目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根
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- 论 贾
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1 线性方程组的直接解法
2 目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
3 线性方程组的求解问题是一个古老的数学问题 九章算术 : 详细记载了消元法 9 世纪初, 西方有了 Gauss 消去法求解大型线性方程组则是在 20 世纪计算机问世后才成为可能
4 线性方程组数值解法的分类 直接法 迭代法
5 直接法 定义 : 在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得精确解的方法 举例 : 高斯消去法 平方根法 追赶法 适用范围 : 低阶稠密矩阵方程组 某些大型稀疏方程组 ( 如大型带状方程组 )
6 迭代法 定义 : 采取逐次逼近的方法, 亦即从一个初始向量出发, 按照一定的计算格式, 构造一个无穷序列, 其极限才是方程组的精确解, 只经过有限次运算得不到精确解 举例 : Jacobi 迭代 Gauss-Seidel 迭代 超松弛迭代 适用范围 : 大型稀疏方程组
7 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
8 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
9 2.. 顺序消去法 定义 ( 顺序消去法 ) 在逐步消元的过程中, 把系数矩阵约化成上三角矩阵, 从而将原方程组约化为容易求解的等价三角方程组, 再通过回代过程逐一求出各未知数
10 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), () a () 2 x + a () 22 x 2 + a () 23 x 3 = b () 2, (2) a () 3 x + a () 32 x 2 + a () 33 x 3 = b () 3. (3) a() 2 (2) + () a () ================== (3) + () a() 3 a () a (2) i j = a () i j + a () 设 a () 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), j b (2) i = b () i + b () a() i a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a () a() i a (), i, j = 2, 3,, i = 2, 3.
11 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), () a () 2 x + a () 22 x 2 + a () 23 x 3 = b () 2, (2) a () 3 x + a () 32 x 2 + a () 33 x 3 = b () 3. (3) a() 2 (2) + () a () ================== (3) + () a() 3 a () a (2) i j = a () i j + a () 设 a () 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), j b (2) i = b () i + b () a() i a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a () a() i a (), i, j = 2, 3,, i = 2, 3.
12 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), () a () 2 x + a () 22 x 2 + a () 23 x 3 = b () 2, (2) a () 3 x + a () 32 x 2 + a () 33 x 3 = b () 3. (3) a() 2 (2) + () a () ================== (3) + () a() 3 a () a (2) i j = a () i j + a () 设 a () 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), j b (2) i = b () i + b () a() i a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a () a() i a (), i, j = 2, 3,, i = 2, 3.
13 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), () a () 2 x + a () 22 x 2 + a () 23 x 3 = b () 2, (2) a () 3 x + a () 32 x 2 + a () 33 x 3 = b () 3. (3) a() 2 (2) + () a () ================== (3) + () a() 3 a () a (2) i j = a () i j + a () 设 a () 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), j b (2) i = b () i + b () a() i a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a () a() i a (), i, j = 2, 3,, i = 2, 3.
14 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), () a () 2 x + a () 22 x 2 + a () 23 x 3 = b () 2, (2) a () 3 x + a () 32 x 2 + a () 33 x 3 = b () 3. (3) a() 2 (2) + () a () ================== (3) + () a() 3 a () a (2) i j = a () i j + a () 设 a () 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), j b (2) i = b () i + b () a() i a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a () a() i a (), i, j = 2, 3,, i = 2, 3.
15 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), (3) + (2) a (2) 22 ================== a(2) 32 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a (3) 33 = a(2) 33 + a(2) b (3) 3 = b (2) 3 + b (2) 设 a (2) 22 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, 23 a(2) 32, 2 a (2) 22 a(2) 32 a (2) 22 a (3) 33 x 3 = b (3) 3..
16 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), (3) + (2) a (2) 22 ================== a(2) 32 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a (3) 33 = a(2) 33 + a(2) b (3) 3 = b (2) 3 + b (2) 设 a (2) 22 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, 23 a(2) 32, 2 a (2) 22 a(2) 32 a (2) 22 a (3) 33 x 3 = b (3) 3..
17 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), (3) + (2) a (2) 22 ================== a(2) 32 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a (3) 33 = a(2) 33 + a(2) b (3) 3 = b (2) 3 + b (2) 设 a (2) 22 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, 23 a(2) 32, 2 a (2) 22 a(2) 32 a (2) 22 a (3) 33 x 3 = b (3) 3..
18 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), (3) + (2) a (2) 22 ================== a(2) 32 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a (3) 33 = a(2) 33 + a(2) b (3) 3 = b (2) 3 + b (2) 设 a (2) 22 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, 23 a(2) 32, 2 a (2) 22 a(2) 32 a (2) 22 a (3) 33 x 3 = b (3) 3..
19 2.. 顺序消去法 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), (3) + (2) a (2) 22 ================== a(2) 32 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3. a (3) 33 = a(2) 33 + a(2) b (3) 3 = b (2) 3 + b (2) 设 a (2) 22 0 a () x + a () 2 x 2 + a () 3 x 3 = b (), a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2, 23 a(2) 32, 2 a (2) 22 a(2) 32 a (2) 22 a (3) 33 x 3 = b (3) 3..
20 2.. 顺序消去法 一般情形 考察 n 元线性方程组 A () X = b (), 其中 A () = a () a () 2 a () n a () 2 a () 22 a () 2n.. a () n a () n2 a () nn., X = x x 2. x n, b () = b () b () 2. b () n
21 2.. 顺序消去法 若约化的主元 a (k) kk 0 (k =, 2,, n), 则经过 for k =, 2,, n- for i = k+,, n l ik = a (k) ik / a(k) kk, for j = k+,, n+ a (k+) i j = a (k) i j l ik a (k) k j end end end 顺序消元法 可得 a () a () 2 a () n 0 a (2) 22 a (2) 2n a (n) nn. x x 2. x n = b () b (2) 2. b (n) n
22 2.. 顺序消去法 x n = b (n) n / a (n) nn for i = n-, n-2,, n end x i = b(i) i a (i) i j x j j=i+ / ai ii 回代公式
23 2.. 顺序消去法 若遇到 a (k) kk = 0, 则消去过程无法进行 若 a (k) kk 不为零但很小, 尽管消去过程可以进行下去, 但用其做除数, 会引起计算结果的严重失真 x + 2x 2 = 2, x + x 2 = 3.
24 2.. 顺序消去法 若遇到 a (k) kk = 0, 则消去过程无法进行 若 a (k) kk 不为零但很小, 尽管消去过程可以进行下去, 但用其做除数, 会引起计算结果的严重失真 x + 2x 2 = 2, x + x 2 = 3.
25 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
26 2..2 列主元消去法 定义 ( 列主元消去法 ) 在消元过程中, 每次选主元时, 仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素, 它只进行行交换, 而不产生未知数次序的调换 列主元消去法能有效地避免顺序消元过程中的两个问题, 它是直接法中最常用的一种方式
27 2..2 列主元消去法 定义 ( 列主元消去法 ) 在消元过程中, 每次选主元时, 仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素, 它只进行行交换, 而不产生未知数次序的调换 列主元消去法能有效地避免顺序消元过程中的两个问题, 它是直接法中最常用的一种方式
28 2..2 列主元消去法 例 用列主元消去法求解 2x + x 2 + 2x 3 = 5, 5x x 2 + x 3 = 8, x 3x 2 4x 3 = 4.
29 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
30 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
31 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
32 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
33 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
34 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
35 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
36 2..2 列主元消去法 解 : 增广矩阵为 r r 2 ======= r r ======== r 3 5 r r 2 r 3 ======= r r 2 ========
37 2..2 列主元消去法 列主元消去法 for k =, 2,, n- find i k k,, n s.t. a (k) i k,k = max k i n a (k) ik ; interchage the k, i k th rows in [A (k), b (k) ] ; for i = k+,, n l ik = a (k) ik / a(k) kk ; for j = k+,, n+ a (k+) i j = a (k) i j l ik a (k) k j ; end end end
38 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
39 2..3 全主元消去法 定义 ( 全主元消去法 ) 全主元消去法选主元的范围更大, 对于 ( ) A () b () 来说, 在整个系数矩阵中选主元, 即将绝对值最大的元素经过行列变换使其置于 a () 的位置, 然后进行消元过程得到 ( ) A (2) b (2) 接下来在该矩阵中划掉第一行第一列后剩余的 n 阶子系数矩阵中选主元, 并通过行 列交换置其于 a (2) 22 的位置, 然后进行消元 ;
40 2..3 全主元消去法 例 用全主元消去法求解 2x + x 2 + 2x 3 = 5, 5x x 2 + x 3 = 8, x 3x 2 4x 3 = 4.
