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爷贺
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1 Laplace 定理在行列式中, 任取 k 行, 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 93

2 7. Cramer 法则二元线性方程组若令 a x + a x = a x + a x = a a D a a = ( 方程组的系数行列式方程组的系数行列式 ) D 1 = 1 a a D 2 = a a 1 2 则上述二元线性方程组的解可表示为 x 1 = a a a a a a = D 1 D x 2 a a D = = a a a a D

3 一 Cramer 法则如果线性方程组 a11x1 + a12x2 + L + a1nxn = 1 a21x1 + a22x2 + L + a2nxn = 2 LLLLLLLLLLLL an1x1 + an2x2 + L + annxn = n (1) 的系数行列式不等于零, 即 D a a L a n a21 a22 L a2n = LLLLLLL 0 a a L a n1 n2 nn

4 那么线性方程组 (1) 有解并且解是唯一的, 解可以表示成 D1 D2 D2 Dn x1 =, x2 =, x3 =, L, xn =. (2) D D D D 其中 D 是把系数行列式 j 常数项代替后所得到的 D 中第 j 列的元素用方程组右端的 n 阶行列式, 即 D j = a L a a L a 11 1, j 1 1 1, j + 1 1n M M M M M a L a a L a n1 n, j 1 n n, j + 1 nn

5 定理中包含着三个结论 : 方程组有解 ;( 解的存在性 ) 解是唯一的 ;( 解的唯一性 ) 解可以由公式 (2) 给出. 这三个结论是有联系的. 应该注意, 该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组, 至于系数行列式等于零的情形, 将在第三章的一般情形中一并讨论. 正面在书的 33 页 : 必要 + 充分

6 关于 Cramer 法则的等价命题设 a11x1 + a12x2 + L + a1nxn = 1 a21x1 + a22x2 + L + a2nxn = 2 LLLLLLLLLLLL a n 1x 1 + a n 2x 2 + L + a nnx n = n (1) 定理 4 如果线性方程组 (1) 的系数行列式不等于零, 则该线性方程组一定有解, 而且解是唯一的. 定理 4 如果线性方程组无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.

7 例解线性方程组 2x1 + x2 5x3 + x4 = 8, x1 3x2 6x4 = 9, 2x x + 2x = 5, x1 + x2 x3 + x4 = 解 D = r 2r 1 2 r4 r

8 = c + 2c 1 2 c + 2c = 27 0 D = = 81 D 2 = = 108

9 D 3 = D 4 = = 27 = 27 x D = = = D 3, x 2 D2 108 = = = 4, D 27 x 3 D3 27 = = = 1, D 27 x 4 D4 27 = = = 1. D 27

10 思考题当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用 Cramer 法则解方程组? 为什么? 此时方程组的解为何? 答 : 当线性方程组的系数行列式为零时, 不能用 Cramer 法则解方程组, 因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.

11 三小结 1. 用 Cramer 法则解线性方程组的两个条件 (1) 方程个数等于未知量个数 ; (2) 系数行列式不等于零. 2. Cramer 法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导. 当未知量个数较多时, 计算行列式较为繁琐, 所以这个方法解线性方程组不是特别实用, 第三章继续讨论

12 线性代数第二章矩阵张祥朝复旦大学光科学与工程系

13 1 矩阵一矩阵概念的引入二矩阵的定义三特殊的矩阵四矩阵与线性变换

14 B 一矩阵概念的引入例某航空公司在 A B C D 四座城市之间开辟了若干航线, 四座城市之间的航班图如图所示, 箭头从始发地指向目的地. 城市间的航班图情况常用表格来表示 : 始发地 A B C D 目的地 A A B C D C D 其中表示有航班

15 A B C D A B C D 为了便于计算, 把表中的改成 1, 空白地方填上 0, 就得到一个数表 : 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.

16 例某工厂生产四种货物, 它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为 : a a a a a a a a a a a a 其中 a ij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量. 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表 : 其中 i 1 表示第 i 种货物的单价, i 2 表示第 i 种货物的单件重量.

