复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
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- 宸 伏
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1 第六章特征值 Eigenvalue
2 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
3 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基 ξ1, ξ2... ξ n, 则有 记为 ϕ( ξ ) = a ξ + a ξ a ξ n1 ϕ( ξ ) = a ξ + a ξ a ξ n2 ϕ( ξ ) = a ξ + a ξ a ξ n 1n 1 2n 2 nn n 1 2 n = 1 2 n A, 这里 ϕ( ξ, ξ... ξ ) ( ξ, ξ... ξ ) A a11 a12 a 1 n a a a an1 an2 a nn n = 称为线性变换 ϕ 在给定基下的表示矩阵. n n
4 复习 : 线性变换与矩阵 _3 线性变换在不同基下的矩阵表示设 V 是数域 K 上的 n 维向量空间, ϕ 是 V 上的线性变换, 若 V 有两组基 : ξ1, ξ 2,, ξ n和 η1, η2,, η n, 已知从第一组基到第二组基的过渡矩阵是 P, 即 ( η η η ) = ( ξ ξ ξ ),,,,,,. 1 2 n 1 2 n P 假定在第一组基下的表示矩阵为 A, 在第二组基下的表示矩阵为 B, 则 1 B = P AP.
5 复习 : 线性变换与矩阵 _4 线性变换与表示矩阵的关系设 V 是 n 维线性空间, ξ1, ξ 2,, ξ n 是 V 的一组基, L(V) 是 V 的全体线性变换构成的代数, 则存在代数同构 满足 : L ( V ) K n θ n ϕ A ϕ( ξ, ξ,..., ξ ) = ( ξ, ξ,..., ξ ) 1 2 n 1 2 n A
6 复习 : 线性变换与矩阵 _5 交换图 n n n 1 n 1 设 A K, 则 A 导出线性变换 A:K K, x Ax, 则有下图所示的交换图, 即 η ϕ = A η 且 , η (Im ϕ) = Im A, η (Ker ϕ ) = Ker A. η ϕ V V 1 2 K K η n 1 A n 1
7 复习 : 线性变换与矩阵 _6 不变子空间 V 的不变子空间 U 称为线性变换 ϕ 的不变子空 间, 如果 ϕ (U ) U. 不变子空间与块上三角矩阵的关系 ϕ 1 2 设 U 是 V 上线性变换的不变子空间, 且设 U 的基为 ξ, ξ,, ξ r, 将 ξ1, ξ2,, ξ r, 扩充为 V 的一组基 : ξ1, ξ2,, ξr, ξr + 1,..., ξ n, 则 ϕ 在该基下的矩阵具有如下形状 : a a a a a a a a 0 0 a a 0 0 an, r + 1 a 11 1r 1, r n r1 rr r, r + 1 rn r + 1, r + 1 r + 1, n nn
8 复习 : 线性变换与矩阵 _7 不变子空间直和分解 ϕ 设是数域 K 上向量空间 V 的线性变换, V 1,V 2, V m 是的不变子空间, 且 V = V1 V2 V m, 若将 V i 的基拼凑成 V 的一组基 { ξ1, ξ2,, ξ n }, 则在 V 的这组基下 ϕ 的表示矩阵具有下列分块对角阵的形状 : A 11 A 22 A mm ϕ
9 6.1 目的与要求 掌握特征值与特征向量 特征子空间 特征多项式的概念 ; 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩阵并应用于讨论问题 ; 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法 ; 注意矩阵与线性变换的对应结论 ; 注意特征值的概念与数域有关.
10 特征值和特征向量 _1 定义 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换, 若存在 λ K,0 α V, 使得 ϕ( α ) = λα, 则称 λ 是线性变换 ϕ 的一个特征值, α 为 ϕ 的属于特征值 λ 的特征向量. α 注 1: 设是 ϕ 的属于特征值 λ 的特征向量, 则 α 不是 ϕ 的属于另一个特征值 µ 的特征向量. 注 2: 属于不同特征值的特征向量必线性无关.
