习题一

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1 . 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc abc + b + a + c a + b + c + Γ(4) 解 :) D ( ) a a a a 4 4 Γ(4) ) D ( ) a a a a a a a a 6. 利用行列式性质计算下列行列式 : 解 :) ) 6 ) ) ) x x x+ y x x+ y y x+ y x + x+ y x x x y y x y x y x y y x x y + x+ y y x yx y x yx x y x y x + y ( x + y ) x y x x+ y y

2 a+ b+ c a b 6) c b+ c+ a b c a c+ a+ b a+ b+ c abc abc c b+ c+ a b c a c+ a+ b ( a+ b+ c) c b+ c+ a b c a c+ a+ b ( a+ b+ c) b+ c+ a b+ c a+ c c+ a+b ( a+ b+ c) a+ b+ c ( a+ b) a+ c c+ a+b ( a+ b+ c) 7. 计算下列行列式 : 解 :) D K K! M M M O M L ) 当 时, D a a 当 > 时, D a a + L a + a + L a + a a + L a + a + L a + + M M O M M M O M a a + L a + a + L a + L L L ) D + M M M O M M L L

3 4) D a L a L a L aa La a M M M O M M i ai L a + L a 8. 解方程 :. 解 :) ( x 9)( x ) x ± 或 x ± ) x y z x y z 9. 用克拉默法则解下列线性方程组 : 解 :) 4 4 x, x, x ) 5 5 D D D D D4 4 4 D D D D4 x, x, x, x4 D D D D.k 取何值时, 下面的方程组仅有零解? 解 :) 当 6 k 7 5k6, 即 k 时, 仅有零解 5 k ) 当 k ( k+ )( k 4), 即 k 且 k 4 时, 仅有零解 (B)

4 . 填空题 解 :) f( x) ( x)( x)( x 4) x, x, x 4 ) x y ) -8 4) a a 5)!( ) k k abc a a. 证明 : b bc a b ( a+ bc ). c c cab 证明 : 左 ( a+ b+ c) b bca b c c c a b ( a+ b+ c) bc a ( a+ b+ c) cab a+ b b+ c c+ a a b c 4. 证明 : a + b b + c c + a a b c a + b b + c c + a a b c. 解 : a b+ c c+ a b b+ c c+ a 左 a b+ c c+ a + b b+ c c+ a a b + c c + a b b + c c + a a b c a b c a b c 5. 计算下列 阶行列式 :. 解 : ) D ( )( ) Γ(( ),( ) L, ) ( )! ( )! ) L L L L D L L M M M O M M M M O M L L + ( ) ( )

5 ) D L L L + M M M O M M L 4) D L 4 L ( + ) 4 5 L M M M O M L L L ( + ) L M M M O M L ( + ) ( + ) ( ) 6. 用数学归纳法证明 L + a a a a a + L aa a aa D + a + a + La M M M L + aa aa a 证明 : 当 时, D + a aa + a +a aa + a 设 k 时, D + a + L+ a k k 当 k+ 时, D D + a + a + La + a k+ k k+ k k+ 7. 证明 阶行列式 cosθ L cosθ L cosθ L si( + ) θ M M M M M siθ L cosθ L cosθ

6 cosθ 证明 : 当 时, si θ D cosθ siθ si( k + ) θ 设 k 时, Dk siθ si( k + ) θ 当 k+ 时, Dk+ Dk + si( k+ ) θcotθ + cos( k+ ) θ siθ 8. 试证 : 一元二次函数可由其图像上三个横坐标互不相等的点唯一确定. 证明 : 设二次函数为 y ax + bx + c, 三点为 ( x, y),( x, y),( x, y ), 且 x x x, 则 ax + x + c y ax + x + c y ax + x+ c y x 又 x x x x x 则方程组只有唯一的解 a,b,c 9. 解线性方程组 x + ax + ax + L + a x x + ax + ax + L + a x LLLLLLLL x + ax + ax + L + a x 其中 a a ( i j,, i j,, ). i j 解 : a a L a D ( ai aj) M M M O M a a L a a a L a D D D x L D, D x, x x L x D j i. 若齐次线性方程且 x + x + x + ax4 x + x + x + x4 x + x x + x 4 x + x + ax + bx4 有非零解, 则 a b 应满足什么条件?

7 a 解 : 当 a b ( a + ) 即 b 时, 方程组有非零解 解 : ) A 习题二 (A) B ) A+ B 上式表明 : A, A, A三个在 年,4 年生产,,, 4 B B B B 四种油品的总产量. 5 B A 上式表明 : A, A, A三厂在 4 年生产的,,, 4 B B B B 四种与 年相比的增加量. ) ( A+ B ) 上式表明 A, A, A三厂在 年 4 年生产,,, 4 7. 求所有与 A 可交换的矩阵 : B B B B 四种油品的平均产量. () A ; () A.

8 解 :) 设 X a b c d, 则 XAAX 得 a d b a X c a a b c Y a b c a b c ) 设, 则 YA AY 得 a a b b c a c b a b c Y a b a 8. 设矩阵 A 与 B 可交换. 证明 :() ( A + B)( A B) A B ;() ( A ± B) A ± AB+ B. 解 :) ( )( ) A+ B A B A AB+ BA B A B ) ( ) A± B A ± AB± BA+ B A ± AB+ B 解 :) ) 总价值为 8, 总重量为 9.8, 总体积为 956. 设 A 为 阵对称矩阵,k 为常数. 试证 ka 仍为对称矩阵.

9 证明 : 设 A ka a a L a a a L a M M O M a a L a, 则 ka ka L ka ka ka L ka M M O M ka ka L ka 则 ka 为对称矩阵 ( ka) 4.() 证明 : 对任意的 m 矩阵 A,A A 和 AA 都是对称矩阵. () 证明 ; 对任意的 阶矩阵 A,A+A 为对称矩阵, 而 A-A 为反对称矩阵. 解 :) 证明 : Q( AA ) A ( A ) AA ( AA ) ( A ) A AA AAAA, 都是对称矩阵 ( A+ A ) A + ( A ) A + A A+ A, A+ A ) 为对称矩阵 ( A A ) A ( A ) A A( AA ) 则 A A 为对称矩阵 5. 设 A B 是同阶对称矩阵, 则 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA. 解 : ( AB) AB B A AB BA AB 7. 设 阶矩阵 A 可逆, 且 detaa, 求 det A, det A *. 解 : Q AA AA E det A det A a * det A E * det A (det A) a 8. 证明 : ( E A)( E A A A k + + +L ) k k k K E A A L A A A L A E A E( E A) E+ A+ A +L A 9. 已知 阶阵 A 满足 A A E O. 求证 :A 可逆, 并求 A -