17 二矩阵的定义由 m n 个数 aij ( i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n) m 行 n 列的数表 a a L a n a a L a n M M M a a L a m1 m2 mn 称为 m 行 n 列矩阵 (matrix), 简称 m n 矩阵. 记作 n 记作 A a a L a a a L a L L L L a a L a n = m1 m1 mn 排成的

18 A a a L a a a L a L L L L a a L a n n = m1 m1 mn 简记为 A = A = ( a ) = ( a ) m n ij m n ij 这 m n 个数称为矩阵 A 的元素, 简称为元 (element). 元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.

19 行列式 a a L a n a a L a n M M M a a L a n1 n2 nn = p p 1 2 L p t p1 p2l pn ( 1) 行数等于列数共有 n 2 个元素 n ( ) a a La 1 p 1 2 p 2 np n 矩阵 a a L a a a L a L L L L a a L a n n m1 m1 mn 行数不等于列数共有 m n 个元素本质上就是一个数表 det( a ij ) ( ij ) a m n

20 三特殊的矩阵 1. 行数与列数都等于 n 的矩阵, 称为 n 阶方阵. 可记作. A n 2. 只有一行的矩阵 A = a1 a2 L a n (,,, ) 称为行矩阵 ( 或行向量 ). 只有一列的矩阵 B a1 a2 = 称为列矩阵 ( 或列向量 ). M an 3. 元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵. 可记作 O. 例如 : O = 0 0 O 1 4 = ( )

21 L 0 方阵称为对角阵 (diagonal matrix). 0 2 L 0 记作 A = diag( L L L L 1, 2, L, n ) 0 0 L n 特别的, 方阵 matrix). E n 记作. 1 0 L L 0 L L L L 0 0 L 1 称为单位阵 (identity

22 同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 两个矩阵的行数相等列数相等时, 称为同型矩阵例如 5 6 与为同型矩阵. 2. 两个矩阵 A = ( a ij ) 与 B = ( ij ) 为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 a = ( i = 1,2, L, m; j = 1,2, L, n) ij ij 则称矩阵 A 与 B 相等, 记作 A = B.

23 例如 ( ) 注意 : 不同型的零矩阵是不相等的.

24 四矩阵与线性变换 n 个变量关系式 x1, x2, L, xn 与 m 个变量 y1, y2, L, ym y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn, y 2 = a 21x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n, LLLLLLLLL ym = am x + am x + L + amn xn 之间的表示一个从变量其中 a ij 为常数. x1, x2, L, xn 到变量 y1, y2, L, ym 线性变换,

25 y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn, y2 = a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn, LLLLLLLLL ym = am1x1 + am2 x2 + L + amn xn. A LL a a L a n a a L a n = L L L L a a L a m 1 m 1 m n 系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.

26 例线性变换 y1 = x1, y2 = x2, LLL 称为恒等变换. yn = x n y1 = x1, y = x, LLL yn = xn y1 = 1 x1 + 0 x2 + L + 0 xn, y = 0 x + 1 x + L + 0 x n, = LLL yn = 0 x1 + 0 x2 + L + 1 xn 对应 1 0 L L 0 L L L L 0 0 L 1 单位阵 E n

27 例例 2 阶方阵 1 0 对应阶方阵 cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ x y 1 1 对应 = = x, 0. 0 y 投影变换 P( x, y) P ( x, y ) x1 = cosϕ x sin ϕ y, y1 = sinϕ x + cos ϕ y. x y P ( x, y ) 以原点为中心逆时针旋转 ϕ 角的旋转变换 ϕ θ P( x, y) 0 x

28 2 矩阵的运算

29 例某工厂生产四种货物, 它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示 : a a a a a a a a a a a a 其中 a ij 表示上半年上半年工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量. c c c c c c c c c c c c 其中 c ij 表示工厂下半年下半年向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量. 试求 : 工厂在一年内向各商店发送货物的数量.

30 解 : 工厂在一年内向各商店发送货物的数量 a a a a a a a a a a a a c c c c c c c c c c c c aa + cc aa + cc aa + cc aa + cc = aa + cc aa + cc aa + cc aa + cc aa + cc aa + cc aa + cc aa + cc

31 一矩阵的加法定义 : 设有两个 m n 矩阵 A = (a ij ),B = ( ij ), 那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B, 规定为 a a L a1n + 1 n a a a2n + 2 n A B L + = L L L L am1 + m 1 am 2 + m 2 L amn + mn 说明 : 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.

