代数与概率统计 上册 例如 和 都是 级排列 而 是一个 级排列 级排列共有 个 显然 也是一个 级排列 这个排列具有自然顺序 就是按递增的顺序排列起来的 其他的排列都或多或少地破坏自然顺序 定义 在一个排列中 如果一对数的前后位置与大小顺序相反 即前面的 数大于后面的数 那么它们就称为一个逆序 一个排列中逆序的总数就称为这个排 列的逆序数 排列 的逆序数记为 例如 在排列 中 是逆序 共有 个逆序 故排列 的逆 序数 例 计算排列 的逆序数 解 因为 排在首位 故其逆序数为 比 大且排在 前面的数有 个 故其逆序数为 比 大且排在 前面的数有 个 故其逆序数为 比 大且排在 前面的数有 个 故其逆序数为 比 大且排在 前面的数有 个 故其逆序数为 可见 所求排列的逆序数为 定义 如果排列 的逆序数为奇数 则称它为奇排列 若排列 的逆序数为偶数 则称它为偶排列 例如 是偶排列 是奇排列 标准排列 的逆序数是 因此是 偶排列 对换 定义 在排列 中 将任意两数 和 的位置互换 而其 余的数不动 就得到另一个排列 这种变换称为一个对换 例如 对换排列 中 和 的位置后 得到排列 经过对换 排列的奇偶性有何变化呢 我们有下面的基本事实 定理 任意一个排列经过一次对换后 其奇偶性发生改变 证明 先证相邻对换的情形 设排列 经过一次相邻对换后变成排列 这里 表示排列中其余那些不动的元素 容易看出 和其他的元素之间的逆 序没有改变 改变的只是 和 二者的次序 若 则在排列 中 不构成逆 序 但在排列 中 成一个逆序 故排列 的逆序数比排列 的逆序数
11 第 章 行 列 式 增加 若 则在排列 中 成一个逆序 但在排列 中 则没有逆 序 故排列 的逆序数比排列 的逆序数减小 总之 排列 与排列 的奇偶性不同 再证一般对换的情形 设排列 将 与 对换 变成排列 这一过程可视为排列 先经 次相邻对换 向后换 变成排列 又经 次相邻对换 向前换 就变成了排列 于是可知排列 可经 次相邻对换变成排列 因此排列 与排列 的奇偶性改变了 次 故必相异 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的 对换次数为偶数 定理 在全部 个 级排列中 奇 偶排列的个数相等 各有 个 证明 假设在 级排列中 有 个奇排列 个偶排列 则 对于这 个奇排列施以同一个对换 由定理 可得到 个偶排列 而且不同的奇排列经 过同一个对换后不能得到同一个偶排列 故奇排列的个数不会大于偶排列的个数 即 同理可证得 所以有 下面观察和分析二阶 三阶行列式所具有的特点 并加以推广 从而引进 阶行列式的概念 阶行列式的定义 从二阶和三阶行列式的定义 我们有 科学出版社职教技术出版中心
12 线性代数与概率统计 上册 它们都是一些乘积的代数和 而每一项乘积都是由行列式中位于不同行和不同列 的元素构成的 在 时 由不同行不同列的元素构成的乘积只有 和 这两项 在 时 不同行不同列的元素构成的乘积有 项带有符号 这些符号是 按什么原则决定的呢 在三阶行列式的展开式 中任意一项可以写成 其中 是 的一个排列 可以看出 当 是偶排列时 对应的项在式 中带有正号 当 是奇排列时带有负号 显然二阶行列式也符合这个 原则 定义 由 个元素 排成 行 列 构成的运算式 称为 阶行列式 简记为 其中 为行列式 的元素 为 的一个排列 为 的逆序数 由式 可知 在 阶行列式的运算式 中 一般项 由 个位于不同行不同列的元素相乘而得 符号由排列 的逆序数的奇偶性决定 由于 级排列共有 个 因此 阶行列式的展开式是 项的代数和 特别规定 一阶行列式 注意这里的行列式记号不要与绝对值记号 混淆 例 用定义计算 阶行列式 解 在 中 要使 应取 从而 所以 的逆 数序为 故
13 第 章 行 列 式 在行列式 中 将 所组成的对角线称为 的主对角线 这些元素称为主对角元 而 所组成的对角线则称为 的副对角线 例 证明下面 阶行列式 除了主 副 对角线元素外其他元素都为零 成立 证明 式 左端称为对角行列式 其结果是显然的 下证式 根据 阶行列式的定义易得 非零的只有一项 而其逆序数 所以 科学出版社职教技术出版中心 主对角线以上 下 的元素全为零的行列式称为下 上 三角形行列式 由 阶行列式的定义可以推得 下三角形行列式 上三角形行列式 即上 下 三角形行列式及对角形行列式都等于主对角线上的元素的乘积
14 线性代数与概率统计 上册 在行列式的定义中 为了确定每一项的符号 把项中 个元素的行标排成标准 排列 由于数的乘法满足交换律 因而这 个元素的次序可以是任意的 一般地 有 如下结论 定理 阶行列式也可定义为 其中 为排列 的逆序数 记 证明 由行列式定义 为 的逆序数 取 中任一项 其行标 为标准排列 逆序数 为 设列标的逆序数为 对换 与 得 记对换后的行标排列的逆序数为 " 列标排列的逆序 数为 " 则 " 为奇数 " 与 的奇偶性也不同 由于该项中两 元素的次序对换 使行标排列与列标排列同时作了一次对换 则对换后的行标 列 标排列的逆序数之和的奇偶性 与原来行标 列标排列的逆序数之和的奇偶性必相 同 " " 故该项的值 连符号 不变 " " 依此类推 经若干次元素对换 将该项的列标排列 变成标准排列 同时行标排列也就从自然排列 变成了 此时逆序数分别变为 # # 由于每次对换都不改变两个逆序数之和的奇偶性 故最后该项的符号仍不变 即 # # 因此对 中任一项 中有且仅有一项 与之对应并相等 同理 对 中的任一项 中也有且仅有一项与之对应并相等 即 与 中的项可以一一对应并相等 故 行列式的性质 行列式的基本性质 若 把行列式 的行 列互换所得到的行列式 称为 的转置行列式 记作 或
15 第 章 行 列 式 则 性质 行列式与它的转置行列式相等 即 证明 将 的转置行列式记作 则 由定义知 于是 由定理 推出 由性质 可知 行列式中行与列具有对等的地位 对行成立的性质 对列也成立 反之亦然 又记 性质 行列式两行 列 互换 行列式的值变号 证明 记 第 行 第 行 科学出版社职教技术出版中心
16 线性代数与概率统计 上册 即 由行列式 互换第 行与第 行得到 由定义 而 其中 由定理 知 与 的奇 偶性正好相反 故 所以 以 " 表示第 行 % 表示第 列 则 "" 表示交换 两行 %% 表示交换 两列 由性质 即可得到下面的推论 推论 若行列式 中有两行 列 元素对应相等 则 的值为零 证明 把 相同的两行 列 互换 所得行列式记作 则由性质 得 而 实际上没有变 故应有 所以 性质 用数 乘以行列式 等于将该数 乘以 的某一行 列 中所有 元素 证明 按定义 则乘数 便是 推论 行列式某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
17 第 章 行 列 式 第 行 列 乘以 记为 "% 第 行 列 提出公因子 记为 "" 或 %" 推论 若行列式有一行 列 的元素全为零 则其值为零 推论 若行列式有两行元素对应成比例 则其值为零 下面的性质称为 拆行 性质 若 的某一行 列 的元素都可表为两数之和 设 则 证明 按定义 科学出版社职教技术出版中心 性质 把行列式某一行的 倍加到另一行的对应元素上 行列式的值不变 即 "" 证明 根据性质 及性质 的推论
18 线性代数与概率统计 上册 故结论成立 注 行列式性质 涉及行列式的三种运算 换行 列 倍乘 倍加 记 "" """ %% %%% 运用性质计算行列式 利用行列式的性质可有效地简化行列式的计算 例如 利用性质 把行列式 化成上三角行列式 便可直接得到行列式的值 例 计算 阶行列式 解 利用行列式的性质将它化成上三角行形列式 便可套用前面的结果 "" "" "" "" "" ""
19 第 章 行 列 式 例 计算 阶行列式 解 这个行列式的特点是每行 列 元素之和都是 因此 将第 行 都加到第 行 再提取公因子得 """" "" % & % %& 例 计算 % %& % %& 解 从第 行开始 后一行减前一行 % & % % % % & % 科学出版社职教技术出版中心 % & %
20 线性代数与概率统计 上册 ' 例 设 ' % % 其中 % % 证明 证明 对 作运算 "" 把 化为下三角形行列式 对 作运算 %% 把 化为下三角形行列式 于是 对 的前 行作运算 "" 再对后 列作运算 %% 就可把 化为下 三角形行列式 ' % % % % 故 行列式按行 列 展开 一般来说 计算低阶行列式要比高阶行列式简单 于是我们自然想到用低阶行 列式表示高阶行列式的问题 为此先引进余子式和代数余子式的概念
21 第 章 行 列 式 在 阶行列式 中 去掉元素 所在的第 行和第 列后 余下的元素按照 原来的顺序组成的 阶行列式称为 中元素 的余子式 记为 再记 称 为元素 的代数余子式 例如 在 中 元素 的余子式是 而它 的代数余子式是 引理 如果 阶行列式 的第 行除 外的其余元素都为零 则这个行 列式等于 与其代数余子式 的乘积 即 证明 先证最简单的情况 设 这是例 中 时的情况 由例 的结论 即有 又因 故得 再证一般的情况 设 的第 行除 外的其余元素都为零 将 的第 行依次与上面的 行逐行对换 再将第 列依次与左面的 列 逐列对调 共经 次对调 将 调到了第 行第 列的位置上 所得的行 列式记为 则 而 在 中的余子式仍然是 在 中的余子式 利用已证的结果有 因此 科学出版社职教技术出版中心 定理 阶行列式 的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和 等于 的值 即
