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2 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课教材系列 线性代数学习辅导 徐秀娟主编肖继先副主编何亚丽张帅佟玉霞参编 北京

3 内容简介 本书是与科学出版社 27 年出版的枟线性代数枠 ( 徐秀娟主编 ) 一书配套的学习辅导书, 按教材编排顺序逐章编写 每章包括目的与要求, 知识框图, 内容提要疑难问题解析, 方法 技巧与例题分析, 习题全解等内容 ; 包括对知识点的概括 总结以及对学习的具体要求 在例题分析与习题解答中, 注重一题多解 本书可作为高等院校线性代数课程的参考书, 也可作为考研复习辅导书和其他人员的自学资料 图书在版编目 (CIP) 数据 线性代数学习辅导 / 徐秀娟主编 北京 : 科学出版社,29 ( 高等教育 十一五 规划教材畅公共基础课教材系列 ) ISBN 978 唱 7 唱 3 唱 唱 Ⅰ 畅线 Ⅱ 畅徐 Ⅲ 畅线性代数 高等学校 教学参考资料 Ⅳ 畅 5 畅 2 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (29) 第 685 号 责任编辑 : 沈力匀张斌 / 责任校对 : 柏连海王万红 责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 北京东黄城根北街 6 号 邮政编码 :77 http :// w w w 畅 sciencep 畅 co m 出版 双青印刷厂印刷 科学出版社发行各地新华书店经销 29 年 9 月第一版 29 年 9 月第一次印刷 印数 : 6 倡 定价 :8 畅 元 开本 : /6 印张 : /4 字数 :27 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙科印枛 ) 销售部电话 唱 编辑部电话 唱 ( H P4) 版权所有, 侵权必究 举报电话 : 唱 ; 唱 ;35533 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

4 高等教育 十一五 规划教材 编委会 主任刘保相副主任金殿川编委刘春凤万星火肖继先张春英徐秀娟魏明军阎红灿李丽红

5 前 言 本书是与枟线性代数枠 ( 徐秀娟主编, 科学出版社 27 年版 ) 一书配套的学习辅导书 编写本书的目的是让学生在学习原教材的基础上, 进一步开阔眼界 拓展思路 多实践 多 练习 增强分析问题和解决问题的能力 本书具有以下几个特点 : () 紧扣大纲, 突出重点 每一章都有 目的与要求 知识框图, 其中既有对本章重 点内容的简略概括, 又有对本章学习的具体要求, 目的在于使学生能明确重点 难点, 弄清 各知识点之间的相互联系, 以便对本章有一个全局性的认识和把握 学习要求是根据教育 部制定的枟线性代数教学大纲枠和考研大纲的要求提出的, 强调读者按照教学大纲的要求 进行学习 (2) 一题多解, 方法灵活 每一章都有 疑难问题解析 方法 技巧与例题分析 习 题全解, 疑难问题解析部分不仅适合学生课下消化 吸收课上所学内容, 而且对于扩展学 生的知识面也很有帮助 ; 在例题分析与习题解答中, 注重一题多解, 大部分题目给出了两 种以上的解法, 每种题型的解法都具有一定的代表性, 构思新颖 方法灵活 对各类题型的 解法都有分析和小结, 引导学生多方位思考, 开阔解题思路, 学生可在掌握这些类型的解 题方法后, 使所学知识融会贯通 举一反三 触类旁通, 并能灵活地解决问题 (3) 紧密结合原教材 每一章都有 内容提要, 内容的编排上与原教材结合紧密, 定义 和概念的叙述以及符号的使用都与原教材保持一致, 使学生学起来比较方便 每章内容的 编排比原教材更加深入, 更有条理, 使学生更易于理解和掌握 本书可作为学习线性代数课程的参考书, 也可作为考研复习的辅导书 由于时间仓促, 错误或不足之处在所难免, 请读者批评指正 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

6 目 录 前言 第 章矩阵与行列式 畅 目的与要求 畅 2 知识框图 畅 3 内容提要 2 畅 4 疑难问题解析 9 畅 5 方法 技巧与例题分析 畅 6 习题全解 6 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 35 2 畅 目的与要求 35 2 畅 2 知识框图 35 2 畅 3 内容提要 35 2 畅 4 疑难问题解析 39 2 畅 5 方法 技巧与例题分析 4 2 畅 6 习题全解 46 第 3 章向量组的线性相关性 7 3 畅 目的与要求 7 3 畅 2 知识框图 7 3 畅 3 内容提要 7 3 畅 4 疑难问题解析 75 3 畅 5 方法 技巧与例题分析 76 3 畅 6 习题全解 8 第 4 章矩阵的相似对角化 7 4 畅 目的与要求 7 4 畅 2 知识框图 7 4 畅 3 内容提要 8 4 畅 4 疑难问题解析 4 畅 5 方法 技巧与例题分析 2 4 畅 6 习题全解 7 第 5 章二次型 46 5 畅 目的与要求 46 5 畅 2 知识框图 46 5 畅 3 内容提要 46

7 iv 线性代数学习辅导 5 畅 4 疑难问题解析 5 5 畅 5 方法 技巧与例题分析 5 5 畅 6 习题全解 57 主要参考文献 7 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

8 第 章矩阵与行列式 畅 目的与要求 () 理解矩阵的概念, 知道行矩阵 列矩阵 零矩阵 单位矩阵 三角矩阵 对角矩阵对称矩阵 反对称矩阵等特殊矩阵的定义与性质 (2) 熟练掌握矩阵的加法 数乘 乘法 转置 方幂等运算及其运算规则 (3) 知道 n 阶行列式的定义以及几种特殊行列式的值, 能熟练正确地计算三阶 四阶及简单的 n 阶行列式 (4) 知道方阵行列式的性质 (5) 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件畅会用伴随矩阵求矩阵的逆 (6) 了解矩阵的分块原则, 掌握并会用分块对角矩阵的运算性质 重点行列式的计算矩阵的运算矩阵的逆伴随矩阵难点抽象行列式的计算方法与技巧 畅 2 知识框图

9 2 线性代数学习辅导 畅 3 内容提要 畅 3 畅 矩阵的概念与运算 畅矩阵的概念 () 定义 : 由 m n 个数 aij ( i,2,,m ;j,2,,n) 排成的 m 行 n 列 ( 横称行, 纵称列, 并括以圆括号或方括号 ) 的矩形数表 a a2 a n a2 a22 a2 n am am2 amn 称为 m n 矩阵, 其中 aij ( i,2,,m ;j,2,,n) 称为这个矩阵的第 i 行第 j 列元素, 也称为该矩阵的 ( i,j) 元 (2) 矩阵的相等 : 两个矩阵 A ( aij ) m n 与 B ( bij ) m n 称为相等, 它们必须有相同的行数, 相同的列数, 且对应元素也相同 即 A B 当且仅当 aij bij ( i,2,,m ;j,2,,n) (3) 负矩阵 : 设矩阵 A ( aij ) m n, 由 - aij ( i,2,,n ;j,2,,n) 为元素的矩阵, 称为矩阵 A 的负矩阵, 记为 - A 2 畅几种特殊的矩阵对于矩阵 A ( aij ) m n, 若 () m, 即只有一行的矩阵称为行矩阵, 也称行向量 记作 A a a2 an (2) n, 即只有一列的矩阵称为列矩阵, 也称列向量 记作 A (3) 元素 aij ( i,2,,m ;j,2,,n) 都是零的矩阵称为零矩阵, 记作 Om n (4) m n, 即行数与列数相等矩阵称为 n 阶方阵, 或 n 阶矩阵, 记作 An 或简记为 A (5) 对于 n 阶方阵 A, 若非零元素只出现在主对角线及其上 ( 或右 ) 方, 则称 A 为上三 角形矩阵, 记作 a a2 a n a a2 am 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo U a22 a2 n ann (6) 对于 n 阶方阵 A, 若非零元素只出现在对角线及其下 ( 或左 ) 方, 则称 A 为下三角 形矩阵, 记作

10 第 章矩阵与行列式 3 a L a2 a22 an an2 ann (7) 一个既是上三角形又是下三角形 ( 即非零元素只可能在主对角线上出现 ) 的矩阵, 称为对角形矩阵, 记作 Λ 也可记作 Λ diag( a,a22,,ann ) a a22 ann (8) 主对角线上的元素都等于某个数 k 的对角形矩阵称为纯量矩阵或数量矩阵, 特别 地, 称 k 时的纯量矩阵为单位矩阵, 记作 E 或 I 例如,En 3 畅矩阵的运算 就是 n 阶单位矩阵 () 矩阵的加法 : 给定两个 m n 矩阵 A ( aij ) m n 与 B ( bij ) m n, 把矩阵 A 与 B 的和 记作 A + B, 规定为 A + B ( aij + bij ) m n 矩阵 A 与 - B 的和 A + ( - B) 记为 A - B, 此种运算也称为矩阵的减法 矩阵的加法满足如下运算性质 ( 其中 A,B,C,O 均为 m n 矩阵 ) : A + B B + A ( A + B) + C A + (B + C) A + ( - A) O ; A + O A (2) 数与矩阵的乘法 : 数 λ 和矩阵 A ( aij ) m n 的乘积, 简称数乘, 记作 λa, 规定为 λa (λaij ) m n 矩阵的数乘具有如下性质 ( 其中 A,B 均为 m n 矩阵,k,l 为数 ) : k( A + B) ka + kb ( k + l) A ka + la ( kl) A k( la) l( ka) A A (3) 矩阵的乘法 : 设有矩阵 A ( aij ) m n,b ( bij ) n l, 把矩阵 A 和 B 的乘积记作 AB, 规定为 AB (Cij ) m l, 其中 n cij ai b j + ai2 b2 j + + ain bnj aik bkj ( i,2,,m ;j,2,,l) k 矩阵的乘法满足下述运算性质 ( 其中有关矩阵都假设满足可以进行有关运算的条件 ) :

11 4 线性代数学习辅导 (AB)C A(BC) ABC A( B + C) AB + AC ( B + C) A BA + CA Am n En Em A m n Am n Am non p Om p Ol m A m n Ol n k(ab) ( ka) B A( kb) (4) 矩阵的转置 设矩阵 A ( aij ) m n, 把 A 的行与列互换所得到的矩阵称为 A 的转置矩阵, 记为 A T ( 或 A ) 称满足 A A T 的矩阵为对称矩阵 ; 称满足 A - A T 的矩阵为反对称矩阵 转置矩阵具有下述性质 : ( A T ) T A ( A ± B) T A T ± B T ( ka) T ka T ( AB) T B T A T (5) 矩阵的方幂 : 设 A 为 n 阶方阵, 则 A 的 m 次幂 A m 规定为 A m A A A A( m 是正整数 ) m 个 特别地, 规定 A E, 又设 f( x) a x m + a x m am - x + am 为 m 次多项式, 则 f( A) a A m + a A m am - A + am E 为另一个 n 阶方阵, 称为方阵 A 的 m 次矩阵多项式 矩阵的方幂满足如下运算规律 : A m A k A m+ k ( A m ) k A mk ( 其中 m,k 为任意非负整数 ) 畅 3 畅 2 n 阶行列式 畅定义设 A ( aij ) n n 为 n 阶方阵, 用式子 D 数, 称为方阵 A 的行列式, 也可记作 det A 或 A a a2 a n a2 a22 a2 n an an2 ann 表示一个与 A 相联系的 当 n 时, 一阶方阵 A a 的行列式定义为数 a, 即 det A a 一般地, 对 n 2,3,, 用以下递归公式定义 n 阶行列式为 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 即 det A a ( - ) + det S + a2 ( - ) + 2 det S2 + + a n( - ) + n det S n a a2 a n det A a2 a22 a2 n n a j ( - ) + j det S j j an an2 ann