10 解 : A A E A A E AA ( E) E且 A A ( A E). 解 :). 解 : B A ( A ) * * AA det AE且 A * A det A E A B B ( A B ) A E E A B B E A 证明 : A A A A A A A E A A E A A A A A A A A A 4. 解 :) A A A A A A A 6 ) 4. 解 :) A 5

11 ) A 解 :) ) ) 4) 解 :)

12 A 7. 解 :) X ) X 8. 解 : AX X +B ( A E) X B X ( A E) B 解 : A BA 6 A+ BA (6E+ B) A A B E+ B 6 ( ) A E B6E B 6( A E). 解 : ( E C B) A C ( C B) A E A ( CB)

13 A C B (( ) ) (B). 设矩阵 A, 求矩阵 X, 使得 AX A. 解 : deta7 X A A 4. 解 : MM a + b + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d MM M M M ( a + b + c + d ) 4 M ( a + b + c + d ) 5. 设 A 为 矩阵, 矩阵 B E AA. 试证 B 为对称矩阵. 如果 A(,-,), 求 B. 解 : 证明 B ( E AA ) E ( A ) E AA B 则 B 为对称矩阵当 A(,-,) 时 4 B E AA ( ) 设 A,B 为同阶矩阵, 且 A ( B+ E). 证明 A +A 当且仅当 B E. 证明 : A A ( B+ E) ( B+ E) ( B+E )

14 ( B + B+ E) ( B+ E) 4 B E 7. 解 :) 设 A ( a ), B ( b) 则 IJ tr A B a b a b L a b ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) ) 4) ( a + b + L+ a ) + ( b + b + L + b tr(a)+tr(b) tr ka ka ka L ka ( ) ka ( + a + L + a ) atra ( ) tr( A ) a + b + L + a tr( A) rt AB a b a b L a + b )+ ( ) ( ( a b +a b + a b ) + L+ ( a b + a b ) + L+ a b ) rt( BA) ) 8. 设 A 为实对称矩阵, 且 A O, 则 AO. A ( a ij ) aa ij ji,( i j) 证明 : 设其中, 则 a i i A ai i ai i 则 aj, 则 A 9. 设 A 为奇数阶反对称矩阵, 则 det A. 解 : A A + +, 则 r A A A. 设 A B C 为同阶矩阵, 且 C 为非奇异矩阵, 满足 C AC B. 求证 :

15 m m C A C B 解 : m m B C AC C ACL C AC C A C. 已知 A,B 和 A+B 均为可逆矩阵, 试证 A + B 也可逆, 并求其逆矩阵. 证明 : A A E, B B E A + B A BB + A AB A ( B+ A) B 则 ABA,, + B都可逆, 则 AB ( + AB ) A B + 可逆 ( A + B ) B( B+ A) A. 证明 : 如果 A 是非奇异对称矩阵, 则 A - 也是对称矩阵. 证明 : A A, A, 则 ( A ) ( A ) A - 也是对称矩阵. A. 解 : ) ( A A Eaa )( E aa ) Eaa E aa + aa aa E aa aa ) 反证, 若 A 可逆, 则 detadete-detaa -detaa -detaa 即 detaa 与条件矛盾 4. 证明 :)A+BAB A-E-(AB-B)-E A-E+(E-A)B-E A-E)(E-B)-E (A-E)(E-B)-E A-E 可逆 B ) 当时, 由 A ( E B) + E得

16 A 5. 设 A,B,C 均为 阶矩阵, 如果 C A+ CA, B E+ AB. 求证 B C E. 解 : B E+ AB ( EA) B B ( E A) C A+ CA C( E A) A C A( E A) B C ( EA) A( E A) ( EA)( E A) E 6. 解 :AXA+BXBAXB+BXA+E AXA-AXB+BXB-BXAE AX(A-B)+BX(B-A)E AX-BX)(A-B)E 7. 解 : ( ) ( ) X A B E A B * AX A + X 5 + A A X A X A A X X A ( A A E) X A X ( A A E) A 4 8. 解 : E A B E A B PQR C D CA E E A B E A B A CA B + D E D CA B

17 9. 解 :) ) E A PQ α α * A A α b A α A ( bα A α) Q可逆 detq αα Ab α A α b

18 4. 解 : ) A 习题二 (A) B ) A+ B 上式表明 : A, A, A三个在 年,4 年生产 B, B, B, B 4四种油品的总产量. 5 B A 上式表明 : A, A, A三厂在 4 年生产的 B, B, B, B 4四种与 年相比的增加量. ) ( A+ B ) 上式表明 A, A, A三厂在 年 4 年生产 B, B, B, B 4四种油品的平均产量. 7. 求所有与 A 可交换的矩阵 : () A ; () A. 解 :) 设 X a b, 则 c d XAAX 得 a d b a X c a

19 a b c ) 设 Y a b c, 则 a b c YA AY 得 a a b b c a c b a b c Y a b a 8. 设矩阵 A 与 B 可交换. 证明 :() ( A + B)( A B) A B ;() ( A ± B) A ± AB+ B. 解 :) ( )( ) A+ B A B A AB+ BA B A B ) ( ) A± B A ± AB± BA+ B A ± AB+ B 解 :) ) 总价值为 8, 总重量为 9.8, 总体积为 956. 设 A 为 阵对称矩阵,k 为常数. 试证 ka 仍为对称矩阵. a a L a a a a 证明 : 设 A L, 则 M M O M a a a L ka ka L ka ka ka ka ka L M M O M ka ka L ka 则 ka 为对称矩阵 ( ka)

20 4.() 证明 : 对任意的 m 矩阵 A,A A 和 AA 都是对称矩阵. () 证明 ; 对任意的 阶矩阵 A,A+A 为对称矩阵, 而 A-A 为反对称矩阵. 解 :) 证明 : Q( AA) A( A) AA ( AA ) ( A ) A AA AAAA, 都是对称矩阵 ) ( A+ A ) A + ( A ) A + A A+ A, A+ A 为对称矩阵 ( A A ) A ( A ) A A( AA ) 则 A A 为对称矩阵 5. 设 A B 是同阶对称矩阵, 则 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA. 解 : ( AB) AB B A AB BA AB 7. 设 阶矩阵 A 可逆, 且 detaa, 求 det A, det A *. 解 : Q AA AA E det A det A a * det A E * det A (det A) a 8. 证明 : k ( E A)( E+ A+ A +L A ) k k k K E A A L A A A L A E A E( E A) E+ A+ A +L A 9. 已知 阶阵 A 满足 A A E O. 求证 :A 可逆, 并求 A - 解 : A A E A A E AA ( E) E且 A A ( A E) * *. 解 :) AA det AE且 A

21 ( A ) A det A * E A B B. 解 : ( A B ) A E 6 B A E A B B E A 证明 : A A A A A A A E A A E A A A. 解 :) A A A A A A 4 A A A A A A A 6 ) 4. 解 :) ) A A

