一根据所给图表，回答下列问题。

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燕粗孟
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1 一选择题 : () 下列结论中正确的是 ( ) 8 年考研数学模拟试题 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟版权所有翻印必究 (A) 若 f () 在点处连续则 f () 在点处也必连续 ; (B) 若 f ( ) 在点处连续则 f () 在点处也必连续 ; (C) 若 f ( ) 在点处连续则 f () 在点处也必连续 ; (D) 若 f () 在点处连续则 f ( ) 在点处也必连续. 答案 :(C) 解析 : 取 f ( ) 排除 (A) 和 (B) 取 f ( ) 排除 (D) 选 (C). 证明 (C): 因为 lim f ( ) 于是 f ( ) 故 lim f ( ) f ( ). f ( ) si( ) () 设为常数则级数 [ ]( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与的取值有关答案 :(C) si( ) si( ) 解析 : 由于可知绝对收敛发散. 可知该级数发散故选 C. () 设曲线积分 [ f ( ) e ]si d f ( )cos d 与路径无关其中 f( ) 具有一阶连续导数且 f () 则 f( ) 等于 ( ) L (A) ( e e ) (B) ( e e ) (C) ( e e ) (D) ( e e ) 答案 :(B) 解析 : 报名专线 :-6-966

2 () 设 f( ) (A) 在点 (B) 在点为微分方程 ' g( ) 满足处处 f( ) f( ) 取极大值取极小值 () 版权所有翻印必究的解而 g( ) si( t) dt 则 f (C) 点 ( ()) 为曲线 f ( ) 的拐点 (D) 答案 :(B) 不是 ( ) f 极值点也不是拐点解析 : 由 ' g( ) g( ) si( t) dt si u du 等式两边同时求导得 '' ' si 将可知在点处 f( ) 取极小值知 () '' 代入可得 (5) 假设 A 是阶方阵其秩 r 那么在 A 的个行向量中 ( ) (A) 必有 r 个行向量线性无关. (B) 任意 r 个行向量线性无关. (C) 任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表出. 答案 :(A) g 从而 '(). 解析 : A 的行向量组的极大线性无关组中含有 r 个向量所以 A 的个行向量中必有 r 个行线性无关 (6) 二次型 f A 正定的充要条件是 ( ) (A) A (B) A 的负惯性指数为 (C) 存在阶矩阵 C 使 A C C (D) A 合同于 E 答案 :(D) 解析 : A 正定的充分必要条件是 A 合同于 E. 故应选 (D). (7) 设 A B为两随机事件且 B A 则下列式子正确的是 ( ) (A) P( AB) P( A) (B) P( AB) P( A) (C) P( B A) P( B) (D) P( B A) P( B) P( A) 答案 :(A) 解析 : 由 A B 得 A B A 因而 P( AB) P( A).

3 N (8) 设随机变量和 Y 相互独立且均服从正态分布 ( ) 则若概率 P by (A) b (B) b (C) b (D) b 答案 :(B) 解析 : 因为 by E by E bey b 二填空题服从正态分布根据题设 P by 知故 b 只有 (B) 满足要求 E by 而 (9) 具有特解 e e e 的三阶常系数齐次线性微分方程是答案 : 解析 : 由题设知 r 为所求齐次线性微分方程对应特征方程的个根而可知该方程为 ( r ) ( r ) r r r () 已知曲面 z 上点 P 处的切平面平行于平面 z 则点 P 的坐标是答案 :() 解析 : 曲面在点处的法向量为平面 z 的法向量是可见要使得点 P 处的切平面平行于平面 z 则有可知点 P 的坐标是 () 设 L 为取正向的圆周答案 : 8 解析 : 运用格林公式得 L 9 则曲线积分 ( ) d ( ) d = ( ) ( ) ( ) d ( ) d dd dd D D 其中 D 为圆域 9 可知 ( ) d ( ) d 8 L L 报名专线 :-6-966

4 () 设 t f ( ) e dt f( ) 则 d 答案 : e 解析 : 积分区域如右图 f ( ) d t I d e dt. 交换积分次序 t t d t I e dt e dt te dt e e. 故应选 B. t t () 已知 ( ) 答案 : 解析 : 设是矩阵即 ( ) 即 ( ) ( ) 是矩阵 A 的逆矩阵的特征向量那么 A 属于特征值的特征向量由定义解得 5. ( ) 于是 A A () 随机变量的密度函数 f ( ) Ae. 随机变量 Y b N() 则 b. 答案 : 解析 : N( ) 故 N() b 可知 b. 三解答题 :5 小题共 9 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 求函数 f ( ) e 的极值

5 解析 : 解方程组求得驻点 f e f ( ) e ( ) 所以 AC B e 由判定极值的充分条件知在点. 又 A f e B f C f e e 处函数取得极小值 f d (6)( 本题满分分 ) 在微分方程 d 的一切解中求那样一个解 ( ) 与直线及解析 : 原方程可化为所围成平面图形绕 d. 这是一阶线性微分方程由通解公式知 d ( ) 旋转一周的旋转体体积最小. 使得曲线 d d e e d C C C. 由曲线 C 与直线及所围成平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积 5 7 V C C d C C 5. 为 ( ) 6 5 令 V '( C) C 5 75 解得 C 又 V ''( C) 故 C 是唯一极小值点也是最小值点所以. (7)( 本题满分分 ) 设函数 f( ) 在 [] 上连续在 () 内可导且证明 : 存在 () 使得 f ( ) f ( ). () ( ) ( ) f f d 5 报名专线 :-6-966

