一根据所给图表，回答下列问题。

Size: px

Start display at page:

Download "一根据所给图表，回答下列问题。"

伴椅盛
5 years ago
Views:

1 版权所有翻印必究 QQ 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学三 ) 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos,, () 若函数 f ( ) a 在, 处连续, 则 ( ) b,, (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 (A) 解析由 f ( ) 在连续可得 lm f ( ) f () cos lm lm, f () b ab a a a () 二元函数 z ( ) 的极值点是 ( ) (A) ( a,) (B) (,) (C) (,) (D) (,) 答案解析 z ( ) ( ) z ( ) ( ) z, z, z z 验证可得 ( A ) ( B ) (C ) ( D ) 四个选项均满足 z 其中 ( D ) 选项对应 A z (,), B z (,), C z (,) 满足 AC B, 所以该点为极值点. () 设函数 f ( ) 可导, 且 f ( ) f ( ), 则 ( )

2 版权所有翻印必究 QQ 488 (A) f () f ( ) (B) f () f ( ) (C) f () f ( ) (D) f () f ( ) 答案 (C) 解析令 F( ) f ( ), 则有 F( ) f ( ) f ( ), 故 F( ) 单调递增, 则 F() F( ), 即 [ f ()] [ f ( )], 即 f () f ( ), 故选 C (4) 设函数 s k l 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C) (D) 答案 (C) 解析由 k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ), 6 又 [s k l( )] 收敛, 故有 k, 即 k, 故选 C (5) 设是维单位列向量, E 为阶单位矩阵, 则 (A) E 不可逆 (B) E (C) E 不可逆 (D) E 不可逆不可逆解析选项 A : 由 ( E ) 可知,( E ) X 有非零解, 故 E, 即 E 不可逆选项 B : 由 ( ) r 知, 的特征值为,,,, ( ) 个 E 的特征值为故 +,,, ( ) 个, 因此 E+, 可逆选项 : C 同理可得 E+ 的特征值为,,, ( ) 个故 E, 可逆, 故 E+, 可逆选项 : D 同理可得 E 的特征值为,,,, ( ) 个

3 版权所有翻印必究 QQ 488 (6) 设矩阵 A, B, C, 则 (A) A 与 C 相似, B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似, B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似, B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似, B 与 C 不相似答案 (B) 解析由( E A)= 可知 A 的特征值为,, r( E A) A 可相似对角化, 且 A 由 E B 可知 B 的特征值为,, r( E B ) B 不可相似对角化, 显然 C 可相似对角化, A C 且 B 不相似于 C (7) 设 A, B, C 为三个随机事件, 且 A 与 C 相互独立, B 与 C 相互独立, 则 A B 与 C 相互独立的充要条件是 (A) A 与 B 相互独立 (B) A 与 B 互不相容 (C) AB 与 C 相互独立 (D) AB 与 C 互不相容答案 (C) 解析由 A B 与 C, 独立得 P(( A B) C) P( A B) P( C) P( AC BC) ( P( A) P( B) P( AB)) P( C) P( AC) P( BC) P( ABC) ( P( A) P( B) P( AB)) P( C), 又由 A 与 C, B 与 C 独立得 P( ABC) P( A) P( B) P( C) 由此验证 (A)(B)(C)(D) 四项, 又 (C) 选项可得 P( ABC) P( A) P( B) P( C) (8) 设 X, X X ( ) 为来自总体 N (,) 的简单随即样本, 记 X X, 则下列结论中不正确的是 (A) ( X ) 服从分布 (B) ( X X ) 服从分布

4 版权所有翻印必究 QQ 488 (C) ( X X ) 服从分布 (D) ( X ) 服从分布答案 (B) 解析 (A) X N(,) 故 ( X ) ( ) ; X X (B) X X N (, ) N (,) () ( ) 即 () (C) 由 S ( X X ),( ) S ( X X ) ( ) (D) ( X ) N,, 则 ( X ) N(,), 所以 4 ( X ) () 二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) (s ) d 答案解析由对称区间上积分的性质可知, (s ) d d () 差分方程 t t t 的通解为 t t t 答案 t C t, C R 解析由 t t t 可得齐次特征方程为 r, 得 r, 故其齐次方程的通解为 C t, 设 * at t, 代入得 a t t, 故通解为 t C t, C R