22 解 :) ) ) 4) 解 :) A

23 7. 解 :) X ) X 8. 解 : AX X +B ( A EX ) B X ( A E) B 解 : A BA 6 A+ BA (6E+ B) A A B 6E+B ( A E) B 6E B 6( A E). 解 : ( E C B) A C ( C B) A E A ( C B) (( ) ) A C B

24 (B). 设矩阵 A, 求矩阵 X, 使得 AX A. 解 : deta7 X A A 4. 解 : MM a + b + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d MM M M M ( a + b + c + d ) 4 M ( a + b + c + d ) 5. 设 A 为 矩阵, 矩阵 B EAA. 试证 B 为对称矩阵. 如果 A(,-,), 求 B. 解 : 证明 B ( E AA ) E ( A ) E AA B 则 B 为对称矩阵当 A(,-,) 时 4 B E AA ( ) 设 A,B 为同阶矩阵, 且 A ( B+ E). 证明 A +A 当且仅当 B E. 证明 : A A ( B+ E) ( B+ E) ( B+E ) ( B + B+ E) ( B+ E) 4 B E 7. 解 :) 设 A ( a ), B ( b) 则 IJ

25 tr( A + B) ( a + b ) + ( a + b ) L + ( a + b ) ( a + b + L+ a ) + ( b + b + L + b tr(a)+tr(b) ) tr( ka) ka + ka + L+ ka ka ( + a + L + a ) atra ( ) ) tr( A ) a + b + L + a tr( A) 4) rt( AB) ( a b + a b + L + a + b )+ ( a b +a b + a b ) + L+ ( a b + a b ) + L+ a b ) rt( BA) ) 8. 设 A 为实对称矩阵, 且 A O, 则 AO. 证明 : 设其中 A ( a ij ), 则 aa ij ji,( i j) a i i A ai i ai i 则 aj, 则 A 9. 设 A 为奇数阶反对称矩阵, 则 det A. 解 : A+ A +, 则 r A A A. 设 A B C 为同阶矩阵, 且 C 为非奇异矩阵, 满足 C AC B. 求证 : m m C A C B m m 解 : B C AC C ACL C AC C A C. 已知 A,B 和 A+B 均为可逆矩阵, 试证 A + B 也可逆, 并求其逆矩阵.

26 证明 :, A A E B B E + + ( + ) A B A BB A AB A B A B 则 ABA,, + B都可逆, 则 AB ( + AB ) A + B 可逆 ( A + B ) B( B+ A) A. 证明 : 如果 A 是非奇异对称矩阵, 则 A - 也是对称矩阵. 证明 : A A, A, 则 ( A ) ( A ) A - 也是对称矩阵. A. 解 : ) ( A A Eaa )( E aa ) Eaa E aa + aa aa E aa aa ) 反证, 若 A 可逆, 则 detadete-detaa -detaa -detaa 即 detaa 与条件矛盾 4. 证明 :)A+BAB A-E-(AB-B)-E A-E+(E-A)B-E A-E)(E-B)-E (A-E)(E-B)-E A-E 可逆 ) 当 B 时, 由 A A ( E B) + E得 5. 设 A,B,C 均为 阶矩阵, 如果 C A+ CA, B E + AB. 求证 B C E.

27 解 : B E+ AB ( E A) B B ( E A) C A+ CA C( E A) A C A( E A) B C ( EA) A( E A) ( EA)( E A) E 6. 解 :AXA+BXBAXB+BXA+E AXA-AXB+BXB-BXAE AX(A-B)+BX(B-A)E AX-BX)(A-B)E 5 X ( AB) E( A B) * 7. 解 : AX A + X + A A X A X A A X X A ( A A E) X A X ( A A E) A 4 E A B E A B 8. 解 : PQR CA E C D E A B E A B A CA B + D E D CA B E A α 9. 解 :) PQ * α A A α b A α A ( bα A α) ) Q可逆 detq

28 αα Ab α A α b

29 . 用消元法解下列线性方程组 : 习题三 (A) 解 :.) ) 无解 - ) x cc x c x c x4 4) x c x + c x c x )

30 x c + 5c x x4 c x5 c x c6c ( c, c, 均为任意常数 ) 4 5 6) x c 5 x c 7 x4 c x c + c 7. 解 : a a+ a + a a 4 ( a )( a+ ) a 当 a- 时, 无解 当 a 时, 无穷多解 x 5c x 4c (c 为任意常数 ) x c 当 a 且 a - 时, 唯一解. 解 : a b a4 b+ a 5 b+ 当 a 时, 唯一解 a5,b - 时, 无解 当 a5 且 b- 无究多解 x x x c + c c (c 为任意常数 ) 4. 解 : 4 7 k 时, 方程组有非零解 k

31 x c x c (c 为任意常数 ) x c 6.. 解 : a uv α b α α v a(,4) b(,) (4,) (,) ab 4 4ab 9 则 a, b 解 :) uv β α + α + 4 α 则 ) uv 则 β 不能由 α, α, α 线性表示 ) uv β α + ( + c ) α + c α (c 为任意常数 ) 则 + λ λ λ( λ + ) λ ( λ + ) 8. 解 : + λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + λλ ( + ) λ( λ+ ) λ λ λλ + λ λ

32 当 λ uv 时, β 不能由 α, α, α 线性表示 当 λ 且 λ uv 时, β 可由 α, α, α 当 λ 时, 表示法不唯一 唯一性表示 9. 解 :) r 无关 ) r <, 相关 5 ) r 无关 5. 已知向量 α ( a,,), α (, a,), α (,,). 试求 a 为何值时, 向量 α, α, α 线性相关? 线性无关. a a 解 : a a a 当, 即 a- 或 a 时, 线性相关 a a 当, 即 a - 且 a 时, 线性无关 a. 设 α, α, α 线性无关, 又 β α α + α, β α α, β α α + α. 证明 : 向量组 β, β, β 线性相关. 解 : 设 k β + k β + k β v k ( uv α α + α ) + k ( α α ) + k ( α α + α ) v ( k + k ) uv α + ( k + k k ) α + (k k k ) α v

33 α, α, α 线性无关, 则 因为 k + k k c k + k k k c (c 为任意常数 ) k k + k k c 则线相关 β α α + α 解 :) 由 β α+ α + α β α+ α + α α β + β 得 α β + β α β + β ) 等价, 因为 α, α, α 和 β β β 可以互相线性表示. 设 维向量组 α (,,, L, ), α (,,, L, ), L, α (,,, L,). 试证 : 向量组 α, α, L, α 与 维基本单位向量组 ε, ε, L, ε 等价. α ε α ε + ε 解 : 因 M uv α ε + ε + L + ε u uv ε α ε α α 又 M uu ε α α α uv 即 α α L α 和 ε, ε,l, ε 可以互相线性相示, 则它们等价. 4. 证明 : 如果 维基本单位向量组 ε, ε, L, ε 可以由 维向量组 α, α, L, α 线性表示, 则向量组 α, α, L, α 线性无关.