41 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
42 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
43 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
44 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
45 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
46 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
47 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
48 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
49 2..3 全主元消去法 解 : 增广矩阵为 x x 2 x r r 2 ======= x x 2 x r r ======== r 3 5 r x x 2 x x x 3 x 2 r 2 r ====== c 2 c r r 2 ========= x x 3 x /3 /3
50 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
51 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 应用一 : 求逆矩阵 ( ) A E Gauss Jordan Elimination =================== ( ) E A
52 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 例 求矩阵 3 2 A = 的逆矩阵.
53 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
54 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
55 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
56 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
57 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
58 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
59 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
60 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
61 2..4 选主元消去法的应用求逆矩阵 r r, r r =================== r ( 23) r r 2 ======= r r 2, r r 2 ======================== r (2.26) r r 3, r r 3 ======================== r (.09)
62 2..4 选主元消去法的应用求行列式 应用二 : 求行列式 设有矩阵 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =... a n a n2 a nn 用主元消去法将其化为上三角矩阵, 并设对角元素为 b, b 22,, b nn, 故 A 的行列式为 det(a) = ( ) m b b 22 b nn, 其中 m 为所施行的行 列交换的次数
63 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
64 2. 高斯消去法 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
65 2.2. 三角方程组的解法 下三角形方程组 考察 Ly = b () 其中 b = (b,, b n ) T R n 已知,y = (y,, y n ) T R n 未知, 而 且 l ii 0, i =, 2,, n. L = l l 2 l 22 l 3 l 32 l 33, l n l n2 l n3 l nn
66 2.2. 三角方程组的解法 由方程组 () 的第一个方程 l y = b 得 2 由方程组 () 的第二个方程 y = b l. l 2 y + l 22 y 2 = b 2 得 y 2 = b 2 l 2 y l 22.
67 2.2. 三角方程组的解法 3 一般地, 若已求得 y,, y i, 则由方程组 () 的第 i 个方程 l i y + l i2 y l i,i y i + l ii y i = b i 得 y i = b i i j= l i jy j l ii.
68 2.2. 三角方程组的解法 解下三角形方程组 : 前代法 for j = :n- b(j) = b(j) / L(j, j) b(j+: n) = b(j+: n) - b(j)l(j+:n, j) end b(n) = b(n) / L(n, n) 该算法所需加 减 乘 除的次数 : n (2i ) = n 2, 即该算法的运算量为 n 2. i=
69 2.2. 三角方程组的解法 解下三角形方程组 : 前代法 for j = :n- b(j) = b(j) / L(j, j) b(j+: n) = b(j+: n) - b(j)l(j+:n, j) end b(n) = b(n) / L(n, n) 该算法所需加 减 乘 除的次数 : n (2i ) = n 2, 即该算法的运算量为 n 2. i=
70 2.2. 三角方程组的解法 前代法 (matlab 代码 :fs.m) function b = fs(l, b, n) 2 for j = :n- 3 b(j) = b(j) / L(j,j); 4 b(j+: n) = b(j+: n) - b(j) * L(j+:n, j); 5 end 6 b(n) = b(n) / L(n,n); 7 end
71 2.2. 三角方程组的解法 上三角形方程组 考察 Ux = y (2) 其中 y = (y,, y n ) T R n 已知,x = (x,, x n ) T R n 未知, 而 U = 且 u ii 0, i =, 2,, n. u u 2 u 3 u n u 22 u 23 u n u 33 u 3n.... u nn,
72 2.2. 三角方程组的解法 由方程组 (2) 的第 n 个方程 u nn x n = y n 得 2 由方程组 (2) 的第 n 个方程 x n = y n u nn. u n,n x n + u n,n x n = y n 得 x n = y n u n,n x n u nn.
73 2.2. 三角方程组的解法 3 一般地, 若已求得 x n,, x i+, 则由方程组 (2) 的第 i 个方程 u ii x i + u i,i+ x i+ + + u i,n x n = y i 得 x i = y i n j=i+ u i j x j u ii.
74 2.2. 三角方程组的解法 解上三角形方程组 : 回代法 for j = n-:-:2 y(j) = y(j) / U(j, j) y(:j-) = y(:j-) - y(j)u(:j-, j) end y() = y() / U(, ) 该算法的运算量也为 n 2.
75 2.2. 三角方程组的解法 解上三角形方程组 : 回代法 for j = n-:-:2 y(j) = y(j) / U(j, j) y(:j-) = y(:j-) - y(j)u(:j-, j) end y() = y() / U(, ) 该算法的运算量也为 n 2.
76 2.2. 三角方程组的解法 回代法 (matlab 代码 :bs.m) function y = bs(u, y, n) 2 for j = n:-:2 3 y(j) = y(j) / U(j,j); 4 y(:j-) = y(:j-) - y(j) * U(:j-, j); 5 end 6 y() = y() / U(,); 7 end
77 2.2. 三角方程组的解法 一般线性方程组 考察 Ax = b (3) 其中 A R n n, x, b R n 若 A = LU, 即 A 能分解成一个下三角阵 L 和一个上三角阵 U 的乘积, 则 (3) 的解 x 可由以下两步得到 : 用前代法解 Ly = b 得 y; 2 用回代法解 Ux = y 得 x
78 2.2. 三角方程组的解法 一般线性方程组 考察 Ax = b (3) 其中 A R n n, x, b R n 若 A = LU, 即 A 能分解成一个下三角阵 L 和一个上三角阵 U 的乘积, 则 (3) 的解 x 可由以下两步得到 : 用前代法解 Ly = b 得 y; 2 用回代法解 Ux = y 得 x
79 2. 高斯消去法 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
80 2.2.2 Gauss 变换 定义 ( 矩阵三角分解 ) 将矩阵 A 分解为一个下三角阵 L 和一个上三角阵 U 的乘积, 最自然的做法是通过一系列初等变换, 逐步将 A 约化为上三角阵, 并且保证这些初等变换的乘积是一个下三角阵
81 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 定义 (Gauss 变换 ( 矩阵 )) L k =... l k+,k.... l n,k I l k e T k l k = (0,, 0, l k+,k,, l nk ) T Gauss 向量
82 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 定义 (Gauss 变换 ( 矩阵 )) L k =... l k+,k.... l n,k I l k e T k l k = (0,, 0, l k+,k,, l nk ) T Gauss 向量
83 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 对于 x = (x,, x n ) T R n, L k x = (x,, x k, x k+ l k+,k x k,, x n l nk x k ) T. 取 便有 l ik = x i x k, i = k +,, n, x k 0 L k x = (x,, x k, 0,, 0) T.
84 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 ( L k ) L k 的逆为 L k = I + l k e T k 证明. e T k l k = 0, (I + l k e T k )(I l ke T k ) = I l k e T k l k e T k = I.
85 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 ( L k ) L k 的逆为 L k = I + l k e T k 证明. e T k l k = 0, (I + l k e T k )(I l ke T k ) = I l k e T k l k e T k = I.
86 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 (2 L k ) L k A = (I l k e T k )A = A l k(e T k A), e T k A 为 A 的第 k 行 类似地,Ae k 为 A 的第 k 列 例 =
87 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 (2 L k ) L k A = (I l k e T k )A = A l k(e T k A), e T k A 为 A 的第 k 行 类似地,Ae k 为 A 的第 k 列 例 =
88 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 (3 L k ) 若 j < k, 则 L j L k = (I l j e T j )(I l ke T k ) = I l je T j l k e T k. 证明. 因为当 j < k 时, 有 e T j l k = 0 例 = 2 3 4
89 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 (3 L k ) 若 j < k, 则 L j L k = (I l j e T j )(I l ke T k ) = I l je T j l k e T k. 证明. 因为当 j < k 时, 有 e T j l k = 0 例 = 2 3 4
90 2.2.2 Gauss 变换方式一 :Gauss 变换 性质 (3 L k ) 若 j < k, 则 L j L k = (I l j e T j )(I l ke T k ) = I l je T j l k e T k. 证明. 因为当 j < k 时, 有 e T j l k = 0 例 = 2 3 4
91 2.2.2 Gauss 变换 } {{ } A L } {{ } L A L 2 L 3 } {{ } L 2 L A } {{ } L 3 L 2 L A
92 2.2.2 Gauss 变换 } {{ } A L } {{ } L A L 2 L 3 } {{ } L 2 L A } {{ } L 3 L 2 L A
93 2.2.2 Gauss 变换 } {{ } A L } {{ } L A L 2 L 3 } {{ } L 2 L A } {{ } L 3 L 2 L A
94 2.2.2 Gauss 变换 } {{ } A L } {{ } L A L 2 L 3 } {{ } L 2 L A } {{ } L 3 L 2 L A
95 2.2.2 Gauss 变换 L A = A = =
96 2.2.2 Gauss 变换 L A = A = =
97 2.2.2 Gauss 变换 L 2 L A = L A = =
98 2.2.2 Gauss 变换 L 2 L A = L A = =
99 2.2.2 Gauss 变换 L 2 L A = L 3 L 2 L A = = = U.
100 2.2.2 Gauss 变换 L 2 L A = L 3 L 2 L A = = = U.