22 或 线性代数与概率统计 上册 证明 任选 的一行 把该行元素都写作 个数之和 由引理即得 这称为 按第 行展开 按第 列展开可类似证明 即 这个定理称为行列式按行 列 展开法则 它为行列式计算提供了另一种思路 将 阶行列式的计算化为 阶行列式 的计算 这方法称为降阶法 直接应用按行 列 展开法则计算行列式 运算量较大 尤其是高阶行列式 因 此 计算行列式时 一般可先用行列式的性质将行列式中某一行 列 化为仅含有一 个非零元素 再按此行 列 展开 化为低一阶的行列式 如此继续下去直到化为三 阶或二阶行列式 例 求行列式
23 第 章 行 列 式 解 对于元素排列有某些明显规律的行列式 可根据其特点采用一些计算技巧 常 用的如建立递推公式和用数学归纳法等 例 证明范德蒙德 #%&'% 行列式 其中 证明 用数学归纳法 当 时 成立 假设等式对 阶范德蒙德行列式成立 即 则对 阶范德蒙德行列式 " " 按第一列 % 展开并提取公因子 得 科学出版社职教技术出版中心
24 线性代数与概率统计 上册 后面的行列式是一个 阶范德蒙德行列式 由归纳假设可写作 代入上式便得 定理 行列式某一行元素与另一行对应元素的代数余子式之积的和等于零 即 证明 "" 故 例 设 求 解 本例可以按代数余子式的定义计算 但较烦琐 可以利用 代替 的第 行 即
25 第 章 行 列 式 "" 克莱姆法则 克莱姆 & 法则 考察二元线性方程组 用消去法来求解 若消去 便得 若消去 则得 当 时 便有解 用行列式记 式 可表为 科学出版社职教技术出版中心 记作 其中 其元素恰是各变元的系数 称为系数行列式 而 恰是 以等号右端的常数分别替换系数行列式的第一 二列所得的行列式
26 线性代数与概率统计 上册 含有 个未知数 的线性方程组 与二元 三元线性方程组类似 它的解可以用 阶行列式表示 定理 克莱姆法则 若线性方程组 的系数行列式不等于零 即 则线性方程组存在唯一解 其中 用方程组右端的常数向量 替换 的第 列所得的 阶行列式 记 即 例 用克莱姆法则解方程组 解 方程组的系数行列式为 因此可以应用克莱姆法则 由于
27 第 章 行 列 式 所以方程组的唯一解为 例 已知三次曲线 ( 在点 处的值 (((( 试求系数 解 将在 个点处的值代入 ( 即得关于 的线性方程组 其系数行列式是 转置得 ( ( ( ( 是一个四阶范德蒙德行列式 得 于是由克莱姆法则知 方程组有唯一解 此即三次曲线的 系数 为求出它们的数值 再分别计算 科学出版社职教技术出版中心
28 线性代数与概率统计 上册 故 于是所求三次曲线为 ( 上述解题过程可推而广之 过 个横坐标不同的点 可以唯一地确定一条 次曲线的方程 这在工程上称为代数 插值法 是所谓 曲线拟合方法 的一种 这个方程就称为插值方程 克莱姆法则的逆否命题是 定理 如果线性方程组 无解或解不唯一 则它的系数行列式一定为零 齐次线性方程组 如果线性方程组 的常数项 都等于零 即 则称之为齐次线性方程组 利用克莱姆法则容易得到下面的定理 定理 若齐次方程组 的系数行列式 则它只有唯一零解 其逆否命题是 定理 若齐次方程组 有非零解 则它的系数行列式一定为零 例 为何值时 齐次线性方程组 有 非零解 解
29 第 章 行 列 式 齐次线性方程组有非零解 则 即 或 克莱姆法则只能应用于方形的方程组 且系数行列式不能为零 在计算时需要 计算 个 阶的行列式 当 较大时计算量通常很大 因此克莱姆法则的主要 意义是在理论上它明确指出了方程组的解与系数之间的关系 并给出了一种新颖 的 块状处理 的模式 习 题 利用对角线法则计算下列行列式 % & 当 取何值时 求下列各排列的逆序数 确定 级行列式中 指定乘积项的符号 科学出版社职教技术出版中心 按定义计算行列式
30 线性代数与概率统计 上册 计算下列行列式 证明 ) ) ) ) ) ) ) ) ) % % % % % % % % % & % % & %&%&%&%& % & 计算下列阶行列式 提示 利用范德蒙德行列式的结果
31 第 章 行 列 式 % & 其中未写出的元素都是 % & 证明 ' ' ' ' ' ' 求行列式 中 和 的代数余子式 求证 & % & 用克莱姆法则解下列方程组 科学出版社职教技术出版中心
32 线性代数与概率统计 上册 当 取何值 齐次方程组 有非零解 )) 设 ) 有非零解 求 的值 )
33 第 章 矩 阵 第 章的克莱姆法则适用范围很有限 若线性方程组不是方形的或其系数行 列式等于零 克莱姆法则便不能用了 但它的那种集成化处理的思想方法还是可以 借鉴的 由此可以引入线性代数更重要的概念 矩阵 矩阵是许多学科使用频率 很高的数学工具 凡涉及到多个方面相互关联的多元数量关系 往往可用矩阵来进 行整体描述和处理 本章主要学习矩阵的基本代数运算 加法 数乘 乘法 转置 方阵 取行列 式 可逆矩阵 求逆 以及矩阵的分块及分块矩阵的基本代数运算 还要学习矩阵 的初等变换及其初步应用 矩阵的概念 定义 由 * 个数 * 排成 * 行 列 并 加上括号 这个数表 * * * 称为一个 * 行 列矩阵 简称 * 矩阵 通常记为 或 * 有时也记作 或 * 其中 称为矩阵 的 第 行 第 列 元素 * 个元素全为零的矩阵称为零矩阵 记为 * 或 只有一行的矩阵称为行矩阵 又称为行向量 如 只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量 如 * 科学出版社职教技术出版中心
34 线性代数与概率统计 上册 行数等于列数 即 * 的矩阵称为 阶方阵 下面是几种特殊的方阵 若 时 即 则称 为 阶下三角矩阵 若 时 即 则称 为 阶上三角矩阵 若 时 即 则称它为对角矩阵 可以记作 ( 若 为 阶对角矩阵 且主对角元素全相等 即 则称 为 阶数量矩阵 特别地 若 即 则称 为 阶单位矩阵
35 第 章 矩 阵 矩阵的代数运算 矩阵的加法 定义 两个矩阵 的行数相等 列数也相等 称它们是同 型矩阵 是同型矩阵 且对应元素都相等 即 * 那么就称矩阵 与矩阵 相等 记作 设矩阵 * * 则 与 的和记作 规定为 * * 从矩阵的加法可以看出 只有同型矩阵才能做加法运算 根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律 都是同型矩阵 交换律 结合律 若 * 则存在矩阵 * 满足 称 为 的负矩阵 由此可以定义矩阵减法为 数与矩阵相乘 数 与矩阵 * 的乘积记作 规定为 * * * 矩阵的数乘满足下列运算律 设 为同型矩阵 为数 交换律 结合律 第一分配律 第二分配律 科学出版社职教技术出版中心
36 线性代数与概率统计 上册 矩阵的乘法 设 是一个 * 矩阵 是一个 矩阵 则规定矩阵 和矩 阵 的乘积 是一个 * 矩阵 % * 其中 % * 上述定义表明 乘积矩阵 的第 行第 列元素 % 是 的第 行的 个元素与 的第 列的 个元素一一对应的乘积之和 因此只有当左边矩阵 的列数 等于右边矩阵 的行数时 这两个矩阵才可乘 称 为 左乘 或 右 乘 例 设 求 解 矩阵的乘法应注意以下几点 任意两个矩阵未必可乘 应首先考察第一个矩阵的列数是否等于第二个矩阵的行数 交换律一般不成立 从例 可以看出 一般来说 即使是同阶矩阵相乘 交换律一般也不成立 例如 设 容易验证 而如果 成立 则说矩阵 与 可交换 消去律一般不成立 即由 不能断定 或 例如 因此 即使 一般由 也不能推出 但矩阵的乘法仍满足以下运算律 假设运算都可行 结合律
37 第 章 矩 阵 分配律 左分配律 右分配律 与数乘可交换 对单位矩阵 容易验证 * *** * 可见单位矩阵 在矩阵乘法运算中的作用类似于数的运算中 的作用 由于数量矩阵 故当它乘方阵 时便有 和 即 利用矩阵的乘法 可以将线性方程组 表示成矩阵形式 并简洁地记为 其中 ** * * * * * * 科学出版社职教技术出版中心 * * * * 为线性方程组的系数矩阵 为未知数 变元 向量 为常数向量 而矩阵 " * * * *
38 线性代数与概率统计 上册 便是线性方程组的增广矩阵 例 若 都为同阶的对角矩阵 % 容易验证 仍为对角矩阵 且 % % % % % 推而广之 有限个同阶对角矩阵的乘积还是对角矩阵 其主对角元就是各个对角矩阵对应的主对角元相乘积 还可以证明 同阶上 下 三角阵之积还是上 下 三 角阵 有了矩阵的乘法 可以定义 阶方阵的幂 设 是 阶方阵 当 为正整数时 的幂运算规定为 且规定 从定义知 就是 个 的连乘 显然只有方阵才有幂 由于矩阵乘法符合结 合律 所以方阵的幂满足以下运算律 其中 + 为正整数 因为矩阵乘法一般不可交换 所以对两个 阶方阵 来说 一般 因此 一些熟知的乘法公式一般不再成立 例如 等等 但只要 与 可交换 则这些公式就都成立了 结合加法 数乘和乘法三种运算 可定义方阵的多项式 设有 阶方阵 和关于 的 次多项式 (% % %% 定义 的多项式为 (% % %% 易见 ( 仍是一个 阶方阵 矩阵的转置 定义 把 * 矩阵 的行 列互换 得到一个 * 矩阵 称为 的转 置 记为 即
39 第 章 矩 阵 * * * * * * * * 转置也是矩阵的一种代数运算 满足下述运算律 设运算是可行的 则 故 是数 证明 容易直接验证 下面仅证明 设 * 记 * % * & * % & 若 即有 则称 为对称矩阵 若 即有 则称 为反对称矩阵 易见这两种矩阵都是方阵 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 而 反对称矩阵的主对角线上所有元素 均为零 其余元素以主对角线为对称轴对应 相反 方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 称为 方阵 的行列式 记作 或 阶方阵是 个数按一定方式排成的数表 对方阵取行列式 是施加于方阵的一种运算 而确定的一个数 且满足下列运算律 和 为 阶方阵 为常数 这里只给出 式证明 证明 设 阶行列式 科学出版社职教技术出版中心
