Microsoft Word - 数二答案

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壑堂汪
5 years ago
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1 数二测试答案一选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题分, 满分分, 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) C A C B A () 当时, 下面个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当时, (B) 项 : 显然当时, (C) 项 : 当时, ln( + ) ln( ) ln ln + sin sin( cos ) sin t dt ( cos ) () 项 : lim lim lim lim k k k k k k k cos 所以, k, 即 k 时 lim cos sin k t dt cos 存在, 所以 sin t dt 8 ( ) 设 δ >, 函数 f ( ) 在 ( δ, δ ) 有连续的三阶导数, f f, 且 f lim, 则下类选项中正确的是 (A) f () 是 f ( ) 的极大值 (B) f () 是 f ( ) 的极小值 (C)(, f ()) 是 y f 的拐点 () 不是 f 的极值点,(, ()) f 也不是 y f 的拐点答案 (C) f f 解析由 lim δ >, 当 < < δ 时, ( ) >, 即 f >,

2 <, δ < < f 在 ( δ, δ ) 单调上升, f, >, < < δ (, f ()) 是 y f 的拐点所以应该选 C. () 设 f ( ) 为不恒为零的奇函数, 且 f 存在, 则函数 g ( A ) 有可去间断点 ( B ) 有跳跃间断点 ( C ) 在处右极限不存在答案 (A) 在处左极限不存在解析因为 f ( ) 为奇函数, 所以 f. 又 f 存在, f f f, 因而 lim g lim 如定义 g f, 即 g g( ) 的可去间断点仅 (A) 入选 f f lim, 即 g 在处的极限存在, 但在处无定义 f, f,, 则 g( ) 在处连续, 即为 () 下列命题中正确的是 (A) 若函数 f 在 [, ] b 上可积, 则 f ( ) 必有原函数 b (B) 若函数 f ( ) 在 ( b, ) 上连续, 则 f ( d ) (C) 若函数 () 若函数 f 在 [, ] f 在 [, ] 必存在 Φ 在 [, ] b 上可积, 则 f d b 上必连续 b 上不连续, 则 f ( ) 在该区间上必无原函数答案 C, 解析选项(A) 错误, 反例 : f, < 选项 (B) 错误, 反例 : f 在 (,) 上连续, 但 cos + sin, 选项 () 错误, 反例 : f, 在 [, ] 可积, 但它无原函数 d 不存在在处不连续, 但其原函数可

3 cos, 取 F 所以, 正确选项为 (C) (5) 以下关于二元函数的连续性的说法正确的是 (A) f ( y, ) 沿任意直线 y k 在某点处连续, 则 f ( y, ) 在点 (, ) (B) f ( y, ) 在点 (, y ) 处连续, 则 f, y 在 y 点连续, (, ) f y 在 y 连续点连续 (C) f ( y, ) 在点 (, y ) 处偏导数 f (, y ) 及 f (, y ) 存在, 则 f (, ) (, ) y 处连续 () 以上说法都不对答案 B 解析由二元函数 f ( y, ) 在点 (, ) y y 极限存在及在该点连续的定义知 B 正确. y 在点 +, f ( ) 为上的正值连续函数, b, 为 (6) 设区域 {(, y) y,, y } f + b f( y) 常数, 则 I dσ f + f( y) (A) bπ (B) 答案 b π (C) ( ) + b π () + b π 解析 I f + b f( y) dσ f + f( y), 关于 y 对称 I f( y) + b f dσ 两式相加得 f( y) + f ( f + f( y)) + b( f( y) + f) I dσ ( + b) dσ ( + b) π f + f( y) + b I π (7) 设 A m n矩阵经过若干次初等行变换后得到 B, 现有个结论正确的是 : A 的行向量均可由 B 的行向量线性表示 A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示 B 的行向量均可由 A 的行向量线性表示 B 的列向量均可由 A 的列向量线性表示

4 (A) (B) (C) () 答案 () 解析由题设 A 经初等行变换得到 B 知, 有初等矩阵 P, P,, Ps 使得 Ps PPA B. 记 P P PP s 则 P pij 是可逆矩阵, 将 A, B 均按行向量分块有 m m p p p m β p p p m β PA i B p p p β m m m m m 这表明 p + p + + p β ( i,,, m), 故 B 的行向量均可由 A 的行向量线 i i im m i 性表出, 因 P p 是可逆矩阵, 所以两边同乘 P 得 ij m m β β P β m m 故故 A 的行向量均可由 B 的行向量线性表出所以答案选 () (8) 已知 A, 那么下列矩阵,, 5 中, 与 A 合同的矩阵有 ( A ) 个 ( B ) 个 ( C ) 个 ( ) 个答案 A 解析 A B A 与 B 有相同的正负惯性指数. 由 A ( + ) + 知 p, q. 而 + + ( ) +, ,

