新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念

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1 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 考研数学 - 讲义 主讲 : 朱长龙 欢迎使用新东方在线电子教材 目 录 第一讲行列式... 第二讲矩阵... 9 第三讲向量... 第四讲线性方程组... 3 第五讲特征值和特征向量 第六讲二次型... 43

2 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念 排列与逆序数 () 排列 把 个不同的元素排成一列, 就叫做这 个元素的全排列, 简称排列 比如 3 为一 个 3 级排列,534 是一个 5 级排列 不同的 级排列共有! 个. () 逆序 逆序数 在一个 级排列 j j 中, 若一对数 jj s t, 大前小后, 即 js jt, 则 s t jj 构成了一个 逆序 一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数, 记为 ( j j ) 如:534 逆序数是 5, 记作 (534) 5, (3) 0. (3) 对换 排列 j j 中, 交换任两个数的位置, 其余不变, 则称对排列作了一次对换. 对换一次改变排列的奇偶性 如 (3) 0, (3) 3. 阶行列式的定义 () 引例 () 定义

3 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 a a a a a a D ( a ) ( ) a a ( jj j ) j j a a a ( ) ( jj j ) a j a j D 是一个数值, 是! 项的代数和, 每项均取自不同行不同列的 个元素的乘积 ; a a a 0 a a 例. 上三角行列式 D. 0 0 a 二 行列式的性质 性质 行列式的行与列 ( 按原顺序 ) 互换,( 互换后的行列式叫做行列式的转置 ) 其 a a a a a a a a a a a a 值不变, 即. a a a a a a 性质 行列式的两行对换, 行列式的值反号 a a a a a a a a a a a a j j j. a a a a a a j j j a a a a a a ) 行列式中两行对应元素全相等, 其值为零, 即当 a a ( j, l,,, ) 时, 有 l jl

4 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 a a a D a a a a a a j j j 0 a a a ) 若换奇数次则变号, 偶数次不变 性质 3 行列式的某行 ( 或列 ) 元素都乘 k, 则等于行列式的值也乘 k a a a a a a ka ka ka k a a a. a a a a a a 性质 4 如果行列式某行 ( 或列 ) 元素皆为两数之和, 则其行列式等于两个行列式之和 a a a a a a a a a a b a b a b a a a b b b. a a a a a a a a a () 某行元素全为零的行列式其值为零 ; a b a b a a a b b a b b c d c d c c c d d c d d (). 性质 5 在行列式中, 把某行各元素分别乘非零常数 k, 再加到另一行的对应元素上, 行列式的值不变 ( 简称 : 对行列式做倍加行变换, 其值不变 ), 即 a a a a a a a a a a a a. a a a ka a ka a ka a j j j j j j a a a a a a 3

5 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 a a 0 例. 计算 阶行列式 D, a 0,,,,. 例.3 计算行列式 0 a a b b b b a b b D b b a b b b b a 三 行列式的展开定理 ( 降阶法的基础 ) 引例与余子式与代数余子式 A ( ) j M. ) 余子式和代数余子式都是比原行列式低一阶的行列式, 其值只与 a 的位置有关, 而 与 a 的取值无关. 如 等的 ; a a a 3 a a a 3 a a a ) M, A 最多差一个符号. 行列式的展开定理 J 0 Q a K a, 3 a A a 3 33, a 与 0 的余子式与代数余子式是相 行列式对任一行 ( 列 ) 展开, 其值相等, 即 D a A a A a A a A,(,,, ) j D a A a A a A a A k kj kj j j j j j j 其中 A ( ) j M, M 是 D 中去掉第 行第 j 列全部元素后, 按原顺序排成的 阶行列式, 称为元素 a 的余子式, A 为元素 a 的代数余子式. ) 运用展开定理降阶时, 应先用性质化某行 ( 或列 ) 只剩一个非零元 ; ) 行列式某一行 ( 或列 ) 的元素乘另一行 ( 或列 ) 对应元素的代数余子式之和等于零, 4

6 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 即 k jk j j j k a A a A a A a A 0( j). 例.4 设行列式 D 则第 4 行元素余子式之和的值为 例.5 范德蒙行列式 x x x x 3 3 j j V x x x x ( x x ) x x x x 3 ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) ( x x ). 这里 j 3 3 j 例.6 计算行列式 D5 4 3 之值. 4 3 方法运用点睛 计算行列式的方法 () 用定义 ; 4 () 三角形法, 利用性质, 将行列式化为较简单或容易计算的行列式 ( 如上 下三角 行列式 ); (3) 降阶展开法, 即利用性质将某行 ( 或列 ) 的元素尽可能多的化为零, 然后按该行 ( 或列 ) 展开, 将 阶行列式计算化为 阶行列式的计算 ; (4) 范德蒙行列式 ; (5) 递推法, 是在降阶中找出高阶行列式 D 与低阶行列式 D( r r, 通常是 r ) 的关系, 即递推公式, 利用递推公式递推求得 D ; (6) 特征值法 ; (7) 分块法. 四 克莱姆法则 5

7 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 解法 引例 克莱姆法则 个未知量 个方程的线性方程组, 在系数行列式不等于零时的方程组 ax ax a x b a x a x a x b 定理设线性非齐次方程组 a x a x a x b (I) 或简记为 j a a a a x j b,,,, a, 其系数行列式 a a D 0, 则方程组 (I) 有唯 a a a D j 一解 x j, j,,,, 其中 D j 是用常数项 b, b,, b D 替换 D 中第 j 列所成的行列式, 即 D j a a b a a j j a a j b a j a. a a b a a j j () 若非齐次方程组无解, 则 D 0 ; () 若齐次线性方程组 j a x j 0(,,, ) 的系数行列式 D a 0, 则方 程组只有零解 x 0, j,,, ( 此时 D 0, j,,, ); j (3) 若齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式 D a 0 x x x3 6 例.7 求解下列三元线性方程组 x x x3 5. x x x3 x x x3 ax4 0 x x x3 x4 0 例.8 齐次线性方程组 x x 3x 3 x 4 0 x x ax3 bx4 0 题型 数字型行列式的计算 j 基本题型与典型例题 有非零解时, ab, 必须满足什么条件? 6

8 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 例 四阶行列式 a a b 0 0 b a 0 b b a 4 4 的值等于 ( ) a a a a (A) bb b b (B) a a a 3 a 4 bb b 3 b 4 ( a a bb )( a a b b ) (D) ( a a 3 b b 3 )( a a 4 bb 4 ) (C) b c c a a b 例 a b c a b c a x a a a 3 4 x x 0 0 例 3 0 x x x x a a 例 4 4 阶行列式 a a x 0 0 x 0 0 x 例 5 设 f( x) x x x x 3x, 则 f( x) 0 的实根个数 ( ) (A)0 (B) (C) (D)3 题型 含参数行列式的计算 3 例 若 k k 0, 则 例 若 3 0, 则 3 题型 3 阶行列式的计算 7

