2016考研数学三线性代数题目及试题答案

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夕解逮
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1 6 考研数学三真题及答案解析来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示则 ( ) (A) 函数有个极值点曲线 f ( ) 在个拐点 (B) 函数有个极值点曲线 f ( ) 在个拐点 (C) 函数有个极值点曲线 f ( ) 在个拐点 (D) 函数有个极值点曲线 f ( ) 在个拐点解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b c d 当 a时 f ( ) a 为极大值点当 a时 f ( ) 当 b时 f ( ) a 不是极值点当 b时 f ( ) 当 c时 f ( ) c 为极小值点当 c时 f ( ) 4 当 d 和 d 时 f ( ) 故 d 不是极值点有个极值点排除 CD. 当 b时 f ( ) f ( ) 又 b 为拐点. 当 b e时 f ( ) f ( ) 当 b e时 f ( ) f ( ) e 为拐点. 当 e d时 f ( ) f ( ) 当 e d时 f ( ) f ( ) d 为拐点. 当 d时 f ( ) f ( ) 有个拐点排除 A 应选 B. () 已知函数 f ( ) e 则 (A) f f (B) f f (C) f f f (D) f f f

2 解析 : f ( ) e e ( ) e f ( ) e e f ( ) ( ) e ( ) e e e f f f ( ) 应选 (D). () 设 T dd ( i ) i 其中 D ( ) Di D ( ) D ( ) 则 ( ) (A) T T T (B) T T T (C) T T T (D) T T T 解析 : 如图所示 D D4 D5 D6 D D 5 D 6 D D 4 D 5 由于被积函数在 D 上为正所以 T T T T 又因为在 D 4 上显然大于 D 6 上对应处的值所以 T T 故 T T T 应选 (C). (4) 级数为 sin( n k) n n n ( k 为常数 )( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性 k 有关

3 解析 : n sin( n k) n n n 而 S n n n n 且 S. n n 所以收敛故 n n n n n sin( n k) 绝对收敛选 (A). n (5) 设 AB 是可逆矩阵且 A 与 B 相似则下列结论错误的是 (A) A T T 与 B 相似. (B) A 与 B 相似. T T (C) A+ A 与 B + B 相似. (D) A A 与 B B 相似. 解析 : A 与 B 相似存在可逆矩阵 P 使得 B P AP T T T T T T T 故 B P A ( P ) ( P ) A ( P ) A T T 与 B 相似 (A) 正确又 B P A P 故 B 与 A 相似 (B) 正确 B B P ( A A ) P 故所以应选 (C). A A 与 B B 相似 (D) 正确 (6) 设二次型 f ( ) a( ) 的正负惯性指数分别为则 (A) a. (B) a. (C) a (D) a 或 a a 解析 : 二次型矩阵 A a a a E A a a a a a a a a a a A 的特征值为 a a

4 a 二次型的正负惯性指数分别为则 a 所以 a 所以选 (C) (7) 设 AB 为两个随机事件且 P ( A) P( B) 如果 P ( A B) 则 ( ) (A) P( B A) (B) P( A B) (C) P( A B) (D) P( B A) 解析 : 因 P( A B) 则 P( B A). 又 P( B A) P( B A) 则 P( B A) 故选 A. p( AB) P( B) 则 P( B) P( AB) 则 P( BA). 从而 (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立且 X ~ N() Y ~ N (4) 则 D( XY ) =( ) (A)6 (B)8 (C)4 (D)5 解析 : 因 X ~ N() Y ~ (4) 则 EX DX EY DY 4 D XY E XY E XY E X Y E XY ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 因 X Y 相互独立则 E X Y E( X ) E( Y ) 而 E( X ) E X DX E( Y ) E Y DY 4 5 则 E( X Y ) 5 又 E( XY ) EXEY 则 D( XY ) 5-4 故选 C. f ( )sin (9) 已知函数 f ( ) 满足则 f ( ) =. e 解析 : f ( )sin ( )sin f e f ( )sin f ( ) f ( )sin 6 f ( ) 6 n () 极限 (sin sin nsin ). n n n n n

5 n 解析 : sin sin n sin n n n n n n sin sin sin n n n n n n n sin d sin cos () 设函数 f ( u v) 可微 z z( ) 由方程 ( ) z f ( z ) 确定则 dz ( ). 解析 : z 对方程两边求偏导 : z ( ) z f ( z ) f z ' ' z () z () dz d d () () 设 D ( ) 解析 : 区域 D 的图像 : 则 D ( ) z ( ' f z ) f D e dd. 由对称性知 I= e dd e dd e d d D D t = dt= e d t te t t t =- t de te e dt = e () 行列式 =. 4 解析 : (4) 设袋中有红白黑球各个从中有放回地取球每次取个直到三种颜色的球都取到时停止则取球次数恰好为 4 的概率为. 解析 : 由分析可知 : 前三次中只取到了两种颜色的球最后一次取的球的颜色不能在前