11 特征值和特征向量 _2 定义 : 设 λ 是 ϕ 的一个特征值, 则 V = { V ( ) = } λ α ϕ α λα 是 V 的子空间, 且是称为 ϕ 子空间, 称为 ϕ 的属于特征值 λ 的特征子空间. 注 : 设 α 是 ϕ 的关于 λ 的特征向量, β 是 ϕ 的关于 μ 特征向量, λ μ, 则 α+β 不是 ϕ 的特征向量.
12 特征值和特征向量 _3 定义 : 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵, 若存在 λ K, X K n 1 1, 且 X 0, 使得 AX =λx. 则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值, X 为 A 的属于特征值 λ 的特征向量. 定义 : 设 λ 是 A 的一个特征值, 则 V λ = {X K{ n 1 AX = λx } 称为 A 的属于特征值 λ 的特征子空间.
13 特征值和特征向量 _4 注 : 设 ϕ L (V), ϕ 在 V 的一组基 ξ 下的矩 1, ξ 2,..., ξ n 阵是 A, α V, α 在 ξ1, ξ 2,..., ξ n 下的坐标向量是 X. 则有 λα = λ( ξ1, ξ 2,..., ξn ) X = ( ξ1, ξ 2,..., ξn ) λ X ϕ( α ) = ϕ(( ξ1, ξ2,..., ξ n ) X ) = ϕ( ξ1, ξ 2,..., ξ n ) X = ( ξ, ξ,..., ξ ) AX 所以 1 2 ϕ( α ) = λα AX = λ X. n
14 特征值与特征向量 _5( 定义 : 设 A=( =(a ij ) n n, λ I A = n _5( 特征多项式 ) λ a a a n a λ a a n a a λ a n1 n2 nn 称为 A 的特征多项式, 记为 f A (λ). 注 : 矩阵 A 在 K 上的特征值必是 A 的特征多项式在 K 上的根, 反之亦然.
15 特征值与特征向量 _6( _6( 特征多项式 ) 命题 : f A( λ) = f A ( λ ) 命题 : 相似矩阵具有相同的特征多项式. 反之未必 例 1 与不相似 注 1: 设 ϕ L (V), 在 V 的某组基下表示矩阵为 A, 定义 fϕ ( λ) = f A ( λ ). ( 合理 ) 注 2: 若 A 相似于三角阵 U, 则 U 的对角元即为 A 的特征值.
16 特征值与特征向量 _7( _7( 特征多项式 ) 注 3: 令 f A (λ)) = =λ n + a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+ a n. 设 f A (λ)) = ( (λ-λ 1 )(λ-λ 2 ) (λ-λ n ), 则 即 a 1 =-(λ 1 +λ λ n ) =- = (a 11 +a a nn =-tr tr(a) a n = (-1)( n A = (-1)( n λ 1 λ 2 λ n. λ 1 +λ λ n = tr(a) λ 1 λ 2 λ n = A.. nn )
17 特征值与特征向量 _8( _8( 特征多项式 ) 定理 : 设 A = ( a ), 的特征多项式 ij n n A n n 1 ( λ) λ λ 1λ... 1 λ 则 f = I A = + b + + b + b b A n n k k = ( 1) 1 i < i <... < i n 1 2 其中 1 k n, 1 1 < 2 <... < k n 中整数 i, i,..., i 1 2 k 求和. k i i i n a a... a i i i i i i a a... a i i i i i i a a... a i i i i i i k 1 k 2 k k 表示对所有可能的 1 至 k k
18 特征值与特征向量 _9 求特征值和特征向量的方法 : 1. 计算 A 的特征多项式 f A (λ)) = λi n -A ; 2. 求 f A (λ) 的所有根, 在 K 中是特征值 ; λ 0 ( λ I A) X = 0 3. 对每个特征值 0, 求齐次线性方程组 n 的基础解系, 即 λ 0 的特征子空间 V λ0 的基, X 1, X 2,, X s. 则 k 1 X 1 + k 2 X k s X s, 即是对应于特征值 λ 0 的全部特征向量, 其中 k i 为 K 上不全为零不全为零的数.
19 例 2: 求 例 3: 求 1 例 4: 在有理数域上求 a b d 例子 的特征值与特征向量, 其中 a d, b 0, a 1, d 的特征值与特征向量 的特征值.