9 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 a a a a 例 3 证明: D ( ) a a a a a a 题型 4 余子式 代数余子式的计算 例 4 设 A 3 4, 则 A A 3A 4A () 3 4 A A M ()

10 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第二讲 矩阵 考试内容 矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算 考试要求. 理解矩阵的概念, 了解单位矩阵 数量矩阵 对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵和反对称矩阵, 以及它们的性质.. 掌握矩阵的线性运算 乘法 转置以及它们的运算规律, 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质, 以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念, 会用伴随矩阵求逆矩阵. 4. 理解矩阵初等变换的概念, 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念, 理解矩阵的秩的概念, 掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. 5. 了解分块矩阵及其运算. 基本概念 公式与方法精讲 一 矩阵的定义 引例 定义 数域 F 中 个数 a (,,, ; j,,, ) 排成 行 列, 并括以圆括弧 ( 或 方括弧 ) 的数表 a a a a a a a a a 称为数域 F 上的 矩阵, 通常用大写字母记做 A 或 A, 有时也记作 A ( a ) (,,, ; j,,, ), 其中 a 称为矩阵 A 的第 行第 j 列元素 横排 为行, 竖排为列. 9

11 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 矩阵和行列式是有本质区别的 行列式是一个算式, 一个数字行列式经过计算可求得其 值, 行数和列数一致 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和列数也可以不同 3 同型矩阵与矩阵相等 同型矩阵 : 行数 列数都相同的矩阵. 矩阵相等 : 如果两个矩阵 A ( a ) 和 B ( b ) 是同型矩阵, 且各对应元素也相等, 即 a b (,,, ; j,,, ), 就称 A 和 B 相等, 记作 A B. 4 几类特殊的矩阵 : () 零矩阵 个元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作 0. () 只有一行的矩阵 A a a a 称为行矩阵, 又称行向量 为避免元素间的 混淆, 行矩阵也记作 A a a a b b 只有一列的矩阵 B 称为列矩阵或列向量. b (3) 方阵当 时, 称 A 为 阶矩阵 ( 或 阶方阵 ). 单位矩阵主对角元全为, 其余元素全为零的 阶矩阵, 称为 阶单位矩阵 ( 简 称单位阵 ), 记作 I 或 I 或 E. 数量矩阵主对角元全为非零数 k, 其余元素全为零的 阶矩阵, 称为 阶数量矩阵, 记作 ki 或 ki 或 ke. 3 对角矩阵非主对角元皆为零的 阶矩阵称为 阶对角矩阵 ( 简称对角阵 ), 记作, a 即 a a, 或记作 dag( a, a,, a ). 4 上 ( 下 ) 三角矩阵 阶矩阵 A ( a ), 当 j时, a 0( j,,, ) 的 矩阵称为上三角矩阵. 下三角矩阵当 j时, a 0( j,3,, ) 的矩阵称为下三角矩 阵. 5 对称矩阵与反对称矩阵 0

12 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 位矩阵. 6 正交矩阵若 阶矩阵 A 满足 A A E, 则称 A 为 阶正交矩阵, 这里 E 是 阶单 二 矩阵的运算 矩阵的线性运算 () 加法 设 A ( a ) 和 B ( b ) F, 规定 A B a b 并称 A B为 A 与 B 之和. a b a b a b a b a b a b ( ) () 矩阵的数量乘法 ( 简称数乘 ) a b a b a b 设 k 是数域 F 中的任意一个数, A ( a ) F, 规定 ka 并称这个矩阵为 k 与 A 的数量乘积. 线性运算规律与数的加和乘运算规律一致 ) ka 0 k 0或 A 0 ; ka ka ka ka ka ka ( ka ) ka ka ka ) 数乘矩阵满足交换律 结合律与分配率阵的线性运算. 矩阵的乘法 设 A 是一个 矩阵, B 是一个 s 矩阵, 即 a a a b b b s a a a b b b s A, B a a a b b b s 则 A 与 B 之乘积 AB ( 记作 C ( c )) 是一个 s矩阵, 且 c a b a b a b a b j j j k kj k

13 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 即矩阵 C AB 分别相乘的乘积之和. 的第 行第 j 列元素 c 是 A 的第 行 个元素与 B 的第 j 列相应的 个元素 矩阵乘法运算规律有别于数乘法的运算律 ) 矩阵的乘法不满足交换律, 即一般 AB BA, 可从 3 个方面来理解 : AB 可乘, BA 不一定可乘 ( 例 ) AB 和 BA 都可乘, 但不一定是同型矩阵 ( 例 ) 3 AB 和 BA 为同型矩阵 ( 此时, AB, 必为同阶方阵 ), 也不一定相等 ( 例 3) ) 矩阵乘法不满足消去律, 即 A 0 时, 由 AB AC, 不能推出 B C, 由 AB 0, 不能推出 A 0 或 B 0. A E E A A ) a a 例. 设 AB, 分别是 和 矩阵, 且 A a 和 BA. 例. 用矩阵表示一般的方程组 ax ax ax b ax ax ax b a x a x a x b 3 方阵的幂 () 乘幂 规定, B b b b,,,, 计算 AB k k 设 A 是 阶矩阵, k 个 A 的连乘积称为 A 的 k 次幂, 记作 A, 即 A AA A, 0 A E () 方阵的多项式 k个 A 设 k f ( x) a x a x a x a 是 x 的 k 次多项式, A 是 阶矩阵, 则 k k k 0 f ( A) a A a A a A a E, 称为矩阵 A 的 k 次多项式 ( 注意常数项应变为 k k k k 0

14 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 ae). 0 ) 只有方阵才有幂 ; ) 当 k, 为正整数时, 有 A A, ( A ) k k A A, 但 ( AB) k A k B k ; k k ) 方阵 A 的多项式可因式分解, A E ( A E)( A E) ( A E)( A E), ( ) A E A A E. 例.3 求例 中的 AB, BA 4 矩阵的转置 () 定义把一个 矩阵 a a a a a a A a a a 的行列互换得到的一个 矩阵, 称之为 A 的转置矩阵, 记作 A 或 A, 即 A a a a a a a a a a. () 性质 矩阵的转置也是一种运算, 满足运算律 : ( A ) A; ( ka ) ka k( 为任意实数 ) ( AB) B A. 3 ( aa bb) aa bb ; 例.4 设 ( x, x,, x ), H E, 且. 证明 : H 是对称矩阵, 且 H H E. 5 方阵的行列式 由 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 ( 各元素的位置不变 ), 称为方阵 A 的行列式, 记作 A 或 det A. 运算性质 3