12 第 章矩阵与行列式 5 2 畅几种特殊的行列式及其值 () 主对角形行列式 : a det A a22 a a22 ann ann (2) 副对角形行列式 : det A (3) 下三角形行列式 : a n a2( n- ) an det A a a2 a22 n( n- ) 2 ( - ) a n a2( n- ) an a a22 ann (4) 上三角形行列式 : an an2 ann a a2 a n det A a22 a2 n a a22 ann ann 列式 3 畅行列式的性质 性质 畅 行列式与它的转置行列式相等, 即 (det A) T det A 性质 畅 2 n 阶行列式对任意一行按下式展开, 其值相等, 即 n det A ai Ai + ai2 Ai2 + + ain Ain aij Aij ( i,2,,n) j 性质 畅 3 互换行列式的两行, 行列式的值改变符号畅 推论 畅 若行列式的某两行元素完全相同, 则此行列式等于零 性质 畅 4 行列式的某一行中所有元素都乘以同一个数 k, 等于用数 k 乘以此行 推论 畅 2 若行列式中有一行的所有元素全为零, 则此行列式的值为零 推论 畅 3 如果行列式中有两行对应元素成比例, 则此行列式为零 推论 畅 4 对 n 阶矩阵 A, 有 det ka k n det A 性质 畅 5 若行列式某一行的所有元素都是两个数的和, 则此行列式等于两个行列 式的和 这两个行列式的这一行的元素分别为对应的两个加数之一, 其余各行的元素与原 行列式相同

13 6 线性代数学习辅导 性质 畅 6 把行列式的某一行的各元素乘以同一数后加到另一行对应元素上去, 行 列式的值不变 于零 或 性质 畅 7 行列式某一行的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等 由此可得行列式按行 ( 列 ) 展开定理如下 定理 畅 对于 n 阶行列式 det A, 有 畅 3 畅 3 可逆矩阵 畅定义 ai Aj + ai2 Aj2 + + ain A jn a ia j + a2 i A2 j + + ani Anj 设 A 是 n 阶方阵, 若存在 n 阶方阵 B, 使得 AB BA E det A i j i j det A i j i j 则称方阵 A 是可逆的, 并称矩阵 B 为 A 的逆矩阵, 简称 A 的逆, 记作 A - 2 畅可逆矩阵的性质 设 A 和 B 是 n 阶可逆矩阵以及非零常数 λ, 则有 () ( A - ) - A (2)(AB) - B - A - (3)(A T ) - ( A - ) T (4) (λa) - λ A - (5) A - A - 3 畅 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件 () 存在 n 阶方阵 B, 使得 AB E( BA E) (2) A 4 畅求逆矩阵的方法 () 定义法 : 设 A 和 B 是 n 阶矩阵, 则当 AB E( BA E) 时,A 和 B 都可逆, 且有 A - B,B - A, 可按此性质求逆 (2) 伴随矩阵法 : 设 A 是 n 阶矩阵, 且 A, 则 : 倡其中伴随矩阵 A 定义为 A - A A 倡 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

14 第 章矩阵与行列式 7 A A2 An 倡 A A2 A22 An2 A n A n Ann 5 畅逆矩阵的应用 克拉默法则的证明 () 克拉默法则 : 设有 n 个未知量 x,x2, xn,n 个方程的线性方程组 : a x + a2 x2 + + a n x n b a2 x + a22 x2 + + a2 n x n b2 an x + an2 x2 + + ann x n bn 若其系数矩阵的行列式 A, 则方程组有唯一解 : x A A,x2 A2 A,,xn An A b 其中 n 阶矩阵 A j ( j,2,,n) 是把系数矩阵 A 的第 j 列用常数向量 b b2 代替后所 得的矩阵 (2) 如果齐次线性方程组 a x + a2 x2 + + a n xn a2 x + a22 x2 + + a2 n xn an x + an2 x2 + + ann x n 的系数行列式 A, 那么方程组只有零解畅若系数行列式 A, 则齐次线性方程组 有非零解畅反之亦然畅 注意克拉默法则只能用于方程组的个数与未知量个数相等且行列式不等于零的线 性方程组, 对于方程个数与未知量个数不等或未知量个数与方程个数相等, 但系数行列式 等于零的情况, 需用另外的方法求解 bn 畅 3 畅 4 分块矩阵 畅分块矩阵定义根据矩阵本身的结构特点或运算的需要, 用几条自上而下的纵线与自左向右的横线把一个矩阵分成若干小块, 每一小块为原矩阵的子矩阵或子块, 则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵畅 2 畅分块矩阵的运算进行分块矩阵的加 减 乘法与转置运算, 可将子块当作矩阵的元素看待畅

15 8 线性代数学习辅导注意进行分块矩阵乘法运算时, 要求左矩阵列的分法必须与右矩阵行的分法一致 3 畅分块矩阵的行列式 设 A 为 r 阶方阵,B 为 s 阶方阵, 则分块矩阵的 A O A C O B A B 4 畅分块对角矩阵 C B 行列式为 : () 定义 : 设 n 阶方阵 A 的分块矩阵中, 凡不在对角线上的子块都是零矩阵, 而在主对角线上的子块都是方阵, 则称 A 为分块对角矩阵, 也称为准对角方阵, 记作 diag( A Ar) 即 A O A diag( A Ar) A2 式中各子块 Ai( i,2,,r) 为 ni 阶方阵, 且 n + n2 + + nr n 则有 : (2) 分块对角矩阵的性质 : 设 A diag( A Ar) 性质 畅 8 A A A2 Ar 性质 畅 9 若有 Ai ( i,2,,r), 则有 性质 畅 设矩阵 A A - A A2 O A O A2 A - O A - 2 O A - r O, B B A r O A r 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo B2 O, O 其中 Ai,Bi( i,2,,r) 为同阶子方阵, 则有 : A r O B r

16 第 章矩阵与行列式 9 A B O AB A2 B2 O A r Br 畅 4 疑难问题解析 2 问题 矩阵的乘法运算与数的乘法运算有何区别? 答首先, 数的乘法运算满足交换律, 而矩阵的乘法不然 这表现在如下几点 : () 若矩阵 A 与 B 可以相乘, 但 B 与 A 未必可以相乘 例如, 与 例如, 设 则 则 不能相乘 2 2, 但是 (2) 即使 Am n Bn m 与 Bn m A m n 都存在, 但当两者的阶数满足 m n 时二者也不相等 A AB, B, BA (3) 即使 A 与 B 都是 n 阶方阵,AB 与 BA 也未必相等 例如, 设 A AB -, B,, -, BA - 也正是因为如此, 矩阵的乘法分为 B 左乘 A( 即 BA) 与 B 右乘 A( 即 AB) 其次, 数的乘法不存在化零因子, 即若有 ab ( a,b R), 则 a,b 中至少有一个数为 零 ; 而矩阵的乘法存在化零因子, 即存在两个非零矩阵的乘积为零矩阵, 如上述 (3) 中的 矩阵 最后, 数的乘法满足消去律, 即若有数 a,b,c 满足 ab ac 且 a, 则必有 :b c 而在 矩阵的乘法中消去律不再成立, 即由矩阵 A,B,C 满足 AB AC 且 A O, 并不能推出 B C 例如, 设有矩阵 : 则 A , B 5 6, C,

17 线性代数学习辅导 但是 A B AC , BC 5 6 问题 2 矩阵与行列式有什么区别与联系? 6 6, 答矩阵的记号是数表外加圆括号或中括号, 而行列式的记号是数表外加两条竖线 ; 作为矩阵的数表可以不是方的, 即行数与列数可以不同, 但作为行列式的数表必须是方 的, 即行数与列数必须相同 ; 矩阵就是一个数表, 而行列式是一个代数运算式子 ; 行列式是 方阵所确定的一个数, 可视其为方阵的函数 ; 方阵的行列式是否为零, 是方阵可逆与否的 重要标志 问题 3 如果 n 阶行列式的所有元素都变号, 那么行列式的值有何变化? 答当 n 为奇数时, 行列式的值变为相反数, 当 n 为偶数时, 行列式的值不变 问题 4 奇数阶的反对称行列式的值有何特点? 答根据反对称行列式的特点以及行列式的数乘性质很容易证得其值一定为零 问题 5 任何两个矩阵都可进行加法运算 乘法运算吗? 答不是 只有同型矩阵才可以做加法运算 ; 只有第一个因子的列数与第二个因子的行数相等 才能做乘法运算 问题 6 任何一个 n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和吗? 答是的 因为对任一 n 阶矩阵 A, 都有 :A + A T 是对称矩阵, A - AT 是反对称矩阵, 又因为 A A + AT 2 2 A + A T 是对称矩阵,A - A T 是反对称矩阵, 从而 2 + A - AT, 所以结论成立 2 n 问题 7 已知线性方程组 aij x j bi ( i,2,,n) 的系数行列式 D 及 D j 均为 j 零, 其中 Dj 是由 D 的第 j 列换成方程组的常数项构成, 问方程组是否有解? 答不一定 因为由系数行列式 D 为零, 不能直接用克拉默法则 比如, 对方程组 满足上述条件, 但方程组有无穷多解 ; 而对方程组 及 D j 也均为零, 但该方程组无解 ( 因为其中含矛盾方程 ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo x + 2 x2 + 3 x3 2 x + 2 x2 2 2 x + 4 x2 4 3 x + 6 x2 + 9 x3 8 其系数行列式 D 2 x + 4 x2 + 6 x3 4 畅 5 方法 技巧与例题分析 例 畅 设矩阵 A 2,n 是正整数, 试求 A n

18 第 章矩阵与行列式 解法 由已知可得 : A 又容易算得 :B 2 O, 所以 B n O( n 2) 显然 B 与 E 可交换, 由二项式定理, 可得 : E + B A n ( E + B) n E n + C n E n- B + C 2 n E n- 2 B B n E + nb + 2 n 2 n 解法 2 ( 用数学归纳法 ) 当 n 2,3 时, 由矩阵的乘法得 : 假设 n k 时, 有 : 则当 n k + 时, 有 A 2 所以对任意的正整数 n, 有 A A A 3 A 2 A A k+ A k A A k k A n 2 k 2 4, 2 6, 2 2( k + ) 2 n 注意使用二项式定理及乘法公式时, 可交换 的条件不可少畅 解法 3 显然已知矩阵 A 是初等矩阵 ( 将单位矩阵的第二行乘以 2 加到第一行 ), 因为 A n A A A A A A A A E n n 所以根据矩阵的初等变换与初等矩阵的关系可知,A n 相当于对单位矩阵 E 连续进行 n 次对应于矩阵 A 的第二类初等行变换 于是有 A n 如果 A n 2 n 注意此解法运用的是第二章初等变换与初等矩阵之间的关系 例 畅 2 设 f( x) x 3-3 x x + 2, 以 f(a) 表示矩阵多项式 A 3-3A A + 2 E, 即 - - f( A) A 3-3A 2 + 3A + 2 E, 求 f( A)

19 2 线性代数学习辅导 解法 令 B, 容易计算 B 3 O 由于 A E - B, 所以 f( A) ( E - B) 3-3( E - B) 2 + 3( E - B) + 2 E 3 E 解法 2 由于 E - A, 容易计算 ( E - A) 3 O 于是 f( A) A 3-3 A A - E + 3 E (A - E) E 3 E a a2 an - an 例 畅 3 求关于未知量 x 的多项式 f ( x) 解法 第一行乘 - 后加到其余各行, 得 x a2 an - an a x an - an a a2 an - x 的根 f( x) a a2 an x - a x - a2 ( x - a )( x - a2 ) ( x - an) x - an 于是可知 f( x) 的根为 a,a2,,an 解法 2 因为当 x ai ( i,2,,n) 时, 行列式 a a2 an - an x a2 an - an a x an - an a a2 an - x 第 i + 行元素与第 行对应元素相同, 所以 f( ai), 即 x - ai f( x) ( i,2,,n) a a2 an - an x a2 an - an 又因为 f( x) a x an - an a a2 an - x 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 中 是关于 x 的一元 n 次多项式且最高次 项系数为, 所以 f( x) ( x - a )( x - a2 ) ( x - an) 即 f( x) 的根为 a,a2,,an 例 畅 4 设 A,B 均为 n 阶可逆方阵 若 A + B 可逆, 试证 :A - + B - 可逆, 并求出它的逆 证法 因为 A(A - + B - ) B A + B, 故 ( A - + B - ) B A - ( A + B)

