1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

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十史
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1 线性空间与线性映射知识回顾

2 1 线性空间基维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

3 1 线性空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

4 定义称 V 是数域 F 上的线性空间, 若 V 是一个非空集合, 在 V 上定义一个加法和数乘, 满足 (1) 加法交换律 : α + β = β + α; () 加法结合律 : (α + β) ) + γ = α + ( (β + γ); (3) 存在加法零元 : 在 V 中存在元素 0, 使对任意 α V, 有 α + 0 = α; (4) 存在加法负元 : 对于 V 中每个元素 α, 存在 β V, 使得 α + β = 0; (5) 数乘与加法的协调 : c(α + β) ) = cα + cβ; (6) 数的加法与数乘的协调 : (c( + d)α = cα + dα; (7) 数的乘法与数乘的协调 : (cd( cd)α = c(dα); (8) 数 1 与数乘的协调 : 1 1α = α. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

5 定义 (1) 设 V 是 F 上线性空间, 若对 α1, α, β V, 存在 a, 使得则称 1, a,..., a F β = a1α 1 + aα a α, β 是 α1, α 的线性组合, 或称 β 可由 α1, α 线性表出. () 设 α1, α 和 β 是 V 中两个向量组. 若 1, β,..., β t α1, α 中每个向量均可由 β 线性表出, 1, β,..., β t 则称 α1, α 可由 β 线性表出. 1, β,..., β t (3) 如果向量组 α1, α 和 β 可相互线性表 1, β,..., β t 出, 则称向量组 α1, α 和 β 等价. 1, β,..., β t 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

6 (4) 设 V 是 F 上线性空间, α1, α 是 V 中个向量, 若存在不全为零的数 a1, a,..., a F, 使 a1α 1 + aα a α = 0, 则称 α1, α 线性相关. (5) 若 α1, α 不是线性相关, 则称为线性无关. 等价的说法是 : 向量组 α1, α 称为线性无关, 若存在 a1, a,..., a F, 使 a1α 1 + aα a α = 0, 则必有 a1 = a =... = a = 0. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

7 定理 1. 设在 V 中 β = a1α 1 + aα a α, 则表示法唯一 α1, α 线性无关.. 设 α1, α V, 则 α1, α 线性相关其中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 3. 若 α1, α 是 V 中线性相关的向量, 则任一包含这组向量的向量组必线性相关. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

8 4. 在 V 中, 若 α 线性无关, 线 1, α α1, α, β 性相关, 则 β 可由 α 线性表出且表示 1, α 法唯一. 5. 向量组的等价关系满足 : (1) 反身性 ; () 对称性 ; (3) 传递性. 6. 若向量组 α1, α 可由向量组 β1, β,..., β t 线性表出, 且 > t, 则 α1, α 必线性相关. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

9 基维数和坐标厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

10 定义 (1) 设 V 是数域 F 上非零线性空间, 如果 V 中存在个向量 ξ1, ξ,..., ξ, 满足 (i) ξ 线性无关 ; 1, ξ,..., ξ (ii) V 中任意向量可表示为 ξ 的线性组合 ; 1, ξ,..., ξ 则称 ξ1, ξ,..., ξ 是 V 的一个基. () 设 ξ 是 V 的一个基, 对于任意, 有 1, ξ,..., ξ α V α = a1ξ1 + aξ +... a ξ. 这里的 a 1, a,, a 是唯一确定的. 将 (a 1, a,, a ) T 称 α 为在 ξ 1, ξ,, ξ 下的坐标, 常记为 α = ξ ξ ξ a a a ( 1,,..., ). 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

11 设 ξ 和分别是 V 的两个基, 则有 1, ξ,..., ξ η1, η,..., η η1 = a11ξ1 + a1ξ a 1 ξ η = a1ξ1 + aξ a ξ... η = a1ξ1 + aξ a ξ 将上式形式上记为 ( η1, η,..., η ) = ( ξ1, ξ,..., ξ ) 则矩阵 A a a... a a a... a a a... a = 1 A 称为从基 ξ1, ξ,..., ξ 到 η1, η,..., η 的过渡矩阵. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

12 设则 ( η, η,..., η ) = ( ξ, ξ,..., ξ ) 1 1 A a1 b 1 a b α = ( ξ1, ξ,..., ξ ) = ( η1, η,..., η ), a b a1 b 1 a b = A. a b 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

13 定理设 ξ 是维线性空间 V 的一个基, 1, ξ,..., ξ η1, η,..., η 和 ζ 是另一个基, 且 1, ζ,..., ζ 则定理设 ξ 和是维线性空间 V 的, 且 1, ξ,..., ξ η1, η,..., η ( η, η,..., η ) = ( ξ, ξ,..., ξ ), 则 B = 1 A. ( η, η,..., η ) = ( ξ, ξ,..., ξ ), A ( ζ, ζ,..., ζ ) = ( η, η,..., η ), B ( ζ 1, ζ,..., ζ ) = ( ξ1, ξ,..., ξ ) AB A ( ξ, ξ,..., ξ ) = ( η, η,..., η ), B 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

14 3 子空间厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

15 定义设 V 是 F 上的线性空间, U 是 V 的非空子集, 如果对 V 的加法和数乘满足 (1) 对于任意的 α, β U, 有 α + β U ; () 对于任意的 c F, α U, 总有 cα U ; 则称 U 是 V 的一个子空间. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