101 2.2.2 Gauss 变换 L = 2 4 3, L2 = } {{ } A L L 2 L 3 = = } {{ } L, L3 = } {{ } U
102 2.2.2 Gauss 变换 L = 2 4 3, L2 = } {{ } A L L 2 L 3 = = } {{ } L, L3 = } {{ } U
103 2.2.2 Gauss 变换 L = 2 4 3, L2 = } {{ } A L L 2 L 3 = = } {{ } L, L3 = } {{ } U
104 2.2.2 Gauss 变换 对于一般矩阵 A, 记 A () = A, 则 A (2) = L A () A (3) = L 2 A (2) = L 2 L A (). A (k) = L k L A () = A (k) A (k) 2 A (k) 22 其中 A (k) 是 k 阶上三角阵,A (k) 22 为 A (k) 22 = a (k) kk a (k) kk.. a (k) nk a (k) nn
105 2.2.2 Gauss 变换 若 a (k) kk 0, 则可确定一个 Gauss 变换 L k, 使得 L k A (k) 第 k 列的最后 n k 个元素为 0 取 L k = I l k e T k, 则 其中 A (k+) 是 k 阶上三角阵 l k = (0,, 0, l k+,k,, l nk ) T, l ik = a (k) ik /a(k) kk, i = k +,, n A (k+) = L k A (k) = A (k+) A (k+) 2 A (k+) 22 如此进行 n 步, 最终所得矩阵 A (n) 即为所要求的上三角形式
106 2.2.2 Gauss 变换 若 a (k) kk 0, 则可确定一个 Gauss 变换 L k, 使得 L k A (k) 第 k 列的最后 n k 个元素为 0 取 L k = I l k e T k, 则 其中 A (k+) 是 k 阶上三角阵 l k = (0,, 0, l k+,k,, l nk ) T, l ik = a (k) ik /a(k) kk, i = k +,, n A (k+) = L k A (k) = A (k+) A (k+) 2 A (k+) 22 如此进行 n 步, 最终所得矩阵 A (n) 即为所要求的上三角形式
107 2.2.2 Gauss 变换 上述步骤可描述为 L n L A = A (n). 令 L = (L n L ) 及 U = A (n), 则 A = LU, 其中 L 是一个单位上三角阵 事实上, 由于 e T j l i = 0 ( j < i), 则 L = L L 2 L n = (I + l e T )(I + l 2e T 2 ) (I + l n e T n ) = I + l e T + l 2e T 2 + l n e T n.
108 2.2.2 Gauss 变换 A (k+) = L k A (k) = (I l k e T k )A(k) = A (k) l k e T k A(k). A (k+) 与 A (k) 的前 k 行元素相同 因为 e T k A(k) 是 A (k) 的第 k 行,l k 的前 k 个分量为 0 A (k+) 中第 k + 到 n 行元素需要更新 a (k+) i j a (k+) ik = 0, i = k +,, n, = a (k) ik l ika (k) k j, i, j = k +,, n
109 2.2.2 Gauss 变换 A (k+) = L k A (k) = (I l k e T k )A(k) = A (k) l k e T k A(k). A (k+) 与 A (k) 的前 k 行元素相同 因为 e T k A(k) 是 A (k) 的第 k 行,l k 的前 k 个分量为 0 A (k+) 中第 k + 到 n 行元素需要更新 a (k+) i j a (k+) ik = 0, i = k +,, n, = a (k) ik l ika (k) k j, i, j = k +,, n
110 2.2.2 Gauss 变换 A (k+) = L k A (k) = (I l k e T k )A(k) = A (k) l k e T k A(k). A (k+) 与 A (k) 的前 k 行元素相同 因为 e T k A(k) 是 A (k) 的第 k 行,l k 的前 k 个分量为 0 A (k+) 中第 k + 到 n 行元素需要更新 a (k+) i j a (k+) ik = 0, i = k +,, n, = a (k) ik l ika (k) k j, i, j = k +,, n
111 2.2.2 Gauss 变换 存储方式 : A (k) 中第 k + n 行元素在计算出 A (k+) 以后不再有用, 故 A (k) 中相应位置上的元素可用新值更新 由于 A (k+) 中的第 k 列对角线以下的元素均为 0, 无需存储, 故这些位置可用于存储 l k 中的非 0 元
112 2.2.2 Gauss 变换 算法 ( 计算三角分解 :Gauss 消去法 ) for k = :n- A(k+:n, k) = A(k+:n, k) / A(k, k) A(k+:n, k+: n) = A(k+:n, k+: n) - A(k+:n, k) A(k, k+: n) end 运算次数 : n [(n k) + 2(n k) 2 ] = k= n(n ) 2 + = 2 3 n3 + O(n 2 ) n(n )(2n ) 3
113 2.2.2 Gauss 变换 算法 ( 计算三角分解 :Gauss 消去法 ) for k = :n- A(k+:n, k) = A(k+:n, k) / A(k, k) A(k+:n, k+: n) = A(k+:n, k+: n) - A(k+:n, k) A(k, k+: n) end 运算次数 : n [(n k) + 2(n k) 2 ] = k= n(n ) 2 + = 2 3 n3 + O(n 2 ) n(n )(2n ) 3
114 2.2.2 Gauss 变换 LU 分解的 matlab 代码 function A = GsLU(A) [m n] = size(a); for k = :n- A(k+:n, k) = A(k+:n, k) / A(k, k); A(k+:n, k+: n) = A(k+:n, k+: n) - A(k+:n, k) * A(k, k+: n); end end
115 2.2.2 Gauss 变换 a (k) kk (k =,, n ) 称作主元 三角分解的条件 当且仅当主元 a (k) kk (k =,, n ) 均不为 0 时, 算法 才能进行到底
116 2.2.2 Gauss 变换 定理 主元 a (i) ii (i =,, k) 均不为 0 A 的 i 阶顺序主子阵 A i (i =,, k) 非奇异 证明 当 k = 时,a () 0 A 非奇异 2 假设定理直到 k 成立, 下证 : 若 A,, A k 非奇异, 则 A k 非奇异 a (k) kk 0
117 2.2.2 Gauss 变换 定理 主元 a (i) ii (i =,, k) 均不为 0 A 的 i 阶顺序主子阵 A i (i =,, k) 非奇异 证明 当 k = 时,a () 0 A 非奇异 2 假设定理直到 k 成立, 下证 : 若 A,, A k 非奇异, 则 A k 非奇异 a (k) kk 0
118 2.2.2 Gauss 变换 定理 主元 a (i) ii (i =,, k) 均不为 0 A 的 i 阶顺序主子阵 A i (i =,, k) 非奇异 证明 当 k = 时,a () 0 A 非奇异 2 假设定理直到 k 成立, 下证 : 若 A,, A k 非奇异, 则 A k 非奇异 a (k) kk 0
119 2.2.2 Gauss 变换 证明 由归纳假设,a (i) ii 0(i =,, k ), 故 A (k) = L k L A = A (k) A (k) 2 A (k) 22 其中 A (k) 是 k 阶上三角阵, 而 A (k) 的 k 阶顺序主子阵形如 A (k) a (k) kk
120 2.2.2 Gauss 变换 证明. 记 L,, L k 的 k 阶顺序主子阵为 (L ) k,, (L k ) k, 则 A (k) (L k ) k (L ) k A k = a (k) kk = det A k = a (k) kk det A(k) = A k 非奇异当且仅当 a (k) kk 0
121 2.2.2 Gauss 变换 证明. 记 L,, L k 的 k 阶顺序主子阵为 (L ) k,, (L k ) k, 则 A (k) (L k ) k (L ) k A k = a (k) kk = det A k = a (k) kk det A(k) = A k 非奇异当且仅当 a (k) kk 0
122 2.2.2 Gauss 变换 证明. 记 L,, L k 的 k 阶顺序主子阵为 (L ) k,, (L k ) k, 则 A (k) (L k ) k (L ) k A k = a (k) kk = det A k = a (k) kk det A(k) = A k 非奇异当且仅当 a (k) kk 0
123 2.2.2 Gauss 变换 定理 ( 矩阵三角分解的条件 ) A 的各阶顺序主子阵均非奇异 = 存在唯一的单位下三角阵 L 和上三角阵 U, 使得 A = LU.
124 2. 高斯消去法 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 追赶法
125 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn 图 : Doolittle 分解 l 2 =..... l n l n2 u u 2 u n u 22 u 2n.... u nn
126 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
127 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
128 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
129 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
130 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
131 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
132 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
133 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
134 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
135 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 图 : Doolittle 分解运算次序 : 先行后列, 先 U 后 L u u 2 u 3 u,n u n l 2 u 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 u 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 u n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n u nn
136 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn 图 : Crout 分解 l l 2 l 22 =..... l n l n2 l nn u 2 u n u 2n....