34 解 : 因为 uv α, α L 所以 α, α L α 和 ε ε L ε 可以相互相线性表示, 则它们等价. α 线性无关. 5 解 :) 5 α, α 为一个极大无关组, 且 α α+ α α4 α+α ) α, α, α 4 为一个极大无关组, 且 α α -α ) α, α,α 为一个极大无相关组, 且 α4 5α +α -α α 5 -α + α + α 6. 求下列向量组的秩 : 4 4 解 :) r( α, α, α, α 4, α 5 )

35 ) r ( α, α, α, α 4, α 5 ) 7. 解 :) 三阶子式 ) 二阶子式, 则 r( A) 8. 解 : ) r 4 7 ) r uv uv 9. 解 : 设, aa, 为 a La中任意个线性无关的向量, 则 r u uv a, a 都可由 a a 线性表示, r+ L r L r s uv 故它们为,, a L as的一个极大线性无关组. 解 : 由 r() 知 α, α, α 线性无关 r (Ⅱ) 知 α, α, α, α 4 线性相关, 即 α 可由 α, α, α 线性表示

36 r (Ⅲ)4 知 α, α, α, α5 线性无关 α, α, α, α α α, α, α, α 线性表示 则 5 4 可由 5 α, α, α, α 5 α 4 的秩为 4. 解 :) 基础解系 : η (,,, ) η (,,,) 通解为 X cη + c η,( cc 为任意常数 ) ) 基础解系 : η (,,,), η (,,,) 通解为 X cη + c η,( cc 为任意常数 ) 5 ) 基础解系 : η (,,,,), η (,,,,), η (5, 6,,,) 通解为 X cη + c η + cη,( cc c为任意常数 ) 4) 基础解系 : η (,,,), η (,, 5,7) X cη + cη ( c, c 为任意常数 ) 通解为. 解 :)

37 x x4 x 4 x + x4 X c(-,,,) +(,-4,,) (c 为任意常数 ) 4 ) x + x x 4 x x 4 X c (,,, ) + c (,,,, ) + (,,, ) (c,c 为任意常数 ) ) x x4 + x 5 x x x 4 X c (,,-,,) + c (,,,,) +(,,,,) (c, c 任意常数 ) 4 4 4) x x + x 4 x X c (-,,,) + c (,,,) +(,,,) (c, c 任意常数 )

38 a a. 解 : a a4 a 5 a+ a5 a+ a + a5 a+ a + a+ a5 a + a + a + a + a a + a + a + a + a 当 a + a + a + a + a 4 5 时, 方程组有解 a+ a + a + a4 a + a + a 4 X a + a4 +c (c 为任意常数 ) a4 4. 解 : 方程组 ⅠⅡ 的全部解为 uv K ξ +k ξ l η +l η k l k l l k l k l k + l k k l+ l k c (c 为任意常数 ) k l l c k l l c x x 且全部公共解为 c (c 为任意常数 ) x x 4 5. 解 : ra ( ) rab (, ) rc ( ) 则 ra ( ) rc ( ) 则 ra ( ) rab (, )

39 故方程组有解 6. 解 : QrA ( ) 方程组只有一个基础解系 又 a A + a A + La A j i j i j i j i, ( A, A, L A ) 为一个基础解系 i i i 全部解为 ca (, A, L A) ( c为任意常数 ) i i i 7. 设 A 为 m 矩阵,B 为 m s 矩阵. 证明 :ABO 的充分必要条件是 B 的每个列向量为齐次线性方程组 AX 的解. 解 : 设 B ( β, β, L βs ) 则 AB ( Aβ+ Aβ + L+ Aβ s ) 则 Aβ Aβ M Aβs 等价于 AX 8. 设 A 为 m 矩阵, 且 r(a)r<. 求证 : 存在秩为 -r 的 (-r) 矩阵 B, 使得 ABO. v v v 解 : 设 η, ηl, η r为齐次方程组 AX 的一个基础解系 u 令 B ( η, ηl, η r,) 则 u AB ( Aη, Aη, L Aη r) 而 rb ( ) r 9. 设 A 为 阶矩阵, 并且 A O. 求证 : 存在一个 阶矩阵 B O 使 ABO 的充分必要条件是 deta. 解 : 存在一个 阶矩阵 B, 使 AB AX det A. 证明 : 由习题结论论知 ) 证 : 将 B 分块, 设 B ( B B L B ),

40 其中 B j ( bj, b j,, bj) L. j,, L, 则 : AB A( B, B LB ) ( AB, AB, L, AB ) 由 AB 可设 ABj cj,, L, t ) 考虑齐次线性方程组. AX X ( x, x, x L, x ) 其中 t B的列向量 B, B L, B都是 AX 的解向量, 所以方程组 AX 的任一 显然 ) 基础解系所含向量个数为 r( A ), 由此 rb ( ) ra ( ). 即 ra ( ) + rb ( ) 又 ra ( ) rb ( ) 即 B AB A A( B E) 由上分析知 B E 从而 B E. 解 : a+ b a a+ b (B) a b a a+ b a b a b 当 a, b uv 为任意常数时, β 不能由 α, α, α 线性表示 当当 a, 且 a b uv 时, β 能由 α, α, α 线性表示 uv β ( ) α + α a a 当 a b, uv 时, β 能由 α, αα 线性表示, 表示式不唯一 uv β ( ) α +( a a +c) α + cα ( c ) 为任意常数

41 4. 解 : 设 αm 能由 (Ⅰ) 线性表示, 则 uu αm k α + k α + L+ k m α m () 其中 k, k, Lkm 不全为 uv 即 β可由 α Lα 线性表示 m uv uu 则 β lα + lα + L+ lmαm, 其中 l, L, lm不全为 () 则 () 代入 () 得 uv β ( l + l k ) α + ( l + l k ) α + L + ( l + l k uu ) α m m m m m m uv uu β也可由 α, L, αm 线性表示, 矛盾 l l lm l 由 () 得 αm α αl α+ uv u β l l l l 即 α 可由 (Ⅱ) 线性表示 m m m m m v 5. 解 : 设 kα+ k( α+ α) + L+ k s ( α+ α + L+ α s ), 则 v ( k + k + L+ k ) α + ( k + L+ k ) α + L k a s s 又,, L 线性无关, 则 α α α s k+ k + L+ ks k + L+ ks M ks k k k s L α, α + α, L, α + α + L+ αs 线性无关 s s 6. 解 : 设 k β + k β + k β k [( m ) α + α + α ] + k ( α + ( m ) α + α ) + k ( α m+ ) α + ( m ) α v [( m ) k + k k ] α + ( k + ( m+ ) k ( m+ ) k ) α + ( k + k + ( m ) k ) α v 而 α, α α 线性无关, 则

