Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C

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秃岑
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1 Bor to wi 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f ( ) cos D. f ( ) cos( ) 答案 D A 可导 : si si si si f - lim lim, f lim lim B 可导 : si si si si f - lim lim, f lim lim C 可导 : cos - - cos - f lim lim, f lim lim D 不可导 : cos cos - f lim lim, f lim lim - f f -. 过点 (,,) 与 (,,) 且与 z y 相切的平面方程为 A. z 与 y z B. z 与 y z C. y 与 y z D. y 与 y z 答案 B 因为平面过点 (,,) 与 (,,), 故 C D 排除,

2 Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C. si cos D.si cos 答案 B. S! S! S!! si cos S cos si cos si! 4.. M d, N, cos, d K d 则 M, N, K 大小关系为 e A. M N K B. M K N C. K M N D. K N M 答案 C M ( ) d d, cos, K M 时, 所以令 f ( ) e, f (), f ( ) e, f 当 ( ) ;, f ( ) 时, 当时, 所以 -, f ( ) N<M, C 时, 有, 从可有, 由比较定理得故选 e

3 Bor to wi 5. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为 A. B. C. D. 答案 A 方法一 : 排除法令 Q 选项 A: 令 A 选项 B: 令 B 选项 C: 令 C 选项 B: 令 D, 特征值为,,, r E Q, A 的特征值为,,,, B 的特征值为,,,,C 的特征值为,,,, D 的特征值为,,, r E A r r E B r r E C r r E D r 若矩阵 Q 与 J 相似, 则矩阵 E Q与 E J 相似, 从而 r E Q r E J, 故选 (A) 方法二 : 定义法 ( 利用初等矩阵的性质 ) 令 P, P, P P

4 Bor to wi 所以与相似, 故选 (A) 6. 设 AB, 为阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY ) 表示分块矩阵, 则 A. r( A AB) r( A). B. r( A BA) r( A). C. r( A B) ma{ r( A), r( B)}. D. ( ) ( T T r A B r A B ). 答案 A. 根据矩阵的运算性质, r( E, B) r( A, AB) r[ A( E, B)] r( A), 故 A 正确. 若 A,B, 则 BA, 所以 r ( A BA ) r, ra ( ). 排除 B. A,B, 若那么 r A B r, r A, r B, 4 4 所以 C 排除. 若 A,B, T T 则 r( A B ) r r 所以排除 D., r A, B T A r B T, 7. 设 f( ) 为某分布的概率密度函数, f ( ) f ( ) PX { } A.. B.. C..4 D..6 f d.6, 则答案 A. 特殊值法 : 由已知可将 ( ) 布的对称性, P X. f 看成随机变量, X N 的概率密度, 根据正态分

5 Bor to wi 8. 给定总体 X ~ N(, ), 已知, 给定样本 X, X,, X, 对总体均值进行检验, H :, H :, 则令 A. 若显著性水.5 时拒绝 H, 则. 时也拒绝 H B. 若显著性水.5 时接受 H, 则. 时拒绝 H C. 若显著性水.5 时拒绝 H, 则. 时接受 H D. 若显著性水.5 时接受 H, 则. 时也接受 H 答案 D 当.5 时, 拒绝域为当. 时, 接受域为 z z () 包含 (), 所以选项 D 正确. z, 即 z z.5 z, 即 z z.5 二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上. 9. ta si k lim( ) e, 则 k. ta 答案 k. ta l( ) ta si k lim lim ep ta ( ) e, ta si k ta ta l( ) ta ta ta lim lim lim si k k k( ta ) k k.. 设函数处相切, 则 f 具有阶连续导数, 若曲线 y f ( ) 过点 (,) 且与曲线 y 在点 (,) 答案 l '' f ( ) d.

6 Bor to wi f (), f (), f () l l f ( ) d df ( ) f ( ) f ( ) d f () f ( ) d l f() f() l. 设 F(, y, z) yi yz j zk. 则 rotf(,,). 答案 (,, ) 或 i k 令 P y, Q yz, R z R Q P R Q P 则 rot F,, ( y, z, ) ( y, z, ) y z z y 故 rot F(,,) i k. 曲线 S 由 y z 与 y z 相交而成, 求 yds. 答案. y z y y ( ) y z yds y ds ds y z ds ds 6 [ ( )] ( ).. 二阶矩阵 A 有两个不同特征值,, 是 A 的线性无关的特征向量, 且满足 A ( ) ( ), 则 A. 答案 A + = A + A = + = + 从而 + = 无关,, =,,, 或,, A 4. 设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, BC=, 若

7 Bor to wi P( A) P( B), P( AC AB C), 则 PC ( ). 4 答案 4 BC, 从而 ABC 4 P AC AB C P ABC AC P ABC P AC P ABC PAC AB C P AB C P AB C P AB P C P ABC P ABC P AC P ABC P A P C P AB P C P ABC P A P B P C 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 5.( 本题满分分 ) 求不定积分 e arcta e d 答案 ( e arc ta e ( e ) e ) C arcta 原式 e de e e e ( e arcta e e d) ( arcta e e e d ) e e e = ( e arcta e de ) = ( arcta e e e e ) C 对于 e de, 令 e e t e t,, 则 e de ( t ) dt t t C ( e ) e C e