40 线性代数与概率统计 上册 由例 可知 在 中以 乘第 列 乘第 列 直到 乘第 列 都加到第 列上 有 其中 % % 故 再对 的行作变换 " " 有 由例 可知,,,,,,,,,, 即 由该结论可知 对于 阶矩阵 一般来说 但总有,,,,,,,,,,,, 逆 矩 阵 第 节定义了矩阵的加法 减法 乘法 那么是否能定义矩阵的除法呢 答案 是否定的 但是可以换个角度考虑这个问题 在代数运算中 如果数 其倒数 可由等式 来说明 且 在矩阵的乘法运算中 对于任意的方阵 有 这里单位矩阵 的地位和数 在乘法中的作用非常相似 那么对于 阶方阵 是否 存在 阶方阵 使得 如果存在这样的方阵 那么 要满足什么 条件 如何利用 把 求出来 为此引进逆矩阵的概念 定义 对于 阶方阵 若存在一个同阶方阵 能使 则称 方阵 可逆 称 是 的逆矩阵 注 由定义可知 可逆矩阵一定是方阵 并且它的逆矩阵也为同阶方阵 定义中 与 的地位是等同的 所以 也是可逆矩阵 并且 是 的逆矩阵
41 第 章 矩 阵 定理 若方阵 可逆 则 的逆矩阵是唯一的 事实上 若 都是 的 逆矩阵 由 和 知 所以 的逆矩阵唯一 由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的 用 表示 的逆矩阵 即 下面讨论矩阵 可逆的充要条件以及求逆阵的公式 例 设 记 # 是行列式 中元素 的代数余子式 # 称为矩阵 的伴随矩阵 试证 # # 证明 记 # % 其中 据定理 和定理 有 % 故 同理可证,,,, #,,,,,,,, #,,,, 因此 # # 定理 方阵 可逆的充分必要条件是 证明 必要性 设 可逆 则 存在 由 其中,, 科学出版社职教技术出版中心 知 且得,,,,,,,,,,,,,,
42 线性代数与概率统计 上册 充分性 设 由例 知 因 所以可导出 # #,, # 于是由定义知 可逆 且得求逆公式 #,,,, #,, 若 便称 为非奇异的 即 可逆 等价于 非奇异 推论 设 是同阶方阵 若有 则亦有 反之亦然 这也说明 皆可逆 且 互为逆矩阵 证明 由 得 所以 故 皆可逆 进而 于是 进而 所以 互为逆矩阵 例 设二阶矩阵 % & 其中 &% 求 解 &% 利用逆矩阵公式,, # & &% % 例 设 求 的逆矩阵 解 因为 故 可逆 且 的代数余子式为 得,, # 定理 逆矩阵具有以下的性质 若 可逆 则 亦可逆 且 若 可逆 数 则 亦可逆 且
43 第 章 矩 阵 若 可乘且皆可逆 则 亦可逆 且 若 可逆 则 亦可逆 且 证明 由定理 推论得证 因 可逆 故 存在 由 得证 因 可逆 故 即 存在 由 得 故 若 可逆 则由 可推出 即对可逆矩阵 消去律成立 当 时 定义 其中 为正整数 例 若方阵 满足 证明 可逆 并求其逆 证明 由 及 与 可交换得 即 由推论 知 可逆 且有 分块矩阵 把一个规格较大的矩阵划分成若干小块 用分块方式来处理 把大矩阵的运算 转化为小矩阵的运算 不仅能使运算较为简明 更重要的是使运用计算机组合来计 算大矩阵成为可能 矩阵的分块 用一些纵 横虚线将矩阵 分割成若干小矩阵 以这些小矩阵为元素的矩阵 称为分块矩阵 各个小矩阵称为 的子块 分割的方法很多 例如 其中 %%%%% - 也可以按行分块 科学出版社职教技术出版中心
44 线性代数与概率统计 上册 或按列分块 %%%%%%% %%%%%%% %%%%%%% * * * * * * * 分块矩阵的运算 对分块矩阵进行运算时 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理 但应 保证运算可行 分块矩阵的加法 数乘 转置 设矩阵 是两个同规格矩阵 且分块法一致 即 " " " " " " 其中每一 与 的规格都对应相同 则规定加法为 " " " " " " 设 为数 则数乘为 " 转置为 " " " " "
45 第 章 矩 阵 分块矩阵的乘法 设 是 * 矩阵 是 矩阵 若将 分为 " 个子块 " 将 分 为 个子块 且 的列与 的行分块法一致 则 与 的乘法为 " " " 其中 " 分块对角阵 " " " 若 阶方阵 的一个分块形式只在主对角线上有非零子块 即 ( 其中 是 " 阶小方阵 阶数可不同 " 而其余 的非主对角子块都为零矩阵 则称为 的分块对角矩阵 例如 若记 %%%%%%%%% %%%%%%%%% 则 分块对角阵有以下性质 若 则,,,,,, 若 为同阶分块对角阵且分块法相同 科学出版社职教技术出版中心
46 线性代数与概率统计 上册 于是 所以 则 若每一 则有 例 设 求 解 令 则 例 设 其中 皆为可逆方阵 不必同阶 求证 可逆 并求 证明 由例 知 故 可逆 设 其中 分别与 是同阶方阵 由
47 第 章 矩 阵 得矩阵方程组 由此解出 所以 可逆 且有 类似可证 初等变换 初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在求解线性方程组 求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起着重要的作用 下面三种行变换称为矩阵的初等行变换 对调两行 对调 两行记为 "" 称为对调变换 用数 乘某一行中所有元素 第 行乘 记为 " 称为倍乘变换 把某一行所有元素的 倍加到另一行的对应元素上 第 行的 倍加到 第 行上记为 "" 称为倍加变换 将定义中的 行 换成 列 即得到矩阵的初等列变换的定义 将记号 " 换成 % 矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换 统称为矩阵的初等变换 初等变换都存在着逆变换 如变换 "" 的逆变换就是其本身 变换 " 的逆 变换为 " 变换 "" 的逆变换为 "" 如果矩阵 经有限次初等变换变成 则称矩阵 与 等价 记为 等 价关系满足下面三条性质 反身性 对称性 若有 则必有 科学出版社职教技术出版中心 传递性 若有 则必有 初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性 这在用矩阵解线性方程组 中很重要 化简矩阵 的主要过程是 首先通过初等行变换把 化成行阶梯形矩
48 线性代数与概率统计 上册 阵 每行首个非零元素的下方全是零 然后继续用初等行变换把 化成行最简形 矩阵 每一非零行的首个非零元素为 且这些 所在列的其他元素都为零 此后 如果再用列初等变换 还可将 进一步化成等价标准形 消元 例 设 " 用初等变换将其化简 解 先用初等行变换将 " 化为行阶梯形 形式上相当于做由上而下的行 "" "" "" & " ''' "" "" ''' & " 就是 " 的一个行阶梯形矩阵 对 " 继续作初等行变换 " & " ''' "" ''' & "" ''' & " " 即 " 的一个行最简形矩阵 是 " 经初等行变换所能化到的最简形式 由定义知 " " 若对 " 再进一步作初等列变换 则可得 " %%%%%%% 就是 " 的等价标准形 是所有与 等价的矩阵中形式最简单的矩阵
49 第 章 矩 阵 由等价关系的传递性可知 若 则 必定有相同的标准形 反之 亦然 因线性方程组与其增广矩阵是一一对应的 所以对增广矩阵的 消元 实质上就是对线性方程组的 消元 在上例中 若把 " 看成是一个增广矩阵 则其对应的线性方程组为 矩阵 " 对应的线性方程组为 由于只经行变换得到 " " 知方程组 与方程组 同解 而方程组 实 际上就是消元所得到的最简方程组 求解就容易得多了 特别地 若 为可逆方阵 则 由克莱姆法则知 以 为系数矩阵的线 性方程组有唯一解 此时最简方程组的系数矩阵恰为单位阵 因此 可见 可逆时 同阶单位阵 既是 的行最简形 同时也是 的等价标准形 初等矩阵 单位矩阵 经一次初等变换所得到的方阵 称为初等矩阵 三种初等变换对应三种初等矩阵 对调变换得对调初等矩阵 由单位矩阵 的第 行 列 对调而得到的 初等矩阵 记作 科学出版社职教技术出版中心
50 线性代数与概率统计 上册 倍乘变换得倍乘初等矩阵 由单位矩阵 的第 行 列 乘 而得到的初等矩阵 记作 倍加变换得倍加初等矩阵 由单位矩阵 的第 行的 倍加到第 行而得 到 也就是由单位矩阵 的第 列的 倍加到第 列而得到 的初等矩阵 记作 可直接验证 用一个初等矩阵乘矩阵 的结果等于对矩阵 作了一次初等变换 具体说就是 导致 的第 行对调 即 "" 导致 的第 列对调 即 %% 导致 的第 行乘 即 " 导致 的 第 列乘 即 % 导致 的第 行的 倍加到第 行 即 "" 导致 的第 列的 倍加到第 列 即 % % 于是立即有 定理 设 是一个 * 矩阵 对 进行一次初等行变换 相当于在 的 左边乘一个相应的 * 阶初等矩阵 对 进行一次初等列变换 相当于在 的右边 乘一个相应的 阶初等矩阵 由 知 初等矩阵皆可逆 且它们的逆阵仍为同类初等阵