137 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
138 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
139 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
140 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
141 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
142 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
143 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
144 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
145 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
146 2.2.3 Doolittle 分解方式三 :Crout 分解 图 : Crout 分解运算次序 : 先列后行, 先 L 后 U l u 2 u 3 u,n u n l 2 l 22 u 23 u 2,n u 2n l 3 l 32 l 33 u 3,n u 2n l n, l n,2 l n,3 l n,n u n,n l n l n2 l n3 l n,n l nn
147 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 n a i j = l ik u k j i, j =, 2,, n k= l ii =, l i j = 0( j > i), u i j = 0(i > j) = 先算 U 的第 k 行 ( j k) n k k a k j = l kr u r j = l kr u r j = l kr u r j + l kk u k j r= r= r= k = u k j = a k j l kr u r j r= 再算 L 的第 k 列 (i > k) n k k a ik = l ir u rk = l ir u rk = l ir u rk + l ik u kk r= r= r= = l ik = a ik k r= l kru r j u kk
148 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 n a i j = l ik u k j i, j =, 2,, n k= l ii =, l i j = 0( j > i), u i j = 0(i > j) = 先算 U 的第 k 行 ( j k) n k k a k j = l kr u r j = l kr u r j = l kr u r j + l kk u k j r= r= r= k = u k j = a k j l kr u r j r= 再算 L 的第 k 列 (i > k) n k k a ik = l ir u rk = l ir u rk = l ir u rk + l ik u kk r= r= r= = l ik = a ik k r= l kru r j u kk
149 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 n a i j = l ik u k j i, j =, 2,, n k= l ii =, l i j = 0( j > i), u i j = 0(i > j) = 先算 U 的第 k 行 ( j k) n k k a k j = l kr u r j = l kr u r j = l kr u r j + l kk u k j r= r= r= k = u k j = a k j l kr u r j r= 再算 L 的第 k 列 (i > k) n k k a ik = l ir u rk = l ir u rk = l ir u rk + l ik u kk r= r= r= = l ik = a ik k r= l kru r j u kk
150 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 n a i j = l ik u k j i, j =, 2,, n k= l ii =, l i j = 0( j > i), u i j = 0(i > j) = 先算 U 的第 k 行 ( j k) n k k a k j = l kr u r j = l kr u r j = l kr u r j + l kk u k j r= r= r= k = u k j = a k j l kr u r j r= 再算 L 的第 k 列 (i > k) n k k a ik = l ir u rk = l ir u rk = l ir u rk + l ik u kk r= r= r= = l ik = a ik k r= l kru r j u kk
151 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 n a i j = l ik u k j i, j =, 2,, n k= l ii =, l i j = 0( j > i), u i j = 0(i > j) = 先算 U 的第 k 行 ( j k) n k k a k j = l kr u r j = l kr u r j = l kr u r j + l kk u k j r= r= r= k = u k j = a k j l kr u r j r= 再算 L 的第 k 列 (i > k) n k k a ik = l ir u rk = l ir u rk = l ir u rk + l ik u kk r= r= r= = l ik = a ik k r= l kru r j u kk
152 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 先行后列 for k = : n for j = k,, n % 计算第 k 行 u k j = a k j k r= l lru r j end for i = k+,, n % 计算第 k 列 l ik = (a ik k r= l iru rk )/u kk end end
153 例 利用 Doolittle 分解求解线性方程组 x x 2 x 3 x 4 = 5 0 7
154 计算 U 的第一行,L 的第一列, 得 u =, u 2 = 2, u 3 = 3, u 4 = 4, l 2 = a 2 u = 3, l 3 = a 3 u = 2, l 3 = a 3 u = 4.
155 2 计算 U 的第二行,L 的第二列, 得 u 22 = a 22 l 2 u 2 = 2, u 23 = a 23 l 2 u 3 = 3, u 24 = a 24 l 2 u 4 =, l 32 = a 32 l 3 u 2 u 22 = 3, l 42 = a 42 l 4 u 2 u 22 = 3.
156 3 计算 U 的第三行,L 的第三列, 得 u 33 = a 33 l 3 u 3 l 32 u 23 = 3, u 34 = a 34 l 3 u 4 l 32 u 24 = 2, l 43 = a 43 l 4 u 3 l 42 u 23 u 33 = 2. 4 计算 U 的第四行, 得 u 44 = a 44 l 4 u 4 l 42 u 24 l 43 u 34 = 4,
157 3 计算 U 的第三行,L 的第三列, 得 u 33 = a 33 l 3 u 3 l 32 u 23 = 3, u 34 = a 34 l 3 u 4 l 32 u 24 = 2, l 43 = a 43 l 4 u 3 l 42 u 23 u 33 = 2. 4 计算 U 的第四行, 得 u 44 = a 44 l 4 u 4 l 42 u 24 l 43 u 34 = 4,
158 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 =
159 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 = y y 2 y 3 y 4 = 求得 Y = ( 2,, 7, 6) T.
160 2.2.3 Doolittle 分解方式二 :Doolittle 分解 = x x 2 x 3 x 4 = 7 6 求得 X = (, 2, 3, 4) T.
161 2.2.3 Doolittle 分解对称矩阵的三角分解 定理若 A 为 n 阶对称矩阵, 且 A 的各阶顺序主子式都不为 0, 则 A 可惟一分解为 A = LDL T, 其中 L 为单位下三角阵,D 为对角阵 证明 : 由 A = l l n l n2 u u 2 u n u 22 u 2n.... u nn
162 2.2.3 Doolittle 分解对称矩阵的三角分解 定理若 A 为 n 阶对称矩阵, 且 A 的各阶顺序主子式都不为 0, 则 A 可惟一分解为 A = LDL T, 其中 L 为单位下三角阵,D 为对角阵 证明 : 由 A = l l n l n2 u u 2 u n u 22 u 2n.... u nn
163 2.2.3 Doolittle 分解对称矩阵的三角分解 因为 u ii 0(i =,, n), 故 U 可分解为 u u 22 U =... u 2 u u n u u 2n u = DU u nn 其中 D 为对角矩阵,U 为单位上三角阵 于是 A = LDU = L(DU ), 因为 A 为对称阵, 故 A = A T = U T DT L = U T (DLT ). 由 A 的 LU 分解的惟一性即得 L = U T.
164 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
165 2.3 选主元三角分解 例 求 的 LU 分解 A = [ 0 ] A 非奇异, 但 Gauss 消去第一步就会失效
166 2.3 选主元三角分解 例 求 的 LU 分解 A = [ 0 ] A 非奇异, 但 Gauss 消去第一步就会失效
167 2.3 选主元三角分解 例 求 的 LU 分解 A = [ 0 20 ] [ L = 设 ɛ machine 0 6, 则 [ L = LŨ = ] [ ] 0 20, U = ] [ ] 0 20, Ũ = [ ]
168 2.3 选主元三角分解 例 求 的 LU 分解 A = [ 0 20 ] [ L = 设 ɛ machine 0 6, 则 [ L = LŨ = ] [ ] 0 20, U = ] [ ] 0 20, Ũ = [ ]
169 2.3 选主元三角分解 例 求 的 LU 分解 A = [ 0 20 ] [ L = 设 ɛ machine 0 6, 则 [ L = LŨ = ] [ ] 0 20, U = ] [ ] 0 20, Ũ = [ ]
170 2.3 选主元三角分解 例 设 求 A = [ 0 20 Ax = b ] [, b = 0 ], 近似解 : [ 0 x = ] 精确解 : x [ ]
171 2.3 选主元三角分解 例 设 求 A = [ 0 20 Ax = b ] [, b = 0 ], 近似解 : [ 0 x = ] 精确解 : x [ ]
172 2.3 选主元三角分解 交换方程次序 [ ] [ ] [ x = x 近似解 ˆL = [ 0 ], Û = ˆx [ [ ] ] ]
173 2.3 选主元三角分解 图 : 置换矩阵 I pq = p q = p q ( ) e e p e q e p+ e q e p e q+ e n
174 2.3 选主元三角分解具体步骤 假定消去过程已经进行到了 k 步, 即已经确定了 k 个 Gauss 变换 L,, L k R n n 和 2(k ) 个初等置换矩阵 P,, P k, Q,, Q k R n n 使得 A (k) = L k P k L P A Q Q k A (k) A (k) 2 = 0 A (k) 22
175 2.3 选主元三角分解具体步骤 2 第 k 步 : 选 a (k) pq = max { a (k) : k i, j n} 若 a (k) pq = 0, 则 R(A) = k, 停止! i j 若 a (k) pq 0, 交换 A (k) 的第 k p 行及第 k q 列, 记交换后的 A (k) 22 为 ã (k) kk ã (k) kn à (k) 22 =. ã (k) nk ã (k) nn.
176 2.3 选主元三角分解具体步骤 2 第 k 步 : 选 a (k) pq = max { a (k) : k i, j n} 若 a (k) pq = 0, 则 R(A) = k, 停止! i j 若 a (k) pq 0, 交换 A (k) 的第 k p 行及第 k q 列, 记交换后的 A (k) 22 为 ã (k) kk ã (k) kn à (k) 22 =. ã (k) nk ã (k) nn.
