x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y

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遂宣
7 years ago
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1 线性代数练习册复习题和自测题解答三求解下列各题 : 0 计算第一章复习题解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值, 使得方程组 x + x + 4x = 0 有非零解 x x + x = 0 解 : 方程组有非零解, 即系数行列式为零, a 4 = 0 解得 a = x x x x 4 计算 D = x x x x x x x x 4 解 : 此行列式不是范德蒙得行列式, 构造行列式如下 :

2 x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y A55, A45 = D D A ( x x x x ) = 45 = Π ( x j xi ) i j 四证明下列各题 : a + b ab L a + b L 0 0 a b, a b 证明: D = L L L L L = a b 0 0 L a + b ab ( + ) a,( a = b) 0 0 L a + b ( ) 证明 :) 当 a = b 时, 将 D 按第一列展开得 : 明 D = ad a D, 由数学归纳法证 ) 当 a b 时, 将 D 按第一列展开得 : D ( a b) D abd = +, 由数学归纳法证明若阶行列式中元素满足 aij = a ji, 则称该行列式为反行列式试证明 : 奇数阶反对称行列式的值为零证明 : 设 A 为反对称行列式, A = A ( ) = = = ( ) A A A A 若为奇数, 则 A = 0

3 λx + x + x = 0 五 λ, γ 为何值时, 其次方程组 x + γ x + x = 0 有非零解 x + γ x + x = 0 解 : 方程组有非零解, 即系数行列式为零, λ γ = 0 γ, ( ) γ λ = 0, 即 γ = 0 或 λ = 5x + 6x = x + 5x + 6x = 六求解线性方程组 x + 5x + 6x4 = x + 5x4 + 6x5 = x4 + 5x5 = 4 解 : 利用克拉默法则, 注意系数行列式即为第四大题第一小题的形式

4 第一章自测题 A 二计算题解 : 原式 = 00 5 = 00 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a 解 : 原式 = ( a ( a ) )( a ( a ) )( a ( a ) )( a ( a ) ) = ( a ( a ))( a ( a )) = ( 此行列式为范德蒙得行列式 ) 三已知 x x 4 = 0, 求 x 的值 x 5 解 : 化简左边的行列式得 :( x ) ( x ) 6 = 0, x x x = = 0, = 6 ( 提示 : 将所有行加到第一行 ) a b L b b a L b 四计算 M M M M b b L a 4

5 b L b a L b D a b M M M 解 : = + ( ) b L a ri r b L b 0 a b L 0 = a + ( ) b M M M 0 0 L a b ( ) ( ) = a + b a b λx + y + z = 0 五讨论当 λ 为何值时, 方程组 x + λ y + z = 0 有唯一零解? 有非零解? x + y + λz = 0 λ 解 : D = λ = ( λ + )( λ ) λ 当 λ 且 λ 时, D 0, 方程有唯一零解 ; 当 λ= 或 λ= 时, D= 0, 方程有非零解 5

6 第一章自测题 B 三计算题 : x x si x 求 lim x 0 si x cos x 0 x 解 : 分子 ( ) = x si x + 5x 6x x 分母 = cos x + si x x si x + 5x 6x x L ' hospital法则 lim = x 0 cos x + si x 原式 = ( ) α β γ 设 α β γ 是三次方程 x + px + q = 0 的根, 求行列式 D = γ α β 的值 β γ α 解 : 由题设, 三次方程可以写作 ( x α )( x β )( x γ ) 0 =, 其中 x 的系数为 -( α + β + γ ), 比较 x px q ( α β γ ) α β γ D = γ α β = 0 β γ α + + = 0, + + = 0 计算 D + = 0 L 0 0 C 0 L 0 L C C 0 x L M M M M M C C L C x x 的值 k k k 解 : Q C = C + C 6

7 0 0 L 0 C 0 L 0 0 C + C C L 0 x + 0 C + C C + C L 0 x D = M M M M M C + C C + C L C + C x L 0 0 C 0 L 0 x 0 0 ( ) ( ) ( ) = 0 C C L 0 x x = x D M M M M M 0 C C L C x x ( x ) D ( x ) = = x 四证明下列恒等式 : cosθ 0 L 0 0 ( ) cosθ L 0 0 si + θ D = = 0 cosθ L 0 0 siθ L cosθ 证明 : 利用数学归纳法, 注意 D = cosθ D D a + x a a L a a a a + x a L a a a a a + x L a a D+ = = axx L x M M M L M M a a a L a + x a a a a L a a 证明 : r r +, r r +, L r r +, x 0 0 L x 0 L x L 0 0 D + = = ax xlx M M M L M M L x 0 a a a L a a 7

