Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用

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犹话衷
5 years ago
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1 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中, 在错误! 未找到引用源处不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f cos( ) 答案 D A 可导 : D. f ( ) cos( ) si si si si f - lim lim, f lim lim B 可导 : si si si si f - lim lim, f lim lim C 可导 : cos - - cos - f lim lim, f lim lim D 不可导 : cos cos - f lim lim, f lim lim - f f -. 已知函数 f 在, 上二阶可导, 且 f 时, A. 当 f 时, C. 当答案 D f d, 则 f B. 当 f D. 当 f 时, f f 时, f

2 ,, f A 错误 : f, f d d f B 错误 : f, f d d, f, f 4 f,,, f C 错误 : f d d f D 正确 : 方法 : 由 f 可知函数是凸函数, 故由凸函数图像性质即可得出 f 方法 : f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( )( ), 介于和之间, f ( ) d ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f f f d f f d 又 f ( ), 故 f ( ).. 设 M d, N, cos, d K d 则 e A. M N K B. M K N C. K M N D. K N M 答案 C M ( ) d d -, cos, 时, 所以 K M 令 f ( ) e, f (), f ( ) e 当, f ( ) ;, f ( ) 时, 当时, 所以 -, f ( ) N<M, C 时, 有, 从可有, 由比较定理得故选 e

3 4. 设某产品的成本函数 CQ 可导, 其中 Q 为产量, 若产量为 Q 时平均成本最小, 则 ( ) A. CQ B. CQ C Q C. CQ Q C Q D. Q CQ C Q 答案 D C Q 根据平均成本 C, 根据若产量为 Q 时平均成本最小, 则有 Q QQ C Q Q C Q C Q Q C Q C C Q Q C Q Q Q QQ 5. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为 A. B. C. D. 答案 A 方法一: 排除法令 Q 选项 A: 令 A 选项 B: 令 B 选项 C: 令 C, 特征值为,,, r E Q, A 的特征值为,,,, B 的特征值为,,,,C 的特征值为,,, r E A r r E B r r E C r

4 选项 B: 令 D, D 的特征值为,,, r E D r 若矩阵 Q 与 J 相似, 则矩阵 E Q与 E J 相似, 从而 r E Q r E J, 故选 (A) 方法二 : 构造法 ( 利用初等矩阵的性质 ) 令 P, P P P 故选 (A), 所以与相似 6. 设 AB, 为阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY, ) 表示分块矩阵, 则 A. r( A AB) r( A). B. r( A BA) r( A). C. r( A B) ma{ r( A), r( B)}. D. ( ) ( T T r A B r A B ). 答案 (A) r( E, B) r( A, AB) r[ A( E, B)] r( A) 故选 (A), 7. 设 f( ) 为某分布的概率密度函数, f ( ) f ( ) A.. C..4 答案 A B.. D..6 特殊值法 : 由已知可将 ( ) 布的对称性, P X. f 看成随机变量, f d.6, 则 PX { } X N 的概率密度, 根据正态分 8. 已知 X, X,, X 为来自总体 X ~ N(, ) 的简单随即样本, X Xi i, S X X S X * ( i ), ( i ) i i, 则

5 A. ( X ) ~ t ( ) S B. ( X ) ~ t ( ) S C. ( X ) ~ t ( ) * S 答案 B X N, 又 X与 S 相互独立, 所以 X N X 所以 * S S X D. ( X ) ~ t ( ) * S S, N,, * X,, t S,, 故选项 C,D 错, t, 故选项 B 正确, 而 A 错. X与 S 相互独立二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 曲线 f ( ) l 在其拐点处的切线方程是. 答案 y4 y l, 定义域为 { }, y', y '', 令 y'', 则, 由于, 故, 故拐点为 (,), y'( ) 4, 则过拐点 (,) 的切线方程为 y 4( ) 即 y4.. e arcsi e d. 答案 e arccose e C. e arcsi e d arcsi e de t e arcsi t dt t cosu u si udu u cosu cosudu u cosu si u C e arccos e e C. 差分方程 y y 5 的解为.

6 答案 y = CC 5 y y 5 y y 5, 特征方程为 : r r r, r, 齐次形式的通解 : C C, 由于 f ( ) 5, 故特解设为 y a, 代入得 a 5 综上, 通解为 y C C 5. 设函数 f( ) 满足 f ( ) f ( ) f ( ) o( ), 且 f (), 则 f (). 答案 e f ( ) f ( ) f ( ) o( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) Ce C f () f ( ) e f () e. 设 A 为阶矩阵,,, 为线性无关的向量组. 若 A, A, A, 则 A 的实特征值为. 答案 ( A, A, A ) A(,, ) (,, ) 线性无关, P,,,, A与 B相似, 特征值相等可逆, P AP B E B 实特征值 4. 已知事件 A, B, C 相互独立, 且答案 p( A) p( B) p( C), 则 p( AC AB).