42 ( m ) k+ k k k+ ( m+ ) k ( m+ ) k k + k + ( m ) k 则当 m 且 m ± 时, β, β, β 线性无关 ; 当 m 或 m± 时, β, β, β 线性无关 7. 解 : 设 k β + k β + L+ k s β s v k ( α + α ) + k ( α + α ) + k ( α + α ) + L+ k s ( α s + α ) 4 ( k + k ) α + ( k + k ) α + L + ( k + k ) α s s s 线性无关, 则 而 α, αα s k + ks k + k M ks + ks 则当 s 为奇数时, 上述方程组有零解, β, β, L, βs 线性无关 当 s 为偶数时, 上述方程组有非零解, β, β, L, βs 线性无关 k 8. 解 : 设 l α + l A α + L+ l A α s le l A la k + + L + s k k 取 l A, l A, L, l A 即存在一组不全为 的数, 使 l l A L l A k α+ α + + s αs uv k lα, l Aα, L, l A α u 线性无关 s s k 9. 解 : 当 l 时, α, α 与 β β 等价, 且 7 4 α β+ β, α β+ β β α α, β α+ α. 解 : 设 A ( A, A, L, A ), B ( B, B, L, B ) 则 ( A+ B) ( A + B, A + B, L, A + B)

43 ( AB, ) ( A, A, L, A, B, B, L, B) 而 A + B, A + B, L, A + B ) 可由 A, A, L, A, B, B, L, B 线性表示, 则 r( A+ B) r( A, B) 又 ra ( + B) ra ( ) + rb ( ) ra ( + B) ra ( + B) ra ( ) + rb ( ) 解 : A E A A A r( A) ra ( + E) + ra ( E) ra ( + E+ A E) r( A) ra ( ) ( + )( ) A E A E A E { } r( A+ E) + r( A E), r( A+ E) + r( AE) max r( A), r( B). 解 : A A A * * 当 ra ( ) 时, ra ( ) * * 当 ra ( ) 时, A AA ra ( ) + ra ( ) * 则当 ra ( ) 时, ra ( ) 当 r( A) 时, r( A). 解 : 设 ra ( ) rrb, ( ) s则存在可逆矩阵 PQ,, PQ,, 使 E r E PAQ, PBQ s Er Pr A Q 则 P B Q Es A r r( A) + r( B) + B r s

44 解 : p 7 p+ 6 p+ 8 6 t 4 4 t t+ 当 t 时, 方程组无解 v 当 t, p 8 时,X (,,,) + c (4,,,) + c (,,,) ( cc 为任意常数 ) v 当 t, p 8 时,X (,,,) + c(,,,) ( c为任意常数 ) 5. 解 :Ⅰ) v 全部解 X (,,, ) + c(,,,) ( c为任意常数 ) a 5 b 4 Ⅱ) b 4 a b5 9 c 4 b c 因 (Ⅰ),(Ⅱ) 同解, 则 a, b, c 4 uv u 6. 解 : 因 P, P, P 是 Ax 的线性无关解 uv uv u uv 则 r r, L, r - r是 Ax 的解 uv uv uv uv u uv v k ( r r ) + k ( r r ) + L+ k ( r - r ) r+ uv uv uv u v ( k k L k ) r + k r + k r + L+ k r r+ r+ uv uv u 又 r, r, L,, 线性无关, 则 r kk L k r+ k M k r+ k k k + L r uv uv uv uv u uv r r, r r, L, r - r线性无关.

45 uv uv uv uv u uv 则 r r, r r, L, r - r是 Ax 的一个基础解系 uv uv uv u v 7. 解 : 设 kr+ k( r+ η ) + L+ k ( r+ η ) r r uv uv uv u v ( k + k + k + L+ k ) r + k r + k r + L+ k r r r r uv uv u r是 AX b的一个解, 则 r可由 η, L, η r表示, 设 uv uv uv uu r rη + rη + L r η 代入上式可得 r r k k k L r uv uv uv u 则 r, r + η, L, r + 是 Ax b的 r+ 个线性无关的解 η r 8.. 解 : ) 证明 : 设 Ay, 则 ( AAy ) A( Ay) 故 AX 与 ( A A) x 同解 ) 因 AX 与 ( A A) x 同解, 则它们有相同的基础解系 ra ( ) raa ( ) λ 4 A λe λ. 解 :) 习题四 (A) λ, λ 6 得 4 4 当 λ 时, x, α λ 6, 当 时 x, α λ A-λE λ λ ) λ, λ λ 得

46 λ, x 当 时, α λ λ, x, α 当 时, α λ A-λE λ ) λ 5 λ 6, 5 x uv 当 时, α 5 λ A-λE 4 λ 5λ 4) λ 6, λ λ 得 5 λ 6, x 当 时, α λ λ, x, α 当 时, α λ λ ) A-λE O λ. 解 : λ λ λ L uv ε 特征向量 (,, L,), ε (,, L,), L, ε (,, L,), a λ a λ ) A-λE O a λ

47 λ λ λ L uv ε 特征向量 (,, L,), ε (,, L,), L, ε (,, L,) uv uv. 解 :) 由已知, 存在, 使 A uv α α λα A可逆, 则 uv A uv, 即 A uv uv 而 λ λ 是 A 的特征值 α λα α α uv uv uv uv A α A( λα) λ( Aα ) λ α ) uv uv Aα λα uv uv A + A+ E α λ + λ+ α ( ) ( ) ( λ λ 是 + + A + A+ E的特征值 A- E a 4. 解 :) λ A-λE λ λ ) λ, λ λ λ, x 当 时, α λ λ, x, α 当 时, α a λ A-λE b λ c λ 6. 解 : 当 λ, λ 时, 上式为 则 a, b, c

48 λ 4 + 是 A对应于特征值 7. 解 : 反证 : 设 A( α + α ) λ ( α + α ) α α λ的特征向量则, + ) + ) Aα Aα λα λα 又 Aα λα, Aα λα, 则 Aα + Aα λα + λα λα + λα ) 矛盾 8. 解 : 设 B~A 即存在 P ( P ), 使 P AP B AP P P A P B 9. 解 : 设 B~A 即存在 P ( P ), 使 P AP B, 则 A B 则 ra ( ) rb ( ). 解 : Q A是可逆, 则 ( ) A AB A A ABA BA BA ~AB A-λE λ ; 解 :), λ 当 λ 时, α (,) 当 λ 时, α (,) P, P AP, 则 令 A-λE λ ), λ λ λ 当 时, α ( 5,,) 当 λ λ 时, α (,,), α (,,)