15 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 A A ka k A 3 AB A B 方法运用点睛 k k ) A A, k 为自然数 ; ) A B A B ; ) 若 A 0, 则 A 0 ; 若 A 0 A 0. a a a A A A a a a A * A A 例.5 设 A, A a a a A A A 中元素 a 的代数余子式 证明 : AA * A * A A E. 0 * * 例.6 设 A 0, 矩阵 B 满足 ABA BA E, 则 B 0 0 三 逆矩阵 引例 可逆矩阵的定义, 其中 A 是行列式 A 对于 阶方阵 A, 如果存在 阶方阵 B, 使得 AB BA E, 就称 A 为可逆阵 ( 简称 A 可逆 ), 并称 B 是 A 的逆矩阵, 记作 阵 ; A, 即 A ) 只有方阵才有逆, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵 也可以说,A 是 B 的逆矩阵 ; ) 若 A 是可逆矩阵, 则 A 的逆矩阵是唯一的. ) 单位矩阵的逆矩阵是其自身, 可逆对角矩阵的逆是主对角元素都取倒数构成的对角 3 矩阵可逆的条件 定理矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 * ) 求逆公式 A A. A B 4

16 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 ) A ; A 推论若 AB, 都是 阶矩阵, 且 AB E, 则 BA E, 即 AB, 皆可逆, 且 AB, 互为逆矩阵. 例.7 设矩阵 A 满足 A A 4E 0 4 可逆矩阵的性质 设同阶方阵 AB, 皆可逆, k 0, () 若 A 可逆, 则 A 亦可逆, 且 ( A ) A; () 若 A 可逆, 数 k 0 A E, 其中 E 为单位矩阵, 则, 则 ka 亦可逆, 且 ( ka) A k (3) 若 AB, 为同阶矩阵且均可逆, 则 AB 亦可逆, 且 ( AB) ( A A A ) A A A A ; s s s A ( A ) ; =. (k 为非零常数 ); B A, 推广 : (4) 若 A 可逆, 则 A 亦可逆, 且 ( A ) ( A ) ; (5) A A. 例.8 设 AB, 均为 阶可逆矩阵, 证明 :( AB) B A. * * * 四 分块矩阵定义把一个大型矩阵分成若干小块, 构成一个分块矩阵, 这是矩阵运算中的一个重要技巧, 它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算, 使运算更为简明. 例 : 把一个 5 阶矩阵 A 用水平和垂直的虚线分成 4 块, 如果记 A, 0 A 3 0, O , I3 5

17 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 A A 就可以把 A 看成由上面 4 个小矩阵所组成, 写成 A O I3, 并称它是 A 的一个 分 块矩阵, 其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块. 把一个 矩阵 A, 在行的方向分成 s 块, 在列的方向分成 t 块, 称为 A 的 s t分块 矩阵, 记作 A ( Akl ) s t, 其中 Akl ( k,,, s; l,,, t) 称为 A 的子块, 它们可以是各 种类型的小矩阵. 分块矩阵的运算 () 分块矩阵的加法 A ( Akl ) st, B ( Bkl ) st, 则 A B ( Akl Bkl ) s t 要求 : AB, 的行数相同, 列数相同, 采用相同的分块法. () 分块矩阵的数量乘法 设分块矩阵 A ( A ), 是一个数, 则 A ( A kl ) s t 要求 : 无. (3) 分块矩阵的乘法 kl st 设 A, B p, 如果 A 分块为 r s 分块矩阵 ( Akl ) r s, B分块为 s t分块矩阵 ( Bkl ) s t, 则 B B B t j行 j列 j列 js列 A A A s B B B t j行 AB A A A s C记作 ( Ckl ) Ar Ar A rs Bs Bs B st js行 rt s 其中 C 是 r t分块矩阵, 且 Ckl Ak Bl,( k,,, r; l,,, t). 要求 : A 的列的分块法和 B 的行的分块法完全相同. (4) 分块矩阵的转置 分块矩阵 A ( Akl ) s t 的转置矩阵为 A ( Blk ) t s, 其中 B A, l,,, t; k,,, s lk kl 6

18 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 要求 : 不仅要行 ( 块 ) 与列 ( 块 ) 互换, 而且每一子块也要转置. (5) 分块对角阵的行列式与可逆分块矩阵的逆矩阵 A 对角块矩阵 ( 准对角矩阵 ) A A A, 其中 A j,,, 为方阵, 则 A A A A, 因此, 对角块矩阵 A 可逆的充要条件为 A 0.,,,, 且 A A A 两种常用的分块法 A. b 按行分块 b 按列分块 B 是 矩阵, B b 方法运用点睛 ) 矩阵既可看成是由 个 维行向量组成, 也可看成是由 个 维列向量组成 ; 反之亦然 ; ) 线性方程组的向量形式 : x b x b A x b (,,, ) x x x b x b 若 b 0, x x A x 0 (,,, ) 0 x x x 0. x 例.9 设 A 0 0 0, 求 五 矩阵的初等变换和初等矩阵 A, A. 7

19 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 初等变换的定义 用消元法解线性方程组, 其消元步骤是对增广矩阵进行 3 类行变换, 推广到一般, 即 () kr 或 kc, k 0; () r krj或 c kc j; (3) r r, c c. j j ) 用初等变换求解线性方程组时, 只能用行变换 ; ) 初等变换均可逆 ; ) 方程组的初等变换保解, 矩阵的初等变换保秩. 初等矩阵 () 定义将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵 初等倍乘矩阵 E ( c) dag(,,, c,,,), E() c 是由单位矩阵第 行 ( 或列 ) 乘 c ( c 0 ) 而得到的 ; 初等倍加矩阵 E () c c 行 j行 E () c 是由单位矩阵第 行乘 c 加到第 j 行而得到的, 或由第 j 列乘 c 加到第 列而得到的 ; 初等对换矩阵 E 0 0 行 j行 8

20 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 E 是由单位矩阵第, j 行 ( 或列 ) 对换而得到的. () 初等矩阵的作用 对 A 实施一次初等行 ( 列 ) 变换, 相当于左 ( 右 ) 乘相应的初等矩阵 a a a3 a a a3 如 : a a a3 a a a3 E a a a a a a 3 3 a a a3 a a a3 E () c A 表示 A 的第 行乘 c, E () c A 表示 A 的第 行乘 c 加至第 j 行, EA 表示 A 的 第 行与第 j 行对换位置. 方法运用点睛 ) 行左列右 ; ) 用最后一种初等矩阵要注意, 在左边和有变的意义 ; (3) 初等矩阵的性质 E ( c) E ( c), E ( c) E ( c), E j E ; E ( c) E ( ), E ( c) E ( c), E E ; c E ( c) ce ( ), E * ( c) E ( c), E c * 3 矩阵的等价 定义存在可逆阵 P,Q, 使得 PAQ ) 矩阵的等价关系满足 三性 反身性 : A A; 对称性 : 若 A B, 则 B A; 3 传递性 : 若 A B, B C, 则 A C. * E ; ) 同型矩阵 A 与 B 等价 r( A) r( B) ) 若 A 可逆, 则 A E. 4 利用初等变换求逆矩阵 B. 则称 A 与 B 等价, 记作 A B. 如果对可逆矩阵 A 和同阶单位阵 E 做同样的初等行变换, 那么当 A 变为单位阵时, E 9