8 + x y x y L x y D = x y + x y L x y = + xy i i= x y x y L + x y 解 : 利用加边法 y y L y y y L y 0 + x y x y L x y x 0 L 0 D = 0 x y + x y L x y = x 0 0 L 0 M M M L M M M M L M 0 x y x y L + x y x 0 0 L + x y + Lx y y y L y 0 0 L 0 = L 0 = + xi yi i = M M M L M L 8

9 第二章复习题二计算设 A 为阶方阵, 满足 AA = E, A < 0, 求 A + E 解 : ( ) ( ) A + E = A + AA = A E + A = A E + A = A E + A Q A < 0, A + E = 0 已知实矩阵 ( ) 解 : 由 () 可知, A * = A A = A = A A = 0或 A = 又 a 0 A = a ij 满足 :) a ij = A ij,) a 0, 计算 A A = a A + a A + a A = a + a + a 0 A = 设 A 为三阶方阵, * 解 : ( ), A 为 A 的伴随矩阵,A 的行列式 ( ) * A = 求 A A * 6 A A = A A A = A A = A = A = 设 ( E C B) A = C, B =, C =, 求 A 解 : ( ) C E C B A = C C ( ) C B A = E ( ) (( ) ) = A C B A = C B 9

10 记 B B B = 0 B B B C = 0 B, 再计算 * 设矩阵 A 的伴随矩阵, A = ABA = BA + E, 求 B ABA A = BA + E A = B + A 解 : 由 ( ) AB = B + A E A B = E B = A B + E ( ) ( ) B = E A 又 * A = 8 ( 利用分块阵求行列式的值 ) * 4 A A A = = = 8, A = , 代入 (*) 式中即得 A * A = A = ( 利用分块矩阵求逆的方法 ) B = 三证明设方阵 A 满足 A A E = 0, 证明 A 可逆, 并求 A 的逆矩阵证明 : 由 A A E 0 =, 得 ( ) A A E = A A E = E A 0, 即 A 可逆并且 A = ( A E ). 证明 : 若 A = A, 但 A 不是单位矩阵, 则 A 必为奇异矩阵证明 : 假设 A 为非奇异阵, 即 A 可逆. 那么 A A = A A = E, A = E 与题设矛盾 0

11 故 A 必为奇异阵. 设 A B 为阶方阵,E-AB 可逆, 证明 :E-BA 可逆证明 : Q ( E AB) A = A ABA = A( E BA) 又 Q ( E AB) 可逆 ( ) ( ) A = E AB A E AB 又 E = E BA + BA = E BA + B( E AB) A( E AB) ( E B ( E AB ) A )( E BA ) = + E AB 可逆并且 ( ) = + ( ) E BA E B E AB A 4 设 A 为阶非零矩阵, A * 为 A 的伴随矩阵, A 为 A 的转置矩阵, 当 A 证明 A 0 证明 : Q A * = A ( ) A = a A + a A + + a A = a + a + + a i = i i i i L i i i i L i,, L, Q A为非零矩阵, 必存在 a 0 ( i, j =,, L, ) A 0. ij = A 时, * 5 设 A 为阶方阵, E A 0 Q E + A 0 E + A 存在证明 : ( ) +, 试证 ( E A)( E + A) * * = ( E A) ( E A) 左边 = ( E + A) ( E + A)( E A)( E + A) * ( E A) ( E A)( E A)( E A) * = ( ) ( ) = E + A E A E + A E ( ) ( ) = E + A E + A E A

12 = E + A E A E A E + A * ( E A) ( E A) * ( ) ( ) = = 右边

13 第二章自测题 A 二计算 λ 0 设 A = 0 λ, 求 A 0 0 λ 解 : 由 A K λ λ λ λ λ = λ λ, A = λ λ 猜想 A λ λ 再用数学归纳法证明 ( ) k k k k k λ kλ λ = λ kλ k λ k k k 解矩阵方程 0 0 X 0 0 = 解 : 记题设条件为 AXB = C, 则 X = A CB 设 A=diag(,-,), * A BA BA 8E =, 求 B 解 : A * BA = BA 8E AA * BA = ABA 8 A A BA = ABA 8A Q A = BA = ABA 8A ( ) 4A = A + E BA ( ) B = 4 A + E 设 A 8 4 =, 求 A, A

14 A 解 : 记 A =, A =, A = 0 A 4 A = A A = 00 A = 00 = 0 A A 0 = 4 0 A 4 4 A 5 阶矩阵 A 及 S 阶矩阵 B 都可逆, 求 C 0 B A 0 E 0 E 0 A 0 E 0 A 0 解 : C B 0 E C B 0 E 0 B CA E E 0 0 A 0 E B CA B A 0 A 0 = C B B CA B 求矩阵的逆矩阵, A = 0 4 解 : 可以利用第 5 题的结论三证明设 A,B 为阶方阵, 且 A ( B E ) 证明 : 若 A = A = +,E 为阶单位阵, 证明 : A = A当且仅当 B ( B + E) = ( B + B + E) = B + B + E = B + E B = E 4 4 B = E 若 B = E = ( + ) + = ( + ) = ( + ) = 4 4 A B B E E B B E A = E 4