49 5 P, P AP 则 令 A-λE λ ) λ, λ 6 λ 当 λ, α (,, ), α (, ) 当 λ 6 时, α (,,) P, P AP 则 6 4)A 不可对角化 P, P AP. 解 : A P P λ, λ. 解 : 由题意知, 为 A B 共有特征值 x, y 4. 证明 : 若 A,B 均为 阶矩阵,A~B, 则 ka~kb,a ~B. 解 :A~B P( P ), P AP B, 即 ( ), kp kb P ka P kb ka ( P AP) ( P ) A P B ~kb A ~ B 5. 证明 : 若 A,B 均为 阶可逆矩阵, 且 A~B, 则 A - ~B -. 解 :A~B P( P ), P AP B

50 两边求逆 ( P AP) P A P B A ~ B 6. 解 : 设 P AP B, Q CQ D, 其中 P, Q P G Q 令 则 A B G G C D A B C ~ D P, P AP 7. 解 : A P P uv uv 8.. 解 :) αβ (,,) (,,) uv uv ) αβ (,,) (, ) 4 uv uv ) αβ (,,,) (,,, ) uv γ (, ) β 9.. 解 :) α (,, ), 单位化后 5 5 α β t β α β (,, ) γ (,, ) ββ, 单位化后 5 5 α β αβ t β α β β (,,) ββ ββ γ, 单位化后 (,,) uv β ) α (,,,) γ (,,, ), 单位化后 α β β α β (,,, ) ββ γ,,,, 单位化后

51 α β α β β α β β (,,,) ββ ββ α. 解 : 设 4 ( abcd,,, ), 则由 u α α. 4 a+ b c+ d αα 4 ab c+ d u αα 4 a+ b+ c+ d γ (,,, ), 单位化后 得 ( 4,,,) α 4 ( 4,,,) 6 为上述方程组一个解, 则 6. 证明 : 若 Q 为正交矩阵, 则其行列式的值为 或 -. 解 : QQ E Q Q ±. 证明 : 若 Q 为正交矩阵, 则 Q 可逆且 Q Q. 解 : QQ E Q Q Q Q. 证明 : 如果正交矩阵有实特征值, 则该特征值只能是 或 -. uv 解 : 设 λ 为正交矩阵 A 的任一实特征值, 对应的特征值向量为 α, 则 uv uv Aα λα α A λα uv uv uv uv ( α A )( A α) ( λα )( λα ) uv uv uv 即 α α λ λα ( λ ) uv α uv α λ ± Q AA E 4. 解 :

52 A 为正交矩阵 λ A λe λ+ λ + λ λ+ 4 4 λ λ λ 5. 解 :) Q λ A λe λ, λ 4 λ Q AQ 4 λ A λe λ λ, λ, λ 5 ) Q, Q AQ 5 λ λ A λe λ λ λ, λ λ ) 6 Q Q AQ 6 6 λ A λe 4λ 4 λ λ, λ 9 4 4λ 4)

53 5 5 4 Q Q AQ λ 6. 解 :) 设 uv αα B+ C ) uv 时对应特征特别向量 α ( abc,, ) α, α λ 对应的特征向量 A A, 则. 解 : 由题意知, 设 uv uv Aβ λβ k 或 k uv β, 则 (,,) k 是 A 的特征向量 (B) uv uv uv 4. 解 : 设 α 为 λ 对应的特征向量, 即 Aα λα m m a A uv a A m α ( λα uv ) L a λ uv α m m m m f( λ) a + aλ+ L+ a m λ 是 f ( A) 的一特征值 5. 解 :) A E, 则是 - 是 A 的特征值 ) A E, 则 是 A 的特征值 6. 解 : 由题 4 知,B 的特征值为 -4, -, -, 则 det B ( 4) ( ) ( ) 8

54 7. 解 : λ x A λe yλ ( λ) x, y, z z λ λ 对应的特征向量为 (,,), 比较系数得 a λ a L a a a λ L a A λe λ ( 重 ), λ a M M O M a a a a λ 8. 解 :) a a L a a a a λ, L 时 x M M O M M a a a 当 L uu α (,,, L, ), α (,,, L, ), L, α (,,, L,) a a L a a a a L x M M O M M λ 当 a a a a a 时, L α (,,, ) L P AP O P ( α ) 令, α, L α ), a 则 9. 解 :) A uv αβ uv uv αβ uv, 则 λ ( 重 ) ), a 不妨设 b ) A 的特征值 λ ( 重, 则 A uu Cα + C α + L+ C α ( C, C, L C 不全为 ) b b b L L L a b b b u α,,,, α,,,,,,,,, L, 其中 ) A 不可对角化

55 P P AP. 解 : 令, 由 7 5 A P P 得. 解 : λ 当 λ A λe 8 λ a λ, λ λ 6 6 λ a x α 8 时, λ 当 λ 6 时, a x α, α 当 a 时, P P AP 令, 则 6 6 解 : A A A( E A) re ( A) r 则 A 的特征值为 或 Er A与 相似. 解 : re ( + A) + re ( A) 则 A 的特征值为 或 -

56 E p P AP 则存在 P( P ) E p, 使 4. 解 : 由 A 知 A 的任一特征值为, 则 A 不能相似于对角矩阵 a λ A λe aλ λ λ a+, λ a ( λ 5. 解 : x α, α λ 当 λ a + 时 x α λ 当 a 时 a + P P AP a + 令 a, 则 a A E a a a) a A E y y 6. 解 : ( ) ( ) AP AP P A P P 则令, 为所求 7. 解 :) 因 ra ( ) λ, 则 λ 6 α 的特征向量为, α, α α 的一个极大无关组, α 则 λ, 对应

57 uv α (,,) ) 令 6 P P AP 6, 则 6 4 A P 6 P 解 :) 9 9 x+ 5 x 5 A y + y 5 5 λ, λ ) ) x y A + R..5 Rt F..85 F t 9. 解 :), 即 x() t Ax( t)

58 λ 4 A λe. 解 :) λ 习题四 (A) λ, λ 6 得 4 4 当 λ 时, x, α 当 λ 6 时, x, α λ A-λE λ λ ) λ, λ λ 得 λ, x 当 时, α λ λ, x, α 当 时, α λ A-λE λ ) λ 5 λ 6, 5 x uv 当 时, α 5 λ A-λE 4 λ 5λ 4) λ 6, λ λ 得 5 λ 6, x, α 当时

59 λ λ, x, α 当 时, α λ λ ) A-λE O. 解 : λ λ λ λ L uv ε 特征向量 (,, L,), ε (,, L,), L, ε (,, L,), a λ a λ ) A-λE O a λ λ λ λ L uv ε 特征向量 (,, L,), ε (,, L,), L, ε (,, L,) uv uv uv. 解 :) 由已知, 存在 α, 使 Aα λα A可逆, 则 uv α A λα uv, 即 A uv α uv α 而 λ λ A 是的特征值 uv uv uv uv A α A( λα) λ( Aα ) λ α ) uv uv Aα λα uv uv ( A + A+ E) α ( λ + λ+ ) α ( λ + λ+ 是 A + A+ E的特征值 A- E a 4. 解 :)

