精勤求学自强不息 Bor to wi! A B C D 答案 (A) 解析是一阶齐次微分方程 p( ) 的解, 代入得 p( )( ), 所以 p ( ), 根据解的性质得, 是 p( ) f ( ) 的解所以有 q( ) ( ). (4) 已知函数 f,,,,, K, 则 ( ) (A) 是

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鸯螗软郜
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1 Bor to wi 6 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 若反常积分 d 收敛, 则 ( ) a b A a 且 b B a 且 b C a 且 a b D a 且 a b 答案 (C) 解析 a b ( ) d d d ( ) ( ) a b a b d p 在 ( p 时收敛 ), 可知 a, 而此时 ( 同理, d d a b ( ) b ab d ( p 时收敛 ), 而此时 p 不影响 () 已知函数 f A F C F 答案 (D), l, b ) b 不影响, 则 f 的一个原函数是 ( ),, B F l, l,,, D F l, l, ( ) C 解析由已知可得, F( ) (l ) C, 取 C, 故选 D () 若 q ( ), 是微分方程 p q 的两个解, 则全国统一服务热线 :

2 精勤求学自强不息 Bor to wi! A B C D 答案 (A) 解析是一阶齐次微分方程 p( ) 的解, 代入得 p( )( ), 所以 p ( ), 根据解的性质得, 是 p( ) f ( ) 的解所以有 q( ) ( ). (4) 已知函数 f,,,,, K, 则 ( ) (A) 是 f 的第一类间断点 (B) 是 f (C) f 在处连续但不可导 (D) 的第二类间断点 f 在处可导答案 (D) 解析由于 f ( ) lim, f ( ) lim, 故选 D (5) 设 A,B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是 ( ) (A) A T T 与 B 相似 (B) A 与 B 相似 T T (C) A A 与 B B 相似 (D) 答案 (C) A A 与 B B 相似解析此题是找错误的选项由 A 与 B 相似可知, 存在可逆矩阵 P, 使得 P AP B, 则 T T T T T T T T () ( P AP) B P A ( P ) B A ~ B, A () ( ) ~ P AP B P A P B A B B 故 ( ) 不选 ;, 故 ( ) 不选 ; () ( ) ~, P A A P P AP P A P B B A A B B 故 ( D) 不选 ; 此外, 在 (C) 中, 对于 ( T T T T T T P A A ) P P AP P A P, 若 P AP= B, 则 P A ( P ) B, T T 而 P A P 未必等于 B, 故 (C) 符合题意综上可知,(C) 为正确选项 (6) 设二次型 f,, 4 4 4, 则标下表示的二次曲面为 ( ) (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 柱面 f,, 在空间直角坐全国统一服务热线 :

3 Bor to wi 答案 (B) f,, 4 4 4, 其矩阵为 A, 解析对于二次型接下来由 EA, 可得其特征值为 5, ( 一正两负 ), 因此其正惯性指数和负惯性指数分别为,. 故二次型,, f 的规范形为 f z z z, 即 z z z z z z, 对应的曲面为双叶双曲面 ( ) ( ) ( ) (7) 设随机变量 ~ N, X, 记 PX p, 则 ( ) (A) p 随着的增加而增加 (B) p 随着的增加而增加 (C) p 随着的增加而减少 (D) p 随着的增加而减少答案 (B) X 解析 P{ X } P{ } 所以概率随着的增大而增大 (8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A, A, A, 且三种结果发生的概率均为, 将试验 E 独立重复做次, X 表示次试验中结果 A 发生的次数,Y 表示次试验中结果 A 发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为 ( ) 解析 X : B(, ), Y : B(, ) 4 EX EY, DX DY, EXY P( X, Y ) 9 9 所以 XY EXY EXEY DX DY 二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. t l t si t dt (9) lim cos 答案 l( si ) 解析 lim, 的旋度 rota () 向量场 A, z zi j zk 全国统一服务热线 :

4 精勤求学自强不息 Bor to wi! 答案,, R Q P R Q P z z 解析由旋度公式得, rot(a),,,, 设函数 f ( u, v ) 可微, z z(, ) 有方程 ( ) z f ( z, ) 确定, 则 dz, 答案 d d 解析 ( ) f ( z, ) 两边分别关于, 求导得. z ( ) z f ( z, ) f ( z, )( z) ( ) z ( f ( z, )( z) f ( z, )), 将,, z 代入得, d z d d, a () 设函数 f arcta, 且 '' 答案 () 行列式. 4 答案 4 4 f, 则 a = +4 (- ) 解析 4 4 (4) 设,,..., 为来自总体, N 的简单随机样本, 样本均值 9.5, 参数的置信度为.95 的双侧置信区间的置信上限为.8, 则的置信度为.95 的双侧置信区间为. 答案 8.,.8 P{ u u u } P{ u u u }.95 解析全国统一服务热线 :