177 2.3 选主元三角分解具体步骤 2 第 k 步 : 选 a (k) pq = max { a (k) : k i, j n} 若 a (k) pq = 0, 则 R(A) = k, 停止! i j 若 a (k) pq 0, 交换 A (k) 的第 k p 行及第 k q 列, 记交换后的 A (k) 22 为 ã (k) kk ã (k) kn à (k) 22 =. ã (k) nk ã (k) nn.
178 2.3 选主元三角分解具体步骤 2 第 k 步 : 选 a (k) pq = max { a (k) : k i, j n} 计算 Gauss 变换 i j L k = I l k e T k l k = (0,, 0, l k+,k,, l n,k ) T l i,k = ã (k) ik /ã(k) kk, i = k +,, n. 则 A (k+) = L k P k A (k ) Q k A (k+) A (k+) 2 = 0 A (k+) 22 其中 A (k+) 为 k 阶上三角阵,P k = I kp, Q k = I kq R n n
179 2.3 选主元三角分解具体步骤 2 第 k 步 : 选 a (k) pq = max { a (k) : k i, j n} 计算 Gauss 变换 i j L k = I l k e T k l k = (0,, 0, l k+,k,, l n,k ) T l i,k = ã (k) ik /ã(k) kk, i = k +,, n. 则 A (k+) = L k P k A (k ) Q k A (k+) A (k+) 2 = 0 A (k+) 22 其中 A (k+) 为 k 阶上三角阵,P k = I kp, Q k = I kq R n n
180 2.3 选主元三角分解具体步骤 2 第 k 步 : 选 a (k) pq = max { a (k) : k i, j n} 计算 Gauss 变换 i j L k = I l k e T k l k = (0,, 0, l k+,k,, l n,k ) T l i,k = ã (k) ik /ã(k) kk, i = k +,, n. 则 A (k+) = L k P k A (k ) Q k A (k+) A (k+) 2 = 0 A (k+) 22 其中 A (k+) 为 k 阶上三角阵,P k = I kp, Q k = I kq R n n
181 2.3 选主元三角分解 全主元 Gauss 消去法的矩阵表述 存在置换矩阵 P k, Q k 和初等下三角阵 L k, k =,, n, 使得 为上三角阵 令 L n P n L P A Q Q r = U Q = Q Q n P = P n P L = P(L n P n L P ) 则有 PAQ = LU 以下说明 L 为一个单位下三角阵
182 2.3 选主元三角分解 全主元 Gauss 消去法的矩阵表述 存在置换矩阵 P k, Q k 和初等下三角阵 L k, k =,, n, 使得 为上三角阵 令 L n P n L P A Q Q r = U Q = Q Q n P = P n P L = P(L n P n L P ) 则有 PAQ = LU 以下说明 L 为一个单位下三角阵
183 2.3 选主元三角分解 } {{ } P =I 4 A = A () = } {{ } A (), } {{ } Q =I 3 = } {{ } Ã () } {{ } L } {{ } Ã () = } {{ } A (2)
184 2.3 选主元三角分解 } {{ } P =I 4 A = A () = } {{ } A (), } {{ } Q =I 3 = } {{ } Ã () } {{ } L } {{ } Ã () = } {{ } A (2)
185 2.3 选主元三角分解 } {{ } P =I 4 A = A () = } {{ } A (), } {{ } Q =I 3 = } {{ } Ã () } {{ } L } {{ } Ã () = } {{ } A (2)
186 2.3 选主元三角分解 } {{ } P 2 =I 23 A (2) = } {{ } A (2) } {{ } Q 2 =I 24, = } {{ } Ã (2) } {{ } L } {{ } Ã (2) = } {{ } A (3)
187 2.3 选主元三角分解 } {{ } P 2 =I 23 A (2) = } {{ } A (2) } {{ } Q 2 =I 24, = } {{ } Ã (2) } {{ } L } {{ } Ã (2) = } {{ } A (3)
188 2.3 选主元三角分解 } {{ } P 2 =I 23 A (2) = } {{ } A (2) } {{ } Q 2 =I 24, = } {{ } Ã (2) } {{ } L } {{ } Ã (2) = } {{ } A (3)
189 2.3 选主元三角分解 A (3) = , } {{ } P 3 =I } {{ } A (3) 0.2 } {{ } L } {{ } Q 3 =I 34 } {{ } Ã (3) = = } {{ } Ã (3) } {{ } A (4)
190 2.3 选主元三角分解 A (3) = , } {{ } P 3 =I } {{ } A (3) 0.2 } {{ } L } {{ } Q 3 =I 34 } {{ } Ã (3) = = } {{ } Ã (3) } {{ } A (4)
191 2.3 选主元三角分解 A (3) = , } {{ } P 3 =I } {{ } A (3) 0.2 } {{ } L } {{ } Q 3 =I 34 } {{ } Ã (3) = = } {{ } Ã (3) } {{ } A (4)
192 2.3 选主元三角分解 将上述步骤合并, 即得 L 3 P 3 L 2 P 2 L P A Q Q 2 Q 3 = A (4) = A Q = (L 3 P 3 L 2 P 2 L P ) A (4) = P L P 2 L 2 P 3 L 3 A (4) = P 3 P 2 P } {{ } P A Q }{{} Q = P 3 P 2 L P 2 L2 P 3 L3 } {{ } L A (4) }{{} U
193 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
194 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
195 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
196 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
197 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
198 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
199 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
200 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
201 2.3 选主元三角分解 观察 L = P 3 (P 2 L P 2 L 2 )P 3L 3, 设 P 2 = I 23, P 3 = I 34 以及 L = L P 3 = P 2 = , L2 = P 2 = P 3 = 由此可以看出 L L 3 = # 4 L2 === L3 === # 4
202 2.3 选主元三角分解 定理 L 是一个单位下三角阵 = P n P (L n P n L P ) = P n P 2 L P 2L2 P nln
203 2.3 选主元三角分解 定理存在置换矩阵 P, Q 以及单位下三角阵 L 和上三角阵 U, 使得 PAQ = LU, 且 l i j,u 的非零对角元的个数正好等于 A 的秩
204 2.3 选主元三角分解 算法.2.( 全主元三角分解 ) for k = :n- 确定 p, q(k<=p, q<=n) 使得 A(p,q) = max{ A(i,j) : i=k:n, j=k:n} A(k,:n) <-> A(p,:n) A(:n,k) <-> A(:n,q) u(k)=p v(k)=q if A(k,k)!=0 A(k+:n,k) = A(k+:n,k)/ A(k,k) A(k+:n,k+: n) = A(k+:n,k+: n) - A(k+:n,k)* A(k,k+: n) else stop end end
205 2.3 选主元三角分解 例 对如下矩阵进行全主元三角分解 2 A = ,
206 2.3 选主元三角分解 A =, = } {{ }} {{ }} {{ } P A (0) Ã (0) = } {{ }} {{ }} {{ } L Ã A ()
207 2.3 选主元三角分解 A =, = } {{ }} {{ }} {{ } P A (0) Ã (0) = } {{ }} {{ }} {{ } L Ã A ()
208 2.3 选主元三角分解 A =, = } {{ }} {{ }} {{ } P A (0) Ã (0) = } {{ }} {{ }} {{ }
209 2.3 选主元三角分解 A () =, = } {{ }} {{ }} {{ } P 2 A () Ã () } {{ } L = } {{ }} {{ }
210 2.3 选主元三角分解 A () =, = } {{ }} {{ }} {{ } P 2 A () Ã () } {{ } L = } {{ } Ã () } {{ } A (2)
211 2.3 选主元三角分解 A () =, = } {{ }} {{ }} {{ } P 2 A () Ã () } {{ } L = } {{ } Ã () } {{ } A (2)
212 2.3 选主元三角分解 0 } {{ } P } {{ } L A (2) =, } {{ } A (2) } {{ } Ã (2) 7 4 = = } {{ } Ã (2) } {{ } A () 3
213 2.3 选主元三角分解 0 } {{ } P } {{ } L A (2) =, } {{ } A (2) } {{ } Ã (2) 7 4 = = } {{ } Ã (2) } {{ } A () 3
214 2.3 选主元三角分解 0 } {{ } P } {{ } L A (2) =, } {{ } A (2) } {{ } Ã (2) 7 4 = = } {{ } Ã (2) } {{ } A () 3
215 2.3 选主元三角分解 算法.2.( 列主元三角分解 ) for k = :n- 确定 p(k<=p<=n) 使得 A(p,k) = max{ A(i,j) : i=k:n, j=k:n} A(k,:n) <-> A(p,:n) u(k)=p if A(k,k)!=0 A(k+:n,k) = A(k+:n,k)/ A(k,k) A(k+:n,k+: n) = A(k+:n,k+: n) - A(k+:n,k)* A(k,k+: n) else stop end end
216 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
217 2. 高斯消去法 三角形方程组和三角分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
218 2.4. 平方根法对称正定矩阵 适用对象 : 对称正定矩阵方程组 定义 ( 对称正定矩阵 ) 设 A 是 n 阶实对称矩阵, 若 0 x R n, 恒有 x T Ax > 0, 则称 A 为对称正定矩阵
219 2.4. 平方根法对称正定矩阵的性质 性质若 A 对称正定, 则 A 非奇异 2 任一主子矩阵 A k, k =, 2,, n 必正定 3 a ii > 0, i =, 2,, n 4 λ i (A) > 0, i =, 2,, n 5 det(a) > 0
220 2.4. 平方根法 定理 对称矩阵 A 正定 A 的各阶顺序主子式 det (A i ) > 0, i =, 2,, n.
