2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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础成
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1 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 (~8 小题每小题分共分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ) () 已知当 f 与 c 是等价无穷小则 ( ) 时 si si (A) c (B) c (C) c (D) c () 已知 f 在处可导且 (A) f f f 则 lim f (B) f (C) () 函数 f ( ) l ( )( )( ) 的驻点个数为 ( ) f (D) (A) (B) (C) (D) () 微分方程 y y e e ( ) 的特解形式为 ( ) (A) a( e e ) (B) a( e e ) (C) ( ae be ) (D) ( ae be ) =( ) (5) 设函数 f ( ) g( ) 均有二阶连续导数满足 f () g() 且 f () g() 则函数 z f ( ) g( y) 在点 () 处取得极小值的一个充分条件是 ( ) (A) f () g() (B) f () g() (C) f () g() (D) f () g() (6) 设 I l si d J l cot d K l cos d 则 I J K 的大小关系是 ( ) (A) I J K (B) I K J (C) J I K (D) K J I (7) 设 A 为阶矩阵将 A 的第列加到第列得矩阵 B 再交换 B 的第行与第行得单位矩阵记 P P 则 A ( ) (A) PP (B) P P (C) P P (D) P P (8) 设 A ( ) 是阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵若 () T 是方程组数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

2 A 的一个基础解系则 A 的基础解系可为 ( ) (A) (B) (C) (D) 二填空题 (9~ 小题每小题分共分请将答案写在答题纸指定位置上 ) (9) lim( ) () 微分方程 y ' y e cos 满足条件 y() 的解为 () 曲线 y ta tdt ( ) 的弧长 s e () 设函数 f ( ) 则 f ( ) d D () 设平面区域 D 由直线 y yd 圆 y y 及 y 轴围成则二重积分 () 二次型 f ( ) 则 f 的正惯性指数为三解答题 (5~ 小题共 9 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5) ( 本题满分分 ) l( t ) dt 已知函数 F( ) 设 lim F( ) lim ( ) a F 试求 a 的取值范围 (6) ( 本题满分分 ) t t 设函数 y y( ) 由参数方程确定求 y y( ) 的极值和曲线 y t t y y( ) 的凹凸区间及拐点 (7) ( 本题满分 9 分 ) 设函数 z f ( y yg( )) 其中函数 f 具有二阶连续偏导数函数 g( ) 可导且在处取得极值 g() 求 z y y (8) ( 本题满分分 ) 数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

3 设函数 y( ) 具有二阶导数且曲线 l : y y( ) 与直线 y 相切于原点记为曲线 l d dy 在点 ( y ) 处切线的倾角若求 y( ) 的表达式 d d (9) ( 本题满分分 ) (I) 证明 : 对任意的正整数都有 l( ) 成立 (II) 设 a l ( ) 证明数列 a 收敛 () ( 本题满分分 ) 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面该曲线由 y y( y ) 与 y ( y ) 连接而成的 (I) 求容器的容积 ; (II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出至少需要做多少功?( 长度单位 :m 重力加速度为 gm / s 水的密度为 g / m ) y y y O y 图 () ( 本题满分分 ) 已知函数 f ( y ) 具有二阶连续偏导数且 f ( y) f ( ) f ( y) ddy a 计算二重积分 I y f ( y) ddy 其中 D ( y) y () ( 本题满分分 ) 设向量组 () T () T (5) T 不能由向量组 () T ( ) T ( a) T 线性表示 (I) 求 a 的值 ; (II) 将由线性表示 () ( 本题满分分 ) A 为三阶实对称矩阵 A 的秩为即 r A 且 D y A D 数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

4 (I) 求 A 的特征值与特征向量 ; (II) 求矩阵 A 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一选择题 (~8 小题每小题分共分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ) () 答案 (C) si si si si cos cos si 解析因为 lim lim c c si cos cos lim c cos cos lim c lim c 所以 c 故答案选 (C) () 答案 (B) f f 解析 lim cos cos lim c cos si lim lim c c 数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

5 lim f f f f f f f f lim f f f 故答案选 (B) () 答案 (C) 解析 f ( ) l l l f '( ) ( )( )( ) 令 f '( ) 得 6 故 f ( ) 有两个不同的驻点 () 答案 (C) 解析微分方程对应的齐次方程的特征方程为 r 解得特征根 r r 所以非齐次方程 y y e 有特解 y a e 非齐次方程 y y e 有特解 y b e 故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解 y y e e y ( ae be ) (5) 答案 (A) z z 解析由题意有 f ( ) g( y) f ( ) g( y) y z 所以 z f () g() y f () g() 即点是可能的极值点 z z 又因为 f ( ) g( y) y z f ( ) g( y) g( y) f ( ) y z z 所以 A () f () g() B () f () g() y 数学 ( 二 ) 试题第 5 页 ( 共页 )

6 z C () f () g() y 根据题意由为极小值点可得 AC B AC 且 A f () g() 所以有 C f () g() 由题意 f () g() 所以 f () g() 故选 (A) 即 AP (6) 答案 (B) 解析因为时 si cos cot 又因 l 是单调递增的函数所以 l si l cos l cot 故正确答案为 (B) (7) 答案 (D) 解析由于将 A 的第列加到第列得矩阵 B 故 B A BP A B 由于交换 B 的第行和第行得单位矩阵故 B E 即 P B E 故 B P P 因此 A P P 故选 (D) (8) 答案 (D) 解析由于 () T T 是方程组 A 的一个基础解系所以 A() 且 r( A) 即且 A 由此可得 A A A E O 即 A ( ) O 这说明是 A 的解由于 r( A) 所以线性无关又由于 r( A) 所以 r A ( ) 因此 A 的基础解系中含有个线性无关的解向量而线性无关且为 A 的解所以可作为 A 的基础解系故选 (D) 二填空题 (9~ 小题每小题分共分请将答案写在答题纸指定位置上 ) (9) 答案数学 ( 二 ) 试题第 6 页 ( 共页 )