5 +, 均为 p, q. 所以他们都与矩阵 A 合同二填空题 ( 本小题共 6 小题, 每小题分, 满分分, 把答案填在题中横线上 ) n n n (9) lim n n + n + n + n π 答案 n n n n 解析 lim lim n n n n n n n i i + n π d rctn + () 椭圆 y, 处的曲率半径 ρ + 在点答案 6 解析由 8+ yy 知 y, y 故 y, y y y 处的曲率为所以, 处的曲率半径为 ρ K K y + y + d () 计算 + 答案 ln 解析 d ( ) ( ) (,) d + d + + +, 故在点 (, ) 5

6 + ln ln ln ln + () 设 f ( ) 连续, 且 f () tdt +, 则 f (8) + 7 答案 f (8) 解析对 f () tdt + 两边求导有 f ( ) f(+ ) + 7 令有 6 f(8) f(8) 7 f(8) () 微分方程 y y + y e 的通解为答案 y Ce + Ce + e 解析与所给方程对应的齐次方程为 y y + y 它的特征方程 r r+, 有两个实根 r,, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解 λ 为 Y Ce + Ce 由于为特征方程的二重根, 设 y A e, 代入方程求得 * A, 故所求的通解为 y Ce + Ce + e, C, C 为任意常数 () 设,,, 均为 n 维列向量, 若,, 线性无关, +, 构成矩 A (,,, ), 则齐次线性方程组 A 的通解为. 阵答案 k(,, ) 解析由题设知,,,, 线性无关,,,, 线性相关, 所以向量组,,, 的秩为. 注意到方程 A 中未知量个数为, 故方程的基础解系由个非零解向量组成. ( ), 故是方程的一个非零解, 所以也是 A 的一个基础解系, 从而 A 的一个通解为 k(,, ), 其中 k 是任意常数. 三解答题 ( 本题共 9 小题, 满分 9 分, 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5)( 本题满分分 ) 6

7 确定常数 > 与 b 的值, 使得 lim b. ln ( + ) cos cos ln( + ) 解析 lim lim ln ( ) cos + ( cos ) ln ( + ) ( 分 ) cos ln + cos ln + lim lim ( 分 ) lim + + lim ( + ) sin sin + sin sin sin lim lim lim + ( 分 ) (6 分 ) cos lim + (7 分 ) 时, 当则 lim 只有当 lim cos, cos 极限是不存在的 (8 分 ) 时, 极限 lim cos 存在, lim cos sin 8 lim (9 分 ) 6 8 b + 6 ( 分 ) (6)( 本题满分分 ) 设函数 f ( ) 连续, 且 lim f sin ( 为常数 ), 又 F f( y) dy, 求 F 并讨论 F 的连续性 ( 分 ) f sin 解析由 lim f(), 所以 7

8 F f() t dt 分 f f( t) dt 当时, F 分 F F() f() t dt f F () lim lim lim 当时, 7分 f sin+ sin lim ( + ) 易知是 F 的分段点, 先讨论 F 在的连续性由于 f f( tdt ) f f( tdt ) lim lim lim f sin+ sin lim ( + ) ( + ) F () 分所以 F 在连续当时, 因为 f ( ) 连续, 所以变上限积分 f () tdt 可微, 从而也是连续的, 于是 F 是连续的综上, F 在 (, + ) 内连续分 (7)( 本题满分分 ) 设函数 f ( ) 在闭区间 [,] 上连续, 在开区间 (,) 内大于零, 并满足 f f + ( 为常数 ), 又曲线 y f ( ) 与, y 所围成的图形 S 的面积值为, 求函数 y f, 并问为何值时, 图形 S 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. f f f 解析由 f f +, 有, 即, f 从而得 + C, 即 f + C. ( 分 ) C 又由题设知, 面积 S f d ( + C) d + 得 C, 从而 f + ( ). (6 分 ), (5 分 ) 8

9 旋转体体积 6. (8 分 ) V π y d π [ + ( ) ] d π( + + ) 由 V π ( + ), 解得惟一驻点 5 ; 又由 V >, 5 是极小值点也是最小值点.( 易验证, 此时 f + 9在 (,] 恒正. ( 分 ) (8)( 本题满分分 ) 计算 ln ( + ) e d 解析 ln ( + ) ln ( + ) + ln ( + ) e d e d e d ln ( e )( d) ln ( e ) d ( 分 ) ln ( ) ln ( ) + e d+ + e d e ln d ln ( e ) d (7 分 ) π + e ln + d (8 分 ) e ln e d d (9)( 本题满分分 ) ( 分 ) f f 设 f ( uv, ) 具有二阶连续偏导数, 且满足 + u v, 又 g g g(, y) f [ y, ( y )], 求 +. y 解析由复合函数 z f[ ϕ(, y), ψ (, y)] 的求导法则 : ( ) g f ( y) f y + u v f f y + u v ( 分 ) 从而 ( ) g f ( y) f y + y u y v f f y. u v ( 分 ) g f f f f f y y y u u v v u v v 9