60 λ A-λE λ λ ) λ, λ λ λ, x 当 时, α λ λ, x, α 当 时, α a λ A-λE b λ c λ 6. 解 : 当 λ, λ 时, 上式为 则 a, b, c λ 4 α 7. 解 : 反证 : 设 + α是 A对应于特征值 λ 的特征向量, 则 A( α + α ) λ ( α + α ) + ) + ) Aα Aα λα λα 又 Aα λα, Aα λα, 则 Aα + Aα λα + λα λα + λα ) 矛盾 8. 解 : 设 B~A 即存在 P ( P ), 使 P AP B AP P P A P B 9. 解 : 设 B~A 即存在 P ( P ), 使 P AP B, 则 A B 则 ra ( ) rb ( ). 解 : Q A是可逆, 则 A ( AB) A A ABA BA

61 BA ~AB ; 解 :) A-λE λ, λ 当 λ 时, α (,) 当 λ 时, α (,) P, P AP 令, 则 ) A-λE λ, λ λ λ 当 时, α ( 5,,) 当 λ λ 时, α (,,), α (,,) 5 P, P AP 则 令 ) A-λE λ λ, λ 6 λ 当 λ, α (,, ), α (, ) 当 λ 6 时, α (,,) P, P AP 则 6 4)A 不可对角化 P, P AP. 解 : A P P

62 . 解 : 由题意知, λ, λ 为 A B 共有特征值 x, y 4. 证明 : 若 A,B 均为 阶矩阵,A~B, 则 ka~kb,a ~B. 解 :A~B P( P ), P AP B kp kb, 即 P ( ka) P kb, ka ( P AP) ( P ) A P B ~kb A ~ B 5. 证明 : 若 A,B 均为 阶可逆矩阵, 且 A~B, 则 A - ~B -. 解 :A~B P( P ), P AP B 两边求逆 ( P AP) P A P B A ~ B 6. 解 : 设 P AP B, Q CQ D, 其中 P, Q P G 令 Q 则 A B G G C D A B C ~ D P, P AP 7. 解 : A P P 8.. 解 :) uv uv αβ (,,) (,,)

63 uv uv ) αβ (,,) (, ) 4 uv uv ) αβ (,,,) (,,, ) uv γ (, ) β 9.. 解 :) α (,, ), 单位化后 5 5 α β t β α β (,, ) γ (,, ) ββ, 单位化后 5 5 α β αβ t β α β β (,,) ββ ββ γ, 单位化后 (,,) uv β ) α (,,,) γ, 单位化后 (,,, ) α β β α β (,,, ) γ,,, ββ, 单位化后 α β α β β α β β (,,,) ββ ββ γ (,,, ), 单位化后 α. 解 : 设 4 ( abcd,,, ), 则由 u α α. 4 a+ b c+ d αα 4 ab c+ d u αα 4 a+ b+ c+ d 得 ( 4,,,) α 4 ( 4,,,) 6 为上述方程组一个解, 则 6. 证明 : 若 Q 为正交矩阵, 则其行列式的值为 或 -. 解 : QQ E Q Q ± Q. 证明 : 若 Q 为正交矩阵, 则 Q 可逆且. Q 解 : QQ E Q Q Q Q. 证明 : 如果正交矩阵有实特征值, 则该特征值只能是 或 -.

64 uv 解 : 设 λ 为正交矩阵 A 的任一实特征值, 对应的特征值向量为 α, 则 uv uv Aα λα α A λα uv uv uv uv ( α A )( A α) ( λα )( λα ) uv uv uv 即 α α λ λα ( λ ) uv α uv α λ ± Q AA E 4. 解 : A 为正交矩阵 λ λ λ+ λ + λ λ+ 4 4 λ A E λ λ 5. 解 :) Q λ A λe λ, λ 4 λ Q AQ 4 ) λ A λe λ λ, λ, λ 5 λ

65 Q, Q AQ 5 λ A λe λ λ λ, λ λ ) 6 Q Q AQ 6 6 λ A λe 4λ 4 λ λ, λ 9 4 4λ 4) Q Q AQ uv 6. 解 :) 设 λ 时对应特征特别向量 α uv αα B+ C ) ( abc,, ) α, α λ 对应的特征向量 A, 则 A

66 . 解 : 由题意知, uv β uv uv 设 Aβ λβ, 则 k 或 k (,,) k 是 A 的特征向量 uv uv uv 4. 解 : 设 α 为 λ 对应的特征向量, 即 Aα λα m m m a A uv α a A ( λα uv ) L a λ uv α m m m m f( λ) a + aλ+ L+ a m λ 是 (B) f ( A) 的一特征值 5. 解 :) A E, 则是 - 是 A 的特征值 ) A E, 则 是 A 的特征值 6. 解 : 由题 4 知,B 的特征值为 -4, -, -, 则 det B ( 4) ( ) ( ) 8 7. 解 : λ x A λe yλ ( λ) x, y, z z λ λ 对应的特征向量为 (,,), 比较系数得 a λ a L a a a λ L a A λe λ ( 重 ), λ a M M O M 8. 解 :) a a a a λ a a L a a a a λ, L 时 x M M O M M 当 a a L a uu α (,,, L, ), α (,,, L, ), L, α (,,, L,)

67 a a L a a a a L x M M O M M λ a 时, a a L a a α (,,, ) L 当 P AP O P ( α ) 令, α, L α ), 则 a 9. 解 :) A uv αβ uv uv αβ uv, 则 λ ( 重 ) ) A 的特征值 λ ( 重 ), 不妨设 a b, 则 A uu Cα + C α + L+ C α ( C, C, L C 不全为 ) b b b α,,,, α,,,, u,, a L L L,,, L, b b b 其中 ) A 不可对角化 P P AP. 解 : 令, 由 7 5 A P P 得. 解 : λ 当 λ A λe 8 λ a λ, λ λ 6 6 λ a x α 8 时,

68 当 λ λ 6 时, 当 a 时, 令 a x α, α P P AP 6 6, 则 解 : A A A( E A) re ( A) r 则 A 的特征值为 或 Er A与 相似. 解 : re ( + A) + re ( A) 则 A 的特征值为 或 - E p P AP 则存在 P( P ) E p, 使 4. 解 : 由 A 知 A 的任一特征值为, 则 A 不能相似于对角矩阵 a λ A λe aλ λ λ a+, λ a λ 5. 解 : x α, α 当 λ λ a + 时 x α λ 当 a 时

69 a + P P AP a+ 令, 则 a A E a a a) ( a a A E y y 6. 解 : ( ) ( ) AP AP P A P P 则令, 为所求 7. 解 :) 因 ra ( ), 则 λ λ 6 α 的特征向量为, α, α α 的一个极大无关组, α uv 对应 α (,,) ) 令 6 P P AP 6, 则 6 4 A P 6 P 4 4 则 λ, 8. 解 :) 9 9 x+ 5 x 5 A y + y 5 5 λ, λ )