20 第 章矩阵与行列式 3 ( A - + B - ) B(A + B) - A - 从而有 ( A - + B - ) B(A + B) - A E 因此 A - + B - 可逆, 且 于是有 ( A - + B - ) - B( A + B) - A 注意因为有 B( A - + B - ) A A + B, 从而类似可推出 但由于一个方阵的逆矩阵是唯一的, 因此有 (A - + B - ) A( A + B) - B E ( A - + B - ) - A( A + B) - B A( A + B) - B B(A + B) - A 证法 2 因为 A - + B - A - ( BB - ) + ( A - A)B - A - ( B + A) B - 而 A,B,A + B 均可逆, 所以其乘积也可逆, 且有 ( A - + B - ) - [A - (B + A) B - ] - B( B + A) - A 于是有 A - + B - 可逆, 且它的逆为 B( B + A) - A 得 又 故 倡例 畅 5 设 A,B 是同阶可逆矩阵, 求证 :( AB) 证明 因为 A,B 可逆, 所以 AB 也可逆, 由公式 倡 ( AB) ( AB) - 倡倡 B A AB ( AB) 倡 AB ( AB) - A B B - A - B B - A A - 倡倡 B A 证明 2 因为对于矩阵 AB, 有 倡倡倡倡倡 (B A )( AB) B ( A A)B B 倡 ( AB) ( AB) AB E, A EB 倡倡倡 (AB) ( AB) (B A )( AB), 因为 A,B 可逆, 所以 AB 也可逆, 将上式两边同时右乘 (AB) -, 得 倡 (AB) 倡倡 B A + x y + x y2 + x yn 倡 A B B A B E AB E 例 畅 6 设方阵 A + x2 y + x2 y2 + x2 yn ( n 3), 计算 A + xn y + xn y2 + xn y n 解法 因为方阵 A 可分解为 x x2 A xn y y2 yn BC

21 4 线性代数学习辅导显然, B, C, 所以 A B C + x y + x y2 + x yn 解法 2 将行列式 A + x2 y + x2 y2 + x2 yn + xn y + xn y2 + xn y n 各行都减去第一行, 得 + x y + x y2 + x yn A ( x2 - x ) y ( x2 - x ) y2 ( x2 - x ) yn, ( xn - x ) y ( xn - x ) y2 ( xn - x ) yn 此行列式从第二行后, 每两行成比例, 所以其值为零, 即 A 例 畅 7 已知 A 解法 ( 用伴随矩阵 ) 令 B 3 E + A 则矩阵 B 的元素之代数余子式为 且 B, 求 (3 E + A) B ( - ) , B2 ( - ) , - 2 B3 ( - ) , B2 ( )2-2 6 B22 ( - ) B3 ( - ) 倡于是矩阵 B 的伴随矩阵为 B 从而所求逆矩阵为, 2, 3, B23 ( - ) ,, B32 ( - ) B33 ( - ) , , 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo - 2 (3 E + A) - 倡 (3 E + A) 3 E + A B 倡 B

22 第 章矩阵与行列式 5 - 解法 2 ( 利用分块矩阵求逆 ) 因为 3 E + A 将之适当分块后得分块矩阵 B 3 E + A O C D P, 其中 C -,O,P 6,D , 于是 B - 又因为 O D C P - C - -,D - - D - PC - D - D - PC - 4 C - O , , 6 ( - ) 3 所以 (3 E + A) - B - - D - PC - D - C - O 解法 3 ( 用初等变换 ) 因为 3 E + A 构造矩阵 3 E + A E 3 E + A E , 并对其施行一系列初等行变换得 , r 吃 r 即为所求 r r 3-3 r r 2 吃 r r r

23 6 线性代数学习辅导 r 2-2 r 3 ( - ) 于是有 (3 E + A) 即为所求 - 注意上述解法 3 是利用第 2 章中的初等变换求解 利用初等变换求数字矩阵的逆, 往往比用伴随矩阵求逆要简单, 特别当阶数较高时, 这种方法的优越性就更明显 习题一 (A) 练习理解 畅判断下列命题的真假, 给出理由 畅 6 习题全解 () 若 A 是二阶方阵且其行列式为零, 则 A 的一列是另一列的倍数 ; (2) 若三阶方阵 A 的两行相等, 则 det A ; (3) 若 A 是三阶方阵, 则 det5 A 5det A ; (4) 若 A,B 均为 n 阶方阵, 满足 det A 2,det B 3, 则 det(a + B) 5 ; (5) 若 A 为 n 阶方阵且 det A 2, 则 det A 3 6 ; (6) 若 A 为 n 阶方阵, 则 det( - A) - det(a) ; (7) 任意一个 n 个未知数 n 个方程的方程组均可由克拉默法则求解 ; (8) A 为 n 阶方阵, 若 A 3, 则 det A 解答 () 此命题为真 因为若有 a b c d, b 则必有 ad bc, 从而 a d c (2) 此命题为真 因为交换这相等的两行, 得 det A - det A, 从而有 det A (3) 此命题为假 因为依据行列式的性质应该有 :det5 A 5 3 det A (4) 此命题为假 例如,A 2,B 3 满足条件 det A 2,det B 3, 但 det( A + B) (5) 此命题为假 因为依据行列式的性质应该有 :det A 3 (det A) (6) 此命题为假 因为依据行列式的性质应该有 :det( - A) ( - ) n det( A) (7) 此命题为假 因为当方程组得系数行列式为零时, 克拉默法则失效 (8) 此命题为真 因为依据 det det A 3 (det A) 3, 便知 det A 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

24 第 章矩阵与行列式 7 2 畅计算 () 解 () (2) 3 3 畅计算 () a a2 a3 (3) x y z ; (2) ; a a2 a ; (2) x y z x y z x y z ; 解 () a a2 a3 a a2 a 2 + a a 2 3 ; a3 (2) x y z x y z (3) x y z x 2 x y x z x y y 2 y z ; x z y z z 2 x 2 + x z + 2 y y z + x z + 4 y z + z 2 x y 2 + z x z + 8 y z 4 畅设 A,B x y z x + z 2 y + 4 z x + 4 y + z,c 3 2, 求 : () 2 A + BC ;(2)C T B T ;(3) A - 4 BC ;(4)( A - 4BC) T 解 () 2 A + BC x y z

25 8 线性代数学习辅导 (2) 解法 C T B T 3 2 解法 2 C T B T (3) A - 4BC (4) A - 4 BC T 5 畅设 A () 求 2 A + B ; (2) 求 3 A + 2B ; T T T T ,B (3) 若 X 满足 2A + X B, 求 X ; T (4) 若 Y 满足 (2 A - Y) + 2( B - Y), 求 Y 解 ()2 A + B ; T 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

26 第 章矩阵与行列式 (2)3A + 2 B ; ; (3) 由于 2A + X B, 则 X B - 2A (4) 由于 2 A - Y + 2 B - 2Y, 则 2 A + 2 B 3Y, 得 Y 2 3 ( A + B) 畅设矩阵 A 解 3A - B 3 7 畅计算 () (3) 2-3 解 () ,B , 求 3 A - B ; (2) ; ; ( - 4) 2 ( - ) ( - 2) ( - 4) ( - 3) ( - ) + ( - 2) ;

27 2 线性代数学习辅导 (2) (3) ( - 2) ( - 3) ( - 2) ( - 3) ; ( - 6) ( - 3) ( - 3) ( - 6) ( - 3) 畅用行列式定义计算下列行列式的值 : () A 解 () A (2) B a a2 a2 a23 a32 a33 a44 a a2 a2 a23 a32 a33 a44 a a23 ( - ) a32 a44 ; (2) B a - a2 ( a2 - a a23 a32 a44 - a2 ( a2 a33 a44 - ) - a a23 a32 a44 - a2 a2 a33 a44 ; a a2 a3 a4 a5 a2 a22 a23 a24 a25 a34 a35 a44 a45 a54 a55 a22 a23 a24 a25 a a2 a3 a 4 a5 a2 a22 a23 a2 4 a25 a3 4 a35 a4 4 a45 a5 4 a55 a23 a32 a33 a44 a33 a44 a2 a23 a24 a25 - a2 - a23 a2 a23 a33 a44 a44 ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo a a34 a35 a44 a45 - a2 a34 a35 a44 a45 a54 a55 a54 a55 a34 a35 a34 a35 a a22 a44 a45 - a23 a44 a45 a54 a55 a54 a55

28 第 章矩阵与行列式 2 a34 a35 a34 a35 - a2 a2 a44 a45 - a23 a44 a45 a ( - ) - a2 ( - ) a54 a55 9 畅计算下列行列式的值 : () D (4) D 解 () D (2) D (3) D (4) D (5) D r 2 - r r 3 - r r 4 - r r 2-2 r r 3-4 r c c ; (2) D ; (5) D r r r r a54 a r 3-5 r 2 5 r + r 2 + r 3 + r ; r 2 + r r 3-2 r r 4 - r r 3-3 r ; (3) D (9-8) 9 ; ; (6) D r 3-2 r ; ; 27 ;

29 22 线性代数学习辅导 (6) D 畅设 D r 3-2 r r 4-2 r ; r + r 2 + r 3 + r 中元素 a4 j 的代数余子式 , 求 2 A4 + 8 A A A44, 其中 A4 j ( j,2,3,4) 为 D 解因为 2A4 + 8 A A A44 是行列式 D 的第 2 行元素与第 4 行对应元素的代 数余子式的乘积之和, 所以根据行列式的展开定理可知 畅用公式 A - () A 解 () A (2) B B 2 A4 + 8 A A A A A 倡求下列可逆矩阵的逆矩阵 : a b c d, 其中 ad - bc ;(2)B a b c d ad - bc A d, A2 - c, A2 - b, A22 a 倡 A A - A A2 A2 A22 ad - bc d - c d - c - b a ; - b a ;(3)C , B , B3 - - 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

30 第 章矩阵与行列式 23 B2 B3 B - - (3)C C C C2 C3 倡 C C , B , B B B 倡 5, B B B2 B3 B2 B22 B32 B3 B23 B , B , C2-2, C , C22 2, C , C , C3 3 2 C C2 C3 C 2 C22 C32 C 3 C23 C33 C C 倡 ; 习题一 (B) 思考提高 畅选择题 () 设 A,B 均为 n 阶矩阵, 则下列结论正确的是 ( ) A 畅 AB 痴 A, 且 B ; B 畅 A 骋 A ; C 畅 AB 骋 A 或 B ; D 畅 A E 骋 A 解对于选项 A, 若取 A - - 对于选项 B, 有 A 2 2, 但是 A 2 2 ; 对于选项 C, 因为 AB A B, 所以结论成立 ; 对于选项 D, A, 但是 A E,B 2 2, 则 AB, 但是 A,B ;

31 24 线性代数学习辅导 故正确答案为选项 C (2) 设 n 维行向量 α 2,,,, 2, 矩阵 A E - α T α,b E + α T α, 则 AB ( ) A 畅 ; B 畅 - E ; C 畅 E ; D 畅 E + α T α 解 α 2,,,, 2 A E - α T α,b E + α T α AB E - α T α E + α T α E + α T α - α T α - α T α α T α E - α T 2 α E - 2 αt α (3) 设 A,B 是 n 阶矩阵, 满足 AB, 则必有 ( ) A 畅 A 或 B ; B 畅 A + B ; C 畅 A 或 B ; D 畅 A + B 解对于选项 A 与 B, 若 A 但是 A,B,A + B ; - - 对于选项 C, 因为 AB A B, 所以结论成立,B 2 2,AB, 对于选项 D, 若 A,B,AB, 但是 A + B 故正确答案为选项 C (4) 设 A 是 n 阶对称矩阵,B 是 n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中是反对称矩阵的 是 ( ) A 畅 AB - BA ; B 畅 AB + BA ; C 畅 AB 2 ; D 畅 BAB 解由于 AB + BA T AB T + BA T B T A T + A T B T (5) 设 a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 D, 则 - BA + A( - B) - AB - BA - ( AB + BA), 故选 B a - b b - c c - a a2 - b2 b2 - c2 c2 - a2 a3 - b3 b3 - c3 c3 - a3 ( ) A 畅 ; B 畅 D ; C 畅 - D ; D 畅 2 D 解将行列式 故正确答案为选项 A a - b b - c c - a a2 - b2 b2 - c2 c2 - a2 a3 - b3 b3 - c3 c3 - a3 2 畅 λ,μ 取何值时, 齐次线性方程组 b - c c - a b2 - c2 c2 - a2 b3 - c3 c3 - a3 第二 三列加到第一列, 得 λx + x2 + x3 x + μx2 + x3 x + 2 μx2 + x3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 有非零解?

