精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设 是

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1 Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( ) 在 处连续 b ab. 选 A. a a a a () 设函数 f ( ) 可导, 且 ' f ( ) f ( ), 则 ( ) (A) f () f ( ) (B) f () f ( ) (C) f () f ( ) (D) f () f ( ) 答案 C ' f ( ) f ( ) 方法 : f ( ) f ( ), () 或 (), 只有 C 选项满足 () 且满足 (), 所以选 C f '( ) f '( ) f ( ) f () f ( ) 方法 : f ( ) f ( ), 则 f () f ( ), 所以选 C (3) 函数 f (, y, ) y 在点 (,,) 处沿向量,, u 的方向导数为 ( ) (A) (B)6 (C)4 (D) 答案 D f u gradf { y,, }, gradf (,,) {4,,} gradf {4,,} {,, }. u u 选 D. (4) 甲乙两人赛跑, 计时开始时, 甲在乙前方 ( 单位 :m) 处, 图中实线表示甲的速度曲线 v v ( t) ( 单位 : m / s ), 虚线表示乙的速度曲线 v v ( t), 三块阴影部分面积的数值依次为,,3, 计时开始后乙追 上甲的时刻记为 t ( 单位 :s), 则 ( ) 全国统一服务热线 :

2 精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设 是 维单位列向量, E 为 阶单位矩阵, 则 ( ) (A) E 不可逆 (B) E 不可逆 (C) E 不可逆 (D) E 不可逆 答案 A 选项 A, 由 ( E ) 得 ( E ) 有非零解, 故 E 即 E 不可逆 选项 B, 由 r ( ) 得 的特征值为 - 个,. 故 E 的特征值为 - 个,. 故可逆 其它选项类似理解 (6) 设矩阵 A, B, C, 则 ( ) (A) A与 C相似, B与 C相似 (B) A与 C相似, B与 C不相似 (C) A与 C不相似, B与 C相似 (D) A与 C不相似, B与 C不相似 答案 B 由 E A 可知 A 的特征值为,, 因为 3 r( E A), A 可相似对角化, 即 A ~ 全国统一服务热线 :

3 Bor to w 由 E B 可知 B 特征值为,,. 因为 3 r( E B), B 不可相似对角化, 显然 C 可相似对角化, A ~ C, 但 B 不相似于 C. (7) 设 A, B 为随机概率, 若 P( A), P( B), 则 P( A B) P( A B) 的充分必要条件是 ( ) (A) P( B A) P( B A) (B) P( B A) P( B A) (C) P( B A) P( B A) (D) P( B A) P( B A) 答案 A 按照条件概率定义展开, 则 P( A B) P( A B) P( AB) P( A) P( AB) P( B) P( B) P( AB)( P( B)) P( B)( P( A) P( AB)) P( AB) P( AB) P( B) P( B) P( A) P( B) P( AB) P( AB) P( B) P( A) A: P( B A) P( B A) P( AB) P( B) P( AB) P( A) P( A) P( AB)( P( A)) P( A)( P( B) P( AB)) P( AB) P( AB) P( A) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( B) 同理, 可计算 B C D 综合各选项, 只有 A 选项符合题意 (8) 设 X, X X ( ) 为来自总体 N(,) 的简单随机样本, 记 X X, 则下列结论中不正确 的是 ( ) (A) ( X ) 服从 分布 (B) ( X X) 服从 分布 (C) ( X X ) 服从 分布 (D) ( X ) 答案 B 服从分布 全国统一服务热线 :

4 精勤求学自强不息 Bor to w! 由 X N (,), X N (,), 可得 ( ) ( ), X 故 A正确 ( ) S ( X X ) ( ) C, 故正确, X ~ N(, ), 即 ( X ) N(,), 则 ( X ) ~ (), 故 D 正确, ( X X) X X ~ N (,), 则 ~ (), 故 B错误. 综上可知,B 符合题意 二 填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) 已知函数 f ( ), 则 f ( 答案 3 ) f () ( ) (3) () = f ( ) ( ) ( ) ( 3) 3 ( 3) f ( ) ( ) ( )( ) f () '' ' () 微分方程 y y 3y 的通解为 y 答案 y e ( c cos c s ),( c, c 为任意常数 ) 齐次特征方程为 3 故通解为 e ( c cos c s ) d aydy () 若曲线积分 L y a 答案 a 在区域 D (, y) y, 内与路径无关, 则 P y Q ay P Q,, 由积分与路径无关知 a y ( y ) ( y ) y () 幂级数 ( ) 在区间 (,) 内的和函数 S( ) 4 4 全国统一服务热线 :