16 定理设 V1, V,..., V m (1) 是 V 的子空间, 则 V1 V... Vm = { α α Vi, i = 1,,..., m } 是 V 的子空间, 称为 V 的交空间. 1, V,..., V m () V1 + V Vm = { α1 + α αm α i Vi, i = 1,,..., m } 是 V 的子空间, 称为 V 的和空间. 1, V,..., V m 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

17 命题设 S 是线性空间 V 的非空子集, { a α + a α a α m N, α S, a F, i = 1,,..., m } 1 1 m m 1 i i 是 V 的子空间, 称为由 S 生成的子空间, 记为 S. 特别地, 当 S = { α1, α m }, α, α = { a α + a α a α a F, i = 1,,..., m }. 1 m 1 1 m m i 设 S 是 V 的非空子集 S = 其中命题设 V,, i i I i IV, i 是 V 的包含 S 的所有子空间. V V 是 V 的子空间, 则 V V = V + V , 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

18 定理设 V 1, V 是有限维线性空间 V 的子空间, 则 dimv + dimv = dim( V + V ) + dim( V V ) 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

19 定理设 V 是线性空间 V 的有限维子空间, 则下列条 1, V 件是等价的 : (1) V + V = V V, 即中任意向量的分解式 1 1 V1 + V α α = α1 + α, α1 V1, α V 是唯一的 ; () 零元素分解式唯一, 即若 0 = α1 + α, α1 V1, α V, 则 α = 0, α = 0; 1 (3) V1 V = 0; (4) dim( V1 + V ) = dimv1 + dim V ; (5) V 1 的一个基与 V 的一个基凑成 V 1 +V 的一个基. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

20 定理设 V1, V,..., V m 是有限维线性空间 V 的子空间, 则下列命题等价 : (1) V1 + V + + Vm = V1 V V m, 即 V1 + V V 中任意向量 α 的分解式 m α = α1 + α + + αm, α i Vi, i = 1,,, m 是唯一的 ; () 零元素分解式唯一, 即 i Vi, i 1,,, m, 则 (3) (4) V i 的一个基个基 (5) V ( V + + V + V + + V ) = 0, i = 1,,, m ; i 1 i 1 i+ 1 m 0 = α + α + + α, 凑成 1 α = α i = 0, i = 1,,, m ; i = 1,,, m, V1 + V + + V m ξ,, ξ, ξ,, ξ,, ξ,, ξ ; m1 m 1 dim( V + V + + V ) = dimv + dimv + + dim V. 1 m 1 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP:// m m 的一 m

21 定理设 V 是有限维线性空间, V 1 是 V 的子空间, 则存在 V 的子空间 V, 使 V = V V 1. 定理设 V 是维线性空间, 则 V 可以分解为个一维子空间的直和. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

22 例设 α 为一复数. (1) 证明 {1, α,, α } 在有理数域上线性相关存在次数为的有理系数多项式 f(x), 使得 f ( α ) = 0; () 进一步, 由 {1, α,, α } 生成的有理数域上的线性空间的维数恰好是 α 所满足的有理系数不可约多项式的次数. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

23 4 线性空间的同构厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

24 定义设 V, U 是数域 F 上的两个线性空间, 若存在一一的线性映射 ϕ :V U, 则称 ϕ 是一个同构映射, 并称 V 和 U 是同构同构的线性空间, 记为 V U. 定理设 ϕ :V U 是同构映射, 则存在线性同构映射 ψ : U V, 使得 ψϕ = id, ϕψ = id. V U 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

25 线性空间的同构关系满足 : (1) 反身性 ; () 对称性 ; (3) 传递性. 定理设 V 是 F 上的维线性空间, 则 V F. 定理设 F 上两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

26 定理设 ϕ :V U 是线性同构, 则 ϕ 保持线性相关性, 即 (1) 在 V 中 α 可由 α1, α 线性表出的充分必要条件是 U 中 ϕ( α ) 可由 ϕ( α1), ϕ( α ),..., ϕ( α ) 线性表出 ; () 在 V 中 α1, α 线性相关的充分必要条件是 U 中 ϕ( α1), ϕ( α ),..., ϕ( α ) 线性相关 ; (3) α1, α 是 V 的一个基的充分必要条件是 ϕ( α ), ϕ( α ),..., ϕ( α ) 是 U 的一个基. 1 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

27 定理设 ϕ :V U 是线性同构, 则 (1) 设 W 是 V 的 r 维子空间, 则 ϕ( W ) = { ϕ( α ) α V } 也是 U 的 r 维子空间 ; () 若 V = V1 V, 则 U = ϕ( V1 ) ϕ ( V ). 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

28 作业 1. 设, λ F A F, V { }. 求证 : 是 F λ = X F AX = λ X V λ 的子空间并求其维数.. 设 V = V1 V V, 取非零向量 α i Vi, i = 1,,,. 证明 : α1, α,, α 线性无关. 3. 设是某个有理数域上不可约多项式 p(x) 的复根. 记维数等于 p(x) 的次数. 4. 设 α i iα i Q Z 0 C i = 0 V = { k k, }. F3[ x] = { a0 + a1 x + a x a0, a1, a F }. 1,1 + x, x + x 证明 :V 是的子空间, 且其 (1) 证明 1, x, x 和均是 F [ x ] 3 的基 ; () 分别求 1 + x + x 在 1, x, x 和 1,1 + x, x + x 下坐标. 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

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<4D F736F F D20B5DACAAED5C220CBABCFDFD0D4BAAFCAFDA3A8BDB2D2E5A3A92E646F63> 高等代数第十章双线性函数第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V

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