221 2.4. 平方根法 定理 (Cholesky 分解 ) 对称矩阵 A 正定 = 存在惟一的主对角元皆正的下三角阵 L, 使得 A = LL T.
222 2.4. 平方根法 证明. A 对称正定 A 各阶顺序主子式 > 0 = A = LD L T, L : 单位下三角阵 L T 非奇异 = 存在惟一的向量 x R n 使得 L T x = e i 于是 所以 0 < x T Ax = x T LD L T x = ( L T x) T D L T x = e T i De i = d i. A = LD L T = LD /2 D /2 L T = (D /2 L) T D /2 L LL T
223 2.4. 平方根法 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n =... a n a n2 a nn l l 2 l l n l n2 l nn l l 2 l n l 22 l n2.... l nn
224 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
225 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
226 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
227 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
228 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
229 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
230 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
231 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
232 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
233 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 图 : 平方根法运算次序 l l 2 l 22 l 3 l 32 l l n, l n,2 l n,n l n l n2 l n,n l nn
234 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 由矩阵乘法 a i j = n l ik u k j = k= 注意到 l i j = 0( j > i), 知计算第 j 行时 当 i = j 时, k= a j j = n l ik l jk (i, j =, 2,, n), k= j j l 2 jk = l j j = a j j l jk l jk k= 当 i > j 时, j j a i j = l ik l jk = l i j l j j = a i j l ik l jk = l i j = a i j j k= l ikl jk l j j k= k= /2
235 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 由矩阵乘法 a i j = n l ik u k j = k= 注意到 l i j = 0( j > i), 知计算第 j 行时 当 i = j 时, k= a j j = n l ik l jk (i, j =, 2,, n), k= j j l 2 jk = l j j = a j j l jk l jk k= 当 i > j 时, j j a i j = l ik l jk = l i j l j j = a i j l ik l jk = l i j = a i j j k= l ikl jk l j j k= k= /2
236 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 由矩阵乘法 a i j = n l ik u k j = k= 注意到 l i j = 0( j > i), 知计算第 j 行时 当 i = j 时, k= a j j = n l ik l jk (i, j =, 2,, n), k= j j l 2 jk = l j j = a j j l jk l jk k= 当 i > j 时, j j a i j = l ik l jk = l i j l j j = a i j l ik l jk = l i j = a i j j k= l ikl jk l j j k= k= /2
237 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 由矩阵乘法 a i j = n l ik u k j = k= 注意到 l i j = 0( j > i), 知计算第 j 行时 当 i = j 时, k= a j j = n l ik l jk (i, j =, 2,, n), k= j j l 2 jk = l j j = a j j l jk l jk k= 当 i > j 时, j j a i j = l ik l jk = l i j l j j = a i j l ik l jk = l i j = a i j j k= l ikl jk l j j k= k= /2
238 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 由矩阵乘法 a i j = n l ik u k j = k= 注意到 l i j = 0( j > i), 知计算第 j 行时 当 i = j 时, k= a j j = n l ik l jk (i, j =, 2,, n), k= j j l 2 jk = l j j = a j j l jk l jk k= 当 i > j 时, j j a i j = l ik l jk = l i j l j j = a i j l ik l jk = l i j = a i j j k= l ikl jk l j j k= k= /2
239 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 由矩阵乘法 a i j = n l ik u k j = k= 注意到 l i j = 0( j > i), 知计算第 j 行时 当 i = j 时, k= a j j = n l ik l jk (i, j =, 2,, n), k= j j l 2 jk = l j j = a j j l jk l jk k= 当 i > j 时, j j a i j = l ik l jk = l i j l j j = a i j l ik l jk = l i j = a i j j k= l ikl jk l j j k= k= /2
240 2.4. 平方根法方式二 :Doolittle 分解 for j =, 2,, n j /2 l j j = a j j l 2 jk k= for i = j+, j+2,, n j l i j = a i j l ik l jk /l j j end end k= 平方根法
241 2.4. 平方根法 例 用平方根法求解 x x 2 x 3 = 0 2 3, L = l l 2 l 22 l 3 l 32 l 33
242 2.4. 平方根法 例 用平方根法求解 x x 2 x 3 = 0 2 3, L = l l 2 l 22 l 3 l 32 l 33 解验证 A 的对称正定性 : a = > 0, = 8 4 > 0, = 6 > 0
243 2.4. 平方根法 例 用平方根法求解 解 x x 2 x 3 = 0 2 3, L = l l 2 l 22 l 3 l 32 l 33 l = a =, l 2 = a 2 = 2 l l 3 = a 3 = l l 22 = a 22 l 2 2 = 2 l 32 = a 32 l 3 l 2 l 22 = l 33 = a 33 l 2 3 l2 32 = 2
244 2.4. 平方根法 例 用平方根法求解 解 x x 2 x 3 = 0 2 3, L = 求解 LY = b, 得 3 求解 L T X = Y, 得 Y = (0,, 2) T. X = (,, ) T.
245 2. 高斯消去法 三角形方程组和三角分解 选主元三角分解 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 改进的平方根法 追赶法
246 2.4.2 改进的平方根法 平方根法的局限 计算 l i j 时需要用到开方运算 只能求解对称正定线性方程组 而在很多工程问题中, 经常得到的是一个系数矩阵对称但不一定正定的线性方程组 为了避免开方运算和求解这类方程组, 可采用改进平方根法
247 2.4.2 改进的平方根法 平方根法的局限 计算 l i j 时需要用到开方运算 只能求解对称正定线性方程组 而在很多工程问题中, 经常得到的是一个系数矩阵对称但不一定正定的线性方程组 为了避免开方运算和求解这类方程组, 可采用改进平方根法
248 2.4.2 改进的平方根法 平方根法的局限 计算 l i j 时需要用到开方运算 只能求解对称正定线性方程组 而在很多工程问题中, 经常得到的是一个系数矩阵对称但不一定正定的线性方程组 为了避免开方运算和求解这类方程组, 可采用改进平方根法
249 2.4.2 改进的平方根法 平方根法的局限 计算 l i j 时需要用到开方运算 只能求解对称正定线性方程组 而在很多工程问题中, 经常得到的是一个系数矩阵对称但不一定正定的线性方程组 为了避免开方运算和求解这类方程组, 可采用改进平方根法
250 2.4.2 改进的平方根法 A = LDL T = l l n l n2 d d 2... d n l 2 l n l n2....
251 2.4.2 改进的平方根法存储方式及运算次序 a a 2 a 22 a 3 a 32 a a n, a n,2 a n,n a n a n2 a n,n a nn d l 2 d 2 l 3 l 32 d l n, l n,2 d n l n l n2 l n,n d n
252 2.4.2 改进的平方根法存储方式及运算次序 a a 2 a 22 a 3 a 32 a a n, a n,2 a n,n a n a n2 a n,n a nn d l 2 d 2 l 3 l 32 d l n, l n,2 d n l n l n2 l n,n d n
253 2.4.2 改进的平方根法存储方式及运算次序 a a 2 a 22 a 3 a 32 a a n, a n,2 a n,n a n a n2 a n,n a nn d l 2 d 2 l 3 l 32 d l n, l n,2 d n l n l n2 l n,n d n
254 2.4.2 改进的平方根法存储方式及运算次序 a a 2 a 22 a 3 a 32 a a n, a n,2 a n,n a n a n2 a n,n a nn d l 2 d 2 l 3 l 32 d l n, l n,2 d n l n l n2 l n,n d n
扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b
数值代数 夏银华 中国科学技术大学 扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 初等变换矩阵 放缩 (scaling): 第 i 个方程
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
目录 三种迭代格式 Jacobi 迭代法 Gauss-Seidel 迭代 超松弛迭代法 Jacobi 与 G-S 迭代的收敛性分析 收敛的充分必要条件 收敛的充分条件及误差估计 收敛速度 平均
线性方程组的古典迭代解法 目录 1 3.1 三种迭代格式 3.1.1 Jacobi 迭代法 3.1.2 Gauss-Seidel 迭代 3.1.3 超松弛迭代法 2 3.2 Jacobi 与 G-S 迭代的收敛性分析 3.2.1 收敛的充分必要条件 3.2.2 收敛的充分条件及误差估计 3 3.3 收敛速度 3.3.1 平均收敛速度和渐近收敛速度 3.3.2 模型问题 3.3.3 Jacobi 和
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线性代数方程组 浙江大学控制系 本章内容 高斯消去法 LU 分解 特殊矩阵和矩阵求逆 误差分析 条件数 迭代方法 205/6/2 数值计算方法 2 误差分析和方程组条件数 利用逆矩阵确定方程组是否病态的方法 缩放系数矩阵 A, 使其每一行的最大元素为 计算缩放后的逆矩阵, 如果 A - 中有元素的值大于 几倍, 则方程组是病态的 将逆矩阵与原矩阵相乘, 检查结果是否接近单位阵 如果不接近单位阵, 则方程组是病态的
( CIP).:,3.7 ISBN TB CIP (3) ( ) ISBN O78 : 3.