5 Bor to w 答案 s( ) ( ) ( ) ( ) (3) 设矩阵 A 答案 ' ',,, 3 为线性无关的 3 维列向量组, 则向量组 A, A, A 3 由,, 线性无关, 可知矩阵,, 可逆, 故 3 3,, 3,, 3 再由 r A 得 r A A A 3 r A A A r A r A,, 的秩为 4 (4) 设随机变量 X 的分布函数为 F( ).5 ( ).5 ( ), 其中 ( ) 为标准正态分布函数, 则 EX 答案.5 4 ( ).5 ( ) (.5 4 F ), 故 EX.5 ( ) ( ) d d 4 4 ( ) d EX 令 t, 则 ( ) d = 4 ( ) 8 4 ( ) 8 t t dt t t dt 因此 E( X ). 三 解答题 :5 3 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分 分 ) dy d y 设函数 f ( u, v ) 具有 阶连续偏导数, y f ( e,cos ), 求 d d, dy 答案 d d y (,), (,) (,) (,) ' '' ' ' f f f f d 全国统一服务热线 :

6 精勤求学自强不息 Bor to w! d y d y y f ( e,cos ) y() f (,) dy ' ' ' ' ' fe f s f (,) f (,) f (,) d '' '' '' '' ' ' f e fe ( s ) fe ( s ) f s fe f cos d '' ' ' f (,) f (,) f(,) d 结论 : dy d d y d f ' (,) f (,) f (,) f (,) '' ' ' k k (6)( 本题满分 分 ) 求 lm l k 答案 4 k k lm l( ) l( ) d l( ) d (l( ) d) 4 k (7)( 本题满分 分 ) 3 3 已知函数 y( ) 由方程 y 3 3y 确定, 求 y( ) 的极值 答案 极大值为 y(), 极小值为 y( ) 两边求导得 : 3 3 y y ' 3 3 y ' () 令 y ' 得 对 () 式两边关于 求导得 将 代入原题给的等式中, 得 or, y y 将, y 代入 () 得 y ''() 6 6 y y ' 3 y y '' 3 y '' () 6 6 全国统一服务热线 :

7 Bor to w 将, y 代入 () 得 y ''( ) 故 为极大值点, y() ; 为极小值点, y( ) (8)( 本题满分 分 ) 设函数 f ( ) 在区间 [,] 上具有 阶导数, 且 ( ) 方程 f ( ) 在区间 (,) 内至少存在一个实根 ; ( ) 方程 答案 ' ' ( ) ( ) ( ( )) f ( ) f (), lm, 证明 : f f f 在区间 (,) 内至少存在两个不同实根 f ( ) (I) f ( ) 二阶导数, f (), lm f ( ) 解 :) 由于 lm, 根据极限的保号性得 f ( ), (, ) 有, 即 f ( ) 进而 有 f (, ) 又由于 f ( ) 二阶可导, 所以 f ( ) 在 [,] 上必连续 那么 f ( ) 在 [,] 上连续, 由 f ( ), f () 根据零点定理得 : 至少存在一点 (,), 使 f ( ), 即得证 (II) 由 () 可知 f (), (,), 使 f ( ), 令 F( ) f ( ) f '( ), 则 f () f ( ) 由罗尔定理 (, ), 使 f '( ), 则 F() F( ) F( ), 对 F( ) 在 (, ),(, ) 分别使用罗尔定理 : (, ), (, ) 且, (,),, 使得 F '( ) F '( ), 即 F '( ) f ( ) f ''( ) f '( ) 在 (,) 至少有两个不同实根 得证 (9)( 本题满分 分 ) 设薄片型物体 S 是圆锥面 y 被柱面 割下的有限部分, 其上任一点的密度为 全国统一服务热线 :