51 第 章 矩 阵 定理 可逆矩阵 可表示为若干个初等矩阵的乘积 证明 因为 亦即 所以存在初等矩阵 + 使 ""+ 即得 + 推论 * 矩阵 的充分必要条件是 存在 * 阶可逆矩阵 及 阶 可逆矩阵 使 此推论证明留给读者 推论 对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等行变换 则将 变 成单位矩阵的同时 单位矩阵 也就变成了 证明 由定理 知 若 则 + 其中 为初等矩阵 + 由此推得 以及 所以对 和 施行相同的初等变换 + + 则 变成了 变成了 推论 使我们有了一个求逆阵的更为简便的方法 用分块矩阵表示便是 + +, + +, + +, 例 设 求 解 因为 所以 可逆 作 "" "", '''' & "" "" "" ''' & '''' & 故 同样可利用初等列变换求逆矩阵 即对 施行初等列变换 当 化成 时 即化成了 利用初等变换求逆矩阵的思路还可用于解方程组 设线性方程组的矩阵形式 为 若 可逆 则线性方程组的解为 由推论 科学出版社职教技术出版中心
52 线性代数与概率统计 上册 + +, + +, + +, 将 换作 得到 + +, + +, + +, 即将 变成 时 就变成 此即方程组的解 例 求解方程组 解 记 则方程组可写为 构造增广矩阵 ", 对 " 施行初等行变换 "" "" "" "" " ''' & ''' & "" "" " ''' & 则 当然也可先求得 " ''' & 用伴随阵或用初等变换 再得
53 第 章 矩 阵 用初等行变换求 的逆矩阵 或求解线性方程组 时 不必验证 是否可逆 如果作变换时左边子块出现了全零行 则表明 不可逆 此时就需要另行讨论了 矩阵的秩 在 * 矩阵 中 任取 行 列 &%* 由行 列交叉处的 个元素所构成的 阶行列式 称为矩阵 的一个 阶子行列式 简称 阶子式 * 矩阵 的 阶子式共有 * 个 如果在 * 矩阵 中有一个 " 阶子式 不为零 且所有 " 阶子式 如果存在 都为零 那么数 " 称为矩阵 的秩 记作 # 或 %) 称为矩阵 的最 高阶非零子式 由行列式的性质知 在 中如果所有 " 阶子式全为零 那么所有高于 " 阶子式也全等于零 所以 的秩就是最高阶非零子式的阶数 根据这个原理 我们也可以通过寻找 的最大非零子式来求 的秩 方法如 下 首先 的任一非零元素就是一个一阶非零子式 然后找包含它的二阶非零子式 找到一个就记作 再找包含它的三阶非零子式 如果最终找到一个 " 阶非零子式 " 而所有包含它的 " 阶子式 如果有的话 全都为零 则 " 就是 的一个最大非零子式 由此判定矩阵 的秩为 " 如果 是方阵 有时也可以把整个过程逆推 即先计算最高阶子式 如果为零 则再找低一阶子式 显然 矩阵的秩具有下列性质 科学出版社职教技术出版中心 若矩阵 中有某个 阶子式不为零 则 # 若矩阵 中所有 阶子式都为零 则 # 若矩阵 为 * 矩阵 则 #&%* # # 对于 阶方阵 当 时 # 当 时 # 当 "&%* 时 称矩阵 为满秩矩阵 否则称为降秩矩阵 例 求矩阵 和 的秩
54 线性代数与概率统计 上册 解 在矩阵 中 容易得到一个二阶行列式 而三阶子式只有 一个 所以 # 是一个阶梯矩阵 的非零行只有三行 所以四阶子式都为零 容易得出三阶子式是上三角 所以 # 从本例可以看出 对于一般的矩阵 阶数较高时 按定义求秩很麻烦 而对于行 阶梯矩阵 它的秩就等于非零行的行数 因此自然利用初等变换把矩阵化成行阶梯 矩阵 但秩是否改变呢 下面定理回答了这个问题 定理 初等变换不改变矩阵的秩 证明 先证若矩阵 经过一次初等变换变为矩阵 则 ## 设 #" 则存在一个 " 阶子式 当矩阵 经过第一种和第二种行初等变换时 在 中总能找到与 对应 的 " 阶子式 即 或 或 因此 所以 # # 当矩阵 经过第三种行初等变换时 只需考虑这一特殊情形 把第一行的 倍加到第 行上 若 的 " 阶非零子式 不包含 的第一行 这时 也是 的非零子式 故 ## 若 包含 的第一行 此时 中与 对应的 " 阶子式 记作 "" " " " " " " " 若 则 若 则 也是 的 " 阶子式 由 知 不同时为零 所以 ## 以上证明了若 经过一次行初等变换变为 则 ## 由于 经过一 次行初等变换变为 故也有 ## 因此 ## 类似地 列的初等变换也不改变矩阵的秩 这一定理为我们提供了一个十分便捷的求秩方法 对于给定的矩阵 只要用初 等变换把它化作容易看出秩的等价矩阵即可 例 求下列矩阵的秩 "" "" "" 解 ''' & ''' & "
55 第 章 矩 阵 这是行阶梯形 知 # "" "" ''' & "" ''' & 这也是行阶梯形 知 # 可见 只要用行初等变换将所给的矩阵化为行阶梯形 其非零的行数即为其秩 进一步将它们化为标准形 还可以引出一些更为深刻的结论 以 为例 继续化下去 得到 % % "" " %% '''' & ''' & %% % %% ''' & 这就是等价标准形. 从变换过程可以看到 所有型为 而秩为 的实矩阵最后都可以化到 初等变换是矩阵的等价变换 所有这些矩阵都与 等价 从而也彼此等价 将型为 的实矩阵的全体所组成的集合记作, 易见 # 因此 中的矩阵的秩只有 种 标准形也只有 种 %%%% %%%% 中的所有矩阵 依其不同的秩分别等价于其中的某一个 由此 中的所有矩阵就被分成了 个等价类 上面的 个矩阵分别是各个等价类的代表 正是在这个意义上 称它们为等价标准形 矩阵的初等变换不过是在同一等价类范围之内的等价变形 初等变换的保秩性也就成了等价关系的题中应有之义 对于一般的 * 矩阵 原理也是一样的 推论 设矩阵 * 则 与 等价当且仅当 ## 证明 必要性 设 与 等价 则 可经有限次初等变换变作 由初等变换 科学出版社职教技术出版中心
56 线性代数与概率统计 上册 的保秩性 知有 ## 充分性 设 ##" 则 都与标准形 " * 等价 由等价关系的传 递性知它们彼此等价 上面讨论了矩阵的初等变换与秩的关系 下面讨论一下矩阵的其他运算与秩 的关系 定理 矩阵的代数运算与秩有如下的关系 假设运算是可行的 ### ## 设 与 可乘 则 #&%## # # 若 为 阶可逆阵 则 # # 若 是分块对角阵 ( 则有 # # 证明 略 线性方程组的解 设 个未知量 * 个方程的线性方程组的一般形式 其矩阵形式为 ** * * 在第 章中将介绍向量的第三种表示形式 这三种形式可以从不同视角表示 同一对象 便于从不同的角度剖析线性方程组 当 * 时 线性方程组 称为齐次线性方程组 否则称为 非齐次的 显然 齐次线性方程组的矩阵形式为 定理 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵 的秩 # 证明 必要性 设齐次线性方程组 有非零解 假设 # 则根据矩 阵秩的定义 在 中存在一个 阶非零子式 由克莱姆法则 所对应的 个 方程只有零解 与假设矛盾 故 # 充分性 设 # 则 的行阶梯形矩阵只含有 个非零行 从而知其有
57 第 章 矩 阵 个自由未知量 可取任意实数的未知量 即可得到方程组的一个非零解 定理 设非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广 矩阵 的秩 即 ## 证明 必要性 设方程组 有解 假设 ## 则 的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行是矛盾方程 这与方程有解矛盾 因此 ## 充分性 ## 则 的行阶梯形矩阵中含有 个非零行 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量 其余 个作为自由未 知量 显然能得到方程组的一个解 上述定理的结果可简要地总结如下 ## 当且仅当 有唯一解 ## 当且仅当 有无穷多解 ## 当且仅当 无解 # 当且仅当 只有零解 # 当且仅当 有非零解 例 求解齐次线性方程组 解 对其系数矩阵作行初等变换 & & 即得与原方程组同解的方程组 即 & 可任意取值 科学出版社职教技术出版中心
58 线性代数与概率统计 上册 令 %% 把它写成通常的参数形式 % % % % 或写成向量的形式 % % % % 例 求解非齐次线性方程组 解 对其增广矩阵作行初等变换 " & & 由此可知 "" 因而方程组有唯一解 例 设 用其增广矩阵作行初等变换 " & & 由此可知 "" 故此方程组无解
59 第 章 矩 阵 习 题 考虑高三学年语文 数学 英语三门课程 次模拟高考成绩 用矩阵方法建立个人成绩档案 用三种不同面值的硬币分别作 次投掷实验 用数字 表示正面 表示反面 用矩阵形式把实验记录下来 计算下列矩阵的乘积 设 求 及 对任意正整数 给出 的条件 并加以证明 证明 如果一个 级矩阵 与所有 级矩阵作乘法都是可以交换的 那么这个矩阵一定是数量矩阵 设 是 对称矩阵 证明 也对称的充分必要条件是 可交换 即 举反列说明下列命题是错误的 若 则 若 则 或 若 且 则 求下列矩阵 的逆矩阵 科学出版社职教技术出版中心
60 线性代数与概率统计 上册 设 其中 求 解下列矩阵方程 设 求 利用逆矩阵解下列线性方程组 设 为三阶矩阵 求 # 设 阶矩阵 的伴随矩阵为 # 证明 若 则 # # 已知 为四阶方阵 且 求 设 求 及 设 阶矩阵 及 阶矩阵 都可逆 求
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
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. 高斯消元法. 矩阵的秩. 线性方程组解的判定 第二章 线性方程组 线性方程组的解取决于 n n nn n n n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L ( ),,,,, n j i ij L 系数 ( ),n,, i b i L 常数项回顾 : 根据克拉默法则 线性方程组的一般形式 L nn b L nn b LLLLLLLLLLLL m m L mnn bm,, L,