21 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 就变为 A, 即 A E E A, 初等行变换 (, ). 例.0 求 0 0 A 的逆矩阵. 3 基本题型与典型例题 题型 有关方阵逆的判断与求解 3 例 A A E, 求 例 A, 求 A 例 3 设 A 为 阶方阵, 满足 A A 5E 0 例 4 设 A,B 为 阶方阵, 已知 A E 可逆, 并求它的逆矩阵 A 3 E, 求,B 都可逆, 且 A E B E, 证明 : A 题型 利用方阵行列式的性质求抽象型的行列式 例 已知 A B A B E, 例 设 A 为 3 阶方阵, 0 A 0 0, 求 B 0 A, 试求 A 3 A 题型 3 与伴随矩阵相关的命题 例 设 A 为 方阵, 证明 : () A * 0 A 0;( ) A * A 例 设 A, B 为 阶方阵, A, B 3, 求 A B 0

22 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 例 3 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵 A, 试求伴随矩阵的逆矩阵 3 题型 4 初等变换与初等矩阵相关的命题 例 例 设 A 为 ( ) 阶可逆矩阵, 交换 A 的第 行与第 行得矩阵 B, 为 AB, 的伴随矩阵, 则 ( ) A *, B * 分别 * * (A) 交换 A 的第 列与第 列得 B. * * (B) 交换 A 的第 行与第 行得 B. * * * * (C) 交换 A 的第 列与第 列得 B. (D) 交换 A 的第 行与第 行得 B.

23 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第三讲 向量 考试内容 向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大 线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相 关概念 维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交 规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质 考试要求. 理解 维向量 向量的线性组合与线性表示的概念.. 理解向量组线性相关 线性无关的概念, 掌握向量组线性相关 线性无关的有关性 质及判别法. 及秩. 3. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大线性无关组 4. 理解向量组等价的概念, 理解矩阵的秩与其行 ( 列 ) 向量组的秩之间的关系. 5. 了解 维向量空间 子空间 基底 维数 坐标等概念. 6. 了解基变换和坐标变换公式, 会求过渡矩阵. 7. 了解内积的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schdt) 方法. 8. 了解规范正交基 正交矩阵的概念以及它们的性质. 基本概念 公式与方法精讲 一 维向量的概念与运算 定义 个数 a, a,, a 构成的有序数组, 称为一个 元向量 ( 也称 维向量 ), 记作 a, a,, a a a a 的形式 a, a,, a 向量的运算, 其中 a 称为 a 的第 个分量 向量写成上述形式称为行向量, 写成列 称为列向量. 设 a, a,, a, b, b,, b, 定义 :

24 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 () 向量加法 ( 与 之和 ) ( a b, a b,, a ) b. () 向量的数量乘法 ( 简称数乘 ) 为,,, 数量乘积. k ka ka ka (3) 向量的内积 ab ab a b (, ), k 称为向量 与数 k 的 例 3. 设 (,0,0), (0,,0), 3 (0,0,), 求 二 线性相关性 线性组合 线性表出 对于,,,, k k k k 称为向量组,,, 的一 个线性组合, k, k,, k 称为这个线性组合的系数 向量组,,, 和向量 b, 如果存在一组数,,,, 使 b, 则向量 b 是向量组,,, 的线性组合, 称向量 b 能由向量组,,, 线性表示. ) 向量组中任一向量均可由该向量组本身线性表示. 如 :,,,, ; ) 若 可由,,, 中的部分向量线性表示, 则 可由,,, 线性表示 ; 3) 讨论一个向量能否由一组向量线性表示的一般方法是利用方程组 能 ( 不能 ) 由,,, 线性表示 存在 ( 不存在 ) k, k,, k, 使得 k k k 成立 方程组,,, x 有 ( 无 ) 解. 4) 向量组 (Ⅰ),,, s, 向量组 (Ⅱ),,, t (Ⅰ) 可由 (Ⅱ) 线性表示 (Ⅰ) 中任意 可由 (Ⅱ) 线性表示 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 等价 (Ⅰ) 可由 (Ⅱ) 线性表示, 且 (Ⅱ) 可由 (Ⅰ) 线性表示 线性相关与线性无关 3

25 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 如果对 个向量,,,, 有 个不全为零的数 k, k,, k, 使得 k k k 0 成立, 则称,,, 线性相关, 否则, 称,,, 线 性无关. ) 向量, 线性 ( 无关 ) 相关 分量 ( 不 ) 成比例. ) 包含零向量的任何向量都是线性相关的. 3) 单个向量 线性相关 ( 无关 ). 4) 向量组 A :,,, s 线性相关 ( 无关 ) Ax 0 有非零解 ( 只有零解 ) 0 例 3.,, 3 4, 5 7 问向量组,, 3 和, 的线性相关性? 例 3.3 t 取何值时, 下列向量组线性相关? (,,), (,,3), 3 (,3, t) 例 3.4 设,, 3 线性无关, () 证明 : 3,, 3 线性相关 ; () 问 k, 满足什么条件时, 向量组 : k, 3, 3 线性相关 例 3.5 A R, R, 0, A 0, A 0 证明 : 向量组, A, A,, A 例 3.6 A R,,, 3, 0 线性无关. A, A, A 3 3 证明 : 向量组,, 3 线性无关. 例 3.7 设,,, s ( s ) 线性无关. a b, a b 3,, s a s b 且 4