5 版权所有翻印必究 QQ 488 () 设生产毛产品的平均成本 C Q e Q, 其中 Q 为产量, 则边际成本为 Q 答案 C( Q) e ( Q) C 解析 ( Q ) Q e 得 C( Q) Q( e Q ), Q Q 则边际成本为 : C( Q) e ( Q) () 设函数 f (, ) 具有一阶连续偏导数, 且 df (, ) e d ( ) e d, f (,), 则 f (, ) 答案 e 解析由题可知, f e, f e, f e d e c ( ),, f e e c( ) e e () 设矩阵 A =,,, 答案解析, 即 c( ), 即 c( ) c f,,, 故 c, 即, 为线性无关的列向量组, 则向量组,, f e 的积为由于,, 线性无关, 可知矩阵 (,, ) 可逆, 故 r( A, A, A ) r( A(,, )) r( A ), 不难计算的 r( A ), 故 r( A, A, A ) (4) 设随机变量 X 的概率分布为 P{ }, P{ } a, P{ } b, 若 EX, 则 DX 答案 9 解析由分布律的归一性可知 a b, 又由于 EX, 可知 a b, 解得 9 9 a, b, 从而 EX ( ), DX EX (EX) 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过 5

6 版权所有翻印必究 QQ 488 程或演算步骤. t te dt (5)( 本题满分分 ) 求 lm t 解析先对变上限积分 te dt 作变量代换 u t, 得 t u u te dt ue ( du) e ue du 则由洛必达法则可知 : u e ue du 原式 = lm u ue du = lm e e = lm e e e = lm e e (6) ( 本题满分分 ) 计算积分 dd, 其中 D 是第一象限中以曲线与轴为边界的无界区域 4 ( ) D 解析积分区域如图所示, 选用直接坐标计算该积分, 先对积分, 后对积分得 6

7 版权所有翻印必究 QQ 488 原式 d d ( ) 4 d 4 4 ( ) d 4 4 ( ) 4 4 d ( ) d (arcta arcta ) 4 ( ) 8 k k (7) ( 本题满分分 ) 求 lm l( ) k 解析由定积分的定义式可知原式 = lm l l k k d k, 再由分部积分法可知 : l d l d l d l d 4 4 (8) ( 本题满分分 ) 已知方程 k 在区间 (,) 内有实根确定常数 k 的取值范围 l( ) 解析令 f ( ), l( ) f ( ) l ( ) ( )l ( ) ( )l ( ) 7

8 版权所有翻印必究 QQ 488 令 g( ) ( )l ( ), 可得 g ( ) l ( ) l( ) l( ) g( ), (,) 故 g ( ) 在 [,] 上单调递减, 从而 (,) 时 g( ) g() 故 g( ) 在 [,] 上单调递减, 从而 (,) 时 g( ) g() 因此有 f ( ), 可知 f ( ) lm f ( ) lm l( ) 在 (,] 上单调递减, 从而, 则要使得 f ( ) f (), l k 在 (,) 内有实根, 必有 k l (9)( 本题满分分 ) 设 a, a, a ( )(,, ) a a, S( ) 为幂级数 a 的和函数, (I) 证明幂级数 a 的收敛半径不小于 ; (II) 证明 ( ) S( ) S( ) ( (,) ), 并求 S( ) 的表达式解析 (I) 由 a ( ) a a, 两边同时减去 a 可知 a ( ) a a a ( ) ( ) a a ( a a ) ( a a ) ( )! ( )! 进而有 k ( ) ( ) ( ) ( ) 从而有 a a a! ( )!! k! 则 lm a lm lm, 故收敛半径 R ;!! (II) 由逐项求导定理可知 S( ) a k 8