20 特征值与特征向量 _10 定理 : 任一复方阵必复相似于一个上三角阵. 注 1: 若数域 K 上的 n 阶方阵的特征值全在 K 中, 则存在 K 上可逆阵 P, 使 P -1 AP 是上三角矩阵. 注 2: 一般 K 上矩阵未必相似于 K 上上三角阵. 注 3: 在同构意义下, 定理为 定理 : 设 ϕ 是 C 上 n 维空间 V 上的线性变换, 则存在 V 的一组基, 使 ϕ 在其下的矩阵是上三角阵, 这时主对角线上元素就是的所有特征值. ϕ
21 例子 n n 例 5: 设 A K, g( x) K[ x ], (1) 若 λ 是 A 的特征值, 则 g ( λ ) 是 g( A ) 的特征值. (2) 若 λ, λ,..., λ 是 A 的全部特征值, 则 g ( λ ), 1 2 n 1 g( λ ),..., g ( λ ) 2 n 是 g( A ) 的全部特征值. n n 例 6: 设 A K, A 0, A 的特征值为 λ1, λ2,..., λ n. (1) λ 0,1 i n ; i (2) λ , λ 2,..., λ 1 n 是 A 的全部特征值 ; * (3) A λ1, A λ2,..., A λ n 是 A 的全部特征值.
22 作业 作业 : p235 1(3), 3, 4, 5, 6, 10(1) p , 11 思考 : p235 7, 8 p249 1, 2, 10 选做 : p236 10(2) p249 4, 5
23 复习 A 的特征值即 A 的特征多项式的根 ; A 的所有特征值的和 A 的迹 ; A 的所有特征值的乘积等于 A 的行列式 ; 相似矩阵有相同的特征多项式 ; 相似矩阵有相同的特征值 ; 任意矩阵必相似一个上三角阵, 且该上三角阵的对角元即该矩阵的特征值
24 例子 例 7: 设 n 阶方阵 A 适合多项式 g( x ), 即 g( A ) = 0. 则 A 的特征值 λ 也适合 g( x ), 即 g ( λ ) = 0. 例 8: 设 A, B 为 n 阶方阵, 则 f AB( λ ) = f BA ( λ ). m n n m 例 9: 设 A K, B K, 且 m n. 求证 : (1) m λ I AB = λ n λ I BA ; (2) tr( AB) = tr( BA ); (3) 设 B1, B2,..., B m 是 m 个同阶矩阵 A1, A2,..., A m 的任何循环排列, 则 A1 A... 2 A 与 B m 1B... 2 B m 有相同多项式, 因而有相同特征值和迹.
25 例子 1 n 例 10: 设 α = ( a, a,..., a ) R, 且 αα = 1, 求 I n α α 的特征值. 例 11: 设实矩阵 I n -A 的特征值的模长都小于 1, 求证 : 0< A <2 <2 n. 例 12: 设 A 是 n 阶方阵, 秩等于 n-1, 试求 A * 的所有特征值. A A = A 2 1 例 13: 设, 则 n f ( λ) = f ( λ) f ( λ ). A A A 1 2
26 6.2 目的与要求 掌握矩阵 ( 线性变换 ) 可对角化的定义 ; 理解和计算特征值的代数重数和几何重数 ; 掌握可对角化的等价命题 ; 能判断一个矩阵是否可对角化, 在可对角化时将其对角化.
27 复习 : 直和等价命题 _2 个子空间 设 V 1, V 2 是线性空间 V 的子空间, 则下列命题等价 : 1) 和 V 1 + V 2 是直和 2) 记 V 0 = V 1 +V 2, 则 0 向量的分解唯一 3) 记 V 0 = V 1 +V 2, 则任一向量的分解唯一 4) V 1, V 2 的基可凑成 V 1 + V 2 的基 5) dim (V 1 + V 2 ) = dim(v 1 ) + dim(v 2 )
28 复习 : 直和等价命题 _ 多个子空间 设 V 1,V 2,,V s 是线性空间 V 的子空间, 则下列命题等价 : 1) 和 V 1 +V 2 + +V +V s 是直和 2) 记 V 0 = V 1 +V 2 + +V +V s, 则 α V 0, 存在唯一 α V, i = 1,2,..., s, 使得 α = α + α + + α i i 1 2 s 3) 对任意的 i, 都有 V i ( ( V 1 +V 2 + +V +V i 1 ) = 0 4) dim (V 1 +V 2 + +V +V s ) = dim(v 1 )+dim(v 2 )+ +dim(v s )
29 ϕ 对角化问题 _1 定义 : 设是数域 K 上 n 维空间 V 的线性变换, ϕ是可对角化可对角化的, 如果存在 V 的一组基, 使得 ϕ 在此基下的矩阵是对角阵. 定义 : 设 A 是数域 K 上 n 阶方阵, 称 A 是可对角化的, 如果存在可逆阵 P, 使得 P -1 AP 为对角阵.