26 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 讨论,,, s 线性相关性. 3 向量组线性相关性的基本性质 () 唯一表示定理若向量组,,, 线性无关, 而,,,, 线性相关, 则 可 由,,, 线性表示, 且表示法唯一. () 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关. (3) 向量组含有向量的个数大于维数, 向量组线性相关. (4) 无关的向量组, 对向量组中每个向量在同一个位置添加分量得到新的向量组仍无关. (5) 整体无关则部分无关 例 3.8 设 维向量 (0,,0,,0,,0), 即第 个分量为, 其余分量为 0, 证明 :,,, 是线性无关的. 三 向量组的极大无关组与秩 定义设向量组,,, s 的部分组,,, r 满足条件 : (),,, r 线性无关 ; (),,, s 中的任一向量均可由它们线性表示, 则称向量组,,, r 为向 量组,,, s 的一个极大无关组 向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的 秩, 记为 r(,,, s ) r. r(,,, ) s; ) s ) 若 r(,,, s ) r s, 则,,, s 中任意 r 个线性无关的向量组均可作为 极大无关组 ; ) 一个向量组, 若个数大于维数则必线性相关 向量组的等价 如果向量组中每一个向量可由向量组线性表示, 就称前一个向量组可由后一个向量组线 性表示 如果两个向量组可以相互线性表示, 则称这两个向量组是等价的 ) 满足 三性 反身性 ; 对称性 ; 3 传递性 ; ) 向量组和它的极大线性无关组等价 ; ) 两向量组等价 其极大无关组等价 两向量组的秩相等, 且能相互线性表出. 5

27 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 3 向量组秩的性质 性质 如果,,, s 线性无关, 则 r(,,, s ) s; 如果,,, s 线性 相关, 则 r(,,, s ) s. 则 t s 性相关. 性质 若,,, t 可由,,, s 线性表出, 则 r(,,, ) r(,,, ). t 性质 3 若向量组,,, t 可由,,, s 线性表示, 且,,, t 线性无关, 性质 4 若向量组,,, t 可由,,, s 线性表示, 且 t s, 则,,, t 线 例 3.9 求向量组 (,,), (0,,5), 3 (,4,7), 4 (,3,6) 大无关组和该向量组的秩. 例 3.0 向量组 (,,4,3), (,, 6,6), 3 (,,, 9), s 的一个最 4 (,,,7), 5 (,4,4,9), 求向量,, 3, 4, 5 一个最大无关组, 并把其余 向量用该最大无关组表示. 四 矩阵的秩 k 阶子式 矩阵 A a 的任意 k 个行和任意 k 个列的交点上的 k 个元素按原顺序排成 k 阶 a a a j j jk a a a 行列式 j j jk 称为 A 的 k 阶子式. 矩阵的秩 a a a k j k j k jk 矩阵 A 中存在一个 r 阶子式不为零, 而所有 r+ 阶子式全为零 ( 非零子式的最高阶数 ), 则称矩阵的秩为 r, 记为 r( A) r () r( A ) {, } ; () r( A) r A中有. r 阶子式不为 0, 任何.. r 阶子式 ( 若还有 ) 必全. 为 0 r( A) r A中 r 阶子式全. 为 0 r( A) r A中有. r 阶子式不为 0 6

28 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 特别的, r( A) 0 A 0, A 0 r( A). 3 矩阵秩的基本性质 () 初等变换不改变矩阵的秩 设 A 是 矩阵, PQ, 分别是 阶, 阶可逆矩阵, 则 r A r PA r AQ r PAQ () 矩阵的秩 = 行秩 = 列秩 = 矩阵的非零子式的最高阶数 ( 三秩相等 ) A ( a ) (,, ) r( A) r(,, ) r(,, ) ; A的非零子式的最高阶数 (3) A 为 阶方阵, r( A) (4) 设 A 是 A 0 A行, A列线性无关 ; 矩阵, 则 r A r A, (5) r( A B) r( A) r( B) ; (6) r( AB) r( A), r( B) ; r( ka) r( A), k 0 ; 矩阵越乘秩越小. 例 3. 设 (,,,3), (, 3,5,), 3 (3,,, p ), 4 (, 6,0, p), P 为何值时, 向量组线性无关? P 为何值时, 向量组线性相关? 例 3. 设 A 为 4 3的矩阵且 r( A), 0 B 例 3.3 设 A 为三阶矩阵,,, 3 三维无关列向量,, 则 r( AB) A 3 3, A 3 3, A , 求 r( A ). 五 向量空间 向量空间的基本概念 ( 数一 ) () 向量空间 : 设 V 是 维向量的集合, 如果 V 非空, 且对于向量的加法和数乘两种运算 封闭, 即 V 中两个向量之和及数乘 V 中向量所得到的向量仍属于 V, 则称 V 为向量空间. () 基 :V 的极大无关组. (3) 维数 : 基包含向量的个数. 7

29 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 (4) 坐标 : 设,,, 是 维向量空间 V 的一个基, 对任一元素 V, 总有且仅有一组数 x, x,, x 使 x x x, x,, x 称为 在基,,, 下的坐标, 记为 ( x, x,, x ). (5) 基变换与过渡矩阵设,,, 与,,, 都是 维向量空间 V 的基, 且 x a a a a a a a a a 即 a a a a a a (,,, ) (,,, ) (,,, ) C a a a 称 C 为基,,, 到基,,, 的过渡矩阵. 或 称为基变换公式. 坐标变换公式设 V, 在基,,, 下的坐标为 ( x, x,, x), 在基,,, 下的坐标为 (, y, y ),,, 到基,,, 的过渡矩阵 ), 则 向量的内积 y, 且 (,,, ) (,,, ) x y y x x y y x C 或 C. x y y x () 内积 : 设有 维向量 x x, x,, x, y y, y,, y 为向量 x 与 y 的内积. 内积具有以下的运算性质 : x, y y, x ; x y, z x, z y, z ; 3kx, y k x, y ;, 则称, x y x y y x x y x y x y C (C 是从基 8

30 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 4, 0等号成立当且仅当 x 0. x x x x () 模 长度 : 向量 x 的长度 x x, x () 当 x, 称 x 为单位向量 ; () 任一非零向量 x 0, 都可将其单位化, 事实上 (3) 正交 : 当 xy, 0时, 称向量 x 与 y 正交. x x 就是单位向量 ; 零向量与任何向量正交. 3 施密特正交法 设,,, r 是一组线性无关的向量, 可用下述方法把,,, r 标准正交化 取,,,,, r r r r r r r,, r, r 则,,, r 线性无关, 且两两正交, 与,,, r 等价. r,,, r 单位化,,, r 再把 即得到一组与原向量组等价的两两正交的单位向量,,, r, 这个方法称为线性无关向 量组标准正交化的施密特方法. 4 规范正交基 ( 数一 ) 设,,,, 若 j 准正交基. ( 规范正交基 ) r, j,,, j,,,, 则称,,, 是一组标 0, j 基本题型与典型例题 题型 讨论向量组的线性相关性 例 已知向量组,,,,, 0, 0,,, 4, 8, k 3 线性相关, 求 k 例 已知向量组,, a,4,,,5, a, a,,, 线性无关, 求 a. 3 题型 求向量组的极大无关组 9