32 第 章矩阵与行列式 25 λ 解由于 D μ 2 μ μ - μλ, 齐次线性方程组有非零解, 则 D, 即 μ - μλ, 得 μ 或 λ 不难验证, 当 μ 或 λ 时, 该齐次线性方程组确有非零解 3 畅设 A O O 2 2 2, 求 A 8 及 A 4 解令 A , A ; 则 A - 25, A2 4, A A A2 ; A 8 A 8 ( A A2 ) 8 ( ) 8 () 8 6 A 4 A 4 A 4 2 A A 4 A 2 2 A A 4 A 4 A 畅已知 A 3 -, 证明 () A 2 E ;(2) 利用分块矩阵证明 M 2 E, 其中 M

33 26 线性代数学习辅导 证明 () A 3 - A (2) 令 M 3 -, M , 则 M + M M M E 5 畅证明下列等式 : M2 M 2, M 2 E, M 2 2 M E M2 M E - a - b M2 3 - E , M 2 M + M2 M 2 2 E E E + a 3 - a () 2 a a + b 2 b ( b - a) ; (2) a 2 b 2 + b a 2 ab b 2 - b c 2 - c b - a 2( b - a) 证明 () 2 a a + b 2 b 2 a b - a 2( b - a) c 3 - c a( b - a) b 2 - a 2 a 2 ab b 2 a 2 ab - a 2 b 2 - a 2 ( b - a) 2 ( b + a - 2 a) ( b - a) 3 ; + a a r 2 + ( - ) r r 3 + ( - ) r - a - a c + ( - ) c 2 - a (2)det A r 4 + ( - ) r - a b - a b 6 畅已知 解 按第 2 行展开 ( - a)( - ) a b a r 2 + r r 3 + r - a - b 按第 列展开 + b ( - a) a( - ) + - b a2 b 2 a b c d a a b 2 c , 求行列式 b 2 c d a + b c + 2 d d a + b c + 2 d + 4 a b c d r 2 - r 4 r 3 + r a - b a - a 的值 b - b 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo a + b c + 2 d

34 第 章矩阵与行列式 27 7 畅计算下列 n 阶行列式 : a 2 a () Dn ; (2) Dn a n - n a 解 ()Dn 2 2 ( - ) n + n n- n- n ( - ) n + n!; (2) Dn a a a a a a a a + ( - ) n + a a a a n + ( - ) n + ( - ) + ( n - ) a a n - a n - 2 a 8 畅求下列线性方程组的解 : x + 2 y + 2 z 3 () - x - 4 y + z 7 ; (2) 3 x + 7 y + 4 z 3 x + x2 + x3 + x4 5 x + 2 x2 - x3 + 4 x4-2 2 x - 3 x2 - x3-5 x4-2 3 x + x2 + 2 x3 + x4 解 () 利用克拉默法则, 方程组的系数行列式 D - - 4, D 7-4 3, 所以 D , D ,

35 28 线性代数学习辅导 x D D 3 (2) 系数行列式 D D D3 9 畅设方程组 解, 并求出唯一解 D2 3, x2 D , D2-426, D4-2, x3-42, D3 D 2 2 ; x, x2 2, x3 3, x4 - x + y + z a + b + c ax + by + cz a 2 + b 2 + c 2 bcx + acy + abz 3 abc 解当方程组的系数行列式不为 时, 方程组有唯一解 系数行列式 D a b c bc ac ab - 284, 42,, 试问 a,b,c 满足什么条件时, 方程组有唯一 ab 2 + bc 2 + a 2 c - b 2 c - ac 2 - a 2 b a( b 2 - c 2 ) + bc 2 + a 2 c - b 2 c - a 2 b a( b + c)( b - c) - bc( b - c) - a 2 ( b - c) ( ab + ac - bc - a 2 )( b - c) [ a( b - a) - c( b - a)]( b - c) ( a - c)( b - a)( b - c) 若 D 则 a,b,c 互不相等时方程有唯一解 D 同理 a + b + c a 2 + b 2 + c 2 b c 3 abc ac ab a a 2 b c abc ac ab + b b 2 b c abc ac ab + c c 2 b c abc ac ab 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo a a b c bc ac ab

36 第 章矩阵与行列式 29 D2 b a b c bc ac ab, D3 c x, y b, z c a b c bc ac ab 畅 () 命题 A 2 E, 则 A E 或 A - E 是否正确, 若正确, 证明之, 若不正确, 举例说明 ; (2) 设 B 是二阶矩阵, 求满足 B 2 E 的所有的 B 解 () 不正确 ; 例如,A - (2) 由于 B 2 E, 设 B a c b d B 2 由 4 得 a 2 d 2, a ± d a c a 2 满足 :A 2 E, 但是 A E 且 A - E b d 2 a b c d a + bc ab + bd ac + cd bc + d 2 + bc ab + bd 2 ac + cd 3 bc + d 2 4 当 a - d 时, 2 3 显然成立, 只需 a 2 + bc 即形如 a c b - a 当 a d 时由 2 3 有 ab, ac 若 a 则有 bc, 即形如 若 a 则 b c a 2 即形如 a a 综上, 有三种情况 : (i) a - d, a 2 + bc ; (ii) a d, bc ; 且 a 2 b c (iii) a d 时, 则 b c,a 2 畅求下列矩阵的逆矩阵 且 a 2 + bc 且 bc () X A B, 其中 A,B 都是可逆矩阵 ; (2) B

37 3 线性代数学习辅导 解 () 解法 记 Y 所以所求 X A B E, 即 解法 2 设 Y 的逆矩阵为 Y Y2 Y3 Y Y3 Y4 Y2 Y4 B - A - Y 为 X, 则因为 XY A B B - A - A B B - A - E E, 的逆矩阵, 则由逆矩阵的定义可知 :YX A B Y2 B Y A Y4 B Y3 A E E 于是由 A,B 可逆, 及 Y A,Y4 B, 可得 Y,Y4, 再由 A,B 可逆, 及 Y3 A E,Y2 B E, 可得 Y2 B -,Y3 A -, 从而所求 X A B (2) 记 B 其中 B 则 B - 5 故 的逆矩阵为 Y B - B - A - B , B2 E3, B B2 B3, B - 2 E3, B 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

38 第 章矩阵与行列式 3 2 畅设 A 为三阶矩阵, 且 A 8, 求 倡解法 由于 A 故 3 A - A A -, 倡 - 8 A 3 A - 倡 - 8 A - 3 A 倡 - 8 A 3A A- 2A A - 8 A 解法 2 由 A - 又因为 A 为三阶矩阵, 所以 从而 3 A - A A 倡及 A 得 A - 倡 8A 8 倡 A 倡 - 8A A 2 倡 24 A 倡 - 8 A 6 3 A 倡 6 A 倡 A 习题一 (C) 拓展探究 畅设三阶方阵 A,B 满足关系式 A - BA 6 A + BA, 且 求矩阵 B A 3 4 解 A - BA 6 A + BA 痴 A - BA - BA 6 A 由 A 可逆两边同时右乘 A - 得 A - 所以 A - - E 可逆 式两端左乘 ( A - - E) -, 得 2 畅设 A B 6(A - - E) A - B - B 6 E (A - - E) B 6 E 4 7 痴 A E 3 6 倡倡,A 是 A 的伴随矩阵, 求 ( A ) -, ,

39 32 线性代数学习辅导 倡解 A 3 畅设 A A A - 倡痴 ( A ) - ( A A - ) - a a2 a3 an a 2 a 2 2 a 2 3 a 2 n a n - a n - 2 a n - 3 a n - n j,2,,n), 求线性方程组 A T X B 的解 2,3, n) 解 A T A ( ai - aj ), j < i n A a a2 a3 an a 2 a 2 2 a 2 3 a 2 n a n- a n- 2 a n- 3 a n- n,x, A T A A x x2 x3 xn,b D A, D2 D3 Dn, 其中 Dj 是用 B 替代 A T 得 4 畅设 a,b,c 为互不相同的实数, 证明 证明 a b c a 3 b 3 c 3 x a b - a c - a a 3 b 3 - a 3 c 3 - a 3 由 a,b,c 互不相等, 所以 a + b + c a a 2 a n- a2 a 2 2 a n- 2 a3 a 2 3 a n- 3 an a 2 n a n- n, 其中 ai aj ( i j,i, 中第 j 列所得行列式 ( j a b c 的充分必要条件是 a + b + c a 3 b 3 c 3 b - a c - a ( b - a)( c - a) b 3 - a 3 c 3 - a 3 ( b - a)( c - a)( c 2 + ac + a 2 - b 2 - ab - a 2 ) ( b - a)( c - a) ( c + b)( c - b) + a( c - b) ( b - a)( c - a)( a + b + c)( c - b) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo b 2 + ab + a 2 c 2 + ac + a 2

40 第 章矩阵与行列式 33 5 畅计算下列各行列式 ( Dk 为 k 阶行列式 ) : () Dn 解 () Dn x a a a x a a a x x a a a x a a a x [ x + (n- )a] ; (2) Dn + a a x a a x [ x + ( n - ) a]( x - a) n - ; a n ( a - ) n ( a - n) n a n - ( a - ) n - ( a - n) n - a a - a - n x + ( n - ) a a a x + ( n - ) a x a x + ( n - ) a a x [ x + (n- )a] a a x - a x - a (2) 从第 n + 行开始, 第 n + 行经过 n 次相邻对换, 换到第 行, 第 n 行经 ( n - ) 次对换换到第 2 行, 经 n + ( n - ) + + n( n+ ) 2 Dn+ ( - ) 此行列式为范德蒙德行列式, n( n+ ) Dn+ 2 ( - ) n+ i > j n( n + ) 次行交换, 得 2 a a - a - n a n- ( a - ) n- ( a - n) n- a n ( a - ) n ( a - n) n [( a - i + ) - ( a - j + )] n( n+ ) n( n+ ) 2 2 ( - ) [ - ( i - j)] ( - ) ( - ) n+ ( n- ) + + [( i - j)] n+ i > j n+ i > j ( i - j) n!( n - )!! n+ i > j 倡 6 畅设 A,B 均为 n 阶矩阵, A 2, B - 3, 求 2 A B - 解 B) - 7 畅设 A 倡 2 A B - 2 n A A - B - 2 n 2A - B - 2 n 2 n A - B n A - B n n - 3,E 为四阶单位矩阵, 且 B (E + A) - ( E - A), 求 ( E +