30 对角化问题 _2 ϕ 注 1: 若在某组基下的表示矩阵是对角阵, 则对角元在不考虑排列顺序的条件下是唯一确定的, 他们恰是 ϕ 的所有特征值. 注 1 : 若 A 是 K 上可对角化矩阵, 即存在 K 上 n n 1 可逆阵 P K, 使得 P AP 为对角阵, 则该对角阵的对角元恰好为 A 的特征值.
31 对角化问题 _2 注 2: 若 ϕ 在某组基 ξ1, ξ2,..., ξ n 下的表示矩阵是对角阵, 则 ξ 恰是 ϕ i ( 属于第 i 个对角元 ) 的特征向量. 注 2 : 若 A 是 K 上可对角化矩阵, 即存在 K 上 n n 1 可逆阵 P K, 使得 P AP 为对角阵, 则 P 的列向量恰好为 A 的特征向量. 注 3: : ϕ ( 或 A) 在 C 可对角化, 未必在 K 上可对角化. 因 ϕ ( 或 A) 在 K 上可能没有 n 个特征值.
32 对角化问题 _3 命题 : 设 λ λ 1, 2,..., λ k 是数域 K 上 n 维线性空间 V 上线性变换 ϕ 的不同特征值, V 是 ϕ λ 属于特征值 λ 的特征 i i 子空间, 则 V + V + + V = V V V. λ λ λ λ λ λ 1 2 k 1 2 n n 命题 : 设 A λ1 λ2 λ k 值, V λ 是 A 的属于特征值 λ K,,,..., K 是 A 的互异特征的属于特征值的特征子空间, 则 i i V + V + + V = V V V. λ λ λ λ λ λ 1 2 k 1 2 k k
33 对角化问题 _4 ϕ 推论 : 线性变换属于不同特征值的特征向量必线性无关. 推论 : 矩阵 A 属于不同特征值的特征向量必线性无关. 推论 : 线性变换 ϕ 有 n 个不同特征值, 则必存在 V 的某组基, 使 ϕ 在其下的表示矩阵为对角阵 ( ϕ 必可对角化 ). 反之未必. 推论 : 矩阵 A 在 K 上有 n 个不同特征值, 则必存 1 在可逆矩阵 P, 使 P AP 为对角阵 (A 必可对角化 ). 反之未必.
34 对角化问题 _5 命题 : 设 ϕ 是 n 维线性空间 V 的线性变换, λ 是的特征值. 设 λ 是 ϕ 的特征多项式的 m 重根 (λ 的代数重数代数重数为 m), λ 的特征子空间 V λ 的维数为 t (λ 的几何重数 ), 则有 t m. 命题 : 设 A 是 n 阶方阵, 是 A 的特征值. 设 λ 是 A 的特征多项式的 m 重根 (λ 的代数重数代数重数为 m), λ 的特征子空间 V λ 的维数为 t (λ 的几何重数 ), 则有 t m.