15 即证 * 设矩阵 A 可逆, 证明其伴随矩阵也可逆, 且 ( A ) = ( A ) 证明 : Q A可逆 A 0 * * A = A 0, 即 A 可逆 ( ) ( ) * * ( A ) ( A ) * * * * 并且 A A = A A = E = E = * 设矩阵,B 及 A+B 都可逆, 证明 A 证明 : Q ( ) B A + B A = A + B ( ) A + B = B A + B A ( ) ( ) A + B = A A + B B + B 也可逆, 并求其逆矩阵 4 A 为阶矩阵,E 为阶单位阵, 满足 aa + ba+ ce = 0, 证明 :A 为可逆矩阵, 并求 A 证明 : Q aa + ba + ce = 0 ( ) A aa + be = ce A aa + be = c 0 A 0, 即 A可逆 A = aa + be c ( ) 5

16 第二章自测题 B 0 0 一设 A = 0, 求所有阶方阵 B, 使 AB 与 BA 的逆矩阵相同 0 a a a 解 : B = b b b c c c 由题设,B 满足 ) 可逆,)AB=BA a = a = 0, a b c a 0 0 B b a = 0 c b a 又因为 B 可逆, a 0 = =, a = b = 0, b = c a 为非零常数, b c 为任意常数 0 0 二设 A 0 =, 试证 : 当时, 恒有 A = A + A E, 并利用这个关系 0 0 证明 : 用数学归纳法证明 ( ) A = A + A E = A + A E + A E = A + A E = L = 50A 49 E 00 A 三证明 : 用数学归纳法证明 0 0 四求所有与 A = 0 0 可交换的矩阵 a a a 解 : 设 B = b b b c c c, 满足 AB = BA 比较对应位置上的元素即得结论五设 A 为反对称矩阵,B 为对称矩阵, 试证 6

17 A 是对称矩阵 AB-BA 是对称矩阵 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA 证明 : A = A, B = B )( ) ( ) ( ) A = A = A = A )( ) ( ) AB BA = B A A B = BA A B = AB BA )( ) AB = B A = BA = AB AB = BA 六若矩阵 A 的元素均为整数, 求证 : A 中的元素均为整数的充要条件为 A = ± 证明 : 必要性. A A = A A = Q A, A 中的元素均为整数 A, A 均为整数 A = ± 充分性. A * Q A = A, 若 A 中的元素均为整数. A = ±, A = ± A * 七 A = 4,AB=A+B, 试求 B 证明 : AB A B = +, ( ) B = A E A. 八设 A 为二阶方阵,K 是大于的整数, 证明 : k A = = 0 A 0 证明 :i) 当 A 0时, 显然结论成立. ii) 当 A = 0 时, 不妨设 7

18 a b A = 0 0 a b () 当 A = 0 0 时, A a ka b kb, 或 A = ( k 0, a b 0) k k a ab k a a b = L A = ( ) k A = a = A = k a b () A = 时, A ka kb A k a + kab ab + kb = L k ( a + kab ) k ( ab + kb ) k ( ) ( k a ) ( ) ( + kb a + kab a + kb ab + kb ) k ( ) ( k ) ( ) ( ) = k a kb a ka b k a kb a b kb k Q k 0, a b 0 A = 0 a = kb A = 0 A B ) 设 A B C D 都是阶方阵, 且 AC=CA, 试证 AD CB C D = 证明 :) 若 A 可逆 A B A B = = = C D 0 D CA B A D CA B AD ACA B = = AD CAA B AD CB ) 若 A 不可逆, 存在 λ > 0, 使得 λ E + A 可逆 ( λe + A) C = λc + AC = C ( λe + A) λe + A B = E + A D CB (*) C D 由 ) 的结论 ( λ ) (*) 式两边的均为 λ 的多项式, 而由 A 为阶方阵, 所以使得 λ E + A 可逆的 λ 的多项式有无穷多个,(*) 式有无穷多解. 故 λ = 0 亦满足 (*) 式, 因此 A B AD CB C D = 十设有分块矩阵 A A A = A A, 其中 A, A, A 皆为非奇异方阵, 求证 : A = A A A A A 8

19 证明 : A A A A A A 0 A = = = A A A A A A A A A 左相当于进行行变换十一设 A 是 m 矩阵,B 是 m 矩阵, 试证明 : AB + Em = BA + E E 0 E B E B 证明 : = A Em A Em 0 AB + Em E 0 E 0 E + BA B 又 = A Em A Em 0 Em E + BA B E AB + Em = = Em E + BA 0 E AB + E = BA + E m m 9