7 B P A PC P AC AB P AC ABC P AC P ABC P ABC P AC A P A B P A B P A P B P AB P A P B P A P B 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 5. lim ( a b) e 答案 a, b 方法 : t, 求 ab, t ( a bt) e lim ( a b) e l t t t ( a bt)( t o( t)) ( a ) ( a b) t o( t) lim l t t t t a a 故 a b b 方法 : lim ( a b) e lim ( a b){[ o( )] } b lim [( a ) a b ( a b) o( )]. a a 故 a b b 6. 求 D ddy, D 由 y ( ) 与 y y 轴围成答案 6 D ( ) ddy d dy 6

8 7. 一根绳长 m, 截成三段, 分别拆成圆正三角形正方形, 这三段分别为多长时所得的面积总和最小, 并求该最小值答案假设圆的半径为, 正方形边长为 y, 正三角形边长为 z, 则有 4y z,, y, z 4 令 f, y, z= y z 4y z f y z y z y z 4 f f y 4 y f z z 4y z,, = 4 求解上述方程得到, 驻点为,, +4+ 最小面积为, S mi = 已知 cos a ( ), 求 a 答案 cos ( ) a, cost 根据根据! t cos 根据 ( ) cos, 则!, 则 a, 左右两边同此项系数相同, ; ;

9 a 为奇数时, ; a 为偶数时,!! a, 为奇数为偶数,! 综上 9. 数列,, e e,,,..., 证明数列收敛, 并求 lim () 有界性 : 由 e e 有 e e e l 则 e l 设 f e f e, 且 f f 单调递增, 故 f 而 e e 因此在时大于, 而用数学归纳法可证之. 对, e l, e e e 单调性 : l = l l e l e 设 g e e, g e 显然当时, g, 则 g 单调递减, 又 g e g g, e e e

10 e l,,,, 故 e 单调递减综上可知单调递减且存在下届, lim 存在. () 设 lim a, ae a a e. 故 a. ( 本题满分分 ) 设实二次型 f (,, ) ( ) ( ) ( a ), 其中 a 是参数 () 求 f (,, ) 的解 () 求 f (,, ) 的规范形 f (,, ) () a A a a 当 a, 即 a 时, r( A), A f (,, ) 有非零解通解为 k, k R 当 a, 即 a 时, r( A), f (,, ) 只有解

11 即 () 由 () 可得 : 当 a 时 A, A a 令 y A 为非退化的线性变换,, f y y y 当 a 时 f,, 6 6 令 : y y y 二次型的标准型为 y 二次型的规范型为 z. ( 本题满分分 ) y z a a 已知 a 是常数, 且矩阵 A 可经初等列变换化为矩阵 B 7 a () 求 a () 求满足 AP B 的可逆矩阵 P 答案 () a 6k 6k 4 6k 4 () P k k k k k k () k k, k, k, k R,

矩阵 A 经过初等列变换得到矩阵 B 矩阵 AB, 等价 r A r B a a A 7 a a a B a a, a () a a 6 4 4 AB, 7 a 6k 6k 4 6k 4 X k, Y k, Z = k k k k 6k 6k 4 6k 4 k k k k k k k k P 可逆, k k 6k 6k

12 矩阵 A 经过初等列变换得到矩阵 B 矩阵 AB, 等价 r A r B a a A 7 a a a B a a, a () a a AB, 7 a 6k 6k 4 6k 4 X k, Y k, Z = k k k k 6k 6k 4 6k 4 k k k k k k k k P 可逆, k k 6k 6k 4 6k 4 P k k k k k k k k, k, k, k R,. 已知随机变量 XY, 相互独立, 且 P( X ) P( X ), Y 服从参数为的泊松分布, Z XY () 求 Cou( X, Z ) ().cov(, ) cov(, ) () 求 Z 的分布律 X Z X XY EX Y EXEXY EY

13 (). Z的所有可能取值为,,,, P( Z k) P( X Y k) P( XY k X ) P( X ) P( XY k ) P( X ) P( XY k, X ) P( XY k, X ) P( Y k, X ) P( Y k, X ) P( Y k) P( Y k) 当 k : P( Z ) e + e = e k k 当 k : P( Z k) e e ( k )! ( k )! k k 当 k : P( Z k) e e k! k!. 已知总体 X 的密度函数为 f (, ) e, X,..., X X 为来自总体 X 的简单随机样本, 为大于的参数, 的最大似然估计量为 () 求 () 求 E, D 对于样本值,,..., i i () 似然函数为 L(,,...,, ) e 取对数得 l L( ) l l i i i l L( ) i 解得 i i 的最大似然估计量为 i X i

14 () E( ) E( i ) E( X ) e d i D D D X E X E X ( ) ( ( )) [ ( ) ( ( )) ] i i 其中 E( X ) e d, D( ).

Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C

Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C Bor to wi 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f ( ) cos D. f ( ) cos( ) 答案 D A 可导