35 对角化问题 _6 ϕ 定理 : 设是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换, 则下列命题等价 (1). 在 K 上可对角化 ; ϕ ϕ (2). 在 K 上有 n 个线性无关的特征向量 ; (3). V = V 这里是在 K λ V 1 λ V 2 λ. λ s 1, λ2,, λ s 上的全部互异特征值 ; (4). s dim V n. 这里是在 K 上的全 i = 1 λ = i λ1, λ2,, λ ϕ s 部互异特征值 ; (5). ϕ 的所有特征根在 K 上并且任意特征值的代数重数等于几何重数. ϕ
36 对角化问题 _7 判断 A 是否可对角化和求可逆阵 P 的方法 : 1. 求 f 的全部互异特征值及代数重数 A ( λ ) λ i, mi,1 i s ; 2. 求 V λ 的一组基 ξ i i1, ξi 2,..., ξ it,1 i s ; i 3. 若有某 t, 则 A 不可对角化 ; 若所有则 A i < m i ti = m i, 可对角化. 4. 令 P = ( ξi1,..., ξit,..., ξ 1,..., ), 则 i s ξ st s λ 1 I t 1 注 1: 因为特征向量 λ 1 2 I t 2 P AP =. 不唯一, 故 P 不唯一 注 2: 注意列向量与 λ si t s 特征值的对应关系.
37 例子 例 1: 判断 A 是否相似对角阵, 若是, 求出可 1 逆阵 P, 使 P AP 是对角阵. 例 2: 计算 (1) A = (2) A = A, 其中 1 0 A =. 1 2 例 3: 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,1,2, 对应特征向量依次为 (2,1,0),( 1,0,1),(0,1,1), 求矩阵 A.
38 例子 例 4: 求证 : (1) 若矩阵 A 适合 A 2 =I, 则 A 必可对角化 ; (2) 若矩阵 A 适合 A 2 =A, 则 A 必可对角化 ; (3) 若 A 是非零阵且 A 2 =0, 则 A 必不可对角化 ; (4) 若实矩阵 A 适合 A 2 +A+I=0, 则 A 在实数域上必不可对角化.
39 作业 作业 : p241 4, 5, 10(2)(3)(4), 11 p249 7, 8 思考 : p241 7, 8, 12 选做 : p251 17, 18 挑战 : p250 15
40 6.3 目的与要求 理解极小多项式的含义 ; 了解极小多项式的存在性 唯一性 ; 掌握极小多项式的性质 ; 熟练掌握 Cayley Hamilton 定理.
41 复习 dimv=m, 则 V 上任意 m+1 个向量必线性相关 ; A K n n, x 1, x 2,, x n 是 n 个线性无关列向量, 若 Ax i = 0, 1 i n, 则 A = 0. 设 f(x)g(x) 0, 则若 f(x) g(x) 且 g(x) f(x), 则必存在 c 0, 使得 f(x) = cg(x). v(x) = [ f(x), g(x)]( 最小公倍式 ) 是指 : v(x) 是首一多项式 ; f(x) v(x), 且 g(x) v(x); 若 f(x) h(x), 且 g(x) h(x), 则 v(x) h(x).
42 极小多项式 _1 定义 : 设 A K,0 f ( x) = a x + a x a K[ x ]. 若成立 n n s s 1 s s 1 0 s f ( A) = a A + a A a I = 0, s 则称 A 适合多项式 f (x), 或称 f (x) 是 A 的零化多项式. 1 1, s 1 s 例 1: 设 A = 则 f ( x) = x 2x + 1 是 A 的零 0 1 化多项式.
43 极小多项式 _2 命题 : 对数域 K 上的 n 阶方阵 A, 总存在 K 上多项式 f (x), 使得 f (A)) = 0. 注 : 矩阵的零化多项式不唯一. 如上面例 1 中, f(x)= )=x 3 x 2 x+1 也是 A 的零化多项式. 定义 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性 s s 1 变换. 设 f x = as x + as 1x + + a0 x s s 1 若成立 f ( ϕ ) = asϕ + as 1ϕ a0id V = 0, 则称 ϕ 适合多项式 f (x), 或称 f (x) 是 ϕ 的零化多项式. 0 ( )... K[ ]..
44 极小多项式 _3 注 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换, ξ1, ξ2,..., ξ n 是 V 的一组基, ϕ 在该基下的表示矩阵为 A, 即 ϕ( ξ, ξ,..., ξ ) = ( ξ, ξ,..., ξ ). 1 2 n 1 2 n A 设 f ( x) K[ x ], 则 f(x) 是 A 的零化多项式 f(x) 是 ϕ 的零化多项式. 命题 : 设 ϕ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换. 则存在 f ( x) K[ x ], 使得 f ( ϕ ) = 0.