20 第三章复习题 λx + x + x = λ 八设线性方程组 x + λx + x =, 讨论 λ 取何值时, 方程组有唯一解, 无解, 有 x + x + λx = 无穷组解, 并在有无穷多组解时求其通解 λ λ λ λ 解 : λ ~ 0 λ λ 0 ~ 0 λ λ 0 λ λ λ ( λ ) 0 0 λ λ + ( λ ) 所以 () 当 λ λ + 0, 即 λ, λ 时方程组有唯一解 () 当 λ = 时, 方程组无解 () 当 λ = 时, 方程组无穷多解此时, 增广矩阵为 ( x x x ) C ( 0) C ( 0 ) ( 0 0) = + + 九证明 : 若 A = A, 且 A E, 则 A 必为降秩矩阵证明 : 若 A 不为降秩矩阵, 即 A 逆存在 A A = A A, 即 A = E 矛盾所以 A 必为降秩矩阵. 0

21 三设 A = 4 k 解 : ( ) R A =, 即 A 0. k 7 ( ) 第三章自测题 A, 当 k 取何值时, R( A ) =, 当 k 取何值时, R( A ) < R A <, 即 A = 0. k = 7. 四解矩阵方程 X 0 = 4 解 : 记 XA = B, 则 X = BA λ 五确定 λ 的值, 使矩阵 λ 5 的秩最小 0 6 λ λ 解 : A = λ 5 ~ 0 9 λ λ λ 5 在矩阵中已经存在一个二阶子式 0 0 R( A) 当 λ = 时, R( A ) = x + x + kx = 4 六 k 为何值时, 线性方程组 x + kx + x = k x x + x = 4 有无穷多解时求其通解有唯一解, 无解, 有无穷多个解? 在

22 k 4 4 解 : k k ~ 0 k 8 4 k k k 4k 当 k, k 4 时, 唯一解 ; 当 k = 时, 无解 ; 当 k = 4 时, 无穷解 ; 此时, 增广矩阵为 0 8 ~ ( x x x ) ( ) C ( ) =

23 第三章自测题 B x x + x + x4 = 四确定 a 的值, 使线性方程组有解, 并求其解, x + x x + 4x4 = x + 7x 4x + x4 = a 4 解 : 4 ~ a a 5 当 a = 5 时, 方程组有解. 4 4 = ( x x x x ) C ( ) C ( ) ( ) λ x + x x = 六设 x + ( 5 λ) x 4x =, 问 λ 为何值时, 此方程组有唯一解, 无解或有 x 4x + ( 5 λ) x = λ 无穷多解? 并在有无穷多解是求其解 λ 5 λ 4 解 : 5 λ 4 ~ 0 λ λ λ 4 5 λ λ 0 ( λ )( λ 6) ( λ ) λ 5 λ 4 ~ 0 λ λ λ 0 0 ( λ )( λ 0) ( λ )( λ 4) 所以当 λ, λ 0 时, 方程组有唯一解当 λ = 0 时, 方程组无解当 λ = 时, 方程组无穷多解 4 4 此时, 增广矩阵为 ~ ( x x x ) ( 0 0) C ( 0) C ( 0 ) = + + 八已知 A B C 分别是 m s,s t,s 矩阵,R(A)=s,R(c)=t, 且 ABC=0, 证明

24 B=0 证明 : Q ABC = 0, 所以 BC 的列向量均为 AX=0 的解. 而 R(A)=s, 为满秩, 所以 AX=0 只有零解. 因此 BC=0, 所以 C B = 0 R C = R C = t 为满秩而 ( ) ( ) C X = 0 也仅有零解 B = 0, 从而 B = 0. 4

25 第四章复习题三向量 β 是否为向量组 α, α, α 的线性组合, 若是, 写出一个表达式 β = (,,5 ), α = (,, ), α = ( 0,, 4 ), α = (,, 6) β = ( 0,8,,5 ), α = (,,, ), α = ( 0,,, ), α = (,,, ) β = (,, 0, ), α = ( 5, 0,, ), α = ( 4,, 0, ), α = (,,, 0) 将 ( α α α β ) 写成矩阵的形式, 进行行变换解 :( α α α β ) β = α + α α 解 :( α α α β ) β = α α + α 解 :( α α α β ) Q R ( α α α ) R( α α α β ),, = <,,, = 4 ( α α α ) = ~ = 8 ~ = 0 ~ ,, x = β 无解, 即 β 不能由 α, α, α 线性表示. 四设 β = α, β = α + α, βk = α + α +L αk, 且向量组 α, α L αk 线性无关, 证明向量组 β, β L βk 也线性无关证明 : 设 xβ + xβ + L + x k β k = 0, 则 ( ) ( ) x x x x x x x + + L + k α L + k α + L + α k k = 0 5