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
线性代数
线性代数 同济五版 高景利 南阳师范学院数学与统计学院 目 录 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性相似矩阵及二次型 目录 第一章行列式 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 二阶与三阶行列式全排列及其逆序数 阶行列式的定义行列式的性质行列式按行 ( 列 ) 展开克拉默法则 学习基本要求 第一章行列式. 了解排列 逆序的概念,
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念
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新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 考研数学 - 讲义 主讲 : 朱长龙 欢迎使用新东方在线电子教材 目 录 第一讲行列式... 第二讲矩阵... 9 第三讲向量... 第四讲线性方程组... 3 第五讲特征值和特征向量... 38 第六讲二次型... 43 新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
2003年
00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
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线性代数 课教案 学 期 :6 7 学年第一学期 学时 : 45 学时 系 ( 部 ): 基础部 教研室 : 理科教研室 授课教师 : 张焕玮 授课班级所 授课班级 授课班级 授课班级 在系 所在系 管理工程系管理工程系 6 物流管理 班 6 物流管理 4 班 第 次课教案 6 年 9 月 7 日星期三 章 节 : 第一章行列式 教学任务 :. 阶行列式的定义 使学生了解 阶行列式的定义, 会计算二阶和三阶行列式
内 容 简 介本书是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的 内容包括行列式 矩阵 线性方程组 相似矩阵和二次型 线性空间与线性变换以及与这些内容相应的数学实验 书中每节后均配备有大量的练习题 每章后又配备了总复习题 书末附有习题参考答案 便于学生及时巩固所学基本概念 基本理论的同时
普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课系列教材线性代数 朱玉清 主 编梁 瑛 连冬艳 副主编于育民 王 满 北 京 内 容 简 介本书是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的 内容包括行列式 矩阵 线性方程组 相似矩阵和二次型 线性空间与线性变换以及与这些内容相应的数学实验 书中每节后均配备有大量的练习题 每章后又配备了总复习题 书末附有习题参考答案 便于学生及时巩固所学基本概念
第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
了一个逆序 排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数 排列中任意两个元素对换 将改变排列的奇偶性 阶行列式的定义 阶行列式是指 其中 是 的全排列 是排列 的逆序数 表示对 这 个数字的所有全排列求和 行列式的性质 行列式与其转置行列式相等 对调行列式的两行 列 行列式的值只改变符号 行列式某行 列
第一章 行列式 行列式是线性代数中的一个基本概念 它产生于解线性方程组的过程之中 二阶及三阶行列式可用于求解二元及三元的线性方程组 对于一般的 元线性方程组的解 我们也可以用 阶行列式来表示 事实上 它不仅是研究线性方程组的基本工具 也是讨论向量 矩阵和二次型的重要工具之一 而且在科技领域中得到广泛的应用 本章主要讨论 阶行列式的基本概念与基本性质 包括排列的概念 阶行列式的定义与运算规律 行列式的展开定理
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
(Microsoft PowerPoint - \317\337\320\324\264\372\312\3751 \320\320\301\320\312\275.pptx)
Laplace 定理 在行列式中, 任取 k 行, 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 93 7. Cramer 法则 二元线性方程组 若令 a x + a x = a x + a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a a D a a 11 12 = ( 方程组的系数行列式 21 22 方程组的系数行列式 ) D 1 = 1
x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y
线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,
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线性代数概念 定理 公式大全 第一章行列式. 二阶 三阶行列式. 二阶行列式 = -.. 主对角线从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线..3 副对角线从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线..4 对角线法则主对角线上两元素之积减去的副对角线上两元素之积所得的差..5 三阶行列式 3 3 3 3 33 = 33 + 3 3 + 3 3-3 3-33 - 3 3.. 全排列及其逆序数. 全排列
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
线性代数 定义 三阶行列式的定义为 不难看出 三阶行列式共有 项 其中正 负项各为 项 每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积 确定每项的符号的法则是 当该项元素的行标按自然数顺序排列后 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号 是奇排列则取负号 例如 项 的列标 的逆序数为 为奇排列 所以此项符号
第 章 行 列 式 引 言 行列式的概念最早是在 世纪由日本数学家关孝和 约 提出来的 他在 年写了一部名为 解伏题之法 的著作 意思是 解行列式问题的方法 书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述 欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家 微积分学奠基人之一莱布尼兹! "#$% & 年 月 莱布尼兹在写给法国数学家洛比达 "'% 的一封信中使用了行列式 并给出了线性方程组的系数行列式为零的条件
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线性代数 er Alger 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系光华楼东主楼 9 Tel: 656 plu@fud.edu.c 教学安排 上课时间 : 每周四 第 6-8 节 双周周二 第 8-9 节 周四第 8 节课 : 习题课 / 课堂演示 / 讨论 课程简介 理论抽象 线性变换 线性代数 线性空间与欧氏空间 行列式矩阵线性方程组二次型 解决工程实际问题 什么是线性代数? Alger ( 数学中最重要的
内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学 本书可作为高等院校工科和经济管理学科
普通高等教育 十二五 规划教材 线性代数及其应用 主 编 邹杰涛 张 杰副主编 孙明正 钱 盛 张智勇 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
四 教学内容及安排 第 1 章 行列式 了解行列式的定义和性质, 掌握 2 3 阶行列式的计算, 会计算较简单的 n 阶 行列式, 掌握 Cramer 法则 章节数 授课 实验 上机 讨论 作业 自学 综合 大作业 第 2 章 矩阵 理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运
线性代数与空间解析几何 I 课程教学大纲 英文名称 :Linear Algebra and GeometryI 课程编号 :MATH 1037 课内学时 :66( 理论学时 :62, 上机学时 :4) 学分 :4 适用对象 : 电气 电信 软件 理学 钱学森班等专业 先修课程 : 高等数学 使用教材及参考书 : (1) 魏战线 李继成编, 线性代数与解析几何 二版, 高等教育出版社, 2010 年
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 科学出版社职教技术出版中心