45 极小多项式 _4 定义 : 若 n 阶方阵 A( 或 ϕ L (V)) 适合一个首项系数为 1 的多项式 m(x). 且 m (x) 是 A( 或 ϕ ) 所适合的多项式中次数最小者, 则称 m (x) 是 A ( 或 ϕ ) 的极小多项式. 记作 m A (x)) ( 或 mϕ ( x ) ). 命题 : n n (1) 设 A K,0 f ( x) K[ x ], 且 f (A)=0, 则 m(x) ) f(x).). (2) 任一 n 阶矩阵的极小多项式必唯一. (3) 相似的矩阵具有相同的极小多项式.
46 命题 : 设 极小多项式 _5 A 1 A =, A, A A m ( x) = [ m ( x), m ( x )]. A A A 1 2 是方阵, 则 引理 : 设 λ 0 是 A 的特征值, 则 ( x λ 0 ) ma ( x ). 推论 : 设 λ 是 A 的互异特征值, 是 1, λ2,..., λ s m A ( x ) A 的极小多项式, 则 ( x λ )( x λ )...( x λ ) m ( x ). 1 2 s A
47 极小多项式 _6 引理 : 若 A= = 2 2 n, 则 f A (A)=0. Cayley-Hamilton 定理 : 设 A 是数域 K 上 n 阶方阵, f A (x) 是 A 的特征多项式, 则 f A (A)) = 0. 推论 : m A (x)) f A (x). 推论 : 在不计重数的情况下, f A (x) 与 m A (x) 有相同的根. 推论 : 设 λ 1 a12 a 1 n 0 λ a 0 0 λ n ϕ L (V), f ϕ ( ϕ ) = 0. 则
48 例子 例 2: 设 A 是 n 阶可逆阵, 求证存在 n 1 次多项式 g(x), 使得 A 1 = g(a). 例 3: 举例说明特征值相同的矩阵未必相似, 极小多项式相同的矩阵未必相似. 例 4: 设 A, B 是 n 阶方阵, f A (x), m A (x) 分别是 A 的特征多项式和极小多项式, m B (x) 是 B 的极小多项式. 若 (m A (x), m B (x))=1, 求证 : (f A (x), m B (x))=1.
49 例子 例 5: 设 A, B 为 n 阶方阵, f A (x), m A (x) 分别为 A 的特征值和极小多项式, m B (x) 是 B 的极小多项式. 若 (m A (x), m B (x))=1, 求证 : f A (B) 是非异阵.
50 作业 : p246 2, 3, 7 作业 补充 1: 若 A 可对角化, 则 A 的极小多项式 其中为 A 的所有互异特征值. λ λ 1 2 补充 2: 设可逆矩阵 A 的极小多项式为 求 A 1 及 A * 的极小多项式. 选做 : p246 8 m λ λ λ,,..., t ( ) = ( ), t A i= 1 i λ λ λ m λ m 1 1 m ( ) = + a + + a. A m
51 6.4 目的与要求 了解关于矩阵特征值估计的第一圆盘定理和第二圆盘定理
52 特征值的估计 _1 第一圆盘定理设 A 是复矩阵, A = ( a ij ) n n. 则 A 的特征值在复平面上下列圆盘 ( 戈氏圆盘 ) 中 : z a ii a ij, 1 i n. 例 1 估计下列矩阵特征值的范围 : n j i
53 特征值的估计 _2 定义若一个戈氏圆盘与另一个戈氏圆盘相连, 则称这两个圆盘内的区域是连通连通的, 即所谓连通区域是指区域内任意两点可以用折线连接起来, 而这些折线都落在这个区域内. 第二圆盘定理设矩阵 A 的 n 个戈氏圆盘分成若干个连通区域, 若其中一个连通区域含有 k 个戈氏圆盘, 则有且只有 k 个特征值落在这个连通区域内 ( 若两个戈氏圆盘重合, 则需计重数 ; 又若特征值为重根, 则也计重数 ).
54 例子 估计下列矩阵特征值的范围 : 例 2 估计下列矩阵特征值的范围
55 作业 作业 : p249( 习题 ) 1, 2, 3 选做 : p249( 习题 ) 4 p250 13
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