5 Bor to wi 因为 u.5.8, 所以 u.5., 所以置信下限 u 三解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 已知平面区域 D r r dd. D 答案解析 D dd, cos,, 计算二重积分 cos cos d r cosdr cos 4 cos cos cos d cos d 8 cos d 8 si si 8 cos d si si 8 si d cos 4 d 8 d si 8 (6)( 本题满分分 ) 设函数 ( ) 满足方程证明 : 反常积分 ( ) d 收敛 ; ' 若 (), (), 求 ( ) d 的值. 答案解析 k r cos d si si cos d '' ' k d, 其中 k. ( ) 特征方程为 r r k, 由 k 可知, 特征方程有两个不相同的特征根, r, 4 4k k 且 r,, 全国统一服务热线 :

6 精勤求学自强不息 Bor to wi! r 由二阶常系数齐次线性方程的求解可知, ( ) C e C e r r ( ) d Ce Ce d r r C e d C e d C lim C lim r r e e r r r 由于 r, C C ( ) d 极限存在, 故收敛. r r r r () 由 ( ) C e C e, (), '() 可知, CC Cr Cr r, k C C 解得代入 C ( ) d r C r 可知 ( ) d k k f (, ) (7)( 本题满分分 ) 设函数 f (, ) 满足 () e, 且 f (, ), Lt 是从点 (,) 到 f (, ) f (, ) 点 (, t ) 的光滑曲线, 计算曲线积分 I() t d d, 并求 It () 的最小值 L t 答案解析 () 由 f (, ) 可知 : () e f (, ) [( ) e ] d e e d e d [ ] e g e ( ) e ( ) 又 f (, ) 可知 ( ) 6 6 全国统一服务热线 :

7 Bor to wi 因此 f e (, ) f (, ) e I t e d e d ( ) ( ) ( ) Lt P ( ) e Q e P ( ) e Q e e P Q 因此, 积分与路径无关 I t e d e d ( ) ( ) ( ) Lt ( ) t ( ) e d e d e t e e t t t e () I() t t e t I ( t) e t I( t) 可知 t 有唯一驻点 I () t e t I() 因此 t 时 It () 有最小值 I () e (8) 设有界区域由平面 z 与三个坐标平面围成, 为整个表面的外侧, 计算曲面积分 I ddz dzd zdd 全国统一服务热线 :

8 精勤求学自强不息 Bor to wi! 答案解析 I ( ) ddz dzd zdd P, Q, R z 由高斯公式可知, I dddz D dddz dd ( ) dz D dd d d ( 9 )( 本题满分分 ) 已知函数 f( ) 可导, 且 f(), f ( )(,...), 证明 : f '( ), 设数列满足 (I) 级数 ( ) 绝对收敛 ; (II) lim 存在, 且 lim. 证明 f ( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) f ( ) f ( ) 8 8 全国统一服务热线 :

9 Bor to wi L 显然, 收敛绝对收敛 ; 因此, 的前项和记为 S () 易知, S, 由第一问可知 S 极限存在, 因此 lim A存在 f ( ) f ( ) f () f '( ) (*) i) 由已知 f '( ), 易知 '( ) f 不等式两边取极限, 可知 A A, 即 A ; ii) 若 A, 则 (*) 矛盾 ; iii) 若 A, 则由 (*) 可知 ( f '( )) A, 而 f '( ), 显然矛盾综上, A ()( 本题满分分 ) 设矩阵 A a, B a a a 当 a 为何值时, 方程 AX B 无解有唯一解有无穷多解? 答案 a 时, 无解 ; a 时, 有无穷多解, 一解, X a a a 4 a X k k ; a 且 a 时, 有唯 k k 全国统一服务热线 :