( CIP).:,3.7 ISBN 7 568 383 3.......... TB CIP (3) 334 3 37 ( ) 64536 www.hdlgpress.com.c 7879 6 9.75 479 3 7 3 7 45 ISBN 7 568 383 3O78 : 3. 995,.,.,.,. :,,,,.. :,,,,,,.,,,,.,,. ,,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,
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. 高斯消元法. 矩阵的秩. 线性方程组解的判定 第二章 线性方程组 线性方程组的解取决于 n n nn n n n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L ( ),,,,, n j i ij L 系数 ( ),n,, i b i L 常数项回顾 : 根据克拉默法则 线性方程组的一般形式 L nn b L nn b LLLLLLLLLLLL m m L mnn bm,, L,
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
4 A C n n, AA = A A, A,,, Hermite, Hermite,, A, A A, A, A 4 (, 4,, A A, ( A C n n, A A n, 4 A = (a ij n n, λ, λ,, λ n A n n ( (Schur λ i n
,?,,, A, A ( Gauss m n A B P Q ( Ir B = P AQ r(a = r, A Ax = b P Ax = P b, x = Qy, ( Ir y = P b (4 (4, A A = ( P Ir Q,,, Schur, Cholesky LU, ( QR,, Schur,, (,,, 4 A AA = A A Schur, U U AU = T AA = A A
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
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08-09 年度第一学期 0050 00503 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 05 室 E-mail: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院 http://math.ustc.edu.c/ 第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 特征值与特征向量 在实际工程计算中, 经常会遇到特征值和特征向量的计算, 如 : 机械 结构或电磁振动中的固有值问题 ; 物理学中的各种临界值等
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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看上去很美 王朔 编者的话 时隔七年 王朔又拿出了他的新作 一个过去写过很多东西 又曾声言放弃写作的 人 此番重新拿起笔 令我们感兴趣的倒也不是他的食言自肥 而是他是否确有一些新 意要表达 这才构成一部文学作品产生的必要成因 关于王朔 我们听到较多的是他的 调侃和所谓玩世不恭的写作态度 作为出版过他的全部作品的编者 我们知道那类作品 只是他全部作品的一小部分 在某一时刻被刻意演染夸张开来的一种风格
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
2003年
00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
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Laplace 定理 在行列式中, 任取 k 行, 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 93 7. Cramer 法则 二元线性方程组 若令 a x + a x = a x + a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a a D a a 11 12 = ( 方程组的系数行列式 21 22 方程组的系数行列式 ) D 1 = 1
图书在版编目 (CIP) 数据程序员的数学. 3, 线性代数 /( 日 ) 平冈和幸, ( 日 ) 堀玄著 ; 卢晓南译. 北京 : 人民邮电出版社, ( 图灵程序设计丛书 ) ISBN Ⅰ. 1 程 Ⅱ. 1 平 2 堀 3 卢 Ⅲ. 1 电子计算
图灵程序设计丛书 程序员的数学 3: 线性代数 [ 日 ] 平冈和幸堀玄著 卢晓南译 图书在版编目 (CIP) 数据程序员的数学. 3, 线性代数 /( 日 ) 平冈和幸, ( 日 ) 堀玄著 ; 卢晓南译. 北京 : 人民邮电出版社, 2016.3 ( 图灵程序设计丛书 ) ISBN 978-7-115-41774-9 Ⅰ. 1 程 Ⅱ. 1 平 2 堀 3 卢 Ⅲ. 1 电子计算机 数学基础 2
2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质
第二讲 非负矩阵与 M 矩阵 非负矩阵 不可约非负矩阵 M- 矩阵与单调矩阵 对角占优 M- 矩阵 注记 非负矩阵在很多领域都有重要应用, 如数理经济, 运筹, 图像处理等. 同样, 它在矩阵理论与数值代数中也扮演着很重要的角色. 若无特别注明, 本讲内容都是在实数域中讨论. 2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质 3/63 非负矩阵, 正矩阵
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线性代数 课教案 学 期 :6 7 学年第一学期 学时 : 45 学时 系 ( 部 ): 基础部 教研室 : 理科教研室 授课教师 : 张焕玮 授课班级所 授课班级 授课班级 授课班级 在系 所在系 管理工程系管理工程系 6 物流管理 班 6 物流管理 4 班 第 次课教案 6 年 9 月 7 日星期三 章 节 : 第一章行列式 教学任务 :. 阶行列式的定义 使学生了解 阶行列式的定义, 会计算二阶和三阶行列式
x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y
线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 é 48 è 49 50 51 à 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
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四 教学内容及安排 第 1 章 行列式 了解行列式的定义和性质, 掌握 2 3 阶行列式的计算, 会计算较简单的 n 阶 行列式, 掌握 Cramer 法则 章节数 授课 实验 上机 讨论 作业 自学 综合 大作业 第 2 章 矩阵 理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运
线性代数与空间解析几何 I 课程教学大纲 英文名称 :Linear Algebra and GeometryI 课程编号 :MATH 1037 课内学时 :66( 理论学时 :62, 上机学时 :4) 学分 :4 适用对象 : 电气 电信 软件 理学 钱学森班等专业 先修课程 : 高等数学 使用教材及参考书 : (1) 魏战线 李继成编, 线性代数与解析几何 二版, 高等教育出版社, 2010 年
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
初 審
國 防 大 學 通 識 教 育 中 心 規 劃 表 先 修 教 科 書 回 顧 近 百 年 來 的 中 國 歷 史, 正 一 部 外 患 頻 仍, 主 權 淪 喪 的 列 強 侵 華 史, 透 過 這 段 史 實 的 講 解, 可 以 培 養 學 生 的 國 家 民 族 觀 念, 以 及 憂 患 意 識 其 次, 近 百 年 來 也 正 我 國 從 亞 洲 中 國 邁 向 世 界 中 國 的 一 個
` 1 2 3 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` 1 2 3 4 5 ` ` ` 1 2 3 ¹ º» 1 2 3 1 2 3 ` ` ` ¹ º» ¼ ½ À À ¹ º» ¼ ½ À À 1 2 3 4 5 8 7 8 ` ` ! ` ` ` 1 1 2 3 1 ` ` ù ` `
(4) (3) (2) (1) 1 B 2 C 3 A 4 5 A A 6 7 A B 8 B 9 D 1 1 0 1 B A A 1 A 1 2 3 C 1 A 1 A 1 B 1 A 1 B 1 2 2 2 2 2 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 A A B B A A D B B C B D A B d n 1 = ( x x ) n ij ik jk k= 1 i, j
26 D00 27 D02 28 D03 29 D05 30 D06 31 D10 32 D12 33 D13 34 D14 35 D16 36 D17 37 D18, 38 D19 39 D20 40 D21 41 D22 42 D23 43 D24 44 D25 45 D26 46 D27 47
2 (600 ) 1 A03 2 A18 3 A23 4 A38 5 A39 6 A41 7 A59 [ ] 8 B15 9 B16 10 B17 11 B18 12 B19 13 B30 14 B37 15 C47 16 C50 17 C53 18 C54 19 C56 20 C60 21 C62 22 C64 ( ) 23 C65 24 C66 25 C71 16 26 D00 27 D02 28
成 都 诗 词 田 正 中 水 调 歌 头 感 丙 戌 金 秋 风 树 生 凉 意, 胸 次 觉 清 新 园 中 丹 桂 撑 月, 雏 菊 傲 霜 芬 情 系 南 飞 北 雁, 坐 爱 枫 林 醉 染, 秋 色 更 迷 人 歌 故 早 相 约, 览 胜 宝 宾 村 巨 龙 腾, 金 风 翥, 气 凌
九 峰 吟 草 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ~- - - 一 一 -- ~ - ~ ~ ~ ~ ~.. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~. ~ ~. ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ ~ ~ 一 r 气 户 孜 犷 杯 只 匀 风 向 方 镇 忆 漾 阳 七 律 壕 江 两 岸 好 风 光, 古 史 连 篇 四 面 藏 典 语 南 桥 添 锦 绣, 泠 东 半 塔 裕 民 康 西