26 Qα, α, L, αk 线性无关 x + x + L + xk = 0 x + L + xk = 0 L xk = 0 方程组仅有唯一零解 x = 0 i =,, L, k i β, β, L, βk 线性无关. 六 α, α L α 向量都可由它们线性表示证明 : 充分性是一组维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 : 任意一个维 α, α, L, α = A, 则对任意的 b, Ax = b 有解记 ( ) 取 B = ε, ε, L, ε, 则 X, 使得 Ax = E A X = E =, A 0 即 α, α, L, αk 线性无关. 必要性 Qα, α, L, αk 线性无关, ( α α L α ) ( ) R,,, = R A = Ax = b 有解, 即任意的维向量可以由它们线性表示. 七设有矩阵 A m, B, m 且 <m, 若 AB=E, 试证明 B 的列向量线性无关证明 : Q R( AB) max { R( A), R( B) } 而 R( AB) = R( E) = R( B) 而 R( B) ( ) R B =, 即 B 的列向量线性无关八已知 α, α, α 及 β α, β α α, β α α = = + = +, 证明 R ( α, α, α ) = R( β, β, β ) 6

27 0 0 证明 :( β, β, β ) = ( α, α, α ) 0 ( α, α, α ) Q R C ( ), = C 可逆 ( α, α, α ) 与 (,, ) β β β 等价 ( α, α, α ) R( β, β, β ) R = C 九设 A 为阶方阵, 试证 : ( ) ( ), ( ) ( ) 证明 : A + E + ( A) = E R( A + E) + R( A) R( A) = R( A + E) + R( A) R A = R A R A + E + R A 十问 t 取何值时, 向量组 α ( t,, ), α (, t, ), α (,, t) 解 :( α α α ) t,, = A t 要使 (,, ) α α α 线性相关, 即 A = 0 t = 或 t = = = = 线性相关十四设有向量组 A : α = (,, ), α = (, 0, ), α = ( 9, 6, 7) 组线性表示, 求 a,b 的值解 : ( ) R α, α, α = ( β β β ) ( ) ( ) ( ) B : β = 0,,, β = a,,, β = b,,0 的秩相等, 且 β 可由 A 0 a b,, = ~ 0 a b 0 0 要使 ( ) R β, β, β =, 则有 a = b 又 Ax β = 有解 7

28 ( A β ) 由 ( ) b b = 0 6 ~ b b 0 6 b R A, β =, 得 b = 0, 即 b = 5, a = 十五已知 β = (,0,5 ) α = ( 0, 0, ), α = ( 0,, ), α = (,,), 求其在下列三维空间 R 的基下的坐标 α = (,, ), α = (,, ), α = (,7,) 解 : 记 ( α, α, L, α ) = A, 设坐标为 ( x, x, x ) 即求 Ax = b 的解. 8

29 第四章自测题 A 四设维单位坐标向量组 ( e e L e ) 可由向量组 ( α α L α ) ( α α L α ),,, 证明 : 由题设线性无关 K m 使得,,, ( α, α, L, α ) K = ( e, e, L, e ),,, 线性表示, 证明记为 AK = E, A E = E = A 0 α, α, L, α 线性无关. 六设 A B 都是阶矩阵, 且 AB=0, 证明 R ( A) + R ( B) 证明 : 设 R( A) = r Q AB = 0 B 的列向量均为 Ax = 0 的解当 R( A) = r < 时, 0 R( A) + R( B) = 当 R( A) = r < 时, 0 R( B) r ( ) ( ) ( ) R A + R B r + r = Ax = 仅有零解, B 0 =, R( B ) = 0 Ax = 的基础解系中含 r 个向量 x + x x + x4 = 0 x + x 6x + 4x4 = 七设线性方程组为, 讨论 a,b 的取值, 使线性方程组有解 x + x + ax + 7x4 = x x 6x x4 = b 或无解, 并在有解时求出其对应齐次方程组的基础解系及一个非齐次解 9

30 解 :( A b) 0 0 b 4 0, = ~ a a b b b + () 当 b 时, R( A) R( A b) =,, = 4, 无解 ; () 当 b =, a 8 时, 方程组有解 ; 此时, 增广矩阵为 ( A b) , ~ ( x x x x ) ( ) C ( ) 4 = () 当 b =, a = 8时, 方程组有解此时, 增广矩阵为 ( A b) , ~ ~ ( x x x x ) ( 0 0) C ( 4 0 ) C ( 0 ) = 八验证 α (,, 0 ), α (,, ), α (,, ) 这组基下的坐标证明 : ( ) = = = 为 R α, α, α = 所以其为 R 的一个基. 解 ( α α α ),, x = α, 即 x 5 x 0 = 0 x 7 得到 ( x, x, x ) = 0 = ( ) R 的一个基, 并求 α = ( ) 5,0,7 在 0