8 精勤求学自强不息 Bor to w! 9 y 记圆锥面与柱面的交线为 C ( ) 求 C 在 Oy 平面上的投影曲线的方程 ; ( ) 求 S 的 M 质量 y 答案 (I) (II)64 y () 由题设条件知, C 的方程为 y y 则 C 在 oy 平面的方程为 () m (, y, ) ds 9 y ds 9 y ddy s s D: y cos 8 d r dr 64 ()( 本题满分 分 ) 设 3 阶矩阵 A,, ( ) 证明 r( A) ; ( ) 若 3, 求方程组 A 的通解 答案 (I) 略 ;(II) 通解为 k, k R (I) 证明 : 由 3 可得 3, 即,, 3 因此, A 3, 即 A 的特征值必有 3 有 3 个不同的特征值, 且 3 线性相关, 又因为 A 有三个不同的特征值, 则三个特征值中只有 个, 另外两个非. 且由于 A 必可相似对角化, 则可设其对角矩阵为, 8 8 全国统一服务热线 :

9 Bor to w r( A) r( ) (II) 由 () r( A), 知 3 r( A), 即 A 的基础解系只有 个解向量, 可得 由 3 又 3,, A 3, 即 综上, A 3, 则 A 的基础解系为,,, A, 则 A 的一个特解为, 的通解为 k, k R ()( 本题满分 分 ) 设二次型 f (,, ) a 在正交变换 X QY 下的标准型 y y, 求 a 的值及一个正交矩阵 Q 3 6 答案 a ; Q, f Qy 3y 6y f (,, 3) X AX, 其中 A 4 a 由于 3 f (,, ) X AX 经正交变换后, 得到的标准形为 y 4 故 r( A) A a, 4 a y 4 将 a 代入, 满足 r( A), 因此 a 符合题意, 此时 A, 则 4, 全国统一服务热线 :

10 精勤求学自强不息 Bor to w! 4 E A 3,, 6, 3 4 由 ( 3 E A), 可得 A 的属于特征值 -3 的特征向量为 ; 由 (6 E A), 可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 由 ( E A), 可得 A 的属于特征值 的特征向量为 3 令 P,, 3, 则 P 3 AP 6, 由于,, 3 彼此正交, 故只需单位化即可 :,,,,,, 3,,,, 3 6 则 Q 3 Qy f 3y 6y 3 6 3, Q AQ ()( 本题满分 分 ) 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 X 的概率分布为 P( X ) P( X ),Y 的 y, y 概率密度为 f ( y), 其他 ( ) 求 P( Y EY ) ( ) 求 Z X Y 的概率密度 全国统一服务热线 :

11 Bor to w, 4 答案 ' (I) P{ Y EY} ;(II) f ( Z) F( Z), 3 9, 其他 ( ) E( Y) yydy 3 4 P( Y EY ) P( Y ) ydy ( ) F ( Z) P( Z ) P( X Y ) P( X Y, X ) P( X Y, X ) P( Y, X ) P( Y, X ) P( Y ) P( Y ) () 当,, 而, 则 F ( Z ) () 当,, 即 3 时, F ( Z) ; F ( Z) ; 时, F ( Z) ; 时, F ( Z) ( ). (3) 当 时, (4) 当 (5) 当 3, 综上, F ( Z), ( ), 3, 3, 所以 ' f ( Z) F ( Z), 3, 其他 (3)( 本题满分 分 ) 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体的质量做 次测量, 该物体 的质量 是已知的, 设 次测量结果 X X X, 相互独立且均服从正态分布 N (, ) 该工程师记录 全国统一服务热线 :

12 精勤求学自强不息 Bor to w! 的是 次测量的绝对误差 Z X (,, ), 利用 Z, Z Z 估计 (I) 求 Z 的概率密度 ; (II) 利用一阶矩求 的矩估计量 ; (III) 求 的最大似然估计量 答案 e, ( I ) fz ( ) ;, 其他 (II) 矩估计量 ˆ = X ; (III) 最大似然估计量 : ˆ ( ) Z X u ( ) F ( ) P( Z ) P( X ) 当, F ( ) 当, F ( ) P( X ) P( X ) F ( ) F( ) 当 时, X ' f ( ) F ( ) ( ) ( ) f f e e e 综上 f e ( ),, e ( ) E Z e d d e d ( ) 令 E( Z ) Z, Z Z X, 由此可得 的矩估计量 ˆ X. 对总体 X 的 个样本 X, X, X, 则相应的绝对误差的样本为 Z, Z, Z, Z X u,,..., 令 全国统一服务热线 :

13 Bor to w 其样本值为,,, u, 则对应的似然函数为 L( ), 其他 e,,, 对 L( ) 两边取对数, 当,, 时, 有 l L( ) l, d l L( ) 令 Z 3, 所以, ˆ ( ) d u Z X u 为所求的最大似然估计量 全国统一服务热线 :

精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E

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