32 知识点比较 a a a a a a a a + a a a a a a a = a a a a a a a a a a11 a 12 a13 a11 12 a13 a11 a a13 a21 a22 a23 + a21 22 a23 a21 a a23 a31 a32 a 33 a31 32 a 33 a3 1 a a 33 a11 a12 a13 a11 12 a13 2a11 a a13 a21 a22 a23 + a21 22 a23 = 2a21 a a23 a31 a32 a 33 a31 32 a 33 2a31 a a + 33

33 矩阵加法的运算规律交换律结合律其他 a,, c R 设 A B C 是同型矩阵 a + = + a A + B = B + A ( a + ) + c = a + ( + c ) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 设矩阵 A = (a ij ), 记 -A = (-a ij ), 称为矩阵 A 的负矩阵. 显然 A + ( A) = 0, A B = A + ( B)

34 例 ( 续 ) 该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表 : 其中 i 1 表示第 i 种货物的单价, i 2 表示第 i 种货物的单件重量. 设工厂向某家商店发送四种货物各件, 试求 : 工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量.

35 = 解 : 工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量其中其中其中其中 i 1 表示第表示第表示第表示第 i 种货物的种货物的种货物的种货物的单价单价单价单价, i 2 表示第表示第表示第表示第 i 种货物的种货物的种货物的种货物的单件重量单件重量单件重量单件重量.

36 二数与矩阵相乘定义 : 数与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A, 规定为 A a11 a12 L a1n a21 a22 a2n A L = = L L L L am1 am1 L amn

37 数乘矩阵的运算规律结合律分配律 a,, c R 设 A B 是同型矩阵,, µ 是数 ( a) c = a( c) ( µ ) A = ( µ A) ( a + ) c = ac + c ( + µ )A = A + µ A c ( a + ) = ca + c ( A + B) = A + B 备注矩阵相加与数乘矩阵合起来, 统称为矩阵的线性运算.

38 知识点比较 a a a a a a a a a = a a a a a a a a a = a a a a a a a a a a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a21 a22 a23 a31 a32 a 33 a31 a32 a 33

39 例 ( 续 ) 某工厂生产四种货物, 它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为 : a a a a a a a a a a a a 其中 a ij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量. 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表 : 其中 i 1 表示第 i 种货物的单价, i 2 表示第 i 种货物的单件重量. 试求 : 工厂向三家商店所发货物的总值及总重量.

40 解 : a11 a12 a13 a14 a a a a a a a a 其中 a ij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量其中 i 1 表示第 i 种货物的单价, i 2 表示第 i 种货物的单件重量. 以 c i1, c i2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量, 其中 i = 1, 2, 3. 于是 c 11 = a a a a 14 4 = a1kk 1 k = 1 41 c12 = a a a a1442 a1kk 2 4 = k= 1

41 一般地, c = a + a + a + a = = a ij i1 1 j i 2 2 j i 3 3 j i 4 4 j ik kj k = 1 可用矩阵表示为 a11 a12 a13 a14 c11 c a 21 a22 a23 a 24 = c21 c a31 a32 a33 a 34 c31 c ( i = 1, 2, 3; j = 1, 2)

42 一矩阵与矩阵相乘定义 : 设 A = ( a ), B = ( ), 那么规定矩阵 A 与矩 ij m s 阵 B 的乘积是一个 m n 矩阵 C = ( c ij ), 其中 ij s n c = a + a + L + a = = a ij i1 1 j i 2 2 j is sj ik kj k =1 并把此乘积记作 C = AB. s ( i = 1, 2, L m; j = 1,2, L, n)

43 , A B = = = = = = = = 例 : 设 AB = = = = 则

44 知识点比较 a a a a a11 a a21 a 有意义. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘. 没有意义 ( ) 3 1 = ( 10) 2 ( 1 2 3) =

45 例 = = 结论 : 1. 矩阵乘法不一定满足交换律. 2. 矩阵 A O, B O, 却有 AB = O, 从而不能由 AB = O 得出 A = O 或 B = O 的结论.

46 矩阵乘法的运算规律 (1) 乘法结合律 ( AB) C = A( BC) (2) 数乘和乘法的结合律 ( AB) = ( ) A B( 其中是数 ) (3) 乘法对加法的分配律 A( B + C) = AB + AC ( B + C) A = BA + CA (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数 1, 即纯量阵不同 Em Am n = Am nen = A 于对角阵推论 : 矩阵乘法不一定满足交换律, 但是纯量阵 Ε 与任何同阶方阵都是可交换的.