31 第四章自测题 B 三已知向量组 α, α, L, α s 线性无关, 设 β = α + α, β = α + α, L, βs = αs + α, 试讨论向量组 β, β, L, βs 的线性相关性解 : 设 xβ + xβ + L + x s β s = 0, 则 ( x x ) ( x x ) L ( x x ) s + α + + α + + s + s α s = 0 Qα, α, L, αs 线性无关 x + xs = 0 x + x = 0 L xs + xs = 0 因为系数行列式 0 0 L 0 0 L L 0 0 A = = + M M M O M M L L 当为偶数时, 0 ( ) + A =,( x x L x ),,, s 有非零解 β, β, L, βs 线性相关 ; 当为奇数时, 0 A,( x x L x ),,, s 仅有零解 β, β, L, βs 线性无关. 四假设个向量 α, α, L, α 线性相关, 但其中 - 个向量线性无关, 证明 : 若存在等式 kα + kα + L + k α = 0, 那么 k, k, L, k 或者全为零或者全不为零若果存在等式 kα + kα + L+ kα = 0; lα + lα + L + lα = 0, l 0, 那么 k k k = = L = l l l 证明 : 若存在不全为零的数 k, k, L, k 使等式成立

32 不妨设 ( ) k, k, L, k 0 i <, k, k, L, k = 0, 则 i i + i + k k k i i α + α + L + α = 0 即 α α,, L, αi 线性相关. 这与任意 - 个向量线性无关矛盾 k, k, L, k 必全为零或全不为零. 若 k i 与 l i 不对应成比例 k l i 不妨设 ( i L ) 则有 ( ) k = λ, = λ =,,,, λ λ li k λl α = 0, k λl 0, α = 0, 这与 α, α, L, α 中任意 - 个线性无关矛盾. 五设 α, α, α, α 4 是 AX=0 的一个基础解系, 若 β = α + tα, β = α + tα, β = α + tα 4, β4 = α4 + tα, 问当实数 t 为何值时, β, β, β, β 4 也是 AX=0 的一个基础解系 0 0 t t 0 0 = 0 t t 解 :( β, β, β, β ( α, α, α, α ) 4 4 要使 (,,, ) β β β β 也为 AX=0 的基础解系, 4 要求 R(K)=4, K 即 K 4 0, t 0, t ±. 六设 A 为阶矩阵, 且证明 : A A A( A E ) A = = 0 A E 的列向量为 Ax = 0 的解 = A, 证明 : R ( A) + R( A E) =

33 ( ) ( ) ( ) ( ) R A E R A R A + R A E 另一方面, A + ( E A) = E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R A + R E A R E = R A + R A E =

34 三计算题第五章复习题设阶对称阵 A 的特征值为 6,,, 与特征值 6 对应的特征向量为 p = (,,), 求 A 解 : 因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的, 所以求对应于的特征向量即为求与 (,,) 正交的特征向量 p x = 0, 即 x + x + x = 0 (,, 0 ), p (, 0,) 解得 p = = 即为 λ = 对应的特征向量令 P ( p p p ) = = Q P AP = 6 4 A = P P 4 = 4 设阶对称阵 A 的特征值为,,, 对应的特征向量依次为 : = (,, ), (,, 4 ), = (,,9 ), 给定向量 β = (,, ) ξ ξ ξ m β =,, 用 ξ, ξ, ξ ;) 求出 A β ) 将 ( ) 解 :) 解方程 ( ξ ξ ξ ),, x = β, x x 即解得 - x = x = 4 9 x x β = ξ ξ + ξ P =,,, P AP = = Λ ) ( ξ ξ ξ ) 4

35 m m m P A P = P AP P APL P AP = Λ = m m m A = P P m m+ m + m m m+ m+ A β = = + m m m f ( x, x, x ) x x x ax x ( a 0) = >, 已知 f 通过正交变换可化为标准型 f = y + y + 5y, 求参数 a 及所有的正交变换矩阵 0 0 x f x, x, x x, x, x 0 a x Ax 解 : ( ) = ( ) 0 a x ( a ) A = 9 = 5 = 0 a = ±, 又 a > 0 a = 0 0 A = 0 0 先求 A 的三个特征值对应的特征向量, 再将其单位化得到 ξ, ξ, ξ, 则 ( ξ, ξ, ξ ) P = 即为, 5 f ( x x x ) = ( x + a x ) + ( x + a x ) + + ( x + a x ) + ( x + a x ) L L, 问实数 a L a 满足何条件时, 二次型 f ( x x L x ) 为正定二次型解 : ( ), Q f x, xl x 0, 若存在不全为零的 x, x L x 使得 5