31 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 例 3 已知向量组 ( a,,,), (, a,,), 3 (3,3,3 a,3), 4 (4,4,4,4 a). 问 a 为何值时,,, 3, 4 线性相关, 并将其余向量用此极大线性 无关组表示. 题型 3 有关向量组或矩阵秩的计算与相关的证明 例 已知向量组,,3,4,,3,4,5, 3,4,5,6, 4,5,6,7 该向量组的秩是 则 3 4 例 已知向量组,,,,, 0, t, 0, 0, 4,5, 的秩是, 则 t 3 例 3 已知向量, 为三阶列向量, 且 A () 证明 : r( A) (), 线性相关, 证明 : r( A) 30

32 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第四讲 线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆 (Craer) 法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解 考试要求 l. 会用克莱姆法则.. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 3. 理解齐次线性方程组的基础解系 通解及解空间的概念, 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 基本概念 公式与方法精讲 一 概念 线性方程组的三种表达形式 一般形式 ( 代数形式 ) ax ax ax b ax ax ax b a x a x a x b () 称为 个方程 个未知量的非齐次线性方程组. 矩阵形式 设 a a a x b a a a x b A, X, b a a a x b 则 () 可表为 A x b ( Ax 0) 向量形式. 3

33 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 a a a b a a a b,,,, a a a b 则 () 可表为 x x x. ( x x x 0) 系数矩阵的行数 = 方程的个数, 系数矩阵的列数 = 变量的个数. 解与通解 解 : 若 Ax0 b, 则 x 0 称为 Ax b 的一个解. 通解 : 当方程组有无穷多解时, 则称它的全部解为该方程组的通解. 齐次线性方程组总有零解. 公共解 : 若 Ax0 b, Bx0 b, 则 x 0 称为 Ax b, Bx b的公共解. 三 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构 引例 x x x3 0 () x x x3 0 5x 5x 5x3 0 x x x3 0 () x x3 0 x3 0 x x 3x3 0 3x x x3 0 (3) x x3 0 5x 4x 3x3 0 有自由变量 ( 个 ); 只有零解, 无自由变量 ; x x 3x3 0 得同解方程组 有自由变量 ( 个 ) x x 解的判定 定理设 A 是 矩阵, 则齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 ( 只有零解 ) 的充要条 3

34 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 件为 r( A) ( r( A) ). 推论齐次线性方程组 A x 0 有非零解 ( 只有零解 ) 的充要条件为 A 0( A 0 ). 方法运用点睛 ) 对于 A x 0, 若 则 A x 0 有非零解 ;, A ) x x x 0,,, 线性相关 ( 无关 ) 的,,,, 有非零解 ( 只有零解 ) r( A) ( r( A) ) A 的列向量线性相关 ( 无关 ) 的 ; ) 讨论,,, 线性相关性的常用方法 : 用定义 ; 用秩 : r,,, r, 若 r 则相关 ; 若 r 则无关 ; 3 用行列式 ( 维数等于个数 ); 4 用线性方程组 : x x x 0 有无非零解. 例 4. 设 a,0, c, b, c,0, 0, a, b 式. 3 解的结构 () 解的性质 线性无关, 则 abc,, 必满足的关系 3 齐次线性方程组任二个解的线性组合仍为其解 ; 若 x, x 是齐次线性方程组 Ax 0 的两 个解, 则 kx kx ( k, k 为任意常数 ) 也是它的解. 推广 : 若 x,, x s 均为 Ax 0 的解, 则 kx ksxs也是 Ax 0 的解. () 齐次线性方程组的基础解系 ( 解的极大线性无关组 ) 设 x, x,, x p 是 Ax 0 的解向量, 如果 :() x, x,, x p 线性无关 ;() Ax 0 的任一个解向量可由 x, x,, x p 线性表示, 则称 x, x,, x p 是 Ax 0 的一个基础解系. (3) 通解 33

35 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 定理设 A 是 矩阵, 若 r( A) r, 则齐次线性方程组 Ax 0 存在基础解系, 且基础解系含 r 个解向量. (4) 求解齐次线性方程组 A x 0 的方法步骤 : 用初等行变换化系数矩阵 A 为行阶梯形 ; 若 r( A), 则无基础解系, 只有零解 ; 若 r( A), 化行阶梯形为行最简形, 写 出等价的方程组, 确定自由变量, 并把所有的变量用自由变量来线性表示, 得到基础解系,,, ; r A 3 写出通解 x k k k r A r A. x x x3 x4 0 例 4. 求解齐次线性方程组 x x x3 x4 0 x x 4x3 3x4 0 x x x3 0 例 4.3 为何值时, 方程组 x x x3 0只有零解? 有非零解? 有非零解时, 求 x x x3 0 其通解. 三 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 引例 x x x x x x3 () 3 出现了矛盾方程 r( A) r( A, b) x x x3 () x x3 0 x3 有唯一解, A 0 0, r( A) r( A, b) x x x, x x x3 3 有无穷多 (3) 3 解. r( A) r( A, b) 3. 解的判定 34

36 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 定理 A x b r A r A b r, 且当 r 时 A x b 有唯一解 ; 有解 当 r 时 A x b 有无穷多解. 无解 r A r A b r A r A b A x b 方法运用点睛. ) 当 时, A 0 是 Ax b 的无解 ( 或有无穷多解 ) 的必要非充分条件. ( A ) 按向量形式 : x x x b,,, ) 有解 ( 无解 ) b 可 ( 不可 ) 由,,, 线性表示 b 可 ( 不可 ) 由 A 的列向量线性表示 3 解的结构 () 解的性质, 则 Ax x 设 Ax b, Ax b 设 Ax b, Ax0 0, 即 x x是 Ax 0 的解 ; 0, 则 () 非齐次线性方程组的通解 A xx 0 b, 即 x x0是 Ax b 的解. 若 Ax b 有无穷多解, 则其通解为 x k k k, 其中 r A r A,,, 为 Ax 0 的一组基础解系 r A, 是 Ax b 的一个特解. (3) 求解非齐次线性方程组的通解的步骤 : 用初等行变换化增广矩阵 A A b 为行阶梯形 ; 若 r A r A b, 则 Ax b 无解 ; 若 r A r A b, 化行阶梯形为行最简形, 写出等价的方程组, 观察有无自由变量. 若无, 则由行最简形可以得到唯一解 ; 若有, 则把所有的变量都用自由变量来线性表示, 则 可得到通解. x x x3 x4 0 x x3 x4 例 4.4 x ( a 3) x3 x4 b 3x x x3 ax4 问 a,b 为何值时, 方程组有唯一解 无解 无穷多解. 有无穷多解时, 求通解. 综合应用分析 35