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课程教学大纲 (course syllabus) practice link in the reform since 2000, this changes the traditional study mode and make the teaching method becomes vivid an
线性代数 (B 类 ) 课程教学大纲 课程基本信息 (Course Information) 课程代码 (Course Code) MA0014/MA077 * 学时 (Credit Hours) 48 * 学分 (Credits) * 课程名称 ( 中文 ) 线性代数 (B 类 ) (Course Name) ( 英文 )Linear Algebra (B class) 课程性质 (Course
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高等医学院校选用教材 ( 供成人教育中医药专业 中西医结合专业使用 ) 方剂学 闫润红 主编 2 0 0 1 内容简介本书是供成人教育中医药专业 中西医结合专业使用的教材 全书分总论和各论两部分, 总论部分对中医方剂的基本理论, 如治法 君臣佐使 剂型 剂量等及其现代研究进展进行了介绍 各论部分对常用方剂的主治病证 配伍意义 临床应用 加减变化规律及现代研究概况等内容, 按分类进行了系统阐述 在保证方剂学学科知识结构完整性的前提下,
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科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课教材系列 线性代数学习辅导 徐秀娟主编肖继先副主编何亚丽张帅佟玉霞参编 北京 内容简介 本书是与科学出版社 27 年出版的枟线性代数枠 ( 徐秀娟主编 ) 一书配套的学习辅导书, 按教材编排顺序逐章编写 每章包括目的与要求, 知识框图, 内容提要疑难问题解析, 方法 技巧与例题分析, 习题全解等内容 ; 包括对知识点的概括
习题一
. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc
学习指导（四）：欧氏空间
一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内
cos si A ; A si cos 解 由于对任意点 有 y y y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于 轴对称 的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于直线 y 对称的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y y 确定的
教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换 它有着深刻的几何学和物理学背景 是一个经常使用的数学工具 在数学理论研究和实际应用中起着重要作用 在这节中主要讲解以下几方面的内容 : 线性变换的概念 乘积变换和可逆变换的概念 ; 线性变换的矩阵表示 ; 在不同基下的表示矩阵之间的关系 ; 在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 线性空间与线性变换这部分内容 由于其抽象性较强
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心 科学出版社职教技术出版中心
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《概率论与数理统计〉教学大刚
模块编号 :0730203 模块内容 : 线性代数 概率论与数理统计理论学时 :96 先修模块 : 高等数学 A 高等数学 B 后修模块 : 工程数学 B 工程数学 A 教学大纲 一 说明部分 1. 模块性质本模块是工科类本科各专业学生的专业基础模块, 授课对象是大学二年级学生 2. 教学目标及意义线性代数是工科类本科各专业的数学基础之一 通过这部分内容的学习, 使学生比较系统理解线性代数的基本概念,
行列式 2 零, 为什么消元法解方程时有的方程会被消掉. 最大无关组的概念才真正解释了, 为什么消元法解方程组时保留下来的方程个数是稳定不变的. 既然中心的议题是解方程组, 那么关于线性方程组解的理论要非常清楚, 比如 n r 的含义, 有解 无解的充要条件. 0.2 要点 TOP 0 下面的要点列
线性代数 ( 同济 5 版 ) 复习提要 黄正华 * 205 年 7 月 27 日 目录 0 全书总结 行列式 2 2 矩阵 线性方程组 5 4 向量组的线性相关性 7 5 相似矩阵及二次型 0 0 全书总结 如果非要给这本书加一个副标题, 我希望是 一个方程组引发的故事. 0. 全书概览我们现在使用的教材是工程数学 线性代数, 是线性代数学科比较基础的部分. 这一部分的中心是围绕 用高斯消元法求解线性方程组
第一节
楚雄师范学院 经济与管理学院教案 ~ 学年第 学期 线性代数 学院 部教研室授课教师课程名称课程学时 经济与管理学院工商管理教研室张无畏线性代数 学时 实验学时 教材名称 线性代数 年 月 6 日 楚雄师范学院 经济与管理学院教案 ~ 学年第 学期 教研室 实验室 ) : 工商管理教研室 课程名称 : 线性代数 授课班级 : 级信息管理与信息系统 主讲教师 : 张无畏 职 称 : 教授 使用教材 :
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
第三章自考线性代数精讲
第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结 思考题 6// 一 n 维向量的概念 定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的 n个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 6// 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 n
式与重根的联系, 掌握复系数与实系数的标准分解式 3. 教学重点和难点教学重点是两个多项式作为形式多项式相等和作为多项式函数相等的定义及两者的等价 ; 最大公因式和互素, 因式分解定理和标准分解式, 有理数域上的多项式 教学难点是多项式代数和多项式函数两个不同角度研究多项式的方法和联系, 最大公因式
高等代数选讲 教学大纲 课程编码 :1511105003 课程名称 : 高等代数选讲学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 近世代数 适用专业 : 数学与应用数学开课教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 数学与应用数学专业的一门选修课程, 是在学生学完高等代数等专业基础课程, 已具备一定的代数知识基础之后开设的高等代数提高课程 2. 课程任务 :
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21 世纪高等院校教材 线性代数 易伟明王平平杨淑玲编著 北京 内容简介本书根据教育部颁布的经济 管理本科专业枟经济数学枠教学大纲, 针对经济数学教学改革的需要, 以培养 厚基础 宽口径 高素质 人才为宗旨, 系统地介绍了线性代数的主要内容和方法, 包括行列式 矩阵 向量 线性方程组 方阵的特征值与特征向量 二次型 经济应用与数学实验等 7 章, 书末附有练习与习题参考答案 本书注重基本知识 基本技能
图书在版编目穴 CIP 雪数据做事细节全书 / 赵彦锋编著郾 北京 : 企业管理出版社, ISBN Ⅰ 郾做... Ⅱ 郾赵... Ⅲ 郾工作方法 通俗读物 Ⅳ 郾 B 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第 号 书
做事细节全书 赵彦锋著 企业管理出版社 图书在版编目穴 CIP 雪数据做事细节全书 / 赵彦锋编著郾 北京 : 企业管理出版社, 2005.11 ISBN 7-80197-338-0 Ⅰ 郾做... Ⅱ 郾赵... Ⅲ 郾工作方法 通俗读物 Ⅳ 郾 B026-49 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第 136676 号 书 名 : 做事细节全书 作 者 : 赵彦锋 责任编辑 : 吴太刚
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目 录 第一章线性方程组与矩阵初步... 第一节 矩阵及其运算... 第二节 用消元法解线性方程组... 第三节 齐次线性方程组... 练习一... 第二章 维向量空间...9 第一节 维向量及其线性运算...9 第二节 线性相关性... 第三节 极大线性无关组与向量组的秩... 第四节 线性方程组解的结构...9 练习二... 第三章行列式与矩阵的进一步讨论... 第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵...