47 (5) 矩阵的幂若 A 是 n 阶方阵, 定义 k A = AAL A 显然 A A = A, ( A ) = A k l k l k l kl k 思考 : 下列等式在什么时候成立? ( AB) = A B k k k ( A + B) = A + 2 AB + B ( A + B)( A B) = A B 2 2 A B 可交换时成立

48 证明对于方阵 :C=A B, 有 C = A B 37

49 四矩阵的转置定义 : 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵, 叫做的转置矩阵, 记作 A T 例 A =, T A = 2 5 ; 2 8 B = ( 18 6 ), T B 18 =. 6

50 转置矩阵的运算性质 (1) ( T T A ) = A; (2) ( A + B) T = A T + B T ; T T (3) ( A) = A ; (4) ( AB) T = B T A T.

51 例 : 已知已知已知已知 ( ) , 4 2 3, T A B AB = = = = = = = = 求解法解法解法解法 , AB = = Q 0 17 ( ) T AB = = = =

52 解法 2 ( AB) T = B T A T = =

53 定义 : 设 A 为 n 阶方阵, 如果满足 A = ij ji (, 1, 2,, ) a = a i j = L n A T, 即那么 A 称为对称阵 (symmetric matrix). 如果满足 A = -A A T, 那么 A 称为反对称阵. A = A = 对称阵反对称阵

54 例 : 设列矩阵 X = ( x 1, x 2,, x n ) T 满足 X T X = 1,E 为 n 阶单位阵,H = E-2XX T, 试证明 H 是对称阵, 且 HH T = E. 证明 : T T T T H = ( E 2 XX ) = E T + ( 2 XX T ) T = E 2( XX ) = E 2( X T ) T X T T = E 2XX = H 从而 H 是对称阵. T T HH = H = ( E 2 XX ) 2 T 2 = E 4 XX + ( 2 XX ) 2 T T 2 T T T = E 4XX + 4XX XX = E 4XX + 4 X ( X X ) X 4 T T = E XX + 4XX = E T T T

55 五方阵的行列式定义 : 由 n 阶方阵的元素所构成的行列式, 叫做方阵 A 的行列式, 记作 A 或 deta. T n 运算性质 (1) A = A ; (2) A = A ; (3) AB = A B ; AB = BA.

56 证明 : 要使得 AB = A B 有意义,A B 必为同阶方阵, 假设 A = (a ij ) n n,b = ( ij ) n n. 我们以 n= 3 为例, 构造一个 6 阶行列式 D a11 a12 a a a a a a a = = A B

57 a a a a a a a a a c c c + c c c a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c c + c c c a a a a + a a + a a + a a a a a + a a + a a + a a a a a + a a + a a + a

58 a a a a + a a + a a + a a a a a + a a + a a + a a a a a + a a + a a + a c c c + c c c a a a a + a + a a + a + a a + a + a a a a a + a + a a + a + a a + a + a a31 a32 a33 a a a3331 a a a3332 a a a

59 a a a a + a + a a + a + a a + a + a a a a a + a + a a + a + a a + a + a a31 a32 a33 a a a3331 a a a3332 a a a ij = aik kj k = 1 令 c, 则 C = (c ij )= AB. a a a c c c a a a c c c a a a c c c = r r r 1 4 r r 2 5 r 3 6 ( 1) a a a c c c a a a c c c a a a c c c

60 E3 a11 a12 a13 c11 c12 c13 a a a c c c a a a c c c = C = C = AB 从而 AB = A B.

61 定义 : 行列式 A 的各个元素的代数余子式 A ij 所构成的如下矩阵 A A A L A n1 A A L A n2 = L L L L A A L A 1n 2n nn 称为矩阵 A 的伴随矩阵 (adjugate matrix). 元素的代数余子式 A ij 位于第 j 行第 i 列性质 AA = A A = A E. a ij

62 性质 AA = A A = A E. 证明 AA a11 a12 L a1n A11 A21 L An 1 a21 a22 L a2n A12 A22 L An 2 = L L L L L L L L am1 am1 L amn A1 n A2 n L Ann A 0 L 0 0 A L 0 = L L L O L 0 0 L A = A E

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中