2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

Size: px

Start display at page:

Download "2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题"

富谦暨
5 years ago
Views:

1 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 (~8 小题每小题 4 分共分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ) () 函数 f ( ) = + 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p( ) y q( ) + = 的两个特解若常数 λ µ 使 λ y+ µ y 是该方程的解 λ y µ y 是该方程对应的齐次方程的解则 ( ) (A) (C) λ = µ = (B) λ = µ = (D) λ = µ = λ = µ = () 曲线 y = 与曲线 y= al a ( ) 相切则 a = ( ) (A) 4e (B) e (C) e (D) e ( ) m l (4) 设 m 是正整数则反常积分 d 的收敛性 ( ) (A) 仅与 m 的取值有关 (B) 仅与的取值有关 (C) 与 m 取值都有关 (D) 与 m 取值都无关 y z (5) 设函数 z= zy ( ) 由方程 F( ) = 确定其中 F 为可微函数且 F 则 z z + y = ( ) y (6) (A) (B) z (C) (D) z ( ) lim = i = j = ( + i)( + j ) (A) (C) d dy ( + )( + y ) (B) d dy (D) ( + )( + y) d dy ( + )( + y) d dy ( + )( + y ) (7) 设向量组 I: α α αr 可由向量组 II : β β βs 线性表示下列命题正确的是 ( ) (A) 若向量组 I 线性无关则 r s (B) 若向量组 I 线性相关则 r > s

2 (C) 若向量组 II 线性无关则 r s (D) 若向量组 II 线性相关则 r > s (8) 设 A 为 4 阶实对称矩阵且 A + A= O 若 A 的秩为则 A 相似于 ( ) (A) (C) (B) (D) 二填空题 (9~4 小题每小题 4 分共 4 分请将答案写在答题纸指定位置上 ) (9) 阶常系数线性齐次微分方程 y y + y y = 的通解为 y = () 曲线 y = 的渐近线方程为 + y = l 在 = 处的阶导数 y = () 函数 ( ) ( ) ( ) () 当 θ π 时对数螺线 r = e θ 的弧长为 () 已知一个长方形的长 l 以 cm/s 的速率增加宽 w 以 cm/s 的速率增加则当 l = cm w = 5cm 时它的对角线增加的速率为 (4) 设 AB 为阶矩阵且 A = B = A + B = 则 A+ B = 三解答题 (5~ 小题共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 ) (5) ( 本题满分分 ) t 求函数 f( ) = ( te ) d的单调区间与极值 (6)( 本题满分分 ) ( I ) 比较 ( + ) l l t t dt 与 t l t dt ( ) ( II ) 记 u = t ( + t) dt ( = ) (7)( 本题满分分 ) l l = t+ t 设函数 y = f( ) 由参数方程 ( t > ) y = ψ () t = 的大小说明理由 ; 求极限 lim u 所确定其中 ψ () t 具有阶导数且

3 5 d y ψ() = ψ () = 6 已知 d = 4( + t) 求函数 ψ () t (8)( 本题满分分 ) 一个高为 l 的柱体形贮油罐底面是长轴为 a 短轴为 b 的椭圆现将贮油罐平放当油罐中油面高度为 b 时 ( 如图 ) 计算油的质量 ( 长度单位为 m 质量单位为 kg 油的密度为常数 ρ kg/m ) (9) ( 本题满分分 ) u u u 设函数 u= f( y ) 具有二阶连续偏导数且满足等式 = 确 y y u 定 a b 的值使等式在变换 ξ = + ay η = + by 下化简为 = ξη ()( 本题满分分 ) 计算二重积分 π D= ( r θ) r sec θ θ 4 () ( 本题满分分 ) θ θ θ 其中 I = r si r cos drd 设函数 f( ) 在闭区间 [ ] 上连续在开区间 ( ) 内可导且 f () = 明 : 存在 ξ ( ) η ( ) 使得 f ( ξ) + f ( η)= ξ + η ()( 本题满分分 ) λ a 设 A= λ b= 已知线性方程组 A = b 存在两个不同的解 λ ( I ) 求 λ a ; ( II ) 求方程组 A b ()( 本题满分分 ) 设 = 的通解 4 A= a 正交矩阵 Q 使得 4 a D f () = 证 T Q AQ 为对角矩阵若 Q 的第列为 ( ) T 求 aq 6 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案

