学习指导（四）：欧氏空间

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解牙廖
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1 一内容提要第五章向量空间本章首先从 R 中向量的线性关系出发建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量建立起度量空间的初步概念从而构成初步的欧氏空间本章的讨论仅限于 R 及其子集所有概念均是狭义的初步的一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组秩线性表示等等但一般的向量组不一定是完备的即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内而更广泛的进一步讨论和应用常常需要完备的向量组这就是本节所要讨论的向量空间. 主要概念 ) 向量空间 : 设 V 为 R 的一个非空子集如果 V 满足 :V 对向量的加法和数乘运算是封闭的即 V 中任意两个向量的任意实系数 ) 线性组合仍在 V 中 : V k l R k l V 则称 V 为一向量空间 ) 基与维数 : 设 V 是一个线性空间是 V 中的一组向量如果满足 : a) b) 线性无关 ; V 中的向量都可以由线性表示 ; 则说 dim V ) 是 V 的一个基称为 V 的维数称 V 是维线性空间记作 ) 子空间 : 设 V 是向量空间 U 的一个子集如果关于 U 中的线性运算 V 也能构成向量空间则称 V 是 U 的一个子空间 ) 向量的内积范数单位化 ) 距离夹角正交正交组规范正交基正交化 ) 正交阵正交变换 ) 生成空间的概念是一个重要的概念事实上任何一个向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空间这就使我们有可能以有限的形式来把握一个无限的空间. 主要结论 ) 定理 : 向量的内积满足以下运算律 : ) 交换律 : X Y Y X ; ) 对加法的分配律 : X Y Z X Y X Z ; ) 与数引子的结合律 : kx Y X ky k X Y ; 7

2 ) 非负性 : X X 且 X X 当且仅当 X O ) 定理 : 正交阵有以下性质 : ) 正交阵可逆其逆阵即其转置且仍为正交阵 ; ) 正交阵的行列式为 ± ; ) 正交阵之积仍为正交阵 ; ) 阶正交阵的行列 ) 向量组构成 R 的正交规范基二例题解析例. 在 R 中就是一个基所以 R 是一维空间 ; 在 R 中 ) ) 是一个基所以 R 是维空间 ; 在 R 中是一个基所以 R 是维空间例. 设 R 的所有实系数线性组合的集合记作 U { X R } i i 试证 :U 关于 R 中的线性运算构成线性空间证首先 X Y U k l R 记 X Y y y 则 kx ly k ly) k ly ) 且 k ly R i i i 故 kx ly U 其次由于运算与 R 中一致且所有八条运算律在 U 中仍成立故满足规范性例如零元为 θ ; 任一元 X 的负元为 X ) ) 因此 U 关于 R 中的线性运算构成线性空间例. 设 ) ) ) 6) 试求它的秩和一个极大无关组并以之表出向量组内其他向量解法一用行初等变换求列秩 : 将所给向量分别转置后组成矩阵然后施以行初等变换 : ~ A )

3 8 9 ) ) 可见秩为可取为一个极大无关组且有表示式分析 : 注意到 A ~ 正是线性方程组的增广矩阵本方法不过是用初等变换解这个方程解法二用行初等变换求行秩 : A ) 6 化成行阶梯形后可知 :i) 矩阵的秩为则其行向量组的秩为 ;ii) 可取为一个极大无关组 ;iii) 可由第四行导出注 : 解法二的要点是 : 在做行初等变换时用相应的行向量线性运算把各步变换记录下来解法三利用行列式 : A D 而 D 是一个阶非零子式故从而知向量组的秩为且所在的前三行线性无关因此 ) A D 可取作一个极大无关组至于求表示式则还需要解方程等于把解法一再走一遍例. 设 A : 线性无关向量组 B : 能由向量组 A 线性表示为 : K ) ) 9 9

4 其中 K 为表示矩阵证明 : B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 K ) 证 : 记 ) A ) B K ξ ξ ) 则有 B AK 必要性 : 设 B 组线性无关则 B) 而 K 为矩阵 K ) 由 B) mi{ A) K)} K ) 便可推出 K ) 充分性 : 设 K ) 则 K 列满秩 ξ ξ 线性无关为证 B 组线性无关考察 h 并记 h ξ ξ η 于是有 : h h h h h h ) Bh AKh A ξ ξ ) Aη h h 注意到 A 组线性无关则 A η 唯有零解 η 而由假设 ξ ξ 线性无关则由 h ξ ξ η 推知唯有零解 h h 这表明 h 唯有零解 h h h 从而得线性无关即 B 组线性无关 h 注 : 如果本题附加条件则 K 是方阵充分性的证明将简单得多 : K) K 可逆 BK A 两向量组等价 B) A) B 组线性无关如果条件进一步加强为向量的维数 ) 则证明将更简单 : B 组线性无关 B A K K A ) K) 在不同的条件下所用的证法也会不同条件越强证法就越简单请注意体会例. 设有向量组记 hij [ i j ] i. j ) 为两个向量之间的内积并记 H h h h 试证明:) 向量组 h 线性无关当且仅当 H ;) 向量组是标准正交组当且仅当 H E 证 :) 记 ) A 则 A) 若 H 则 H ) 注意到 H [ ] [ ] [ ] [ ] ) A A

5 于是由 H ) mi{ A ) A)} A) 推出 A) 线性无关反之若线性无关则 A) 利用关系式 A) A A) 参见 Uit 的例.) 便知 H ) A A) A) H i j ) H E 当且仅当 i j ] δ ij 即 i j [ 是标准正交组例.6 设 y 为两个维列向量证明柯西 - 许瓦尔兹不等式 : [ y] y 证 : 任取一个实变量 t R 考察向量 t y 的范数平方 : t y t y) t y) t y ) t y) ) t y) t y y t [ y] t y f t) 这是一个关于 t 的二次函数由知其图像开口向上 ; 由 t y 知其判别式 Δ b ac 亦即 [ y]) y 移项后两端约去即得不等式 :[ y] y 这便是柯西 - 许瓦尔兹不等式的平方形式若要题中的形式则两端开方即可三参考习题量组. 证明 : 两个向量线性相关当且仅当它们的分量成比例. 设为一组向量常数与向量组 λ 记 λ i 有相同的相关性而证明 : 向 i i. 设为一组非零向量按所给的顺序每一 i 都不能由它前面的 i 个向量线性表示证明这组向量线性无关 y. 设试讨论此向量组的线性相关性. 设一组向量中线性相关而线性无关试问 :) 能否由线性表示? 为什么?) 能否由线性表示? 为什么?

6 .6 在 R 中求单位向量使其与都正交参考答案与提示 :. 提示 : 用反证法. 或 6 y 时线性相关 ; 6 且时线性无关. ) 可以 ;) 不可以 y.6 提示 : 解齐次方程组求得基础解系后再单位化 6

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP:// 线性空间与线性映射知识回顾 1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,