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ù á ù é à è è è à è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è è ú 2/115 大规模稀疏线性方程组 Ax = b, A R n n, b R n. Krylov 子空间方法是子空间方法的成功代表 首选方法 Krylov 子空间方法. 基本思想 在一个维数较小的子空间 K R n 中寻找近似解. 这类方法也被看作是一种 投影方法, 即寻找真解在某个子空间中 的投影
第四讲 Krylov 子空间方法 投影方法 Krylov 子空间与 Arnoldi 过程 一般线性方程组的 Krylov 子空间方法 对称线性方程的 Krylov 子空间方法 收敛性分析 基于双正交化过程的迭代方法 免转置迭代方法 正规方程的迭代方法 2/115 大规模稀疏线性方程组 Ax = b, A R n n, b R n. Krylov 子空间方法是子空间方法的成功代表 首选方法 Krylov
1717 1780 1887 1922 1725 1798 1858 1910 1914 890 907 1712 1793 1844 1900 à 
29 265 40 1822 1895 1843 1910 -- 1960 à à 1948 3 09144 12 1 90 60 70 75 60 15 2 1 35 4 40 106 43 W 24
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東 野 圭 吾 短 篇 集 3 一 徹 老 爹 得 知 母 親 生 下 的 是 男 寶 寶 時, 我 打 從 心 底 感 到 開 心, 因 為 這 代 表 我 終 於 能 夠 逃 離 那 悲 慘 的 生 活 了 而 父 親 的 喜 悅 肯 定 是 遠 勝 於 我 的 母 親 在 產 房 時, 父 親 和 我 在 家 中 等 候 當 我 轉 告 他 醫 院 來 電 報 喜, 他 立 刻 如 健 美 選
大 台 北 與 桃 竹 苗 地 區 北 得 拉 曼 巨 木 步 道 新 竹 縣 尖 石 鄉 鎮 西 堡 巨 木 群 步 道 新 竹 縣 尖 石 鄉 鳥 嘴 山 登 山 步 道 苗 栗 縣 泰 安 鄉 加 里 山 登 山 步 道 苗 栗 縣 南 庄 鄉
地 區 步 道 名 稱 蘇 花 古 道 : 大 南 澳 越 嶺 段 困 難 度 分 級 長 度 ( 公 里 ) 2 4.1 宜 蘭 縣 南 澳 鄉 南 澳 古 道 1 3.0 宜 蘭 縣 南 澳 鄉 拳 頭 姆 自 然 步 道 1 1.3 宜 蘭 縣 三 星 鄉 林 務 局 台 灣 百 條 推 薦 步 道 交 通 與 路 況 位 置 交 通 指 南 路 況 註 記 管 理 單 位 步 道 口 位 於
高等数值算法与应用
- 数值线性代数 1( 线性方程组 ) - 喻文健 1 高斯消去法与 LU 分解 误差分析 稀疏矩阵与条带状矩阵 Google 的 PageRank 对称正定矩阵的 Cholesky 分解 2 一个部分主元高斯消去法的例子排列阵 上 / 下三角阵的求解部分主元 LU 分解程序 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +
南京大学（中）.doc
...1...5...9...12...14...15...16...24...29...31...32 2004...33...35...61...63...68 I ...71...75...76...80...86...88...90...92...96...97 ( )...98 2003 2 2... 102 ( )... 106... 110... 113... 114 II ... 129...
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高等数值算法与应用 ( 八 ) Advanced Numerical Algorithms & Applications 计算机科学与技术系喻文健 内容概要 线性方程组的迭代解法 ( 三 ) 对称矩阵的 Arnoldi 过程 Lanczos 过程 从 Lanczos 过程到共轭梯度法 第三类 Krylov 子空间迭代法基础 Lanczos 双正交化过程 构造预条件矩阵的技术 简单介绍 Wenjian
3 5 5 3 1 9 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 2 π 202 2 3.14 100 2 628 a 12 15 x a 20 = 9 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 2 ìí ì í à á à á á à è é è ò è à ó ò ì ù à í
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目 录
本 科 计 划 (2015) 东 北 师 范 大 教 务 处 编 印 东 北 师 范 大 本 科 计 划 目 录 东 北 师 范 大 本 科 专 设 置... 1 东 北 师 范 大 关 于 订 本 科 计 划 的 指 导 性 意 见... 3 关 于 订 本 科 计 划 的 具 体 要 求 和 说 明... 8 东 北 师 范 大 通 识 教 育 必 目 录... 10 东 北 师 范 大 通 识
第六章 一阶偏微分方程
第六章一阶偏微分方程 主讲人 : 刘兴波 6. 微分方程组的首次积分 对于非线性微分方程组 d d d d d d f (,,, f(,,,,, 6. f (,,, 它没有一般的求解方法. 本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组 (6., 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关. 一 概念的引入 6. 求解方程组 d d dy d 解 : 将方程组中的两式相加得 d(
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
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7 Tel: 866878 hng_di@mil.j.ed.cn 6 67 9 Fndmenl Mechnic of Flid I.G.Crrie rd Ediion Mrcel Dekker Inc. Ne York -9-5 5 -9-5 5 ....4.5.6.7.8-9-5 5 4 . m P() m/v V V V V' -9-5 5 5
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:
第二章 矩阵 Matrix 2. 2.2 目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77..6 例_ 例 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 B B2 B3 在某年第一季度 各厂的生产情况 如下表 产品
校园之星
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精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
一 课 程 基 本 情 况 课 程 名 称 工 程 应 用 数 学 ( 计 算 机 类 ) 编 码 51611026 所 属 部 门 工 业 中 心 课 程 所 属 专 业 课 程 所 属 模 块 数 学 计 算 机 类 任 课 教 师 情 况 ( 人 数 ) 教 授 副 教 授 讲 师 助 教 3
附 表 深 圳 职 业 技 术 学 院 文 化 育 人 示 范 课 程 建 设 项 目 申 请 书 课 程 名 称 工 程 应 用 数 学 ( 计 算 机 类 ) 课 程 性 质 课 程 负 责 人 所 属 专 业 所 属 部 门 基 础 课 郑 红 数 学 工 业 中 心 填 表 日 期 2015-12-28 深 圳 职 业 技 术 学 院 制 二 一 五 年 十 二 月 1 一 课 程 基 本
G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 )
2005.7.21 KEK G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv 2+ + ds -
二 〇 一 三 年 秋 季 国 际 长 老 及 负 责 弟 兄 训 练 进 入 生 命 经 历 第 四 层, 达 到 长 成 的 人 以 完 成 神 的 定 旨 ( 周 四 早 上 第 一 堂 聚 会 ) 第 一 篇 借 着 第 四 层 的 生 命 经 历, 长 成 的 团 体 人 得 以 完 成
国 际 长 老 及 负 责 弟 兄 训 练 二 〇 一 三 年 秋 季 目 录 进 入 生 命 经 历 第 四 层, 达 到 长 成 的 人 以 完 成 神 的 定 旨 第 一 篇 长 成 的 团 体 人 借 着 第 四 层 的 生 命 经 历 完 成 神 的 定 旨 1 第 二 篇 生 命 经 历 第 四 层 ( 一 ) 认 识 身 体 10 第 三 篇 生 命 经 历 第 四 层 ( 二 ) 认
國家圖書館典藏電子全文
1 3 4 5 n Y Y n t t t = 1 ˆ) ( n Y Y n t t t = 1 ˆ n Y Y Y n t t t t = 1 ˆ 6 n Y Y n t t t = 1 ˆ) ( n Y Y Y n t t t t = 1 ˆ) ( t Y t Yˆ n Y t = φ 0 + φ1yt 1 + φyt +... + φ pyt p + εt Y t Y t n φ n ε n
y B C O F. 设 f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 的 函 数, 在 区 间, 上 f 5 9 其 中 ar, 若 f f, 则 5 y 4 0,. 已 知 实 数 y, 满 足 y 0, 3 y 3 0, f a 的 值 是. 则 y 的 取 值 范 围 是. a, 0,, 0,
参 考 公 式 : 样 本 数 据,,, n 棱 柱 的 体 积 V 爱 智 康 高 考 研 究 中 心 高 中 数 学 张 勇 凯 桑 和 瑞 何 军 凤 闫 泓 水 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) n i n i 的 方 差 s 数 学 Ⅰ n i n i, 其 中. Sh, 其 中 S 是 棱 柱 的 底 面 积, h 是 高. 棱 锥 的
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i 概 率 统 计 讲 义 原 著 : 何 书 元 课 件 制 作 : 李 东 风 2015 年 秋 季 学 期 ii 目 录 第 一 章 古 典 概 型 和 概 率 空 间 3 1.1 试 验 与 事 件............................ 3 1.2 古 典 概 型 与 几 何 概 型....................... 7 1.2.1 古 典 概 型.........................