9 版权所有翻印必究 QQ 488 故 ( ) S( ) ( ) a a a ( ) ( ) a a a a a S( ) a a 则 ( ) ( ) ( ) ( ) S S a a a a a ( a a ) 由 ( ) a a a, 可知又由于 a, 故 ( ) S( ) S( ) ce 解此微分方程可得 S( ) e 又由于 S() a, 可知 c, 从而 S( ) ()( 本题满分分 ) 设三阶矩阵 A (,, ) 有个不同的特征数, 且, (I) 证明 r( A) ; (II) 若, 求方程组 A 的通解解析 ( ) 由可知,, 线性相关, 从而 r( A), 可知为 A 的一个特征值, 设 A 的另外两个特征值为,, 由于 A 有三个互不相同特征值, 可知 A 可以相似对角化, 从而 A 相似于对角矩阵, 由于,, 可知 ( ) r, 从而 r( A) r( ) ( ) 先求 A 的通解 : 由于 r( A), 可知 A 的基础解系中仅含有一个向量, 从而 A 的任何一个非零解均为 A 的基础解系由于, 可知 A, 9

10 版权所有翻印必究 QQ 488 因此即为 A 的基础解系, A 的通解为 k, k R 再求 A 的特解 : 显然 A, 因此即为 A 的特解, 综上所述, A 的通解为 k, k R ()( 本题满分分 ) 设二次型 Q 下标准型为 f (,, ) a 8 在正交换, 求 a 的值及一个蒸饺矩阵 Q 4 解析二次型的矩阵为 A, 由于二次型在正交变换下的标准性为 4 a, 可知为 A 的一个特征值, 从而 A a 6, 可得 a 要计算正交矩阵 Q, 先求 A 的特 4 征值, 则由 E A ( 6)( ), 得 A 的特征值为,6, 4 先求的特征向量 : A 的基础解系为, 单位化得, 6 再求 6 的特征向量 : ( A 6 E) 的基础解系为, 单位化得, 再求的特征向量 : ( A E) 的基础解系为, 单位化得, 故 Q (,, ) 6 6

11 版权所有翻印必究 QQ 488 ()( 本题满分分 ) 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 X 的概率分布为 P{ X } P{ X },,, Y 的概率密度为 f ( ), 其他, (I) 求 P{ Y EY} ; (II) 求 Z X Y 的概率密度解析 (Ⅰ) 由数字特征的计算公式可知 : EY f ( ) d d 4 则 P{ Y EY} P Y f ( ) d d 9 (Ⅱ) 先求 Z 的分布函数, 由分布函数的定义可知 : F ( z) P{ Z z} P{ X Y z} 由于 X 为离散型随机变量, 则由全概率公式可知 Z F ( z) P{ X Y z} Z P{ X } P{ X Y z X } P{ X } P{ X Y z X } P{ Y z} P{ Y z } FY ( z) FY ( z ) ( 其中 FY ( z ) 为 Y 的分布函数 : FY ( z) P{ Y z} ()( 本题满分分 ) 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体进行次测量, 该物体的质量是已知的设次测量结果为 X, X, X 相互独立且服从正态分布 N(, ), 该工程师记录的是次测量的绝对误差 Z X (,, ), 利用 Z, Z, Z 分记 (I) 求 Z 的概率密度 ; (II) 利用一阶矩求的矩估计量 ; (IIII) 求的最大似然估计量 ; 解析 ( I ) 因为 X N, 所以 Y X ~ N(, ), 对应的概率密度为 ~ (, ) fy e, 设 Z 的分布函数为 F z, 对应的概率密度为 f ( z ) ; 当 z 时, F z ;

12 版权所有翻印必究 QQ 488 z 时, 当 z F z P{ Z z} P{ Y z} P{ z Y z} e d ; z 则 Z 的概率密度为 z e, z> f ( z) F( z) ;, z ( II ) 因为 z EZ z e dz, 所以 EZ, 从而的矩估计量为 Z Z ; (II) 由题知对应的似然函数为 L( z, z,..., z, ) e, 取对数得 : z d l L( ) z d l L( ) l L l l, 所以, 令, d d z 得 z, 所以的最大似然估计量为 Z 中公考研关注微信公众号中公考研网 9 考研交流 5 群 : 考研交流 7 群 :454684

精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设是维单位列向量, E

精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设是维单位列向量, E Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )

一 根据所给图表，回答下列问题。

一根据所给图表，回答下列问题。