41 34 线性代数学习辅导 解 E + B E + ( E + A) - ( E - A) ( E + A) - ( E + A) + ( E + A) - ( E - A) ( E + A) - 2 E 2( E + A) - 2 ( E + B) - 2 ( E + A) 畅设 A,B P - AP, 其中 P 为三阶可逆矩阵, 求 B 24-2 A 解 根据矩阵乘法可知 :A A 4 A 2 A E B 24-2A 2 P - APP - AP P - AP - 2A P - A 24 P P - (A 4 ) P - EP E 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

42 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 2 畅 目的与要求 () 理解矩阵初等变换与初等矩阵的概念, 熟悉初等变换与初等矩阵的关系 (2) 熟练掌握用初等变换化矩阵为行阶梯 ( 行最简 ) 形的方法 (3) 理解行阶梯形矩阵在求矩阵的秩 求矩阵的逆 解线性方程组等方面的作用 (4) 会用初等变换求矩阵的等价标准形 矩阵的逆矩阵 矩阵的秩等 (5) 了解线性方程组的有关概念, 熟悉线性方程组无解 有唯一解 无穷多解的充分必要条件 (6) 熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法 重点用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵求矩阵的秩求解线性方程组等方法难点有关矩阵的秩的概念 性质以及一些常用的等式或不等式 2 畅 2 知识框图 2 畅 3 内容提要 2 畅 3 畅 矩阵的初等变换 畅初等变换定义下述三种变换称为矩阵的初等行变换 : () 交换矩阵某两行的对应元素 ( 交换第 i,j 两行对应元素, 记作 ri 吃 r j ) ; (2) 以非零数 k 乘矩阵某一行的所有元素 ( 第 i 行乘以数 k, 记作 ri k) ;

43 36 线性代数学习辅导 (3) 把矩阵的某一行元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去 ( 第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去, 记作 ri + kr j ) 将上述定义中的 行 改为 列 即为矩阵的初等列变换的定义, 其表示方法与行初等 变换相仿, 只要把 r 换成 c 即可 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换 2 畅矩阵初等变换的可逆性 矩阵的初等变换都是可逆的且它们的逆变换均为与其同类型的初等变换 即 ri 吃 r j 的逆变换为 r i 吃 r j,ci 吃 cj 的逆变换为 ci 吃 cj ; ri k 的逆变换为 r i k,ci k 的逆变换为 ci ri + kr j 的逆变换为 r i + - k r j,ci + kcj 的逆变换为 ci + - k c j 2 畅 3 畅 2 矩阵的等价标准形 都是零 Er O 畅两矩阵等价的定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B, 则称矩阵 A 与矩阵 B 等价, 记作 A B 容易验证矩阵之间的等价关系满足下列性质 : () 反身性 : A A ; (2) 对称性 : 若 A B, 则 B A ; (3) 传递性 : 若 A B, B C, 则 B C 利用矩阵的初等行变换, 可以将一个矩阵变成阶梯形矩阵 2 畅行阶梯形矩阵特点 () 零行 ( 元素全为零的行 ) 都在非零行的下边 ; (2) 非零行的非零首元 ( 第一个不是零的元素 ) 的下边全是零 3 畅行最简形矩阵特点 矩阵的零行都在非零行的下边, 非零行的非零首元是, 并且它所在的列的其他元素 4 畅矩阵的等价标准形 若 m n 矩阵 A 可经若干次初等变换化为形如 F O O m n 为矩阵 A 的等价标准形矩阵 5 畅矩阵的等价标准形相关结论 k ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo Er O O O m n 的矩阵, 则称 F 任意一个 m n 矩阵 A 总可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵, 进而再对

44 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 37 行最简形矩阵施行有限次初等列变换则可将它化为标准形矩阵 F 形由 m,n,r 三个数完全确定, 其中 r 就是行阶梯形矩阵中的非零行数 Er O O O m n, 该标准 2 畅 3 畅 3 初等矩阵 畅初等矩阵的概念由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 对应于三类初等行 ( 列 ) 变换, 初等矩阵有以下三类 : () 交换单位矩阵 E 的第 i,j 两行 ( 或交换第 i,j 两列 ), 得到矩阵 E( i,j) ; (2) 以数 k 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( 或第 i 列 ), 得矩阵 E( i( k)) ; (3) 把单位矩阵 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去 ( 或第 i 列的 k 倍加到第 j 列上去 ), 得矩阵 E( i,j( k)) 2 畅初等矩阵的性质 : () 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵 ; (2) 初等矩阵都是可逆矩阵, 且它们的逆矩阵仍是初等矩阵 ; (3) 若矩阵 A 可逆, 则 A 可表示成一系列初等矩阵的乘积 2 畅 3 畅 4 初等变换与初等矩阵关系设 A 是一个 m n 矩阵, 对 A 施行一次初等行变换, 相当于在 A 的左边乘上一个相应的 m 阶初等矩阵 ; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘上一个相应的 n 阶初等矩阵 2 畅 3 畅 5 求逆矩阵的初等变换法把 n 阶矩阵 A 与 n 阶单位阵 E 排在一起构成 n 2 n 阶矩阵 ( A,E), 对此矩阵施行初等行变换, 则当把矩阵 A 变为单位矩阵 E 时, 原来的单位矩阵 E 就变成了 A -, 即 A,E 类似有 A E 初等行变换初等列变换 E,A - E 2 畅 3 畅 6 利用矩阵的初等行变换求解某些矩阵方程 AX B 如果矩阵 A 可逆, 则方程 AX B 有解 X A - B, 初等变换求解方法 : 构造 n 2 n 阶矩阵 (A,B), 对此矩阵施行初等行变换, 当把矩阵 A 变为单位矩阵 E 时, 原来的矩阵 B 就变成了 A - B, 即 A,B 初等行变换 A - E,A - B

45 38 线性代数学习辅导类似地, 利用矩阵的初等列变换可以解某些矩阵方程 X C D, 方法为 : C D 2 畅 3 畅 7 矩阵的秩 畅矩阵秩的概念 初等列变换 k 阶子式定义 : 在一个 m n 矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列 ( k min{ m,n}), 位于这些行列交叉点处的 k 2 个元素按它们在 A 中位置次序组成的 k 阶行列式, 称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 矩阵秩的定义 : 如果矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D r, 且所有的 r + 阶子式 ( 如果存在的话 ) 的值都等于, 则称 Dr 为矩阵 A 的一个最高阶非零子式, 其阶数 r 称为矩阵 A 的秩, 记作 R( A) 或 ranka 2 畅有关矩阵秩的几个结论 () 设 A 是 m n 矩阵, 则 R(A) min m,n (2) 设 A 是 m n 矩阵, 则 R( A) r 骋 A 中有一个 r 阶子式不等于, 而所有的 r + 阶子式都等于 ; 骋 A 经过有限次初等变换可化为骋 A 的行秩 列秩都等于 r, Er O E DC - O O m n 的形式, 骋 A 的行 ( 列 ) 向量组中有 r 个向量线性无关, 而任意 r + 个行 ( 列 ) 向量线 性相关 ( 见第 3 章 ) ; (3) 如果 A,B 均是 m n 矩阵, 则 R(A + B) R( A) + R( B) ; (4) 矩阵的转置不改变矩阵的秩, 即 R(A T ) R( A) ; (5) 设 A ( aij ) m s,b ( bij ) s n, 则 R( AB) min{ R( A),R(B)} (6) 若矩阵 P,Q 可逆, 则 R( P A Q) R(A) (7) 若 A B, 则 R( A) R( B) 3 畅矩阵秩的计算 () 用矩阵秩的定义求矩阵秩 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 对于一个非零矩阵, 一般来说可从二阶子式开始逐一计算, 若它的所有二阶子式都为零, 则矩阵的秩为 ; 若找到一个不为零的二阶子式, 就继续计算它的三阶子式, 若所有三阶子式都为零, 则矩阵的秩为 2, 只要有一个三阶子式不为零, 就继续计算四阶子式的值, 直到求出矩阵的秩为止

46 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 39 (2) 用初等变换求矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩的理论依据 : 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩, 即若 A B, 则 R( A) R( B) 这个结论告诉我们, 要求一个非阶梯形矩阵的秩, 可以先利用矩阵的初等行 ( 列 ) 变换化为行 ( 列 ) 阶梯形矩阵, 然后由行阶梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩, 也就是行阶梯形矩阵的非零行数 2 畅 3 畅 8 线性方程组的求解 畅线性方程组解的判别 () 线性方程组 Ax b 相容 ( 有解 ) 的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等 (2) 若线性方程组 Ax b 是相容的, 则当系数矩阵的秩 r < n( 未知量的个数 ) 时, 方程组有无穷多组解 ; 当系数矩阵的秩 r n 时, 方程组有唯一解 齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例, 上述判别方法完全适用于齐次线性方程组 但齐次线性方程组至少有零解, 也就是说系数矩阵的秩与增广矩阵的秩总是相等的, 所以只需讨论解的唯一性 2 畅用初等变换求解一般线性方程组的步骤 () 写出方程组的增广矩阵 (2) 对方程组的增广矩阵施行初等行变换, 将其化为行阶梯形, 因为行阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩, 所以由行阶梯形可判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等, 也就是判断出方程组是否有解, 如果没有解, 停止 ; 否则进行下一步 (3) 继续对增广矩阵施行初等行变换, 将它化为行最简形, 写出该行最简形矩阵所对应的方程组 (4) 把第 (3) 步所得每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式, 即得方程组的一般解 2 畅 4 疑难问题解析 问题 在线性代数中矩阵的初等变换的作用是什么? 答矩阵的初等变换起源于解线性方程组的消元法, 现已成为矩阵理论中一个非常重要的工具 一个矩阵最本质的信息就是它的秩, 化简矩阵的原则就是要保持矩阵的秩不变, 否则就没有任何意义了 矩阵的初等变换不仅保持了矩阵的秩不变, 而且具有简单 方便 容易掌握的特点 同时, 它又像一条链索一样, 在解决线性代数的两大问题 线性方程组的求解以及二次型的标准化过程中贯串始终 具体可在如下几个类型的问题解决中使用初等变换 : 类型 求矩阵的秩 ;

47 4 线性代数学习辅导 类型 2 判断方阵是否可逆, 在可逆时求逆矩阵 ; 第 3 章 ) 类型 3 解线性方程组 ; 类型 4 解某些矩阵方程 ; 类型 5 化矩阵为标准形的有关问题 ( 见第 4 和第 5 章 ) ; 类型 6 求向量组的极大无关组以及其他向量由极大线性无关组线性表示 ( 见 问题 2 如何理解等价关系? 答在一个集合 S 中, 如果元素之间有一种关系 R 满足反身性 对称性 传递性, 则 称 R 为 S 的一个等价关系 有了等价关系就可以把 S 中的元素进行分类, 把相互等价的 元素归于同一类, 称为等价类 同一类中的元素必等价, 不同类中的元素必不等价 为了掌 握同一类中的性质, 通常选一个 简单 的元素作为这一类的 代表, 并找出同一类元素共 同具有的某些性质, 称为等价不变量 在集合 R m n 中, 如果矩阵 A 能通过初等变换化为 B, 则称 A 与 B 等价 矩阵的秩是一个等价不变量, 即等价的矩阵有相同的秩 反之, 同型 矩阵的秩完全确定了两个矩阵是否等价, 即有相同秩的同型矩阵必等价, 矩阵中最简单的 是形如 Er 的矩阵, 可作为矩阵等价类的典型代表, 称之为等价标准形 问题 3 一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么关系? 答一个非零矩阵的行最简形一定是行阶梯形, 但行阶梯形未必是行最简形 ; 两者 的区别在于行最简形要求非零行的非零首元必须是, 并且该元所在的列中其他元素都 是零, 而行阶梯形没有此要求 另外, 一个矩阵的行阶梯形是不唯一的, 而它的行最简形是 唯一的 问题 4 若 A 为 n 阶可逆矩阵, 则它的最高阶子式为何? 它的秩与它的阶数有什么 关系? 它的标准形又如何? 答 A 的最高阶子式为其行列式, 它的秩等于它的阶数, 它的标准形是 n 阶单位矩阵 问题 5 在求线性方程组的通解时, 常常出现与答案不一致, 这是否可以? 答以 n 元齐次方程组 Ax 为例, 设 R( A) r, 只要能正确地找到 n - r 个自由未 知数, 进而写出含有 n - r 个任意常数的通解, 都是可以的 2 畅 5 方法 技巧与例题分析 例 2 畅 设 A 为 n 阶满秩方阵,B 为 n m 阶矩阵, 试证 R(AB) R( B) 证明 设 AB C, 根据 矩阵 A,B 乘积的秩不大于 A 的秩和 B 的秩, 有 R( AB) R( B), 又 A 是满秩矩阵, 故 A - 存在, 于是 B A - C, 从而有 所以 R( AB) R(B) R( A - C) R( B) R(C) R( AB) 证明 2 因为 A 是满秩矩阵, 故 A 可分解为若干个初等矩阵的乘积 : A P P2 PL, AB P P2 P L B, 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 即对 B 做一系列的行初等变换得 AB, 而初等变换不改变矩阵的秩, 所以 R(AB) R( B)