36 x + ax = 0 x + a x = 0 () L x + ax = 0 则 f ( x x L x ), () 仅有唯一零解 ( ) ( ) 不是正定的, 即 () 有非零解时不满足题意, 所以求 a 使得 a L ( ) a La L L 0 0 M M M A = M M M M = r a r Lr a r aa L L a a L 0 a 0 L 0 a La = + a La 0 (, ) 四证明题设 A 为阶矩阵, λ 和 λ 是 A 的两个不同的特征值, x x 是分别属于 λ 和 λ 的特征向量, 试证明 x + x 不是 A 的特征值证明 : λ λ, Ax = λ x ; Ax = λ x, x 若 + x 是 A 的特征向量, 即有 A( x + x ) = λ ( x + x ) ( + ) = + ( λ λ ) x ( λ λ ) λ x x λ x λ x + x = 0 并且 λ λ, λ λ 不同时为零即 x, x 线性相关, 矛盾所以, x + x 不是 A 的特征向量设二阶方阵 A 的行列式为负数, 求证 A 可相似于对角矩阵证明 : A = λλ < 0 λ λ A可相似于对角阵 A B 为两个阶矩阵, 且 A 的个特征值两两相异, 若 A 的特征值恒为 B 的特征向 6

37 量, 则 AB=BA 证明 : 设 A 的特征值为 λ, λ L λ, 对应特征向量为 p, p L p, 并且该特征向量对应 B 的特征值为 k, k L k, 那么有 (, L ) = (, L ) = (, L ) = ( kλ p, kλ p Lkλ p ) (, L ) = (, L ) = (, L ) = ( k k p, k k p Lk k p ) AB p p p A k p k p k p k Ap k Ap k Ap BA p p p B k p k p k p k Bp k Bp k Bp ABP = BAP 又两两互异, 即 P 可逆 AB = BA 4 若 A 正定, 则 A * 也正定证明 : 设 A 的特征值为 λ, 对应特征向量为 x, 即 Ax = λx Ax = λx == = * * A Ax A x A λx A 正定, 所以 λ > 0, A > 0 * A A x = x, A * 为 A 的特征值, A 0 λ λ λ > * A 也正定 5 A 为阶实对称矩阵, 则当 t 充分大时,A+tE 必为正定证明 : 设 A 的个特征值为 λ, λ L λ, 则 A+tE 的个特征值为 : λ + t λ + t λ + t, L A 为对称阵 λ, λ L λ 为实数 t > 0, s. t. + t > 0( i =,, L ) λ ι A+tE 为正定阵 6 A 为正定矩阵, 证明 : 存在可逆矩阵 U, 使 A=U U 证明 : 设正定阵 A 的个特征值为 λ, λ L λ 存在正交阵 P, 使得 7

38 P AP λ λ λ = O = O O λ λ λ λ λ A = P O P P O U U, λ λ λ 其中 U = P O P λ 7 A 为 m 实矩阵,A 的秩为, 证明 A 正定证明 :( ) A A = A A, 所以 A A 是对称阵 ( ) ( ) ( ) x 0, x A Ax = Ax Ax = Ax Q R A = x 0, Ax 0 x A Ax = Ax > 0 A A 是正定的 8 A 是阶正交矩阵, A =, 求证 - 是 A 的一个特征值证明 : Q ( ) A + E = A + AA = A A + E = A A + E Q A = A + E = 0 - 是 A 的一个特征值 8

39 第五章自测题 (A) 四已知阶矩阵 A 的特征值为,-,, 设矩阵 B = A 5A, 试求 : ()B 的特征值 ; () B 及 A 5E 解 :) 设 A 的特征值为 λ, 对应特征向量为 x, 即 Ax 则 λ 5λ 为 A 5A 的一个特征值 B 的特征值为 :-4,-6,- ) B = ( 4)( 6)( ) = 88 A 5E 对应的特征值为 :-4,-6,- A E ( )( )( ) 5 = 4 6 = 7 = λx 五设阶方阵 A 的特征值为 λ =, λ = 0, λ =, 对应的特征向量依次为 p = ( ) p ( ) p ( ),,, =,,, =,,, 求 A =,,, Λ = 0 解 : 记 P ( p p p ) 则 P AP = Λ, A = PΛ P 六已知二次型 ( ) f x, x, x = 5x + 5x + cx x x + 6x x 6x x 的秩为. () 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值 ; () 指出方程 ( ) f x, x, x = 表示何种曲面解 :) 二次型对应的矩阵为 A 5 A = 5 c Q R A = ( ) A = 0 c = A 对应的特征值为 λ = 4, λ = 9, λ = 0 ) 二次型可化为标准型 f ( y, y, y ) 4y 9y = +, 其中 x = Py 9