37 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 3 例 4.5 设 A 是 3 阶矩阵, 第一行 ( a b c ) 不全为零, B 4 6, AB 0, 求 3 6 k Ax 0 的通解. 例 4.6 设 A 是 阶矩阵, r( A), 证明 : ra ( * ) 例 4.7 设 A 是 矩阵, r( A), 证明 : r( AB) r( B). 基本题型和典型例题 题型 有关线性方程组的基本概念题 例 设 A 是 矩阵, B 是 矩阵, 则线性方程组 AB x 0 ( ) (A) 当 时, 仅有零解 (B) 当 时, 必有非零解 (C) 当 时, 仅有零解 (D) 当 时, 必有非零解 例 设,, 3 是四元非齐次方程的三个解, 且 r( A) 3, (,,3,4), 3 (0,,,3), 则通解为 ( ) (A)(,,3, 4) k(,,,) (B)(,,3,4) k(0,,,3) (C)(,,3, 4) k(,3, 4,5) (D)(,,3,4) k(3,4,5,6) 例 3 设 A 0,,, 3, 4 为 Ax b 的互不相等的解向量, 则 Ax 0 的基础解系所含解向 量的个数为 ( ) (A)0 (B) (C) (D)3 题型 线性方程组的求解 x x x3 x4 例 4 已知非齐次线性方程组 4x 3x 5x3 x4 有三个线性无关的解 ax x 3x3 bx4 (I) 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r A (II) 求 ab, 的值及方程组的通解 解 :(I) 设,, 3 是非齐次方程组的 3 个线性无关的解, 那么, 3 是 Ax 0 线性无关的解, 所以 r( A), 即 r( A) 36

38 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 显然矩阵 A 中有 阶子式不为 0, 所以又有 r( A), 从而秩 r A. (II) 对增广矩阵作初等行变换, 有 A a 3 b 0 a 3 a b a a a b 4a 5 4 a 由 r( A) r( A) 知 a, b 3 又 (, 3,0,0) 是 Ax b 的解, 且 (,,,0), (4, 5,0,) 是 Ax 0 的基础解系, 所以方程组的通解是 k k ( 其中 k, k 为任意常数 ). xx3, 例 5 为何值时, 方程组 4x x x3, 有解, 并求解. 6x x 4x3 3 37

39 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第五讲特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念 性质相似变换 相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值 特征向量及其相似对角矩阵 考试要求. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 会求矩阵的特征值和特征向量.. 理解相似矩阵的概念 性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件, 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 基本概念 公式与方法精讲 一 引言二 相似矩阵的概念与性质方阵对角化的条件 相似的概念 设 AB, 是 阶矩阵, 若存在可逆矩阵 P, 使 B P AP, 则称矩阵 A 与 B 相似, 记为 A~ 性质 B, 称 P AP 是对 A 作相似变换. ) 矩阵的相似关系仅针对方阵而言 ; ) 矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系, 即相似必等价 ; ) 相似关系满足 三性 : 反身性 对称性 传递性. 若矩阵 A~ B, 则 () A ~ B ; A ~ B ; A ~ B ( N ); A * ~ B * ( AB, 可逆 ). () r A r B ; A B ; E A E B ; ; tra a b trb 3 方阵可对角化 若矩阵 A 能与对角阵 相似, 则称矩阵 A 可相似对角化, 记为 A ~ 似标准形., 称 是 A 的相 38

40 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 若 P AP 记作 AP P,( 将 P 按列分块 P,,, ) A,,,,,, A, A,, A,,, 利用矩阵相等, 得到 A, 0,,,,. 定理 ( 方阵可对角化的充要条件 ) 阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 个线性无关的特征向量. 方法运用点睛 若 P AP 记作, 则 A P P P P P P P P 三 方阵的特征值和特征向量 定义 A 39,. 设 A 为 阶矩阵, 若存在常数 和非零 维列向量, 使 A, 则称 为 A 的特 征值, 是 A 的属于特征值 的特征向量. ) 特征值问题仅是针对方阵而言的 ; 特征向量 0 ;

41 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 求法 ) 若向量 是 A 的特征向量, 则 A 与 线性相关 ; ) 特征值与其对应的特征向量是一对多的 : Ak k k 0. 为 A 的特征值, 是 A 的属于特征值 的特征向量 A 0 齐次线性方程组 E A x 0 ( 或 A E x 0 ) 有非零解. 行列式 f ( ) E A 称为方阵 A 的特征多项式, EA 0 称为方阵 A 的特征方 程. 显然, 阶矩阵 A 的特征多项式是 的 次多项式 特征多项式的 k 重根也称为 k 重特 征值. 对于抽象矩阵, 根据特征值和特征向量的定义及其性质推导出特征值和特征向量. 对于具体的数字矩阵, 采用解方程法, 具体步骤如下 : () 特征值的求解方法 解特征方程 EA 0, 得到 A 的全部特征值,, () 特征向量的求解方法. 对每个不同的特征值, 解齐次线性方程组 ( A ) x 0, 求出它的基础解系,,, s, 则 k k kss k, k,, ks 0 值 的特征向量. E 不全为, 即为矩阵 A 的属于特征 0 0 例 5. 求矩阵 A 3 0 的特征值和特征向量. 3 3 特征值 特征向量的基本运算性质 性质 若 是矩阵 A 的特征值, x 是 A 的属于 的特征向量, 则 () 对任意的常数 k, k 是 ka 的特征值, x 是 ka 的属于 k 的特征向量 ; () 对任意的自然数, 是 A 的特征值, x 是 A 的属于 的特征向量 ; (3) A 的多项式 f A 的特征值为 f, x 是 f A 的属于 f 的特征向量 ; (4) 当 A 可逆时, 是 A 的特征值, x 是 A 的属于 的特征向量 ; (5) 当 A 可逆时, A 是 * * A 的特征值, x 是 A 的属于 A 的特征向量 ; (6) 是矩阵 A 的特征值, 但是 x 不一定是 A 的属于 的特征向量 ;( 特征值相同, 但 40

42 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 对应的特征向量不一定相同 ) (7) B P AP 的特征值为, P x 是 B 的特征向量. 设 阶矩阵 A a 的 个特征值 性质 若 x 和 x 都是 A 的属于特征值 0 的特征向量, 则 kx kx 也是 A 的属于 0 的 特征向量 ( 其中 k, k 是任意常数, 但 kx kx 0). 性质 3 不同特征值的特征向量是线性无关的. 性质 4 若矩阵 A 的特征值为,,, 则 () a 其中 a 是 A 的主对角元之和, 称为矩阵 A 的迹, 记作 ( ) () A. tr A ; 例 5. 设 A 问 A 能否相似对角化? 若能, 求可逆矩阵 P, 使 P AP 为 对角阵, 并求 A. 四 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵特征值 特征向量的性质 性质 实对称矩阵的特征值为实数. 性质 实对称矩阵 A 对应于不同特征值的特征向量是相互正交的. 性质 3 阶实对称矩阵 A 必可相似对角化, 且总存在正交矩阵 P, 使得 P AP dag,,,, 其中,,, 实对称矩阵对角化的方法 是 A 的特征值. 将实对称矩阵 A 利用正交矩阵 Q, 使 Q AQ 为对角阵的方法 : () 由特征多项式求出矩阵 A 的特征值,,, ; () 特征向量 : 对每个特征值, 解 ( E A ) X 0, 求出它的基础解系,,, s ; (3) 正交化 : 利用施密特正交化方法将属于同一特征值 的特征向量正交化, 得到 Y, Y,, Y ; k (4) 单位化 : 将两两正交的向量都单位化 ; 4