4 一选择题 () 答案 (B) 解析因为 f( ) = + 有间断点 = ± 又因为 ( ) lim f( ) = lim + = lim + ( + )( ) lim + = lim = + = 所以 = 为跳跃间断点其中 + B 显然 lim f( ) = + = 所以 = 为连续点 ( ) 而 lim f( ) = lim + = 所以 = 为无穷间断点故答案选择 ( + )( ) () 答案 (A) 解析因 λ y µ y + = 所以是 y + P( ) y = 的解故 ( λ y µ y ) P( )( λ y µ y ) ( ) λ y + P y µ y + py ( ) = 而由已知 y P( ) y q( ) y P( ) y q( ) + = + = 所以 ( λ µ ) q( ) = 又由于一阶次微分方程 y + p( ) y = q( ) 是非齐的由此可知 q( ) 所以 λ µ = λ y µ y 由于 + = 的解所以 + 是非齐次微分方程 y P( ) y q( ) = ( λ y µ y ) P( )( λ y µ y ) q( ) 整理得 λ y + P( ) y + µ y + P( ) y = q( ) 即 ( λ + µ ) q( ) = q( ) 由 ( ) 由求解得 λ = µ = 故应选 (A) () 答案 (C) q 可知 λ + µ = 解析因为曲线 y = 与曲线 y= al a ( ) 相切所以在切点处两个曲线的斜率相同

5 a a 所以 = 即 = ( > ) 又因为两个曲线在切点的坐标是相同的所以在 y = 上当 = a a a a a a 时 y = ; 在 y = al 上 = 时 y = al = l 所以 a = a l a 从而解得 a = e 故答案选择 (C) (4) 答案 (D) 解析 = 与 = 都是瑕点应分成用比较判别法的极限形式对于 ( ) ( ) ( ) l l l d d d m m m = + m l ( ) 显然当 < m < 则该反常积分收敛敛当 [l ( )] lim+ m m 故不论 m 是什么正整数 < δ < 不论 m 是什么正整数存在此时 m l m [l ( )] d 由于 lim = + ( ) m l ( ) m d 实际上不是反常积分故收 d 总收敛对于 m l ( ) d 取所以 m l ( ) m [l ( )] lim m δ = lim l ( ) ( ) = ( ) d 收敛故选 (D) δ (5) 答案 (B) y z F + F y z F + F z F yf zf 解析 + = = = = F z F F F

6 (6) 答案 (D) 解析 F F z y F = = = y F z F F z z yf + zf yf F z + = = = y F F F y z ( ) = i j ( )( ) = = = + i + j i= + i j= + j j= i= lim = lim = dy j j j = + j= + ( ) + y ( )( ) + j + i = = i i i = + i= + lim lim d + ( ) lim lim( )( ) + j + i = i j ( )( ) i j = = + + j= i= = (lim ) + j j = (lim ) i + i = = ( )( ) dy d dy + = d + y ( + )( + y ) (7) 答案 (A) 解析由于向量组 I 能由向量组 II 线性表示所以 r(i) r(ii) 即 r( α α ) r( β β ) s r 若向量组 I 线性无关则 r( α α r ) = r 所以 r = r( α αr) r( β βs) s 即 r s 选 (A) (8) 答案 (D) 解析 : 设 λ 为 A 的特征值由于 A + A= O 所以 λ + λ = 即 ( λ+ ) λ = 这样 A 的特征值只能为 - 或由于 A 为实对称矩阵故 A 可相似对角化即 A Λ s