复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
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第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域在 V 上定义了一种加法运算 +, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α + β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素
图书在版编目 (CIP) 数据程序员的数学. 3, 线性代数 /( 日 ) 平冈和幸, ( 日 ) 堀玄著 ; 卢晓南译. 北京 : 人民邮电出版社, ( 图灵程序设计丛书 ) ISBN Ⅰ. 1 程 Ⅱ. 1 平 2 堀 3 卢 Ⅲ. 1 电子计算
图灵程序设计丛书 程序员的数学 3: 线性代数 [ 日 ] 平冈和幸堀玄著 卢晓南译 图书在版编目 (CIP) 数据程序员的数学. 3, 线性代数 /( 日 ) 平冈和幸, ( 日 ) 堀玄著 ; 卢晓南译. 北京 : 人民邮电出版社, 2016.3 ( 图灵程序设计丛书 ) ISBN 978-7-115-41774-9 Ⅰ. 1 程 Ⅱ. 1 平 2 堀 3 卢 Ⅲ. 1 电子计算机 数学基础 2
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 204 年 2 月 0 日星期三 上讲回顾 第 9 讲矩阵函数的求解 矩阵函数的计算 利用 Jordan 标准形求矩阵函数 矩阵论 2 矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点 即令 则有 零化多项式 n ( ) det( I A) c c c n n 对于多项式 f (z), 若 f (A)=0 则称 f (z) 为 A
目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:
第二章 矩阵 Matrix 2. 2.2 目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77..6 例_ 例 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 B B2 B3 在某年第一季度 各厂的生产情况 如下表 产品
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
第三章矩阵的
第三章矩阵的 第三章矩阵的 高等工程数学 ( 第三版 ) 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强华南理工大学出版社出版 2016 年 9 月 20 日 第三章矩阵的 1 2 3 4 5 第三章矩阵的 本节主要研究 : 一个 n 阶方阵能够相似于对角形矩阵的充要条件是什么? 设 V 是复数域 C n n 上的 n 维线性空间, T 是 V 的一个线性变换, 又 e 1, e 2,, e n 是 ε 1,
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
2013年考研数学一试题答案.doc
年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
本文非正式出版物, 它是我们上课教案的一部分 文中真正有价值的部分, 是每一章开头的文字总结部分 如果你能看懂这些文字, 甚至感觉这些话说到你心里去了, 那么你已经很好地理了这本教材 我建议你能读一下这些总结部分, 即便你没有时间去研习那些题目 有的题目看起来有一点难度, 其实我也不建议做很难的题目
线性代数 总结与复习 线性代数 总结与复习 武汉大学黄正华 武汉大学黄正华 Wuhan University 本文非正式出版物, 它是我们上课教案的一部分 文中真正有价值的部分, 是每一章开头的文字总结部分 如果你能看懂这些文字, 甚至感觉这些话说到你心里去了, 那么你已经很好地理了这本教材 我建议你能读一下这些总结部分, 即便你没有时间去研习那些题目 有的题目看起来有一点难度, 其实我也不建议做很难的题目,
扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b
数值代数 夏银华 中国科学技术大学 扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 初等变换矩阵 放缩 (scaling): 第 i 个方程
第一讲 引言、行列式
多元线性方程基础提高 型 线性代数 板书提纲 第一讲引言 行列式 教学目的 :. 对 线性代数 作概要的介绍 ;. 谈谈线性代数的学习目的 方法 ; 说明本学期的评分管理 ;. 定义行列式的运算法则 ; 4. 介绍行列式的基本性质 ; 重点是这些性质的运用 教学内容 ; 第一章行列式. 行列式的概念. 行列式的性质教案提纲 : 引言 线性代数 课程的重要性:. 后续课程必备的工具 ;. 考研数学占相当比例
k 反比例函数 y 的图象与性质 x k 的符号 k> k< 图象的大致位置 经过象限 第一 第三象限 第二 第四象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 3 二次函数 y=x +x+c(c 为常数 的图象与性质 的符号 > < 图象 开口方向开口向
17 年陕西特岗教师招聘笔试重要分析 ( 数学 考点 数的有关概念 1 约数和倍数 : 如果数 能被数 ( 整除 就叫做 的倍数 就叫做 的约数 ( 或 的因数 ; 倍数和约数是相互依存的 ; 一个数的约数的个数是有限的 其中最小的约数是 1 最大的约数是它本身 ; 一个数的倍数的个数是无限的 其中最小的倍数是它本身 奇数和偶数 : 自然数按能否被 整除的特征可分为奇数和偶数 ; 能被 整除的数叫做偶数
Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C
Bor to wi 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f ( ) cos D. f ( ) cos( ) 答案 D A 可导
2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质
第二讲 非负矩阵与 M 矩阵 非负矩阵 不可约非负矩阵 M- 矩阵与单调矩阵 对角占优 M- 矩阵 注记 非负矩阵在很多领域都有重要应用, 如数理经济, 运筹, 图像处理等. 同样, 它在矩阵理论与数值代数中也扮演着很重要的角色. 若无特别注明, 本讲内容都是在实数域中讨论. 2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质 3/63 非负矩阵, 正矩阵
图书在版编目 (CIP) 数据 满堂花醉 / 沈胜衣著. 南京 : 江苏教育出版社, ( 沈郎文字 ) ISBN Ⅰ. 满... Ⅱ. 沈... Ⅲ. 作家 - 人物研究 - 世界 Ⅳ.K815.6 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第 041
图书在版编目 (CIP) 数据 满堂花醉 / 沈胜衣著. 南京 : 江苏教育出版社, 2005.4 ( 沈郎文字 ) ISBN 7-5343-6512-0 Ⅰ. 满... Ⅱ. 沈... Ⅲ. 作家 - 人物研究 - 世界 Ⅳ.K815.6 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2005) 第 041843 号 出版者社址网址出版人 南京市马家街 31 号邮编 :210009 http://www.1088.com.cn
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
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.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数 : 两个重要极限 : 双曲正弦 : sh 双曲余弦 : ch sh 双曲正切 : h ch sh ch h 三角函数公式 : 诱导公式 : 角 函数 s m m s g cg -α -sα α -gα -cgα 9 -α α
第 页共 5 页全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : cg g cg g og csc csc sc sc csc sc c cs ccg cg sh ch ch sh cg g cg g csc csc sc sc csc s sc cg cg g cg g cs csc csc sc sc s I I cs s 三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数
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数域定义 第一章多项式一 内容提要. 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域.. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中. 一元多项式,,,, 属于数域 F, 称为数域 F 上的一元多项式.. 多项式的运算 () 加法设 = = f ( )
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
; 的特征值全不为 ; 反证法 ; 是正定矩阵 ; 构造齐次方程组 证明其有非零解 ; 的行 列 向量组是 的一组基 ; 4 利用秩 证明 ; 是 中某两组基的过渡矩阵 ; 5 证明 是其特征值 ; 矩阵 * * 对于阶矩阵 : 无条件恒成立 ; * * * * 是阶可逆矩阵 : 是非奇异矩阵 ;
线性代数公式大全 最新修订 行列式! 行列式共有个元素 展开后有项 可分解为 行列式 ; 代数余子式的性质 : 和的大小无关 ; 某行 列 的元素乘以其它行 列 元素的代数余子式为 ; 某行 列 的元素乘以该行 列 元素的代数余子式为 ; 代数余子式和余子式的关系 : 设行列式 : 将 上 下翻转或左右翻转 所得行列式为 则 ; 将 9 顺时针或逆时针旋转 所得行列式为 则 ; 将 主对角线翻转后
线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,A 是 V 内一个线性变换 我们需要解决下面两个问题 : 决定 K 内所有 A 的特征值 λ 对于属于特征值 λ 的特征子空间 V λ, 找出它的一组基 我
矩阵对角化和 标准形 曾焰 版本, 最后修改于 摘要 蓝以中 关于矩阵对角化和 标准形的相关内容的摘要笔记 目录 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 实对称矩阵的对角化 矩阵的 标准形 幂零线性变换的 标准形 一般线性变换的 标准形 最小多项式 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法
目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根
线性方程组的直接解法 目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 2 2.2 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 2.2.2 Gauss 变换 2.2.3 Doolittle 分解 3 2.3 选主元三角分解 4 2.4 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 2.4.2 改进的平方根法 5 2.5
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考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
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维向量 向量组的线性相关性 向量组的秩 维向量空间 5 欧氏空间 R 6 线性方程组解的结构 第四章 向量空间 第一节 维向量 一 维向量的概念 定义 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量 这 个数称为该向量的 个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 例如 ( ) 维实向量 ( i i ( ) i) 维复向量 第 个分量 第 个分量 第
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 2014 年 9 月 24 日星期三 徐乐 教师信息 电子工程学院 办公室电话 : 88204458 Email: 矩阵论 2 前言 矩阵理论是一门数学学科, 是众多理工学 科的重要数学工具 是目前非常活跃的经典数学基础课程 现代科技各领域处理有限维空间形式与数量关 系的强有力工具 计算机科学与工程计算的核心 矩阵运算与求解 矩阵理论有着广阔的应用前景 矩阵论 3 发展
Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用
8 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中, 在 错误! 未找到引用源 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f cos( ) 答案 D A 可导 : D. f ( )