70 ) 8 x+ A y + + R..5 Rt F..85 F t 9. 解 :), 即 x() t Ax( t)

71 习题五 (A). 解 :) A ) ) A 5 A 解 :) f ( x, x, x) x + x + x xx 4xx + 6xx ) ) f ( x, x, x ) x + x x x + x x 4x x f ( x, x, x, x ) x + x + x x x x + x x + x x + x x 解 :) r ) r 4. 解 :) 令 C 则 C AC B ) C 则 C AC B 5. 解 : 由题意知, 存在 C, 使 C AC B

72 存在 C, 使 C AC B 令 C C A C P, 则 C P AP C A C C AC B C B AC x y+ y y 6. 解 :) 令 x y y x y 则 ) 令 则 f y y + y 4 x y y + y x y+ y + y x y f 4y + 4y +y ) x y y + y x y y x y 则 f y + y y 5 4) x z+ z + z x zz z x z 则 f z z + 6z 7. 解 :) 4 A 4 4

73 λ 4 A λe 4λ λ λ 5, λ 4 4 λ x Z Z + x (4) 令 x Z Z + x x Z 则 f z z + 6, z ) 令 Q Q AQ f y + y y A λ, 则 X QY 时 λ A λe λ λ, λ λ 4 λ λ 令 Q f y + y y y 4, 则 X QY 时

74 8. 解 :) f z + z z r, p, r p 符号差为 ) f y + y y y 4 r 4, p, r p 符号差为 9. 解 :) A 4 5 它的须序主子式 A >, A 8>, A 4 8> 4 5 则 f 为正定二次型 ) A 须序主子式 A < 则 f 为正定二次型 ) A 须序主子式 A < 4 则 f 为正定二次型

75 .. 解 :) t A t t t t 当 A t t >, A t >, A t ( t+ ) ( t ) > t t 即 t > 时, f 为正定二次型 t ) A t 4 t t A >, A 4 t >, A t 4 4 t > t 4 即 < t < 时, f 为正定二次型. 解 : 当 A a a> a A a> a A ( a+ )( a) > a + 即 < a < 时, A 为正定矩阵. 设 A,B 均为 阶正定矩阵, 则 A + B 为正定矩阵. 解 : Q X AX >, X BX > X ( A+ B) X > A + B 为正定矩阵. 设 A 为 阶正定矩阵, 则其伴随矩阵 A* 仍为正定矩阵. * * 解 : X AX > X A X > X A X > X A X > A * A 为正定矩阵 4. 证明 : 正定矩阵主对角线上的元素都是正的.

76 解 : 反证, 若主对角线有一元素为负, 则 tra <, 则有特征值为负与 A 为正定矩阵矛盾 5. 设 A,B 都是 阶正定矩阵. 证明 :AB 是正定矩阵的充分必要条件是 AB BA. 解 :" " ( AB) B A BA, AB 对称 AB 为正定, 则存在 P, Q( P Q ), 使 PP AQQ, B Q AB Q Q P PQ Q Q PQ PQ ( ) ( ) ( )( ) 而 PQ 可逆, 则 ( PQ )( PQ ) 为正定矩阵从而 AB 为正定矩阵 " " 同理 (B). 解 : 由题知, 存在 C, C ( C C ), 使 A C AC, B C BC C A C C AC A 则 C B C C B BC A A B B C A C CBC B C B C C A AC A B B A 4. 解 : 由题知, λ, λ, λ 5 是 A a 的三个特征值, 则 a, 对应的正交变换矩阵为 a

77 Q 5. 解 : 由题知, λ, λ, λ 是 a b A a 的三个特征值, 则 a b b 6. 解 :) a b A b tra a+ a a A b b b λ A λe λ λ λ, λ ) λ 当 λ λ 时, α,,, α (,,) 5 5 λ 时, α,, 5 5 当 5 5 则 Q 解 :) 5 4 A 5 5 C C9 由 r( A ), 知 C

78 5λ A λe 5 λ λ, λ 4, λ 9 λ ) f 4x + 9x 8. 解 : 设 λ 为 A 的任一特征值, 则 λ + λ λ λ, λ 从而 A+ ke 的特征值为 + k, + k, k A + ke 正定, 则 k> 9. 解 : 存在 P, P( P P ), 使 P AP E, P BP E 令 p P, 则 p PQP P A P P AP E P B P P BP 所以 Q 为正定矩阵. 设 A 为 阶实反对称矩阵, 则 E A 为正定矩阵. 解 : ( E A ) E ( A ) EA, E A 为对称矩阵 对任意 X ( x, x, L, x ), 则 X ( E A ) X X X X A X >. 设 A 为 阶正定矩阵, 说明 det( A+ E) >. 解 :A 为 阶正定矩阵, 则 A 的特征值 λ i >,( i, L, ) i 则 det( A+ E) ( + λ ) > i k + ( k+ ) + k+. 解 : B k + ( k+ ) k + k+ ( k+ ) + B λe λ k, λ λ ( k+) B 为正定, 则 k, 且 k 即可. 解 : 设对任意的 x, x, L, x 有

79 f( x, x, Lx ) x+ ax x + ax 当且仅当 M 时, 等号成立 x + a x x + ax 上述方程组仅有零解的充要条件是 a L L M M O M M + L L a a O + ( ) aa a L + 则当 + ( ) aa a 时, 对任意不全为 的 x, x, L x, 必使 x+ ax, L, x + a x + ax 中至少有一个不等于, 故 f( x, x, Lx ) > 4. 解 : A 正定, 可知 A 可逆, 且 E A A, 构造矩阵 P A A 并计算 PBP, 有 P BP 6 A 5 解 :) 二次型矩阵 A A 特征多项式 λ λe A λ λ ( λ )( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ )[ λ 5λ 6] ( λ )( λ 5)( λ + ) 故 A 的特征值为 a, λ 5, λ. 可知正交变化 X QY 可化简为标准形

80 y + 5y y 4为一单时双曲面. ) 二次型矩阵 A A 特征多项式 λ λe A λ 圆柱面. ( λ ) 4( λ ) ( λ )( λ 5) 故 A 的特征值 λ, λ 5 可知经正交变换 X QY 可化为标准形 y + 5y 4为一椭 f x 7. 解 : e x f x e x f x x e x e x + 可得与主点 x (,,) f 又 x e x f x x f x x f x x x f e x f x x f x x f x x f x x x e e x x e x 在 x 点有 H( x ) e 对应的顺序主子式 : det H( x ) < det H( x ) >

81 det H( x) e> e H( x ) 为正定矩阵 : f ( x ) 为 f ( x ) 的极小值. 即 f(,,) + + e e e.