40 4y + 9y = 表示椭圆柱面, 而正交变换不改变形状 (,, ) f x x x 也表示椭圆柱面七证明题设 A 为阶方阵, 且证明 : 设 Ax = λx A A x = λ x = x = E, 证明 :A 的特征值为或 -. λ = ±, 即 A的特征值为或 - 设矩阵 A 与 B 相似, 证明 : () A 与 B 相似 ; ()A 可逆时, A 与 B 相似证明 :) 设 B = P AP, 则 ( ) ( ) ( ) B = P AP = P A P = P A P 记 Q = P, B = Q AQ ) 设 B = P AP, 若 A 可逆, 则必有 B 可逆 ( ) B = P AP = P A P B 与 A 相似设 A 是阶实对称矩阵, 证明 A 可逆的充要条件是存在阶实矩阵 B, 使 AB + B A 是正定矩阵证明 : 充分性 : 若存在 B, 使得 AB + B A 正定 x 0, x AB + B A x > 0 即 ( ) x ABx + x B Ax = Ax Bx + Bx Ax = Ax Bx > 0 () ( ) ( ) ( ) 若 R ( A) R ( A) <, 即 x 0, s. t. Ax 0 =, 即 A 可逆 =, 此时 () 式 ( ) Ax Bx = 0, 矛盾 40

41 必要性 : 若 A 可逆 B, AB = E ( ) AB + B A = AB + B A = AB + AB = E Q E 是正定的 AB + B A 是正定的 4

42 第五章自测题 (B) 三已知向量 α = k 是矩阵 A = 的逆矩阵 A 的特征向量, 求 k 的值解 : Q A 存在 λ 0, Α Ax = λα A x = x λ 即为 A λ x 的特征值, x为对应特征向量 α也为 A的特征向量, λ为对应特征值 Aα = λα α λ k = kλ λ k + = λ k + = kλ k + = λ k = 或 k = 四设四元二次型 f ( x, x, x) = x Ax, 其中 A = 0 0 y 0 0 () 已知 A 的一个特征值为, 求 y; () 求矩阵 P, 使 ( AP) ( ) 解 :) A E = 0, y = AP 为对角阵 ) B A A = =, 下面求 P 使得 P BP 为对角阵

43 五已知三阶矩阵 A 和三维向量 x, 使得向量 x, Ax, A x 线性无关, 且满足 A x Ax A x =, () 记 P ( x Ax A x) =, 求三阶矩阵 B, 使得 A = PBP ; () 计算行列式 A + E 解 :) Q AP = A( x Ax A x) = ( Ax A x A x) = ( x Ax A x) PB 又 Q P可逆 x Ax A x 线性无关 A = PBP, 其中 B = 0 0 ) Q + = + = + = ( + ) A E PBP E PBP PP P B E P 0 0 A + E = B + E = = 4 0 六某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将 /6 的熟练工支援其它生产部门, 其缺额有招收信的非熟练工补齐, 新老非熟练工经过培训及时间至年终考核有 /5 成为熟练工, 设第年一月统计熟练工和非熟练工所占百分 x 比分别为 x 和 y 记成向量, y x () 求 y + + x x+ x 与的关系式, 并写成矩阵形式 = A ; y y+ y 4 () 验证 η =, η = 是 A 的两个线性无关的特征向量, 并求出相应的特征值 ; x () 当 x = 时, 求 y y + + 4

44 5 9 x + = x + y + x = x + y 解 :) 由题设条件 y+ = y + x = x + y x+ 0 5 x x A y+ y y 0 5 Aη = η 对应 λ = ; Aη = η 对应 λ = ) 0 A ( η η ) ( η η ) Q PΛP 0 0 x x x x A ( P P ) P P y = = Λ = Λ = + y y y 0 8 = 0 + 七证明题 : 设 A 为满足 A A + E = 0 的矩阵, 试证其特征值为或. 证明 : Q A A + E = 0 ( A E)( A E) = 0 A E A E = 0 λ = 或 λ = 设 A 为 m 矩阵,B 为 m 矩阵, 证明 : 阶矩阵 AB 与 m 阶矩阵 BA 有相同的非零特征值证明 : λ 0为 AB 的特征值,x 为对应特征向量 ABx = λx ( λ ) λ ( ) BABx = B x = Bx 若 Bx 0, 则 λ是 BA的特征值 44

45 若 Bx= 0, 则 ABx = λx = 0 λ = 0, 这与 λ 0矛盾 Bx 0 任意 AB 的非零特征值是 BA 的特征值类似可证任意 BA 的非零特征值是 AB 的特征值设 A B 都是正定矩阵, 试证 :AB 是正定矩阵的充要条件是 AB=BA 证明 : A, B正定, 故 A = A, B = B 充分性 : ( ) AB = B A = BA = AB AB是对称阵 Q A, B正定 C, D可逆, s. t. A = C C, B = D D ( )( ) ( ) ( ) AB C CD D D DC CD D D DC CD D D CD CD D = = = = 而 ( CD ) ( CD ) 是正定的, 并且 AB 与 ( ) ( ) AB 也是正定的必要性 : Q A, B正定 ( ) AB = B A = BA = AB 即证 CD CD 相似 45

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中