48 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 4 注意关于秩的题目一般有如下几个考虑角度 : 行向量 列向量的线性关系 ; 子式 ; 初等变换及等价标准形 ; 线性方程组 例 2 畅 2 设 A ( aij ) m n, 证明 :R( A) 当且仅当 A 可写成 A b bm c cn 证明 充分性如果 A b bm c cn, 则 A c β cnβ, 其中 β b, 故 A 的列向量都是 β 的线性组合, 因此 R( A) ; bm 必要性设 R(A), 若 R( A), 则 A, 从而 A ; 若 R( A), 则 A 有一个列向量 β b bm 使得 A 的任一第 j 列是 β 的 c j 倍, 故 A c β cnβ b c cn 证明 2 充分性同上必要性设 R(A), 则有可逆矩阵 P,Q 使得 c c PAQ 其中 c 或 c, 令 O m n P - bm c Q - c c2 cn, 则 b b2 bm, A b bm c cn

49 42 线性代数学习辅导 例 2 畅 3 解矩阵方程 X 5 8 解法 用逆矩阵解矩阵方程 ( 用伴随矩阵求逆矩阵 ), 故 4 6 X 解法 2 用初等变换, 设 故 解法 3 设 X 即 可取 从而有 4 6-2, A B x x2 x2 x 可逆 A, B, 则 X x x x2 x22 4 x + x2 4 x2 + x22 6 x + x2 6 x2 + x22 4 x + x2 5 4 x2 + x x + x2 5 6 x2 + x , 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo , 解之得 x,x2 2,x2 5,x22-4 当矩阵方程的阶数较高时此方法显然不

50 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 43 例 2 畅 4 设 A , 求可逆矩阵 P,Q, 使 PAQ Er 解化等价标准形一般既要用行变换也要用到列变换 通常可先用行变换化成阶梯 形, 再用列变换化为等价标准形 为记录下 P,Q 可参用矩阵求逆的做法 先做行变换化阶梯形 A E r 2 - r r 3-2 r r 3 - r Δ T P, 到此化为了阶梯形 T,PA T, 可再用列变换把 T 化为标准形, 即求 Q, 使 TQ C 为标准 形, 但为避免做列变换, 常化为 Q T T T C T 仍做行变换, T T E 到此得到 其中 Q T P r 2-2 r 3 r 4 - r r 2 - r PAQ r 3 - r 2 E2, , -

51 44 线性代数学习辅导 Q , 例 2 畅 5 已知 A 是 n 阶矩阵, 求证若对任意的 n 维向量 x ( x,x2,,xn) 均有 Ax, 则 A 证明 设 A ( aij ) n n, 由 x 的任意性, 不妨取 x 为单位向量组 由题设可知 Aεi, 即 也即 所以 A εi ( ) T Aεi i a i a2 i ani ( i,2,,n) a i a2 i ani ( i,2,,n) 证明 2 设 n 维向量 α,α2,,αn 是 R n 中的 n 个线性无关的向量, 由题设可知 Aαi ( i,2,,n) 令 B (α,α2,,αn), 显然 R(B) n, 所以 B 为可逆矩阵, 又 AB (Aα,Aα2,,Aαn) 在上式两边右乘 B -,ABB - B -, 得 A 证明 3 由题设可知, 任意的 n 维向量都是齐次线性方程组 Ax 的解, 故取 x 为单 位向量组 ε,ε2,,εn 时, 它们也是 Ax 的解, 且为 Ax 的一个基础解系畅由线性方 程组解的理论可知, 若 R( A) r, 则 Ax 的基础解系中含有 n - r 个解向量, 现在 所以 R( A), 于是必有 A n - R( A) n 注意证明 A 有两种方法, 一是证明 A 中个元素 aij, 二是证明 R(A) 畅 例 2 畅 6 证明 : 含有 n 个未知数 n + 个方程的线性方程组 a x + a2 x2 + + a n xn b 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo a2 x + a22 x2 + + a2 n xn b2 () an+ x + an+ 2 x2 + + an+ n x n bn+

52 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 45 有解的必要条件是 a a2 a n b an an2 ann bn, 但该条件并不充分 an + an + 2 an + n bn + 证明 方程组 () 有解, 则系数矩阵 A 与增广矩阵 B 的秩相等, 而 A 为 ( n + ) n 阶矩阵,R( A) n, 从而 R( B) n, 但 B 是 n + 阶方阵, 故有 B 该条件并不充分, 即 B 不能肯定 () 有解, 可用下面这个方程组来说明 x + x2 + x3 4 x + x2 - x3 2 5 x + 2 x2 3 2 x + 2 x2 + 2 x3 5 证明 2 用反证法 若增广矩阵的行列式 B, 则 R( B) n +, 但系数矩阵 A 为 ( n + ) n 阶矩阵, 故 R( A) n, 于是 R( A) R( B), 方程组 () 无解 矛盾 故有 B 证明 3 将方程组 () 改写为 a x + a2 x2 + + a n x n + b xn+ a2 x + a22 x2 + + a2 n x n + b2 xn+, an+ x + an+ 2 x2 + + an+ n x n + bn+ xn+ 其中 xn + -, 由于方程组 () 有解, 则上述齐次方程组有非零解, 故其系数行列式为 零, 即 B 例 2 畅 7 证明线性方程组 x - x2 b x2 - x3 b2 x3 - x4 b3 x4 - x5 b4 - x + x5 b5 有解的充分必要条件是 b + b2 + b3 + b4 + b5, 并在有解的情况下, 求出其一般解 证明 以 A 和 A 分别表示所给方程组的系数矩阵与增广矩阵, 并对 A 进行初等行变 换, 得 A - b - b2 - b3 - b4 - b5 - b - b2 - b3 - b4 5 bi i Δ B 可知 R( A) R( A) 的充分必要条件是 b + b2 + b3 + b4 + b5, 即原方程组有解的充

53 46 线性代数学习辅导分必要条件是 b + b2 + b3 + b4 + b5 当有解时, 继续对 B 施行初等行变换, 得 - b - b + b2 + b3 + b4 - b2 - b2 + b3 + b4 B - b3 - b3 + b4 - b4 由此得原方程组的一般解为 : - b4 x b + b2 + b3 + b4 + b5 x2 b2 + b3 + b4 + b5 x3 b3 + b4 + b5, 其中 x5 为自由未知量 x4 b4 + b5 x5 b5 证明 2 先证必要性, 设 ( k,k2,k3,k4,k5 ) 为原方程组的一个解, 代入原方程组, 得 k - k2 b,k2 - k3 b2,k3 - k4 b3,k5 - k b5,k4 - k5 b4 把以上等式相加, 得 b + b2 + b3 + b4 + b5 再证充分性, 因为 b + b2 + b3 + b4 + b5, 故 b + b2 + b3 + b4 - b5, 将原方程组中前 4 个等式左右分别相加, 得 x - x5 b + b2 + b3 + b4 - b5, 此即第 5 个方程 于是满足前 4 个方程的一有序数组也必须满足第 5 个方程, 解前 4 个方程, 得 x b + b2 + b3 + b4 + b5 x2 b2 + b3 + b4 + b5 x3 b3 + b4 + b5 x4 b4 + b5 由前面叙述可知, 此解也满足第 5 个方程, 从而为原方程组的解 习题二 (A) 练习理解 2 畅 6 习题全解 畅判断下列每个命题的正误, 给出理由 () 每个矩阵行等价于唯一的阶梯形矩阵 解此命题错误 例如, 对矩阵 施行一系列初等变换有 r 2 - r r 2 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 2 r 3-3 r

54 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 47 这说明矩阵 行阶梯形矩阵 r 既等价于行阶梯形矩阵 (2) 含有 n 个未知数的 n 个方程至多有 n 个解 解此命题错误 例如, 方程组 解集 x + x2 + x3 4 2 x - x2 + 5 x3 5 4 x - 2 x2 + x3 r - r r 2 + r 含有 3 个方程 3 个未知量, 但它有无穷多解 又等价于 (3) 若增广矩阵 A,b 由初等行变换变为 C,d, 则方程 Ax b 与 Cx d 有相同 解此命题正确 因为对方程组的增广矩阵施行初等行变换不改变方程组中各变量之间的相应线性关 系, 所以对方程组的增广矩阵施行初等行变换把方程组变成同解的方程组 (4) 若方程组 Ax b 有多于一个解, 则 Ax 也是 解此命题正确 设 x,x2 为方程组 Ax b 的两个不同的解, 则 x - x2 必为方程组 Ax 的非零解, 从而对任意的实数 k,k( x - x2 ) 为方程组 Ax 的解 2 畅把下列矩阵化为行最简形矩阵 : () (3) 解 () ; (2) ; (4) r 2-4 r 2 - r r r r ; r r r 2 r

55 48 线性代数学习辅导 (2) (3) (4) r r 3-3 r 4 r 2-4 r r - 3 r r + r 3 2 r 2-2 r 3 r r 2-3 r 3-2 r r - 2 r r 3 5 r + 9 r 3 7 r 2-5 r 3-5 r r ; r - 2 r 2 r 2 + r ; 4-3 r 3-2 r r 7 r r ; r 4 - r r 3-2 r r 2-3 r r 2 吃 r 4 r 2 ( - ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo r 吃 r 2 r 2-2 r r 3-3 r r 4-2 r

56 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 49 r 2 ( - ) r r 2 r r r - 2 r 畅利用矩阵的初等变换, 求方阵的逆矩阵 : 解 (A E) 4 畅设 A r r r r - 7 r A -, B 解 AX + B X,(A - E) X - B, 因 A - E , A - E r 4 - r 3 r 2 + r 3 r + 2 r r 2-5 r 7 - r 3 + r r 2 ( - ) 7 - r 3 - r r 2 + r , 求解矩阵方程 AX + B X

57 5 线性代数学习辅导 故 A - E 可逆, 则 X ( A - E) - ( - B) 又由于 (A - E B) 由最后一个矩阵可知 5 畅求矩阵 A r 2 + r r - 3 r 3 r 2-3 r X 解求 A 的行阶梯形矩阵 A 故 R( A) 3 6 畅设 A r 2 - r r 3-4 r 的秩 r r a - 2,B 解 AB 为 3 阶方阵而 R(AB) 2, 故 AB 而 故 A r 2 - r r 3 + r r 2 吃 r r 2 3 r - r r 3-4 r r 2 吃 r , 确定 a 的值, 使 R( AB) 2 AB A B, B - 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