6 面出现.. 取黑球. 例如第四次取到红球则前三次为两次取白球一次取黑球 ; 或者一次取白球两次 C C A 故所求概率为 p. 4 9 (5)( 本题满分分 ) 求极限 4 cos sin cos sin 解析 : 4. cossin cos sin 4 cos sin cossin 4 e sin sin cos 4 e sin cos sin e cos cos sin cos e wssin cos e sw sw ws 4sin 6 e sw ws 4sin 6 e e swcos 4swz 8 e e (6)( 本题满分分 ) 设某商品的最大需求量为件该商品的需求函数 Q Q( p) 需求弹性为 p ( ) p p 为单价 ( 万元 ). (Ⅰ) 求需求函数的表达式 ; (Ⅱ) 求 p 万元时的边际收益并说明其经济意义. 解析 :(I) 题意知

7 P dq P 分离变量得 Q dp P dq dp Q dp P 两边积分得 Q C P 得 C Q D 所以需求函数为 QP P P R P PQ P P P P (II) 收益函数为边际收益函数为 R' p P 当 P= 时边际收益为 -8 万元经济意义为 : 当价格为万元时收益亏损 8 万元. (7)( 本题满分分 ) 设函数 f ( ) t dt( ) 求 f ( ) 并求 f ( ) 的最小值. 解析 : 当时 4 f ( ) ( t ) dt ( t ) dt 此时 ; f ( ) 4 当时此时 f ( ) ; f ( ) ( t ) dt 4 所以 f ( ). 当时令 f ( ) 4 解得. f ( ) (8 ) 从而而是极小值点当时 f ( ) 得舍去 ; 因此 f ( ) 的最小值为 4. f ( ) ; 4 (8)( 本题满分分 )

8 设函数 f ( ) 连续且满足解析 : 令 u t d f t t f u du f u d u 求 f ( t)d t ( t) f ( t)dt e f ( ). f u du fuat tf u at e 两边对求导得 dt+ f f t f f e 即 ' f f e 此为一阶线性非齐闪微分方程 d d 通解为 f e e e d c e e d c e e c f u f u C 又故 C f e e e e (9)( 本题满分分 ) n 求幂级数的收敛域及和函数 n ( n )(n ) ( n )(n ) 解析 : 因为所以收敛半径 R n ( n )(n ) 当幂级数均收敛此幂级数收敛域为 ; 设 s( ) n n n n n " n s"( ) n n n n s s ' s"( t)d t s ' s ' s ' dt ln t 因为

9 ' d s t t s s ( ) ln s t 当时 t dt t t d( t ) ln t t ln ln( ) n n n n n n n n n ln ln( ) 所以 s( ) ln. + 4 ln ()( 本题满分分 ) a 设矩阵 A a 且方程组 A 无解. a a a (Ⅰ) 求 a 的值 ; T T (Ⅱ) 求方程组 A A A 的通解. 解析 : A 无解 () A 即 a 或 a 当 a 时 a a a a ( ) a a a( a ) a a a a A r( A) r( A ) 当 a 时 A 无解当 a 时 A 6 a a a

10 r( A) r( A ) a a () 当 a 时 A T A A T A T T A A A T T A AX A 的通解为 ()( 本题满分分 ) 已知矩阵 A. (Ⅰ) 求 99 A ; k ( 其中 k 为任意常数 ) (Ⅱ) 设阶矩阵 B ( ) 满足 B BA. 记 B 示为的线性组合. 解析 : () E A ( ) 将 ( )( ) A 的特征值为分别表当时解 ( E A) 即 A

11 由 A 得 A 对应于的无关特征向量 d 当时解 ( E A) 由 E A 得 A 对应于的无关特征向量 d 当时解 ( E A) 由 ( E A) 得 A 对应于的无关特征向量 d 令 P d d d 则 P AP A P P 99 其 P

12 A () B BA B 则 BA ( ) ( ) 99 ( ) ( ) ( ) ( ) ()( 本题满分分 ) 设二维随机变量在区域上服从均匀分布令 (Ⅰ) 写出的概率密度 ; (Ⅱ) 问与是否相互独立? 并说明理由 ; (Ⅲ) 求的分布函数. 解析 () 区域 D 的面积 D S d D 故 X Y 的概率密度 f 其他 () P U X P X Y X d d = d 4 P U P X Y d d d 又 P X f dd d d d

13 8 8 8 P U X PU P X 故 X 与 U 不独立 ()Z 的分布函数 F z PZ z PU X z z F z.. z F z P X Y X z P z P U U z P U U X z P U X z P U U z P X Y X z P X Y X z z f dd d d z z z z z F z P X Y P X Y X z 4 z f dd d d z z z z z z F z 故 Z 的分布函数为 F ()( 本题满分分 ) z z z z z z z z z 设总体的概率密度为其中为未知参数为来自总体的简单随机样本令.

14 (Ⅰ) 求的概率密度 ; (Ⅱ) 确定 a 使得 E( at ). 解析 :() 因 T ma( X X X ) 则 T 的分布函数为 F ( t) P{ T t} P{ma( X X X ) t} T X X X X P{ X t X t X t}. P{ X t} P{ X t} P{ X t} F ( t) F ( t) F ( t) F ( t) 因 X 的分布函数 F( ) t t 9 T 的分布函数 FT ( t) t t t t 9 t t 9 8 t t q T 的概率密度 Ft ( t) 其他 () 因 E( at) 即 ae( T ) 可得 : a. E( T ) 则 a. 9 9 q 8 9 又 E( T ) tft ( t) dt t tdt q

一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育要求的. 一选择 :~8 小题, 每小题分, 共分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当时, 以上个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B