8 Bor to wi 故原式 ( e arc ta e ( e ) e ) C 6.( 本题满分分 ) 一根绳长 m 截成三段, 分别折成圆三角形与正方形, 这三段分别为多长时所得面积之和最小, 并求该最小值. 答案假设圆的半径为, 正方形边长为 y, 正三角形边长为 z, 则有 4y z,, y, z 4 令 f, y, z= y z 4y z f y z y z y z 4 f f y 4 y f z z 4y z,, = 4 求解上述方程得到, 驻点为,, +4+ 最小面积为, S mi = ( 本题满分分 ) dydz y z ddz z ddy. y z 取正面, 求答案 y z, 即 y z P Q y z R z,,, 设 y z :, 方向指向轴负半轴,

9 Bor to wi P Q R y z dydz ( y z) ddz z ddy高斯公式 ( ) ddydz 4 4 ( ) y z ddydz ddydz y ddydz 又 dydz y z ddz z ddy ( ) 4, 所以原式 ( 本题满分分 ) 微分方程 y y f () 当 f 时, 求微分方程的通解 () 当 f 为周期函数时, 证微分方程有通解与其对应, 且该通解也为周期函数答案 d d () y y y e ( e d C) ( ) Ce. () y( ) e e f ( ) d, 由于 f ( T) f ( ), 则得证 y T e e f T d e e f d ( T ) T ( ) ( ) ( ). 9. ( 本题满分分 ) 数列,, e e, 证明答案 lim. () 收敛, 并求 lim 有界性 : 由 e e 有 e e e l 则 e l, 设 f e. f e, 且 f f 单调递增, 故 f, 即 e

10 Bor to wi e 因此在时大于, 故 e l, 同理, 用数学归纳法可证之, 对,. e e e 单调性 : l = l l e l e 设 g e e, g e 显然当时, g, 则 g 单调递减, 又 g e g g, e e e e l,,,, 故 e 单调递减综上可知单调递减且存在下界, lim 存在. () 设 lim a, a a 由 ae e, 可知 a.. ( 本题满分分 ) 设实二次型 f (,, ) ( ) ( ) ( a ), 其中 a 是参数 () 求 f (,, ) 的解 () 求 f (,, ) 的规范形 () f (,, ), A, 系数矩阵 a a a 当 a, 即 a 时, r( A), A

11 Bor to wi f (,, ) 有非零解通解为 k, k R 当 a, 即 a 时, r( A), f (,, ) 只有解即 () 由 () 可得 : 当 a 时方法一二次型 f (,, ) 为正定二次型, f,, y y y 所以规范形为方法二 A, A a y A 为可逆线性变换, 所以规范形为 f,, y y y 当 a 时方法一特征值法 : f,, 6 6 所对应的二次型矩阵为 B 6 E B 8, 5 7, 5 7 所以二次型的规范型为 z z 方法二 : 配方法

12 Bor to wi f,, 6 6 y 令 y y, 二次型的标准型为 y y, 二次型的规范型为 z z.. ( 本题满分分 ) a a 已知 a 是常数, 且矩阵 A 可经初等列变换化为矩阵 B 7 a () 求 a () 求满足 AP B 的可逆矩阵 P 答案 () a 6k 6k 4 6k 4 () P k k k, 其中 k k, k, k, k R k k k () 矩阵 A 经过初等列变换得到矩阵 B 矩阵 AB, 等价 r A r B a a A 7 a a a B a a, a ()

13 Bor to wi a a AB, 7 a 6k 6k 4 6k 4 X k, Y k, Z = k k k k 6k 6k 4 6k 4 k k k k k k k k P 可逆, k k 6k 6k 4 6k 4 P k k k k k k k k, k, k, k R,. 已知随机变量 XY, 相互独立, 且 P( X ) P( X ), Y 服从参数为的泊松分布, Z XY () 求 Cov( X, Z ) ().cov(, ) cov(, ) () 求 Z 的分布律 X Z X XY EX Y EXEXY EY ()Z的所有可能取值为,,,, P( Z k) P( X Y k) P( XY k X ) P( X ) P( XY k X ) P( X ) P( XY k, X ) P( XY k, X ) P( Y k, X ) P( Y k, X ) P( Y k) P( Y k), 当 k, P( Z ) e e e k k 当 k, P( Z k) e e ( k )! ( k )! k k 当 k, P( Z k) e e k! k!

14 Bor to wi. 已知总体 X 的密度函数为 f (, ) e, X,..., X X 为来自总体 X 的简单随机样本, 为大于的参数, 的最大似然估计量为 () 求.() 求 E, D () 对于总体的个样本值,,...,, 其似然函数为 i i L(,,...,, ) e 取对数得 l L( ) l l i i i d l L( ) i, d 解得 i i d, 又因为 l L( ) d ˆ, 的最大似然估计量为 i X i. () E( ) E( i ) E( X ) e d i D D D X E X E X ( ) ( ( )) [ ( ) ( ( )) ] i i 其中 E( X ) e d, D( ).

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Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中, 在错误! 未找到引用源处不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f cos( ) 答案 D A 可导 : D. f ( )