7 r( A) = r( Λ ) = 因此 Λ= 即 A Λ= 二填空题 (9) 答案 y= Ce + C cos + C si 解析该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 λ λ + λ = 因式分解得 ( ) ( ) ( )( ) λ λ + λ = λ λ + = 解得特征根为 λ = λ = ± i 所以通解为 y= Ce + C cos + C si () 答案 y = 解析因为 lim + = 所以函数存在斜渐近线又因为 lim = lim = 所以斜渐近线方程为 y = + + () 答案 ( )! ( ) 解析由高阶导数公式可知 l ( + ) = ( ) ( )! ( + ) ( ) ( )! ( )! l = ( ) = ( ) ( ) 所以 ( ) ( ) ( ) ( )! 即 y () = = ( )! ( ) () 答案 ( e π ) 解析因为 θ π 所以对数螺线 r = e θ 的极坐标弧长公式为 () 答案 cm/s θ θ ( ) + ( ) π π θ e e dθ = ed θ = ( e π ) 解析设 l= t () w= yt () 由题意知在 t = t 时刻 t ( ) = yt ( ) = 5 且 ( t) = y ( t ) = 设该对角线长为 St () 则 St () = () t + y() t 所以

8 S () t = t () () t + yt () y () t () t + y () t t ( ) ( t) + yt ( ) y ( t) + 5 S ( t ) = = = 所以 ( t) + y ( t) + 5 (4) 答案解析由于 AA ( + BB ) = ( E+ ABB ) = B + A 所以因为 B = 所以三解答题 B A+ B = AA ( + BB ) = AA + BB B = = 因此 A+ B = A A + B B = = t t t (5) 解析因为 f ( ) = ( t) e dt = e dt te dt 所以 = = ± 4 4 t t 令 f ( ) f ( ) = e dt + e e = e dt = 则又 f ( ) = e dt + 4 e 4 t 则 t = < f () e dt 所以是极大值 t t f () = ( t) e dt = e = ( e ) 而 f ( ± ) = 4e > 所以 ( ) f ± = 为极小值又因为当时 f ( ) > ; < 时 f ( ) < ; < 时 f ( ) > ; < 时 f ( ) < 所以 f( ) 的单调递减区间为 ( ) () f( ) 的单调递增区间为 ( ) ( + ) (6) 解析 (I) 当 < < 时 < l( + ) < 故 [ l( )] + t < t 所以 [ ] l t l( + t) < l tt 则 l [ l( )] t + t dt < l t t dt ( ) = = + + (II) l t t dt l t t dt l td ( t ) = = ( + ) 故由

9 < u < l t t dt = ( + ) 根据夹逼定理得 lim u lim = 所以 lim u = + ( ) (7) 解析根据题意得 dy dy dt ψ = = d d t + dt ( t) ( t) ψ d t ψ t t t + ( )( + ) ψ ( ) ( t + ) d y = dt = = d d t + 4+ t dt ( ) 即 ( )( + ) ( ) = ( + ) 整理有 ( )( ) ( ) ( ) ψ t t ψ t 6 t ( t) ψ ψ ( t) = + t + 5 ψ ( ) = ψ ( ) = 6 ψ t t+ ψ t = t+ 解 ( t ) 令 y = ψ ( t) 即 y y = ( + t) dt dt + t + t 所以 y = e ( + t) e d + tc = ( + t)( t+ C) 所以 + t ψ = + C = 故 y = t( t+ ) 即 ( t) t( t ) 故 ψ ( t) = t ( t + ) dt = t + t + C 5 又由 ψ ( ) = 所以 C = 故 ψ ( t) = t + t ( t > ) (8) 解析油罐放平截面如图建立坐标系之后边界椭圆的方程为 : t > 因为 y ( ) ψ ( ) = = 6 阴影部分的面积 a y b + = a b b b S = dy = b y dy b b π b π 令 y = bsi t y = b时 t = ; y = 时 t = 6 π π 6 S = ab π cos tdt = ab 6 π ( cos t) dt ( π ) ab + = + 4 所以油的质量 m = ( π + ) ablρ 4