58 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 5 而 故 a 2 A a - 2 a a a - 2 a b a b2 a b3 a b4 a b5 7 畅设 ai,bi,i,2,3,4,5, 求矩阵 A a2 b a2 b2 a2 b3 a2 b4 a2 b5 a3 b a3 b2 a3 b3 a3 b4 a3 b5 的秩 a4 b a4 b2 a4 b3 a4 b4 a4 b5 解法 由于 ai, bi, a5 b a5 b2 a5 b3 a5 b4 a5 b5 r a r 2 a 2 A a b a b2 a b3 a b4 a b5 a2 b a2 b2 a2 b3 a2 b4 a2 b5 a3 b a3 b2 a3 b3 a3 b4 a3 b5 a4 b a4 b2 a4 b3 a4 b4 a4 b5 r 3 a 3 r 4 a 4 b b2 b3 b4 b5 r 5 a 5 b b2 b3 b4 b5 b b2 b3 b4 b4 b b2 b3 b4 b4 a5 b a5 b2 a5 b3 a5 b4 a5 b5 b b2 b3 b4 b4 r 2 - r r 3 - r r 4 - r r 5 - r 故 R( A) b b2 b3 b4 b5 a 解法 2 因为 A a2 a 3 (b b2 b3 b4 b5 )Δ BC, 而由 ai,bi 可知 R( B) R( C) a4 a5, 所以 R( A) R( BC)

59 52 线性代数学习辅导 习题二 (B) 思考提高 ( ) A 畅选择题 () 设 n( n 3) 阶矩阵 A A 畅 ; B 畅 解由 R( A) n - 可知, A, 而 a a a a a a [ + ( n - ) a] a a a a a a a a a a a a - n ; C 畅 - ; D 畅, 若矩阵 A 的秩为 n -, 则 a 必为 n - + ( n - ) a + ( n - ) a + ( n - ) a a a a a [ + ( n - ) a]( - a) n- 所以由 A 可知,a 故 a - n, 即选项 B 正确 (2) 下列矩阵中与矩阵 A A 畅 (4,5,6) ; B 畅 a a a a [ + ( n - ) a] 或 a, 又若 a, 则 R( A), - n ; C 畅 同秩的矩阵是 ( ) a - a ; D 畅 解由题设可知 R( A) 3, 而选项 A 秩为, 选项 B 的秩为 2, 选项 C 中矩阵的第 2 列是第 3 两列之和, 其秩为 2, 又易知选项 D 中矩阵的行列式不为零, 所以正确答案为 选项 D (3) 下列矩阵中不是初等矩阵的是 ( ) A 畅 ; B 畅 - 3 ; C 畅 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo ; D 畅 3

60 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 53 解因为选项 A B D 都是由单位矩阵经过一次初等变换而得, 只有选项 C 中的矩 阵是单位矩阵经过两次初等变换而得, 故正确答案为选项 C P2 (4) 设 A a a2 a3 a2 a22 a23 a3 a32 a33, 则有 ( ),B a2 a22 a23 a a2 a3 a3 + a a32 + a2 a33 + a3 A 畅 AP P2 B ; B 畅 AP2 P B ; C 畅 P P2 A B ; D 畅 P2 P A B,P 解因为 B 矩阵可视为矩阵 A 先经过第 行加到第 3 行, 再经过第 2 两行交换而 得, 所以根据矩阵的初等变换与初等矩阵的关系可知,P P2 A B 即正确答案为选项 C (5) 设 n 元齐次线性方程组 A x 的系数矩阵 A 的秩为 r, 则 A x 有非零解的充 分必要条件是 ( ) A 畅 r n ; B 畅 r < n ; C 畅 r n ; D 畅 r > n 解因为根据齐次线性方程组 A x 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小 于未知量的个数, 所以可知正确选项为 B (6) 非齐次线性方程组 AX b 中未知数个数为 n, 方程个数为 m, 系数矩阵 A 的秩为 r, 则 ( ) A 畅 r m 时, 方程组 AX b 有解 ; B 畅 r n 时, 方程组 AX b 有唯一解 ; C 畅 m n 时, 方程组 AX b 有唯一解 ; D 畅 r < n 时, 方程组 AX b 有无穷多解 解对于选项 B 有方程组 x + 2 x2 2 x + x2 4 3 x + 6 x2 5, 其系数矩阵的秩是 2, 未知量的个数也是 2, 但因其增广矩阵的秩是 3, 所以该方程组无解 ; 对于选项 C 有方程组, x + 2 x2 3 x + 6 x2 3, 其 方程的个数等于未知量的个数, 但该方程组有无穷多解 ; 对于选项 D 有方程组 x + 2 x2 3 x + 6 x2 5, 其系数矩阵的秩小于未知量的个数, 但该方程组无解 因此, 正确选项 为 A 2 畅设 A a a2 a3 a2 a22 a23 a3 a32 a33,p 2,P2, 求 P AP 2 解 P 左乘 A 相当于对 A 进行初等行变换将第 行的 2 倍加到第 3 行 P2 右乘 A 相当于对 A 进行初等列变换, 将第 列与第 3 列交换

61 54 线性代数学习辅导 故 P AP 2 a a2 a3 a2 a22 a23 a3 + 2 a a a2 a a3 3 畅已知 A,B 均为三阶矩阵, 将 A 中第 3 行的 - 2 倍加到第 2 行得矩阵 A, 将 B 中第 列和第 2 列对换得到 B, 又 A B 2, 求 AB 2 3 解由已知 A B A - 2 A, B B, - 2 AB 2, 2 3 AB - 2 k 4 畅设矩阵 A k k k , 且 R( A) 3, 确定 k 的值 解 R( A) 3,A 为四阶方阵, 所以 A 而 k k A k k k + 3 k + 3 k + 3 k + 3 k k k k - ( k + 3) k - k - k - 3 或 k, 如果 k, 则 R(A), 故 k - 3 ( k + 3)( k - ) 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo ( k + 3) k k k

62 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 55 5 畅求解下列齐次线性方程组 : x + x2 + 2 x3 - x4 x + 2 x2 + x3 - x4 () 2 x + x2 + x3 - x4 ; (2) 3 x + 6 x2 - x3-3 x4 ; 2 x + 2 x2 + x3 + 2 x4 x - x2 + 5 x3 - x4 5 x + x2 + x3-5 x4 3 x + 4 x2-5 x3 + 7 x4 (3) x + x2-2 x3 + 3 x4 3 x - x2 + 8 x3 + x4 ; (4) 2 x - 3 x2 + 3 x3-2 x4 4 x + x2-3 x3 + 6 x4 x + 3 x2-9 x3 + 7 x4 7 x - 2 x2 + x3 + 3 x4 2 - 解 () A r 2 + r 3 r 3-3 r 2-2 r r 3-2 r r + r 2 r 2 ( - ) r - 2 r , 原方程的解为 (2) A x 4 3 x4 x x4, 令 x4 k, 则 x3 4 3 x r 2-4 r r 2 原方程的解为 r 2-3 r r 3-5 r 2 - x - 2 x2 + x4 x x2 x3 x4 k r - r ( k 为任意常数 ), x2 x2 x3, 令 x2 k, x4 k2 x4 x4

63 56 线性代数学习辅导 (3) A x x2 x3 x4 k r 3 - r 2 r 4-2 r 2 r k2 r 2 - r r 4 - r r 3-3 r ( k,k2 为任意常数 ) r + r , x x3 - x4 原方程组的同解方程组 x2 7 2 x3-2 x4, 令 x3 k, x4 k2 得 x3 x3 原方程组的解为 (4) A r 2-2 r r 3-4 r r 4-7 r x x2 x3 x4 k x4 x k ( k, k2 为任意常数 ) r - r r 3 - r 2 r 4-3 r 2 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

64 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 57 r 2 7 原方程组的同解方程组 x 3 3 x3-7 7 x4 x2 9 2 x3-7 7 x4 r - 7 r , 令 x3 k, x4 k2, 得, x3 x3 B 原方程组的解为 x x2 x3 x4 k x4 x k2 6 畅求解下列非齐次线性方程组 : () (3) 4 x + 2 x2 - x3 2 3 x - x2 + 2 x3 x + 3 x2 8 2 x + y - z + w ; (2) 4 x + 2 y - 2 z + w 2 ; (4) 2 x + y - z - w 解 () 对方程的增广矩阵施行初等行变换 B r 2-3 r r 3 - r ( k, k2 为任意常数 ) 2 x + 3 y + z 4 x - 2 y + 4 z x + 8 y - 2 z 3 4 x - y + 9 z x + y - z + w ; 3 x - 2 y + z - 3 w 4 x + 4 y - 3 z + 5 w - 2 r - r r 3-3 r 由最后一个矩阵可知, 该方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩, 故方程组无解 (2) 对方程的增广矩阵施行初等行变换 r 吃 r r 2-2 r r 3-3 r r 4-4 r

65 58 线性代数学习辅导 r 3-2 r 2 r 4 - r 2 r 4 7 原方程组的同解方程组为 所求方程组的解为 x x2 x3 k x - 2 z - y z + 2 z z - 2 (3) 对方程的增广矩阵施行初等行变换 B r 3-2 r 2 r 2 ( - ) r 2-2 r r 3 - r 2 - r + 2 r , 令 z k, 得 r 2 ( k 为任意常数 ) x y z w x - 2 x2 + 2 x3 + 2 y y z z w k k2 2 (4) 对方程的增广矩阵施行初等行变换 B r 2-3 r r 3-2 r , 令 y k, z k2, 2 ( k,k2 为任意常数 ) r 吃 r r 2-4 r r 2 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

66 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 59 r - 4 r x 7 z + 7 w 原方程组的同解方程组为 y 5 7 z w z z w w 令 z k,w k 2 得所求方程组的解 x y z w k k 畅 λ 取何值时, 非齐次线性方程组 λx + x2 + x3 x + λx2 + x3 λ x + x2 + λx3 λ 2 () 有唯一解 ;(2) 无解 ;(3) 有无穷多个解? 解 () λ λ λ (2) R(A) < R(B) B λ λ λ λ λ 2, 即 λ,- 2 时方程组有唯一解 由 ( - λ)(2 + λ),( - λ)( + λ) 2 得 λ - 2 时, 方程组无解 ( k,k2 为任意常数 ) λ λ 2 λ - - λ λ( - λ) ( - λ)(2 + λ) ( - λ)(λ + ) 2 (3) R( A) R( B) < 3, 由 ( - λ)(2 + λ) ( - λ)( + λ) 2, 得 λ 时, 方程组有无穷多个解 本题其他解法详见教材 6 页 8 畅利用矩阵的初等变换, 求方阵的逆矩阵 : () ; (2)

67 6 线性代数学习辅导 解 () AE 故逆矩阵为 (2) AE ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

68 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 畅设 A 是 n 阶可逆矩阵,A 的第 i 行与第 j 行交换后得到矩阵 B () 证明 B 是可逆矩阵 ; (2) 求 AB - 证明 () B E( i,j) A, 由于 A 可逆故 A, E( i,j) 也可逆, 且 E( i,j) - 故 B - A, B 可逆 解 (2) B E( i,j)a, 故 AB - A E( i,j) A - A A - E( i,j) - AA - E( i,j) - E( i,j) 畅设矩阵 A 和 B 满足关系 AB A + 2B, 其中 A, 求矩阵 B 解 AB A + 2B, AB - 2 B A, ( A - 2 E) B A, A - 2 E -, - 2 A - 2 E - 所以 A - 2 E 可逆, 故 B ( A - 2 E) - A ( A - 2 E A)