7 解析原式 = lim( ) e l lim lim l e e e () 答案 y e si 解析由通解公式得 d d y e ( e cos e d C) e ( cos d C) e (si C) 由于 y() 故 C = 所以 y e si ds y d ta d sec d () 解析选取为参数则弧微元 s sec d l sec ta l( ) 所以 () 答案解析原式 () 答案 7 e d de e e d e e lim e e lim lim e si si 解析原式 d r cos r si rdr r cos si d r dr si cos 6 si d () 答案 7 si d cos si si d si 解析方法 : f 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数二次型 f 对应矩阵为 A 数学 ( 二 ) 试题第 7 页 ( 共页 )

8 E A 故因此 f 的正惯性指数为方法 : f 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数 f y 令 y 则 f y y 故 f 的正惯性指数为 y 三解答题 (5~ 小题共 9 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5) ( 本题满分分 ) l( t ) dt a 解析如果 a 时 lim lim l( t ) dt a 显然与已知矛盾故 a 当 a 时又因为 l( t ) dt l( ) a lim lim lim lim a a a a a a 所以 a 即 a l( t ) dt a l( ) 又因为 lim lim lim lim a a a a a( a ) a( a ) 所以 a 即 a 综合得 a (6) ( 本题满分分 ) dy 解析因为 ( ) dt t y d t dt 数学 ( 二 ) 试题第 8 页 ( 共页 )

9 t d( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y dt d ( t ) t ( t ) dt 令 y( ) 得 t 当 t 时 5 y 此时 y 所以 y 为极小值当 t 时 y 此时 y 所以 y 为极大值令 y( ) 得 t y 当 t 时此时 y ; 当 t 时此时 y 所以曲线的凸区间为凹区间为拐点为 ( ) (7) ( 本题满分 9 分 ) 解析 z f y yg( ) z f y yg( ) y f y yg( ) yg( ) z f y yg y f y yg f y yg g y ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) g( ) f y yg( ) yg( ) f [ y yg( )] f [ y yg( )] g( ) 因为 g( ) 在可导且为极值所以 g() 则 d z f () f () f () ddy y (8) ( 本题满分分 ) 解析由题意可知当时 y y '() 由导数的几何意义得 y ta d dy y 即 arcta y 由题意 arcta y 即 d d y y p 令 y p y p 则 p dp p d p p 即 dp p dp d p p p p c 即 p l l( ) ce 数学 ( 二 ) 试题第 9 页 ( 共页 )

10 当 p 代入得 c 所以 y ' e t dt e dt 则 y( ) y() t e e t t e d e e t arcsi arcsi t e ( ) 又因为 y() 所以 (9) ( 本题满分分 ) 解析 (Ⅰ) 设 y( ) arcsi e f l 显然 f ( ) 在上满足拉格朗日的条件 f f l l l 所以时结论得证即 : 亦即 : l (II) 设 a l l 先证数列 a 单调递减 a a l l l l 利用 (I) 的结论可以得到 l( ) 所以 l 得到 a a 即数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

11 数列 a 单调递减再证数列 a 有下界得到数列 a l l l l l l l a l l l l l a 有下界利用单调递减数列且有下界得到 () ( 本题满分分 ) 解析 (I) 容器的容积即旋转体体积分为两部分 V V V y y dy y dy y y y + y = 5 = 9 (II) 所做的功为 dw g( y)( y ) dy g( y)( y y ) dy a 收敛 w g ( y)( y ) dy g ( y)( y y ) dy g ( y y y ) dy y y y) dy y y y y y g y y 7 g 75g 8 () ( 本题满分分 ) 解析因为 f ( ) f ( y) 所以 f ( ) 数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

12 I d yf ( ) y y dy d ydf ( ) y d yf y f y dy d f ( ) f ( ) y dy d f ( y) dy dy f ( ) y d dy f ( y) f ( y) d ( ) D () ( 本题满分分 ) f y ddy ( ) f ( y) d dy f y a 解析 (I) 由于不能由线性表示对 ( ) 进行初等行变换 : ( ) a 5 a a 5 当 a 5 时 r( ) r( ) 此时不能由故不能由线性表示 (II) 对 ( ) 进行初等行变换 : ( ) 5 5 故 5 5 () ( 本题满分分 ) 线性表示数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

13 解析 (I) 由于 A A 设 T 则即 A A 而知 A 的特征值为对应的特征向量分别为 T 由于 r A 故 A 所以由于 A 是三阶实对称矩阵故不同特征值对应的特征向量相互正交设对应的特征向量为 T 则 T 即 T 解此方程组得 T 故对应的特征向量为 (II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交只需单位化 : T T T 令 Q T 则 Q AQ A Q Q T 数学 ( 二 ) 试题第页 ( 共页 )

(8) 设 A = ( α α α α) 是阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二填空题 (9~ 小题每小题分共分请将答案写在答题纸

(8) 设 A = ( α α α α) 是阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二填空题 (9~ 小题每小题分共分请将答案写在答题纸年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 (~8 小题每小题分共分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ) () 已知当 k f = 与 c 是等价无穷小则 ( ) 时 ( ) si si (A) k = c= (B) k = c= (C) k = c= (D) k = c= () 已知 f ( ) 在 = 处可导且