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Lanczos 方法 Louis Komzsik 著张伟廖本善译 演变与应用 清华大学出版社 北京 内容简介 Lanczos 方法是 20 世纪计算数学方向最有影响的方法之一, 并且已经在工程中得到了广泛应用. 本书兼顾了 Lanczos 方法的理论演变和工程中的实际应用, 其内容分为两部分 : 第一部分阐述了方法的演变, 并提供了具体算法 ; 第二部分讨论了工业中的实际应用, 包括常用的模态分析
找研讯, 找资料, 找辅导, 就上 聚创考研网, 微信电话咨询 : 一 函数 极限 连续 2020 考研数学二考试大纲原文内容 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段 函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立
一 函数 极限 连续 2020 考研数学二考试大纲原文内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段 函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的 概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准 则 : 单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 : 数学大纲
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数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
平面曲线的切线和法线 ; 导数和微分的四则运算 ; 基本初等函数的导数 ; 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 ; 高阶导数 ; 相关变化率 ; 洛必达 (L'Hospital) 法则 ; 函数单调性的判别 ; 函数的极值与最值 ; 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 ; 函数图形
硕士 ( 港澳台 ) 数学考试大纲与要求 对知识的要求层次 : (1) 初步的感性认识, 能处理简单的问题, 用语 : 知道, 会 ; (2) 一定的理性认识, 能模仿解决一般问题, 用语 : 了解, 掌握 ; (3) 较深刻的理性认识, 能主动利用知识解决相对复杂的问题, 用语 : 理解, 能够运用 高等数学一 函数 极限与连续 考试内容 函数的概念及表示法 ; 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性
图书在版编目 (CIP) 数据 文学与现代性批判 / 邵建著. 南京 : 江苏教育出版社, ISBN Ⅰ. 文... Ⅱ. 邵... Ⅲ. 当代文学 - 文学研究 - 中国 Ⅳ.I206.7 中国版本图书馆 CIP 数据核字 ( 2005 ) 第 04185
图书在版编目 (CIP) 数据 文学与现代性批判 / 邵建著. 南京 : 江苏教育出版社, 2005.4 ISBN 7-5343-6528-7 Ⅰ. 文... Ⅱ. 邵... Ⅲ. 当代文学 - 文学研究 - 中国 Ⅳ.I206.7 中国版本图书馆 CIP 数据核字 ( 2005 ) 第 041850 号 出版者社址网址出版人 南京市马家街 31 号邮编 :210009 http://www.1088.com.cn
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献
杨忠鹏 1 王海明 1 张金辉 1 吴秀清 1,2 1. 莆田学院数学系 2. 中南大学数学院 2009 年 5 月 16 日 目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献 一 引言 V P 为数域 P 上的线性空间, 而 L( V ( P)) { σ σ V } 设 ( ) 为恒等变换 = 为上的线性变换,ε 现行的教材上线性空间求其上的线性变换的定义是对一般空间给出
幻灯片 1
第 3 章 MATLAB 矩阵 分析与处理 3.1 特殊矩阵 3.2 矩阵结构变换 3.3 矩阵求逆与线性方程组求解 3.4 矩阵求值 3.5 矩阵的特征值与特征向量 3.6 矩阵的超越函数 特殊矩阵 通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有 : zeros: 产生全 0 矩阵 ( 零矩阵 ) ones: 产生全 1 矩阵 ( 幺矩阵 ) eye: 产生单位矩阵 rand: 产生 0~1 间均匀分布的随机矩阵
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数域定义 第一章多项式一 内容提要 1.1 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和 1. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域. 1. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中 1 1.2 一元多项式 1 ax + a 1x + + a L, a, a, L, a 属于数域 F,
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书籍推荐 [3] 同济大学数学系编, 线性代数 ( 第六版 ) 高等教育出版社, 204 [4] 同济大学数学系编, 线性代数附册学习辅导与习题全解 高等教育出版社, 204 特点 : 语言简洁 逻辑清晰 全国通用 建议每个人都认真研读该教材 4 书籍推荐 [5] David C Lay 著, 刘深
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Chapter 行列式 Linear Algebra October 8, 206 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 目录 0 课程简介 n 阶行列式的定义及性质 9 n 阶行列式的定义 2 2 n 阶行列式的性质 7 2 n 阶行列式的计算 23 3 克拉默 (Cramer) 法则 35 4 行列式计算的常见方法 4 4 基本计算思路 42 42 常用化简手法 44 43 辅助算法 45 44
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
一 根据所给图表，回答下列问题。
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题 目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :(C) 解析 : lim, 所以 为垂直渐近线 lim, 所以 为水平渐近线, 没有斜渐近线, 总共两条渐近线, 选
精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )
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21 世纪高等院校教材 线性代数 ( 第二版 ) 陈维新编著 北京 内容简介本书采用读者易于接受的方式科学 系统地介绍了线性代数的行列式 线性方程组 矩阵 线性空间和线性变换 特征值和特征向量 矩阵对角化 二次型等内容 既保持了第一版力求以较为近代的数学思想统一处理有关内容, 又兼顾了适用性和通用性 全书涵盖了考研数学考试大纲有关线性代数的所有内容而有余 习题按小节配置, 数量大, 题型多, 有层次,
限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其 关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则 : 单调有 界准则和夹逼准则两个重要极限 : sin x lim 1, x 0 x 1 lim 1 x x x e 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的
2018 考研数学二大纲原文汇总 考试科目 : 高等数学 线性代数 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 高等数学约 78% 线性代数约 22% 四 试卷题型结构 单项选择题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分 解答题 ( 包括证明题
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2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 -- 数学二 考试科目 : 高等数学 线性代数 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 高等教学 78% 线性代数 22% 四 试卷题型结构 试卷题型结构为 : 单项选择题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题 6 小题,
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第一章多项式 多项式理论是高等数学研究的基本对象之一 在整个高等代数课程中既相对独立 又贯穿其他章节 换句话说 多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系 却可为其他章节的内容提供范例与理论依据 本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质 包括数域的概念 一元多项式的定义与运算规律 整除性 因式分解及根等概念 对于多元多项式 则主要讨论字典排列法与对称多项式 一重难点归纳与分析 一 ) 基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分
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08-09 年度第一学期 0050 00503 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 05 室 E-mail: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院 http://math.ustc.edu.c/ 第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 特征值与特征向量 在实际工程计算中, 经常会遇到特征值和特征向量的计算, 如 : 机械 结构或电磁振动中的固有值问题 ; 物理学中的各种临界值等
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内部资料请勿外传 7 年全国硕士研究生入学统一考试 模拟测试一 数二 总分 : 分 用时 :8 分钟 姓名 : 专业 : 分数 : 6 年 月 第 页共 页 总部地址 : 北京市西城区西直门南大街 号成铭大厦 C 座 一 选择题 ~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求 请 将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上 当 时 下列无穷小量中最高阶的是 si C
设 p 则下列命题正确的是 q A 若 条件收敛 则 p 与都收敛 q B 若 绝对收敛 则 p 与都收敛 q C 若 条件收敛 则 p 与敛散性都不定 q D 若 绝对收敛 则 p 与敛散性都不定 ] 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为 则必有 A 或 + B 或 + C 且 + D 且 +
![设 p 则下列命题正确的是 q A 若 条件收敛 则 p 与都收敛 q B 若 绝对收敛 则 p 与都收敛 q C 若 条件收敛 则 p 与敛散性都不定 q D 若 绝对收敛 则 p 与敛散性都不定 ] 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为 则必有 A 或 + B 或 + C 且 + D 且 +](/thumbs/93/111302324.jpg "设 p 则下列命题正确的是 q A 若 条件收敛 则 p 与都收敛 q B 若 绝对收敛 则 p 与都收敛 q C 若 条件收敛 则 p 与敛散性都不定 q D 若 绝对收敛 则 p 与敛散性都不定 ] 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为 则必有 A 或 + B 或 + C 且 + D 且 +")
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 填空题 本题共 6 小题 每小题 分 满分 分 把答案填在题中横线上 设 co 若 若 其导函数在 处连续 则 的取值范围是 已知曲线 与 轴相切 则 可以通过 表示为 若 设 > 而 D 表示全平面 则 其他 I dd D 设 维向量 ;E 为 阶单位矩阵 矩阵 A E B E 其中 A 的逆矩阵为 B 则 5 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 9
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象