43 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 (5) 得到正交矩阵 P : 将得到的向量按列排成 阶矩阵, 即为所求的正交矩阵 P ; (6) 写出相似关系式 : P AP, 其中 是与 P 中的列向量是相应的. 例 5.3 设矩阵 A 4, 求正交矩阵 Q, 使 Q AQ 对角阵. 4 题型 方阵特征值 特征向量的求解 基本题型与典型例题 例 求矩阵 A 3 的实特征值及对应的特征向量. 3 6 例 设 A 为 3 阶实对称矩阵, 且满足条件 A 征值. 题型 特征值 特征向量的逆问题 例 3 已知 是 A 5 a 3 的一个特征向量 b () 确定 a,b, 及 对应的特征值 ; () A 能否相似对角化. a c 例 4 设矩阵 A 5 b 3 c 0 a 向量为 (,,), 求 a,b, c, 0. 题型 3 可对角化的判定及其逆问题 a 例 5 设矩阵 A 5 b 3 A 0, 已知 r( A), 求 A 的全部特, 且 A, A * 有特征值 0, 属于 0 的一个特征, 有特征值, 问 A 能否对角化. 0 例 6 设矩阵 A 0 4, 问 A 能否对角化. a 5 a a 4

44 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第六讲 二次型 考试内容 合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和 规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性 考试要求. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形 规范形的概念以及惯性定理.. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用配方法化二次型为标准形. 3. 理解正定二次型 正定矩阵的概念, 并掌握其判别法. 基本概念 公式与方法精讲 一 二次型的定义和矩阵表示 定义 个变量 x, x,, x 的二次齐次函数 f ( x, x,, x ) a x a x a x a x x a x x a x x 3 3, 称为 元二次型, 简称二次型. 二次型的矩阵表示 二次型的秩 x x 由于 j j 于是 式可以写成 x x, 则 a x x a x x a x x ( j) j j j f ( x, x,, x ) a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x ( x, x,, x) a a a x a a a a a a x x x x A A A a a a,,,,, 记 43

45 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 任意一个二次型都是和它的实对称矩阵是一一对应的. 实对称阵 A 的秩就叫做二次型 f 的秩. 例 6. 写出二次型 f x 3z 4xy yz 的矩阵形式. 3 矩阵合同 定义设 AB, 为 阶矩阵, 如果存在可逆矩阵 C, 使得 B C AC, 则称 A 与 B 合同, 记 作 A B. 这种对 A 的运算叫做的合同变换. ) 合同变换仅针对方阵而言, 是一种特殊的等价变换, 且满足 三性 : 反身性 对称 性 传递性 ; ) 合同变换不改变矩阵的秩和对称性. 二 化二次型的标准形 标准形的定义 只含平方项的二次型, 称为二次型的标准形, 其中正平方项的个数称为正惯性指数, 负平方 项的个数称为负惯性指数, 在标准形中, 若平方项的系数为,,0 范形. 方法 () 正交变换法 把二次型表示为矩阵形式 x Ax ; 求出 A 的全部互异特征值, 设 是 重根 ;, 则称其为二次型的规 对每个特征值, 解齐次线性方程组 ( E A ) x 0, 求得基础解系, 即属于 的特征 向量 ; 将 A 的属于同一个特征值的特征向量正交化 ; 将全部向量单位化 ; 将正交单位化后向量为列, 且按 在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵 Q ; 令 x Qy, 得 x Ax y y y. 例 6. 已知二次型 x, x x Ax x 5x x ax x x x f x, bx x 的秩 为, 且,, 是 A 的特征向量, 那么经正交变换二次型的标准形是. () 配方法 如二次型中至少有一个平方项, 不妨设 a 0, 则对所有含 x 的项配方 ( 经配方后 所余各项中不再含 x ), 如此继续配方, 直至每一项都包含在各完全平方项中, 引入新变量 y, y,, y 由 y C x, 得 x Ax d y d y d y. 44

46 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 如二次型中不含平方项, 只有混合项, 不妨设 a 0, 则可令 经此坐标变换, 二次型中出现 a y x y y, x y y, x3 y3,, x y a y 后, 再按 实行配方法. 例 6.3 已知二次型 f ( x, x, x ) x x x x x x x x x, () 利用正交变换将二次型 f 化为标准形, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 ; () 用配方法化二次型为标准形. 三 正定二次型和正定矩阵 定义 若二次型 f X AX 对任何 0 X 都有 f 0, 则称 f 为正定二次型, 正定二次型的 矩阵 A 称为正定矩阵. 判别二次型的正定性 一个二次型 x Ax, 经过可逆线性变换 x Cy, 化为 y ( C AC) y, 其正定性保持不 xcy 变, 即当 x Ax y ( C AC) y ( C可逆 ) 时, 等式两端的二次型有相同的正定性. 一个二次型 x Ax ( 或实对称矩阵 A ), 通过坐标变换 x Cy ( C可逆 ), 将其化为标 准形 ( 或规范形 ), y ( C AC) y dy ( 或将 A 合同于对角阵, 即 C AC ), 就容 易判别其正定性. 正定二次型的判别法 ( 充要条件 ) () f 的标准形的 个系数全为正 ; () f 的正惯性指数为 ; (3) f 的矩阵 A 的特征值全大于零 ; (4) 存在可逆阵 P, 使 P AP E或 A P P ; (5) f 的矩阵 A 的各顺序主子式全大于零 例 6.4 问 a 为何值时, f ( x, x, x ) x a x x x x 为正定的. 例 6.5 设 A 为三阶实对称矩阵, 满足 A A 0, r( A) 0, 若 ka E 是正定的, 则 k 满足什么条件? 题型 化二次型为标准形 基本题型与典型例题 例 f ( x, x, x ) x Ax ax x x bx x ( b 0), 其中 A 的特征值之和为,

47 新东方在线 [ ] 考研数学网络课堂电子教材系列 积为 -.() 求 a,b ;( ) 用正交变换将二次型 f 化为标准形. 题型 正定的判定 例 设 A 为 当 0 时, B 为正定矩阵. 的实对称矩阵, E 为 阶单位阵, 已知矩阵 B E A A, 证明 : 46