10 精勤求学自强不息 Bor to wi! 解析 ()( 本题满分分 ) 设矩阵 A a, B a a a 当 a 为何值时, 方程 AX B 无解有唯一解有无穷多解? 答案 a 时, 无解 ; a 时, 有无穷多解, a a 一解, a 4 X a 解析对 AX B 的增广阵做初等变换 ( A, B) a a 4 a a ) A, 即 a 且 a 时, 唯一解 ) A 时 a 或 a a 时, 代入得矛盾方程, 无解 a 时, 代入得 r( A), 故无穷多解 ()( 本题满分分 ) 已知矩阵 A (I) 求 99 A (II) 设阶矩阵 B (,, ) 满足 B 线性组合答案 () () 解析 , (Ⅰ) 利用相似对角化, X k k ; a 且 a 时, 有唯 k k BA, 记 B (,, ) 将,, 分别表示为,, 的全国统一服务热线 :

11 Bor to wi 由 EA, 可得 A 的特征值为,,, 故 A ~. 当时, 由 ( E A), 解出此时 A 的属于特征值的特征向量为当时, 由 ( E A), 解出此时 A 的属于特征值的特征向量为 ; 当时, 由 ( E A), 解出此时 A 的属于特征值的特征向量为. ; P (,, ), 由 P AP 设可得 A P P, A P P, 对于 P, 利用初等变换, 可求出 P, 故 A P P 99 (Ⅱ) L, 由于 B (,, ), 99 B BA B BBA BA BAA BA B BA (,, ), 故 (,, ) (,, ) A (,, ) B , 因此, ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ()( 本题满分分 ) 设二维随机变量 (, ) XY 在区域 D,, 上服从均匀分布, 令全国统一服务热线 :

12 精勤求学自强不息 Bor to wi! U, X Y, X Y (I) 写出 ( XY, ) 的概率密度 ; (II) 问 U 与 X 是否相互独立? 并说明理由 ; (III) 求 Z U X 的分布函数 Fz (). 答案 (I) f,,,, 其他 (II)U 与 X 不独立, 因为 P U, X P U P X ; (III) Z 的分布函数 FZ z, z z z, z z z z,, z 解析 () 区域 D 的面积 s ( D) ( ), 因为 f (, ) 服从区域 D 上的均匀分布, 所以 f (, ). 其他 ()X 与 U 不独立. 因为 P U, X = P U =, X = P X Y, X P U, P X 所以 P U, X P U P X, 故 X 与 U 不独立 () F( z) P{ U X z} P{ U X z U } P{ U } P{ U X z U } P{ U } P{ U X z, U } P{ U X z, U } P{ U } P{ U } P{ U } P{ U } 全国统一服务热线 :

13 Bor to wi P{ X z, X Y} P{ X z, X Y}, z 又 P{ X z, X Y} z z, z,, z, z z z, z 所以 F( z). ( z ) ( z ), z, z, z P X z X Y z z z, z {, } ( ) ( ),,, 其他 () 设总体 X 的概率密度为 f,, 其中, 来自总体 X 的简单随机样本, 令 ma X, X X () 求 T 的概率密度 () 确定 a, 使得 at 为的无偏估计答案 (I)T 的概率密度 F z (II) a 9 8 9, 9, 其他 T, 解析 () 根据题意, X, X, X 独立同分布,T 的分布函数为为未知参数, X, X, X 为 F ( t) P{ma( X, X, X ) t} P{ X t, X t, X t} T P{ X t} P{ X } t P{ X } t { P X } t 当 t 时, F ( t) ; T 全国统一服务热线 :

14 精勤求学自强不息 Bor to wi! 9 t t 当 t 时, FT () t d ; 9 当 t 时, F ( t), T 8 9 t 所以 9, t ft () t, others 8 9t 9 () E( at ) aet a t dt a, 9 根据题意, at 为的无偏估计, 9 则 E( at ) a, 即 a 全国统一服务热线 :

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +

精勤求学自强不息 Bor to wi! A B C D 答案 (A) 解析 是一阶齐次微分方程 p( ) 的解, 代入得 p( )( ), 所以 p ( ), 根据解的性质得, 是 p( ) f ( ) 的解 所以有 q( ) ( ). (4) 已知函数 f,,,,, K, 则 ( ) (A) 是

精勤求学自强不息 Bor to wi! A B C D 答案 (A) 解析是一阶齐次微分方程 p( ) 的解, 代入得 p( )( ), 所以 p ( ), 根据解的性质得, 是 p( ) f ( ) 的解所以有 q( ) ( ). (4) 已知函数 f,,,,, K, 则 ( ) (A) 是