10 (9) 解析由复合函数链式法则得 u u ξ u η u u = + = + ξ y ξ η u u ξ u η u u = + = a+ b y ξ y η y ξ η u u u u u u u = + = ξ η ξ ξη η ξη ξ η η η u u u = + + ξ η ξη u u u u ξ u η u η u η = + = y y ξ η ξ y ξη y η y ξη y u u u = a + b + ( a+ b) ξ η ξη u u u u u u u = a b aa ( b ) ba ( a ) + = y y ξ η ξ ξη η ξη u u u 故 y y u u u = a + b + ab ξ η ξη u u u = (5a + a + 4) + (5b + b + 4) + [ ( a + b) + ab + 8] = ξ η ξη 5a + a+ 4 = 所以 5b + b+ 4 = ( a + b) + ab + 8 则 a = 或 b = 或又因为当 ( ab ) 为 ( )( ) 时方程 () 不满足所以当 ( ab ) 为 ( ) ( ) 满足题意 5 5 () 解析 I = r si r cos drd D D θ θ θ ( ) = r siθ r cos θ si θ rdrdθ

11 = + D y y ddy d y y dy ( ) = = + d = d ( ) d = = π π cos 4θdθ 6 () 解析令 F( ) = f ( ) 对于 ( ) F 在上利用拉格朗日中值定理得存在 ξ 使得对于 ( ) F F( ) F ( ξ ) = F 在上利用拉格朗日中值定理得存在 η 使得 F( ) F = F ( η ) f ξ + f η = ξ + η 两式相加得 ( ) ( ) 所以存在 ξ η f ξ + f η = ξ + η 使 ( ) ( ) () 解析因为方程组有两个不同的解所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数有以下两种方法方法 :( I ) 已知 A = b 有个不同的解故 r( A) = r( A) < 对增广矩阵进行初等行变换得 λ a λ A = λ λ λ λ a λ λ λ λ λ λ a λ λ a λ+

12 当 λ = 时当 λ = 时 A 此时 r( A) r( A) 故 A = b 无解 ( 舍去 ) a A 由于 r( A) = r( A) < 所以 a = 故 λ = a = a + 方法 : 已知 A = b 有个不同的解故 r( A) = r( A) < 因此 A = 即知 λ = 或 - λ A = λ = ( λ ) ( λ+ ) = λ 当 λ = 时 r( A) = r( A) = 此时 A = b 无解因此 λ = 由 r( A) = r( A) 得 a = ( II ) 对增广矩阵做初等行变换 A = = 可知原方程组等价为写成向量的形式即 = + = 因此 A = b 的通解为 = k + 其中 k 为任意常数 4 T () 解析由于 A= a 存在正交矩阵 Q 使得 Q AQ 为对角阵且 Q 的第一 4 a

13 列为 ( ) T 故 A 对应于 λ 的特征向量为 ( ) T ξ = 根据特征值和特征向量的定义有即 A = λ a = λ 由此可得 a = λ = 故 A = 4 a 4 λ 4 由 λe A = λ = ( λ+ 4)( λ )( λ 5) = 4 可得 A 的特征值为 λ = λ = 4 λ = ( λ E A ) = 即 7 = 4 4 由特征向量为 ξ = ( ) T 5 4 ( λ E A ) = 即 = 4 5 由 ξ = ( ) T λ 可解得对应于 λ = 4 的线性无关的可解得对应于 λ = 5 的特征向量为由于 A 为实对称矩阵 ξ ξ ξ 为对应于不同特征值的特征向量所以 ξ ξ ξ 相互正交只需单位化 : ξ ξ ξ η = = η = = η = = T T T ( ) ( ) ( ) ξ 6 ξ ξ 6 T = = 则 Q AQ =Λ= 6 6 取 Q ( η η η ) 4 5

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 (~8 小题每小题 4 分共分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ) () 函数 f 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p y q 的两个特解若常数使 y y 是该方程的解 y y是该方程对应的齐次方程的解