10 f f f f y + y + + u u v v v (6 分 ) g f f f f f y y y y u u v v u v v f f f f y + y u u v v v (8 分 ) 所以 g g f f f f ( y ) ( y ) ( y )( ) + y.( 分 ) y u v u v ()( 本题满分分 ) 证明 :(I) 设函数 f ( ) 在点的某邻域任意的 U( ), 有 f f ( ), 那么 (II) 设函数 U 内有定义, 并且在 f ; f 在 [ b, ] 可导, f >, f ( b) <, 则 f 在 (, ) + 解析 (I) 对 +Δ U( ) 时, 有 f ( ) f ( ) 当 f Δ > ( ) +Δ f 时, 当 Δ f Δ < ( ) +Δ f 时, Δ ; 由于函数 f ( ) 在处可导, 再根据极限的保号性, 可得处可导, 如果对 b 内有零点 +Δ ( 分 ). ( 分 ) ( +Δ ) f f f f + Δ lim + Δ ( +Δ ) f f f f Δ lim Δ (5 分 ) 所以 f ( ). (6 分 ) (II) 由于 f ( +Δ ) f f lim > + Δ Δ +, 所以 f ( + Δ) f >, 即在点的右邻域内 f > f ; (7 分 ) 由于 f ( b) ( +Δ ) f b f b lim < Δ Δ, 所以 f ( b+ Δ) f ( b) >, 即在点的

11 左邻域内 f > f ( b) ; (8 分 ) 所以, f 在 [, ] 又因为函数 b 上的最大值不能在 f 在 [, ] b 上连续, 所以函数或 b 处取到, f 在 [, ] b 内一定能取到最大值和最小值, 所以一定存在 c (, b), 使得 f ( c) m f, 即 : [ b, ], f f ( c) [ b, ] 所以, 根据第一问的结论, 有 f ( c), 即 f 在 (, ) (9 分 ) b 内有零点 ( 分 ) ()( 本题满分分 ) f, y m, y,, y, y { } 设 { } 计算 (, ) { } 解析将区域 (, y), y 分成 { } f y y dσ { }, y y,, y y ( 分 ) (, ) (, ) (, ) σ σ σ f y y d f y y d + f y y d y y dσ + y dσ ( 分 ) yy dσ d y( y ) dy + d (6 分 ) 又可分为曲线 y 上方及下方两块, 于是 6 y d σ d ( y ) dy+ d ( y) dy (8 分 ) d d + + (9 分 ) (, ) + f y y dσ ( 分 ) 6 ()( 本题满分分 ) 设维向量组 ( + ) ( + ) ( + ),,,,,,,,,,,,,,, + 问为何值时,,, 线性相关? 当,,, 线性相关时, 求其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

12 解析记 A [,,, ], 则 ( + ) + + ( ) + + ( 分 ) 根据线性相关性的定义, 存在一组不等于零的数 k,k,k,k, 使得 k + k + k+ k 成立, 则,,, 线性相关. 于是当 A 时方程组有非零解, 此时满足线性相关的定义, 即 ( + ), 解得当或时,,,, 线性相关. ( 分 ) 当时, 为,,, 的一个极大线性无关组, 且,,. 当时, 对 A 作初等行变换. 9 8 A 7 6 [ ] 9 [ ] [ ] 9 [ ] + [ ] ( ) [ ] + [ ] ( ) [ ] + [ ] ( ) [ β, β, β, β] [] [ ] [] [] [] [ ] 从矩阵中可以看出由于 β, β, β 为 β, β, β, β 的一个极大线性无关组, 且 (6 分 ) β β β β, ( 分 ) 故,, 为,,, 的一个极大线性无关组, 且. ( 分 )

13 ()( 本题满分分 ) 已知实二次型 f (,, ) A 的矩阵 A ij 满足 + + 6, AB C 其中 B, C (Ⅰ) 用正交变换将二次型化为标准型, 并写出所用的正交变换和所得标准型 ; (Ⅱ) 求出该二次型解析 (Ⅰ) 记 [,, ], [,,] 则 [ ], C [ ] B A, A [ ] [ ] AB A A A, 由题设 AB C 知所以, 是 A 分别属于特征值 λ, λ 的特征向量设是第三个特征值, 利用题设有 : 分 λ + λ + λ + +, 所以 λ 6 分 6 λ 对应的特征向量为 [,, ] 设 6,, 即, 由 λ λ, λ λ, 知分解得 [,, ] t[,,], 取 [ ],, 将,, 单位化得个两两正交的单位向量组 η [,, ], η [,, ], η [,,] 7 分 6 记 U [ η, η, η ], 则 U 为正交矩阵, 且 U AU 6 (*) 作正交变换 Uy, 即得二次型的标准形为 : y + 6y 9 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 的 (*) 推得 :

14 6 A U U 6 6 6, 故所求的二次型为 : 6 6 f (,, ) A 6 分

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2009ÄêÈ«¹úË¶Ê¿ÑÐ¾¿ÉúÈëÑ§Í³Ò»¿¼ÊÔÊýÑ§¶þÊÔÌâ 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)