6 解析 : 令 F( ) ( ) f ( ) 则 F( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) 由积分中值定理知存在 c[] 使得 () ( ) ( ) ( ) ( ) f f d c f c 即 F() F( c) 由罗尔定理知存在 ( c) () 使得 f ( ) f ( ). (8)( 本题满分分 ) 设数列的极限存在并求极限 lim. F( ) 满足解析 : 因为且所以. 即 ( ) f( ) ( ) f( ) 即证明 : 数列 { } 可知显然. 由又因为所以所以此数列是单调递减的所以由单调有界必收敛准则可知数列 { } 的极限存在. 不妨设 lim 对等式两边同时取极限 lim lim 得解得或 ( 舍去 ) 所以数列 } 的极限存在且 lim. { (9)( 本题满分分 ) 计算 I ddz dzd z z dd 其中是不通过点的球面 z R 的外侧 P Q R I Rdd 通过计算可知 z 解析 : 设 Pddz Qdzd () 当的内部不包含点时根据高斯公式可知 I 6

7 7 报名专线 : () 当的内部包含点时作曲面 : z 内侧选充分大使在的内部于是和是二连通区域的边界曲面现在 dv z R Q P 根据高斯公式 ( 二连通区域 ) 内侧外侧于是外侧内侧外侧 I 在 ( 外侧 ) 上 z 故积分可以化简外侧 dd z dzd ddz I 令是以 ( 外侧 ) 为边界的空间区域 z 再用高斯公式 dv I ()( 本题满分分 ) 线性方程组 (i) 与 ( ii) 5 b 有公共的非零解求 b 的值和全部公共解. 解析 : 因为线性方程组 (i) ( ii) 有公共的非零解所以它们的联立方程组 (iii) 有非零解即 (iii) 系数矩阵 A 的秩小于对矩阵 A 进行初等行变换得 6 5 b b A 所以 b. 且 A r.

8 此时可解方程组又 R A ( 其中 k 为任意常数 ) 即为 (iii) 的一个非零解. 得 k 所以构成 (iii) 的基础解系因此 (i) 和 (ii) 的全部公共解为 ()( 本题满分分 ) 设 A 是实对称矩阵 A A 的三个特征值之和为且 ( ) 是方程组 ( A E) 的一个解向量. 求矩阵 A ; 求方程组 ( A 6 E) 的通解. 解析 : ( ) 是方程组 ( A E) 的一个解向量 ( A E ) 即 A 又 * * A A AA A E E 故 AA A A 所以 ( ) 是 A 的对应特征值的特征向量 ; 设 A 的另外两个特征值为则 A 解得设对应的特征向量为 ( ) 则它与 ( ) 正交即其基础解系为 ( ) ( ) P ( ) 则 P AP 令所以 A PP ( A 6 E) ( AA 6 A) ( A E) AE ~ 8

9 同解方程组为通解为 k( ) k( ) 其中 ()( 本题满分分 ) 从数集 56 中任意取出一个整数集的正整数个数试求 : (Ⅰ)Y 的概率分布 ; 与 (Ⅱ) Y 的联合概率分布 ; (Ⅲ) 与 Y 的相关系数解析 : 将 Y 取值情况列表如下 : k k 用 Y 为任意常数. 表示该数集中能整除 (Ⅰ) 由此即可求出 Y 的概率分布即 Y ( Ⅱ) 从乘法公式 p P i Y j P i PY j i ij 与 P i i 6 可以求出 ( Y ) 的联合概率分布. 列表如下 : 6 的概率分布 : 9 报名专线 :-6-966

10 在这里条件概率 PY j i 的值非即. 比如在 P Y P Y j j. 即版权所有翻印必究的条件下 Y 的取值必然是 (Ⅲ) 上述联合分布表中最后一列与最下一行分别关于和关于 Y 的边缘分布容易计算出 E E D EY EY DY 9 E( Y ) ijpij i j 57 9 cov( Y) EY EEY 6 6 cov( Y) P D( ) D( Y) ()( 本题满分分 ) 已知随机变量服从指数分布 E 当 ( ) 时 Y 服从指数分布 E () 求 Y 的边缘概率密度 fy ; () 求条件概率密度 f Y ; () 求 PY. 解析 :() 由题意可知的边缘概率密度为 f ( 由于 f Y 所以当 ) 时 Y 的条件概率密度为 f f f ( ) Y 时有 f f f Y 时由于 f 可知从而 f fy f d 当 e 其它 f ; 时 Y f e e e

11 时当可知 f Y () 当 fy e d 时 f e f Y f fy 报名专线 :-6-966

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +

一 根据所给图表，回答下列问题。

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