69 62 线性代数学习辅导 故 畅已知矩阵 A AB x 解 显然矩阵 A 有二阶子式 所以 R( A) 2, R( B), 而 AB 故 ,B 是三阶非零矩阵, 且 AB O, 求矩阵 B 的秩 , 又 B 是三阶非零矩阵 R( A) + R( B) 3 R( B) 解 2 因为 B 是 3 阶非零矩阵, 且 AB, 所以 Ax 有非 解, 从而 A, 又对 A 有 2 阶非 子式 故 R( A) 2, 于是 Ax 基础解系含向量个数为, 即 R( B) 习题二 (C) 拓展探究 畅已知齐次线性方程组 ( a + b) x + a2 x2 + a3 x3 + + an x n a x + ( a2 + b) x2 + a3 x3 + + an x n a x + a2 x2 + ( a3 + b) x3 + + an x n a x + a2 x2 + a3 x3 + + ( an + b) xn n 其中 ai, 试讨论 a,a2,,an 和 b 满足何种关系时 i () 方程组仅有零解 ; (2) 方程组有非零解, 在有非零解时, 求出其全部解 解 () 方程的系数矩阵为 a + b a2 a3 an a a2 + b a3 an 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo a a2 a3 + b an a a2 a3 an + b,

70 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 63 如方程只有零解, 则 A, a + b a2 a3 an A a a2 + b a3 an a a2 a3 + b an a a2 a3 an + b n ai + b a2 a3 an i n ai + b a2 + b a3 an i n ai + b a2 a3 + b an i n ai + b a2 a3 an + b i a2 a3 an n ai i + b a2 + b a3 an a2 a3 + b an a2 a3 an + b a2 a3 an n ai i + b n ai + b b n- i b a3 an b an b n 当 b 且 ai + b 时, 方程组只有零解 i (2) 当 b 时, 不妨设 a, 方程组的解为 - a2 a - a3 a - an a x k + k2 + + kn-,

71 64 线性代数学习辅导 当 b, 且 b - n ai 时 i a + b a2 a3 an a a2 + b a3 an a a2 a3 + b an a a2 a3 an + b a + b a2 a3 an 方程组的解为 2 畅设有线性方程组 r + a 2 r a nr n x k x + x2 + ( + λ) x3 λ a + b a2 a3 an - b b - b b - b b x + x2 + ( - 2λ - λ 2 ) x3 3 - λ - λ 2 λx2 - λx3 3 - λ 问 λ 取何值时, 方程组有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解 解 B + λ λ - 2λ - λ λ - λ 2 λ - λ 3 - λ r 2 吃 r 3 + λ λ λ - λ 3 - λ - 3λ - λ 2 3-2λ - λ 2, r 2 - r + λ λ - 3λ - λ 2 3-2λ - λ 2 λ - λ 3 - λ () 当 λ( - 3λ - λ 2 ) λ 2 ( λ), 即 λ, λ - 3 时方程有唯一解 (2) 当 - 3λ - λ 2, 即 λ 或 λ - 3, 且 3-2λ - λ 2, 即 λ 且 λ - 3 时, 即 λ 时方程组无解 (3) 若 - 3λ - λ 2 得 λ 或 λ - 3,3-2λ - λ 2 得 λ 或 λ - 3, 即 λ - 3 时, 方程有无穷多解 B r 2 - r r 3 3 r 2 吃 r 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo r - r

72 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 65 原方程组的同解方程组为 为所求 3 畅已知线性方程组 x x3 - x2 x3-2 x3 x3 x + x2 + x3 ax + bx2 + cx3 d a 2 x + b 2 x2 + c 2 x3 d 2, 令 x3 k, 得 唯一解, 无穷多解, 无解? 当方程组有解时, 求其所有解 解原方程组的增广矩阵为 B B r 2 - ar r 3 - a 2 r b - a c - a d - a x x2 x3 k 即 当 a,b,c,d 满足什么条件时, 方程组有 a b c d, 对其施行初等行变换得 a 2 b 2 c 2 d 2 b 2 - a 2 c 2 - a 2 d 2 - a 2 r 3 - ( b + a) r 2 b - a c - a d - a ( c - a)( c - b) ( d - a)( d - b) () 当系数行列式不为零时方程组有唯一解, 又该方程组的系数行列式为 A ( b - a)( c - a)( c - b) 所以当 a,b,c 互不相同时, 方程组有唯一解, 且 x ( d - a)( c - d) ( d - a)( d - b),x3 ( b - a)( c - b) ( c - a)( c - b) (2) 当 a b c d 时,R( A),R( 珚 A) 2, 方程组无解 (3) 当 a b c d 时,R( A) R( 珚 A), 原方程组的等价方程组为 ( b - d)( c - d) ( b - a)( c - a),x2 x + x2 + x3 即 x - x2 - x3 +, 令 x2 k,x3 k2 得方程组的无穷多解为 x x2 x3 k (4) 当 a b c 时,B - + k2 若 a d 且 c d, 方程组无解 若 a d, 则 B 得无穷多解 x x2 x3 k - + c - a d - a ( d - a)( d - c) c - a - + ( k,k2 为任意常数 ), 从而原方程组的等价方程组为 ( k 为任意常数 ), x + x2, 解之 x3

73 66 线性代数学习辅导 即 若 c d, 则 B x + x2 x3 类似地讨论可得, 解之得无穷多解 x x2 x3, 从而原方程组的等价方程组为 k - (5) 当 b c a 时, 若 d b 且 d a, 方程组无解 若 d b, 则方程组有无穷多解 :,, T + k,-, T ; 若 d a, 则方程组有无穷多解 :,, T + k,-, T (6) 当 c a b 时, 若 d b 且 d c, 方程组无解 若 d b, 则方程组有无穷多解 :,, T + k,,- T ; 若 d c, 则方程组有无穷多解 :,, T + k,,- T + x + x2 + x3 x3 ( k 为任意常数 ) 4 畅设 A 为 m n 矩阵,B 为 n s 矩阵, 证明若 AB O, 则 R( A) + R( B) n 证明因为 AB, 故 B 的各列均为方程组 Ax 的解向量, 而 Ax 的基础解系 所含向量个数为 n - R( A) 故 R( A) + R( B) n 子式 倡故 A 倡 5 畅设 4 阶方阵 A 的秩为 2, 求方阵 A 的伴随矩阵 A 秩 倡解因为 R( A) 2, 所以 A 中任意 3 阶子式均为, 而 A 中的元素为 A 中的代数余 倡, 进而 R( A ) 6 畅设矩阵 C A B, 证明 :R(C) R( A) + R(B) 证明设 R(A) r,r( B) s 则存在可逆矩阵 P,Q 及 P2,Q2 使 记矩阵 P 并且 PCQ P P2 P AQ P P2, Q Q Q2 P AQ Er Es, P2 AQ2, A B P2 BQ2 因为初等变换不改变矩阵的秩, 所以 则 P,Q 可逆, Q Q2 Er Es P A P2 B Q Q2, 也 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

74 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 67 R( C) R Er Es R 7 畅已知下列非齐次线性方程组 ( Ⅰ ) ( Ⅱ ) ( Ⅰ ) x + x2-2 x4-6 4 x - x2 - x3 - x4 3 x - x2 - x3 3 Er Es ; ( Ⅱ ) r + s R( A) + R( B) x + m x2 - x3 - x4-5 nx2 - x3-2 x4 - x3-2 x4 - t + () 求解方程组 ( Ⅰ ) ;(2) 当方程组 ( Ⅱ ) 中的参数 m,n,t 为何值时, 方程组 ( Ⅰ ) 与 ( Ⅱ ) 同解 解 () 对方程组 ( Ⅰ ) 的增广矩阵施行一系列初等行变换得 B r 2 - r r - r r 2-4 r r 3-3 r r 3-4 r 2 r 2 ( - ) 由最后一个矩阵可知, 方程组 ( Ⅰ ) 的同解方程组为 于是方程 ( Ⅰ ) 的解为 (2) x x2 x3 x4 k m n t x x4-2 x2 x4-4 x3 2 x4-5 ( 其中 k 为任意常数 ) m n t +

75 68 线性代数学习辅导 m n n t m m - 8 n n t m 4 m - 3 n n t 由最后一个矩阵可知, 当 t 6, n 4, m 2 时此二方程同解 8 畅选择题 () 设 n 阶方阵 A 与 B 等价, 则必有 ( ) A 畅当 A a( a ) 时, B a ; B 畅当 A a( a ) 时, B - a ; C 畅当 A 时, B ; D 畅当 A 时, B 解因为 n 阶方阵 A 与 B 等价, 所以必存在可逆矩阵 P,Q, 使 PAQ B, 从而有 PAQ P A Q B, 其中 P, Q 是不为零的常数, 所以正确选项为 D (2) 设 A 是 m n 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,R( A) r, 矩阵 B AC 的秩为 r, 则 ( ) A 畅 r > r ; B 畅 r < r ; C 畅 r r ; D 畅 r 与 r 的关系由 C 而定 解根据矩阵乘积的秩不大于各因子的秩便知 r r, 又由 C 可逆知,A BC - 于是 r r, 从而只有选项 C 正确 (3) 设 A,B 都是 n 阶非零矩阵, 且 AB O, 则 A 和 B 的秩 ( ) A 畅必有一个等于零 ; B 畅都小于 n ; C 畅一个小于 n, 一个等于 n ; D 畅都等于 n 解因为只有零矩阵的秩为零, 所以选项 A 与由题设矛盾 ; 若 A 和 B 的秩中有一个 为 n, 即 A 和 B 中有一个为可逆矩阵, 则由题设 AB O 便知另一个矩阵为, 与题设 A,B 都是 n 阶非零矩阵矛盾, 于是只有选项 B 正确 a b b (4) 设三阶矩阵 A b a b, 若 A 的伴随矩阵的秩等于, 则必有 ( ) b b a A 畅 a b 或 a + 2 b ; B 畅 a b 或 a + 2 b ; C 畅 a b 且 a + 2 b ; D 畅 a b 且 a + 2 b 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

76 第 2 章矩阵的初等变换与线性方程组 69 解由题设可知, 三阶矩阵 A 至少有一个二阶子式不为零, 而 A, a b b 又因为 b a b ( a + 2 b)( a - b) 2, 所以选项 C 正确 b b a (5) 设 A 是 m n 矩阵,Ax 是非齐次线性方程组 Ax b 所对应的齐次线性方程组, 则下列结论正确的是 ( ) A 畅若 Ax 仅有零解, 则 Ax b 有唯一解 ; B 畅若 Ax 有非零解, 则 Ax b 有无穷多个解 ; C 畅若 Ax b 有无穷多个解, 则 Ax 仅有零解 ; D 畅若 Ax b 有无穷多个解, 则 Ax 有非零解解对于选项 A 当 Ax 仅有零解时, 有 R( A) n, 但未必有 R(A,b) n, 故该选项不一定成立 ; 对于选项 B 当 Ax 有非零解, 未必有 R( A) R( A,b), 故该选项不一定成立 ; 对于选项 C 和 D, 当 Ax b 有无穷多个解时, 必有 R(A) R( A,b) < n, 所以此时 Ax 有非零解 ; 故只有选项 D 正确 (6) 设 A 是 n 阶实矩阵,A T 是 A 的转置矩阵, 则对于线性方程组 ( Ⅰ ) :Ax ;( Ⅱ ) : A T Ax, 必有 ( ) A 畅 ( Ⅱ ) 的解是 ( Ⅰ ) 的解,( Ⅰ ) 的解也是 ( Ⅱ ) 的解 ; B 畅 ( Ⅱ ) 的解是 ( Ⅰ ) 的解, 但 ( Ⅰ ) 的解不是 ( Ⅱ ) 的解 ; C 畅 ( Ⅰ ) 的解不是 ( Ⅱ ) 的解,( Ⅱ ) 的解也不是 ( Ⅰ ) 的解 ; D 畅 ( Ⅰ ) 的解是 ( Ⅱ ) 的解, 但 ( Ⅱ ) 的解不是 ( Ⅰ ) 的解解一方面在 Ax 两边左乘 A T, 得 A T Ax, 另一方面, 由 A T Ax 可知, x T A T Ax, 而 x T A T Ax ( Ax) T Ax, 所以由 ( Ax) T Ax, 可知 Ax, 故选项 A 正确